Si të konvertohet në shembuj polinom. Pse shuma e rrënjëve është zero?

Një polinom është shuma e monomëve. Nëse i shkruajmë të gjitha termat e polinomit në formë standarde (shih paragrafin 51) dhe kryejmë reduktimin e termave të ngjashëm, marrim një polinom pamje standarde.

Çdo shprehje numër i plotë mund të shndërrohet në një polinom të formës standarde - ky është qëllimi i transformimeve (thjeshtimeve) të shprehjeve me numra të plotë.

Le të shohim shembuj në të cilët një shprehje e tërë duhet të reduktohet në formën standarde të një polinomi.

Zgjidhje. Së pari, le t'i sjellim termat e polinomit në formën standarde. Marrim Pasi sjellim terma të ngjashëm, fitojmë një polinom të formës standarde

Zgjidhje. Nëse ka një shenjë plus përpara kllapave, atëherë kllapat mund të hiqen, duke ruajtur shenjat e të gjitha termave të mbyllura në kllapa. Duke përdorur këtë rregull për hapjen e kllapave, marrim:

Zgjidhje. Nëse kllapat paraprihen nga një shenjë minus, atëherë kllapat mund të hiqen duke ndryshuar shenjat e të gjithë termave të mbyllur në kllapa. Duke përdorur këtë rregull për fshehjen e kllapave, marrim:

Zgjidhje. Prodhimi i një monomi dhe i një polinomi, sipas ligjit shpërndarës, është i barabartë me shumën e prodhimeve të këtij monomi dhe çdo anëtari të polinomit. marrim

Zgjidhje. Ne kemi

Zgjidhje. Ne kemi

Mbetet për të sjellë anëtarë të ngjashëm(janë të nënvizuara). Ne marrim:

53. Formulat e shkurtuara të shumëzimit.

Në disa raste, sjellja e një shprehjeje të tërë në formën standarde të një polinomi kryhet duke përdorur identitetet:

Këto identitete quhen formula të shkurtuara të shumëzimit,

Le të shohim shembuj në të cilët ju duhet të konvertoni një shprehje të caktuar në formën standarde myogochlea.

Shembulli 1. .

Zgjidhje. Duke përdorur formulën (1), marrim:

Shembulli 2. .

Zgjidhje.

Shembulli 3. .

Zgjidhje. Duke përdorur formulën (3), marrim:

Shembulli 4.

Zgjidhje. Duke përdorur formulën (4), marrim:

54. Polinomet e faktorizimit.

Ndonjëherë ju mund të transformoni një polinom në një produkt të disa faktorëve - polinomeve ose nënnomeve. Një transformim i tillë identiteti quhet faktorizim i një polinomi. Në këtë rast, polinomi thuhet se është i pjesëtueshëm me secilin prej këtyre faktorëve.

Le të shohim disa mënyra për të faktorizuar polinomet,

1) Largimi shumëzues i përbashkët përtej kllapave. Ky transformim është një pasojë e drejtpërdrejtë e ligjit shpërndarës (për qartësi, thjesht duhet ta rishkruani këtë ligj "nga e djathta në të majtë"):

Shembulli 1: Faktoroni një polinom

Zgjidhje. .

Zakonisht, kur nxirret faktori i përbashkët nga kllapat, çdo ndryshore e përfshirë në të gjitha termat e polinomit nxirret me eksponentin më të ulët që ka në këtë polinom. Nëse të gjithë koeficientët e polinomit janë numra të plotë, atëherë më i madhi në modul merret si koeficient i faktorit të përbashkët pjesëtues i përbashkët të gjithë koeficientët e polinomit.

2) Përdorimi i formulave të shkurtuara të shumëzimit. Formulat (1) - (7) nga paragrafi 53, duke u lexuar nga e djathta në të majtë, në shumë raste rezultojnë të jenë të dobishme për faktorizimin e polinomeve.

Shembulli 2: Faktori .

Zgjidhje. Ne kemi. Duke zbatuar formulën (1) (ndryshimi i katrorëve), marrim . Duke aplikuar

Tani formulat (4) dhe (5) (shuma e kubeve, ndryshimi i kubeve), marrim:

Shembulli 3. .

Zgjidhje. Së pari, le të heqim faktorin e përbashkët nga kllapa. Për ta bërë këtë, do të gjejmë pjesëtuesin më të madh të përbashkët të koeficientëve 4, 16, 16 dhe eksponentët më të vegjël me të cilët variablat a dhe b përfshihen në monomët përbërës të këtij polinomi. Ne marrim:

3) Metoda e grupimit. Ai bazohet në faktin se ligjet komutative dhe asociative të mbledhjes lejojnë që anëtarët e një polinomi të grupohen menyra te ndryshme. Ndonjëherë është e mundur të grupohet në atë mënyrë që pas nxjerrjes së faktorëve të përbashkët nga kllapa, i njëjti polinom të mbetet në kllapa në secilin grup, i cili nga ana tjetër, si faktor i përbashkët, mund të hiqet nga kllapa. Le të shohim shembuj të faktorizimit të një polinomi.

Shembulli 4. .

Zgjidhje. Le ta bëjmë grupimin si më poshtë:

Në grupin e parë, le të marrim faktorin e përbashkët nga kllapat në të dytin - faktorin e përbashkët 5. Marrim Tani e vendosim polinomin si faktor të përbashkët jashtë kllapave: Kështu, marrim:

Shembulli 5.

Zgjidhje. .

Shembulli 6.

Zgjidhje. Këtu, asnjë grupim nuk do të çojë në shfaqjen e të njëjtit polinom në të gjitha grupet. Në raste të tilla, ndonjëherë është e dobishme të përfaqësohet një anëtar i polinomit si një shumë, dhe më pas të provoni përsëri metodën e grupimit. Në shembullin tonë, këshillohet ta përfaqësojmë atë si një shumë

Shembulli 7.

Zgjidhje. Shtojmë dhe zbresim një monom Marrim

55. Polinomët në një ndryshore.

Një polinom, ku a, b janë numra të ndryshueshëm, quhet polinom i shkallës së parë; një polinom ku a, b, c janë numra të ndryshueshëm, të quajtur polinom i shkallës së dytë ose trinom kuadratik; një polinom ku a, b, c, d janë numra, ndryshorja quhet polinom i shkallës së tretë.

Në përgjithësi, nëse o është një variabël, atëherë ai është një polinom

quhet shkalla e lsmogochnolenolit (në raport me x); , m- termat e polinomit, koeficientët, termi kryesor i polinomit, a është koeficienti i termit kryesor, anëtar i lirë polinom. Në mënyrë tipike, një polinom shkruhet në fuqitë zbritëse të një ndryshoreje, d.m.th., fuqitë e një ndryshoreje zvogëlohen gradualisht, në veçanti, termi kryesor është në vendin e parë, dhe termi i lirë është në vendin e fundit. Shkalla e një polinomi është shkalla e termit më të lartë.

Për shembull, një polinom i shkallës së pestë, në të cilin termi kryesor, 1, është termi i lirë i polinomit.

Rrënja e një polinomi është vlera në të cilën polinomi bëhet zero. Për shembull, numri 2 është rrënja e një polinomi pasi

SEKSIONI IV.

ZBËRTHIMI I SHPREHJEVE NË FAKTORË TË THJESHTË.

§ 1. Shndërrimi i polinomeve në prodhime pa përdorimin e formulave të shkurtuara të shumëzimit dhe pjesëtimit.

Nëse të gjithë termat e një polinomi përmbajnë një faktor të përbashkët, atëherë mund ta ndani të gjithë polinomin me këtë faktor dhe të shënoni shumëzimin e të njëjtit faktor me koeficientin e polinomit që rezulton. Kjo shprehje nuk do të ndryshojë kuptimin e saj. vlera sasiore, por do të marrë formën e një produkti. Për shembull, binom ab+ac mund të paraqitet në formë A (b+c ).

Ky transformim i formës quhet nxjerrja e faktorit të përbashkët nga kllapat. Gjatë kryerjes së këtij veprimi, duhet pasur kujdes që jashtë kllapave të vendoset gjithçka që është e mundur, në mënyrë që të mos mbetet asnjë faktor i përbashkët në termat e koeficientit të mbyllur në kllapa.

Ndonjëherë, kur hiqet nga kllapat, termit të përgjithshëm i jepet një shenjë minus. Në këtë rast, termat e herësit në kllapa shkruhen me shenja të kundërta me ato që kishin para tyre termat e polinomit të dhënë. Shenjë negative faktori i përbashkët vlen për të gjithë produktin. Për shembull, binomi - ab+ac mund të përfaqësohet si (- A )(b-c ), dhe në vend të kësaj ata shkruajnë - A (b-c ), dhe minusi nuk vlen më për një faktor A , por për të gjithë veprën.

Kur anëtarët e një polinomi nuk kanë një faktor të përbashkët, atëherë ndonjëherë duke i grupuar me sukses anëtarët në disa grupe që përmbajnë disa anëtarë në secilin grup, në këto grupe të formuara gjendet një faktor i përbashkët dhe për më tepër polinom. Shpesh, për një grupim të tillë mjafton të mbyllësh disa anëtarë në kllapa me një shenjë + ose një shenjë -.

Për shembull, të kesh një shprehje me tre terma A (b +Me )+b+c dy termat e fundit i mbyllim në kllapa me një plus dhe gjejmë shprehjen A (b +Me )+(b+c ), i cili mund të konsiderohet si një binom dhe që shndërrohet në produkt ( A +1 )(b+c ).

Ngjashëm me këtë në shprehje A (b-c )-b+c dy termat e fundit i mbyllim në kllapa me një minus, që e bën shprehjen të marrë formën A (b-c )-(b-c ), dhe më pas transformohet në produkt ( A - 1 )(b-c ).

Në shumicën e rasteve të hasura në praktikë, për të zbuluar një faktor të përbashkët polinom, kërkohet jo vetëm kombinimi i termave të një polinomi të caktuar në grupe, por edhe nxjerrja e një faktori monomi të përbashkët në këto grupe, të ndryshëm për secilin. grupe. Me një zgjedhje të suksesshme të grupeve dhe nën kushtin e detyrueshëm të nxjerrjes së gjithçkaje që është e mundur, faktori i përbashkët i të gjithë polinomit të dhënë zbulohet lehtësisht.

Për shembull, duke pasur një polinom A 3 +a 2 b +2ab 2 +2b 3 , i lidhim dy termat e parë në një grup dhe dy të fundit në një tjetër dhe i vendosim në kllapa në grupin e parë. A 2 dhe në të dytën 2b 2 ; marrim A 2 (a+b )+ 2b 2 (a+b ) ose ( a+b )(A 2 +2b 2 ). I njëjti rezultat mund të arrihet duke hequr faktorin në termat e parë dhe të tretë A , dhe në të dytën dhe të katërtin shumëzuesin b .

Në mënyrë të ngjashme, duke u kombinuar në një polinom 3A 3 - 3A 2 b-ab 2 +b 3 termi i parë me të tretën dhe i dyti me të katërtin dhe nxjerrja e shumëzuesit në grupin e parë A , dhe në faktorin e dytë - b, merr A (3A 2 -b 2 )-b (3A 2 -b 2 ) ose ( a-b )(3A 2 -b 2 ). I njëjti rezultat do të ishte marrë nëse dy termat e parë do të hiqeshin nga kllapa 3A 2 , dhe nga dy të fundit -b 2 .

Duhet të theksohet se transformimet e këtij lloji janë shumë të ndryshme, veçanërisht kur kombinohen me operacione të tjera algjebrike. Prandaj, është e pamundur të jepen rregulla të përgjithshme dhe plotësisht të përcaktuara për këto transformime; aftësia në to fitohet vetëm nëpërmjet ushtrimeve të plota dhe metodike.

Ndonjëherë, përpara se të grupohen termat e një polinomi për të nxjerrë një faktor polinomi në të, është e nevojshme të zgjerohen disa nga termat në një shumë algjebrike të termave të rinj të ngjashëm me ato të zbërthyera. Në këtë rast, pjesët e anëtarëve të dekompozuar u përkasin grupeve të ndryshme kur grupohen. Le të zbatojmë metodën e zgjerimit për transformimin e shprehjeve me tre terma.

Për të kthyer një trinom X 2 +5X+6 , zgjerojmë termin 5 X në shumën e anëtarëve 2 X Dhe 3 X . Kështu marrim:

X 2 +5X+6 = X 2 +2x+ 3 X +6 = X (X +2 )+3 (X +2 )==(X +2 )(X +3 ).

Për të kthyer një trinom X 2 +2X -15 , zgjerojmë termin + 2X në shumën e anëtarëve + 5X Dhe - 3X Le të gjejmë:

X 2 +2X -15 = X 2 +5X - 3X -15 = X (X +5 )-3 (X +5 )==(X -3 )(X +5 ).

Ekziston një rregull i përgjithshëm që tregon se kur është e mundur të shndërrohen trinomet e kësaj forme në një produkt dhe si të kryhet një transformim i tillë. Për të nxjerrë dhe kuptuar këtë rregull, ju duhet vetëm të zgjeroni katër llojet e trinomeve X 2 ± ( a+b )X +ab Dhe X 2 ± ( a-b )X -ab , duke marrë secilën prej tyre veç e veç dhe duke filluar transformimin duke hapur kllapat. Pastaj rezulton se ato trinomale koeficienti i parë i të cilëve në X 2 ekziston një, koeficienti i dytë në X çfarëdo që ju pëlqen, por koeficienti ose termi i tretë që nuk përmban X ka prodhim algjebrik po ato madhësi në shumën algjebrike të të cilave zbërthehet koeficienti i dytë. Pra, në trinom X 2 +5X+6 Koeficient 5 është shuma e numrave 3 Dhe 2 , A 6 është prodhimi i numrave të njëjtë në një trinom X 2 +2X -15 Koeficient - 2 është shuma e sasive - 5 dhe + 3 , A - 15 është produkt i të njëjtave sasi. Për të transformuar një trinom kur është e mundur, duhet të përdorni shenjat dhe vlerat numerike të koeficientit të tretë dhe të dytë për të gjetur një mënyrë për të zbërthyer koeficientin e tretë në produktin e dy sasive dhe të dytin në shumën e të njëjtat sasi. Le të shohim disa shembuj:

Le të jepet, për shembull, një trekëndësh X 2 -11X+24 . Që nga koeficienti 24 është pozitive, atëherë prodhuesit e kërkuar të tij duhet të kenë të njëjtat shenja. Duke gjykuar nga fakti se koeficienti i dytë është 11 negative, shohim se këta koeficientë prodhues 24 ose termat e koeficientit - 11 të dyja janë negative. Më në fund, duke u dekompozuar 24 nga dy faktorë negativë dhe duke krahasuar shumën e tyre me - 11 , le të sigurohemi që për të transformuar trinomin në produkt duhet të zgjerojmë anëtar mesatar - 11 X mbi anëtarët - 3 X Dhe - 8 X.

Le të supozojmë gjithashtu se na është dhënë një trinom X 2 - 7X-30 . Këtu është koeficienti 30 negativ; Kjo është arsyeja pse prodhuesit e saj kanë shenja të ndryshme. Koeficient -7 negativ; Rrjedhimisht, kur e kompozojmë atë me mbledhje, ka përparësi termi negativ, i cili kështu ka një vlerë numerike më të madhe. Prandaj anëtari është 7X duhet të ndahet në anëtarë - 10X Dhe +3X.

Trinomet, koeficienti i parë i të cilëve nuk është unitet, gjithashtu shpesh shndërrohen në produkt. Për transformime të tilla ne nuk do të tregojmë tani rregull i përgjithshëm, përfundimi i së cilës kërkon arsyetim më kompleks.

Duke zhvilluar metodën e konsideruar më sipër të transformimit të trinomeve në një produkt, ne mund të zgjerojmë polinomet gradat më të larta në ato raste kur përfaqësojnë prodhime të binomeve më të thjeshta të shkallës së parë. Për të thjeshtuar transformime të tilla, është e dobishme të sqarohet vërejtja e mëposhtme: supozojmë se çdo polinom përmban si faktor disa binom x + a . Që nga ky binom, kur zëvendësohet X përmes - A , zhduket, pastaj polinomi që përmban x+a shumëzuesi duhet gjithashtu të zhduket me këtë zëvendësim. Në mënyrë të ngjashme, nëse një polinom përmban një binom si faktor Ha , e cila zhduket pas zëvendësimit X përmes A, atëherë vetë polinomi zhduket me të njëjtin zëvendësim. E kundërta është gjithashtu e vërtetë: nëse një polinom që përmban shkallë të ndryshme X , zhduket pas zëvendësimit X përmes - A ose përmes A , atëherë ndoshta ndahet në rastin e parë në x+a , dhe në të dytën në Ha , sepse polinomi që zhduket nën një nga zëvendësimet e treguara mund të shpjegohet vetëm me faktin se polinomi përmban faktorin binomial përkatës. Vërejtjet e mësipërme ofrojnë një mjet të thjeshtë për të zbuluar faktorin binomial në një polinom, dhe më pas ky faktor mund të vendoset në kllapa duke zbërthyer termat e mesëm të polinomit në shuma algjebrike.

Merrni, për shembull, polinomin X 3 +6X 2 +11X+6 . Ajo zhduket kur zëvendësohet X përmes - 1 dhe për këtë arsye ndahet në X +1. Duke e ditur paraprakisht këtë faktor, ne e bëjmë më të lehtë për vete zbërthimin e termave në shuma duke zgjedhur patjetër për çdo term, duke filluar nga më i larti, një pjesë të termit tjetër, në mënyrë që çifti i termave të grupuar të përmbajë faktorin. X +1 . Prandaj, transformimi kryhet si më poshtë:

X 3 +6X 2 +11X+6 = X 3 +X 2 +5X 2 +5X+6X+6 = X 2 (X +1 )+ 5X (X +1 )+ 6 (X +1 )= (X +1 )(X 2 +5X +6 ) =
= (X +1 )(X +2 )(X +3 )

Në mënyrë të ngjashme, vërejmë se polinomi X 3 -4X 2 -11X+30 shkon në zero kur zëvendësohet X përmes 2 dhe për këtë arsye ndahet në X- 2 . Prandaj, ne e kryejmë transformimin si kjo:

X 3 -4X 2 -11X+30 = X 3 -2X 2 -2X 2 +4X-15X+30 = X 2 (X -2 ) -2X(X-2)-15 (X -2 )=
=(X -2 )(X 2 -2X -15 )=(X -2 )(X +3 )(X -5 ).

Zgjedhja fillestare e shumëzuesit bëhet më e lehtë nga fakti se është e nevojshme të zëvendësohen vetëm ato sasi në polinom. vlerë numerike i cili përfshihet si faktor në termin e fundit të polinomit. Kjo zbulohet kur merret parasysh shprehja e polinomit formë e përgjithshme punon ( X +A )(X +b )(X +c ) . Termi i fundit i këtij polinomi është abc.

19. Le të marrim formulën

e lexojmë kështu: “dallimi midis numrave a dhe b”. Ne mund të zëvendësojmë numrin a me zero në këtë formulë; atëherë ajo do të kthehet në

0 – b ose vetëm në –b.

Zbritja e b nga zero do të thotë, sipas asaj që dimë për zbritjen e numrave relativë, duke shtuar në zero numrin b të marrë me shenjën e kundërt. Prandaj, shprehja –b duhet kuptuar si shenjë e kundërt e numrit b. Nëse, për shembull, b = +5, atëherë –b = –5; nëse b = –4, atëherë –b = +4, etj. Nëse shkruajmë shprehjen +a, atëherë duhet kuptuar si numër, e barabartë me numrin a. Nëse a = +5, atëherë +a = +5; nëse a = –4, atëherë +a = 4, etj.

Prandaj formula

ne mund të kuptojmë pa dallim rezultati, ose në kuptim

ose në kuptimin

Kështu, ne gjithmonë mund të zëvendësojmë zbritjen me mbledhjen dhe të kuptojmë çdo ndryshim si shumën e dy numrave:
a – b është shuma e numrave a dhe (–b)
x – y është shuma e numrave x dhe (–y)
–a – b është shuma e numrave (–a) dhe (–b), etj.

Ato formula ku, nga pikëpamja aritmetike, bëhen disa mbledhje dhe zbritje, p.sh.

a – b + c + d – e – f,

tani, nga pikëpamja e algjebrës, mund të kuptojmë vetëm si një shumë, domethënë:

a – b + c + d – e – f = (+a) + (–b) + (+c) + (+d) + (–e) + (–f).

Prandaj pranohet shprehje të ngjashme quhet me emrin “shuma algjebrike”.

20. Le të marrim një shumë algjebrike

a – b – c ose –3bc² + 2ab – 4a²b, etj.

Është zakon që këto shprehje t'i quajmë me emër polinom, dhe kjo fjalë zëvendëson fjalën “shumë” ose emrin “shumë algjebrike”. Ne e dimë atë

a – b – c = (+a) + (–b) + (–c)
–abc – 3bc² + 2ab – 4a²b = (–abc) + (–3bc²) + (+2ab) + (–4a²b), etj.

Më vete, çdo term quhet anëtar i polinomit.

Polinomi i parë

përbëhet nga tre terma: (+a), (–b) dhe (+c).

Polinomi i dytë

–abc – 3bc² + 2ab – 4a²b,

përbëhet nga katër terma: (–abc), (–3bc²), (+2ab) dhe (–4a²b).

Shumat mund të riorganizohen në çdo mënyrë:

–abc – 3bc² + 2ab – 4a²b = (–abc) + (–3bc²) + (+2ab) + (–4a²b) =
= (+2ab) + (–3bc²) + (–4a²b) + (–abc) = 2ab – 3bc² – 4a²b – abc.

Kjo veti e një shume tani mund të shprehet ndryshe: termat e një polinomi mund të riorganizohen në çdo mënyrë. Kjo është bërë më lart për polinomin –abc – 3bc² + 2ab – 4a²b, për më tepër, në atë mënyrë që termi (+2ab) të jetë tani përpara. Kjo bëri të mundur që të thjeshtohet disi shprehja: nuk duhet të shkruani shenjën + përpara. Natyrisht, rirregullime të tilla duhet të bëhen menjëherë, pa e mbyllur më parë (si më sipër) çdo term në kllapa.

Një shembull tjetër:

1 – 3a + 2a² – a³ + 3a 4 = 3a 4 – a³ + 2a² – 3a + 1.

Termi i parë i këtij polinomi ishte fillimisht (+1) - shenja + nënkuptohej përpara njësisë; kur e zhvendosim këtë anëtar në një vend tjetër nga i pari (sipër e zhvendosëm në vendin e fundit), atëherë kjo shenjë + nuk mund të anashkalohet.

Mund të vërejmë se në shembullin e mëparshëm, duke rirregulluar termat e polinomit, arritëm një renditje të caktuar: në radhë të parë është termi me shkronjën a në fuqinë e 4-të, në radhën tjetër është termi me shkronjën a. në fuqinë e 3-të, pastaj vjen termi me shkronjën a në shkallën e 3-të të shkallës së dytë, pastaj - a në shkallën e parë dhe, së fundi, një term ku nuk ka fare shkronjën a.

Ky rregullim i termave të një polinomi shprehet me fjalët "polnomi është renditur në fuqitë zbritëse të shkronjës a".

Këtu janë shembuj të tjerë të kësaj marrëveshjeje:

3x 5 – 2ax 3 + b (në fuqitë zbritëse të shkronjës x)
a 4 – a 3 b + a 2 b 2 – ab 3 + b 4 (në fuqitë zbritëse të shkronjës a)
3ab 5 – 4a 3 b 3 + 5a 4 b 2 – 2a 6 (në fuqitë zbritëse të shkronjës b)
4x 4 – 3x 3 + 2x 3 (në fuqitë zbritëse të shkronjës x).

Shpesh përdoret rregullimi i kundërt "shkallë ngjitëse", në të cilin shkalla e shkronjës së zgjedhur rritet gradualisht, dhe në termin e parë ose kjo shkronjë nuk është fare e pranishme, ose ka shkallën më të ulët këtu në krahasim me termat e tjerë. Në shembullin e dytë të shembullit të mëparshëm, mund të themi se këtu polinomi është renditur në fuqitë rritëse të shkronjës b. Këtu janë shembuj:
3 – 2a + 3a 2 – 4a 3 (në fuqitë rritëse të shkronjës a);
–x + x 2 – 3x 3 – 4x 4 (në fuqitë rritëse të shkronjës x);
sëpatë 2 – bx 3 + cx 5 – dx 6 (në fuqitë rritëse të shkronjës x);
a 3 – 2ab + b 2 (në fuqitë rritëse të shkronjës b ose në fuqitë zbritëse të shkronjës a);
3x 5 – 4yx 4 – 5y 3 x 2 – 6y 4 x (në fuqitë zbritëse të shkronjës x ose në fuqitë rritëse të shkronjës y).

21. Një polinom me dy terma quhet binom(për shembull, 3a + 2b), rreth tre terma - një trinom (për shembull, 2a² - 3ab + 4b²), etj. Është e mundur të flasim për një shumë të një termi (termi tjetër është zero), ose rreth një polinom rreth një termi. Atëherë, sigurisht, emri "polinom" është i papërshtatshëm dhe përdoret emri "monomial". Çdo term i çdo polinomi, i marrë veçmas, është një monom. Këtu janë shembuj të monomëve më të thjeshtë:

2; –3a; a²; 4x³; – 5x4; ab; ab²; –3abc; etj.

Pothuajse të gjithë monomët e shkruar më sipër janë prodhime të dy ose më shumë faktorëve, dhe shumica e tyre kanë një faktor numerik dhe një alfabetik. Për shembull, monomi –3abc ka një faktor numerik –3 dhe faktorë shkronjash a, b dhe c; në monomin 4x³ ka një faktor numerik +4 (nënkuptohet shenja +) dhe një faktor fjalë për fjalë x³, etj. Nëse do të shkruanim një monom me disa faktorë numerik (dhe gjithashtu ata alfabetik), si më poshtë.

,

atëherë është më e përshtatshme të riorganizohen faktorët në mënyrë që faktorët numerikë të jenë afër, d.m.th.

,

shumëzoni këta faktorë numerikë dhe merrni

–4a²bc² (pikat, shenjat e shumëzimit janë anashkaluar).

Është gjithashtu e zakonshme, në shumicën dërrmuese të rasteve, të shkruhet faktori numerik përpara. Ata shkruajne:

4a, jo 4
–3a²b, jo a²(–3)b

Faktori numerik i një monomi quhet koeficient.

Nëse një faktor numerik nuk shkruhet në një monom, për shembull, ab, atëherë gjithmonë mund ta nënkuptoni atë. Me të vërtetë

a = (+1) ∙ a; ab = (+1)ab;
–a = (–1) ∙ a; a³ = (–1) ∙ a³, etj.

Pra, monomët a², ab, ab² kanë secili koeficient 1 (më saktë: +1). Nëse shkruajmë monomë –ab, –a², –ab², etj., atëherë ata duhet të kenë koeficientin –1.

22. Më shumë shembuj kompleks polinomet dhe monomët.

(a + b)² + 3(a – b)² ... kjo formulë shpreh shumën e dy termave: i pari është katrori i shumës së numrave a dhe b, dhe i dyti është prodhimi i numrit 3 me katrorin e diferencës së të njëjtëve numra. Prandaj, kjo formulë duhet të njihet si një binom: termi i parë është (a + b)² dhe i dyti 3(a – b)². Nëse e marrim shprehjen (a + b)² veçmas, atëherë në bazë të asaj të mëparshme, ajo duhet të konsiderohet monom, dhe koeficienti i tij = +1.

a(b – 1) – b(a – 1) – (a – 1)(b – 1) ... duhet të njihet si një trinom (shuma e tre termave): termi i parë është a(b – 1 ) dhe koeficienti i tij = +1 , termi i dytë –b(a – 1), koeficienti i tij = –1, termi i tretë –(a – 1)(b – 1), koeficienti i tij = – 1.

Ndonjëherë numri i termave të një polinomi zvogëlohet artificialisht. Pra trinom

mund, për shembull, të konsiderohet si një binom, dhe a + b, për shembull, konsiderohet si një term (një term). Për ta bërë këtë më të qartë, përdorni kllapat:

Atëherë termi (a + b) ka një koeficient të nënkuptuar prej +1

[në të vërtetë (a + b) = (+1) (a + b)].

Falë kursit të algjebrës, dihet se të gjitha shprehjet kërkojnë transformim për një zgjidhje më të përshtatshme. Përcaktimi i shprehjeve të numrave të plotë ndihmon për të siguruar që transformimet e identitetit. Shprehjen do ta shndërrojmë në polinom. Si përfundim, do të shohim disa shembuj.

Përkufizimi dhe shembuj të shprehjeve me numra të plotë

Shprehje të tëra janë numra, variabla ose shprehje që përfshijnë mbledhje ose zbritje që shkruhen si fuqi me tregues natyror, të cilat kanë edhe kllapa ose pjesëtim jo zero.

Bazuar në përkufizimin, kemi se shembuj të shprehjeve me numra të plotë: 7, 0, − 12, 7 11, 2, 73, - 3 5 6 e kështu me radhë, dhe variablat e formës a, b, p, q, x, z konsiderohen shprehje të tëra. Pas transformimit të shumave, dallimeve dhe produkteve, shprehjet do të marrin formën

x + 1 , 5 y 3 2 3 7 − 2 y − 3 , 3 − x y z 4 , - 6 7 , 5 (2 x + 3 y 2) 2 − - ( 1 − x) · (1 + x) · ( 1 + x 2)

Nëse një shprehje përmban një pjesëtim me një numër jozero të formës x: 5 + 8: 2: 4 ose (x + y) : 6, atëherë pjesëtimi mund të tregohet me pikë dhjetore, si x + 3 5 - 3 , 2 · x + 2 . Kur merren parasysh shprehjet e formës x: 5 + 5: x ose 4 + a 2 + 2 · a - 6 a + b + 2 · c, është e qartë se shprehje të tilla nuk mund të jenë numra të plotë, pasi në të parën ekziston një ndarje nga ndryshorja x, dhe në të dytën në një shprehje me një ndryshore.

Polinomi dhe monomi janë shprehje të tëra që i ndeshim në shkollë kur punojmë numrat racionalë. Me fjalë të tjera, shprehjet e tëra nuk përfshijnë hyrje thyesat irracionale. Një emër tjetër janë shprehje të tëra irracionale.

Çfarë transformimesh të shprehjeve të numrave të plotë janë të mundshme?

Gjatë zgjidhjes, shprehjet e tëra konsiderohen si transformime bazë të identitetit, duke hapur kllapa, duke grupuar dhe duke sjellë të ngjashme.

Shembulli 1

Hapni kllapat dhe sillni terma të ngjashëm në 2 · (a 3 + 3 · a · b − 2 · a) − 2 · a 3 − (5 · a · b − 6 · a + b) .

Zgjidhje

Së pari, duhet të zbatoni rregullin e hapjes së kllapave. Ne marrim një shprehje të formës 2 (a 3 + 3 a b − 2 a) − 2 a 3 − (5 a b − 6 a + b) = = 2 a 3 + 2 3 a b + 2 (− 2 a) − 2 a 3 − 5 a b + 6 a − b = = 2 a 3 + 6 a b − 4 a − 2 a 3 − 5 a · b + 6 · a − b

Atëherë mund të paraqesim terma të ngjashëm:

2 a 3 + 6 a b − 4 a − 2 a 3 − 5 a b + 6 a − b = = (2 a 3 − 2 a 3) + (6 a b − 5 · a · b) + (− 4 · a + 6 · a) − b = = 0 + a · b + 2 · a − b = a · b + 2 · a − b .

Pas zvogëlimit të tyre, fitojmë një polinom të formës a · b + 2 · a − b.

Përgjigju: 2 (a 3 + 3 a b − 2 a) − 2 a 3 − (5 a b − 6 a + b) = a b + 2 a − b.

Shembulli 2

Konvertoni (x - 1) : 2 3 + 2 · (x 2 + 1) : 3: 7 .

Zgjidhje

Pjesëtimi ekzistues mund të zëvendësohet me shumëzim, por me numrin e kundërt. Pastaj është e nevojshme të kryhen transformime, pas së cilës shprehja do të marrë formën (x - 1) · 3 2 + 2 · (x 2 + 1) · 1 3 · 1 7 . Tani duhet të fillojmë hedhjen terma të ngjashëm. Ne e kuptojmë atë

(x - 1) 3 2 + 2 (x 2 + 1) 1 3 1 7 = 3 2 (x - 1) + 2 21 x 2 + 1 = = 3 2 x - 3 2 + 2 21 x 2 + 2 21 = 2 21 x 2 + 3 2 x - 59 42 = 2 21 x 2 + 1 1 2 x - 1 17 42

Përgjigju: (x - 1) : 2 3 + 2 · (x 2 + 1) : 3: 7 = 2 21 · x 2 + 1 1 2 · x - 1 17 42 .

Shembulli 3

Shprehni shprehjen 6 x 2 y + 18 x y − 6 y − (x 2 + 3 x − 1) (x 3 + 4 x) si produkt.

Zgjidhje

Pas shqyrtimit të shprehjes, është e qartë se tre termat e parë kanë një faktor të përbashkët të formës 6 · y, i cili duhet të hiqet nga kllapat gjatë transformimit. Atëherë e marrim atë 6 x 2 y + 18 x y − 6 y − (x 2 + 3 x − 1) (x 3 + 4 x) = = 6 y (x 2 + 3 x − 1) − (x 2 + 3 x − 1) (x 3 + 4 x)

Mund të shihet se kemi marrë ndryshimin e dy shprehjeve të formës 6 · y · (x 2 + 3 · x − 1) dhe (x 2 + 3 · x − 1) · (x 3 + 4 · x) me një faktor të përbashkët x 2 + 3 · x − 1 , i cili duhet të hiqet nga kllapat. Ne e kuptojmë atë

6 y (x 2 + 3 x − 1) − (x 2 + 3 x − 1) (x 3 + 4 x) = = (x 2 + 3 x − 1) (6 y − (x 3 + 4 x) )

Pasi kemi hapur kllapat, kemi një shprehje të formës (x 2 + 3 x − 1) (6 · y − x 3 − 4 · x), e cila duhej gjetur sipas kushtit.

Përgjigje:6 x 2 y + 18 x y − 6 y − (x 2 + 3 x − 1) (x 3 + 4 x) = = (x 2 + 3 x − 1) ( 6 y − x 3 − 4 x)

Transformimet identike kërkojnë ekzekutim të rreptë të rendit të veprimeve.

Shembulli 4

Konvertoni shprehjen (3 2 − 6 2: 9) 3 (x 2) 4 + 4 x: 8.

Zgjidhje

Fillimisht kryeni veprimet në kllapa. Atëherë ne e kemi atë 3 2 − 6 2: 9 = 3 2 − 3 6: 9 = 6 − 4 = 2. Pas shndërrimeve, shprehja merr formën 2 3 · (x 2) 4 + 4 · x: 8 . Dihet se 2 3 = 8 Dhe (x 2) 4 = x 2 4 = x 8, atëherë mund të arrijmë te një shprehje e formës 8 x 8 + 4 x: 8. Termi i dytë kërkon zëvendësimin e pjesëtimit me shumëzim nga 4 x: 8. Duke grupuar faktorët, ne e marrim atë

8 x 8 + 4 x: 8 = 8 x 8 + 4 x 1 8 = 8 x 8 + 4 1 8 x = 8 x 8 + 1 2 x

Përgjigje:(3 2 − 6 2: 9) 3 (x 2) 4 + 4 x: 8 = 8 x 8 + 1 2 x.

Konvertoni në polinom

Shumica e rasteve të konvertimit të shprehjeve të numrave të plotë paraqiten si polinome. Çdo shprehje mund të paraqitet si një polinom shenja aritmetike. Çdo veprim mbi polinomet në fund të fundit prodhon një polinom.

Në mënyrë që një shprehje të paraqitet si polinom, është e nevojshme të kryhen të gjitha veprimet me polinome sipas algoritmit.

Shembulli 5

Paraqisni si një polinom 2 · (2 ​​· x 3 − 1) + (2 · x − 1) 2 · (3 − x) + (4 · x − x · (15 · x + 1)) .

Zgjidhje

NË shprehje e dhënë filloni transformimet me një shprehje të formës 4 x − x (15 x + 1), dhe sipas rregullit, kryeni fillimisht shumëzimin ose pjesëtimin, pasuar nga mbledhja ose zbritja. Shumëzoni - x me 15 x + 1, atëherë marrim 4 x − x (15 x + 1) = 4 x − 15 x 2 − x = (4 x − x) − 15 x 2 = 3 x − 15 x 2. Shprehja e dhënë do të marrë formën 2 · (2 ​​· x 3 − 1) + (2 · x − 1) 2 · (3 − x) + (3 · x − 15 · x 2) .

Tjetra, ju duhet të ngrini polinomin në fuqinë e 2-të 2 x − 1, marrim një shprehje të formës (2 x − 1) 2 = (2 x − 1) (2 x − 1) = 4 x 2 + 2 x (− 1) − 1 2 x − 1 (− 1 ) = = 4 x 2 − 4 x + 1

Tani mund të shkoni te pamja 2 (2 x 3 − 1) + (4 x 2 − 4 x + 1) (3 − x) + (3 x − 15 x 2).

Le të shohim shumëzimin. Mund të shihet se 2 (2 x 3 − 1) = 4 x 3 − 2 dhe (4 x 2 − 4 x + 1) (3 − x) = 12 x 2 − 4 x 3 − 12 x + 4 x 2 + 3 − x = = 16 x 2 − 4 x 3 − 13 x + 3

atëherë mund të bëjmë kalimin në një shprehje të formës (4 x 3 − 2) + (16 x 2 − 4 x 3 − 13 x + 3) + (3 x − 15 x 2).

Ne kryejmë mbledhje, pas së cilës arrijmë në shprehjen:

(4 x 3 − 2) + (16 x 2 − 4 x 3 − 13 x + 3) + (3 x − 15 x 2) = = 4 x 3 − 2 + 16 x 2 − 4 x 3 − 13 x + 3 + 3 x − 15 x 2 = = (4 x 3 − 4 x 3) + (16 x 2 − 15 x 2) + (− 13 x + 3 x) + (− 2 + 3) = = 0 + x 2 − 10 x + 1 = x 2 − 10 x + 1 .

Nga kjo rrjedh se shprehja origjinale ka formën x 2 − 10 x + 1.

Përgjigje: 2 (2 x 3 − 1) + (2 x − 1) 2 (3 − x) + (4 x − x (15 x + 1)) = x 2 − 10 x + 1.

Shumëzimi dhe fuqizimi i polinomeve tregon se ju duhet të përdorni formula të shkurtuara të shumëzimit për të shpejtuar procesin e konvertimit. Kjo ndihmon për të siguruar që veprimet të kryhen në mënyrë racionale dhe korrekte.

Shembulli 6

Konvertoni 4 · (2 ​​· m + n) 2 + (m − 2 · n) · (m + 2 · n) .

Zgjidhje

Nga formula katrore marrim atë (2 m + n) 2 = (2 m) 2 + 2 (2 m) n + n 2 = 4 m 2 + 4 m n + n 2, atëherë prodhimi (m − 2 n) (m + 2 n) është i barabartë me diferencën e katrorëve të m dhe 2 n, pra është i barabartë m 2 − 4 n 2. Konstatojmë se shprehja origjinale merr formën 4 (2 m + n) 2 + (m − 2 n) (m + 2 n) = 4 (4 m 2 + 4 m n + n 2) + (m 2 − 4 n 2) = = 16 m 2 + 16 m n + 4 n 2 + m 2 − 4 n 2 = 17 m 2 + 16 m n

Përgjigje: 4 (2 m + n) 2 + (m − 2 n) (m + 2 n) = 17 m 2 + 16 m n.

Për të parandaluar që transformimi të jetë shumë i gjatë, është e nevojshme të konvertohet shprehja e dhënë në një formë standarde.

Shembulli 7

Thjeshtoni një shprehje të formës (2 a (− 3) a 2 b) (2 a + 5 b 2) + a b (a 2 + 1 + a 2) (6 a + 15 b 2 ) + (5 a b (− 3) b 2)

Zgjidhje

Më shpesh, polinomet dhe monomët nuk jepen në një formë standarde, kështu që duhet të kryhen transformime. Duhet të konvertohet për të marrë një shprehje si − 6 a 3 b (2 a + 5 b 2) + a b (2 a 2 + 1) (6 a + 15 b 2) − 15 a b 3. Për të sjellë të ngjashme, është e nevojshme që fillimisht të shumëzohen sipas rregullave të transformimit shprehje komplekse. Marrim një shprehje të formës

− 6 a 3 b (2 a + 5 b 2) + a b (2 a 2 + 1) (6 a + 15 b 2) − 15 a b 3 = = − 12 · a 4 · b − 30 · a 3 · b 3 + (2 · a 3 · b + a · b) · (6 · a + 15 · b 2) − 15 · a · b 3 = = − 12 a 4 b − 30 a 3 b 3 + 12 a 4 b + 30 a 3 b 3 + 6 a 2 b + 15 a b 3 − 15 a b 3 = = (− 12 · a 4 · b + 12 · a 4 · b) + (− 30 · a 3 · b 3 + 30 · a 3 · b 3) + 6 · a 2 · b + (15 · a · b 3 − 15 a b 3) = 6 a 2 b

Përgjigje: (2 a (− 3) a 2 b) (2 a + 5 b 2) + a b (a 2 + 1 + a 2) (6 a + 15 b 2 ) + + (5 a b (− 3) b 2) = 6 a 2 b

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

“Përmirësimi i aftësive numerike” - Përbërja e numrave. Përsëritja e veprimeve. Shumëzimi. Shtim. Rregullat për hapjen e kllapave. Shtim numra negativ. Zbritja. Shtim thyesat e zakonshme. Shtimi i numrave me shenja të ndryshme. Përmirësimi i aftësive kompjuterike. Zbritja numër njëshifror. Diagrami i referencës. Veprimi në një kolonë. Shumëzimi i një monomi me një polinom.

"Diferenca e katrorëve të numrave" - ​​Sheshi. Formula e shkurtuar e shumëzimit. Dallimi i katrorëve të dy shprehjeve. Puna me një tryezë. Dallimi i katrorëve. Kuptimi gjeometrik formulat. Si mund ta lexoni formulën? Bëni shumëzimin. A ndikon në rezultat rendi në të cilin janë shkruar kllapat? Formula (a+b)(a-b)=a2-b2. Prodhimi i ndryshimit të dy shprehjeve dhe shuma e tyre.

"Shumëzimi i një polinomi me një polinom" - Rregulli për shumëzimin e një polinomi me një polinom. Loja "Hape foton". Hapni foton. Çdo term i polinomit të parë shumëzohet me radhë me secilin term të polinomit të dytë. Le të shqyrtojmë punën e shumicës polinome të thjeshta, përkatësisht binomet. Një polinom ka m terma, dhe tjetri ka n terma. Plani i mësimit.

"Faktorizimi i një polinomi" - Transformimi paraprak. Klasifikoni këto polinome sipas metodës së faktorizimit. Nxjerrja e faktorit të përbashkët jashtë kllapave. Zbatimi i formulave të shkurtuara të shumëzimit. Metoda e përzgjedhjes katror i plotë. Testor. Përgjigjet: Përmbledhja e mësimit: Konfuci. Formulat e shkurtuara të shumëzimit. Metoda e grupimit.

“Shndërrimi i një shprehjeje me numër të plotë në një polinom” - Cilat nga shprehjet janë numra të plotë: Shembuj të shprehjeve me numra të plotë janë shprehjet e mëposhtme: Objektivat e mësimit: Të aftësohen nxënësit në sjelljen e termave të ngjashëm. Polinomet dhe, në veçanti, monomët janë shprehje me numra të plotë. Zhvilloni aftësitë kompjuterike të studentëve. Prezantoni konceptin e një shprehjeje të tërë. Konvertimi i shprehjeve me numra të plotë.

"Mësim mbi formulat e shkurtuara të shumëzimit" - Qëllimi i orës së mësimit: Përsëritja dhe përmbledhja e aftësive dhe aftësive praktike në temën "Formulat e shkurtuara të shumëzimit". Tema e mësimit: FORMULA PËR SHUMËZIM TË REDUKTUAR. Përgatituni për atë që po vjen punë testuese. Detyrë: Brinjët e katrorit të parë janë 1 cm më shumë anë katrori i dytë, dhe sipërfaqja e katrorit të parë është 9 cm2 më shumë zonë katrori i dytë.

Janë gjithsej 24 prezantime në temë