Homogjene

Aktiv këtë mësim do të shqyrtojmë të ashtuquajturat ekuacionet diferenciale homogjene të rendit të parë. Së bashku me ekuacionet e ndashme Dhe ekuacionet lineare johomogjene ky lloj i telekomandës gjendet pothuajse në çdo punë testuese në temën e difuzorëve. Nëse keni ardhur në faqe nga një motor kërkimi ose nuk jeni shumë të sigurt në kuptimin e ekuacioneve diferenciale, atëherë së pari ju rekomandoj fuqimisht të punoni përmes një mësimi hyrës mbi temën - Ekuacionet diferenciale të rendit të parë. Fakti është se shumë nga parimet për zgjidhjen e ekuacioneve homogjene dhe teknikat e përdorura do të jenë saktësisht të njëjta si për ekuacionet më të thjeshta me ndryshore të ndashme.

Cili është ndryshimi midis ekuacioneve diferenciale homogjene dhe llojeve të tjera të ekuacioneve diferenciale? Mënyra më e lehtë për ta shpjeguar këtë është menjëherë shembull specifik.

Shembulli 1

Zgjidhja:
Çfarë Së pari duhet analizuar kur vendoset ndonjë ekuacioni diferencial Porosia e pare? Para së gjithash, është e nevojshme të kontrollohet nëse është e mundur të ndahen menjëherë variablat duke përdorur veprimet "shkollë"? Zakonisht kjo analizë bëhet mendërisht ose duke u përpjekur për të ndarë variablat në një draft.

NË në këtë shembull variablat nuk mund të ndahen(mund të përpiqeni të hidhni terma nga pjesa në pjesë, të ngrini faktorë jashtë kllapave, etj.). Nga rruga, në këtë shembull, fakti që variablat nuk mund të ndahen është mjaft i dukshëm për shkak të pranisë së shumëzuesit.

Shtrohet pyetja: si ta zgjidhim këtë problem të përhapur?

Duhet të kontrollohet dhe A nuk është homogjen ky ekuacion?? Verifikimi është i thjeshtë dhe vetë algoritmi i verifikimit mund të formulohet si më poshtë:

Tek ekuacioni origjinal:

në vend të ne zevendesojme, në vend të ne zevendesojme, ne nuk e prekim derivatin:

Shkronja lambda është një parametër i kushtëzuar dhe këtu luan rolin e mëposhtëm: nëse, si rezultat i transformimeve, është e mundur të "shkatërrohen" TË GJITHA lambdat dhe të merret ekuacioni origjinal, atëherë ky ekuacion diferencial është homogjen.

Është e qartë se lambdat reduktohen menjëherë nga eksponenti:

Tani në anën e djathtë nxjerrim lambdën nga kllapat:

dhe ndajini të dyja pjesët me të njëjtën lambda:

Si rezultat Të gjitha Lambdas u zhdukën si një ëndërr, si një mjegull mëngjesi, dhe ne morëm ekuacionin origjinal.

konkluzioni: Ky ekuacion është homogjen

Si të zgjidhim një ekuacion diferencial homogjen?

jam shume Lajme te mira. Absolutisht të gjitha ekuacionet homogjene mund të zgjidhen duke përdorur një zëvendësim të vetëm (!) standard.

Funksioni "lojë" duhet të jetë zëvendësojnë puna disa funksione (e varur gjithashtu nga "x") dhe "x":

Ata pothuajse gjithmonë shkruajnë shkurt:

Ne zbulojmë se në çfarë do të kthehet derivati me një zëvendësim të tillë, ne përdorim rregullin e diferencimit të produktit. Nese atehere:

Ne zëvendësojmë në ekuacionin origjinal:

Çfarë do të japë një zëvendësim i tillë? Pas këtij zëvendësimi dhe thjeshtimeve, ne e garantuar marrim një ekuacion me ndryshore të ndashme. KUJTOJE si dashuria e parë :) dhe, në përputhje me rrethanat, .

Pas zëvendësimit, ne kryejmë thjeshtimet maksimale:

Meqenëse është një funksion në varësi të "x", derivati i tij mund të shkruhet si thyesë standarde: .
Kështu:

Ne i ndajmë variablat, ndërsa në anën e majtë ju duhet të mbledhni vetëm "te", dhe në anën e djathtë - vetëm "x":

Variablat janë të ndara, le të integrojmë:

Sipas këshillës time të parë teknike nga artikulli Ekuacionet diferenciale të rendit të parë në shumë raste këshillohet që të “formulohet” një konstante në formën e një logaritmi.

Pasi të jetë integruar ekuacioni, duhet të kryejmë zëvendësim i kundërt, është gjithashtu standard dhe unik:
Nese atehere
NË në këtë rast:

Në 18-19 raste nga 20, zgjidhja e një ekuacioni homogjen shkruhet si një integral i përgjithshëm.

Përgjigje: integrali i përgjithshëm:

Pse përgjigja e një ekuacioni homogjen jepet pothuajse gjithmonë në formën e një integrali të përgjithshëm?
Në shumicën e rasteve është e pamundur të shprehet "y" në mënyrë eksplicite (merr vendim të përbashkët), dhe edhe nëse është e mundur, atëherë më shpesh zgjidhja e përgjithshme rezulton të jetë e rëndë dhe e ngathët.

Kështu, për shembull, në shembullin e konsideruar, një zgjidhje e përgjithshme mund të merret duke peshuar logaritmet në të dy anët e integralit të përgjithshëm:

- Epo, në rregull. Edhe pse, duhet ta pranoni, është ende pak e shtrembër.

Nga rruga, në këtë shembull unë nuk e shkrova integralin e përgjithshëm mjaft "mirë". Nuk është gabim, por në një stil "të mirë", ju kujtoj se integrali i përgjithshëm zakonisht shkruhet në formën . Për ta bërë këtë, menjëherë pas integrimit të ekuacionit, konstanta duhet të shkruhet pa asnjë logaritëm (këtu është një përjashtim nga rregulli!):

Dhe pas zëvendësimit të kundërt, merrni integralin e përgjithshëm në formën "klasike":

Përgjigja e marrë mund të kontrollohet. Për ta bërë këtë, ju duhet të dalloni integralin e përgjithshëm, domethënë të gjeni derivat i një funksioni të specifikuar në mënyrë implicite:

Ne shpëtojmë nga thyesat duke shumëzuar secilën anë të ekuacionit me:

Është marrë ekuacioni diferencial origjinal, që do të thotë se zgjidhja është gjetur saktë.

Këshillohet që gjithmonë të kontrolloni. Por ekuacionet homogjene janë të pakëndshme në atë që zakonisht është e vështirë të kontrollohen integralet e tyre të përgjithshme - kjo kërkon një teknikë shumë, shumë të mirë diferencimi. Në shembullin e konsideruar, gjatë verifikimit ishte tashmë e nevojshme të gjendeshin jo derivatet më të thjeshtë (megjithëse vetë shembulli është mjaft i thjeshtë). Nëse mund ta kontrolloni, kontrollojeni!

Shembulli 2

Kontrolloni ekuacionin për homogjenitet dhe gjeni integralin e përgjithshëm të tij.

Shkruani përgjigjen në formular

Ky është një shembull për vendim i pavarur– në mënyrë që të ndiheni rehat me vetë algoritmin e veprimeve. Ju mund ta kryeni kontrollin në kohën e lirë, sepse... këtu është mjaft e ndërlikuar, dhe as që u mundova ta prezantoj, përndryshe nuk do të vini më në një maniak të tillë :)

Dhe tani ai i premtuari pikë e rëndësishme, përmendur në shumë fillimi i temës,
Do të theksoj me shkronja të zeza të zeza:

Nëse gjatë transformimeve “rivendosim” shumëzuesin (jo konstante)në emërues, atëherë rrezikojmë të humbasim zgjidhjet!

Dhe në fakt, këtë e kemi hasur në shembullin e parë mësimi hyrës për ekuacionet diferenciale. Në procesin e zgjidhjes së ekuacionit, "y" doli të jetë në emërues: , por, padyshim, është një zgjidhje për DE dhe si rezultat i një transformimi (ndarjeje) të pabarabartë ka çdo shans për ta humbur atë! Një tjetër gjë është se ajo u përfshi në zgjidhjen e përgjithshme kur vlerë zero konstante. Rivendosja e "X" në emërues gjithashtu mund të injorohet, sepse nuk e kënaq difuzorin origjinal.

Një histori e ngjashme me ekuacionin e tretë të të njëjtit mësim, gjatë zgjidhjes së të cilit "u hodhëm" në emërues. Në mënyrë të rreptë, këtu ishte e nevojshme të kontrollohej nëse ky shpërndarës është zgjidhja? Në fund të fundit, është! Por edhe këtu "gjithçka doli mirë", pasi ky funksion u përfshi në integralin e përgjithshëm në .

Dhe nëse kjo shpesh funksionon me ekuacione "të ndashme", atëherë me shpërndarës homogjenë dhe disa të tjerë mund të mos funksionojë. Me shumë mundësi.

Le të analizojmë detyrat e zgjidhura tashmë në këtë mësim: në Shembulli 1 ka pasur një "rivendosje" të X, por nuk mund të jetë një zgjidhje për ekuacionin. Por në Shembulli 2 u ndamë në , por edhe “ia doli”: meqë , zgjidhjet nuk mund të kishin humbur, thjesht nuk janë këtu. Por, sigurisht, kam krijuar "raste të lumtura" me qëllim, dhe nuk është fakt që në praktikë do të ndeshen këto:

Shembulli 3

Zgjidhja e ekuacionit diferencial

A nuk është një shembull i thjeshtë? ;-)

Zgjidhja: homogjeniteti i këtij ekuacioni është i dukshëm, por ende - në hapin e parë Ne GJITHMONË kontrollojmë nëse është e mundur të ndahen variablat. Sepse ekuacioni është gjithashtu homogjen, por variablat në të ndahen lehtësisht. Po, ka disa!

Pas kontrollit për "ndashmëri", ne bëjmë një zëvendësim dhe thjeshtojmë ekuacionin sa më shumë që të jetë e mundur:

Ne i ndajmë variablat, mbledhim "te" në të majtë dhe "x" në të djathtë:

Dhe këtu STOP. Kur e ndajmë me, rrezikojmë të humbasim dy funksione njëherësh. Meqenëse, këto janë funksionet:

Funksioni i parë është padyshim një zgjidhje e ekuacionit . Ne kontrollojmë të dytin - ne gjithashtu zëvendësojmë derivatin e tij në difuzuesin tonë:

– marrë barazi e vërtetë, që do të thotë se funksioni është një zgjidhje.

DHE rrezikojmë t'i humbim këto vendime.

Për më tepër, emëruesi doli të ishte "X", megjithatë, zëvendësimi nënkupton që nuk është e barabartë me zero. Mbani mend këtë fakt. Por! Sigurohuni që të kontrolloni, është zgjidhja e ekuacionit diferencial ORIGJINAL. Jo nuk eshte.

Le të marrim parasysh të gjitha këto dhe të vazhdojmë:

Duhet të them, kam qenë me fat me integralin e krahut të majtë, mund të jetë shumë më keq.

Ne mbledhim një logaritëm të vetëm në anën e djathtë dhe hedhim prangat:

Dhe tani vetëm zëvendësimi i kundërt:

Le të shumëzojmë të gjithë termat me:

Tani duhet të kontrolloni - nëse zgjidhjet “të rrezikshme” përfshiheshin në integralin e përgjithshëm. Po, të dyja zgjidhjet u përfshinë në integralin e përgjithshëm me vlerën zero të konstantës: , kështu që ato nuk kanë nevojë të tregohen shtesë në përgjigje:

integrali i përgjithshëm:

Ekzaminimi. As një provë, por kënaqësi e pastër :)

Është marrë ekuacioni diferencial origjinal, që do të thotë se zgjidhja është gjetur saktë.

Për ta zgjidhur vetë:

Shembulli 4

Kryeni testin e homogjenitetit dhe zgjidhni ekuacionin diferencial

Kontrolloni integralin e përgjithshëm me diferencim.

Zgjidhje e plotë dhe përgjigja në fund të orës së mësimit.

Le të shohim disa shembuj kur ekuacioni homogjen të specifikuara me diferenciale të gatshme.

Shembulli 5

Zgjidhja e ekuacionit diferencial

Kjo është shumë shembull interesant, vetëm një thriller i tërë!

Zgjidhje Ne do të mësohemi ta dizajnojmë atë në mënyrë më kompakte. Së pari, mendërisht ose në një draft, ne sigurohemi që variablat këtu nuk mund të ndahet, pas së cilës kontrollojmë për homogjenitet - zakonisht nuk kryhet në një pjesë përfundimtare (përveç nëse kërkohet në mënyrë specifike). Kështu, zgjidhja pothuajse gjithmonë fillon me hyrjen: " Ky ekuacion është homogjen, le të bëjmë zëvendësimin: ...».

Nëse një ekuacion homogjen përmban diferenciale të gatshme, atëherë ai mund të zgjidhet me një zëvendësim të modifikuar:

Por unë nuk rekomandoj përdorimin e një zëvendësimi të tillë, pasi do të rezultojë në një të shkëlqyer Muri kinez diferenciale ku ju duhet një sy dhe një sy. Nga pikëpamja teknike, është më e dobishme të kaloni në përcaktimin "të ndërprerë" të derivatit për ta bërë këtë, ne ndajmë të gjitha kushtet e ekuacionit me:

Dhe këtu ne kemi bërë tashmë një transformim "të rrezikshëm"! Diferenciali zero korrespondon me një familje vijash të drejta paralele me boshtin. A janë ato rrënjët e DU-së sonë? Le të zëvendësojmë në ekuacionin origjinal:

Kjo barazi është e vlefshme nëse, domethënë, kur pjesëtojmë me rrezikojmë të humbim zgjidhjen, dhe ne e humbëm atë- që nga ajo nuk kënaq më ekuacioni që rezulton .

Duhet theksuar se nëse ne fillimisht u dha ekuacioni , atëherë nuk do të flitej për rrënjën. Por ne e kemi dhe e kapëm me kohë.

Ne vazhdojmë zgjidhjen me një zëvendësim standard:
:

Pas zëvendësimit, ne thjeshtojmë ekuacionin sa më shumë që të jetë e mundur:

Ne ndajmë variablat:

Dhe këtu përsëri STOP: kur pjesëtojmë me rrezikojmë të humbasim dy funksione. Meqenëse, këto janë funksionet:

Natyrisht, funksioni i parë është një zgjidhje e ekuacionit . Ne kontrollojmë të dytën - ne gjithashtu zëvendësojmë derivatin e tij:

– marrë barazi e vërtetë, që do të thotë se funksioni është gjithashtu një zgjidhje e ekuacionit diferencial.

Dhe kur e ndajmë me rrezikojmë t'i humbim këto zgjidhje. Sidoqoftë, ato mund të përfshihen në integralin e përgjithshëm. Por ata mund të mos hyjnë

Le të marrim parasysh këtë dhe të integrojmë të dyja pjesët:

Integrali i anës së majtë zgjidhet në mënyrë standarde duke përdorur duke nxjerrë në pah një katror të plotë, por është shumë më i përshtatshëm për t'u përdorur në shpërndarës metoda e koeficientëve të pasigurt:

Duke përdorur metodën e koeficientëve të pacaktuar, ne zgjerojmë integrandin në një shumë të thyesave elementare:

Kështu:

Gjetja e integraleve:

– duke qenë se kemi vizatuar vetëm logaritme, e shtyjmë edhe konstanten nën logaritëm.

Përpara zëvendësimit përsëri duke thjeshtuar gjithçka që mund të thjeshtohet:

Rivendosja e zinxhirëve:

Dhe zëvendësimi i kundërt:

Tani le të kujtojmë për "gjërat e humbura": zgjidhja u përfshi në integralin e përgjithshëm në , por ajo "kaloi para kasës", sepse doli të jetë emëruesi. Prandaj, në përgjigje i jepet një frazë e veçantë, dhe po - mos harroni për zgjidhjen e humbur, e cila, nga rruga, doli gjithashtu të jetë më poshtë.

Përgjigje: integrali i përgjithshëm: . Më shumë zgjidhje:

Nuk është aq e vështirë të shprehësh zgjidhjen e përgjithshme këtu:
, por kjo tashmë është një shfaqje.

Megjithatë, i përshtatshëm për kontroll. Le të gjejmë derivatin:

dhe zëvendësues V ana e majte ekuacionet:

– si rezultat, u përftua ana e djathtë e ekuacionit, e cila ishte ajo që duhej të kontrollohej.

Difuzori i mëposhtëm është më vete:

Shembulli 6

Zgjidhja e ekuacionit diferencial

Zgjidhje e plotë dhe përgjigje në fund të mësimit. Përpiquni të shprehni zgjidhjen e përgjithshme këtu në të njëjtën kohë për praktikë.

Në pjesën e fundit të mësimit do të shohim disa të tjera detyrat karakteristike në këtë temë:

Shembulli 7

Zgjidhja e ekuacionit diferencial

Zgjidhja: Le të ecim përgjatë rrugës së rrahur. Ky ekuacion është homogjen, le të bëjmë zëvendësimin:

Gjithçka është në rregull me "X", por ja çfarë nuk shkon me trinomi kuadratik? Meqenëse nuk është i zbërthyeshëm në faktorë: , atëherë definitivisht nuk i humbim zgjidhjet. Gjithmonë do të ishte kështu! Zgjidhni katrorin e plotë në anën e majtë dhe integroni:

Nuk ka asgjë për të thjeshtuar këtu, dhe për këtë arsye zëvendësimi i kundërt:

Përgjigje: integrali i përgjithshëm:

Shembulli 8

Zgjidhja e ekuacionit diferencial

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë.

Kështu që:

Për konvertime të pabarabarta, kontrolloni GJITHMONË (të paktën verbalisht), Po i humbisni zgjidhjet tuaja? Cilat janë këto transformime? Zakonisht shkurton ose ndan diçka. Kështu, për shembull, kur pjesëtoni me, duhet të kontrolloni nëse funksionet janë zgjidhje për ekuacionin diferencial. Në të njëjtën kohë, kur pjesëtohet me, nuk ka më nevojë për një kontroll të tillë - për faktin se ky pjesëtues nuk shkon në zero.

Këtu është një situatë tjetër e rrezikshme:

Këtu, duke hequr qafe , duhet të kontrolloni nëse DE është një zgjidhje. Shpesh, "x" dhe "y" përdoren si shumëzues të tillë dhe duke i reduktuar ato, ne humbasim funksione që mund të rezultojnë të jenë zgjidhje.

Nga ana tjetër, nëse diçka është fillimisht në emërues, atëherë nuk ka arsye për një shqetësim të tillë. Pra, në një ekuacion homogjen, nuk duhet të shqetësoheni për funksionin pasi ai "deklarohet" në emërues.

Hollësitë e listuara nuk e humbasin rëndësinë e tyre, edhe nëse problemi kërkon gjetjen e vetëm një zgjidhjeje të veçantë. Ekziston, megjithëse një shans i vogël, që të humbasim pikërisht zgjidhjen e veçantë të kërkuar. A është e vërtetë Problem cauchy V detyra praktike me ekuacione homogjene kërkohet mjaft rrallë. Sidoqoftë, ka shembuj të tillë në artikull Ekuacionet që reduktohen në homogjene, të cilën unë rekomandoj ta studioni "të nxehtë në thembra" për të forcuar aftësitë tuaja në zgjidhje.

Ekzistojnë gjithashtu ekuacione homogjene më komplekse. Vështirësia nuk qëndron në ndryshimet apo thjeshtimet e variablave, por në integralet mjaft të vështira ose të rralla që lindin si rezultat i ndarjes së variablave. Unë kam shembuj zgjidhjesh për ekuacione të tilla homogjene - integrale të frikshme dhe përgjigje të frikshme. Por ne nuk do të flasim për to, sepse në mësimet e ardhshme (Shikoni më poshtë) Kam ende kohë të të torturoj, dua të të shoh të freskët dhe optimist!

Gëzuar promovimin!

Zgjidhjet dhe përgjigjet:

Shembulli 2: Zgjidhja: Le të kontrollojmë ekuacionin për homogjenitet, për këtë qëllim në ekuacionin origjinal në vend të le të zëvendësojmë , dhe në vend të le të zëvendësojmë:

Si rezultat, fitohet ekuacioni origjinal, që do të thotë se kjo DE është homogjene.

Në disa probleme të fizikës, nuk është e mundur të vendoset një lidhje e drejtpërdrejtë midis sasive që përshkruajnë procesin. Por është e mundur të merret një barazi që përmban derivatet e funksioneve në studim. Kështu lindin ekuacionet diferenciale dhe nevoja për t'i zgjidhur ato për të gjetur një funksion të panjohur.

Ky artikull është menduar për ata që përballen me problemin e zgjidhjes së një ekuacioni diferencial në të cilin funksioni i panjohur është funksion i një ndryshoreje. Teoria është e strukturuar në atë mënyrë që me njohuri zero të ekuacioneve diferenciale, ju mund të përballoni detyrën tuaj.

Çdo lloj ekuacioni diferencial i caktohet një metodë zgjidhjeje me shpjegime dhe zgjidhje të detajuara shembuj tipikë dhe detyrat. E tëra çfarë ju duhet të bëni është të përcaktoni llojin e ekuacionit diferencial të problemit tuaj, të gjeni një shembull të ngjashëm të analizuar dhe të kryeni veprime të ngjashme.

Për të zgjidhur me sukses ekuacionet diferenciale, do t'ju duhet gjithashtu aftësia për të gjetur grupe antiderivativësh ( integrale të pacaktuara) funksione të ndryshme. Nëse është e nevojshme, ju rekomandojmë t'i referoheni seksionit.

Së pari, ne do të shqyrtojmë llojet e ekuacioneve diferenciale të zakonshme të rendit të parë që mund të zgjidhen në lidhje me derivatin, pastaj do të kalojmë në ODE të rendit të dytë, pastaj do të ndalemi në ekuacionet e rendit më të lartë dhe do të përfundojmë me sistemet e ekuacionet diferenciale.

Kujtojmë se nëse y është funksion i argumentit x.

Ekuacionet diferenciale të rendit të parë.

Ekuacionet diferenciale më të thjeshta të rendit të parë të formës.

Le të shkruajmë disa shembuj të telekomandës së tillë .

Ekuacionet diferenciale mund të zgjidhet në lidhje me derivatin duke pjesëtuar të dyja anët e barazisë me f(x) . Në këtë rast, arrijmë në një ekuacion që do të jetë ekuivalent me atë origjinal për f(x) ≠ 0. Shembuj të ODE-ve të tilla janë .

Nëse ka vlera të argumentit x në të cilat funksionet f(x) dhe g(x) zhduken njëkohësisht, atëherë shfaqen zgjidhje shtesë. Zgjidhje shtesë ekuacionet dhënë x janë çdo funksion të përcaktuar për këto vlera argumentesh. Shembuj të ekuacioneve të tilla diferenciale përfshijnë:

Ekuacionet diferenciale të rendit të dytë.

Ekuacionet diferenciale homogjene lineare të rendit të dytë me koeficientët konstant.

LDE me koeficientë konstante është një lloj shumë i zakonshëm i ekuacionit diferencial. Zgjidhja e tyre nuk është veçanërisht e vështirë. Së pari gjenden rrënjët ekuacioni karakteristik . Për p dhe q të ndryshme, tre raste janë të mundshme: rrënjët e ekuacionit karakteristik mund të jenë reale dhe të ndryshme, reale dhe përkuese. ose konjugate komplekse. Në varësi të vlerave të rrënjëve të ekuacionit karakteristik, zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit diferencial shkruhet si , ose , ose përkatësisht.

Për shembull, merrni parasysh një ekuacion linear homogjen diferencial të rendit të dytë me koeficientë konstante. Rrënjët e ekuacionit të tij karakteristik janë k 1 = -3 dhe k 2 = 0. Rrënjët janë reale dhe të ndryshme, prandaj zgjidhja e përgjithshme e një LODE me koeficientë konstante ka formën

Ekuacione diferenciale johomogjene lineare të rendit të dytë me koeficientë konstante.

Zgjidhja e përgjithshme e një LDDE të rendit të dytë me koeficientë konstante y kërkohet në formën e shumës së zgjidhjes së përgjithshme të LDDE përkatëse. dhe një zgjidhje të veçantë për ekuacionin origjinal johomogjen, që është, . Paragrafi i mëparshëm i kushtohet gjetjes së një zgjidhjeje të përgjithshme për një ekuacion diferencial homogjen me koeficientë konstante. Dhe një zgjidhje e veçantë përcaktohet ose me metodën e koeficientëve të pacaktuar me një formë të caktuar funksioni f(x) në anën e djathtë ekuacioni origjinal, ose me metodën e ndryshimit të konstantave arbitrare.

Si shembuj të LDDE-ve të rendit të dytë me koeficientë konstante, ne japim

Kuptoni teorinë dhe njihuni me të zgjidhje të detajuara Ne ju ofrojmë shembuj në faqen e ekuacioneve diferenciale johomogjene lineare të rendit të dytë me koeficientë konstante.

Ekuacionet diferenciale homogjene lineare (LODE) dhe ekuacionet diferenciale johomogjene lineare (LNDEs) të rendit të dytë.

Një rast i veçantë i ekuacioneve diferenciale të këtij lloji janë LODE dhe LDDE me koeficientë konstante.

Zgjidhja e përgjithshme e LODE në një segment të caktuar përfaqësohet nga një kombinim linear i dy zgjidhjeve të pjesshme lineare të pavarura y 1 dhe y 2 të këtij ekuacioni, d.m.th. .

Vështirësia kryesore qëndron pikërisht në gjetjen e zgjidhjeve të pjesshme lineare të pavarura për një ekuacion diferencial të këtij lloji. Në mënyrë tipike, zgjidhje të veçanta zgjidhen nga sistemet e mëposhtme lineare funksione të pavarura:

Megjithatë, zgjidhjet e veçanta nuk paraqiten gjithmonë në këtë formë.

Një shembull i një LOD është .

Zgjidhja e përgjithshme e LDDE kërkohet në formën , ku është zgjidhja e përgjithshme e LDDE-së përkatëse dhe është zgjidhja e veçantë e ekuacionit diferencial origjinal. Ne sapo folëm për gjetjen e tij, por mund të përcaktohet duke përdorur metodën e ndryshimit të konstantave arbitrare.

Mund të jepet një shembull i LNDU .

Ekuacionet diferenciale të rendit më të lartë.

Ekuacionet diferenciale që lejojnë reduktimin e rendit.

Rendi i ekuacionit diferencial , i cili nuk përmban funksionin e dëshiruar dhe derivatet e tij deri në rendin k-1, mund të reduktohet në n-k duke zëvendësuar .

Në këtë rast, ekuacioni diferencial origjinal do të reduktohet në . Pas gjetjes së zgjidhjes së tij p(x), mbetet të kthehemi në zëvendësim dhe të përcaktojmë funksionin e panjohur y.

Për shembull, ekuacioni diferencial pas zëvendësimit, ai do të bëhet një ekuacion me ndryshore të ndashme dhe rendi i tij do të reduktohet nga e treta në të parën.

Mendoj se duhet të fillojmë me historinë e një mjeti matematikor kaq të lavdishëm si ekuacionet diferenciale. Ashtu si të gjitha llogaritjet diferenciale dhe integrale, këto ekuacione u shpikën nga Njutoni në fund të shekullit të 17-të. Ai e konsideroi këtë zbulim të veçantë të tij si kaq të rëndësishëm, saqë ai madje kodoi një mesazh, i cili sot mund të përkthehet diçka si kjo: "Të gjitha ligjet e natyrës përshkruhen me ekuacione diferenciale". Kjo mund të duket si një ekzagjerim, por është e vërtetë. Çdo ligj i fizikës, kimisë, biologjisë mund të përshkruhet me këto ekuacione.

Matematikanët Euler dhe Lagrange dhanë një kontribut të madh në zhvillimin dhe krijimin e teorisë së ekuacioneve diferenciale. Tashmë në shekullin e 18-të, ata zbuluan dhe zhvilluan atë që tani studiojnë në kurset e larta universitare.

Një moment historik i ri në studimin e ekuacioneve diferenciale filloi falë Henri Poincaré. Ai krijoi "teorinë cilësore të ekuacioneve diferenciale", e cila, e kombinuar me teorinë e funksioneve të një ndryshoreje komplekse, dha një kontribut të rëndësishëm në themelimin e topologjisë - shkencës së hapësirës dhe vetive të saj.

Cilat janë ekuacionet diferenciale?

Shumë njerëz kanë frikë nga një frazë, megjithatë, në këtë artikull ne do të përshkruajmë në detaje të gjithë thelbin e kësaj shumë të dobishme aparate matematikore, e cila në fakt nuk është aq e ndërlikuar sa sugjeron emri. Në mënyrë që të filloni të flisni për ekuacionet diferenciale të rendit të parë, së pari duhet të njiheni me konceptet bazë që lidhen në thelb me këtë përkufizim. Dhe ne do të fillojmë me diferencialin.

Diferenciale

Shumë njerëz e kanë njohur këtë koncept që në shkollë. Megjithatë, le t'i hedhim një vështrim më të afërt. Imagjinoni grafikun e një funksioni. Mund ta rrisim atë në një masë të tillë që çdo segment i tij të marrë formën e një vije të drejtë. Le të marrim dy pika mbi të që janë pafundësisht afër njëra-tjetrës. Dallimi midis koordinatave të tyre (x ose y) do të jetë infinit i vogël. Quhet diferencial dhe shënohet me shenjat dy (diferencial i y) dhe dx (diferencial i x). Është shumë e rëndësishme të kuptohet se diferenciali nuk është një sasi e kufizuar, dhe ky është kuptimi dhe funksioni kryesor i tij.

Tani duhet të shqyrtojmë elementin tjetër, i cili do të jetë i dobishëm për ne në shpjegimin e konceptit të një ekuacioni diferencial. Ky është një derivat.

Derivat

Ne të gjithë ndoshta e kemi dëgjuar këtë koncept në shkollë. Derivati thuhet se është shpejtësia me të cilën një funksion rritet ose zvogëlohet. Megjithatë, nga ky përkufizim shumë gjëra bëhen të paqarta. Le të përpiqemi të shpjegojmë derivatin përmes diferencialeve. Le të kthehemi në një segment infinitimal të një funksioni me dy pika që janë në një distancë minimale nga njëra-tjetra. Por edhe mbi këtë distancë funksioni arrin të ndryshojë me një farë mase. Dhe për të përshkruar këtë ndryshim ata dolën me një derivat, i cili përndryshe mund të shkruhet si një raport i diferencialeve: f(x)"=df/dx.

Tani ia vlen të merret në konsideratë vetitë themelore derivatore. Janë vetëm tre prej tyre:

Derivati i një shume ose ndryshimi mund të përfaqësohet si një shumë ose diferencë e derivateve: (a+b)"=a"+b" dhe (a-b)"=a"-b".
Vetia e dytë lidhet me shumëzimin. Derivati i një produkti është shuma e prodhimeve të një funksioni dhe derivati i një funksioni tjetër: (a*b)"=a"*b+a*b".
Derivati i diferencës mund të shkruhet si barazia e mëposhtme: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

Të gjitha këto veti do të jenë të dobishme për ne për të gjetur zgjidhje për ekuacionet diferenciale të rendit të parë.

Ka edhe derivate të pjesshme. Le të themi se kemi një funksion z që varet nga ndryshoret x dhe y. Për të llogaritur derivatin e pjesshëm të këtij funksioni, le të themi, në lidhje me x, duhet të marrim ndryshoren y si konstante dhe thjesht të diferencojmë.

Integrale

Të tjera koncept i rëndësishëm- integrale. Në fakt, kjo është e kundërta e saktë e një derivati. Ka disa lloje integralesh, por për të zgjidhur ekuacionet më të thjeshta diferenciale na duhen ato më të parëndësishmet.

Pra, le të themi se kemi njëfarë varësie të f nga x. Marrim integralin prej tij dhe marrim funksionin F(x) (shpesh i quajtur antiderivativ), derivati i të cilit është i barabartë me funksionin origjinal. Kështu F(x)"=f(x). Gjithashtu rrjedh se integrali i derivatit është i barabartë me funksionin origjinal.

Kur zgjidhni ekuacione diferenciale, është shumë e rëndësishme të kuptoni kuptimin dhe funksionin e integralit, pasi do t'ju duhet t'i merrni ato shumë shpesh për të gjetur zgjidhjen.

Ekuacionet ndryshojnë në varësi të natyrës së tyre. Në pjesën tjetër, ne do të shikojmë llojet e ekuacioneve diferenciale të rendit të parë, dhe më pas do të mësojmë se si t'i zgjidhim ato.

Klasat e ekuacioneve diferenciale

"Diffurs" ndahen sipas renditjes së derivateve të përfshira në to. Kështu ka rend të parë, të dytë, të tretë dhe më shumë. Ato gjithashtu mund të ndahen në disa klasa: derivate të zakonshme dhe të pjesshme.

Në këtë artikull do të shikojmë ekuacionet diferenciale të rendit të parë. Ne do të diskutojmë gjithashtu shembuj dhe mënyra për t'i zgjidhur ato në pjesët vijuese. Ne do të shqyrtojmë vetëm ODE, sepse këto janë llojet më të zakonshme të ekuacioneve. Ato të zakonshmet ndahen në nëngrupe: me variabla të ndashëm, homogjenë dhe heterogjenë. Më pas, do të mësoni se si ndryshojnë nga njëri-tjetri dhe do të mësoni se si t'i zgjidhni ato.

Përveç kësaj, këto ekuacione mund të kombinohen në mënyrë që të përfundojmë me një sistem ekuacionesh diferenciale të rendit të parë. Ne gjithashtu do të shqyrtojmë sisteme të tilla dhe do të mësojmë se si t'i zgjidhim ato.

Pse po marrim parasysh vetëm rendin e parë? Sepse ju duhet të filloni me diçka të thjeshtë, dhe është thjesht e pamundur të përshkruani gjithçka që lidhet me ekuacionet diferenciale në një artikull.

Ekuacione të ndashme

Këto janë ndoshta ekuacionet diferenciale më të thjeshta të rendit të parë. Këtu përfshihen shembuj që mund të shkruhen si më poshtë: y"=f(x)*f(y). Për të zgjidhur këtë ekuacion, na duhet një formulë për paraqitjen e derivatit si raport i diferencialeve: y"=dy/dx. Duke e përdorur atë marrim ekuacionin e mëposhtëm: dy/dx=f(x)*f(y). Tani mund t'i drejtohemi metodës së zgjidhjes shembuj standardë: le t'i ndajmë variablat në pjesë, d.m.th., zhvendosim gjithçka me ndryshoren y në pjesën ku ndodhet dy dhe të njëjtën gjë bëjmë me ndryshoren x. Marrim një ekuacion të formës: dy/f(y)=f(x)dx, i cili zgjidhet duke marrë integrale nga të dyja anët. Mos harroni për konstantën që duhet vendosur pas marrjes së integralit.

Zgjidhja për çdo "diffure" është një funksion i varësisë së x nga y (në rastin tonë) ose, nëse një kusht numerik është i pranishëm, atëherë përgjigja në formën e një numri. Le të shohim të gjithë procesin e zgjidhjes duke përdorur një shembull specifik:

Le t'i lëvizim variablat në drejtime të ndryshme:

Tani le të marrim integralet. Të gjithë ata mund të gjenden në një tabelë të veçantë të integraleve. Dhe marrim:

ln(y) = -2*cos(x) + C

Nëse kërkohet, ne mund të shprehim "y" në funksion të "x". Tani mund të themi se ekuacioni ynë diferencial zgjidhet nëse kushti nuk është i specifikuar. Një kusht mund të specifikohet, për shembull, y(n/2)=e. Pastaj ne thjesht zëvendësojmë vlerat e këtyre variablave në zgjidhje dhe gjejmë vlerën e konstantës. Në shembullin tonë është 1.

Ekuacione diferenciale homogjene të rendit të parë

Tani le të kalojmë në pjesën më të vështirë. Ekuacionet diferenciale homogjene të rendit të parë mund të shkruhen në pamje e përgjithshme si kjo: y"=z(x,y). Duhet theksuar se funksionin e duhur në dy ndryshore është homogjene dhe nuk mund të ndahet në dy varësi: z në x dhe z në y. Kontrollimi nëse një ekuacion është homogjen apo jo është mjaft i thjeshtë: bëjmë zëvendësimin x=k*x dhe y=k*y. Tani ne reduktojmë të gjitha k. Nëse të gjitha këto shkronja zvogëlohen, atëherë ekuacioni është homogjen dhe mund të filloni me siguri ta zgjidhni atë. Duke parë përpara, le të themi: parimi i zgjidhjes së këtyre shembujve është gjithashtu shumë i thjeshtë.

Duhet të bëjmë një zëvendësim: y=t(x)*x, ku t është një funksion i caktuar që gjithashtu varet nga x. Atëherë mund të shprehim derivatin: y"=t"(x)*x+t. Duke e zëvendësuar të gjithë këtë në ekuacionin tonë origjinal dhe duke e thjeshtuar atë, marrim një shembull me variablat e ndashëm t dhe x. E zgjidhim dhe marrim varësinë t(x). Kur e morëm, thjesht zëvendësojmë y=t(x)*x në zëvendësimin tonë të mëparshëm. Atëherë marrim varësinë e y nga x.

Për ta bërë më të qartë, le të shohim një shembull: x*y"=y-x*e y/x .

Kur kontrolloni me zëvendësim, gjithçka zvogëlohet. Kjo do të thotë se ekuacioni është vërtet homogjen. Tani bëjmë një zëvendësim tjetër për të cilin folëm: y=t(x)*x dhe y"=t"(x)*x+t(x). Pas thjeshtimit, marrim ekuacionin e mëposhtëm: t"(x)*x=-e t. Shembullin që rezulton e zgjidhim me variabla të ndara dhe marrim: e -t =ln(C*x). Gjithçka që duhet të bëjmë është të zëvendësojmë t me y/x (në fund të fundit, nëse y =t*x, atëherë t=y/x), dhe marrim përgjigjen: e -y/x =ln(x*C).

Ekuacionet diferenciale lineare të rendit të parë

Është koha për të parë një temë tjetër të gjerë. Ne do të analizojmë ekuacionet diferenciale johomogjene të rendit të parë. Si ndryshojnë nga dy të mëparshmet? Le ta kuptojmë. Ekuacionet diferenciale lineare të rendit të parë në formë të përgjithshme mund të shkruhen si më poshtë: y" + g(x)*y=z(x). Vlen të sqarohet se z(x) dhe g(x) mund të jenë madhësi konstante.

Dhe tani një shembull: y" - y*x=x 2 .

Ka dy zgjidhje, dhe ne do t'i shikojmë të dyja sipas radhës. E para është metoda e ndryshimit të konstantave arbitrare.

Për të zgjidhur ekuacionin në këtë mënyrë, së pari duhet të barazoni anën e djathtë në zero dhe zgjidhni ekuacionin që rezulton, i cili pas transferimit të pjesëve do të marrë formën:

ln|y|=x 2 /2 + C;

y=e x2/2 *y C =C 1 *e x2/2 .

Tani duhet të zëvendësojmë konstanten C 1 me funksionin v(x), të cilin duhet ta gjejmë.

Le të zëvendësojmë derivatin:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .

Dhe zëvendësoni këto shprehje në ekuacionin origjinal:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

Ju mund të shihni se në anën e majtë dy terma anulojnë. Nëse në ndonjë shembull kjo nuk ndodhi, atëherë keni bërë diçka të gabuar. Le te vazhdojme:

v"*e x2/2 = x 2 .

Tani zgjidhim ekuacionin e zakonshëm në të cilin duhet të ndajmë variablat:

dv/dx=x 2 /e x2/2 ;

dv = x 2 *e - x2/2 dx.

Për të nxjerrë integralin, do të duhet të aplikojmë integrimin sipas pjesëve këtu. Sidoqoftë, kjo nuk është tema e artikullit tonë. Nëse jeni të interesuar, mund të mësoni se si t'i kryeni vetë veprime të tilla. Nuk është e vështirë, dhe me aftësi dhe kujdes të mjaftueshëm nuk kërkon shumë kohë.

Le të kthehemi te zgjidhja e dytë ekuacionet johomogjene: Metoda e Bernulit. Cila qasje është më e shpejtë dhe më e lehtë varet nga ju që të vendosni.

Pra, kur zgjidhim një ekuacion duke përdorur këtë metodë, duhet të bëjmë një zëvendësim: y=k*n. Këtu k dhe n janë disa funksione të varura nga x. Atëherë derivati do të duket kështu: y"=k"*n+k*n". Ne i zëvendësojmë të dy zëvendësimet në ekuacionin:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

Grupimi:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .

Tani duhet të barazojmë me zero atë që është në kllapa. Tani, nëse kombinojmë dy ekuacionet që rezultojnë, marrim një sistem të ekuacioneve diferenciale të rendit të parë që duhet të zgjidhet:

Barazimin e parë e zgjidhim si ekuacion të zakonshëm. Për ta bërë këtë ju duhet të ndani variablat:

Marrim integralin dhe marrim: ln(n)=x 2 /2. Atëherë, nëse shprehim n:

Tani ne e zëvendësojmë barazinë që rezulton në ekuacionin e dytë të sistemit:

k"*e x2/2 =x 2 .

Dhe duke transformuar, marrim të njëjtën barazi si në metodën e parë:

dk=x 2 /e x2/2 .

Ne gjithashtu nuk do të diskutojmë veprime të mëtejshme. Vlen të thuhet se në fillim zgjidhja e ekuacioneve diferenciale të rendit të parë shkakton vështirësi të konsiderueshme. Megjithatë, ndërsa gërmoni më thellë në temë, ajo fillon të funksionojë gjithnjë e më mirë.

Ku përdoren ekuacionet diferenciale?

Ekuacionet diferenciale përdoren në mënyrë shumë aktive në fizikë, pasi pothuajse të gjitha ligjet themelore janë të shkruara forma diferenciale, dhe formulat që shohim janë zgjidhja e këtyre ekuacioneve. Në kimi ato përdoren për të njëjtën arsye: ligjet themelore nxirren me ndihmën e tyre. Në biologji, ekuacionet diferenciale përdoren për të modeluar sjelljen e sistemeve, të tilla si grabitqari dhe gjahu. Ato mund të përdoren gjithashtu për të krijuar modele riprodhimi të, të themi, një koloni mikroorganizmash.

Si mund t'ju ndihmojnë ekuacionet diferenciale në jetë?

Përgjigja për këtë pyetje është e thjeshtë: aspak. Nëse nuk jeni shkencëtar ose inxhinier, atëherë ata nuk kanë gjasa të jenë të dobishme për ju. Megjithatë për zhvillimin e përgjithshëm Nuk dëmton të dish se çfarë është një ekuacion diferencial dhe si zgjidhet. Dhe pastaj pyetja e djalit apo vajzës është "çfarë është një ekuacion diferencial?" nuk do t'ju ngatërrojë. Epo, nëse jeni shkencëtar ose inxhinier, atëherë ju vetë e kuptoni rëndësinë e kësaj teme në çdo shkencë. Por gjëja më e rëndësishme është se tani pyetja "si të zgjidhet një ekuacion diferencial i rendit të parë?" ju mund të jepni gjithmonë një përgjigje. Dakord, është gjithmonë mirë kur kupton diçka që njerëzit madje kanë frikë ta kuptojnë.

Problemet kryesore në studim

Problemi kryesor në të kuptuarit e kësaj teme është aftësia e dobët në integrimin dhe diferencimin e funksioneve. Nëse jeni i keq në marrjen e derivateve dhe integraleve, atëherë ndoshta ia vlen të studioni dhe zotëroni metoda të ndryshme integrimin dhe diferencimin, dhe vetëm atëherë filloni të studioni materialin që u përshkrua në artikull.

Disa njerëz habiten kur mësojnë se dx mund të bartet, sepse më parë (në shkollë) thuhej se thyesa dy/dx është e pandashme. Këtu ju duhet të lexoni literaturën për derivatin dhe të kuptoni se është një raport i sasive infiniteminale që mund të manipulohen gjatë zgjidhjes së ekuacioneve.

Shumë njerëz nuk e kuptojnë menjëherë se zgjidhja e ekuacioneve diferenciale të rendit të parë është shpesh një funksion ose një integral që nuk mund të merret, dhe ky keqkuptim u shkakton shumë telashe.

Çfarë tjetër mund të studioni për një kuptim më të mirë?

Është më mirë të filloni zhytjen e mëtejshme në botën e llogaritjes diferenciale me tekste të specializuara, për shembull, në analiza matematikore për studentët e specialiteteve jo matematikore. Pastaj mund të kaloni në literaturë më të specializuar.

Vlen të thuhet se, përveç atyre diferenciale, ka edhe ekuacionet integrale, kështu që gjithmonë do të keni diçka për të cilën të përpiqeni dhe të mësoni.

konkluzioni

Shpresojmë që pas leximit të këtij artikulli të keni një ide se cilat janë ekuacionet diferenciale dhe si t'i zgjidhni ato saktë.

Në çdo rast, matematika do të jetë e dobishme për ne në jetë në një farë mënyre. Zhvillon logjikën dhe vëmendjen, pa të cilat çdo person është pa duar.

Për shembull, funksioni
- funksion homogjen dimensioni i parë, që

është një funksion homogjen i dimensionit të tretë, pasi

është një funksion homogjen i dimensionit zero, pasi

, d.m.th.
.

Përkufizimi 2. Ekuacioni diferencial i rendit të parë y" = f(x, y) quhet homogjen nëse funksioni f(x, y) është një funksion homogjen i dimensionit zero në lidhje me x Dhe y, ose, siç thonë ata, f(x, y) është një funksion homogjen i shkallës zero.

Mund të paraqitet në formë

e cila na lejon të përkufizojmë një ekuacion homogjen si një ekuacion diferencial që mund të shndërrohet në formën (3.3).

Zëvendësimi
redukton një ekuacion homogjen në një ekuacion me ndryshore të ndashme. Në të vërtetë, pas zëvendësimit y =xz marrim
,
Duke ndarë variablat dhe duke integruar, gjejmë:

Shembulli 1. Zgjidheni ekuacionin.

Δ Supozojmë y =zx,
Zëvendësoni këto shprehje y Dhe dy në këtë ekuacion:
ose
Ne ndajmë variablat:
dhe integroni:
,

Duke zëvendësuar z në , marrim
.

Shembulli 2. Gjeni zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit.

ΔV ekuacioni i dhënë P (x,y) =x 2 -2y 2 ,P(x,y) =2xy janë funksione homogjene të dimensionit të dytë, prandaj ky ekuacion është homogjen. Mund të paraqitet në formë
dhe zgjidhni njësoj si më sipër. Por ne përdorim një formë tjetër regjistrimi. Le të vendosim y = zx, ku dy = zdx + xdz. Duke i zëvendësuar këto shprehje në ekuacionin origjinal, do të kemi

dx+2 zxdz = 0 .

I ndajmë variablat duke numëruar

Le ta integrojmë këtë ekuacion term pas termi

, ku

kjo eshte
. Kthimi në funksionin e mëparshëm
gjeni një zgjidhje të përgjithshme


Shembulli 3 . Gjeni zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit
.

Δ Zinxhiri i transformimeve: ,y = zx,
,
,
,
,
,
,
,
, ,
. 

Leksioni 8.

4. Ekuacionet diferenciale lineare të rendit të parë Një ekuacion diferencial linear i rendit të parë ka formën

Këtu - anëtar i lirë, i quajtur edhe ana e djathtë e ekuacionit. Në këtë formë do të shqyrtojmë ekuacioni linear me tutje.

Nëse
0, atëherë ekuacioni (4.1a) quhet johomogjen linear. Nëse
0, atëherë ekuacioni merr formën

dhe quhet homogjen linear.

Emri i ekuacionit (4.1a) shpjegohet me faktin se funksioni i panjohur y dhe derivati i tij futeni atë në mënyrë lineare, d.m.th. në shkallën e parë.

Në një ekuacion linear homogjen, variablat janë të ndara. Duke e rishkruar atë në formë
ku
dhe duke u integruar, marrim:
, ato.

Kur ndahet me e humbasim vendimin
. Megjithatë, ajo mund të përfshihet në familjen e gjetur të zgjidhjeve (4.3), nëse supozojmë se ME mund të marrë edhe vlerën 0.

Ekzistojnë disa metoda për zgjidhjen e ekuacionit (4.1a). Sipas Metoda e Bernulit, zgjidhja kërkohet në formën e produktit të dy funksioneve të X:

Një nga këto funksione mund të zgjidhet në mënyrë arbitrare, pasi vetëm produkti uv duhet të plotësojë ekuacionin origjinal, tjetri përcaktohet në bazë të ekuacionit (4.1a).

Duke diferencuar të dyja anët e barazisë (4.4), gjejmë
.

Zëvendësimi i shprehjes që rezulton me derivatin , si dhe vlerën në në ekuacionin (4.1a), marrim
, ose

ato. si funksion v Le të marrim zgjidhjen e ekuacionit linear homogjen (4.6):

(Këtu CËshtë e nevojshme të shkruani, përndryshe nuk do të merrni një zgjidhje të përgjithshme, por një zgjidhje specifike).

Kështu, shohim se si rezultat i zëvendësimit të përdorur (4.4), ekuacioni (4.1a) reduktohet në dy ekuacione me ndryshore të ndashme (4.6) dhe (4.7).

Zëvendësimi
Dhe v(x) në formulën (4.4), më në fund marrim

Shembulli 1. Gjeni zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit

 Le të vëmë
, Pastaj
. Zëvendësimi i shprehjeve Dhe në ekuacionin origjinal, marrim
ose
(*)

Le ta vendosim koeficientin në zero të barabartë me :

Duke ndarë variablat në ekuacionin që rezulton, kemi

(konstante arbitrare C ne nuk shkruajmë), nga këtu v= x. Vlera e gjetur v zëvendësoni në ekuacionin (*):

,
,
.

Prandaj,
zgjidhje e përgjithshme e ekuacionit origjinal.

Vini re se ekuacioni (*) mund të shkruhet në formë ekuivalente:

Zgjedhja e rastësishme e një funksioni u, por jo v, mund të besojmë
. Kjo zgjidhje ndryshon nga ajo që konsiderohet vetëm duke zëvendësuar v në u(dhe për këtë arsye u në v), pra vlera përfundimtare në rezulton të jetë e njëjtë.

Bazuar në sa më sipër, marrim një algoritëm për zgjidhjen e një ekuacioni diferencial linear të rendit të parë.

Vini re më tej se ndonjëherë një ekuacion i rendit të parë bëhet linear nëse në konsiderohet si një variabël i pavarur, dhe x– e varur, d.m.th. ndërroni rolet x Dhe y. Kjo mund të bëhet me kusht që x Dhe dx futni ekuacionin në mënyrë lineare.

Shembulli 2 . Zgjidhe ekuacionin
.

Në pamje, ky ekuacion nuk është linear në lidhje me funksionin në.

Megjithatë, nëse kemi parasysh x në funksion të në, atëherë, duke pasur parasysh se
, mund të sillet në formë

(4.1 b)

Duke zëvendësuar në , marrim
ose
. Pjesëtimi i të dy anëve të ekuacionit të fundit me produktin ydy, ta sjellim në formë

, ose
. (**)

Këtu P(y)=,
. Ky është një ekuacion linear në lidhje me x. Ne besojmë
,
. Duke i zëvendësuar këto shprehje në (**), marrim

ose
.

Le të zgjedhim v në mënyrë që
,
, ku
;
. Tjetra kemi
,
,
.

Sepse
, atëherë vijmë në një zgjidhje të përgjithshme të këtij ekuacioni në formë

.

Vini re se në ekuacionin (4.1a) P(x) Dhe P (x) mund të përfshihet jo vetëm në formën e funksioneve nga x, por edhe konstante: P= a,P= b. Ekuacioni linear

mund të zgjidhet edhe duke përdorur zëvendësimin y= uv dhe ndarja e variablave:

;
.

Nga këtu
;
;
; Ku
. Duke u çliruar nga logaritmi, marrim një zgjidhje të përgjithshme të ekuacionit

(Këtu
).

Në b= 0 vijmë te zgjidhja e ekuacionit

(shih ekuacionin e rritjes eksponenciale (2.4) në
).

Së pari, ne integrojmë ekuacionin përkatës homogjen (4.2). Siç u tha më lart, zgjidhja e tij ka formën (4.3). Ne do të shqyrtojmë faktorin ME në (4.3) në funksion të X, d.m.th. në thelb duke bërë një ndryshim të ndryshores

nga ku, duke u integruar, gjejmë

Vini re se sipas (4.14) (shih gjithashtu (4.9)), zgjidhja e përgjithshme e një ekuacioni linear johomogjen është e barabartë me shumën e zgjidhjes së përgjithshme të ekuacionit homogjen përkatës (4.3) dhe zgjidhjes së veçantë të ekuacionit johomogjen të përcaktuar nga termi i dytë i përfshirë në (4.14) (dhe në (4.9)).

Kur vendoset ekuacionet specifike ju duhet të përsërisni llogaritjet e mësipërme dhe të mos përdorni formulën e rëndë (4.14).

Le të zbatojmë metodën e Lagranzhit në ekuacionin e konsideruar në shembulli 1 :

Ne integrojmë ekuacionin homogjen përkatës
.

Duke ndarë variablat, marrim
dhe në vazhdim
. Zgjidhja e shprehjes me formulë y = Cx. Ne kërkojmë një zgjidhje për ekuacionin origjinal në formë y = C(x)x. Duke e zëvendësuar këtë shprehje në ekuacionin e dhënë, marrim
;
;
,
. Zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit origjinal ka formën