Rrethi është një vijë e mbyllur. Si ndryshon një rreth nga një rreth: shpjegim

Ne shohim forma rrethi dhe rrathë kudo: kjo është rrota e një makine, vija e horizontit dhe disku i Hënës. Matematikanët filluan të studiojnë figurat gjeometrike - një rreth në një aeroplan - shumë kohë më parë.

Një rreth me qendër dhe rreze është një grup pikash në një plan të vendosur në një distancë jo më të madhe se . Rrethi kufizohet nga një rreth i përbërë nga pika të vendosura saktësisht në një distancë nga qendra. Segmentet që lidhin qendrën me pikat e rrethit kanë një gjatësi dhe quhen gjithashtu rreze (të një rrethi, rrethi). Pjesët e rrethit në të cilat ndahet me dy rreze quhen sektorë rrethorë (Fig. 1). Një akord - një segment që lidh dy pika në një rreth - e ndan rrethin në dy segmente dhe rrethin në dy harqe (Fig. 2). Një pingul i tërhequr nga qendra në akord e ndan atë dhe harqet nënshtrohen prej saj në gjysmë. Akordi është më i gjatë, aq më afër qendrës ndodhet; kordat më të gjata - kordat që kalojnë nëpër qendër - quhen diametra (të një rrethi, rrethi).

Nëse një vijë e drejtë hiqet nga qendra e rrethit me një distancë , atëherë në të nuk kryqëzohet me rrethin, në të kryqëzon rrethin përgjatë një korde dhe quhet sekant, në të ka një pikë të vetme të përbashkët me rrethi dhe rrethi dhe quhet tangjente. Një tangjente karakterizohet nga fakti se është pingul me rrezen e tërhequr deri në pikën e tangjencës. Dy tangjente mund të tërhiqen në një rreth nga një pikë jashtë tij, dhe segmentet e tyre nga një pikë e caktuar në pikat e tangjences janë të barabarta.

Harqet e një rrethi, si këndet, mund të maten në shkallë dhe fraksione. Një pjesë e të gjithë rrethit merret si shkallë. Këndi qendror (Fig. 3) matet në të njëjtin numër shkallësh si harku mbi të cilin mbështetet; një kënd i brendashkruar matet me gjysmë harku. Nëse kulmi i këndit shtrihet brenda rrethit, atëherë ky kënd në gradë është i barabartë me gjysmën e shumës së harqeve dhe (Fig. 4,a). Një kënd me një kulm jashtë rrethit (Fig. 4, b), duke prerë harqet dhe në rreth, matet me gjysmë-diferencën e harqeve dhe . Së fundi, këndi midis tangjentës dhe kordës është i barabartë me gjysmën e harkut të një rrethi të mbyllur midis tyre (Fig. 4, c).

Një rreth dhe një rreth kanë një numër të pafund të boshteve të simetrisë.

Nga teoremat për matjen e këndeve dhe ngjashmërinë e trekëndëshave vijojnë dy teorema për segmentet proporcionale në një rreth. Teorema e kordës thotë se nëse një pikë shtrihet brenda një rrethi, atëherë prodhimi i gjatësisë së segmenteve të kordave që kalojnë nëpër të është konstant. Në Fig. 5, a. Teorema rreth sekantës dhe tangjentes (nënkupton gjatësitë e segmenteve të pjesëve të këtyre drejtëzave) thotë se nëse një pikë shtrihet jashtë rrethit, atëherë prodhimi i sekantit dhe pjesës së jashtme të tij është gjithashtu i pandryshuar dhe i barabartë me katrorin e tangjentes. (Fig. 5,b).

Edhe në kohët e lashta, ata u përpoqën të zgjidhnin problemet që lidhen me rrethin - të masin gjatësinë e një rrethi ose harkun e tij, zonën e një rrethi ose sektori, segmenti. E para prej tyre ka një zgjidhje thjesht "praktike": mund të vendosni një fije përgjatë një rrethi, dhe më pas ta rrokullisni dhe ta lidhni me një sundimtar, ose të shënoni një pikë në rreth dhe ta "rrokullisni" përgjatë sundimtarit (mundeni , përkundrazi, "rrotulloni" një rreth me një sundimtar). Në një mënyrë apo tjetër, matjet treguan se raporti i perimetrit me diametrin e tij është i njëjtë për të gjithë rrathët. Ky raport zakonisht shënohet me një shkronjë greke (“pi” është shkronja fillestare e fjalës greke perimetron, që do të thotë “rreth”).

Sidoqoftë, matematikanët e lashtë grekë nuk ishin të kënaqur me një qasje të tillë empirike, eksperimentale për përcaktimin e perimetrit të një rrethi: një rreth është një vijë, d.m.th., sipas Euklidit, "gjatësi pa gjerësi" dhe fije të tilla nuk ekzistojnë. Nëse rrotullojmë një rreth përgjatë një vizoreje, atëherë lind pyetja: pse marrim perimetrin dhe jo ndonjë vlerë tjetër? Për më tepër, kjo qasje nuk na lejoi të përcaktojmë zonën e rrethit.

Zgjidhja u gjet si më poshtë: nëse marrim parasysh gondet e rregullta të gdhendura në një rreth, atëherë si , me prirje drejt pafundësisë, në kufirin që ata priren të . Prandaj, është e natyrshme të prezantohen përkufizimet e mëposhtme, tashmë të rrepta: gjatësia e një rrethi është kufiri i sekuencës së perimetrave të trekëndëshave të rregullt të gdhendur në një rreth, dhe zona e një rrethi është kufiri i sekuencës. të zonave të tyre. Kjo qasje pranohet gjithashtu në matematikën moderne, dhe në lidhje jo vetëm me rrethin dhe rrethin, por edhe me zona të tjera të lakuara ose zona të kufizuara nga konturet lakuare: në vend të shumëkëndëshave të rregullt, sekuencat e vijave të thyera me kulme në kthesa ose konturet e zonave. konsiderohen dhe kufiri merret kur gjatësia tenton te hallkat më të mëdha të vijës së thyer në zero.

Gjatësia e një harku rrethor përcaktohet në mënyrë të ngjashme: harku ndahet në pjesë të barabarta, pikat e ndarjes janë të lidhura me një vijë të thyer dhe gjatësia e harkut supozohet të jetë e barabartë me kufirin e perimetrave të tyre. vija të thyera si , me prirje drejt pafundësisë. (Ashtu si grekët e lashtë, ne nuk e sqarojmë vetë konceptin e kufirit - ai nuk i referohet më gjeometrisë dhe u prezantua mjaft rreptësisht vetëm në shekullin e 19-të.)

Nga përkufizimi i vetë numrit, formula për perimetrin vijon:

Për gjatësinë e një harku, mund të shkruajmë një formulë të ngjashme: meqenëse për dy harqe dhe me një kënd qendror të përbashkët, konsideratat e ngjashmërisë nënkuptojnë proporcionin, dhe prej tij proporcionin, pasi kalojmë në kufi, fitojmë pavarësinë (të rrezja e harkut) e raportit . Ky raport përcaktohet vetëm nga këndi qendror dhe quhet masa radiane e këtij këndi dhe të gjithë harqeve përkatëse me qendër në. Kjo jep formulën për gjatësinë e harkut:

ku është masa radiane e harkut.

Formulat e shkruara për dhe janë thjesht përkufizime ose shënime të rishkruara, por me ndihmën e tyre marrim formula për zonat e një rrethi dhe një sektori që janë larg nga thjesht shënime:

Për të nxjerrë formulën e parë, mjafton të shkoni në kufirin në formulë për zonën e një trekëndëshi të rregullt të gdhendur në një rreth:

Sipas përkufizimit, ana e majtë priret në zonën e rrethit, dhe ana e djathtë ka tendencë për numrin

dhe , bazat e medianave të saj dhe , pikat e mesit dhe segmentet e vijës nga pika e kryqëzimit të lartësive të saj në kulmet e saj.

Ky rreth, i gjetur në shek. nga shkencëtari i madh L. Euler (kjo është arsyeja pse shpesh quhet edhe rrethi i Euler-it), u rizbulua në shekullin e ardhshëm nga një mësues në një gjimnaz provincial në Gjermani. Ky mësues quhej Karl Feuerbach (ai ishte vëllai i filozofit të famshëm Ludwig Fouerbach). Për më tepër, K. Feuerbach zbuloi se një rreth me nëntë pika ka katër pika të tjera që janë të lidhura ngushtë me gjeometrinë e çdo trekëndëshi të caktuar. Këto janë pikat e kontaktit të tij me katër rrathë të një lloji të veçantë (Fig. 2). Njëri prej këtyre rrathëve është i gdhendur, tre të tjerët janë rrethore. Ato janë të gdhendura në qoshet e trekëndëshit dhe prekin anët e tij nga jashtë. Pikat e kontaktit të këtyre rrathëve me një rreth prej nëntë pikash quhen pika të Feuerbach-ut. Kështu, rrethi prej nëntë pikash është në të vërtetë rrethi i trembëdhjetë pikave.

Ky rreth është shumë i lehtë për t'u ndërtuar nëse i njihni dy vetitë e tij. Së pari, qendra e rrethit prej nëntë pikash shtrihet në mes të segmentit që lidh qendrën e rrethit të rrethuar rreth trekëndëshit me një pikë - ortoqendrën e tij (pika e kryqëzimit të lartësive të tij). Së dyti, rrezja e tij për një trekëndësh të caktuar është e barabartë me gjysmën e rrezes së rrethit të rrethuar rreth tij.

Për shumicën e të rriturve, koha e shkollës shoqërohet me një fëmijëri të pakujdesshme. Sigurisht, shumë ngurrojnë të ndjekin shkollën, por vetëm aty mund të fitojnë njohuri bazë që më vonë do t'u jenë të dobishme në jetë. Një nga këto është pyetja nëse dhe rrethi. Është mjaft e lehtë të ngatërrosh këto koncepte, sepse fjalët kanë të njëjtën rrënjë. Por ndryshimi mes tyre nuk është aq i madh sa mund t'i duket një fëmije pa përvojë. Fëmijët e duan këtë temë për shkak të thjeshtësisë së saj.

Çfarë është një rreth?

Rrethi është një vijë e mbyllur, secila pikë e së cilës është po aq e largët nga ajo qendrore. Shembulli më i mrekullueshëm i një rrethi është një rreth, i cili është një trup i mbyllur. Në fakt, nuk ka nevojë të flitet shumë për rrethin. Në pyetjen se çfarë janë një rreth dhe një rreth, pjesa e dytë e tij është shumë më interesante.

Çfarë është një rreth?

Imagjinoni që keni vendosur të ngjyrosni rrethin e vizatuar më lart. Për ta bërë këtë, ju mund të zgjidhni çdo ngjyrë: blu, të verdhë ose jeshile - çfarëdo që i përshtatet shijes tuaj. Dhe kështu ju filluat të mbushni boshllëkun me diçka. Pasi kjo u përfundua, ne përfunduam me një formë të quajtur rreth. Në thelb, një rreth është një pjesë e një sipërfaqeje të përshkruar nga një rreth.

Një rreth ka disa parametra të rëndësishëm, disa prej të cilëve janë gjithashtu karakteristikë për një rreth. E para është rrezja. Është distanca midis pikës qendrore të një rrethi (ose rrethi) dhe vetë rrethit, e cila krijon kufijtë e rrethit. Karakteristika e dytë e rëndësishme që përdoret vazhdimisht në problemet e shkollës është diametri (d.m.th., distanca midis pikave të kundërta të rrethit).

Dhe së fundi, karakteristika e tretë e natyrshme në një rreth është zona. Kjo veti është specifike vetëm për të, një rreth nuk ka zonë për faktin se nuk ka asgjë brenda, dhe qendra, ndryshe nga një rreth, është më shumë imagjinare se reale. Në vetë rrethin, ju mund të krijoni një qendër të qartë përmes së cilës mund të vizatoni një sërë linjash që e ndajnë atë në sektorë.

Shembuj të një rrethi në jetën reale

Në fakt, ka mjaft objekte të mundshme që mund të quhen një lloj rrethi. Për shembull, nëse shikoni drejtpërdrejt në një rrotë makine, atëherë këtu është një shembull i një rrethi të përfunduar. Po, nuk është e nevojshme të mbushet me një ngjyrë të vetme, modele të ndryshme brenda saj janë mjaft të mundshme. Shembulli i dytë i një rrethi është dielli. Sigurisht, do të jetë e vështirë ta shikosh, por duket si një rreth i vogël në qiell.

Po, vetë ylli i Diellit nuk është një rreth, ai gjithashtu ka vëllim. Por vetë dielli, të cilin e shohim mbi kokat tona në verë, është një rreth tipik. Vërtetë, ai ende nuk do të jetë në gjendje të llogarisë zonën. Në fund të fundit, krahasimi i tij me një rreth është dhënë vetëm për qartësi, për ta bërë më të lehtë të kuptojmë se çfarë është një rreth dhe një rreth.

Dallimet midis një rrethi dhe një rrethi

Pra, çfarë përfundimi mund të nxjerrim? Dallimi midis një rrethi dhe një rrethi është se ky i fundit ka një sipërfaqe, dhe në shumicën e rasteve rrethi është kufiri i rrethit. Edhe pse ka përjashtime në shikim të parë. Ndonjëherë mund të duket se nuk ka rreth në një rreth, por kjo nuk është kështu. Në çdo rast, ka diçka. Thjesht rrethi mund të jetë shumë i vogël, dhe më pas nuk është i dukshëm me sy të lirë.

Rrethi mund të jetë gjithashtu ai që e bën rrethin të dallohet nga sfondi. Për shembull, në imazhin e mësipërm, rrethi blu është në një sfond të bardhë. Por linja me të cilën kuptojmë se figura fillon këtu quhet në këtë rast rreth. Pra, perimetri është një rreth. Ky është ndryshimi midis një rrethi dhe një rrethi.

Çfarë është një sektor?

Një sektor është një pjesë e një rrethi që formohet nga dy rreze të tërhequra përgjatë tij. Për të kuptuar këtë përkufizim, thjesht duhet të mendoni për picën. Kur pritet në copa të barabarta, të gjithë janë sektorë të rrethit, i cili paraqitet në formën e një pjate kaq të shijshme. Në këtë rast, sektorët nuk duhet domosdoshmërisht të jenë të barabartë. Ato mund të jenë të madhësive të ndryshme. Për shembull, nëse prisni gjysmën e një pice, do të jetë gjithashtu një sektor i këtij rrethi.

Objekti i përfaqësuar nga ky koncept mund të ketë vetëm një rreth. Kjo gjithashtu mund të bëhet, natyrisht, por pas kësaj do të bëhet një rreth) nuk ka zonë, kështu që nuk do të jetë e mundur të zgjidhet një sektor.

konkluzionet

Po, tema e rrethit dhe perimetrit (çfarë është) është shumë e lehtë për t'u kuptuar. Por në përgjithësi, gjithçka që lidhet me këto është më e vështira për t'u studiuar. Një student duhet të përgatitet për faktin se një rreth është një figurë kapriçioze. Por, siç thonë ata, është e vështirë të mësosh, por është e lehtë të luftosh. Po, gjeometria është një shkencë komplekse. Por zotërimi i tij i suksesshëm ju lejon të bëni një hap të vogël drejt suksesit. Sepse përpjekjet për të mësuar ju lejojnë jo vetëm të rimbushni njohuritë tuaja, por edhe të fitoni aftësitë e nevojshme në jetë. Në fakt, kjo është ajo që synon shkolla. Dhe përgjigja në pyetjen se çfarë janë një rreth dhe një rreth është dytësore, megjithëse e rëndësishme.

Për të marrë një ide të përgjithshme se çfarë është një rreth, shikoni një unazë ose rrathë. Ju gjithashtu mund të merrni një gotë dhe filxhan të rrumbullakët, ta vendosni me kokë poshtë në një copë letër dhe ta gjurmoni me laps. Me zmadhimin e përsëritur, vija që rezulton do të bëhet e trashë dhe jo plotësisht e lëmuar, dhe skajet e saj do të turbullohen. Një rreth si një figurë gjeometrike nuk ka një karakteristikë të tillë si trashësia.

Rrethi: përkufizimi dhe mjetet themelore të përshkrimit

Rrethi është një kurbë e mbyllur e përbërë nga shumë pika të vendosura në të njëjtin rrafsh dhe në distancë të barabartë nga qendra e rrethit. Në këtë rast, qendra është në të njëjtin plan. Si rregull, shënohet me shkronjën O.

Distanca nga çdo pikë e rrethit në qendër quhet rreze dhe shënohet me shkronjën R.

Nëse lidhni dy pika në një rreth, segmenti që rezulton do të quhet akord. Korda që kalon në qendër të rrethit është diametri, i shënuar me shkronjën D. Diametri e ndan rrethin në dy harqe të barabarta dhe është dyfishi i gjatësisë së rrezes. Kështu, D = 2R, ose R = D/2.

Vetitë e kordave

Nëse një akord tërhiqet nëpër çdo dy pika të rrethit, dhe më pas një rreze ose diametër tërhiqet pingul me këtë të fundit, atëherë ky segment do të ndajë si kordën ashtu edhe harkun e prerë prej tij në dy pjesë të barabarta. Deklarata e kundërt është gjithashtu e vërtetë: nëse rrezja (diametri) e ndan kordën në gjysmë, atëherë ajo është pingul me të.
Nëse dy korda paralele vizatohen brenda të njëjtit rreth, atëherë harqet e prera prej tyre, si dhe ato të mbyllura midis tyre, do të jenë të barabarta.
Le të vizatojmë dy korda PR dhe QS që kryqëzohen brenda rrethit në pikën T. Prodhimi i segmenteve të një kordeje do të jetë gjithmonë i barabartë me prodhimin e segmenteve të një kordeje tjetër, domethënë PT x TR = QT x TS.

Perimetri: koncepti i përgjithshëm dhe formulat bazë

Një nga karakteristikat themelore të kësaj figure gjeometrike është perimetri. Formula rrjedh duke përdorur sasi të tilla si rrezja, diametri dhe konstantja "π", duke reflektuar qëndrueshmërinë e raportit të perimetrit me diametrin e tij.

Kështu, L = πD, ose L = 2πR, ku L është perimetri, D është diametri, R është rrezja.

Formula për perimetrin mund të konsiderohet si ajo fillestare kur gjejmë rrezen ose diametrin për një perimetër të caktuar: D = L/π, R = L/2π.

Çfarë është një rreth: postulatet themelore

nuk kanë pika të përbashkëta;
kanë një pikë të përbashkët, dhe vija e drejtë quhet tangjente: nëse vizatoni një rreze përmes qendrës dhe pikës së tangjencës, atëherë ajo do të jetë pingul me tangjenten;
kanë dy pika të përbashkëta, dhe drejtëza quhet sekant.

2. Nëpër tre pika arbitrare që shtrihen në të njëjtin rrafsh, nuk mund të vizatohet më shumë se një rreth.

3. Dy rrathë mund të prekin vetëm në një pikë, e cila ndodhet në segmentin që lidh qendrat e këtyre rrathëve.

4. Për çdo rrotullim në lidhje me qendrën, rrethi kthehet në vetvete.

5. Çfarë është rrethi për nga simetria?

e njëjta lakim i vijës në çdo pikë;
në lidhje me pikën O;
simetria e pasqyrës në lidhje me diametrin.

6. Nëse ndërtoni dy kënde arbitrare të brendashkruara bazuar në të njëjtin hark të një rrethi, ata do të jenë të barabartë. Një kënd i bazuar në një hark të barabartë me gjysmën, domethënë i prerë nga një diametër akord, është gjithmonë i barabartë me 90 °.

7. Nëse krahasoni vija të lakuara të mbyllura me të njëjtën gjatësi, rezulton se rrethi kufizon pjesën e rrafshit me sipërfaqen më të madhe.

Rreth i brendashkruar dhe i rrethuar nga një trekëndësh

Ideja se çfarë është një rreth do të jetë e paplotë pa një përshkrim të veçorive të marrëdhënies së tij me trekëndëshat.

Kur ndërtoni një rreth të gdhendur në një trekëndësh, qendra e tij gjithmonë do të përkojë me pikën e kryqëzimit të trekëndëshit.
Qendra e një rrethi të rrethuar rreth një trekëndëshi ndodhet në kryqëzimin e pinguleve mesatare në secilën nga anët e trekëndëshit.
Nëse përshkruajmë një rreth, atëherë qendra e tij do të jetë në mes të hipotenuzës, domethënë kjo e fundit do të jetë diametri.
Qendrat e rrathëve të brendashkruar dhe të rrethuar do të jenë në të njëjtën pikë nëse baza për ndërtimin është

Deklarata themelore për rrathët dhe katërkëndëshat

Një rreth mund të përshkruhet rreth një katërkëndëshi konveks vetëm kur shuma e këndeve të tij të brendshme të kundërta është 180°.
Është e mundur të ndërtohet një rreth i brendashkruar në një katërkëndësh konveks nëse shuma e gjatësive të anëve të kundërta të tij është e njëjtë.
Ju mund të përshkruani një rreth rreth një paralelogrami nëse këndet e tij janë të drejta.
Një rreth mund të futet në një paralelogram nëse të gjitha anët e tij janë të barabarta, domethënë është një romb.
Ju mund të ndërtoni një rreth nëpër qoshet e një trapezoidi vetëm nëse ai është dykëndor. Në këtë rast, qendra e rrethit të rrethuar do të vendoset në kryqëzimin e katërkëndëshit dhe pingulës mesatare të tërhequr në anën.

DHE rrethi- forma gjeometrike të ndërlidhura. ka një vijë të thyer kufiri (lakore) rrethi,

Përkufizimi. Rrethi është një kurbë e mbyllur, secila pikë e së cilës është e barabartë nga një pikë e quajtur qendra e rrethit.

Për të ndërtuar një rreth, zgjidhet një pikë arbitrare O, merret si qendër e rrethit dhe vizatohet një vijë e mbyllur duke përdorur një busull.

Nëse pika O e qendrës së rrethit është e lidhur me pika arbitrare në rreth, atëherë të gjithë segmentet që rezultojnë do të jenë të barabartë me njëri-tjetrin, dhe segmente të tilla quhen rreze, të shkurtuara me shkronjën latine të vogël ose të madhe "er" ( r ose R). Ju mund të vizatoni aq rreze në një rreth sa ka pika në gjatësinë e rrethit.

Një segment që lidh dy pika në një rreth dhe kalon nga qendra e tij quhet diametër. Diametri përbëhet nga dy rrezet, i shtrirë në të njëjtën vijë të drejtë. Diametri tregohet me shkronjën latine të vogël ose të madhe "de" ( d ose D).

Rregulli. Diametri një rreth është i barabartë me dy prej tij rrezet.

d = 2r
D=2R

Perimetri i një rrethi llogaritet me formulë dhe varet nga rrezja (diametri) e rrethit. Formula përmban numrin ¶, i cili tregon se sa herë perimetri është më i madh se diametri i tij. Numri ¶ ka një numër të pafund vendesh dhjetore. Për llogaritjet, është marrë ¶ = 3.14.

Perimetri i një rrethi shënohet me shkronjën e madhe latine "tse" ( C). Perimetri i një rrethi është proporcional me diametrin e tij. Formulat për llogaritjen e perimetrit të një rrethi bazuar në rrezen dhe diametrin e tij:

C = ¶d
C = 2¶r

Shembuj
Jepet: d = 100 cm.
Perimetri: C=3,14*100cm=314cm
Jepet: d = 25 mm.
Perimetri: C = 2 * 3.14 * 25 = 157 mm

Sekant rrethor dhe hark rrethor

Çdo sekant (vijë e drejtë) pret një rreth në dy pika dhe e ndan atë në dy harqe. Madhësia e harkut të një rrethi varet nga distanca midis qendrës dhe sekantit dhe matet përgjatë një kurbë të mbyllur nga pika e parë e kryqëzimit të sekantit me rrethin në të dytën.

harqe rrathët janë të ndarë sekant në një të madh dhe një minor nëse sekanti nuk përkon me diametrin dhe në dy harqe të barabarta nëse sekanti kalon përgjatë diametrit të rrethit.

Nëse një sekant kalon nëpër qendrën e një rrethi, atëherë segmenti i tij i vendosur midis pikave të kryqëzimit me rrethin është diametri i rrethit, ose korda më e madhe e rrethit.

Sa më larg të jetë sekanti nga qendra e rrethit, aq më e vogël është masa e shkallës së harkut më të vogël të rrethit dhe aq më i madh është harku më i madh i rrethit, dhe segmenti i sekantit, i quajtur akord, zvogëlohet ndërsa sekanti largohet nga qendra e rrethit.

Përkufizimi. Një rreth është një pjesë e një aeroplani të shtrirë brenda një rrethi.

Qendra, rrezja dhe diametri i një rrethi janë njëkohësisht qendra, rrezja dhe diametri i rrethit përkatës.

Meqenëse një rreth është pjesë e një rrafshi, një nga parametrat e tij është zona.

Rregulli. Sipërfaqja e një rrethi ( S) është e barabartë me produktin e katrorit të rrezes ( r 2) në numrin ¶.

Shembuj
Jepet: r = 100 cm
Zona e një rrethi:
S = 3,14 * 100 cm * 100 cm = 31,400 cm 2 ≈ 3 m 2
Jepet: d = 50 mm
Zona e një rrethi:
S = ¼ * 3,14 * 50 mm * 50 mm = 1,963 mm 2 ≈ 20 cm 2

Nëse vizatoni dy rreze në një rreth në pika të ndryshme të rrethit, atëherë formohen dy pjesë të rrethit, të cilat quhen sektorët. Nëse vizatoni një akord në një rreth, atëherë pjesa e rrafshit midis harkut dhe kordës quhet segment rrethi.

Së pari, le të kuptojmë ndryshimin midis një rrethi dhe një rrethi. Për të parë këtë ndryshim, mjafton të shqyrtojmë se cilat janë të dyja shifrat. Këto janë një numër i pafund pikash në aeroplan, të vendosura në një distancë të barabartë nga një pikë e vetme qendrore. Por, nëse rrethi përbëhet edhe nga hapësira e brendshme, atëherë ai nuk i përket rrethit. Rezulton se një rreth është njëkohësisht një rreth që e kufizon atë (rrethi(r)), dhe një numër i panumërt pikash që janë brenda rrethit.

Për çdo pikë L që shtrihet në rreth, vlen barazia OL=R. (Gjatësia e segmentit OL është e barabartë me rrezen e rrethit).

Një segment që lidh dy pika në një rreth është i tij akord.

Një akord që kalon drejtpërdrejt në qendër të një rrethi është diametri ky rreth (D). Diametri mund të llogaritet duke përdorur formulën: D=2R

Perimetri llogaritur me formulën: C=2\pi R

Zona e një rrethi: S=\pi R^(2)

Harku i një rrethi quhet ajo pjesë e saj që ndodhet midis dy pikave të saj. Këto dy pika përcaktojnë dy harqe të një rrethi. CD-ja e kordës nënshtron dy harqe: CMD dhe CLD. Akordet identike nënshtrojnë harqe të barabarta.

Këndi qendror Një kënd që shtrihet midis dy rrezeve quhet.

Gjatësia e harkut mund të gjendet duke përdorur formulën:

Përdorimi i masës së shkallës: CD = \frac(\pi R \alfa ^(\circ))(180^(\circ))
Duke përdorur masën e radianit: CD = \alpha R

Diametri, i cili është pingul me kordën, ndan akordin dhe harqet e kontraktuara prej saj në gjysmë.

Nëse kordat AB dhe CD të një rrethi kryqëzohen në pikën N, atëherë prodhimet e segmenteve të kordave të ndara nga pika N janë të barabarta me njëri-tjetrin.

AN\cdot NB = CN\cdot ND

Tangjent në një rreth

Tangjent në një rrethËshtë zakon të quajmë një vijë të drejtë që ka një pikë të përbashkët me një rreth.

Nëse një drejtëz ka dy pika të përbashkëta, quhet sekant.

Nëse e vizatoni rrezen në pikën tangjente, ajo do të jetë pingul me tangjenten me rrethin.

Le të vizatojmë dy tangjente nga kjo pikë në rrethin tonë. Rezulton se segmentet tangjente do të jenë të barabarta me njëri-tjetrin, dhe qendra e rrethit do të vendoset në përgjysmuesin e këndit me kulmin në këtë pikë.

AC = CB

Tani le të vizatojmë një tangjente dhe një sekante në rreth nga pika jonë. Ne marrim se katrori i gjatësisë së segmentit tangjent do të jetë i barabartë me produktin e të gjithë segmentit sekant dhe pjesës së jashtme të tij.

AC^(2) = CD \cdot BC

Mund të konkludojmë: prodhimi i një segmenti të tërë të sekantit të parë dhe pjesës së jashtme të tij është i barabartë me produktin e një segmenti të tërë të sekantit të dytë dhe pjesës së jashtme të tij.

AC\cdot BC = EC\cdot DC

Kënde në një rreth

Masat e shkallës së këndit qendror dhe harkut në të cilin mbështetet janë të barabarta.

\këndi COD = \ filxhan CD = \alfa ^(\circ)

Këndi i brendashkruarështë një kënd, kulmi i të cilit është në një rreth dhe anët e të cilit përmbajnë korda.

Mund ta llogarisni duke ditur madhësinë e harkut, pasi është e barabartë me gjysmën e këtij harku.

\kënd AOB = 2 \kënd ADB

Bazuar në një diametër, kënd të brendashkruar, kënd të drejtë.

\kënd CBD = \kënd CED = \kënd CAD = 90^ (\circ)

Këndet e brendashkruara që nënshtrojnë të njëjtin hark janë identike.

Këndet e brendashkruara që mbështeten në një kordë janë identike ose shuma e tyre është e barabartë me 180^ (\circ) .

\këndi ADB + \këndi AKB = 180^ (\circ)

\këndi ADB = \këndi AEB = \këndi AFB

Në të njëjtin rreth janë kulmet e trekëndëshave me kënde identike dhe një bazë të caktuar.

Një kënd me një kulm brenda rrethit dhe i vendosur midis dy kordave është identik me gjysmën e shumës së vlerave këndore të harqeve të rrethit që përmbahen brenda këndeve të dhëna dhe vertikale.

\kënd DMC = \kënd ADM + \kënd DAM = \frac(1)(2) \majtas (\kup DmC + \kupë AlB \djathtas)

Një kënd me një kulm jashtë rrethit dhe i vendosur midis dy sekanteve është identik me gjysmën e ndryshimit në vlerat këndore të harqeve të rrethit që përmbahen brenda këndit.

\këndi M = \këndi CBD - \këndi ACB = \frac(1)(2) \majtas (\kup DmC - \kupë AlB \djathtas)

Rreth i brendashkruar

Rreth i brendashkruarështë një rreth tangjent me brinjët e një shumëkëndëshi.

Në pikën ku kryqëzohen përgjysmorët e këndeve të një shumëkëndëshi, ndodhet qendra e tij.

Një rreth mund të mos jetë i gdhendur në çdo shumëkëndësh.

Sipërfaqja e një shumëkëndëshi me një rreth të brendashkruar gjendet me formulën:

S = pr,

p është gjysmëperimetri i shumëkëndëshit,

r është rrezja e rrethit të brendashkruar.

Nga kjo rrjedh se rrezja e rrethit të brendashkruar është e barabartë me:

r = \frac(S)(p)

Shumat e gjatësive të brinjëve të kundërta do të jenë identike nëse rrethi është i gdhendur në një katërkëndësh konveks. Dhe anasjelltas: një rreth përshtatet në një katërkëndësh konveks nëse shumat e gjatësive të anëve të kundërta janë identike.

AB + DC = AD + BC

Është e mundur të futet një rreth në cilindo nga trekëndëshat. Vetëm një të vetme. Në pikën ku kryqëzohen përgjysmorët e këndeve të brendshme të figurës, qendra e këtij rrethi të brendashkruar do të shtrihet.

Rrezja e rrethit të brendashkruar llogaritet me formulën:

r = \frac(S)(p) ,

ku p = \frac(a + b + c)(2)

rrethi

Nëse një rreth kalon nëpër çdo kulm të një shumëkëndëshi, atëherë një rreth i tillë zakonisht quhet përshkruar për një shumëkëndësh.

Në pikën e kryqëzimit të përgjysmuesve pingulë të anëve të kësaj figure do të jetë qendra e rrethit të rrethuar.

Rrezja mund të gjendet duke e llogaritur atë si rrezja e rrethit që është rrethuar rreth trekëndëshit të përcaktuar nga çdo 3 kulme të shumëkëndëshit.

Ekziston kushti i mëposhtëm: një rreth mund të përshkruhet rreth një katërkëndëshi vetëm nëse shuma e këndeve të kundërta të tij është e barabartë me 180^( \circ) .

\këndi A + \këndi C = \këndi B + \këndi D = 180^ (\rreth)

Rreth çdo trekëndëshi mund të përshkruani një rreth, dhe vetëm një. Qendra e një rrethi të tillë do të vendoset në pikën ku kryqëzohen përgjysmuesit pingul të brinjëve të trekëndëshit.

Rrezja e rrethit të rrethuar mund të llogaritet duke përdorur formulat:

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = \frac(abc)(4 S)

a, b, c janë gjatësitë e brinjëve të trekëndëshit,

S është zona e trekëndëshit.

Teorema e Ptolemeut

Më në fund, merrni parasysh teoremën e Ptolemeut.

Teorema e Ptolemeut thotë se prodhimi i diagonaleve është identik me shumën e produkteve të anëve të kundërta të një katërkëndëshi ciklik.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve