Formula nëse diskriminuesi është negativ. Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike me diskriminues negativ

E rëndësishme! Në rrënjët e shumëfishimit, funksioni nuk ndryshon shenjë.

Kushtojini vëmendje! Çdo pabarazi jolineare në një kurs shkollor algjebër duhet të zgjidhet duke përdorur metodën e intervalit.

Unë ju ofroj një të detajuar algoritmi për zgjidhjen e inekuacioneve duke përdorur metodën e intervalit, pas së cilës mund të shmangni gabimet kur zgjidhjen e pabarazive jolineare.

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike me diskriminues negativ

Siç e dimë

i 2 = - 1.

Në të njëjtën kohë

(- i ) 2 = (- 1 i ) 2 = (- 1) 2 i 2 = -1.

Kështu, ekzistojnë të paktën dy vlera të rrënjës katrore - 1, domethënë i Dhe - i . Por ndoshta ka disa numra të tjerë kompleks, katrorët e të cilëve janë të barabartë me - 1?

Për të sqaruar këtë pyetje, supozojmë se katrori i një numri kompleks a + bi është e barabartë me - 1. Atëherë

(a + bi ) 2 = - 1,

A 2 + 2аbi - b 2 = - 1

Dy numra kompleksë janë të barabartë nëse dhe vetëm nëse pjesët e tyre reale dhe koeficientët e pjesëve të tyre imagjinare janë të barabartë. Kjo është arsyeja pse

{	dhe 2 - b 2 = - 1 ab = 0 (1)

Sipas ekuacionit të dytë të sistemit (1), të paktën një nga numrat A Dhe b duhet të jetë zero. Nëse b = 0, atëherë nga ekuacioni i parë marrim A 2 = - 1. Numri A reale, prandaj A 2 > 0. Numri jo negativ A 2 nuk mund të jetë i barabartë me një numër negativ - 1. Prandaj, barazia b = 0 V në këtë rast e pamundur. Mbetet ta pranojmë këtë A = 0, por më pas nga ekuacioni i parë i sistemit marrim: - b 2 = - 1, b = ± 1.

Prandaj, numra komplekse katrorët e të cilëve janë të barabartë me -1 janë vetëm numra i Dhe - i , Në mënyrë konvencionale, kjo shkruhet në formën:

√-1 = ± i .

Duke përdorur arsyetime të ngjashme, studentët mund të binden se ekzistojnë saktësisht dy numra katrorët e të cilëve janë të barabartë me një numër negativ - A . Numra të tillë janë √ ai dhe -√ ai . Në mënyrë konvencionale, shkruhet kështu:

√- A = ± √ ai .

Nën √ a këtu nënkuptojmë një rrënjë aritmetike, domethënë pozitive. Për shembull, √4 = 2, √9 =.3; Kjo është arsyeja pse

√-4 = + 2i , √-9= ± 3 i

Nëse më herët, kur shqyrtonim ekuacionet kuadratike me diskriminues negativ, thoshim se ekuacione të tilla nuk kanë rrënjë, tani nuk mund të thuhet më. Ekuacionet kuadratike me diskriminues negativë kanë rrënjë komplekse. Këto rrënjë fitohen sipas formulave të njohura për ne. Le të jepet, për shembull, ekuacioni x 2 + 2X + 5 = 0; Pastaj

X 1,2 = - 1 ± √1 -5 = - 1 ± √-4 = - 1 ± 2 i .

Pra, ekuacioni i dhënë ka dy rrënjë: X 1 = - 1 +2i , X 2 = - 1 - 2i . Këto rrënjë janë të ndërlidhura. Është interesante të theksohet se shuma e tyre është - 2, dhe produkti i tyre është 5, kështu që vlen teorema e Vietës.

Koncepti i një numri kompleks

Një numër kompleks është një shprehje e formës a + ib, ku a dhe b janë çdo numra realë, i është një numër i veçantë i quajtur njësi imagjinare. Për shprehje të tilla, prezantohen konceptet e barazisë dhe veprimet e mbledhjes dhe shumëzimit si më poshtë:

1. Dy numra kompleks a + ib dhe c + id thuhet se janë të barabartë nëse dhe vetëm nëse
   a = b dhe c = d.
2. Shuma e dy numrave kompleks a + ib dhe c + id është një numër kompleks
   a + c + i (b + d).
3. Prodhimi i dy numrave kompleks a + ib dhe c + id është një numër kompleks
   ac – bd + i (ad + bc).

Numrat kompleksë shpesh shënohen me një shkronjë të vetme, për shembull z = a + ib. Numri real a quhet pjesa reale e numrit kompleks z, pjesë reale shënohet me a = Re z. Numri real b quhet pjesa imagjinare e numrit kompleks z, pjesa imagjinare shënohet b = Im z. Këta emra u zgjodhën për sa vijon veti të veçanta numra komplekse.

Vini re se veprimet aritmetike mbi numrat kompleks të formës z = a + i · 0 kryhen saktësisht në të njëjtën mënyrë si në numrat realë. Vërtet,

Rrjedhimisht, numrat kompleksë të formës a + i · 0 identifikohen natyrshëm me numra realë. Për shkak të kësaj, numrat kompleksë të këtij lloji quhen thjesht real. Pra, bashkësia e numrave realë përmbahet në bashkësinë e numrave kompleksë. Bashkësia e numrave kompleksë shënohet me . Ne e kemi vërtetuar atë, domethënë

Ndryshe nga numrat realë, numrat e formës 0 + ib quhen thjesht imagjinarë. Shpesh ata thjesht shkruajnë bi, për shembull, 0 + i 3 = 3 i. Në mënyrë të pastër numër imagjinar i1 = 1 i = kam pronë e mahnitshme:
Kështu,

№ 4 .1. Në matematikë funksioni numerikështë një funksion, domenet e përkufizimit dhe vlerave të të cilit janë nënbashkësi grupe numrash- si rregull, grupe numrash realë ose grupe numrash kompleksë.

Grafiku i një funksioni

Fragmenti i një grafiku funksioni

Metodat për përcaktimin e një funksioni

[redakto] Metoda analitike

Në mënyrë tipike, një funksion specifikohet duke përdorur një formulë që përfshin variabla, operacione dhe funksionet elementare. Ndoshta një detyrë pjesë-pjesë, domethënë e ndryshme për kuptime të ndryshme argument.

[redakto] Metoda tabelare

Një funksion mund të specifikohet duke renditur të gjitha funksionet e tij argumentet e mundshme dhe kuptimet për ta. Pas kësaj, nëse është e nevojshme, funksioni mund të përcaktohet më tej për argumentet që nuk janë në tabelë, me interpolim ose ekstrapolim. Shembujt përfshijnë një udhëzues programi, një orar treni ose një tabelë të vlerave të funksionit Boolean:

[redakto] Metoda grafike

Një oshilogram përcakton vlerën e një funksioni të caktuar grafikisht.

Një funksion mund të specifikohet grafikisht duke shfaqur një grup pikash në grafikun e tij në një plan. Kjo mund të jetë një skicë e përafërt e asaj se si duhet të duket funksioni, ose lexime të marra nga një pajisje si një oshiloskop. Kjo metodë e specifikimit mund të vuajë nga mungesa e saktësisë, por në disa raste metoda të tjera specifikimi nuk mund të zbatohen fare. Përveç kësaj, kjo metodë e specifikimit të një prej analizave heuristike më përfaqësuese, të lehtë për t'u kuptuar dhe me cilësi të lartë të funksionit.

[redakto] Mënyrë rekursive

Një funksion mund të specifikohet në mënyrë rekursive, domethënë përmes vetvetes. Në këtë rast, disa vlera të funksionit përcaktohen përmes vlerave të tjera të tij.

• faktorial;
• numrat e Fibonaçit;
• Funksioni i Ackermann.

[redakto] Metoda verbale

Një funksion mund të përshkruhet me fjalë të gjuhës natyrore në një mënyrë të paqartë, për shembull duke përshkruar vlerat e tij hyrëse dhe dalëse, ose algoritmi me të cilin funksioni përcakton korrespondencën midis këtyre vlerave. Së bashku me grafikisht, ndonjëherë është mënyra e vetme megjithatë përshkruaj funksionin gjuhët natyrore dhe nuk janë aq deterministe sa ato formale.

• një funksion që kthen një shifër në pi me numrin e saj;
• funksioni që kthen numrin e atomeve në univers në moment të caktuar koha;
• një funksion që merr një person si argument dhe kthen numrin e njerëzve që do të lindin pasi të lindë ai person

Kjo temë mund të duket e vështirë në fillim për shkak të shumë jo aq formula të thjeshta. Jo vetëm që vetë ekuacionet kuadratike kanë shënime të gjata, por rrënjët gjenden edhe përmes diskriminuesit. Në total, fitohen tre formula të reja. Jo shumë e lehtë për t'u mbajtur mend. Kjo funksionon vetëm pas zgjidhje e përbashkët ekuacione të tilla. Atëherë të gjitha formulat do të mbahen mend vetë.

Pamje e përgjithshme e një ekuacioni kuadratik

Këtu propozojmë regjistrimin e tyre eksplicit, kur më së shumti shkallë të lartë të shkruar së pari, dhe më pas në rend zbritës. Shpesh ka situata kur termat nuk janë në përputhje. Atëherë është më mirë të rishkruhet ekuacioni në rend zbritës të shkallës së ndryshores.

Le të prezantojmë disa shënime. Ato janë paraqitur në tabelën e mëposhtme.

Nëse i pranojmë këto shënime, të gjitha ekuacionet kuadratike reduktohen në shënimin vijues.

Për më tepër, koeficienti a ≠ 0. Le të caktohet kjo formulë numër një.

Kur jepet një ekuacion, nuk është e qartë se sa rrënjë do të ketë në përgjigje. Sepse një nga tre opsionet është gjithmonë e mundur:

• zgjidhja do të ketë dy rrënjë;
• përgjigja do të jetë një numër;
• ekuacioni nuk do të ketë fare rrënjë.

Dhe derisa vendimi të finalizohet, është e vështirë të kuptohet se cili opsion do të shfaqet në një rast të veçantë.

Llojet e regjistrimeve të ekuacioneve kuadratike

Problemet mund t'i përmbajnë ato hyrje të ndryshme. Ata nuk do të duken gjithmonë formulë e përgjithshme ekuacioni kuadratik. Ndonjëherë do t'i mungojnë disa terma. Ajo që u shkrua më lart është ekuacioni i plotë. Nëse hiqni termin e dytë ose të tretë në të, ju merrni diçka tjetër. Këto regjistrime quhen gjithashtu ekuacione kuadratike, vetëm të paplota.

Për më tepër, vetëm termat me koeficientët "b" dhe "c" mund të zhduken. Numri "a" nuk mund të jetë i barabartë me zero në asnjë rrethanë. Sepse në këtë rast formula bëhet ekuacioni linear. Formulat për formën jo të plotë të ekuacioneve do të jenë si më poshtë:

Pra, ka vetëm dy lloje, përveç atyre të plota, ka edhe ekuacione kuadratike jo të plota. Le të jetë formula e parë numri dy, dhe e dyta - tre.

Diskriminimi dhe varësia e numrit të rrënjëve nga vlera e tij

Ju duhet ta dini këtë numër për të llogaritur rrënjët e ekuacionit. Mund të llogaritet gjithmonë, pavarësisht se cila është formula e ekuacionit kuadratik. Për të llogaritur diskriminuesin, duhet të përdorni barazinë e shkruar më poshtë, e cila do të ketë numrin katër.

Pas zëvendësimit të vlerave të koeficientit në këtë formulë, mund të merrni numra me të shenja të ndryshme. Nëse përgjigja është po, atëherë përgjigja e ekuacionit do të jetë dy rrënjë të ndryshme. Nëse numri është negativ, nuk do të ketë rrënjë të ekuacionit kuadratik. Nëse është e barabartë me zero, do të ketë vetëm një përgjigje.

Si të zgjidhim një ekuacion të plotë kuadratik?

Në fakt, shqyrtimi i kësaj çështjeje tashmë ka filluar. Sepse së pari ju duhet të gjeni një diskriminues. Pasi të përcaktohet se ka rrënjë të ekuacionit kuadratik dhe numri i tyre është i njohur, duhet të përdorni formula për variablat. Nëse ka dy rrënjë, atëherë duhet të aplikoni formulën e mëposhtme.

Meqenëse përmban një shenjë "±", do të ketë dy kuptime. Shprehja nën shenjën rrënjë katroreështë diskriminues. Prandaj, formula mund të rishkruhet ndryshe.

Formula numër pesë. Nga i njëjti procesverbal del qartë se nëse diskriminuesi e barabartë me zero, atëherë të dyja rrënjët do të marrin të njëjtat vlera.

Nëse zgjidhja e ekuacioneve kuadratike ende nuk është përpunuar, atëherë është më mirë të shkruani vlerat e të gjithë koeficientëve përpara se të aplikoni formulat diskriminuese dhe të ndryshueshme. Më vonë ky moment nuk do të shkaktojë vështirësi. Por në fillim ka një konfuzion.

Si të zgjidhim një ekuacion kuadratik jo të plotë?

Gjithçka është shumë më e thjeshtë këtu. Nuk ka nevojë për formula shtesë. Dhe ato që tashmë janë shkruar për diskriminuesin dhe të panjohurin nuk do të nevojiten.

Le të shqyrtojmë së pari ekuacion jo të plotë në numrin dy. Në këtë barazi, është e nevojshme të nxirret sasia e panjohur nga kllapa dhe të zgjidhet ekuacioni linear, i cili do të mbetet në kllapa. Përgjigja do të ketë dy rrënjë. E para është domosdoshmërisht e barabartë me zero, sepse ekziston një shumëzues që përbëhet nga vetë ndryshorja. E dyta do të merret duke zgjidhur një ekuacion linear.

Ekuacioni jo i plotë numër tre zgjidhet duke lëvizur numrin nga ana e majtë e barazimit në të djathtë. Pastaj ju duhet të pjesëtoni me koeficientin përballë të panjohurës. Mbetet vetëm të nxirrni rrënjën katrore dhe mos harroni ta shkruani dy herë me shenja të kundërta.

Më poshtë janë disa veprime që do t'ju ndihmojnë të mësoni se si të zgjidhni të gjitha llojet e barazive që kthehen në ekuacione kuadratike. Ato do ta ndihmojnë nxënësin të shmangë gabimet për shkak të pavëmendjes. Këto mangësi janë arsyeja nota të këqija gjatë studimit të temës së gjerë “Ekuacionet kuadratike (klasa e 8-të)”. Më pas, këto veprime nuk do të kenë nevojë të kryhen vazhdimisht. Sepse do të shfaqet një aftësi e qëndrueshme.

• Së pari ju duhet të shkruani ekuacionin në formë standarde. Domethënë, së pari termi me më shumë në një masë të madhe variabël, dhe më pas - pa diplomë dhe së fundi - vetëm një numër.

• Nëse një minus shfaqet përpara koeficientit "a", mund të komplikojë punën për një fillestar që studion ekuacionet kuadratike. Është më mirë ta heqësh qafe. Për këtë qëllim, e gjithë barazia duhet të shumëzohet me "-1". Kjo do të thotë që të gjithë termat do të ndryshojnë shenjën në të kundërtën.

• Rekomandohet të hiqni qafe fraksionet në të njëjtën mënyrë. Thjesht shumëzojeni ekuacionin me faktorin e duhur në mënyrë që emëruesit të anulohen.

Shembuj

Kërkohet të zgjidhen ekuacionet e mëposhtme kuadratike:

x 2 − 7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2).

Ekuacioni i parë: x 2 − 7x = 0. Është i paplotë, prandaj zgjidhet siç përshkruhet për formulën numër dy.

Pasi e keni nxjerrë nga kllapat, rezulton: x (x - 7) = 0.

Rrënja e parë merr vlerën: x 1 = 0. E dyta do të gjendet nga ekuacioni linear: x - 7 = 0. Është e lehtë të shihet se x 2 = 7.

Ekuacioni i dytë: 5x 2 + 30 = 0. Përsëri i paplotë. Vetëm ajo zgjidhet siç përshkruhet për formulën e tretë.

Pas transferimit të 30 në anën e djathtë barazi: 5x 2 = 30. Tani ju duhet të pjesëtoni me 5. Rezulton: x 2 = 6. Përgjigjet do të jenë numrat: x 1 = √6, x 2 = - √6.

Ekuacioni i tretë: 15 − 2x − x 2 = 0. Këtu e më tej, zgjidhja e ekuacioneve kuadratike do të fillojë duke i rishkruar ato në formë standarde: − x 2 − 2x + 15 = 0. Tani është koha për të përdorur të dytën këshilla të dobishme dhe shumëzoni gjithçka me minus një. Rezulton x 2 + 2x - 15 = 0. Duke përdorur formulën e katërt, duhet të llogaritni diskriminuesin: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Është një numër pozitiv. Nga sa u tha më sipër, rezulton se ekuacioni ka dy rrënjë. Ato duhet të llogariten duke përdorur formulën e pestë. Rezulton se x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Pastaj x 1 = 3, x 2 = - 5.

Ekuacioni i katërt x 2 + 8 + 3x = 0 shndërrohet në këtë: x 2 + 3x + 8 = 0. Diskriminuesi i tij është i barabartë me këtë vlerë: -23. Meqenëse ky numër është negativ, përgjigja për këtë detyrë do të jetë hyrja e mëposhtme: "Nuk ka rrënjë".

Ekuacioni i pestë 12x + x 2 + 36 = 0 duhet të rishkruhet si më poshtë: x 2 + 12x + 36 = 0. Pas aplikimit të formulës për diskriminuesin, fitohet numri zero. Kjo do të thotë se do të ketë një rrënjë, përkatësisht: x = -12/ (2 * 1) = -6.

Ekuacioni i gjashtë (x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2) kërkon transformime, të cilat konsistojnë në sjelljen terma të ngjashëm, përpara hapjes së kllapave. Në vend të së parës do të jetë shprehja e mëposhtme: x 2 + 2x + 1. Pas barazisë, do të shfaqet kjo hyrje: x 2 + 3x + 2. Pasi të numërohen termat e ngjashëm, ekuacioni do të marrë formën: x 2 - x = 0. Është bërë jo i plotë. Diçka e ngjashme me këtë tashmë është diskutuar pak më lart. Rrënjët e kësaj do të jenë numrat 0 dhe 1.

Ekuacioni kuadratik - i lehtë për t'u zgjidhur! *Këtej e tutje referuar si “KU”. Miq, duket se nuk mund të ketë asgjë më të thjeshtë në matematikë sesa zgjidhja e një ekuacioni të tillë. Por diçka më tha se shumë njerëz kanë probleme me të. Vendosa të shikoj sa përshtypje sipas kërkesës jep Yandex në muaj. Ja çfarë ndodhi, shikoni:

Çfarë do të thotë? Kjo do të thotë se rreth 70,000 njerëz në muaj janë në kërkim ky informacion, çfarë lidhje ka kjo verë dhe çfarë do të ndodhë mes tyre viti akademik— do të ketë dy herë më shumë kërkesa. Kjo nuk është për t'u habitur, sepse ata djem dhe vajza që kanë mbaruar shkollën shumë kohë më parë dhe po përgatiten për Provimin e Unifikuar të Shtetit, po kërkojnë këtë informacion, dhe nxënësit e shkollës gjithashtu përpiqen të freskojnë kujtesën e tyre.

Pavarësisht se ka shumë faqe që ju tregojnë se si ta zgjidhni këtë ekuacion, vendosa gjithashtu të kontribuoj dhe të publikoj materialin. Së pari, unë do të doja që vizitorët të vijnë në faqen time bazuar në këtë kërkesë; së dyti, në artikuj të tjerë, kur të vijë tema e "KU", do të jap një lidhje me këtë artikull; së treti, unë do t'ju tregoj pak më shumë për zgjidhjen e tij sesa thuhet zakonisht në faqet e tjera. Le të fillojmë! Përmbajtja e artikullit:

Një ekuacion kuadratik është një ekuacion i formës:

ku koeficientët a,bdhe me numra arbitrar, ku a≠0.

NË kursi shkollorështë dhënë materiali formën e mëposhtme- ekuacionet ndahen në tri klasa:

1. Kanë dy rrënjë.

2. *Kanë vetëm një rrënjë.

3. Nuk kanë rrënjë. Vlen veçanërisht të theksohet këtu se ato nuk kanë rrënjë të vërteta

Si llogariten rrënjët? Vetëm!

Ne llogarisim diskriminuesin. Nën këtë fjalë "të tmerrshme" qëndron një formulë shumë e thjeshtë:

Formulat e rrënjës janë si më poshtë:

*Këto formula duhet t'i dini përmendësh.

Ju menjëherë mund të shkruani dhe zgjidhni:

Shembull:

1. Nëse D > 0, atëherë ekuacioni ka dy rrënjë.

2. Nëse D = 0, atëherë ekuacioni ka një rrënjë.

3. Nëse D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Le të shohim ekuacionin:

Në këtë drejtim, kur diskriminuesi është i barabartë me zero, kursi shkollor thotë se fitohet një rrënjë, këtu është e barabartë me nëntë. Gjithçka është e saktë, është kështu, por ...

Kjo ide është disi e pasaktë. Në fakt, ka dy rrënjë. Po, po, mos u çuditni, rezulton dy rrënjë të barabarta, dhe për të qenë matematikisht i saktë, përgjigja duhet të përmbajë dy rrënjë:

x 1 = 3 x 2 = 3

Por kjo është kështu - një digresion i vogël. Në shkollë mund ta shkruani dhe të thoni se ka një rrënjë.

Tani shembulli tjetër:

Siç e dimë, rrënja e numër negativ nuk nxirret, ndaj nuk ka zgjidhje në këtë rast.

Ky është i gjithë procesi i vendimmarrjes.

Funksioni kuadratik.

Kjo tregon se si duket zgjidhja gjeometrikisht. Kjo është jashtëzakonisht e rëndësishme për t'u kuptuar (në të ardhmen, në një nga artikujt do të analizojmë në detaje zgjidhjen e pabarazisë kuadratike).

Ky është një funksion i formës:

ku x dhe y janë variabla

a, b, c - numrat e dhënë, ku a ≠ 0

Grafiku është një parabolë:

Domethënë, rezulton se duke zgjidhur një ekuacion kuadratik me “y” të barabartë me zero, gjejmë pikat e prerjes së parabolës me boshtin x. Mund të ketë dy nga këto pika (diskriminuesi është pozitiv), një (diskriminuesi është zero) dhe asnjë (diskriminuesi është negativ). Detaje rreth funksion kuadratik ju mund të shikoni artikull nga Inna Feldman.

Le të shohim shembuj:

Shembulli 1: Zgjidh 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Përgjigje: x 1 = 8 x 2 = –12

*Ishte e mundur që menjëherë të ndahej anët e majta dhe të djathta të ekuacionit me 2, domethënë ta thjeshtonin atë. Llogaritjet do të jenë më të lehta.

Shembulli 2: Vendosni x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Ne zbuluam se x 1 = 11 dhe x 2 = 11

Lejohet të shkruhet x = 11 në përgjigje.

Përgjigje: x = 11

Shembulli 3: Vendosni x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Diskriminuesi është negativ, nuk ka zgjidhje në numra realë.

Përgjigje: nuk ka zgjidhje

Diskriminuesi është negativ. Ka zgjidhje!

Këtu do të flasim për zgjidhjen e ekuacionit në rastin kur fitohet një diskriminues negativ. A dini ndonjë gjë për numrat kompleks? Nuk do të hyj në detaje këtu se pse dhe ku u ngritën dhe cili është roli dhe nevoja e tyre specifike në matematikë, kjo është një temë për një artikull të madh të veçantë.

Koncepti i një numri kompleks.

Pak teori.

Një numër kompleks z është një numër i formës

z = a + bi

ku a dhe b janë numra realë, i është e ashtuquajtura njësi imagjinare.

a+bi - ky është një numër i vetëm, jo ​​një shtesë.

Njësia imagjinare është e barabartë me rrënjën e minus një:

Tani merrni parasysh ekuacionin:

Marrim dy rrënjë të konjuguara.

Ekuacion kuadratik jo i plotë.

Le të shqyrtojmë raste të veçanta, kjo është kur koeficienti "b" ose "c" është i barabartë me zero (ose të dy janë të barabartë me zero). Ato mund të zgjidhen lehtësisht pa ndonjë çështje diskriminuese.

Rasti 1. Koeficienti b = 0.

Ekuacioni bëhet:

Le të konvertojmë:

Shembull:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Rasti 2. Koeficienti c = 0.

Ekuacioni bëhet:

Le të transformojmë dhe faktorizojmë:

*Produkti është i barabartë me zero kur të paktën një nga faktorët është i barabartë me zero.

Shembull:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 ose x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Rasti 3. Koeficientët b = 0 dhe c = 0.

Këtu është e qartë se zgjidhja e ekuacionit do të jetë gjithmonë x = 0.

Vetitë e dobishme dhe modelet e koeficientëve.

Ka veti që ju lejojnë të zgjidhni ekuacione me koeficientë të mëdhenj.

Ax 2 + bx+ c=0 barazia vlen

a + b+ c = 0, Se

- nëse për koeficientët e ekuacionit Ax 2 + bx+ c=0 barazia vlen

a+ c =b, Se

Këto veti ndihmojnë për të vendosur një lloj të caktuar ekuacionet

Shembulli 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Shuma e gjasave është 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, që do të thotë

Shembulli 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Barazia qëndron a+ c =b, Mjetet

Rregullsitë e koeficientëve.

1. Nëse në ekuacionin ax 2 + bx + c = 0 koeficienti "b" është i barabartë me (a 2 +1), dhe koeficienti "c" është numerikisht. e barabartë me koeficientin"a", atëherë rrënjët e saj janë të barabarta

sëpatë 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Shembull. Merrni parasysh ekuacionin 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Nëse në ekuacionin ax 2 – bx + c = 0 koeficienti “b” është i barabartë me (a 2 +1), dhe koeficienti “c” numerikisht është i barabartë me koeficientin “a”, atëherë rrënjët e tij janë të barabarta.

sëpatë 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

Shembull. Merrni parasysh ekuacionin 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Nëse në barazimin. ax 2 + bx – c = 0 koeficienti “b” është e barabartë me (a 2 – 1), dhe koeficienti “c” është numerikisht i barabartë me koeficientin "a", atëherë rrënjët e tij janë të barabarta

sëpatë 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

Shembull. Merrni parasysh ekuacionin 17x 2 +288x – 17 = 0.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Nëse në ekuacionin ax 2 – bx – c = 0 koeficienti “b” është i barabartë me (a 2 – 1), dhe koeficienti c është numerikisht i barabartë me koeficientin “a”, atëherë rrënjët e tij janë të barabarta.

sëpatë 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

Shembull. Merrni parasysh ekuacionin 10x 2 – 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

Teorema e Vietës.

Teorema e Vieta është emëruar pas të famshmit Matematikan francez Francois Vieta. Duke përdorur teoremën e Vietës, ne mund të shprehim shumën dhe produktin e rrënjëve të një KU arbitrare në termat e koeficientëve të saj.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Në total, numri 14 jep vetëm 5 dhe 9. Këto janë rrënjë. Me një aftësi të caktuar, duke përdorur teoremën e paraqitur, mund të zgjidhni menjëherë shumë ekuacione kuadratike gojarisht.

Teorema e Vieta-s, përveç kësaj. është i përshtatshëm në atë që pas zgjidhjes së një ekuacioni kuadratik në mënyrën e zakonshme (përmes një diskriminuesi), rrënjët që rezultojnë mund të kontrollohen. Unë rekomandoj ta bëni këtë gjithmonë.

MËNYRA E TRANSPORTIT

Me këtë metodë, koeficienti "a" shumëzohet me termin e lirë, sikur "i hidhet" atij, prandaj quhet Metoda e "transferimit". Kjo metodë përdoret kur mund të gjeni lehtësisht rrënjët e ekuacionit duke përdorur teoremën e Vieta-s dhe, më e rëndësishmja, kur diskriminuesi është një katror i saktë.

Nëse A± b+c≠ 0, atëherë përdoret teknika e transferimit, për shembull:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Duke përdorur teoremën e Vieta-s në ekuacionin (2), është e lehtë të përcaktohet se x 1 = 10 x 2 = 1

Rrënjët rezultuese të ekuacionit duhet të ndahen me 2 (pasi të dy u "hedhën" nga x 2), marrim

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Cili është arsyetimi? Shikoni çfarë po ndodh.

Diskriminuesit e ekuacioneve (1) dhe (2) janë të barabartë:

Nëse shikoni rrënjët e ekuacioneve, vetëm merrni emërues të ndryshëm, dhe rezultati varet pikërisht nga koeficienti x 2:

E dyta (e modifikuar) ka rrënjë që janë 2 herë më të mëdha.

Prandaj, rezultatin e ndajmë me 2.

*Nëse rrotullojmë tre, rezultatin do ta ndajmë me 3, etj.

Përgjigje: x 1 = 5 x 2 = 0,5

Sq. ur-ie dhe Provimi i Unifikuar i Shtetit.

Do t'ju tregoj shkurtimisht për rëndësinë e tij - DUHET TË JENI TË GJITHË TË VENDOSNI shpejt dhe pa u menduar, duhet të dini përmendësh formulat e rrënjëve dhe diskriminuesve. Shumë nga problemet e përfshira në detyrat e Provimit të Unifikuar të Shtetit zbresin në zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik (përfshirë edhe ato gjeometrike).

Diçka që vlen të përmendet!

1. Forma e shkrimit të një ekuacioni mund të jetë “i nënkuptuar”. Për shembull, hyrja e mëposhtme është e mundur:

15+ 9x 2 - 45x = 0 ose 15x+42+9x 2 - 45x=0 ose 15 -5x+10x 2 = 0.

Ju duhet ta sillni atë pamje standarde(që të mos ngatërrohemi kur të vendosim).

2. Mos harroni se x është një madhësi e panjohur dhe mund të shënohet me ndonjë shkronjë tjetër - t, q, p, h dhe të tjera.

Ekuacionet kuadratike studiohen në klasën e 8-të, kështu që nuk ka asgjë të komplikuar këtu. Aftësia për t'i zgjidhur ato është absolutisht e nevojshme.

Një ekuacion kuadratik është një ekuacion i formës ax 2 + bx + c = 0, ku koeficientët a, b dhe c janë numra arbitrarë dhe a ≠ 0.

Para se të studioni metoda specifike zgjidhjet, vini re se të gjitha ekuacionet kuadratike mund të ndahen në tre klasa:

1. nuk kanë rrënjë;
2. Të ketë saktësisht një rrënjë;
3. Ata kanë dy rrënjë të ndryshme.

Kjo është dallim i rëndësishëm ekuacionet kuadratike nga ato lineare, ku rrënja ekziston gjithmonë dhe është unike. Si të përcaktohet se sa rrënjë ka një ekuacion? Për këtë ka gjë e mrekullueshme — diskriminuese.

Diskriminues

Le të jepet ekuacioni kuadratik ax 2 + bx + c = 0 Atëherë diskriminuesi është thjesht numri D = b 2 − 4ac.

Ju duhet ta dini këtë formulë përmendësh. Nga vjen nuk ka rëndësi tani. Një gjë tjetër është e rëndësishme: me shenjën e diskriminuesit mund të përcaktoni se sa rrënjë ka një ekuacion kuadratik. Gjegjësisht:

1. Nëse D< 0, корней нет;
2. Nëse D = 0, ka saktësisht një rrënjë;
3. Nëse D > 0, do të ketë dy rrënjë.

Ju lutemi vini re: diskriminuesi tregon numrin e rrënjëve, dhe aspak shenjat e tyre, siç besojnë për disa arsye shumë njerëz. Hidhini një sy shembujve dhe do të kuptoni gjithçka vetë:

Detyrë. Sa rrënjë kanë ekuacionet kuadratike:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Le të shkruajmë koeficientët për ekuacionin e parë dhe të gjejmë diskriminuesin:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Pra, diskriminuesi është pozitiv, pra ekuacioni ka dy rrënjë të ndryshme. Ne analizojmë ekuacionin e dytë në mënyrë të ngjashme:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Diskriminuesi është negativ, nuk ka rrënjë. Ekuacioni i fundit i mbetur është:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminuesi është zero - rrënja do të jetë një.

Ju lutemi vini re se koeficientët janë shkruar për secilin ekuacion. Po, është e gjatë, po, është e lodhshme, por nuk do të ngatërroni shanset dhe nuk do të bëni gabime të trashë. Zgjidhni vetë: shpejtësinë ose cilësinë.

Nga rruga, nëse e kuptoni, pas një kohe nuk do të keni nevojë të shkruani të gjithë koeficientët. Ju do të kryeni operacione të tilla në kokën tuaj. Shumica e njerëzve fillojnë ta bëjnë këtë diku pas 50-70 ekuacioneve të zgjidhura - në përgjithësi, jo aq shumë.

Rrënjët e një ekuacioni kuadratik

Tani le të kalojmë në vetë zgjidhjen. Nëse diskriminuesi D > 0, rrënjët mund të gjenden duke përdorur formulat:

Formula bazë për rrënjët e një ekuacioni kuadratik

Kur D = 0, mund të përdorni ndonjë nga këto formula - do të merrni të njëjtin numër, i cili do të jetë përgjigja. Së fundi, nëse D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Ekuacioni i parë:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ ekuacioni ka dy rrënjë. Le t'i gjejmë ato:

Ekuacioni i dytë:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ ekuacioni ka përsëri dy rrënjë. Le t'i gjejmë ato

\[\fillo(rreshtoj) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \majtas(-1 \djathtas))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \majtas(-1 \djathtas))=3. \\ \fund (radhis)\]

Së fundi, ekuacioni i tretë:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ ekuacioni ka një rrënjë. Mund të përdoret çdo formulë. Për shembull, i pari:

Siç mund ta shihni nga shembujt, gjithçka është shumë e thjeshtë. Nëse i dini formulat dhe mund të numëroni, nuk do të ketë probleme. Më shpesh, gabimet ndodhin kur zëvendësohen koeficientët negativë në formulë. Këtu përsëri, teknika e përshkruar më sipër do të ndihmojë: shikoni formulën fjalë për fjalë, shkruani çdo hap - dhe shumë shpejt do të shpëtoni nga gabimet.

Ekuacionet kuadratike jo të plota

Ndodh që një ekuacion kuadratik është paksa i ndryshëm nga ai që jepet në përkufizim. Për shembull:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Është e lehtë të vërehet se këtyre ekuacioneve u mungon një nga termat. Ekuacione të tilla kuadratike janë edhe më të lehta për t'u zgjidhur se ato standarde: ato as nuk kërkojnë llogaritjen e diskriminuesit. Pra, le të prezantojmë një koncept të ri:

Ekuacioni ax 2 + bx + c = 0 quhet ekuacion kuadratik jo i plotë nëse b = 0 ose c = 0, d.m.th. koeficienti i ndryshores x ose i elementit të lirë është i barabartë me zero.

Sigurisht, një rast shumë i vështirë është i mundur kur të dy këta koeficientë janë të barabartë me zero: b = c = 0. Në këtë rast, ekuacioni merr formën ax 2 = 0. Natyrisht, një ekuacion i tillë ka një rrënjë të vetme: x = 0.

Le të shqyrtojmë rastet e mbetura. Le të b = 0, atëherë marrim një ekuacion kuadratik jo të plotë të formës ax 2 + c = 0. Le ta transformojmë pak:

Meqenëse rrënja katrore aritmetike ekziston vetëm nga numër jo negativ, barazia e fundit ka kuptim vetëm për (−c /a) ≥ 0. Përfundim:

1. Nëse në një ekuacion kuadratik jo të plotë të formës ax 2 + c = 0 plotësohet pabarazia (−c /a) ≥ 0, do të ketë dy rrënjë. Formula është dhënë më sipër;
2. Nëse (−c /a)< 0, корней нет.

Siç mund ta shihni, diskriminuesi nuk kërkohej - në ekuacionet kuadratike jo të plota nuk ka llogaritjet komplekse. Në fakt, as nuk është e nevojshme të mbani mend pabarazinë (−c /a) ≥ 0. Mjafton të shprehni vlerën x 2 dhe të shihni se çfarë është në anën tjetër të shenjës së barazimit. Nëse ka një numër pozitiv, do të ketë dy rrënjë. Nëse është negative, nuk do të ketë rrënjë fare.

Tani le të shohim ekuacionet e formës ax 2 + bx = 0, në të cilat elementi i lirë është i barabartë me zero. Gjithçka është e thjeshtë këtu: gjithmonë do të ketë dy rrënjë. Mjafton të faktorizohet polinomi:

Nxjerrja e faktorit të përbashkët jashtë kllapave

Produkti është zero kur të paktën një nga faktorët është zero. Nga këtu vijnë rrënjët. Si përfundim, le të shohim disa nga këto ekuacione:

Detyrë. Zgjidh ekuacionet kuadratike:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Nuk ka rrënjë, sepse një katror nuk mund të jetë i barabartë me një numër negativ.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

Ne vazhdojmë të studiojmë temën " zgjidhjen e ekuacioneve" Tashmë jemi njohur me ekuacionet lineare dhe po kalojmë në njohjen ekuacionet kuadratike.

Së pari do të shikojmë se çfarë është një ekuacion kuadratik dhe si shkruhet ai pamje e përgjithshme, dhe ne do të japim përkufizime të lidhura. Pas kësaj, ne do të përdorim shembuj për të shqyrtuar në detaje se si zgjidhen ekuacionet kuadratike jo të plota. Le të kalojmë tek zgjidhja ekuacione të plota, marrim formulën rrënjësore, njihemi me diskriminuesin e ekuacionit kuadratik dhe shqyrtojmë zgjidhjet. shembuj tipikë. Së fundi, le të gjurmojmë lidhjet midis rrënjëve dhe koeficientëve.

Navigimi i faqes.

Çfarë është një ekuacion kuadratik? Llojet e tyre

Së pari ju duhet të kuptoni qartë se çfarë është një ekuacion kuadratik. Prandaj, është logjike të filloni një bisedë për ekuacionet kuadratike me përkufizimin e një ekuacioni kuadratik, si dhe përkufizimet përkatëse. Pas kësaj, ju mund të konsideroni llojet kryesore të ekuacioneve kuadratike: të reduktuara dhe të pareduktuara, si dhe ekuacione të plota dhe jo të plota.

Përkufizimi dhe shembuj të ekuacioneve kuadratike

Përkufizimi.

Ekuacioni kuadratikështë një ekuacion i formës a x 2 +b x+c=0, ku x është një ndryshore, a, b dhe c janë disa numra dhe a është jo zero.

Le të themi menjëherë se ekuacionet kuadratike shpesh quhen ekuacione të shkallës së dytë. Kjo për faktin se ekuacioni kuadratik është ekuacioni algjebrik shkallë e dytë.

Përkufizimi i deklaruar na lejon të japim shembuj të ekuacioneve kuadratike. Pra 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0, etj. Këto janë ekuacione kuadratike.

Përkufizimi.

Numrat a, b dhe c quhen koeficientët e ekuacionit kuadratik a·x 2 +b·x+c=0, dhe koeficienti a quhet i pari, ose më i larti, ose koeficienti i x 2, b është koeficienti i dytë, ose koeficienti i x, dhe c është termi i lirë .

Për shembull, le të marrim një ekuacion kuadratik të formës 5 x 2 −2 x −3=0, këtu koeficienti kryesor është 5, koeficienti i dytë është i barabartë me −2 dhe termi i lirë është i barabartë me −3. Vini re se kur koeficientët b dhe/ose c janë negativ, si në shembullin e sapo dhënë, atëherë formë e shkurtër duke shkruar një ekuacion kuadratik të formës 5 x 2 −2 x−3=0, dhe jo 5 x 2 +(−2) x+(−3)=0.

Vlen të përmendet se kur koeficientët a dhe/ose b janë të barabartë me 1 ose −1, ata zakonisht nuk janë të pranishëm në mënyrë eksplicite në ekuacionin kuadratik, gjë që është për shkak të veçorive të shkrimit të tillë. Për shembull, në ekuacionin kuadratik y 2 −y+3=0 koeficienti kryesor është një, dhe koeficienti i y është i barabartë me −1.

Ekuacionet kuadratike të reduktuara dhe të pareduktuara

Në varësi të vlerës së koeficientit prijës, dallohen ekuacionet kuadratike të reduktuara dhe të pareduktuara. Le të japim përkufizimet përkatëse.

Përkufizimi.

Quhet një ekuacion kuadratik në të cilin koeficienti kryesor është 1 dhënë ekuacionin kuadratik. NË ndryshe ekuacioni kuadratik është i paprekur.

Sipas këtë përkufizim, ekuacionet kuadratike x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0 etj. – jepet, në secilën prej tyre koeficienti i parë e barabartë me një. A 5 x 2 −x−1=0, etj. - ekuacionet kuadratike të pareduktuara, koeficientët kryesorë të tyre janë të ndryshëm nga 1.

Nga çdo ekuacion kuadratik i pareduktuar, duke pjesëtuar të dyja anët me koeficientin kryesor, mund të shkoni te ai i reduktuar. Ky veprim është një transformim ekuivalent, domethënë, ekuacioni kuadratik i reduktuar i marrë në këtë mënyrë ka të njëjtat rrënjë me ekuacionin kuadratik të pareduktuar origjinal, ose, si ai, nuk ka rrënjë.

Le të shohim një shembull se si kryhet kalimi nga një ekuacion kuadratik i pareduktuar në një të reduktuar.

Shembull.

Nga ekuacioni 3 x 2 +12 x−7=0, kalohet në ekuacionin përkatës të reduktuar kuadratik.

Zgjidhje.

Thjesht duhet të ndajmë të dyja pjesët ekuacioni origjinal nga faktori kryesor 3, është jo zero, kështu që ne mund ta kryejmë këtë veprim. Kemi (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, që është e njëjtë, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, dhe pastaj (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, nga ku . Kështu kemi marrë ekuacionin kuadratik të reduktuar, i cili është i barabartë me atë origjinal.

Përgjigje:

Ekuacionet kuadratike të plota dhe jo të plota

Përkufizimi i një ekuacioni kuadratik përmban kushtin a≠0. Ky kusht është i nevojshëm në mënyrë që ekuacioni a x 2 + b x + c = 0 të jetë kuadratik, pasi kur a = 0 bëhet në të vërtetë një ekuacion linear i formës b x + c = 0.

Për sa u përket koeficientëve b dhe c, ata mund të jenë të barabartë me zero, si individualisht ashtu edhe së bashku. Në këto raste, ekuacioni kuadratik quhet jo i plotë.

Përkufizimi.

Quhet ekuacioni kuadratik a x 2 +b x+c=0 jo të plota, nëse të paktën njëri nga koeficientët b, c është i barabartë me zero.

Nga ana tjetër

Përkufizimi.

Ekuacioni i plotë kuadratikështë një ekuacion në të cilin të gjithë koeficientët janë të ndryshëm nga zero.

Emra të tillë nuk u dhanë rastësisht. Kjo do të bëhet e qartë nga diskutimet në vijim.

Nëse koeficienti b është zero, atëherë ekuacioni kuadratik merr formën a·x 2 +0·x+c=0, dhe është ekuivalent me ekuacionin a·x 2 +c=0. Nëse c=0, pra ekuacioni kuadratik ka formën a·x 2 +b·x+0=0, atëherë ai mund të rishkruhet si a·x 2 +b·x=0. Dhe me b=0 dhe c=0 marrim ekuacionin kuadratik a·x 2 =0. Ekuacionet që rezultojnë ndryshojnë nga ekuacioni i plotë kuadratik në atë që anët e tyre në të majtë nuk përmbajnë as një term me ndryshoren x, as një term të lirë, ose të dyja. Prandaj emri i tyre - ekuacione kuadratike jo të plota.

Pra, ekuacionet x 2 +x+1=0 dhe −2 x 2 −5 x+0.2=0 janë shembuj të ekuacioneve të plota kuadratike, dhe x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 janë ekuacione kuadratike jo të plota.

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike jo të plota

Nga informacioni në paragrafin e mëparshëm rezulton se ka tre lloje ekuacionesh kuadratike jo të plota:

• a·x 2 =0, me të korrespondojnë koeficientët b=0 dhe c=0;
• a x 2 +c=0 kur b=0 ;
• dhe a·x 2 +b·x=0 kur c=0.

Le të shqyrtojmë me radhë se si zgjidhen ekuacionet kuadratike jo të plota të secilit prej këtyre llojeve.

a x 2 =0

Le të fillojmë me zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike jo të plota në të cilat koeficientët b dhe c janë të barabartë me zero, pra me ekuacione të formës a x 2 =0. Ekuacioni a·x 2 =0 është ekuivalent me ekuacionin x 2 =0, i cili përftohet nga origjinali duke pjesëtuar të dyja pjesët me një numër jo zero a. Natyrisht, rrënja e ekuacionit x 2 =0 është zero, pasi 0 2 =0. Ky ekuacion nuk ka rrënjë të tjera, gjë që shpjegohet me faktin se për çdo numër jo zero p vlen inekuacioni p 2 >0, që do të thotë se për p≠0 barazia p 2 =0 nuk arrihet kurrë.

Pra, ekuacioni kuadratik jo i plotë a·x 2 =0 ka një rrënjë të vetme x=0.

Si shembull, japim zgjidhjen e ekuacionit kuadratik jo të plotë −4 x 2 =0. Është ekuivalent me ekuacionin x 2 =0, rrënja e vetme e tij është x=0, prandaj, ekuacioni origjinal ka një rrënjë të vetme zero.

Një zgjidhje e shkurtër në këtë rast mund të shkruhet si më poshtë:
−4 x 2 =0 ,
x 2 =0,
x=0.

a x 2 +c=0

Tani le të shohim se si zgjidhen ekuacionet kuadratike jo të plota në të cilat koeficienti b është zero dhe c≠0, pra ekuacione të formës a x 2 +c=0. Ne e dimë se lëvizja e një termi nga njëra anë e ekuacionit në tjetrën me shenjën e kundërt, si dhe pjesëtimi i të dy anëve të ekuacionit me një numër jozero, jep një ekuacion të barabartë. Prandaj, ne mund të kryejmë sa vijon transformimet ekuivalente ekuacioni kuadratik jo i plotë a x 2 +c=0 :

• lëvizni c në anën e djathtë, që jep ekuacionin a x 2 =−c,
• dhe ndajmë të dyja anët me a, marrim .

Ekuacioni që rezulton na lejon të nxjerrim përfundime rreth rrënjëve të tij. Në varësi të vlerave të a dhe c, vlera e shprehjes mund të jetë negative (për shembull, nëse a=1 dhe c=2, atëherë ) ose pozitive (për shembull, nëse a=−2 dhe c=6, atëherë ), nuk është zero, pasi sipas kushtit c≠0. Le t'i shohim rastet veç e veç.

Nëse , atëherë ekuacioni nuk ka rrënjë. Ky pohim rrjedh nga fakti se katrori i çdo numri është një numër jo negativ. Nga kjo rrjedh se kur , atëherë për çdo numër p barazia nuk mund të jetë e vërtetë.

Nëse , atëherë situata me rrënjët e ekuacionit është e ndryshme. Në këtë rast, nëse kujtojmë rreth , atëherë rrënja e ekuacionit bëhet menjëherë e dukshme është numri, pasi . Është e lehtë të merret me mend se numri është gjithashtu rrënja e ekuacionit, në të vërtetë, . Ky ekuacion nuk ka rrënjë të tjera, të cilat mund të tregohen, për shembull, me kontradiktë. Le ta bëjmë këtë.

Le të shënojmë rrënjët e ekuacionit të sapo shpallur si x 1 dhe −x 1 . Supozoni se ekuacioni ka një rrënjë më shumë x 2, të ndryshme nga rrënjët e treguara x 1 dhe −x 1. Dihet se zëvendësimi i rrënjëve të tij në një ekuacion në vend të x, e kthen ekuacionin në një barazi numerike të saktë. Për x 1 dhe −x 1 kemi , dhe për x 2 kemi . Vetitë e barazive numerike na lejojnë të kryejmë zbritjen term pas termi të vërtetës barazime numerike, pra duke zbritur pjesët përkatëse të barazimeve jepet x 1 2 −x 2 2 =0. Vetitë e veprimeve me numra na lejojnë të rishkruajmë barazinë që rezulton si (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Ne e dimë se prodhimi i dy numrave është i barabartë me zero nëse dhe vetëm nëse të paktën njëri prej tyre është i barabartë me zero. Prandaj, nga barazia që rezulton rrjedh se x 1 −x 2 =0 dhe/ose x 1 +x 2 =0, që është e njëjtë, x 2 =x 1 dhe/ose x 2 =−x 1. Pra, arritëm në një kontradiktë, pasi në fillim thamë se rrënja e ekuacionit x 2 është e ndryshme nga x 1 dhe −x 1. Kjo dëshmon se ekuacioni nuk ka rrënjë të tjera përveç dhe .

Le të përmbledhim informacionin në këtë paragraf. Ekuacioni jo i plotë kuadratik a x 2 +c=0 është ekuivalent me ekuacionin që

• nuk ka rrënjë nëse,
• ka dy rrënjë dhe , nëse .

Le të shqyrtojmë shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike jo të plota të formës a·x 2 +c=0.

Le të fillojmë me ekuacionin kuadratik 9 x 2 +7=0. Pas zhvendosjes së termit të lirë në anën e djathtë të ekuacionit, ai do të marrë formën 9 x 2 =−7. Duke pjesëtuar të dyja anët e ekuacionit që rezulton me 9, arrijmë në . Meqenëse ana e djathtë ka një numër negativ, ky ekuacion nuk ka rrënjë, prandaj, ekuacioni fillestar jo i plotë kuadratik 9 x 2 +7 = 0 nuk ka rrënjë.

Le të zgjidhim një tjetër ekuacion kuadratik jo të plotë −x 2 +9=0. E zhvendosim nëntën në anën e djathtë: −x 2 =−9. Tani i ndajmë të dyja anët me −1, marrim x 2 =9. Në anën e djathtë ka një numër pozitiv, nga i cili konkludojmë se ose . Pastaj shkruajmë përgjigjen përfundimtare: ekuacioni jo i plotë kuadratik −x 2 +9=0 ka dy rrënjë x=3 ose x=−3.

a x 2 +b x=0

Mbetet të merremi me zgjidhjen e llojit të fundit të ekuacioneve kuadratike jo të plota për c=0. Ekuacionet kuadratike jo të plota të formës a x 2 + b x = 0 ju lejon të zgjidhni metoda e faktorizimit. Natyrisht, ne mundemi, të vendosur në anën e majtë të ekuacionit, për të cilin mjafton ta nxjerrim atë nga kllapat shumëzues i përbashkët x. Kjo na lejon të kalojmë nga ekuacioni fillestar jo i plotë kuadratik në një ekuacion ekuivalent të formës x·(a·x+b)=0. Dhe ky ekuacion është i barabartë me një grup prej dy ekuacionesh x=0 dhe a·x+b=0, ky i fundit është linear dhe ka një rrënjë x=−b/a.

Pra, ekuacioni jo i plotë kuadratik a·x 2 +b·x=0 ka dy rrënjë x=0 dhe x=−b/a.

Për të konsoliduar materialin, ne do të analizojmë zgjidhjen për një shembull specifik.

Shembull.

Zgjidhe ekuacionin.

Zgjidhje.

Duke marrë x nga kllapat jepet ekuacioni . Është ekuivalente me dy ekuacione x=0 dhe . Ne zgjidhim ekuacionin linear që rezulton: , dhe kryejmë ndarjen numër i përzier në thyesë e zakonshme, ne gjejmë. Prandaj, rrënjët e ekuacionit origjinal janë x=0 dhe .

Pas fitimit të praktikës së nevojshme, zgjidhjet e ekuacioneve të tilla mund të shkruhen shkurtimisht:

Përgjigje:

x=0, .

Diskriminuese, formula për rrënjët e një ekuacioni kuadratik

Për të zgjidhur ekuacionet kuadratike, ekziston një formulë rrënjësore. Le ta shkruajmë formula për rrënjët e një ekuacioni kuadratik: , Ku D=b 2 −4 a c- të ashtuquajturat diskriminues i një ekuacioni kuadratik. Hyrja në thelb do të thotë se.

Është e dobishme të dihet se si është nxjerrë formula e rrënjës dhe si përdoret për gjetjen e rrënjëve të ekuacioneve kuadratike. Le ta kuptojmë këtë.

Nxjerrja e formulës për rrënjët e një ekuacioni kuadratik

Le të na duhet të zgjidhim ekuacionin kuadratik a·x 2 +b·x+c=0. Le të bëjmë disa transformime ekuivalente:

• Ne mund t'i ndajmë të dy anët e këtij ekuacioni me një numër jo zero a, duke rezultuar në ekuacionin kuadratik të mëposhtëm.
• Tani le të theksojmë katror i përsosur në anën e majtë të saj: . Pas kësaj, ekuacioni do të marrë formën.
• Në këtë fazë, është e mundur që dy termat e fundit të transferohen në anën e djathtë me shenjën e kundërt, kemi .
• Dhe le të transformojmë edhe shprehjen në anën e djathtë: .

Si rezultat, arrijmë në një ekuacion që është ekuivalent me ekuacionin kuadratik origjinal a·x 2 +b·x+c=0.

Ne kemi zgjidhur tashmë ekuacione të ngjashme në formë në paragrafët e mëparshëm, kur kemi ekzaminuar. Kjo ju lejon të bëni përfundimet e mëposhtme në lidhje me rrënjët e ekuacionit:

• nëse , atëherë ekuacioni nuk ka zgjidhje reale;
• nëse , atëherë ekuacioni ka formën , pra, , nga e cila është e dukshme rrënja e vetme e tij;
• nëse , atëherë ose , e cila është e njëjtë me ose , domethënë, ekuacioni ka dy rrënjë.

Pra, prania ose mungesa e rrënjëve të ekuacionit, dhe rrjedhimisht ekuacionit kuadratik origjinal, varet nga shenja e shprehjes në anën e djathtë. Nga ana tjetër, shenja e kësaj shprehjeje përcaktohet nga shenja e numëruesit, pasi emëruesi 4·a 2 është gjithmonë pozitiv, domethënë nga shenja e shprehjes b 2 −4·a·c. Kjo shprehje b 2 −4 a c u quajt diskriminues i një ekuacioni kuadratik dhe të përcaktuara me shkronjë D. Nga këtu thelbi i diskriminuesit është i qartë - bazuar në vlerën dhe shenjën e tij, ata përfundojnë nëse ekuacioni kuadratik ka rrënjë reale, dhe nëse po, cili është numri i tyre - një ose dy.

Le të kthehemi te ekuacioni dhe ta rishkruajmë duke përdorur shënimin diskriminues: . Dhe ne nxjerrim përfundime:

• nëse D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• nëse D=0, atëherë ky ekuacion ka një rrënjë të vetme;
• në fund, nëse D>0, atëherë ekuacioni ka dy rrënjë ose, të cilat mund të rishkruhen në formën ose, dhe pasi të zgjerohen dhe zvogëlohen thyesat në emërues i përbashkët ne marrim.

Pra kemi nxjerrë formulat për rrënjët e ekuacionit kuadratik, ato kanë formën , ku diskriminuesi D llogaritet me formulën D=b 2 −4·a·c.

Me ndihmën e tyre, me një diskriminues pozitiv, mund t'i llogaritni të dyja rrënjë të vërteta ekuacioni kuadratik. Kur diskriminuesi është i barabartë me zero, të dyja formulat japin të njëjtën vlerë të rrënjës, që korrespondon e vetmja zgjidhje ekuacioni kuadratik. Dhe me një diskriminues negativ, kur përpiqemi të përdorim formulën për rrënjët e një ekuacioni kuadratik, përballemi me nxjerrjen e rrënjës katrore të një numri negativ, i cili na nxjerr jashtë fushëveprimit dhe kurrikula shkollore. Me një diskriminues negativ, ekuacioni kuadratik nuk ka rrënjë reale, por ka një çift konjuguar kompleks rrënjët, të cilat mund të gjenden duke përdorur të njëjtat formula rrënjë që kemi marrë.

Algoritmi për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike duke përdorur formulat rrënjë

Në praktikë, kur zgjidhni ekuacionet kuadratike, mund të përdorni menjëherë formulën rrënjësore për të llogaritur vlerat e tyre. Por kjo lidhet më shumë me gjetjen e rrënjëve komplekse.

Megjithatë, në një kurs shkollor algjebër është zakonisht ne po flasim për jo për komplekse, por për rrënjët reale të një ekuacioni kuadratik. Në këtë rast, këshillohet që përpara se të përdorni formulat për rrënjët e një ekuacioni kuadratik, fillimisht të gjeni diskriminuesin, të siguroheni që ai të jetë jo negativ (përndryshe, mund të konkludojmë se ekuacioni nuk ka rrënjë reale). dhe vetëm atëherë llogaritni vlerat e rrënjëve.

Arsyetimi i mësipërm na lejon të shkruajmë algoritmi për zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik. Për të zgjidhur ekuacionin kuadratik a x 2 +b x+c=0, duhet:

• duke përdorur formulën diskriminuese D=b 2 −4·a·c, njehsoni vlerën e saj;
• konkludojmë se një ekuacion kuadratik nuk ka rrënjë reale nëse diskriminuesi është negativ;
• njehsoni rrënjën e vetme të ekuacionit duke përdorur formulën nëse D=0;
• gjeni dy rrënjë reale të një ekuacioni kuadratik duke përdorur formulën e rrënjës nëse diskriminuesi është pozitiv.

Këtu thjesht vërejmë se nëse diskriminuesi është i barabartë me zero, mund të përdorni edhe formulën ajo do të japë të njëjtën vlerë si .

Mund të kaloni në shembuj të përdorimit të algoritmit për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike.

Shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike

Le të shqyrtojmë zgjidhjet e tre ekuacioneve kuadratike me një diskriminues pozitiv, negativ dhe zero. Duke u marrë me zgjidhjen e tyre, për analogji do të jetë e mundur të zgjidhet çdo ekuacion tjetër kuadratik. Le të fillojmë.

Shembull.

Gjeni rrënjët e ekuacionit x 2 +2·x−6=0.

Zgjidhje.

Në këtë rast kemi koeficientët e mëposhtëm të ekuacionit kuadratik: a=1, b=2 dhe c=−6. Sipas algoritmit, së pari duhet të llogarisni diskriminuesin për ta bërë këtë, ne zëvendësojmë a, b dhe c të treguara në formulën diskriminuese, që kemi D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Që 28>0, pra diskriminues më i madh se zero, atëherë ekuacioni kuadratik ka dy rrënjë reale. Le t'i gjejmë ato duke përdorur formulën rrënjë, ne marrim, këtu mund të thjeshtoni shprehjet që rezultojnë duke bërë duke lëvizur shumëzuesin përtej shenjës së rrënjës e ndjekur nga zvogëlimi i fraksionit:

Përgjigje:

Le të kalojmë në shembullin tjetër tipik.

Shembull.

Zgjidheni ekuacionin kuadratik −4 x 2 +28 x−49=0 .

Zgjidhje.

Fillojmë duke gjetur diskriminuesin: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Prandaj, ky ekuacion kuadratik ka një rrënjë të vetme, të cilën e gjejmë si , domethënë,

Përgjigje:

x=3.5.

Mbetet të shqyrtojmë zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike me një diskriminues negativ.

Shembull.

Zgjidheni ekuacionin 5·y 2 +6·y+2=0.

Zgjidhje.

Këtu janë koeficientët e ekuacionit kuadratik: a=5, b=6 dhe c=2. Ne i zëvendësojmë këto vlera në formulën diskriminuese, që kemi D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Diskriminuesi është negativ, prandaj ky ekuacion kuadratik nuk ka rrënjë reale.

Nëse keni nevojë të specifikoni rrënjë komplekse, atëherë përdorni formula e njohur rrënjët e një ekuacioni kuadratik dhe kryejnë veprimet me numra kompleks:

Përgjigje:

nuk ka rrënjë të vërteta, rrënjët komplekse janë: .

Le të vërejmë edhe një herë se nëse diskriminuesi i një ekuacioni kuadratik është negativ, atëherë në shkollë ata zakonisht shkruajnë menjëherë një përgjigje në të cilën tregojnë se nuk ka rrënjë të vërteta dhe nuk gjenden rrënjë komplekse.

Formula rrënjësore për koeficientët edhe të dytë

Formula për rrënjët e një ekuacioni kuadratik, ku D=b 2 −4·a·c ju lejon të merrni një formulë të një forme më kompakte, duke ju lejuar të zgjidhni ekuacionet kuadratike me një koeficient çift për x (ose thjesht me një koeficienti i formës 2·n, për shembull, ose 14· ln5=2·7·ln5 ). Le ta nxjerrim jashtë.

Le të themi se duhet të zgjidhim një ekuacion kuadratik të formës a x 2 +2 n x+c=0. Le të gjejmë rrënjët e tij duke përdorur formulën që njohim. Për ta bërë këtë, ne llogarisim diskriminuesin D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), dhe më pas përdorim formulën rrënjësore:

Le të shënojmë shprehjen n 2 −a c si D 1 (nganjëherë shënohet D "). Atëherë formula për rrënjët e ekuacionit kuadratik në shqyrtim me koeficientin e dytë 2 n do të marrë formën , ku D 1 =n 2 −a·c.

Është e lehtë të shihet se D=4·D 1, ose D 1 =D/4. Me fjalë të tjera, D 1 është pjesa e katërt e diskriminuesit. Është e qartë se shenja e D 1 është e njëjtë me shenjën e D. Kjo do të thotë, shenja D 1 është gjithashtu një tregues i pranisë ose mungesës së rrënjëve të një ekuacioni kuadratik.

Pra, për të zgjidhur një ekuacion kuadratik me një koeficient të dytë 2·n, ju duhet

• Njehsoni D 1 =n 2 −a·c ;
• Nëse D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Nëse D 1 =0, atëherë llogaritni rrënjën e vetme të ekuacionit duke përdorur formulën;
• Nëse D 1 >0, atëherë gjeni dy rrënjë reale duke përdorur formulën.

Le të shqyrtojmë zgjidhjen e shembullit duke përdorur formulën rrënjësore të marrë në këtë paragraf.

Shembull.

Të zgjidhet ekuacioni kuadratik 5 x 2 −6 x −32=0 .

Zgjidhje.

Koeficienti i dytë i këtij ekuacioni mund të paraqitet si 2·(−3) . Kjo do të thotë, ju mund të rishkruani ekuacionin kuadratik origjinal në formën 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, këtu a=5, n=−3 dhe c=−32, dhe të llogarisni pjesën e katërt të diskriminues: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Meqenëse vlera e tij është pozitive, ekuacioni ka dy rrënjë reale. Le t'i gjejmë ato duke përdorur formulën e duhur të rrënjës:

Vini re se ishte e mundur të përdorej formula e zakonshme për rrënjët e një ekuacioni kuadratik, por në këtë rast do të duhej të kryhej më shumë punë llogaritëse.

Përgjigje:

Thjeshtimi i formës së ekuacioneve kuadratike

Ndonjëherë, përpara se të filloni të llogaritni rrënjët e një ekuacioni kuadratik duke përdorur formula, nuk është e dëmshme të bëni pyetjen: "A është e mundur të thjeshtohet forma e këtij ekuacioni?" Pajtohu se në aspektin e llogaritjeve do të jetë më e lehtë të zgjidhet ekuacioni kuadratik 11 x 2 −4 x−6=0 sesa 1100 x 2 −400 x−600=0.

Në mënyrë tipike, thjeshtimi i formës së një ekuacioni kuadratik arrihet duke shumëzuar ose pjesëtuar të dyja anët me një numër të caktuar. Për shembull, në paragrafin e mëparshëm ishte e mundur të thjeshtohej ekuacioni 1100 x 2 −400 x −600=0 duke i ndarë të dyja anët me 100.

Një transformim i ngjashëm kryhet me ekuacione kuadratike, koeficientët e të cilave nuk janë . Në këtë rast, ne zakonisht ndajmë të dyja anët e ekuacionit me vlerat absolute koeficientët e saj. Për shembull, le të marrim ekuacionin kuadratik 12 x 2 −42 x+48=0. vlerat absolute të koeficientëve të tij: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. Duke pjesëtuar të dyja anët e ekuacionit kuadratik origjinal me 6, arrijmë në ekuacionin kuadratik ekuivalent 2 x 2 −7 x+8=0.

Dhe shumëzimi i të dy anëve të një ekuacioni kuadratik zakonisht bëhet për të hequr qafe koeficientët thyesorë. Në këtë rast, shumëzimi kryhet nga emëruesit e koeficientëve të tij. Për shembull, nëse të dyja anët e ekuacionit kuadratik shumëzohen me LCM(6, 3, 1)=6, atëherë ai do të marrë formën më të thjeshtë x 2 +4·x−18=0.

Në përfundim të kësaj pike, vërejmë se ata pothuajse gjithmonë heqin qafe minusin në koeficientin më të lartë të një ekuacioni kuadratik duke ndryshuar shenjat e të gjithë termave, që korrespondon me shumëzimin (ose pjesëtimin) e të dy anëve me -1. Për shembull, zakonisht lëvizim nga ekuacioni kuadratik −2 x 2 −3 x+7=0 në zgjidhjen 2 x 2 +3 x−7=0 .

Lidhja midis rrënjëve dhe koeficientëve të një ekuacioni kuadratik

Formula për rrënjët e një ekuacioni kuadratik shpreh rrënjët e ekuacionit përmes koeficientëve të tij. Bazuar në formulën e rrënjës, mund të merrni marrëdhënie të tjera midis rrënjëve dhe koeficientëve.

Formulat më të njohura dhe më të zbatueshme nga teorema e Vietës janë të formës dhe . Në veçanti, për ekuacionin e dhënë kuadratik, shuma e rrënjëve është e barabartë me koeficientin e dytë me shenjë të kundërt, dhe prodhimi i rrënjëve është anëtar i lirë. Për shembull, nga forma e ekuacionit kuadratik 3 x 2 −7 x + 22 = 0 mund të themi menjëherë se shuma e rrënjëve të tij është e barabartë me 7/3, dhe produkti i rrënjëve është i barabartë me 22/3.

Duke përdorur formulat e shkruara tashmë, mund të merrni një sërë lidhjesh të tjera midis rrënjëve dhe koeficientëve të ekuacionit kuadratik. Për shembull, mund të shprehni shumën e katrorëve të rrënjëve të një ekuacioni kuadratik përmes koeficientëve të tij: .

Referencat.

• Algjebra: teksti shkollor për klasën e 8-të. arsimi i përgjithshëm institucionet / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; redaktuar nga S. A. Telyakovsky. - botimi i 16-të. - M.: Arsimi, 2008. - 271 f. : i sëmurë. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algjebër. klasën e 8-të. Në orën 14:00 Pjesa 1. Libër mësuesi për nxënësit institucionet arsimore/ A. G. Mordkovich. - Botimi i 11-të, i fshirë. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 f.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve