Vetitë e numrave irracionalë. Çfarë janë numrat racionalë dhe irracionalë

Të gjithë numrat racionalë mund të paraqiten si një thyesë e përbashkët. Kjo vlen për numrat e plotë (për shembull, 12, -6, 0), dhe thyesat dhjetore të fundme (për shembull, 0,5; -3,8921), dhe thyesat dhjetore periodike të pafundme (për shembull, 0,11(23); -3,(87 )).

Megjithatë e pafundme jo periodike dhjetore përfaqësojnë në formë thyesat e zakonshme e pamundur. Ja çfarë janë ata numrat irracionalë(domethënë irracionale). Një shembull i një numri të tillë është numri π, i cili është afërsisht i barabartë me 3.14. Sidoqoftë, nuk mund të përcaktohet saktësisht se çfarë është e barabartë, pasi pas numrit 4 ka një seri të pafund numrash të tjerë në të cilët nuk mund të dallohen periudhat e përsëritura. Për më tepër, megjithëse numri π nuk mund të shprehet saktësisht, ai ka një specifikë kuptimi gjeometrik. Numri π është raporti i gjatësisë së çdo rrethi me gjatësinë e diametrit të tij. Kështu, numrat irracionalë ekzistojnë në të vërtetë në natyrë, ashtu si numrat racionalë.

Një shembull tjetër i numrave irracionalë janë rrënjët katrore të numrave pozitivë. Nxjerrja e rrënjëve vetëm nga numrat jep vlerat racionale, nga të tjerët - irracionale. Për shembull, √4 = 2, pra rrënja e 4 është numër racional. Por √2, √5, √7 dhe shumë të tjera rezultojnë në numra irracionalë, domethënë, ato mund të nxirren vetëm me përafrim, duke rrumbullakosur në një numër dhjetor të caktuar. Në këtë rast, fraksioni bëhet jo periodik. Kjo është, është e pamundur të thuhet saktësisht dhe definitivisht pse e barabartë me rrënjën nga këto numra.

Pra, √5 është një numër që shtrihet midis numrave 2 dhe 3, pasi √4 = 2, dhe √9 = 3. Mund të konkludojmë gjithashtu se √5 është më afër 2 sesa 3, sepse √4 është më afër √5 se √9 deri në √5. Në të vërtetë, √5 ≈ 2,23 ose √5 ≈ 2,24.

Numrat irracionalë fitohen edhe në llogaritjet e tjera (dhe jo vetëm kur nxirren rrënjët), dhe mund të jenë negativë.

Në lidhje me numrat irracionalë, mund të themi se pavarësisht se çfarë segmenti njësi do të marrim për të matur gjatësinë e shprehur me një numër të tillë, nuk do të mund ta masim patjetër atë.

Në veprimet aritmetike, numrat irracionalë mund të marrin pjesë së bashku me numrat racionalë. Në të njëjtën kohë, ka një sërë rregullsish. Për shembull, nëse vetëm numrat racional janë të përfshirë në një veprim aritmetik, atëherë rezultati është gjithmonë një numër racional. Nëse vetëm ato irracionale marrin pjesë në operacion, atëherë është e pamundur të thuhet pa mëdyshje nëse rezultati do të jetë një numër racional apo irracional.

Për shembull, nëse shumëzoni dy numra irracionalë √2 * √2, merrni 2 - ky është një numër racional. Nga ana tjetër, √2 * √3 = √6 është një numër irracional.

Nëse një operacion aritmetik përfshin numra racionalë dhe irracionalë, atëherë rezultati do të jetë irracional. Për shembull, 1 + 3.14... = 4.14... ; √17 – 4.

Pse √17 – 4 është një numër irracional? Le të imagjinojmë se marrim një numër racional x. Atëherë √17 = x + 4. Por x + 4 është një numër racional, sepse supozuam se x është racional. Numri 4 është gjithashtu racional, kështu që x + 4 është racional. Megjithatë, një numër racional nuk mund të jetë i barabartë me numrin irracional √17. Prandaj, supozimi se √17 – 4 jep një rezultat racional është i pasaktë. Rezultati i një operacioni aritmetik do të jetë irracional.

Megjithatë, ekziston një përjashtim nga ky rregull. Nëse shumëzojmë një numër irracional me 0, marrim numrin racional 0.

Nga abstraksioni konceptet matematikore Ndonjëherë ka një ajër të tillë shkëputjeje saqë lind padashur mendimi: "Pse është e gjithë kjo?" Por, pavarësisht përshtypjes së parë, të gjitha teoremat, veprimet aritmetike, funksionet, etj. - asgjë më shumë se një dëshirë për të kënaqur nevojat themelore. Kjo mund të shihet veçanërisht qartë në shembullin e paraqitjes së grupeve të ndryshme.

Gjithçka filloi me paraqitjen numrat natyrorë. Dhe, megjithëse nuk ka gjasa që tani dikush të jetë në gjendje të përgjigjet se si ishte saktësisht, por ka shumë të ngjarë, këmbët e mbretëreshës së shkencave rriten nga diku në shpellë. Këtu, duke analizuar numrin e lëkurave, gurëve dhe fiseve, një person ka shumë "numra për të numëruar". Dhe kjo i mjaftoi atij. Deri në një moment, sigurisht.

Pastaj lëkurat dhe gurët duhej të ndaheshin dhe të hiqeshin. Kështu lindi nevoja për veprime aritmetike, e bashkë me to edhe ato racionale, të cilat mund të përkufizohen si thyesë si m/n, ku p.sh. m është numri i lëkurave, n numri i bashkëfisnive.

Duket se është tashmë e hapur aparate matematikore mjaftueshëm për të shijuar jetën. Por shpejt doli se ka raste kur rezultati nuk është vetëm një numër i plotë, por as edhe një pjesë! Dhe, me të vërtetë, rrënjë katrore Nga të dy, nuk ka asnjë mënyrë tjetër për ta shprehur atë duke përdorur një numërues dhe një emërues. Ose, për shembull, të gjithë numër i njohur Pi, i zbuluar nga shkencëtari i lashtë grek Arkimedi, gjithashtu nuk është racional. Dhe me kalimin e kohës, zbulime të tilla u bënë aq të shumta sa të gjithë numrat që nuk mund të "racionalizoheshin" u kombinuan dhe u quajtën irracionalë.

Vetitë

Grupet e konsideruara më parë i përkasin një grupi konceptesh themelore të matematikës. Kjo do të thotë se ato nuk mund të përcaktohen më thjeshtë objekte matematikore. Por kjo mund të bëhet me ndihmën e kategorive (nga "deklaratat" greke) ose postulatet. NË në këtë rast Ishte më mirë të tregoheshin vetitë e këtyre grupeve.

o Numrat irracionalë përcaktojnë prerjet Dedekind në bashkësinë e numrave racionalë që nuk kanë një numër më të madh në numrin e poshtëm dhe nuk kanë një numër më të vogël në atë të sipërm.

o Secila numër transcendentalështë irracionale.

o Çdo numër irracional është ose algjebrik ose transcendental.

o Bashkësia e numrave është e dendur kudo në vijën numerike: midis çdonjërit ka një numër irracional.

o Kompleti është i panumërueshëm dhe është një grup i kategorisë së dytë Baire.

o Ky grup është i renditur, domethënë për çdo dy numra racionalë të ndryshëm a dhe b, mund të tregoni se cili është më i vogël se tjetri.
o Midis çdo dy numrash racionalë të ndryshëm ka të paktën një më shumë, prandaj grup i pafund numrat racionalë.

o Veprimet aritmetike(mbledhja, shumëzimi dhe pjesëtimi) mbi çdo dy numra racionalë janë gjithmonë të mundshëm dhe rezultojnë në një numër të caktuar racional. Përjashtim bën pjesëtimi me zero, gjë që është e pamundur.

o Çdo numër racional mund të paraqitet si thyesë dhjetore (periodike e fundme ose pafundësisht).

Një numër racional është një numër që mund të paraqitet si një thyesë, ku . Q është bashkësia e të gjithë numrave racionalë.

Numrat racionalë ndahen në: pozitiv, negativ dhe zero.

Çdo numër racional mund të shoqërohet me një pikë të vetme në vijën koordinative. Lidhja "më shumë në të majtë" për pikat korrespondon me relacionin "më pak se" për koordinatat e këtyre pikave. Mund të vëreni se çdo numër negativ është më i vogël se zero dhe çdo numër pozitiv; Nga dy numrat negativë, ai madhësia e të cilit është më i madh është më i vogël. Pra, -5.3<-4.1, т.к. |5.3|>|4.1|.

Çdo numër racional mund të paraqitet si dhjetor fraksion periodik. Për shembull,.

Algoritmet për veprimet mbi numrat racional rrjedhin nga rregullat e shenjave për veprimet përkatëse mbi thyesat zero dhe pozitive. Në Q, pjesëtimi kryhet përveç pjesëtimit me zero.

Çdo ekuacioni linear, d.m.th. ekuacioni i formës ax+b=0, ku , është i zgjidhshëm në bashkësinë Q, por jo ndonjë ekuacioni kuadratik lloji , i zgjidhshëm në numra racional. Jo çdo pikë në një vijë koordinative ka një pikë racionale. Në fund të shekullit të 6-të para Krishtit. n. e në shkollën e Pitagorës u vërtetua se diagonalja e një katrori nuk është në përpjesëtim me lartësinë e tij, gjë që është e barabartë me pohimin: “Ekuacioni nuk ka rrënjët racionale" Të gjitha sa më sipër çuan në nevojën për të zgjeruar grupin Q dhe u prezantua koncepti i një numri irracional. Le të shënojmë bashkësinë e numrave irracionalë me shkronjë J .

Në një vijë koordinative, kam koordinata irracionale të gjitha pikat që nuk kanë koordinata racionale. , ku r – vendos numra realë. Në mënyrë universale caktimet e numrave realë janë thyesa dhjetore. Dhjetat periodike përcaktojnë numrat racionalë, dhe dhjetoret joperiodike përcaktojnë numrat irracionalë. Pra, 2.03(52) është një numër racional, 2.03003000300003... (periudha e çdo numri pasues "3" shkruhet një zero më shumë) është një numër irracional.

Bashkësitë Q dhe R kanë vetitë e pozitivitetit: midis çdo dy numrash racional ekziston një numër racional, për shembull, esoi a

Për çdo numër irracional α ju mund të tregoni një përafrim racional me një mangësi dhe një tepricë me çdo saktësi: a< α

Operacioni i marrjes së rrënjës së disa numrave racional rezulton në numra irracionalë. Nxjerrja e rrënjës së një shkalle natyrore është një veprim algjebrik, d.m.th. futja e tij shoqërohet me zgjidhjen e një ekuacioni algjebrik të formës . Nëse n është tek, d.m.th. n=2k+1, ku , atëherë ekuacioni ka një rrënjë të vetme. Nëse n është çift, n=2k, ku , atëherë për a=0 ekuacioni ka një rrënjë të vetme x=0, për një<0 корней нет, при a>0 ka dy rrënjë që janë të kundërta me njëra-tjetrën. Nxjerrja e rrënjës është operacioni i kundërt i ngritjes në fuqi natyrore.

Një rrënjë aritmetike (rrënja për shkurt) e shkallës së n-të të një numri jonegativ a është një numër jo negativ b, i cili është rrënja e ekuacionit. Rrënja e n-të e një numri shënohet me simbolin. Kur n=2, shkalla e rrënjës 2 nuk tregohet: .

Për shembull, sepse 2 2 =4 dhe 2>0; , sepse 3 3 =27 dhe 3>0; nuk ekziston sepse -4<0.

Për n=2k dhe a>0, rrënjët e ekuacionit (1) shkruhen si dhe . Për shembull, rrënjët e ekuacionit x 2 =4 janë 2 dhe -2.

Për n tek, ekuacioni (1) ka një rrënjë unike për çdo . Nëse a≥0, atëherë është rrënja e këtij ekuacioni. Nëse a<0, то –а>0 dhe është rrënja e ekuacionit. Pra, ekuacioni x 3 =27 ka një rrënjë.

Përkufizimi i një numri irracional

Numrat irracionalë janë ata numra që në shënimet dhjetore paraqesin thyesa dhjetore të pafundme jo periodike.

Kështu, për shembull, numrat e fituar duke marrë rrënjën katrore të numrave natyrorë janë irracionalë dhe nuk janë katrorë të numrave natyrorë. Por jo të gjithë numrat irracionalë fitohen duke marrë rrënjë katrore, sepse numri pi i marrë me pjesëtim është gjithashtu irracional dhe nuk ka gjasa që ta merrni duke u përpjekur të nxirrni rrënjën katrore të një numri natyror.

Vetitë e numrave irracionalë

Ndryshe nga numrat e shkruar si dhjetore të pafundme, vetëm numrat irracionalë shkruhen si dhjetore të pafundme jo periodike.
Shuma e dy numrave irracionalë jonegativë mund të përfundojë të jetë një numër racional.
Numrat irracionalë përcaktojnë prerjet Dedekind në bashkësinë e numrave racionalë, në klasën e ulët nuk ka numër më të madh dhe në klasën e lartë nuk ka më të vogël.
Çdo numër real transcendental është irracional.
Të gjithë numrat irracionalë janë ose algjebrikë ose transcendentalë.
Bashkësia e numrave irracionalë në një rresht është e vendosur në mënyrë të dendur, dhe midis çdo dy prej numrave të saj sigurisht që do të ketë një numër irracional.
Bashkësia e numrave irracionalë është e pafundme, e panumërueshme dhe është një bashkësi e kategorisë së dytë.
Kur kryeni ndonjë veprim aritmetik mbi numrat racional, përveç pjesëtimit me 0, rezultati do të jetë një numër racional.
Kur i shtojmë një numër racional një numri irracional, rezultati është gjithmonë një numër irracional.
Kur mbledhim numra irracionalë, mund të përfundojmë me një numër racional.
Bashkësia e numrave irracionalë nuk është çift.

Numrat nuk janë irracionalë

Ndonjëherë është mjaft e vështirë t'i përgjigjemi pyetjes nëse një numër është irracional, veçanërisht në rastet kur numri është në formën e një thyese dhjetore ose në formën e një shprehjeje numerike, rrënjë ose logaritmi.

Prandaj, nuk do të jetë e tepërt të dimë se cilët numra nuk janë iracionalë. Nëse ndjekim përkufizimin e numrave irracionalë, atëherë tashmë e dimë se numrat racionalë nuk mund të jenë iracionalë.

Numrat irracionalë nuk janë:

Së pari, të gjithë numrat natyrorë;
Së dyti, numrat e plotë;
Së treti, thyesat e zakonshme;
Së katërti, numra të ndryshëm të përzier;
Së pesti, këto janë thyesa dhjetore periodike të pafundme.

Përveç të gjitha sa më sipër, një numër irracional nuk mund të jetë çdo kombinim i numrave racionalë që kryhet nga shenjat e veprimeve aritmetike, si +, -, , :, pasi në këtë rast rezultati i dy numrave racional do të jetë gjithashtu. një numër racional.

Tani le të shohim se cilët numra janë irracionalë:

A dini për ekzistencën e një klubi fansash, ku fansat e këtij fenomeni misterioz matematikor kërkojnë gjithnjë e më shumë informacion për Pi, duke u përpjekur të zbardhin misterin e tij? Anëtar i këtij klubi mund të bëhet çdo person që njeh përmendësh një numër të caktuar numrash Pi pas presjes dhjetore;

A e dini se në Gjermani, nën mbrojtjen e UNESCO-s, ndodhet pallati Castadel Monte, falë përmasave të të cilit mund të llogaritni Pi. Mbreti Frederiku II i kushtoi të gjithë pallatin këtij numri.

Rezulton se ata u përpoqën të përdorin numrin Pi në ndërtimin e Kullës së Babelit. Por për fat të keq, kjo çoi në kolapsin e projektit, pasi në atë kohë llogaritja e saktë e vlerës së Pi nuk ishte studiuar mjaftueshëm.

Këngëtarja Kate Bush në diskun e saj të ri regjistroi një këngë të quajtur "Pi", në të cilën u dëgjuan njëqind e njëzet e katër numra nga seria e famshme e numrave 3, 141….

Ne kemi treguar tashmë më herët se $1\frac25$ është afër $\sqrt2$. Nëse do të ishte saktësisht e barabartë me $\sqrt2$, . Atëherë raporti është $\frac(1\frac25)(1)$, i cili mund të shndërrohet në një raport të plotë $\frac75$ duke shumëzuar pjesën e sipërme dhe të poshtme të fraksionit me 5, dhe do të ishte vlera e dëshiruar.

Por, për fat të keq, $1\frac25$ nuk është vlera e saktë e $\sqrt2$. Një përgjigje më e saktë, $1\frac(41)(100)$, na jep relacionin $\frac(141)(100)$. Ne arrijmë saktësi edhe më të madhe kur barazojmë $\sqrt2$ me $1\frac(207)(500)$. Në këtë rast, raporti në numra të plotë do të jetë i barabartë me $\frac(707)(500)$. Por $1\frac(207)(500)$ nuk është vlera e saktë e rrënjës katrore të 2. Matematikanët grekë shpenzuan shumë kohë dhe përpjekje për të llogaritur vlerën e saktë të $\sqrt2$, por nuk ia dolën kurrë. Ata nuk ishin në gjendje të përfaqësonin raportin $\frac(\sqrt2)(1)$ si një raport të numrave të plotë.

Më në fund, matematikani i madh grek Euklidi vërtetoi se sado të rritet saktësia e llogaritjeve, është e pamundur të merret vlera e saktë e $\sqrt2$. Nuk ka asnjë thyesë që, kur në katror, ​​do të japë rezultatin 2. Ata thonë se Pitagora ishte i pari që doli në këtë përfundim, por ky fakt i pashpjegueshëm e mahniti aq shumë shkencëtarin, sa ai u betua dhe u betua nga studentët e tij për të mbajtur këtë sekret zbulimi. Megjithatë, ky informacion mund të mos jetë i vërtetë.

Por nëse numri $\frac(\sqrt2)(1)$ nuk mund të përfaqësohet si një raport i numrave të plotë, atëherë asnjë numër që përmban $\sqrt2$, për shembull $\frac(\sqrt2)(2)$ ose $\frac (4)(\sqrt2)$ gjithashtu nuk mund të përfaqësohet si një raport i numrave të plotë, pasi të gjitha fraksionet e tilla mund të konvertohen në $\frac(\sqrt2)(1)$ shumëzuar me një numër. Pra, $\frac(\sqrt2)(2)=\frac(\sqrt2)(1) \times \frac12$. Ose $\frac(\sqrt2)(1) \times 2=2\frac(\sqrt2)(1)$, e cila mund të konvertohet duke shumëzuar pjesën e sipërme dhe të poshtme me $\sqrt2$ për të marrë $\frac(4) (\sqrt2)$. (Duhet të kujtojmë se pavarësisht se cili është numri $\sqrt2$, nëse e shumëzojmë me $\sqrt2$, marrim 2.)

Meqenëse numri $\sqrt2$ nuk mund të përfaqësohet si një raport i numrave të plotë, ai quhet numër irracional. Nga ana tjetër, thirren të gjithë numrat që mund të paraqiten si një raport i numrave të plotë racionale.

Të gjithë numrat e plotë dhe ata thyesorë, si pozitivë ashtu edhe negativë, janë racionalë.

Siç rezulton, shumica e rrënjëve katrore janë numra irracionalë. Vetëm numrat në serinë e numrave katrorë kanë rrënjë katrore racionale. Këta numra quhen edhe katrorë të përsosur. Numrat racional janë gjithashtu thyesa të bëra nga këta katrorë të përsosur. Për shembull, $\sqrt(1\frac79)$ është një numër racional pasi $\sqrt(1\frac79)=\frac(\sqrt16)(\sqrt9)=\frac43$ ose $1\frac13$ (4 është rrënja rrënja katrore e 16, dhe 3 është rrënja katrore e 9).