Teoria e probabilitetit për fillestarët. Teoria e probabilitetit

(ose TViMS) - kështu tingëllon shpesh emri i lëndës në orarin tuaj ose në librin tuaj të rekomanduar. Pse dy artikuj në një? Si janë të lidhura? Nëse po flasim për rreth studim i thelluar lënda, zakonisht semestri i parë i kushtohet studimit të teorisë së probabilitetit dhe vetëm në të dytin, bazuar në njohuritë e marra, kalohet në statistikat matematikore.

Le të hedhim një vështrim më të afërt në secilin artikull dhe të zbulojmë se si janë të lidhura me njëri-tjetrin.

Faqe e dobishme? Ruani ose tregoni miqve tuaj

Çfarë studion teoria e probabilitetit?

Teoria e probabilitetit, siç sugjeron emri, merret me probabilitete. Jemi të rrethuar nga shumë gjëra dhe dukuri për të cilat, sado e zhvilluar të jetë shkenca, është e pamundur të bëhen parashikime të sakta. Ne nuk e dimë se cilën kartë do të nxjerrim nga kuverta rastësisht ose sa ditë do të bjerë shi në maj, por kemi pak Informacion shtese, ne mund të bëjmë parashikime dhe të llogarisim probabilitetet e këtyre ngjarjeve të rastësishme.

Kështu, ne jemi përballur me konceptin bazë ngjarje e rastësishme- një fenomen, sjellja e të cilit nuk mund të parashikohet, një eksperiment, rezultati i të cilit nuk mund të llogaritet paraprakisht, etj. Janë probabilitetet e ngjarjeve që llogariten në detyra tipike. Probabiliteti është një funksion i caktuar, në mënyrë rigoroze, që merr vlera nga 0 në 1 dhe karakterizon një ngjarje të caktuar të rastësishme. 0 - ngjarja është praktikisht e pamundur, 1 - ngjarja është pothuajse e sigurt, 0.5 (ose "50 deri në 50") - me probabilitet të barabartë ngjarja do të ndodhë apo jo.

Nga teoria e probabilitetit në statistikat matematikore

Studimet e teorisë së probabilitetit ligjet matematikore shpërndarja e ngjarjeve të rastësishme, dhe në fakt është baza teorike për statistika matematikore. Por, nëse në teorinë e probabilitetit shpërndarja zakonisht specifikohet në një mënyrë ose në një tjetër, dhe kërkohet të gjenden probabilitetet, karakteristikat numerike(për shembull, pritshmëria matematikore, varianca, etj.), ndërtoni grafikët e funksionit dhe densitetit të shpërndarjes, pastaj në problemet e statistikave matematikore, përkundrazi, njihen të dhënat (kampioni) i mbledhur nga rezultatet e ndonjë eksperimenti ose vëzhgimi, nga i cili ligji duhet të përcaktohet shpërndarja, më e përshtatshme në në këtë rast, informacion i besueshëm me një farë probabiliteti se çfarë mund të jetë pritshmëria matematikore ose devijimi standard i një vlere, etj.

Çfarë studion statistikat matematikore?

Në mënyrë të rreptë, atëherë statistikat e matematikësështë një degë e matematikës që studion metodat e mbledhjes, sistemimit, përpunimit dhe përdorimit të të dhënave statistikore për të marrë përfundime të bazuara shkencërisht dhe për të marrë vendime bazuar në to.

Pse i duhet një shkencë e tërë për të përpunuar grupe të thjeshta të dhënash? Pastaj, sado të përpiqemi, këto të dhëna nuk janë kurrë të sakta dhe përmbajnë gabime të rastësishme. Këto mund të jenë edhe gabime instrumente matëse dhe gabimet njerëzore (në lidhje me atë se kush e kryen hulumtimin dhe matjen), dhe heterogjenitetin e të dhënave ose, natyrisht, pamjaftueshmërinë e tyre (është e pamundur të studiohen, për shembull, të gjitha lopët në botë për të nxjerrë përfundime rreth tyre. rendimenti i qumështit;), ose të anketojë të gjithë votuesit në mënyrë që të bëhet një parashikim i fitores së një kandidati në zgjedhje).

Zakonisht, studiuesi përsërit përvojën e tij shumë herë (nëse është e mundur fizikisht), duke marrë një sasi të madhe të të njëjtit lloj të dhënash, të cilat tani duhet të përpunohen dhe të bëhen përfundime domethënëse që do të lejojnë jo vetëm të ecim më thellë në studimin e temës. (qoftë prodhimi i qumështit të lopës apo preferenca politike), por edhe për të bërë konkluzione, parashikime, për të pranuar të rëndësishme vendimet ekonomike etj.

Është statistika matematikore ajo që ofron metoda për përpunimin e të dhënave dhe algoritme për testim hipoteza statistikore, kriteret për përshtatshmërinë dhe rëndësinë e modelit ose ligjit të zgjedhur, kufijtë e arsyeshëm të saktësisë për parametrat e shpërndarjes që mund të marrim në bazë të të dhënave tona, etj.

Si të studiojmë teorinë e probabilitetit dhe statistikat matematikore? Lexoni (dhe zgjidhni shembuj në to) tekste shkollore për statistikat matematikore, studioni shembuj zgjidhjesh, përdorni kalkulatorë në TV, tabela dhe formula statistikore për lehtësi. Një zgjidhës në internet i teorisë së probabilitetit do t'ju ndihmojë me probleme të vështira.

Ngjarjet që ndodhin në realitet ose në imagjinatën tonë mund të ndahen në 3 grupe. Këto janë ngjarje të caktuara që do të ndodhin patjetër, ngjarje të pamundura dhe ngjarje të rastësishme. Teoria e probabilitetit studion ngjarje të rastësishme, d.m.th. ngjarje që mund të ndodhin ose jo. Ky artikull do të prezantohet në shkurtimisht teoria e probabilitetit, formula dhe shembuj të zgjidhjes së problemave në teorinë e probabilitetit, që do të jenë në detyrën 4 të Provimit të Unifikuar të Shtetit në matematikë (niveli i profilit).

Pse na duhet teoria e probabilitetit?

Historikisht, nevoja për të studiuar këto probleme lindi në shekullin e 17-të në lidhje me zhvillimin dhe profesionalizimin e lojërave të fatit dhe shfaqjen e kazinove. Ishte fenomen real, e cila kërkonte studimin dhe kërkimin e vet.

Duke luajtur letra, zare dhe ruletë krijuan situata ku ndonjë nga numër i kufizuar ngjarje po aq të mundshme. Kishte nevojë për të dhënë vlerësime numerike mundësia e ndodhjes së një ngjarje të caktuar.

Në shekullin e 20-të, doli që kjo shkencë në dukje joserioze luan rol i rendesishem në njohjen e proceseve themelore që ndodhin në mikrokozmos. Ishte krijuar teori moderne probabilitetet.

Konceptet bazë të teorisë së probabilitetit

Objekti i studimit të teorisë së probabilitetit janë ngjarjet dhe probabilitetet e tyre. Nëse një ngjarje është komplekse, atëherë ajo mund të ndahet në komponentë të thjeshtë, probabilitetet e të cilave janë të lehta për t'u gjetur.

Shuma e ngjarjeve A dhe B quhet ngjarja C, e cila konsiston në faktin se ose ngjarja A, ose ngjarja B, ose ngjarjet A dhe B kanë ndodhur njëkohësisht.

Produkti i ngjarjeve A dhe B është një ngjarje C, që do të thotë se ngjarja A dhe ngjarja B kanë ndodhur.

Ngjarjet A dhe B quhen të papajtueshme nëse nuk mund të ndodhin njëkohësisht.

Një ngjarje A quhet e pamundur nëse nuk mund të ndodhë. Një ngjarje e tillë tregohet nga simboli.

Një ngjarje A quhet e sigurt nëse është e sigurt se do të ndodhë. Një ngjarje e tillë tregohet nga simboli.

Le të shoqërohet çdo ngjarje A me një numër P(A). Ky numër P(A) quhet probabiliteti i ngjarjes A nëse plotësohen kushtet e mëposhtme me këtë korrespondencë.

Një rast i veçantë i rëndësishëm është situata kur ka njësoj të mundshme rezultatet elementare, dhe arbitrare të këtyre rezultateve nga ngjarjet A. Në këtë rast, probabiliteti mund të futet duke përdorur formulën. Probabiliteti i paraqitur në këtë mënyrë quhet probabiliteti klasik. Mund të vërtetohet se në këtë rast plotësohen pronat 1-4.

Problemet në teorinë e probabilitetit që shfaqen në Provimin e Unifikuar të Shtetit në matematikë lidhen kryesisht me probabilitetin klasik. Detyra të tilla mund të jenë shumë të thjeshta. Veçanërisht të thjeshta janë problemet në teorinë e probabilitetit në opsionet demo. Lehtë për të llogaritur numrin rezultate të favorshme, numri i të gjitha rezultateve shkruhet pikërisht në kusht.

Përgjigjen e marrim duke përdorur formulën.

Një shembull i një problemi nga Provimi i Unifikuar i Shtetit në matematikë për përcaktimin e probabilitetit

Në tryezë ka 20 byrekë - 5 me lakër, 7 me mollë dhe 8 me oriz. Marina dëshiron të marrë byrekun. Sa është probabiliteti që ajo të marrë tortën me oriz?

Zgjidhje.

Janë 20 rezultate elementare po aq të mundshme, domethënë Marina mund të marrë ndonjë nga 20 byrekët. Por ne duhet të vlerësojmë probabilitetin që Marina të marrë byrekun e orizit, pra ku A është zgjedhja e byrekut me oriz. Kjo do të thotë që kemi vetëm 8 rezultate të favorshme (zgjedhja e byrekut të orizit), atëherë probabiliteti do të përcaktohet nga formula:

Ngjarje të pavarura, të kundërta dhe arbitrare

Megjithatë, në kavanoz i hapur Filluan të ndeshen detyra më komplekse. Prandaj, le të tërheqim vëmendjen e lexuesit në çështje të tjera të studiuara në teorinë e probabilitetit.

Ngjarjet A dhe B quhen të pavarura nëse probabiliteti i secilës nuk varet nga fakti nëse ndodh ngjarja tjetër.

Ngjarja B është ajo ngjarje A nuk ka ndodhur, d.m.th. ngjarja B është e kundërt me ngjarjen A. Probabiliteti i ngjarjes së kundërt është i barabartë me një minus probabilitetin e ngjarjes së drejtpërdrejtë, d.m.th. .

Teoremat e mbledhjes dhe shumëzimit të probabilitetit, formula

Për ngjarje arbitrare A dhe B, probabiliteti i shumës së këtyre ngjarjeve është i barabartë me shumën e probabiliteteve të tyre pa probabilitetin e ngjarjes së tyre të përbashkët, d.m.th. .

Për ngjarje të pavarura A dhe B, probabiliteti që këto ngjarje të ndodhin është i barabartë me produktin e probabiliteteve të tyre, d.m.th. në këtë rast .

2 pohimet e fundit quhen teorema të mbledhjes dhe shumëzimit të probabiliteteve.

Numërimi i numrit të rezultateve nuk është gjithmonë aq i thjeshtë. Në disa raste është e nevojshme të përdoren formulat e kombinatorikës. Gjëja më e rëndësishme është të numëroni numrin e ngjarjeve që plotësojnë disa kushte. Ndonjëherë këto lloj llogaritjesh mund të bëhen detyra të pavarura.

Në sa mënyra mund të ulen 6 studentë në 6 vende bosh? Nxënësi i parë do të zërë një nga 6 vendet. Secila prej këtyre opsioneve korrespondon me 5 mënyra për të zënë një vend studenti i dytë. Kanë mbetur 4 vende të lira për nxënësin e tretë, 3 për të katërtin, 2 për të pestin dhe i gjashti do të zërë vendin e vetëm të mbetur. Për të gjetur numrin e të gjitha opsioneve, duhet të gjeni produktin, i cili shënohet me simbolin 6! dhe lexohet "gjashtë faktorial".

NË rast i përgjithshëm Përgjigja për këtë pyetje jepet nga formula për numrin e permutacioneve të n elementeve.

Le të shqyrtojmë tani një rast tjetër me studentët tanë. Në sa mënyra mund të ulen 2 studentë në 6 vende bosh? Nxënësi i parë do të zërë një nga 6 vendet. Secila prej këtyre opsioneve korrespondon me 5 mënyra për të zënë një vend studenti i dytë. Për të gjetur numrin e të gjitha opsioneve, duhet të gjeni produktin.

Në përgjithësi, përgjigjen për këtë pyetje e jep formula për numrin e vendosjeve të n elementeve mbi k elemente

Në rastin tonë.

DHE rasti i fundit nga kjo seri. Në sa mënyra mund të zgjidhni 3 studentë nga 6? Studenti i parë mund të zgjidhet në 6 mënyra, i dyti - në 5 mënyra, i treti - në katër mënyra. Por midis këtyre opsioneve, të njëjtët tre studentë shfaqen 6 herë. Për të gjetur numrin e të gjitha opsioneve, duhet të llogarisni vlerën: . Në përgjithësi, përgjigja për këtë pyetje jepet nga formula për numrin e kombinimeve të elementeve sipas elementit:

Në rastin tonë.

Shembuj të zgjidhjes së problemeve nga Provimi i Unifikuar i Shtetit në matematikë për të përcaktuar probabilitetin

Detyra 1. Nga koleksioni i redaktuar nga. Yashçenko.

Në pjatë ka 30 byrekë: 3 me mish, 18 me lakër dhe 9 me qershi. Sasha zgjedh një byrek rastësisht. Gjeni probabilitetin që ai të përfundojë me një qershi.

.

Përgjigje: 0.3.

Detyra 2. Nga koleksioni i redaktuar nga. Yashçenko.

Në çdo grup prej 1000 llambash, mesatarisht 20 janë me defekt. Gjeni probabilitetin që një llambë e marrë rastësisht nga një grup do të funksionojë.

Zgjidhja: Numri i llambave të punës është 1000-20=980. Atëherë probabiliteti që një llambë e marrë rastësisht nga një grup do të funksionojë:

Përgjigje: 0.98.

Probabiliteti që nxënësi U të zgjidhë saktë më shumë se 9 problema gjatë një testi matematike është 0,67. Probabiliteti që U të zgjidhë saktë më shumë se 8 problema është 0.73. Gjeni probabilitetin që U të zgjidhë saktë 9 problema.

Nëse imagjinojmë një vijë numerike dhe shënojmë pikat 8 dhe 9 në të, atëherë do të shohim se kushti “U. do të zgjidhë saktë 9 problema” përfshihet në kushtin “U. do të zgjidhë saktë më shumë se 8 probleme”, por nuk vlen për kushtin “U. do të zgjidhë saktë më shumë se 9 probleme.”

Megjithatë, kushti “U. do të zgjidhë saktë më shumë se 9 probleme” gjendet në kushtin “U. do të zgjidhë saktë më shumë se 8 probleme.” Kështu, nëse caktojmë ngjarje: “U. do të zgjidhë saktësisht 9 probleme" - përmes A, "U. do të zgjidhë saktë më shumë se 8 probleme" - përmes B, "U. do të zgjidhë saktë më shumë se 9 probleme” përmes C. Kjo zgjidhje do të duket kështu:

Përgjigje: 0.06.

Në një provim gjeometrie, një student i përgjigjet një pyetjeje nga një listë pyetjet e provimit. Probabiliteti që kjo të jetë një pyetje trigonometrike është 0.2. Probabiliteti që kjo është një pyetje në këndet e jashtme është 0.15. Nuk ka pyetje që lidhen njëkohësisht me këto dy tema. Gjeni probabilitetin që një student të marrë një pyetje në një nga këto dy tema në provim.

Le të mendojmë se çfarë ngjarjesh kemi. Na janë dhënë dy ngjarje të papajtueshme. Kjo do të thotë, ose pyetja do të lidhet me temën "Trigonometria" ose me temën "Këndet e jashtme". Sipas teoremës së probabilitetit, probabiliteti ngjarje të papajtueshmeështë e barabartë me shumën e probabiliteteve të secilës ngjarje, duhet të gjejmë shumën e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve, domethënë:

Përgjigje: 0.35.

Dhoma ndriçohet nga një fanar me tre llamba. Probabiliteti që një llambë të digjet brenda një viti është 0.29. Gjeni probabilitetin që të paktën një llambë të mos digjet gjatë vitit.

Le të shqyrtojmë ngjarjet e mundshme. Ne kemi tre llamba, secila prej të cilave mund ose jo të digjet pavarësisht nga çdo llambë tjetër. Këto janë ngjarje të pavarura.

Pastaj do të tregojmë opsionet për ngjarje të tilla. Le të përdorim shënimet e mëposhtme: - llamba është ndezur, - llamba është djegur. Dhe pikërisht pranë tij do të llogarisim probabilitetin e ngjarjes. Për shembull, ka ndodhur probabiliteti i një ngjarjeje në të cilën tre ngjarje të pavarura "llamba është djegur", "llamba është ndezur", "llamba është ndezur": , ku probabiliteti i ngjarjes "llamba e dritës është ndezur” llogaritet si probabiliteti i ngjarjes së kundërt me ngjarjen “llamba nuk është ndezur”, përkatësisht: .

Vini re se ka vetëm 7 ngjarje të papajtueshme të favorshme për ne. Probabiliteti i ngjarjeve të tilla është i barabartë me shumën e probabiliteteve të secilës prej ngjarjeve.

Përgjigje: 0.975608.

Ju mund të shihni një problem tjetër në figurë:

Kështu, ne kemi kuptuar se çfarë është teoria e probabilitetit, formula dhe shembuj të zgjidhjes së problemeve që mund të hasni në versionin e Provimit të Unifikuar të Shtetit.

Mami lau kornizën

Në fund të gjatë pushimet veroreështë koha për t'u kthyer ngadalë matematikë e lartë dhe hapni solemnisht një skedar bosh Verd për të filluar krijimin e një seksioni të ri - . E pranoj, rreshtat e parë nuk janë të lehta, por hapi i parë është gjysma e rrugës, kështu që i sugjeroj të gjithëve të studiojnë me kujdes artikullin hyrës, pas së cilës zotërimi i temës do të jetë 2 herë më i lehtë! Nuk po e ekzagjeroj aspak. …Në prag të 1 shtatorit të ardhshëm, më kujtohet klasa e parë dhe abetarja…. Shkronjat formohen në rrokje, rrokjet në fjalë, fjalët në fjali të shkurtra- Mami lau kornizën. Përballja me terverin dhe statistika matematikore aq e lehtë sa të mësosh të lexosh! Megjithatë, për këtë ju duhet të dini termat, konceptet dhe emërtimet kryesore, si dhe disa rregulla specifike, të cilat janë objekt i këtij mësimi.

Por së pari, pranoni urimet e mia për fillimin (vazhdim, përfundim, shënim sipas rastit) Viti shkollor dhe pranoni dhuratën. Dhurata më e mirë është një libër, dhe për punë e pavarur Unë rekomandoj literaturën e mëposhtme:

1) Gmurman V.E. Teoria e Probabilitetit dhe Statistikat Matematikore

Legjendar tutorial, e cila kaloi në më shumë se dhjetë ribotime. Ai dallohet për kuptueshmërinë dhe paraqitjen jashtëzakonisht të thjeshtë të materialit, dhe kapitujt e parë janë plotësisht të aksesueshëm, mendoj, tashmë për nxënësit e klasave 6-7.

2) Gmurman V.E. Udhëzues për zgjidhjen e problemeve në teorinë e probabilitetit dhe statistikat matematikore

Një libër zgjidhjesh nga i njëjti Vladimir Efimovich me shembuj dhe probleme të hollësishme.

ME DOMOSDOSHT shkarkoni të dy librat nga Interneti ose merrni origjinalet e tyre në letër! Versioni i viteve '60 dhe '70 do të funksionojë gjithashtu, i cili është edhe më i mirë për dummies. Megjithëse fraza "teoria e probabilitetit për bedelët" tingëllon mjaft qesharake, pasi pothuajse gjithçka është e kufizuar në elementare veprimet aritmetike. Megjithatë, ato kalojnë në vende derivatet Dhe integrale, por kjo është vetëm në vende.

Do të përpiqem të arrij të njëjtën qartësi të prezantimit, por duhet të paralajmëroj se synohet kursi im zgjidhjen e problemeve dhe llogaritjet teorike janë mbajtur në minimum. Kështu, nëse keni nevojë për një teori të detajuar, prova të teoremave (teorema-teorema!), ju lutemi referojuni tekstit shkollor. Epo, kush dëshiron mësoni të zgjidhni problemet në teorinë e probabilitetit dhe statistikat matematikore më së shumti kohë të shkurtër , me ndiq mua!

Kaq mjafton për fillim =)

Ndërsa lexoni artikujt, këshillohet që të njiheni (të paktën shkurtimisht) me detyra shtesë të llojeve të konsideruara. Në faqe Zgjidhje të gatshme për matematikën e lartë Do të postohen pdf-të përkatëse me shembuj zgjidhjesh. Gjithashtu do të ofrohet një ndihmë e konsiderueshme IDZ 18.1 Ryabushko(më e thjeshtë) dhe zgjidhi IDZ sipas koleksionit të Chudesenko(më i vështirë).

1) Shuma dy ngjarje dhe ngjarja quhet e cila është se ajo do të ndodhë ose ngjarje ose ngjarje ose të dyja ngjarjet në të njëjtën kohë. Në rast se ngjarjet të papajtueshme, opsioni i fundit zhduket, domethënë mund të ndodhë ose ngjarje ose ngjarje .

Rregulli vlen edhe për sasi e madhe termat, për shembull, ngjarje është ajo që do të ndodhë të paktën një nga ngjarjet , A nëse ngjarjet janë të papajtueshme – pastaj një gjë dhe vetëm një gjë ngjarje nga kjo shumë: ose ngjarje, ose ngjarje, ose ngjarje, ose ngjarje, ose ngjarje .

Ka plot shembuj:

Ngjarjet (kur hidhen zare nuk do të rrokulliset 5 pikë) është ajo që do të rrokulliset ose 1, ose 2, ose 3, ose 4, ose 6 pikë.

Ngjarja (do të bjerë jo më dy pikë) është se do të shfaqet 1 ose 2pikë.

Ngjarja (do numër çift pikë) është ajo që do të rrotullohet ose 2 ose 4 ose 6 pikë.

Ngjarja është se një karton i kuq (zemër) do të tërhiqet nga kuverta ose dajre), dhe ngjarja – që “fotoja” do të nxirret (jack ose zonjë ose mbret ose ACE).

Pak më interesant është rasti me ngjarjet e përbashkëta:

Ngjarja është që një klub do të tërhiqet nga kuverta ose shtatë ose shtatë nga klubet Sipas përkufizimit të dhënë më sipër, të paktën diçka- ose ndonjë klub ose ndonjë shtatë ose "kryqëzimi" i tyre - shtatë klube. Është e lehtë të llogaritet se kjo ngjarje korrespondon me 12 rezultate elementare (9 letra klubi + 3 shtatë të mbetura).

Ngjarja është se nesër në 12.00 do të vijë TË PAKUNËT NJË nga ngjarjet e përbashkëta të përmbledhura, domethënë:

– ose do të ketë vetëm shi / vetëm stuhi / vetëm diell;
– ose do të ndodhin vetëm disa palë ngjarjesh (shi + bubullimë / shi + diell / bubullimë + diell);
– ose të tre ngjarjet do të shfaqen njëkohësisht.

Kjo do të thotë, ngjarja përfshin 7 rezultate të mundshme.

Shtylla e dytë e algjebrës së ngjarjeve:

2) Puna dy ngjarje dhe quaj një ngjarje e cila konsiston në ndodhjen e përbashkët të këtyre ngjarjeve, me fjalë të tjera, shumëzim do të thotë se në disa rrethana do të ketë Dhe ngjarje, Dhe ngjarje . Një deklaratë e ngjashme është e vërtetë për një numër më të madh ngjarjesh, për shembull, produkti nënkupton se kur kushte të caktuara do të ndodhë Dhe ngjarje, Dhe ngjarje, Dhe ngjarje,…, Dhe ngjarje .

Konsideroni një provë në të cilën hidhen dy monedha dhe ngjarjet e mëposhtme:

– kokat do të shfaqen në monedhën e parë;
– monedha e parë do të bjerë koka;
– kokat do të shfaqen në monedhën e dytë;
– monedha e dytë do të bjerë në kokë.

Pastaj:
Dhe në datën 2) do të shfaqen kokat;
– ngjarja është se në të dy monedhat (në 1 Dhe në datën 2) do të jenë kokat;
– ngjarja është që monedha e parë do të bjerë në kokë Dhe monedha e dytë është bisht;
– ngjarja është që monedha e parë do të bjerë në kokë Dhe në monedhën e dytë ka një shqiponjë.

Është e lehtë të shikosh ato ngjarje të papajtueshme (sepse, për shembull, nuk mund të bjerë 2 koka dhe 2 bishta në të njëjtën kohë) dhe forma grupi i plotë (pasi është marrë parasysh Të gjitha rezultatet e mundshme të hedhjes së dy monedhave). Le të përmbledhim këto ngjarje: . Si të interpretohet kjo hyrje? Shumë e thjeshtë - shumëzimi nënkupton një lidhje logjike DHE, dhe shtesa - OSE. Pra, shuma është e lehtë për t'u lexuar dhe e kuptueshme gjuha njerëzore: “do të dalin dy koka ose dy koka ose monedha e parë do të zbresë kokat Dhe në bishtin e dytë ose monedha e parë do të zbresë kokat Dhe në monedhën e dytë është një shqiponjë"

Ky ishte një shembull kur në një provë përfshihen disa objekte, në këtë rast dy monedha. Një tjetër e zakonshme në probleme praktike oh diagrami është ritestimi , kur, për shembull, e njëjta gjë zare hedh 3 herë radhazi. Si demonstrim, merrni parasysh ngjarjet e mëposhtme:

– në gjuajtjen e parë do të merrni 4 pikë;
– në gjuajtjen e dytë do të merrni 5 pikë;
– në gjuajtjen e tretë do të merrni 6 pikë.

Pastaj ngjarja është se në gjuajtjen e parë do të merrni 4 pikë Dhe në gjuajtjen e dytë do të merrni 5 pikë Dhe në listën e tretë do të merrni 6 pikë. Natyrisht, në rastin e një kubi do të ketë dukshëm më shumë kombinime (rezultate) sesa nëse do të hidhnim një monedhë.

...E kuptoj që ndoshta nuk e kuptojnë shumë mirë shembuj interesantë, por këto janë gjëra që hasen shpesh në probleme dhe nuk ka shpëtim prej tyre. Përveç një monedhe, një kub dhe një kuvertë letrash, urna me topa me shumë ngjyra, disa persona anonimë që gjuanin në një objektiv dhe një punëtor i palodhur i cili vazhdimisht bluan disa detaje =)

Probabiliteti i ngjarjes

Probabiliteti i ngjarjes - Kjo koncept qendror teoria e probabilitetit. ...Një gjë logjike vrasëse, por duhej të fillonim diku =) Ka disa qasje për përkufizimin e saj:

;
Përkufizimi gjeometrik i probabilitetit ;
Përkufizimi statistikor i probabilitetit .

Në këtë artikull do të ndalem në përkufizimin klasik të probabiliteteve, i cili gjen më shumë aplikim të gjerë në detyrat edukative.

Emërtimet. Probabiliteti i ndonjë ngjarjeje tregohet si i lartë shkronja latine, dhe vetë ngjarja merret në kllapa, duke vepruar si një lloj argumenti. Për shembull:

Gjithashtu, shkronja e vogël përdoret gjerësisht për të treguar probabilitetin. Në veçanti, ju mund të braktisni përcaktimet e rënda të ngjarjeve dhe probabilitetet e tyre në favor të stilit të mëposhtëm:

– probabiliteti që hedhja e monedhës të rezultojë në koka;
– probabiliteti që një hedhje zari të rezultojë në 5 pikë;
– probabiliteti që një kartë e kostumit të klubit të tërhiqet nga kuverta.

Ky opsion është i popullarizuar kur zgjidhni probleme praktike, pasi ju lejon të zvogëloni ndjeshëm regjistrimin e zgjidhjes. Ashtu si në rastin e parë, është e përshtatshme të përdoren nënshkrimet/mbishkrimet "folëse" këtu.

Të gjithë i kanë hamendësuar prej kohësh numrat që sapo shkrova më lart, dhe tani do të zbulojmë se si dolën:

Përkufizimi klasik i probabilitetit:

Probabiliteti që një ngjarje të ndodhë në një test të caktuar quhet raporti, ku:

– numri total të gjithë po aq e mundur, elementare rezultatet e këtij testi, të cilat formohen grupi i plotë i ngjarjeve;

- sasi elementare rezultatet, i favorshëm ngjarje.

Kur hidhni një monedhë, mund të bien ose kokat ose bishtat - formohen këto ngjarje grupi i plotë, pra, numri i përgjithshëm i rezultateve; në të njëjtën kohë, secili prej tyre elementare Dhe po aq e mundur. Ngjarja favorizohet nga rezultati (kokat). Sipas përkufizimit klasik të probabilitetit: .

Në mënyrë të ngjashme, si rezultat i hedhjes së një peshoreje, mund të shfaqen rezultate elementare po aq të mundshme, duke formuar një grup të plotë dhe ngjarja favorizohet nga një rezultat i vetëm (rrotullimi i një pesëshe). Kjo është arsyeja pse: KJO NUK PRANOHET TË BËSH (edhe pse nuk është e ndaluar të vlerësosh përqindjet në kokën tënde).

Është zakon të përdoren fraksione të një njësie, dhe, padyshim, probabiliteti mund të ndryshojë brenda . Për më tepër, nëse , atëherë ngjarja është e pamundur, Nëse - të besueshme, dhe nëse , atëherë po flasim për e rastit ngjarje.

! Nëse gjatë zgjidhjes së ndonjë problemi, ju merrni ndonjë vlerë tjetër probabiliteti, kërkoni gabimin!

Në qasje klasike për përcaktimin e probabilitetit vlerat ekstreme(zero dhe një) fitohen pikërisht me të njëjtin arsyetim. Lëreni 1 top të tërhiqet rastësisht nga një urnë e caktuar që përmban 10 topa të kuq. Merrni parasysh ngjarjet e mëposhtme:

në një provë të vetme nuk do të ndodhë një ngjarje me mundësi të ulët.

Kjo është arsyeja pse ju nuk do të arrini çmimin e parë në llotari nëse probabiliteti i kësaj ngjarje është, të themi, 0.00000001. Po, po, jeni ju - me të vetmen biletë në një qarkullim të caktuar. Megjithatë, një numër më i madh biletash dhe një numër më i madh vizatimesh nuk do t'ju ndihmojnë shumë. ...Kur u tregoj të tjerëve për këtë, pothuajse gjithmonë dëgjoj si përgjigje: "por dikush fiton". Mirë, atëherë le të bëjmë eksperimentin e mëposhtëm: ju lutemi blini një biletë për ndonjë llotari sot ose nesër (mos vononi!). Dhe nëse fitoni ... mirë, të paktën më shumë se 10 kilorubla, sigurohuni që të regjistroheni - unë do të shpjegoj pse ndodhi kjo. Për një përqindje, natyrisht =) =)

Por nuk ka pse të trishtoheni, sepse ekziston një parim i kundërt: nëse probabiliteti i ndonjë ngjarjeje është shumë afër një, atëherë në një provë të vetme do të pothuajse e sigurt do të ndodhë. Prandaj, nuk ka nevojë të keni frikë përpara se të hidheni me parashutë, përkundrazi, buzëqeshni! Në fund të fundit, duhet të krijohen rrethana krejtësisht të paimagjinueshme dhe fantastike që të dy parashutat të dështojnë.

Edhe pse e gjithë kjo është lirizëm, pasi në varësi të përmbajtjes së ngjarjes, parimi i parë mund të rezultojë i gëzuar, dhe i dyti - i trishtuar; apo edhe të dyja paralele.

Ndoshta kjo është e mjaftueshme tani për tani, në klasë Problemet klasike të probabilitetit do të marrim maksimumin nga formula. Në pjesën e fundit të këtij artikulli, ne do të shqyrtojmë një teoremë të rëndësishme:

Shuma e probabiliteteve të ngjarjeve që formojnë një grup të plotë është e barabartë me një. Përafërsisht, nëse ngjarjet formojnë një grup të plotë, atëherë me një probabilitet 100% do të ndodhë njëra prej tyre. Në shumë rast i thjeshtë formohet grupi i plotë ngjarje të kundërta, Për shembull:

– si rezultat i hedhjes së monedhës, do të shfaqen kokat;
– Rezultati i hedhjes së monedhës do të jetë bishti.

Sipas teoremës:

Është absolutisht e qartë se këto ngjarje janë po aq të mundshme dhe probabilitetet e tyre janë të njëjta .

Për shkak të barazisë së probabiliteteve, shpesh quhen ngjarje po aq të mundshme po aq e mundshme . Dhe këtu është një kthesë gjuhësore për përcaktimin e shkallës së dehjes =)

Shembull me një kub: ngjarjet janë të kundërta, pra .

Teorema në shqyrtim është e përshtatshme në atë që ju lejon të gjeni shpejt probabilitetin e ngjarjes së kundërt. Pra, nëse dihet probabiliteti që një pesë të rrotullohet, është e lehtë të llogaritet probabiliteti që të mos rrotullohet:

Kjo është shumë më e thjeshtë sesa përmbledhja e probabiliteteve të pesë rezultateve elementare. Për rezultatet elementare, nga rruga, kjo teoremë është gjithashtu e vërtetë:
. Për shembull, nëse është probabiliteti që gjuajtësi të godasë objektivin, atëherë është probabiliteti që ai të humbasë.

! Në teorinë e probabilitetit, është e padëshirueshme të përdoren shkronja për qëllime të tjera.

Për nder të Ditës së Dijes, nuk do të pyes detyre shtepie=), por është shumë e rëndësishme që ju të mund të përgjigjeni pyetjet e radhës:

– Çfarë lloj ngjarjesh ekzistojnë?
– Çfarë është shansi dhe mundësia e barabartë e një ngjarjeje?
– Si i kuptoni termat përputhshmëri/papajtueshmëri e ngjarjeve?
– Çfarë është një grup i plotë ngjarjesh, ngjarje të kundërta?
– Çfarë do të thotë mbledhja dhe shumëzimi i ngjarjeve?
– Ç’kuptim ka? përkufizimi klasik probabilitete?
– Pse është e dobishme teorema për mbledhjen e probabiliteteve të ngjarjeve që formojnë një grup të plotë?

Jo, nuk keni nevojë të grumbulloni asgjë, këto janë vetëm bazat e teorisë së probabilitetit - një lloj abetare që do të përshtatet shpejt në kokën tuaj. Dhe që kjo të ndodhë sa më shpejt të jetë e mundur, ju sugjeroj të njiheni me mësimet

Teoria e probabilitetit është një degë e matematikës që studion modelet e fenomeneve të rastësishme: ngjarje të rastësishme, variablat e rastësishëm, vetitë dhe veprimet e tyre mbi to.

Për një kohë të gjatë teoria e probabilitetit nuk kishte një përkufizim të qartë. Ajo u formulua vetëm në 1929. Shfaqja e teorisë së probabilitetit si shkencë daton që nga Mesjeta dhe përpjekjet e para analiza matematikore bixhoz (hedhje, zare, ruletë). Matematikanët francezë Blaise Pascal dhe Pierre Fermat i shekullit të 17-të, duke eksploruar parashikimin e fitimeve në kumar, zbuloi modelet e para probabiliste që lindin gjatë hedhjes së zarit.

Teoria e probabilitetit u ngrit si shkencë nga besimi se ngjarjet masive të rastësishme bazohen në modele të caktuara. Teoria e probabilitetit studion këto modele.

Teoria e probabilitetit merret me studimin e ngjarjeve, shfaqja e të cilave nuk dihet me siguri. Kjo ju lejon të gjykoni shkallën e probabilitetit të ndodhjes së disa ngjarjeve në krahasim me të tjerët.

Për shembull: është e pamundur të përcaktohet pa mëdyshje rezultati i "kokave" ose "bishtave" si rezultat i hedhjes së një monedhe, por kur e hedh atë shumë herë, rezultati është afërsisht. të njëjtin numër"koka" dhe "bisht", që do të thotë se probabiliteti për të marrë "kokë" ose "bisht" është 50%.

Test në këtë rast, zbatimi i një grupi të caktuar kushtesh quhet, domethënë në këtë rast, hedhja e një monedhe. Sfida mund të riluhet sasi e pakufizuar një herë. Në këtë rast, grupi i kushteve përfshin faktorë të rastësishëm.

Rezultati i testit është ngjarje. Ngjarja ndodh:

1. I besueshëm (ndodh gjithmonë si rezultat i testimit).
2. E pamundur (nuk ndodh kurrë).
3. E rastësishme (mund ose nuk mund të ndodhë si rezultat i testit).

Për shembull, kur hedh një monedhë, një ngjarje e pamundur - monedha do të bjerë në buzë, një ngjarje e rastësishme - shfaqja e "kokave" ose "bishtave". Rezultati specifik i testit quhet ngjarje elementare. Si rezultat i testit, ndodhin vetëm ngjarje elementare. Grupi i të gjitha rezultateve të testit të mundshëm, të ndryshëm, specifik quhet hapësira e ngjarjeve elementare.

Konceptet themelore të teorisë

Probabiliteti- shkalla e mundësisë së ndodhjes së një ngjarjeje. Kur arsyet për një ngjarje të mundshme për të ndodhur realisht tejkalojnë arsyet e kundërta, atëherë kjo ngjarje quhet e mundshme, në ndryshe- e pamundur ose e pabesueshme.

Vlera e rastësishme- kjo është një sasi që, si rezultat i testimit, mund të marrë një ose një vlerë tjetër, dhe nuk dihet paraprakisht se cila. Për shembull: numri për stacion zjarri në ditë, numri i goditjeve me 10 të shtëna, etj.

Variablat e rastësishëm mund të ndahen në dy kategori.

1. Ndryshore diskrete e rastësishmeështë një sasi që, si rezultat i testimit, mund të marrë vlera të caktuara me një probabilitet të caktuar, duke formuar grup i numërueshëm(një grup elementet e të cilit mund të numërohen). Ky grup mund të jetë ose i fundëm ose i pafund. Për shembull, numri i të shtënave përpara goditjes së parë në objektiv është një ndryshore e rastësishme diskrete, sepse kjo sasi mund të marrë një numër vlerash të pafundme, edhe pse të numërueshme.
2. Ndryshore e vazhdueshme e rastësishmeështë një sasi që mund të marrë çdo vlerë nga një interval i fundëm ose i pafund. Natyrisht, numri i vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme është i pafund.

Hapësira e probabilitetit- koncepti i prezantuar nga A.N. Kolmogorov në vitet '30 të shekullit XX për të zyrtarizuar konceptin e probabilitetit, i cili shkaktoi zhvillim të shpejtë teoria e probabilitetit si një disiplinë e rreptë matematikore.

Një hapësirë ​​probabiliteti është një trefish (nganjëherë i mbyllur në kllapa këndore: , ku

Ky është një grup arbitrar, elementët e të cilit quhen ngjarje, rezultate ose pika elementare;
- algjebra sigma e nëngrupeve të quajtura ngjarje (të rastësishme);
- masë probabiliteti ose probabilitet, d.m.th. masë e fundme sigma-aditiv i tillë që .

Teorema De Moivre-Laplace- një nga teoremat kufitare të teorisë së probabilitetit, e krijuar nga Laplace në 1812. Ajo pretendon se numri i sukseseve në përsëritur shumë herë i njëjti eksperiment i rastësishëm me dy rezultatet e mundshme përafërsisht ka shpërndarje normale. Kjo ju lejon të gjeni një vlerë të përafërt probabiliteti.

Nëse për secilën prej provave të pavarura probabiliteti i shfaqjes së ndonjë ngjarjeje të rastësishme është i barabartë me () dhe është numri i provave në të cilat ndodh realisht, atëherë probabiliteti që pabarazia të jetë e vërtetë është afër (për vlera të mëdha) me vlera e integralit Laplace.

Funksioni i shpërndarjes në teorinë e probabilitetit- një funksion që karakterizon shpërndarjen e një ndryshoreje të rastësishme ose të vektorit të rastësishëm; probabiliteti që një ndryshore e rastësishme X të marrë një vlerë më të vogël ose të barabartë me x, ku x është arbitrare numër real. Nëse plotësohen kushtet e njohura, ai përcakton plotësisht variablin e rastësishëm.

Vlera e pritshme- vlera mesatare e një ndryshoreje të rastësishme (kjo është shpërndarja e probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme, e konsideruar në teorinë e probabilitetit). NË Letërsi angleze shënohet me , në rusisht - . Në statistika, shënimi përdoret shpesh.

Le të jepet një hapësirë ​​probabiliteti dhe një ndryshore e rastësishme e përcaktuar në të. Ky është, sipas përkufizimit, një funksion i matshëm. Pastaj, nëse ka një integral Lebesgue të mbi hapësirës, ​​atëherë ai quhet pritshmëri matematikore, ose vlera mesatare, dhe shënohet .

Varianca e një ndryshoreje të rastësishme- një masë e përhapjes së një ndryshoreje të caktuar të rastësishme, d.m.th. devijimi i saj nga pritshmëria matematikore. Është caktuar në literaturën ruse dhe të huaj. Në statistika, shënimi ose përdoret shpesh. Rrenja katrore nga varianca quhet devijimi standard, devijimi standard ose përhapja standarde.

Le të jetë një ndryshore e rastësishme e përcaktuar në disa hapësirë ​​probabiliteti. Pastaj

ku simboli tregon pritjen matematikore.

Në teorinë e probabilitetit quhen dy ngjarje të rastësishme të pavarur, nëse ndodhja e njërës prej tyre nuk ndryshon probabilitetin e ndodhjes së tjetrës. Në mënyrë të ngjashme, thirren dy ndryshore të rastësishme i varur, nëse vlera e njërës prej tyre ndikon në probabilitetin e vlerave të tjetrës.

Forma më e thjeshtë e ligjit numra të mëdhenjështë teorema e Bernulit, e cila thotë se nëse probabiliteti i një ngjarjeje është i njëjtë në të gjitha sprovat, atëherë me rritjen e numrit të provave, frekuenca e ngjarjes priret në probabilitetin e ngjarjes dhe pushon së qeni e rastësishme.

Ligji i numrave të mëdhenj në teorinë e probabilitetit thotë se mesatarja aritmetike e një kampioni të fundëm nga një shpërndarje fikse është afër mesatares teorike pritje matematikore këtë shpërndarje. Në varësi të llojit të konvergjencës, bëhet dallimi midis ligjit të dobët të numrave të mëdhenj, kur konvergjenca ndodh sipas probabilitetit, dhe ligjit të fortë të numrave të mëdhenj, kur konvergjenca është pothuajse e sigurt.

Kuptimi i përgjithshëm i ligjit të numrave të mëdhenj është veprimi i përbashkët numer i madh faktorë të rastësishëm identikë dhe të pavarur çojnë në një rezultat që, në kufi, nuk varet nga rastësia.

Metodat për vlerësimin e probabilitetit bazuar në analizën e mostrës së fundme bazohen në këtë veti. Një shembull i qartëështë një parashikim i rezultateve të zgjedhjeve bazuar në një anketë të një kampioni votuesish.

Qendrore teorema kufizuese - një klasë teoremash në teorinë e probabilitetit që deklaron se shuma është e mjaftueshme sasi e madhe Variablat e rastësishme të varura dobët që kanë përafërsisht të njëjtat shkallë (asnjë term nuk dominon ose nuk jep një kontribut vendimtar në shumë) ka një shpërndarje afër normales.

Meqenëse shumë variabla të rastësishëm në aplikacione formohen nën ndikimin e disa faktorëve të rastësishëm të varur dobët, shpërndarja e tyre konsiderohet normale. Në këtë rast duhet të plotësohet kushti që asnjë nga faktorët të mos jetë dominues. Teoremat e kufirit qendror në këto raste justifikojnë përdorimin e shpërndarjes normale.

Doktrina e ligjeve që rregullojnë të ashtuquajturat. dukuritë e rastësishme. Fjalor fjalë të huaja, të përfshira në gjuhën ruse. Chudinov A.N., 1910 ... Fjalori i fjalëve të huaja të gjuhës ruse

teoria e probabilitetit- - [L.G. Sumenko. Fjalori anglisht-rusisht për teknologjinë e informacionit. M.: Ndërmarrja Shtetërore TsNIIS, 2003.] Temat Teknologjia e informacionit në përgjithësi EN teoria e probabilitetit teoria e llogaritjes së probabilitetit ... Udhëzues teknik i përkthyesit

Teoria e probabilitetit- është një pjesë e matematikës që studion marrëdhëniet midis probabiliteteve (shih Probabiliteti dhe Statistika) të ngjarjeve të ndryshme. Le të rendisim teoremat më të rëndësishme që lidhen me këtë shkencë. Probabiliteti i ndodhjes së një prej disa ngjarjeve të papajtueshme është i barabartë me... ... fjalor enciklopedik F. Brockhaus dhe I.A. Efron

TEORIA E PROBABILITETIT- matematikore një shkencë që lejon, nga probabilitetet e disa ngjarjeve të rastësishme (shih), të gjenden probabilitetet e ngjarjeve të rastësishme që lidhen me k.l. mënyrë me të parët. T.v moderne. bazuar në aksiomatikë (shih metodën aksiomatike) nga A. N. Kolmogorov. Në…… Enciklopedia Sociologjike Ruse

Teoria e probabilitetit- një degë e matematikës në të cilën, bazuar në probabilitetet e dhëna të disa ngjarjeve të rastësishme, gjenden probabilitetet e ngjarjeve të tjera të lidhura në një farë mënyre me të parën. Teoria e probabilitetit studion gjithashtu variablat e rastit dhe procese të rastësishme. Një nga kryesoret...... Konceptet shkenca moderne natyrore. Fjalor i termave bazë

teoria e probabilitetit- tikimybių teorija statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. teoria e probabilitetit vok. Wahrscheinlichkeitstheorie, f rus. teoria e probabilitetit, f pranc. théorie des probabilités, f … Fizikos Terminų žodynas

Teoria e probabilitetit- ... Wikipedia

Teoria e probabilitetit- një disiplinë matematikore që studion modelet e dukurive të rastësishme... Fillimet e shkencës moderne natyrore

TEORIA E PROBABILITETIT- (teoria e probabilitetit) shih Probabiliteti... Fjalor i madh shpjegues sociologjik

Teoria e probabilitetit dhe aplikimet e saj- ("Teoria e probabilitetit dhe aplikimet e saj",) Revista Shkencë Departamenti i Matematikës i Akademisë së Shkencave të BRSS. Publikon artikuj origjinalë dhe mesazhe të shkurtra sipas teorisë së probabilitetit, çështje të përgjithshme statistikat matematikore dhe aplikimet e tyre në shkencat natyrore dhe... ... I madh Enciklopedia Sovjetike

libra

• Teoria e probabilitetit. , Ventzel E.S.. Libri është një libër shkollor i destinuar për njerëz të njohur me matematikën në fushën e një kursi të rregullt kolegji dhe të interesuar në aplikimet teknike të teorisë së probabilitetit, në... Blej për 1993 UAH (vetëm në Ukrainë)
• Teoria e probabilitetit. , Ventzel E.S.. Ky libër do të prodhohet në përputhje me porosinë tuaj duke përdorur teknologjinë Print-on-Demand. Libri është një libër shkollor i destinuar për njerëz të njohur me matematikën në një fushë të zakonshme...

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve