Tema 3 Ekuacionet trigonometrike. Metoda e futjes së një këndi shtesë

Një mësim në zbatimin e integruar të njohurive.

Objektivat e mësimit.

1. Konsideroni metoda të ndryshme zgjidhjet ekuacionet trigonometrike.
2. Zhvillimi krijimtarinë nxënësit duke zgjidhur ekuacione.
3. Inkurajimi i nxënësve për vetëkontroll, kontroll të ndërsjellë dhe vetë-analizë të aktiviteteve të tyre arsimore.

Pajisjet: ekran, projektor, material referues.

Ecuria e mësimit

Bisedë hyrëse.

Metoda kryesore për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike është reduktimi i tyre në formën e tyre më të thjeshtë. Në këtë rast, përdoren metodat e zakonshme, për shembull, faktorizimi, si dhe teknikat e përdorura vetëm për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike. Ka mjaft nga këto teknika, për shembull, të ndryshme zëvendësimet trigonometrike, shndërrimet e këndeve, shndërrimet e funksioneve trigonometrike. Zbatimi pa dallim i çdo transformimi trigonometrik zakonisht nuk e thjeshton ekuacionin, por e ndërlikon atë në mënyrë katastrofike. Për të ushtruar në skicë e përgjithshme plani për zgjidhjen e ekuacionit, përshkruani një mënyrë për të reduktuar ekuacionin në më të thjeshtën, së pari duhet të analizoni këndet - argumentet e funksioneve trigonometrike të përfshira në ekuacion.

Sot do të flasim për metodat për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike. Metoda e zgjedhur në mënyrë korrekte shpesh mund të thjeshtojë ndjeshëm zgjidhjen, kështu që të gjitha metodat që kemi studiuar duhet të kemi gjithmonë parasysh në mënyrë që të zgjidhim ekuacionet trigonometrike duke përdorur metodën më të përshtatshme.

II. (Duke përdorur një projektor, ne përsërisim metodat për zgjidhjen e ekuacioneve.)

1. Metoda e reduktimit të një ekuacioni trigonometrik në atë algjebrik.

Është e nevojshme të shprehen të gjitha funksionet trigonometrike përmes një, me të njëjtin argument. Kjo mund të bëhet duke përdorur identitetin bazë trigonometrik dhe pasojat e tij. Marrim një ekuacion me një funksion trigonometrik. Duke e marrë atë si një të panjohur të re, marrim një ekuacion algjebrik. Gjejmë rrënjët e tij dhe kthehemi në të panjohurën e vjetër, duke zgjidhur ekuacionet më të thjeshta trigonometrike.

2. Metoda e faktorizimit.

Për të ndryshuar këndet, shpesh janë të dobishme formulat për reduktimin, shumën dhe ndryshimin e argumenteve, si dhe formulat për shndërrimin e shumës (ndryshimit) të funksioneve trigonometrike në një produkt dhe anasjelltas.

mëkat x + mëkat 3x = mëkat 2x + mëkat4x

3. Mënyra e administrimit kënd shtesë.

4. Metoda e përdorimit të zëvendësimit universal.

Ekuacionet e formës F(sinx, cosx, tanx) = 0 reduktohen në algjebrik duke përdorur një zëvendësim universal trigonometrik

Shprehja e sinusit, kosinusit dhe tangjentes në terma tangjente gjysmë këndi. Kjo teknikë mund të çojë në ekuacion rendit të lartë. Zgjidhja për të cilën është e vështirë.

Zgjidhja e ekuacioneve të thjeshta trigonometrike.

Zgjidhja e ekuacioneve trigonometrike të çdo niveli kompleksiteti përfundimisht zbret në zgjidhjen e ekuacioneve më të thjeshta trigonometrike. Dhe në këtë rrethi trigonometrik përsëri rezulton të jetë asistenti më i mirë.

Le të kujtojmë përkufizimet e kosinusit dhe sinusit.

Kosinusi i një këndi është abshisa (d.m.th., koordinata përgjatë boshtit) e një pike në rrethin e njësisë që korrespondon me një rrotullim përmes një këndi të caktuar.

Sinusi i një këndi është ordinata (d.m.th., koordinata përgjatë boshtit) e një pike në rrethin e njësisë që korrespondon me një rrotullim përmes një këndi të caktuar.

Drejtimi pozitiv i lëvizjes përgjatë rrethi trigonometrik Lëvizja në drejtim të kundërt të akrepave të orës konsiderohet. Një rrotullim prej 0 gradë (ose 0 radian) korrespondon me një pikë me koordinata (1;0)

Ne i përdorim këto përkufizime për të zgjidhur ekuacione të thjeshta trigonometrike.

1. Zgjidheni ekuacionin

Ky ekuacion plotësohet nga të gjitha vlerat e këndit të rrotullimit që korrespondojnë me pikat në rreth, ordinata e të cilit është e barabartë me .

Le të shënojmë një pikë me ordinatë në boshtin e ordinatës:

Vizatoni një vijë horizontale paralele me boshtin x derisa të kryqëzohet me rrethin. Ne marrim dy pika të shtrira në rreth dhe duke pasur një ordinatë. Këto pika korrespondojnë me këndet e rrotullimit në dhe radian:

Nëse ne, duke lënë pikën që korrespondon me këndin e rrotullimit për radian, shkojmë rreth një rrethi të plotë, atëherë do të arrijmë në një pikë që korrespondon me këndin e rrotullimit për radian dhe ka të njëjtën ordinatë. Kjo do të thotë, ky kënd i rrotullimit plotëson gjithashtu ekuacionin tonë. Ne mund të bëjmë sa më shumë rrotullime "boshe" sa të duam, duke u kthyer në të njëjtën pikë dhe të gjitha këto vlera të këndit do të kënaqin ekuacionin tonë. Numri i revolucioneve "boshe" do të shënohet me shkronjën (ose). Meqenëse ne mund t'i bëjmë këto revolucione si në pozitive ashtu edhe në negative drejtim negativ, (ose ) mund të marrë çdo vlerë të plotë.

Kjo do të thotë, seria e parë e zgjidhjeve për ekuacionin origjinal ka formën:

, , - grup i numrave të plotë (1)

Në mënyrë të ngjashme, seria e dytë e zgjidhjeve ka formën:

, Ku , . (2)

Siç mund ta keni marrë me mend, kjo seri zgjidhjesh bazohet në pikën në rreth që korrespondon me këndin e rrotullimit me .

Këto dy seri zgjidhjesh mund të kombinohen në një hyrje:

Nëse marrim (d.m.th., çift) në këtë hyrje, atëherë do të marrim serinë e parë të zgjidhjeve.

Nëse marrim (d.m.th., tek) në këtë hyrje, atëherë marrim serinë e dytë të zgjidhjeve.

2. Tani le të zgjidhim ekuacionin

Meqenëse kjo është abshisa e një pike në rrethin e njësisë që fitohet duke rrotulluar një kënd, ne shënojmë pikën me abshisën në bosht:

Vizatoni një vijë vertikale paralele me boshtin derisa të kryqëzohet me rrethin. Do të marrim dy pikë duke u shtrirë në rreth dhe duke pasur një abshisë. Këto pika korrespondojnë me këndet e rrotullimit në dhe radian. Kujtojmë që kur lëvizim në drejtim të akrepave të orës marrim një kënd rrotullimi negativ:

Le të shkruajmë dy seri zgjidhjesh:

,

,

(Po hyjmë pikë e dëshiruar, duke kaluar nga rrethi kryesor i plotë, d.m.th.

Le t'i kombinojmë këto dy seri në një hyrje:

3. Zgjidhe ekuacionin

Drejtëza tangjente kalon nëpër pikën me koordinata (1,0) të rrethit njësi paralel me boshtin OY

Le të shënojmë një pikë në të me një ordinatë të barabartë me 1 (ne kërkojmë tangjentën e të cilave kënde është e barabartë me 1):

Le ta lidhim këtë pikë me origjinën e koordinatave me një vijë të drejtë dhe të shënojmë pikat e kryqëzimit të drejtëzës me rrethin njësi. Pikat e kryqëzimit të vijës së drejtë dhe rrethit korrespondojnë me këndet e rrotullimit në dhe :

Meqenëse pikat që korrespondojnë me këndet e rrotullimit që plotësojnë ekuacionin tonë qëndrojnë në një distancë prej radianësh nga njëra-tjetra, ne mund ta shkruajmë zgjidhjen në këtë mënyrë:

4. Zgjidheni ekuacionin

Vija e kotangjentave kalon nëpër pikën me koordinatat e rrethit të njësisë paralele me boshtin.

Le të shënojmë një pikë me abshisë -1 në vijën e kotangjenteve:

Le ta lidhim këtë pikë me origjinën e drejtëzës dhe ta vazhdojmë derisa të kryqëzohet me rrethin. Kjo vijë e drejtë do të presë rrethin në pikat që korrespondojnë me këndet e rrotullimit në dhe radian:

Meqenëse këto pika janë të ndara nga njëra-tjetra me një distancë të barabartë me , atëherë zgjidhje e përgjithshme Këtë ekuacion mund ta shkruajmë kështu:

Në shembujt e dhënë që ilustrojnë zgjidhjen e ekuacioneve më të thjeshta trigonometrike, janë përdorur vlerat tabelare të funksioneve trigonometrike.

Megjithatë, nëse në anën e djathtë të ekuacionit nuk ka vlera e tabelës, atëherë ne e zëvendësojmë vlerën në zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit:

ZGJIDHJE SPECIALE:

Le të shënojmë pikat në rreth, ordinata e të cilit është 0:

Le të shënojmë një pikë të vetme në rreth, ordinata e të cilit është 1:

Le të shënojmë një pikë të vetme në rreth, ordinata e të cilit është e barabartë me -1:

Meqenëse është zakon të tregojmë vlerat më afër zeros, ne e shkruajmë zgjidhjen si më poshtë:

Le të shënojmë pikat në rreth, abshisa e të cilit është e barabartë me 0:

5.
Le të shënojmë një pikë të vetme në rreth, abshisa e të cilit është e barabartë me 1:

Le të shënojmë një pikë të vetme në rreth, abshisa e të cilit është e barabartë me -1:

Dhe shembuj pak më kompleks:

1.

Sinus e barabartë me një, nëse argumenti është i barabartë

Argumenti i sinusit tonë është i barabartë, kështu që marrim:

Le të ndajmë të dyja anët e barazisë me 3:

Përgjigje:

2.

Kosinusi e barabartë me zero, nëse argumenti kosinus është i barabartë me

Argumenti i kosinusit tonë është i barabartë me , kështu që marrim:

Le të shprehemi, për ta bërë këtë, së pari lëvizim djathtas me shenjën e kundërt:

Le të thjeshtojmë anën e djathtë:

Ndani të dyja anët me -2:

Vini re se shenja përpara termit nuk ndryshon, pasi k mund të marrë çdo vlerë të plotë.

Përgjigje:

Dhe së fundi, shikoni video-tutorialin "Përzgjedhja e rrënjëve në një ekuacion trigonometrik duke përdorur rrethi trigonometrik"

Kjo përfundon bisedën tonë për zgjidhjen e ekuacioneve të thjeshta trigonometrike. Herën tjetër do të flasim se si të vendosim.

Koncepti i zgjidhjes së ekuacioneve trigonometrike.

• Për të zgjidhur një ekuacion trigonometrik, shndërrojeni atë në një ose më shumë ekuacione trigonometrike bazë. Zgjidhja e një ekuacioni trigonometrik përfundimisht zbret në zgjidhjen e katër ekuacioneve bazë trigonometrike.

Zgjidhja e ekuacioneve bazë trigonometrike.

• Ekzistojnë 4 lloje të ekuacioneve bazë trigonometrike:
• sin x = a; cos x = a
• tan x = a; ctg x = a
• Zgjidhja e ekuacioneve bazë trigonometrike përfshin shikimin e pozicioneve të ndryshme x në rrethin e njësisë, si dhe përdorimin e një tabele konvertimi (ose kalkulator).
• Shembulli 1. sin x = 0,866. Duke përdorur një tabelë konvertimi (ose kalkulator) do të merrni përgjigjen: x = π/3. Rrethi njësi jep një përgjigje tjetër: 2π/3. Mos harroni: të gjitha funksionet trigonometrike janë periodike, që do të thotë se vlerat e tyre përsëriten. Për shembull, periodiciteti i sin x dhe cos x është 2πn, dhe periodiciteti i tg x dhe ctg x është πn. Prandaj përgjigja shkruhet si më poshtë:
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• Shembulli 2. cos x = -1/2. Duke përdorur një tabelë konvertimi (ose kalkulator) do të merrni përgjigjen: x = 2π/3. Rrethi njësi jep një përgjigje tjetër: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• Shembulli 3. tg (x - π/4) = 0.
• Përgjigje: x = π/4 + πn.
• Shembulli 4. ctg 2x = 1.732.
• Përgjigje: x = π/12 + πn.

Transformimet e përdorura në zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike.

• Për të transformuar ekuacionet trigonometrike, përdorni transformimet algjebrike(faktorizim, reduktim anëtarë homogjenë etj) dhe identitetet trigonometrike.
• Shembulli 5: Duke përdorur identitetet trigonometrike, ekuacioni sin x + sin 2x + sin 3x = 0 konvertohet në ekuacionin 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Kështu, ekuacionet themelore trigonometrike të mëposhtme duhet të zgjidhet: cos x = 0; sin (3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• Gjetja e këndeve nga vlerat e njohura funksionet.

  • Para se të mësoni se si të zgjidhni ekuacionet trigonometrike, duhet të mësoni se si të gjeni kënde duke përdorur vlerat e funksionit të njohur. Kjo mund të bëhet duke përdorur një tabelë konvertimi ose kalkulator.
  • Shembull: cos x = 0,732. Llogaritësi do të japë përgjigjen x = 42,95 gradë. Rrethi i njësisë do të japë kënde shtesë, kosinusi i të cilit është gjithashtu 0,732.

• Lëreni mënjanë tretësirën në rrethin e njësisë.

  • Ju mund të vizatoni zgjidhjet e një ekuacioni trigonometrik në rrethin njësi. Zgjidhjet e një ekuacioni trigonometrik në rrethin njësi janë kulmet e një shumëkëndëshi të rregullt.
  • Shembull: Zgjidhjet x = π/3 + πn/2 në rrethin njësi paraqesin kulmet e katrorit.
  • Shembull: Zgjidhjet x = π/4 + πn/3 në rrethin njësi paraqesin kulmet e një gjashtëkëndëshi të rregullt.

• Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike.

  • Nëse një ekuacion trigonometrik i dhënë përmban vetëm një funksioni trigonometrik, zgjidhni këtë ekuacion si një ekuacion bazë trigonometrik. Nëse një ekuacion i dhënë përfshin dy ose më shumë funksione trigonometrike, atëherë ekzistojnë 2 metoda për zgjidhjen e një ekuacioni të tillë (në varësi të mundësisë së transformimit të tij).
    • Metoda 1.
  • Shndërroje këtë ekuacion në një ekuacion të formës: f(x)*g(x)*h(x) = 0, ku f(x), g(x), h(x) janë ekuacionet bazë trigonometrike.
  • Shembulli 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Zgjidhje. Duke përdorur formulën kënd i dyfishtë sin 2x = 2*sin x*cos x, zëvendëso sin 2x.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Tani zgjidhni dy ekuacionet bazë trigonometrike: cos x = 0 dhe (sin x + 1) = 0.
  • Shembulli 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Zgjidhje: Duke përdorur identitete trigonometrike, transformojeni këtë ekuacion në një ekuacion të formës: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Tani zgjidhni dy ekuacionet bazë trigonometrike: cos 2x = 0 dhe (2cos x + 1) = 0.
  • Shembulli 8. sin x - sin 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
  • Zgjidhje: Duke përdorur identitetet trigonometrike, transformojeni këtë ekuacion në një ekuacion të formës: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Tani zgjidhni dy ekuacionet bazë trigonometrike: cos 2x = 0 dhe (2sin x + 1) = 0 .
    • Metoda 2.
  • Shndërroni ekuacionin e dhënë trigonometrik në një ekuacion që përmban vetëm një funksion trigonometrik. Pastaj zëvendësojeni këtë funksion trigonometrik me ndonjë të panjohur, për shembull, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t; tg (x/2) = t, etj.).
  • Shembulli 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • Zgjidhje. NË ekuacioni i dhënë zëvendëso (cos^2 x) me (1 - sin^2 x) (sipas identitetit). Ekuacioni i transformuar është:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Zëvendëso sin x me t. Tani ekuacioni duket si: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Ky është një ekuacion kuadratik që ka dy rrënjë: t1 = -1 dhe t2 = 9/5. Rrënja e dytë t2 nuk e plotëson diapazonin e funksionit (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Shembulli 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • Zgjidhje. Zëvendësoni tg x me t. Rishkruaj ekuacioni origjinal V formën e mëposhtme: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Tani gjeni t dhe pastaj gjeni x për t = tan x.

Kursi i videos "Merrni një A" përfshin të gjitha temat që ju nevojiten përfundim me sukses Provim i Unifikuar Shtetëror në matematikë për 60-65 pikë. Plotësisht të gjitha problemet 1-13 Profili Provimi i Unifikuar i Shtetit në matematikë. I përshtatshëm edhe për kalimin e Provimit Bazë të Shtetit të Unifikuar në matematikë. Nëse doni të kaloni Provimin e Unifikuar të Shtetit me 90-100 pikë, duhet ta zgjidhni pjesën 1 në 30 minuta dhe pa gabime!

Kurs përgatitor për Provimin e Unifikuar të Shtetit për klasat 10-11, si dhe për mësuesit. Gjithçka që ju nevojitet për të zgjidhur Pjesën 1 të Provimit të Unifikuar të Shtetit në matematikë (12 detyrat e para) dhe Problemin 13 (trigonometri). Dhe kjo është më shumë se 70 pikë në Provimin e Unifikuar të Shtetit, dhe as një student me 100 pikë dhe as një student i shkencave humane nuk mund të bëjë pa to.

Të gjitha teori e nevojshme. Mënyra të shpejta zgjidhjet, kurthet dhe sekretet e Provimit të Unifikuar të Shtetit. Të gjitha detyrat aktuale të pjesës 1 nga Banka e Detyrave FIPI janë analizuar. Kursi përputhet plotësisht me kërkesat e Provimit të Unifikuar të Shtetit 2018.

Kursi përmban 5 tema të mëdha, 2.5 orë secila. Çdo temë jepet nga e para, thjeshtë dhe qartë.

Qindra detyra të Provimit të Unifikuar të Shtetit. Probleme me fjalë dhe teoria e probabilitetit. Algoritme të thjeshta dhe të lehta për t'u mbajtur mend për zgjidhjen e problemeve. Gjeometria. Teori, material referues, analiza e të gjitha llojeve të detyrave të Provimit të Unifikuar të Shtetit. Stereometria. Zgjidhje të ndërlikuara, fletë të dobishme mashtrimi, zhvillim imagjinata hapësinore. Trigonometria nga e para te problemi 13. Kuptimi në vend të grumbullimit. Shpjegimi vizual koncepte komplekse. Algjebër. Rrënjët, fuqitë dhe logaritmet, funksioni dhe derivati. Baza për zgjidhje detyra komplekse 2 pjesë të Provimit të Unifikuar të Shtetit.

Mësim dhe prezantim me temën: "Zgjidhja e ekuacioneve të thjeshta trigonometrike"

Materiale shtesë
Të dashur përdorues, mos harroni të lini komentet, komentet, dëshirat tuaja! Të gjitha materialet janë kontrolluar nga një program antivirus.

Manualë dhe simulatorë në dyqanin online Integral për klasën 10 nga 1C
Zgjidhja e problemeve në gjeometri. Detyra ndërvepruese për ndërtimin në hapësirë
Mjedisi i softuerit "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Çfarë do të studiojmë:
1. Çfarë janë ekuacionet trigonometrike?

3. Dy metoda kryesore për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike.
4. Ekuacionet trigonometrike homogjene.
5. Shembuj.

Cilat janë ekuacionet trigonometrike?

Djema, ne kemi studiuar tashmë arksine, arccosine, arctangent dhe arcotangent. Tani le të shohim ekuacionet trigonometrike në përgjithësi.

Ekuacionet trigonometrike janë ekuacione në të cilat një ndryshore gjendet nën shenjën e një funksioni trigonometrik.

Le të përsërisim formën e zgjidhjes së ekuacioneve më të thjeshta trigonometrike:

1) Nëse |a|≤ 1, atëherë ekuacioni cos(x) = a ka një zgjidhje:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Nëse |a|≤ 1, atëherë ekuacioni sin(x) = a ka një zgjidhje:

3) Nëse |a| > 1, atëherë ekuacioni sin(x) = a dhe cos(x) = a nuk kanë zgjidhje 4) Ekuacioni tg(x)=a ka një zgjidhje: x=arctg(a)+ πk

5) Ekuacioni ctg(x)=a ka zgjidhje: x=arcctg(a)+ πk

Për të gjitha formulat k është një numër i plotë

Ekuacionet më të thjeshta trigonometrike kanë formën: T(kx+m)=a, T është një funksion trigonometrik.

Shembull.

Zgjidh barazimet: a) sin(3x)= √3/2

Zgjidhja:

A) Le të shënojmë 3x=t, atëherë do ta rishkruajmë ekuacionin tonë në formën:

Zgjidhja e këtij ekuacioni do të jetë: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Nga tabela e vlerave marrim: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Le të kthehemi te ndryshorja jonë: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Atëherë x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Përgjigje: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, ku n është një numër i plotë. (-1)^n – minus një në fuqinë e n.

Më shumë shembuj të ekuacioneve trigonometrike.

Zgjidh ekuacionet: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Zgjidhja:

A) Këtë herë le të kalojmë drejtpërdrejt në llogaritjen e rrënjëve të ekuacionit menjëherë:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Atëherë x/5= πk => x=5πk

Përgjigje: x=5πk, ku k është një numër i plotë.

B) E shkruajmë në formën: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Ne e dimë se: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Përgjigje: x=2π/9 + πk/3, ku k është një numër i plotë.

Zgjidhini ekuacionet: cos(4x)= √2/2. Dhe gjeni të gjitha rrënjët në segment.

Zgjidhja:

Ne do të vendosim në pamje e përgjithshme ekuacioni ynë: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Tani le të shohim se cilat rrënjë bien në segmentin tonë. Në k Në k=0, x= π/16, jemi në segmentin e dhënë.
Me k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, goditemi sërish.
Për k=2, x= π/16+ π=17π/16, por këtu nuk goditëm, që do të thotë se edhe për k të madh, padyshim që nuk do të godasim.

Përgjigje: x= π/16, x= 9π/16

Dy metoda kryesore të zgjidhjes.

Ne shikuam ekuacionet trigonometrike më të thjeshta, por ka edhe më komplekse. Për zgjidhjen e tyre përdoret metoda e futjes së një ndryshoreje të re dhe metoda e faktorizimit. Le të shohim shembuj.

Le të zgjidhim ekuacionin:

Zgjidhja:
Për të zgjidhur ekuacionin tonë, do të përdorim metodën e prezantimit të një ndryshoreje të re, që tregon: t=tg(x).

Si rezultat i zëvendësimit marrim: t 2 + 2t -1 = 0

Le të gjejmë rrënjët ekuacioni kuadratik: t=-1 dhe t=1/3

Pastaj tg(x)=-1 dhe tg(x)=1/3, marrim ekuacionin më të thjeshtë trigonometrik, le të gjejmë rrënjët e tij.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Përgjigje: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Një shembull i zgjidhjes së një ekuacioni

Zgjidhini ekuacionet: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Zgjidhja:

Le të përdorim identitetin: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Ekuacioni ynë do të marrë formën: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

Le të prezantojmë zëvendësimin t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Zgjidhja e ekuacionit tonë kuadratik janë rrënjët: t=2 dhe t=-1/2

Pastaj cos(x)=2 dhe cos(x)=-1/2.

Sepse kosinusi nuk mund të marrë vlera më shumë se një, atëherë cos(x)=2 nuk ka rrënjë.

Për cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Përgjigje: x= ±2π/3 + 2πk

Ekuacionet trigonometrike homogjene.

Përkufizim: Ekuacionet e formës a sin(x)+b cos(x) quhen ekuacione trigonometrike homogjene të shkallës së parë.

Ekuacionet e formës

ekuacionet homogjene trigonometrike të shkallës së dytë.

Për të zgjidhur një ekuacion homogjen trigonometrik të shkallës së parë, pjesëtojeni atë me cos(x): Ju nuk mund të pjesëtoni me kosinusin nëse është i barabartë me zero, le të sigurohemi që nuk është kështu:
Le të cos(x)=0, pastaj asin(x)+0=0 => sin(x)=0, por sinusi dhe kosinusi nuk janë të barabartë me zero në të njëjtën kohë, marrim një kontradiktë, kështu që mund të ndajmë me siguri me zero.

Zgjidhe ekuacionin:
Shembull: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Zgjidhja:

Do ta nxjerrim shumëzues i përbashkët: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Atëherë duhet të zgjidhim dy ekuacione:

Cos(x)=0 dhe cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 në x= π/2 + πk;

Konsideroni ekuacionin cos(x)+sin(x)=0 Pjesëtojmë ekuacionin tonë me cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Përgjigje: x= π/2 + πk dhe x= -π/4+πk

Si të zgjidhen ekuacionet homogjene trigonometrike të shkallës së dytë?
Djema, ndiqni gjithmonë këto rregulla!

1. Shihni çfarë koeficienti është i barabartë dhe, nëse a=0, atëherë ekuacioni ynë do të marrë formën cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), një shembull i një zgjidhjeje të së cilës është në rrëshqitjen e mëparshme

2. Nëse a≠0, atëherë duhet të ndani të dyja anët e ekuacionit me kosinusin në katror, ​​marrim:

Ndryshojmë variablin t=tg(x) dhe marrim ekuacionin:

Zgjidh shembullin nr.:3

Zgjidhe ekuacionin:
Zgjidhja:

Le të ndajmë të dyja anët e ekuacionit me katrorin kosinus:

Ndryshojmë variablin t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Të gjejmë rrënjët e ekuacionit kuadratik: t=-3 dhe t=1

Atëherë: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Përgjigje: x=-arctg(3) + πk dhe x= π/4+ πk

Zgjidh shembullin nr.:4

Zgjidhe ekuacionin:

Zgjidhja:
Le të transformojmë shprehjen tonë:

Ne mund të zgjidhim ekuacione të tilla: x= - π/4 + 2πk dhe x=5π/4 + 2πk

Përgjigje: x= - π/4 + 2πk dhe x=5π/4 + 2πk

Zgjidh shembullin nr.:5

Zgjidhe ekuacionin:

Zgjidhja:
Le të transformojmë shprehjen tonë:

Le të prezantojmë zëvendësimin tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Zgjidhja e ekuacionit tonë kuadratik do të jenë rrënjët: t=-2 dhe t=1/2

Pastaj marrim: tg(2x)=-2 dhe tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Përgjigje: x=-arctg(2)/2 + πk/2 dhe x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Probleme për zgjidhje të pavarur.

1) Zgjidheni ekuacionin

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0.5x) = -1.7

2) Zgjidh barazimet: sin(3x)= √3/2. Dhe gjeni të gjitha rrënjët në segmentin [π/2; π].

3) Zgjidhe ekuacionin: ahur 2 (x) + 2 ahur (x) + 1 =0

4) Zgjidhe ekuacionin: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Zgjidhe ekuacionin: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Zgjidheni ekuacionin: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve