Ekziston mundësia që në. Përkufizimi statistikor i probabilitetit

Kur një monedhë hidhet, mund të themi se ajo do të bjerë kokën lart, ose probabiliteti kjo është 1/2. Natyrisht, kjo nuk do të thotë që nëse një monedhë hidhet 10 herë, ajo do të bie domosdoshmërisht mbi kokat 5 herë. Nëse monedha është "e drejtë" dhe nëse hidhet shumë herë, atëherë kokat do të ulen shumë afër gjysmës së kohës. Pra, ekzistojnë dy lloje të probabiliteteve: eksperimentale Dhe teorike .

Probabiliteti eksperimental dhe teorik

Nëse hidhni një monedhë nje numer i madh i herë - le të themi 1000 - dhe numëroni sa herë janë hedhur kokat, ne mund të përcaktojmë probabilitetin që kokat të hidhen. Nëse kokat hidhen 503 herë, mund të llogarisim probabilitetin e uljes së saj:
503/1000, ose 0,503.

Kjo eksperimentale përcaktimi i probabilitetit. Ky përkufizim i probabilitetit vjen nga vëzhgimi dhe studimi i të dhënave dhe është mjaft i zakonshëm dhe shumë i dobishëm. Këtu, për shembull, janë disa probabilitete që u përcaktuan eksperimentalisht:

1. Probabiliteti që një grua të zhvillojë kancer gjiri është 1/11.

2. Nëse puthni dikë që ka të ftohtë, atëherë probabiliteti që edhe ju të ftoheni është 0.07.

3. Një person që sapo ka dalë nga burgu ka 80% mundësi për t'u rikthyer në burg.

Nëse marrim parasysh hedhjen e një monedhe dhe duke marrë parasysh se ka po aq gjasa që ajo të dalë lart ose bisht, mund të llogarisim probabilitetin për të marrë koka: 1/2 përkufizimi teorik probabilitetet. Këtu janë disa probabilitete të tjera që janë përcaktuar teorikisht duke përdorur matematikën:

1. Nëse në një dhomë ka 30 persona, probabiliteti që dy prej tyre të kenë të njëjtën ditëlindje (pa përfshirë vitin) është 0,706.

2. Gjatë një udhëtimi takoni dikë dhe gjatë bisedës zbuloni se keni një mik të përbashkët. Reagim tipik: "Kjo nuk mund të jetë!" Në fakt, kjo frazë nuk është e përshtatshme, sepse probabiliteti i një ngjarje të tillë është mjaft i lartë - pak më shumë se 22%.

Kështu, probabilitetet eksperimentale përcaktohen përmes vëzhgimit dhe mbledhjes së të dhënave. Probabilitetet teorike përcaktohen përmes arsyetimit matematik. Shembuj të probabiliteteve eksperimentale dhe teorike, të tilla si ato të diskutuara më sipër, dhe veçanërisht ato që ne nuk i presim, na çojnë në rëndësinë e studimit të probabilitetit. Ju mund të pyesni, "Cila është probabiliteti i vërtetë?" Në fakt, nuk ekziston një gjë e tillë. Probabilitetet brenda kufijve të caktuar mund të përcaktohen në mënyrë eksperimentale. Ato mund të përkojnë ose jo me probabilitetet që ne marrim teorikisht. Ka situata në të cilat është shumë më e lehtë të përcaktohet një lloj probabiliteti sesa një tjetër. Për shembull, do të ishte e mjaftueshme për të gjetur probabilitetin për të ftohur duke përdorur probabilitetin teorik.

Llogaritja e probabiliteteve eksperimentale

Le të shqyrtojmë së pari përcaktim eksperimental probabilitetet. Parimi bazë që përdorim për të llogaritur probabilitete të tilla është si më poshtë.

Parimi P (eksperimental)

Nëse në një eksperiment në të cilin janë bërë n vëzhgime, një situatë ose ngjarje E ndodh m herë në n vëzhgime, atëherë probabiliteti eksperimental i ngjarjes thuhet se është P (E) = m/n.

Shembulli 1 Anketa sociologjike. U mbajt studim eksperimental për të përcaktuar numrin e mëngjarashëve, djathtasve dhe njerëzve, të dy duart e të cilëve janë të zhvilluara në mënyrë të barabartë.

a) Përcaktoni probabilitetin që personi të jetë i djathtë.

b) Përcaktoni probabilitetin që personi të jetë mëngjarash.

c) Përcaktoni probabilitetin që një person të flasë njësoj rrjedhshëm në të dyja duart.

d) Shumica e turneve të Shoqatës së Bowlingut Profesionist janë të kufizuar në 120 lojtarë. Bazuar në të dhënat nga ky eksperiment, sa lojtarë mund të jenë mëngjarash?

Zgjidhje

a) Numri i njerëzve që janë djathtas është 82, numri i mëngjarashëve është 17, dhe numri i atyre që flasin rrjedhshëm në të dyja duart është 1. Numri i përgjithshëm i vëzhgimeve është 100. Kështu, probabiliteti që një person është me dorën e djathtë është P
P = 82/100, ose 0,82, ose 82%.

b) Probabiliteti që një person të jetë mëngjarash është P, ku
P = 17/100, ose 0,17, ose 17%.

c) Probabiliteti që një person të flasë njësoj rrjedhshëm në të dyja duart është P, ku
P = 1/100, ose 0,01, ose 1%.

d) 120 bowlers, dhe nga (b) mund të presim që 17% janë mëngjarashë. Nga këtu
17% e 120 = 0.17.120 = 20.4,
dmth mund të presim që rreth 20 lojtarë të jenë mëngjarashë.

Shembulli 2 Kontrolli i cilësisë . Është shumë e rëndësishme që një prodhues të ruajë cilësinë e produkteve të tij nivel të lartë. Në fakt, kompanitë punësojnë inspektorë të kontrollit të cilësisë për të siguruar këtë proces. Qëllimi është të prodhohet numri minimal i mundshëm i produkteve me defekt. Por duke qenë se kompania prodhon mijëra produkte çdo ditë, ajo nuk mund të përballojë të testojë çdo produkt për të përcaktuar nëse ai është me defekt apo jo. Për të zbuluar se sa përqind e produkteve janë me defekt, kompania teston shumë më pak produkte.
Ministria Bujqësia SHBA kërkon që 80% e farave të shitura nga kultivuesit duhet të mbijnë. Për të përcaktuar cilësinë e farave që prodhon një kompani bujqësore, mbillen 500 farëra nga ato që janë prodhuar. Pas kësaj u llogarit se mbinë 417 fara.

a) Sa është probabiliteti që fara të mbijë?

b) A i përmbushin farat standardet e qeverisë?

Zgjidhje a) Dimë se nga 500 fara që u mbollën, 417 mbinë. Probabiliteti i mbirjes së farës P, dhe
P = 417/500 = 0,834, ose 83,4%.

b) Meqenëse përqindja e farave të mbirë ka kaluar 80% sipas nevojës, farat plotësojnë standardet e qeverisë.

Shembulli 3 Vlerësimet televizive. Sipas statistikave, në Shtetet e Bashkuara ka 105,500,000 familje me televizor. Çdo javë, informacioni rreth shikimit të programeve mblidhet dhe përpunohet. Brenda një jave, 7,815,000 familje u akorduan në serialin komedi hit "Everybody Loves Raymond" në CBS dhe 8,302,000 familje u akorduan në serialin hit "Law & Order" në NBC (Burimi: Nielsen Media Research). Sa është probabiliteti që televizori i një familjeje të jetë i sintonizuar në "Everybody Loves Raymond" gjatë një jave të caktuar në "Law & Order"?

Zgjidhje Probabiliteti që televizori në një familje të jetë i sintonizuar në "Everybody Loves Raymond" është P, dhe
P = 7,815,000/105,500,000 ≈ 0,074 ≈ 7,4%.
Mundësia që televizori i një familjeje të jetë akorduar në Law & Order është P, dhe
P = 8,302,000/105,500,000 ≈ 0,079 ≈ 7,9%.
Këto përqindje quhen vlerësime.

Probabiliteti teorik

Supozoni se po kryejmë një eksperiment, të tillë si hedhja e një monedhe ose shigjetash, nxjerrja e një karte nga një kuvertë ose testimi i produkteve për cilësinë në një linjë montimi. Çdo rezultat i mundshëm një eksperiment i tillë quhet Eksodi . Shumë nga të gjithë rezultatet e mundshme thirrur hapësira e rezultatit . Ngjarja është një grup rezultatesh, domethënë një nëngrup i hapësirës së rezultateve.

Shembulli 4 Hedhja e shigjetave. Supozoni se në një eksperiment të hedhjes së shigjetave, një shigjetë godet një objektiv. Gjeni secilën nga sa vijon:

b) Hapësira e rezultateve

Zgjidhje
a) Rezultatet janë: goditja e zezë (B), goditja e kuqe (R) dhe goditja e bardhë (B).

b) Hapësira e rezultateve është (goditja e zezë, goditja e kuqe, goditja e bardhë), e cila mund të shkruhet thjesht si (H, K, B).

Shembulli 5 Hedhja zare. Një kub është një kub me gjashtë anë, secila me një deri në gjashtë pika të vizatuara në të.


Supozoni se po hedhim një kërpudhë. Gjej
a) Rezultatet
b) Hapësira e rezultateve

Zgjidhje
a) Rezultatet: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Hapësira e rezultateve (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Probabilitetin që një ngjarje E të ndodhë e shënojmë si P(E). Për shembull, "monedha do të bjerë mbi koka" mund të shënohet me H. Atëherë P(H) përfaqëson probabilitetin që monedha të bjerë mbi koka. Kur të gjitha rezultatet e një eksperimenti kanë të njëjtin probabilitet të ndodhin, thuhet se ato janë po aq të mundshme. Për të parë ndryshimet midis ngjarjeve që janë po aq të mundshme dhe ngjarjeve që nuk janë, merrni parasysh objektivin e treguar më poshtë.

Për objektivin A, ngjarjet e goditjes së zezë, të kuqe dhe të bardhë janë po aq të mundshme, pasi sektorët e zi, të kuq dhe të bardhë janë të njëjtë. Sidoqoftë, për objektivin B, zonat me këto ngjyra nuk janë të njëjta, domethënë, goditja e tyre nuk është po aq e mundshme.

Parimi P (Teorik)

Nëse një ngjarje E mund të ndodhë në m mënyra nga n rezultate të mundshme po aq të mundshme nga hapësira e rezultateve S, atëherë probabiliteti teorik ngjarjet, P(E) është
P(E) = m/n.

Shembulli 6 Sa është probabiliteti i rrotullimit të një kërmale për të marrë një 3?

Zgjidhje Aktiv zare Ka 6 rezultate po aq të mundshme dhe ekziston vetëm një mundësi për të hedhur jashtë numrin 3. Atëherë probabiliteti P do të jetë P(3) = 1/6.

Shembulli 7 Cila është probabiliteti i rrotullimit të një numri çift në një peshore?

Zgjidhje Ngjarja është hedhja e një numri çift. Kjo mund të ndodhë në 3 mënyra (nëse rrotulloni një 2, 4 ose 6). Numri i rezultateve po aq të mundshme është 6. Atëherë probabiliteti P(çift) = 3/6, ose 1/2.

Ne do të përdorim një numër shembujsh që përfshijnë një kuvertë standarde me 52 karta. Kjo kuvertë përbëhet nga kartat e paraqitura në figurën më poshtë.

Shembulli 8 Cila është probabiliteti për të nxjerrë një Ace nga një kuvertë letrash e përzier mirë?

Zgjidhje Ka 52 rezultate (numri i letrave në kuvertë), ato janë po aq të mundshme (nëse kuverta është e përzier mirë), dhe ka 4 mënyra për të nxjerrë një Ace, kështu që sipas parimit P, probabiliteti
P (vizatoni një ACE) = 4/52, ose 1/13.

Shembulli 9 Supozoni se zgjedhim, pa parë, një top nga një qese me 3 topa të kuq dhe 4 topa jeshilë. Sa është probabiliteti për të zgjedhur një top të kuq?

Zgjidhje Ka 7 rezultate po aq të mundshme të tërheqjes së një topi, dhe meqenëse numri i mënyrave për të vizatuar një top të kuq është 3, marrim
P (përzgjedhja e topit të kuq) = 3/7.

Deklaratat e mëposhtme janë rezultate nga Parimi P.

Vetitë e probabilitetit

a) Nëse ngjarja E nuk mund të ndodhë, atëherë P(E) = 0.
b) Nëse ngjarja E është e sigurt se do të ndodhë, atëherë P(E) = 1.
c) Probabiliteti që ngjarja E të ndodhë është një numër nga 0 në 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Për shembull, në një hedhje monedhë, ngjarja që monedha bie në buzën e saj ka probabilitet zero. Probabiliteti që një monedhë të jetë ose koka ose bisht ka një probabilitet prej 1.

Shembulli 10 Le të supozojmë se 2 letra janë tërhequr nga një kuvertë me 52 letra. Sa është probabiliteti që të dyja të jenë maja?

Zgjidhje Numri n i mënyrave për të nxjerrë 2 letra nga një kuvertë me 52 letra të përziera mirë është 52 C 2 . Meqenëse 13 nga 52 letrat janë me lopata, numri i mënyrave m për të tërhequr 2 lopata është 13 C 2 . Pastaj,
P (tërheqja e 2 majave) = m/n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17.

Shembulli 11 Supozoni se 3 persona janë zgjedhur rastësisht nga një grup prej 6 burrash dhe 4 grave. Sa është probabiliteti që të zgjidhen 1 burrë dhe 2 gra?

Zgjidhje Numri i mënyrave për të zgjedhur tre persona nga një grup prej 10 personash është 10 C 3. Një burrë mund të zgjidhet në 6 mënyra C 1 dhe 2 gra mund të zgjidhen në 4 C 2 mënyra. Sipas parim themelor duke numëruar, numri i mënyrave për të zgjedhur 1 burrë dhe 2 gra 6 C 1. 4 C 2 . Pastaj, probabiliteti që të zgjidhen 1 burrë dhe 2 gra është
P = 6 C 1 . 4 C 2 / 10 C 3 = 3/10.

Shembulli 12 Hedhja e zareve. Sa është probabiliteti për të hedhur gjithsej 8 në dy zare?

ZgjidhjeÇdo zare ka 6 rezultate të mundshme. Rezultatet dyfishohen, që do të thotë se ka 6.6 ose 36 mënyra të mundshme në të cilat numrat në dy zare mund të shfaqen. (Është më mirë nëse kubet janë të ndryshëm, le të themi se njëri është i kuq dhe tjetri është blu - kjo do të ndihmojë në vizualizimin e rezultatit.)

Çiftet e numrave që mblidhen deri në 8 janë paraqitur në figurën më poshtë. Janë 5 mënyrat e mundshme duke marrë një shumë të barabartë me 8, pra probabiliteti është 5/36.

Në ekonomi, si dhe në fusha të tjera veprimtaria njerëzore ose në natyrë, ne vazhdimisht duhet të përballemi me ngjarje që nuk mund të parashikohen saktë. Kështu, vëllimi i shitjeve të një produkti varet nga kërkesa, e cila mund të ndryshojë ndjeshëm, dhe nga një sërë faktorësh të tjerë që janë pothuajse të pamundur të merren parasysh. Prandaj, kur organizoni prodhimin dhe kryeni shitjet, duhet të parashikoni rezultatin e aktiviteteve të tilla në bazë të përvojës suaj të mëparshme, ose përvojës së ngjashme të njerëzve të tjerë, ose intuitës, e cila në një masë të madhe mbështetet edhe në të dhënat eksperimentale.

Për të vlerësuar disi ngjarjen në fjalë, është e nevojshme të merren parasysh ose të organizohen posaçërisht kushtet në të cilat është regjistruar kjo ngjarje.

Zbatimi kushte të caktuara ose veprimet për identifikimin e ngjarjes në fjalë quhet përvojë ose eksperiment.

Ngjarja quhet e rastit, nëse si rezultat i përvojës mund të ndodhë ose jo.

Ngjarja quhet të besueshme, nëse domosdoshmërisht shfaqet si rezultat i një përvoje të caktuar, dhe e pamundur, nëse nuk mund të shfaqet në këtë përvojë.

Për shembull, reshjet e borës në Moskë më 30 nëntor janë një ngjarje e rastësishme. Lindja e përditshme e diellit mund të konsiderohet një ngjarje e besueshme. Reshjet e borës në ekuator mund të konsiderohen një ngjarje e pamundur.

Një nga detyrat kryesore në teorinë e probabilitetit është detyra e përcaktimit të një mase sasiore të mundësisë së ndodhjes së një ngjarjeje.

Algjebra e ngjarjeve

Ngjarjet quhen të papajtueshme nëse nuk mund të vëzhgohen së bashku në të njëjtën përvojë. Pra, prania e dy dhe tre makinave në një dyqan në të njëjtën kohë janë dy ngjarje të papajtueshme.

Shuma ngjarje është një ngjarje që përbëhet nga ndodhja e të paktën një prej këtyre ngjarjeve

Një shembull i shumës së ngjarjeve është prania e të paktën një prej dy produkteve në dyqan.

Puna ngjarjet është një ngjarje që përbëhet nga ndodhja e njëkohshme e të gjitha këtyre ngjarjeve

Ngjarja që përbëhet nga paraqitja e dy mallrave në një dyqan në të njëjtën kohë është produkt i ngjarjeve: - shfaqja e një produkti, - shfaqja e një produkti tjetër.

Ngjarjet formojnë një grup të plotë ngjarjesh nëse të paktën njëra prej tyre është e sigurt se do të ndodhë në përvojë.

Shembull. Porti ka dy shtretër për pranimin e anijeve. Mund të konsiderohen tre ngjarje: - mungesa e anijeve në shtrat, - prania e një anijeje në një nga shtratet, - prania e dy anijeve në dy shtretër. Këto tre ngjarje formojnë një grup të plotë ngjarjesh.

E kundërt quhen dy ngjarje unike të mundshme që formojnë një grup të plotë.

Nëse një nga ngjarjet që është e kundërta shënohet me , atëherë ngjarje e kundërt zakonisht shënohet me .

Përkufizime klasike dhe statistikore të probabilitetit të ngjarjes

Secili prej rezultateve po aq të mundshme të testeve (eksperimenteve) quhet rezultat elementar. Zakonisht ato përcaktohen me shkronja. Për shembull, hidhet një pjatë. Mund të ketë gjithsej gjashtë rezultate elementare bazuar në numrin e pikëve në anët.

Nga rezultatet elementareështë e mundur të kompozohet më shumë ngjarje komplekse. Kështu, ngjarja e një numri çift pikash përcaktohet nga tre rezultate: 2, 4, 6.

Një masë sasiore e mundësisë së ndodhjes së ngjarjes në fjalë është probabiliteti.

Shumica përdorim të gjerë mori dy përkufizime të probabilitetit të një ngjarjeje: klasike Dhe statistikore.

Përkufizimi klasik i probabilitetit shoqërohet me konceptin e një rezultati të favorshëm.

Rezultati quhet i favorshëm ndaj një ngjarjeje të caktuar nëse ndodhja e saj nënkupton edhe ndodhjen e kësaj ngjarjeje.

Në shembullin e dhënë, ngjarja në fjalë është numër çift pikë në anën e rënë ka tre rezultate të favorshme. NË në këtë rast i njohur dhe i përgjithshëm
numri i rezultateve të mundshme. Pra, këtu mund të përdorni përkufizim klasik probabiliteti i një ngjarjeje.

Përkufizimi klasik barazohet me raportin e numrit të rezultateve të favorshme me numri total rezultatet e mundshme

ku është probabiliteti i ngjarjes, është numri i rezultateve të favorshme për ngjarjen, është numri total i rezultateve të mundshme.

Në shembullin e konsideruar

Përkufizimi statistikor probabiliteti lidhet me konceptin e shpeshtësisë relative të shfaqjes së një ngjarjeje në eksperimente.

Frekuenca relative e shfaqjes së një ngjarjeje llogaritet duke përdorur formulën

ku është numri i ndodhive të një ngjarjeje në një seri eksperimentesh (testesh).

Përkufizimi statistikor. Probabiliteti i një ngjarjeje është numri në lidhje me të cilin ajo stabilizohet (vendos) frekuencë relative me një rritje të pakufizuar të numrit të eksperimenteve.

NË probleme praktike probabiliteti i një ngjarjeje merret si frekuencë relative me mjaftueshëm numer i madh testet.

Nga këto përkufizime të probabilitetit të një ngjarjeje është e qartë se pabarazia është gjithmonë e kënaqur

Për të përcaktuar probabilitetin e një ngjarjeje bazuar në formulën (1.1), shpesh përdoren formulat e kombinatorikës, të cilat përdoren për të gjetur numrin e rezultateve të favorshme dhe numrin total të rezultateve të mundshme.

Fillimisht, duke qenë vetëm një koleksion informacioni dhe vëzhgimesh empirike rreth lojës me zare, teoria e probabilitetit u bë një shkencë e plotë. Të parët që i dhanë një kornizë matematikore ishin Fermat dhe Pascal.

Nga të menduarit për të përjetshmen në teorinë e probabilitetit

Dy individët, të cilëve teoria e probabilitetit u detyrohet shumë nga formulat e saj themelore, Blaise Pascal dhe Thomas Bayes, njihen si njerëz thellësisht fetarë, ky i fundit është një ministër presbiterian. Me sa duket, dëshira e këtyre dy shkencëtarëve për të vërtetuar gabimin e mendimit për një farë Fortune, e cila u jep fat të preferuarve të saj, i dha shtysë kërkimeve në këtë fushë. Në fund të fundit, në fakt, çdo kumar me fitoret dhe humbjet e saj, është thjesht një simfoni e parimeve matematikore.

Falë pasionit të zotërisë de Mere, i cili në mënyrë të barabartë duke qenë një kumarxhi dhe një person jo indiferent ndaj shkencës, Pascal u detyrua të gjente një mënyrë për të llogaritur probabilitetin. De Mere u interesua për pyetjen e mëposhtme: "Sa herë ju duhet të hidhni dy zare në çifte në mënyrë që probabiliteti për të marrë 12 pikë të kalojë 50%?" Pyetja e dytë, e cila ishte me interes të madh për zotërinë: "Si ta ndani bastin midis pjesëmarrësve në lojën e papërfunduar?" Sigurisht, Pascal iu përgjigj me sukses të dy pyetjeve të de Mere, i cili u bë iniciatori i padashur i zhvillimit të teorisë së probabilitetit. Është interesant fakti se personi i de Mere mbeti i njohur në këtë zonë, dhe jo në letërsi.

Më parë, asnjë matematikan nuk kishte tentuar të llogaritte probabilitetet e ngjarjeve, pasi besohej se kjo ishte vetëm një zgjidhje hamendësuese. Blaise Pascal dha përkufizimin e parë të probabilitetit të një ngjarjeje dhe tregoi se është një shifër specifike që mund të justifikohet matematikisht. Teoria e probabilitetit është bërë baza për statistika dhe përdoret gjerësisht në shkenca moderne.

Çfarë është rastësia

Duke marrë parasysh një test që mund të përsëritet numër i pafund herë, atëherë ne mund të përcaktojmë një ngjarje të rastësishme. Ky është një nga rezultatet e mundshme të eksperimentit.

Përvoja është zbatimi veprime konkrete në kushte konstante.

Për të qenë në gjendje të punoni me rezultatet e eksperimentit, ngjarjet zakonisht përcaktohen me shkronjat A, B, C, D, E...

Probabiliteti i një ngjarjeje të rastësishme

Për të filluar pjesën matematikore të probabilitetit, është e nevojshme të përcaktohen të gjithë përbërësit e tij.

Probabiliteti i një ngjarjeje është një masë numerike e mundësisë që një ngjarje (A ose B) të ndodhë si rezultat i një përvoje. Probabiliteti shënohet si P(A) ose P(B).

Në teorinë e probabilitetit ata dallojnë:

• të besueshme ngjarja është e garantuar të ndodhë si rezultat i përvojës P(Ω) = 1;
• e pamundur ngjarja nuk mund të ndodhë kurrë P(Ø) = 0;
• e rastit një ngjarje qëndron midis të besueshmes dhe të pamundurës, domethënë, probabiliteti i ndodhjes së tij është i mundur, por jo i garantuar (probabiliteti i një ngjarjeje të rastësishme është gjithmonë brenda intervalit 0≤Р(А)≤ 1).

Marrëdhëniet midis ngjarjeve

Konsiderohet si një ashtu edhe shuma e ngjarjeve A+B, kur ngjarja numërohet kur të paktën një nga komponentët, A ose B, ose të dyja, A dhe B, është plotësuar.

Në lidhje me njëra-tjetrën, ngjarjet mund të jenë:

• Po aq e mundur.
• E përputhshme.
• E papajtueshme.
• E kundërta (reciprokisht përjashtuese).
• I varur.

Nëse dy ngjarje mund të ndodhin me probabilitet të barabartë, më pas ata po aq e mundur.

Nëse ndodhja e ngjarjes A nuk e zvogëlon në zero probabilitetin e ndodhjes së ngjarjes B, atëherë ata të pajtueshme.

Nëse ngjarjet A dhe B nuk ndodhin kurrë njëkohësisht në të njëjtën përvojë, atëherë ato quhen të papajtueshme. Hedhja e monedhës - shembull i mirë: shfaqja e kokave është automatikisht mosparaqitje e kokave.

Probabiliteti për shumën e ngjarjeve të tilla të papajtueshme përbëhet nga shuma e probabiliteteve të secilës prej ngjarjeve:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Nëse ndodhja e një ngjarjeje e bën të pamundur ndodhjen e një tjetër, atëherë ato quhen të kundërta. Pastaj njëra prej tyre caktohet si A, dhe tjetra - Ā (lexohet si "jo A"). Ndodhja e ngjarjes A do të thotë që Ā nuk ka ndodhur. Këto dy ngjarje formojnë një grup të plotë me një shumë probabiliteti të barabartë me 1.

Ngjarjet e varura kanë ndikim të ndërsjellë, duke ulur ose rritur probabilitetin e njëra-tjetrës.

Marrëdhëniet midis ngjarjeve. Shembuj

Duke përdorur shembuj është shumë më e lehtë për të kuptuar parimet e teorisë së probabilitetit dhe kombinimet e ngjarjeve.

Eksperimenti që do të kryhet konsiston në nxjerrjen e topave nga një kuti dhe rezultati i çdo eksperimenti është një rezultat elementar.

Një ngjarje është një nga rezultatet e mundshme të një eksperimenti - një top i kuq, një top blu, një top me numrin gjashtë, etj.

Testi nr. 1. Përfshihen 6 topa, tre prej të cilëve janë blu me numra tek dhe tre të tjerët janë të kuq me numra çift.

Testi nr. 2. 6 topa të përfshirë me ngjyrë blu me numra nga një deri në gjashtë.

Bazuar në këtë shembull, ne mund të emërtojmë kombinime:

• Ngjarje e besueshme. Në spanjisht Nr. 2 ngjarja "merr topin blu" është e besueshme, pasi probabiliteti i shfaqjes së tij është i barabartë me 1, pasi të gjithë topat janë blu dhe nuk mund të ketë humbje. Ndërsa ngjarja “merr topin me numrin 1” është e rastësishme.
• Ngjarje e pamundur. Në spanjisht Nr. 1 me topa blu dhe të kuq, ngjarja "marrja e një topi vjollcë" është e pamundur, pasi probabiliteti i shfaqjes së tij është 0.
• Ngjarje po aq të mundshme. Në spanjisht Nr. 1, ngjarjet "merr topin me numrin 2" dhe "merr topin me numrin 3" janë po aq të mundshme, dhe ngjarjet "merr topin me numër çift" dhe "merr topin me numrin 2". ” kanë probabilitete të ndryshme.
• Ngjarje të përputhshme. Marrja e një gjashtëshe dy herë radhazi gjatë hedhjes së një trupi është një ngjarje e pajtueshme.
• Ngjarje të papajtueshme. Në të njëjtën spanjisht Nr. 1, ngjarjet "merr një top të kuq" dhe "merr një top me një numër tek" nuk mund të kombinohen në të njëjtën përvojë.
• Ngjarje të kundërta. Shumica shembull i ndritshëm Kjo është hedhja e monedhave, ku vizatimi i kokave është i barabartë me mosvizatimin e bishtave dhe shuma e probabiliteteve të tyre është gjithmonë 1 (grupi i plotë).
• Ngjarjet e varura. Pra, në spanjisht Nr. 1, ju mund të vendosni qëllimin për të tërhequr topin e kuq dy herë radhazi. Marrja ose mosmarrja e tij herën e parë ndikon në probabilitetin për ta marrë herën e dytë.

Mund të shihet se ngjarja e parë ndikon ndjeshëm në probabilitetin e së dytës (40% dhe 60%).

Formula e probabilitetit të ngjarjes

Kalimi nga tregimi i fatit në të dhëna të sakta ndodh përmes përkthimit të temës në një plan matematikor. Kjo do të thotë, gjykimet për një ngjarje të rastësishme si "probabiliteti i lartë" ose "probabiliteti minimal" mund të përkthehen në të dhëna numerike specifike. Tashmë është e lejueshme të vlerësohet, krahasohet dhe të futet një material i tillë në llogaritjet më komplekse.

Nga pikëpamja llogaritëse, përcaktimi i probabilitetit të një ngjarjeje është raporti i numrit të rezultateve elementare pozitive me numrin e të gjitha rezultateve të mundshme të përvojës në lidhje me një ngjarje specifike. Probabiliteti shënohet me P(A), ku P qëndron për fjalën "probabilite", e cila përkthehet nga frëngjishtja si "probabilitet".

Pra, formula për probabilitetin e një ngjarjeje është:

Ku m është sasia rezultate të favorshme për ngjarjen A, n është shuma e të gjitha rezultateve të mundshme për këtë përvojë. Në këtë rast, probabiliteti i një ngjarjeje qëndron gjithmonë midis 0 dhe 1:

0 ≤ P(A)≤ 1.

Llogaritja e probabilitetit të një ngjarjeje. Shembull

Le të marrim spanjisht. Nr. 1 me topa, që u përshkrua më herët: 3 topa blu me numrat 1/3/5 dhe 3 topa të kuq me numrat 2/4/6.

Bazuar në këtë test, mund të konsiderohen disa probleme të ndryshme:

• A - top i kuq bie jashtë. Ka 3 topa të kuq, dhe ka 6 opsione gjithsej shembulli më i thjeshtë, në të cilën probabiliteti i ngjarjes është i barabartë me P(A)=3/6=0.5.
• B - rrotullimi i një numri çift. Janë 3 numra çift (2,4,6), dhe numri i përgjithshëm i opsioneve të mundshme numerike është 6. Probabiliteti i kësaj ngjarjeje është P(B)=3/6=0.5.
• C - nxjerrja e një numri më të madh se 2. Ka 4 opsione të tilla (3,4,5,6) nga numri total rezultatet e mundshme 6. Probabiliteti i ngjarjes C është i barabartë me P(C)=4/6=0.67.

Siç shihet nga llogaritjet, ngjarja C ka probabilitet të lartë, pasi numri i rezultateve të mundshme pozitive është më i lartë se në A dhe B.

Ngjarje të papajtueshme

Ngjarje të tilla nuk mund të shfaqen njëkohësisht në të njëjtën përvojë. Si në spanjisht Nr. 1 është e pamundur të marrësh një top blu dhe një të kuq në të njëjtën kohë. Kjo është, ju mund të merrni ose një top blu ose të kuq. Në të njëjtën mënyrë, një numër çift dhe një numër tek nuk mund të shfaqen në një za në të njëjtën kohë.

Probabiliteti i dy ngjarjeve konsiderohet si probabiliteti i shumës ose produktit të tyre. Shuma e ngjarjeve të tilla A+B konsiderohet të jetë një ngjarje që përbëhet nga ndodhja e ngjarjes A ose B, dhe prodhimi i tyre AB është ndodhja e të dyjave. Për shembull, shfaqja e dy gjashtëshe në të njëjtën kohë në fytyrat e dy zare në një hedhje.

Shuma e disa ngjarjeve është një ngjarje që presupozon ndodhjen e të paktën njërës prej tyre. Prodhimi i disa ngjarjeve është dukuri e përbashkët e të gjithave.

Në teorinë e probabilitetit, si rregull, përdorimi i lidhjes "dhe" tregon një shumë, dhe lidhja "ose" - shumëzim. Formulat me shembuj do t'ju ndihmojnë të kuptoni logjikën e mbledhjes dhe shumëzimit në teorinë e probabilitetit.

Probabiliteti i shumës së ngjarjeve të papajtueshme

Nëse merret parasysh probabiliteti ngjarje të papajtueshme, atëherë probabiliteti i shumës së ngjarjeve është i barabartë me mbledhjen e probabiliteteve të tyre:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Për shembull: le të llogarisim probabilitetin që në spanjisht. Nr. 1 me topa blu dhe të kuq, do të shfaqet një numër midis 1 dhe 4 Ne do të llogarisim jo në një veprim, por me shumën e probabiliteteve të përbërësve elementar. Pra, në një eksperiment të tillë ka vetëm 6 topa ose 6 nga të gjitha rezultatet e mundshme. Numrat që plotësojnë kushtin janë 2 dhe 3. Probabiliteti për të marrë numrin 2 është 1/6, probabiliteti për të marrë numrin 3 është gjithashtu 1/6. Probabiliteti për të marrë një numër midis 1 dhe 4 është:

Probabiliteti i shumës së ngjarjeve të papajtueshme të një grupi të plotë është 1.

Pra, nëse në një eksperiment me një kub mbledhim probabilitetet e shfaqjes së të gjithë numrave, rezultati do të jetë një.

Kjo është gjithashtu e vërtetë për ngjarje të kundërta, për shembull në eksperimentin me një monedhë, ku njëra anë është ngjarja A dhe tjetra është ngjarja e kundërt Ā, siç dihet,

P(A) + P(Ā) = 1

Probabiliteti i ndodhjes së ngjarjeve të papajtueshme

Shumëzimi i probabilitetit përdoret kur merret parasysh ndodhja e dy ose më shumë ngjarjeve të papajtueshme në një vëzhgim. Probabiliteti që ngjarjet A dhe B të shfaqen në të njëkohësisht është e barabartë me produktin e probabiliteteve të tyre, ose:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Për shembull, probabiliteti që në spanjisht Nr. 1, si rezultat i dy përpjekjeve, një top blu do të shfaqet dy herë, i barabartë me

Domethënë, probabiliteti që një ngjarje të ndodhë kur, si rezultat i dy përpjekjeve për të nxjerrë topa, nxirren vetëm topa blu është 25%. Është shumë e lehtë të bësh eksperimente praktike mbi këtë problem dhe të shikosh nëse është në të vërtetë kështu.

Ngjarje të përbashkëta

Ngjarjet konsiderohen të përbashkëta kur ndodhja e njërës prej tyre mund të përkojë me ndodhjen e një tjetri. Pavarësisht se ato janë të përbashkëta, probabiliteti merret parasysh Jo ngjarje të varura. Për shembull, hedhja e dy zareve mund të japë një rezultat kur numri 6 shfaqet në të dy, Megjithëse ngjarjet përkonin dhe u shfaqën në të njëjtën kohë, ato janë të pavarura nga njëra-tjetra - vetëm një gjashtë mund të bjerë jashtë, e dyta nuk ka. ndikim në të.

Probabiliteti i ngjarjeve të përbashkëta konsiderohet si probabiliteti i shumës së tyre.

Probabiliteti i shumës së ngjarjeve të përbashkëta. Shembull

Probabiliteti i shumës së ngjarjeve A dhe B, të cilat janë të përbashkëta në lidhje me njëra-tjetrën, është e barabartë me shumën e probabiliteteve të ngjarjes minus probabilitetin e ndodhjes së tyre (d.m.th., ndodhja e tyre e përbashkët):

R nyje (A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)

Le të supozojmë se probabiliteti për të goditur objektivin me një goditje është 0.4. Pastaj ngjarja A po godet objektivin në përpjekjen e parë, B - në të dytën. Këto ngjarje janë të përbashkëta, pasi është e mundur që ju të mund të goditni objektivin si me goditjen e parë ashtu edhe me të dytin. Por ngjarjet nuk varen. Sa është probabiliteti i ngjarjes për të goditur objektivin me dy të shtëna (të paktën me një)? Sipas formulës:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Përgjigja e pyetjes është: "Probabiliteti për të goditur objektivin me dy të shtëna është 64%.

Kjo formulë për probabilitetin e një ngjarjeje mund të zbatohet edhe për ngjarje të papajtueshme, ku probabiliteti i ndodhjes së përbashkët të një ngjarjeje P(AB) = 0. Kjo do të thotë se probabiliteti i shumës së ngjarjeve të papajtueshme mund të konsiderohet një rast i veçantë. të formulës së propozuar.

Gjeometria e probabilitetit për qartësi

Është interesante se probabiliteti i shumës së ngjarjeve të përbashkëta mund të përfaqësohet si dy zona A dhe B, të cilat kryqëzohen me njëra-tjetrën. Siç shihet nga fotografia, zona e bashkimit të tyre është e barabartë me Sipërfaqja e përgjithshme minus sipërfaqen e kryqëzimit të tyre. Ky shpjegim gjeometrik e bën më të kuptueshme formulën në dukje të palogjikshme. Vini re se zgjidhje gjeometrike- jo e pazakontë në teorinë e probabilitetit.

Përcaktimi i probabilitetit të shumës së shumë (më shumë se dy) ngjarjeve të përbashkëta është mjaft i rëndë. Për ta llogaritur atë, duhet të përdorni formulat që jepen për këto raste.

Ngjarjet e varura

Ngjarjet quhen të varura nëse ndodhja e njërës (A) prej tyre ndikon në probabilitetin e ndodhjes së një tjetri (B). Për më tepër, merret parasysh edhe ndikimi i ndodhjes së ngjarjes A dhe mosndodhja e saj. Megjithëse ngjarjet quhen të varura sipas përkufizimit, vetëm njëra prej tyre është e varur (B). Probabiliteti i zakonshëm shënohej si P(B) ose probabiliteti i ngjarjeve të pavarura. Në rastin e ngjarjeve të varura, prezantohet një koncept i ri - probabiliteti i kushtëzuar P A (B), që është probabiliteti i një ngjarjeje të varur B që i nënshtrohet ndodhjes së ngjarjes A (hipoteza) nga e cila varet.

Por ngjarja A është gjithashtu e rastësishme, pra ka edhe një probabilitet që duhet dhe mund të merret parasysh në llogaritjet e kryera. Shembulli i mëposhtëm do të tregojë se si të punohet me ngjarje të varura dhe një hipotezë.

Një shembull i llogaritjes së probabilitetit të ngjarjeve të varura

Një shembull i mirë për llogaritjen e ngjarjeve të varura do të ishte një kuvertë standarde letrash.

Duke përdorur një kuvertë prej 36 letrash si shembull, le të shohim ngjarjet e varura. Duhet të përcaktojmë probabilitetin që letra e dytë e nxjerrë nga kuverta të jetë prej diamanti nëse letra e parë e tërhequr është:

1. Bubnovaya.
2. Nje ngjyre ndryshe.

Natyrisht, probabiliteti i ngjarjes së dytë B varet nga A e parë. Pra, nëse opsioni i parë është i vërtetë, që ka 1 kartë (35) dhe 1 diamant (8) më pak në kuvertë, probabiliteti i ngjarjes B:

R A (B) =8/35=0,23

Nëse opsioni i dytë është i vërtetë, atëherë kuverta tani ka 35 letra, dhe numri i plotë dajre (9), pastaj probabiliteti i ngjarjes tjetër B:

R A (B) =9/35=0,26.

Mund të shihet se nëse ngjarja A kushtëzohet nga fakti që letra e parë është një diamant, atëherë probabiliteti i ngjarjes B zvogëlohet dhe anasjelltas.

Shumëzimi i ngjarjeve të varura

Të udhëhequr nga kapitulli i mëparshëm, ne e pranojmë ngjarjen e parë (A) si fakt, por në thelb, ajo është e një natyre të rastësishme. Probabiliteti i kësaj ngjarjeje, përkatësisht tërheqja e një diamanti nga një kuvertë letrash, është e barabartë me:

P(A) = 9/36=1/4

Meqenëse teoria nuk ekziston më vete, por synohet të shërbejë qëllime praktike, atëherë është e drejtë të theksohet se ajo që nevojitet më shpesh është probabiliteti i prodhimit të ngjarjeve të varura.

Sipas teoremës mbi produktin e probabiliteteve të ngjarjeve të varura, probabiliteti i ndodhjes së ngjarjeve të varura bashkërisht A dhe B është i barabartë me probabilitetin e një ngjarje A, shumëzuar me probabilitetin e kushtëzuar të ngjarjes B (varur nga A):

P(AB) = P(A) *P A(B)

Pastaj, në shembullin e kuvertës, probabiliteti për të tërhequr dy letra me kostumin e diamanteve është:

9/36*8/35=0,0571, ose 5,7%

Dhe probabiliteti për të nxjerrë jo diamante së pari, dhe më pas diamante, është e barabartë me:

27/36*9/35=0,19, ose 19%

Mund të shihet se probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes B është më i madh me kusht që të tërhiqet letra e parë e një kostumi përveç diamantit. Ky rezultat është mjaft logjik dhe i kuptueshëm.

Probabiliteti total i një ngjarjeje

Kur një problem me probabilitete të kushtëzuara bëhet i shumëanshëm, atëherë metodat konvencionale nuk mund të llogaritet. Kur ka më shumë se dy hipoteza, përkatësisht A1,A2,…,A n, ..formon një grup të plotë të ngjarjeve me kusht:

• P(A i)>0, i=1,2,…
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

Pra formula probabilitet të plotë për ngjarjen B me një grup të plotë ngjarjesh të rastësishme A1, A2,..., Dhe n është e barabartë me:

Një vështrim në të ardhmen

Probabiliteti i një ngjarjeje të rastësishme është jashtëzakonisht i nevojshëm në shumë fusha të shkencës: ekonometria, statistika, fizika, etj. Meqenëse disa procese nuk mund të përshkruhen në mënyrë deterministe, pasi ato vetë janë probabiliste në natyrë, është e nevojshme. metoda të veçanta puna. Teoria e probabilitetit të një ngjarjeje mund të përdoret në çdo fushë teknologjike si një mënyrë për të përcaktuar mundësinë e një gabimi ose mosfunksionimi.

Mund të themi se duke njohur probabilitetin, ne në një farë mënyre hedhim një hap teorik drejt së ardhmes, duke e parë atë përmes prizmit të formulave.

• Probabiliteti - shkalla (masë relative, kuantifikimi) mundësia e ndodhjes së ndonjë ngjarjeje. Kur arsyet për një ngjarje të mundshme për të ndodhur realisht tejkalojnë arsyet e kundërta, atëherë kjo ngjarje quhet e mundshme, në ndryshe- e pamundur ose e pabesueshme. Mbizotërimi i bazave pozitive ndaj atyre negative, dhe anasjelltas, mund të jetë në shkallë të ndryshme, si rezultat i së cilës probabiliteti (dhe pamundësia) është më i madh ose më i vogël. Prandaj, probabiliteti shpesh vlerësohet në niveli i cilësisë, veçanërisht në rastet kur një vlerësim sasior pak a shumë i saktë është i pamundur ose jashtëzakonisht i vështirë. Gradime të ndryshme të "niveleve" të probabilitetit janë të mundshme.

  Studimi i probabilitetit me pikë matematikore vizioni përbën një disiplinë të veçantë - teoria e probabilitetit. Në teorinë e probabilitetit dhe statistika matematikore koncepti i probabilitetit zyrtarizohet si karakteristikë numerike ngjarje - një masë probabiliteti (ose vlera e saj) - një masë në një grup ngjarjesh (nëngrupe të një grupi ngjarjesh elementare), duke marrë vlera nga

  (\displaystyle 0)

  (\displaystyle 1)

  Kuptimi

  (\displaystyle 1)

  Korrespondon me një ngjarje të besueshme. Një ngjarje e pamundur ka një probabilitet prej 0 (e kundërta në përgjithësi nuk është gjithmonë e vërtetë). Nëse probabiliteti për të ndodhur një ngjarje është

  (\displaystyle p)

  Atëherë probabiliteti i mosndodhjes së tij është i barabartë me

  (\displaystyle 1-p)

  Në veçanti, probabiliteti

  (\displaystyle 1/2)

  Do të thotë probabilitet i barabartë i ndodhjes dhe mosndodhjes së një ngjarjeje.

  Përkufizimi klasik i probabilitetit bazohet në konceptin e probabilitetit të barabartë të rezultateve. Probabiliteti është raporti i numrit të rezultateve të favorshme për një ngjarje të caktuar me numrin total të rezultateve po aq të mundshme. Për shembull, probabiliteti për të marrë kokat ose bishtat në një hedhje të rastësishme të monedhës është 1/2 nëse supozohet se ndodhin vetëm këto dy mundësi dhe se ato janë njësoj të mundshme. Ky "përkufizim" klasik i probabilitetit mund të përgjithësohet në rastin numër i pafund vlerat e mundshme - për shembull, nëse një ngjarje mund të ndodhë me probabilitet të barabartë në çdo pikë (numri i pikave është i pafund) i një zone të kufizuar të hapësirës (avioni), atëherë probabiliteti që do të ndodhë në një pjesë të kjo zonë e lejuar është e barabartë me raportin e vëllimit (sipërfaqes) të kësaj pjese me vëllimin (sipërfaqen) e rajonit të të gjitha pikave të mundshme.

  “Përkufizimi” empirik i probabilitetit lidhet me shpeshtësinë e një ngjarjeje, bazuar në faktin se me një numër mjaft të madh provash, frekuenca duhet të priret në shkallën objektive të mundësisë së kësaj ngjarjeje. NË prezantim modern teoria e probabilitetit, probabiliteti përkufizohet në mënyrë aksiomatike si rast i veçantë teoria abstrakte e masës së caktuar. Megjithatë, lidhje ndërmjet masës abstrakte dhe probabilitetit që shpreh shkallën e mundësisë së ndodhjes së një ngjarjeje është pikërisht frekuenca e vëzhgimit të saj.

  Përshkrimi probabilistik i disa fenomeneve është bërë i përhapur në shkencën moderne, veçanërisht në ekonometrinë, fizikën statistikore të sistemeve makroskopike (termodinamike), ku edhe në rastin e një përshkrimi klasik determinist të lëvizjes së grimcave, një përshkrim determinist i të gjithë sistemit. e grimcave nuk duket praktikisht e mundur apo e përshtatshme. NË fizika kuantike Vetë proceset e përshkruara janë të një natyre probabiliste.

Koncepti kryesor i teorisë së probabilitetit është koncepti i një ngjarjeje të rastësishme. Ngjarje e rastësishmeështë një ngjarje që mund të ndodhë ose jo nëse plotësohen disa kushte. Për shembull, goditja e një objekti të caktuar ose humbja kur gjuan në këtë objekt nga një armë e caktuar është një ngjarje e rastësishme.

Ngjarja quhet të besueshme, nëse si rezultat i testit ndodh domosdoshmërisht. E pamundur Quhet një ngjarje që nuk mund të ndodhë si rezultat i testit.

Ngjarjet e rastësishme quhen të papajtueshme në një gjykim të caktuar nëse asnjë prej tyre nuk mund të paraqiten së bashku.

Forma e ngjarjeve të rastësishme grupi i plotë, nëse gjatë çdo prove mund të shfaqet ndonjë prej tyre dhe nuk mund të shfaqet asnjë ngjarje tjetër e papajtueshme me to.

Le të shqyrtojmë grupin e plotë të ngjarjeve të rastësishme të papajtueshme po aq të mundshme. Ne do t'i quajmë ngjarje të tilla rezultatet ose ngjarjet elementare. Rezultati quhet i favorshëm ndodhja e ngjarjes $A$, nëse ndodhja e këtij rezultati sjell ndodhjen e ngjarjes $A$.

Shembull. Urna përmban 8 topa të numëruar (çdo top ka një numër nga 1 në 8). Topat me numrat 1, 2, 3 janë të kuq, pjesa tjetër janë të zeza. Shfaqja e një topi me numrin 1 (ose numrin 2 ose numrin 3) është një ngjarje e favorshme për shfaqjen e topit të kuq. Shfaqja e një topi me numrin 4 (ose numrin 5, 6, 7, 8) është një ngjarje e favorshme për shfaqjen e një topi të zi.

Probabiliteti i ngjarjes$A$ është raporti i numrit $m$ të rezultateve të favorshme për këtë ngjarje me numrin total $n$ të të gjitha rezultateve elementare të papajtueshme po aq të mundshme që formojnë grupin e plotë $$P(A)=\frac(m)( n). \katër(1)$$

Prona 1. Probabiliteti i një ngjarjeje të besueshme është i barabartë me një
Prona 2. Probabiliteti i një ngjarje të pamundur është zero.
Prona 3. Ekziston një probabilitet për një ngjarje të rastësishme numër pozitiv, i mbyllur midis zeros dhe njës.

Pra, probabiliteti i ndonjë ngjarjeje kënaq pabarazi e dyfishtë$0 \le P(A) \le 1$ .

Materiale të dobishme

Llogaritësi në internet

Një numër i madh problemesh të zgjidhura duke përdorur formulën (1) kanë të bëjnë me temën e probabilitetit hipergjeometrik. Më poshtë mund të gjeni përshkrime të problemeve të njohura dhe kalkulatorë në internet për zgjidhjet e tyre duke përdorur lidhjet:

• Problemi me topat (ka $k$ topa të bardhë dhe $n$ të zinj në një urnë, topat $m$ janë nxjerrë jashtë...)
• Problem me pjesët (një kuti përmban pjesë standarde $k$ dhe $n$ me defekt, pjesët $m$ janë hequr...)
• Problemi me biletat e lotarisë (ka bileta $k$ fituese dhe $n$ jofituese në llotari, biletat $m$ janë blerë...)

Artikuj edukativë me shembuj

• Si të gjeni probabilitetin në problemet e hedhjes së monedhës?

Shembuj zgjidhjesh për probabilitetin klasik

Shembull. Në urnë ka 10 topa të numëruar me numra nga 1 deri në 10. Një top nxirret jashtë. Sa është probabiliteti që numri i topit të tërhequr të mos kalojë 10?

Zgjidhje. Lëreni ngjarjen A= (Numri i topit të tërhequr nuk i kalon 10). Numri i rasteve të favorshme për ndodhjen e ngjarjes A e barabartë me numrin e të gjitha rasteve të mundshme m=n=10. Prandaj, R(A)=1. Ngjarja Dhe e besueshme.

Shembull. Ka 10 topa në një urnë: 6 të bardha dhe 4 të zeza. Janë nxjerrë dy topa. Sa është probabiliteti që të dy topat të jenë të bardhë?

Zgjidhje. Ju mund të hiqni dy topa nga dhjetë në mënyrat e mëposhtme: .
Numri i herëve që do të ketë dy topa të bardhë midis këtyre dy topave është .
Probabiliteti i kërkuar
.

Shembull. Ka 15 topa në një urnë: 5 të bardha dhe 10 të zeza. Sa është probabiliteti për të nxjerrë një top blu nga urna?

Zgjidhje. Meqenëse nuk ka topa blu në urnë, atëherë m=0, n=15. Prandaj, probabiliteti i kërkuar R=0. Ngjarja e vizatimit të topit blu e pamundur.

Shembull. Një kartë nxirret nga një kuvertë me 36 letra. Sa është probabiliteti që një kartë të shfaqet në kostumin e zemrës?

Zgjidhje. Numri i rezultateve elementare (numri i letrave) n=36. Ngjarja A= (Shfaqja e një karte të kostumit të zemrës). Numri i rasteve që favorizojnë ndodhjen e ngjarjes A, m=9. Prandaj,
.