Koordinatat karteziane të pikave në rrafsh. Ekuacioni i një rrethi
Një sistem koordinativ drejtkëndor në një rrafsh formohet nga dy akse koordinative reciprokisht pingul X'X dhe Y'Y. Boshtet e koordinatave kryqëzohen në pikën O, e cila quhet origjina, zgjidhet një drejtim pozitiv në secilin aks. në drejtim të kundërt të akrepave të orës me 90°, drejtimi i tij pozitiv përkon me drejtimin pozitiv të boshtit Y'Y. Katër këndet (I, II, III, IV) të formuara nga boshtet koordinative X'X dhe Y'Y quhen kënde koordinative (shih Fig. 1).
Pozicioni i pikës A në rrafsh përcaktohet nga dy koordinata x dhe y. Koordinata x është e barabartë me gjatësinë e segmentit OB, koordinata y është e barabartë me gjatësinë e segmentit OC në njësitë e zgjedhura të matjes. Segmentet OB dhe OC përcaktohen me vija të tërhequra nga pika A paralele me boshtet Y'Y dhe X'X, respektivisht. Koordinata x quhet abshisa e pikës A, koordinata y quhet ordinata e pikës A. Shkruhet kështu: A(x, y).
Nëse pika A shtrihet në këndin koordinativ I, atëherë pika A ka një abshisë dhe një ordinatë pozitive. Nëse pika A shtrihet në këndin koordinativ II, atëherë pika A ka një abshisë negative dhe një ordinatë pozitive. Nëse pika A shtrihet në këndin koordinativ III, atëherë pika A ka një abshisë dhe ordinatë negative. Nëse pika A shtrihet në këndin koordinativ IV, atëherë pika A ka një abshisë pozitive dhe një ordinatë negative.
Sistemi i koordinatave drejtkëndore në hapësirë formohet nga tre akse koordinative pingule të ndërsjella OX, OY dhe OZ. Boshtet e koordinatave kryqëzohen në pikën O, e cila quhet origjina, në secilin aks zgjidhet një drejtim pozitiv, i treguar me shigjeta dhe një njësi matëse për segmentet në akset. Njësitë matëse janë të njëjta për të gjitha akset. OX - bosht i abshisës, OY - bosht ordinate, OZ - bosht aplikativ. Drejtimi pozitiv i akseve zgjidhet ashtu që kur boshti OX rrotullohet në drejtim të kundërt të akrepave të orës me 90°, drejtimi i tij pozitiv përkon me drejtimin pozitiv të boshtit OY, nëse ky rrotullim vërehet nga drejtimi pozitiv i boshtit OZ. Një sistem i tillë koordinativ quhet i djathtë. Nëse gishti i madh i dorës së djathtë merret si drejtim X, gishti tregues si drejtim Y dhe gishti i mesit si drejtim Z, atëherë formohet një sistem koordinativ i dorës së djathtë. Gishtat e ngjashëm të dorës së majtë formojnë sistemin e koordinatave të majta. Është e pamundur të kombinohen sistemet e koordinatave të djathta dhe të majta në mënyrë që boshtet përkatëse të përkojnë (shih Fig. 2).
Pozicioni i pikës A në hapësirë përcaktohet nga tre koordinata x, y dhe z. Koordinata x është e barabartë me gjatësinë e segmentit OB, koordinata y është gjatësia e segmentit OC, koordinata z është gjatësia e segmentit OD në njësitë e zgjedhura të matjes. Segmentet OB, OC dhe OD përcaktohen nga rrafshet e tërhequra nga pika A paralelisht me rrafshet YOZ, XOZ dhe XOY, respektivisht. Koordinata x quhet abshisa e pikës A, koordinata y quhet ordinata e pikës A, koordinata z quhet zbatues i pikës A. Shkruhet kështu: A(a, b, c).
Orti
Një sistem koordinativ drejtkëndor (i çdo dimensioni) përshkruhet gjithashtu nga një grup vektorësh njësi, në bashkëdrejtim me boshtet e koordinatave. Numri i vektorëve njësi është i barabartë me dimensionin e sistemit koordinativ dhe të gjithë janë pingul me njëri-tjetrin.
Në rastin tredimensional, vektorë të tillë njësi zakonisht shënohen i j k ose e x e y e z. Në këtë rast, në rastin e një sistemi koordinativ të djathtë, formulat e mëposhtme me produktin vektorial të vektorëve janë të vlefshme:
- [i j]=k ;
- [j k]=i ;
- [k i]=j .
Histori
Sistemi i koordinatave drejtkëndore u prezantua për herë të parë nga Rene Descartes në veprën e tij "Diskursi mbi metodën" në 1637. Prandaj, sistemi i koordinatave drejtkëndëshe quhet gjithashtu - Sistemi i koordinatave karteziane. Metoda koordinative e përshkrimit të objekteve gjeometrike shënoi fillimin e gjeometrisë analitike. Pierre Fermat gjithashtu kontribuoi në zhvillimin e metodës së koordinatave, por puna e tij u botua për herë të parë pas vdekjes së tij. Dekarti dhe Fermat përdorën metodën e koordinatave vetëm në aeroplan.
Metoda e koordinatave për hapësirën tredimensionale u përdor për herë të parë nga Leonhard Euler tashmë në shekullin e 18-të.
Shihni gjithashtu
Lidhjet
Fondacioni Wikimedia.
- Sistemi i koordinatave karteziane
- shkallë karteziane
Shihni se çfarë janë "koordinatat karteziane" në fjalorë të tjerë:
KOORDINATA KARTEZINALE- (Sistemi i koordinatave karteziane) një sistem koordinativ në një rrafsh ose në hapësirë, zakonisht me boshte reciprokisht pingul dhe shkallë të barabarta përgjatë boshteve drejtkëndore; Me emrin R. Descartes... Fjalori i madh enciklopedik
Koordinatat karteziane- Një sistem koordinativ i përbërë nga dy boshte pingul. Pozicioni i një pike në një sistem të tillë formohet duke përdorur dy numra që përcaktojnë distancën nga qendra koordinative përgjatë secilit prej akseve. Tema informative......
Koordinatat karteziane Udhëzues teknik i përkthyesit - (Sistemi i koordinatave karteziane), një sistem koordinativ në një rrafsh ose në hapësirë, zakonisht me boshte reciproke pingule dhe shkallë të barabarta përgjatë boshteve drejtkëndore; Me emrin R. Descartes...
Koordinatat karteziane Fjalor Enciklopedik - Dekarto koordinatės statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Tiesinė plokštumos arba erdvės koordinačių sistema. Joje ašių masteliai paprastai būna lygūs. atitikmenys: angl. Koordinatat karteziane vok. Kartesische Koordinaten, f…
Koordinatat karteziane Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas
KOORDINATA KARTEZINALE- Dekarto koordinatės statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. koordinatat karteziane; koordinatat e rrjetit vok. kartesische Koordinaten, f rus. Koordinata karteziane, f pranc. coordonnées cartésiennes, f … Fizikos terminų žodynas - një metodë për përcaktimin e pozicionit të pikave në një rrafsh nga distancat e tyre në dy boshte të drejtë pingul fikse. Ky koncept është parë tashmë në Arkimedi dhe Apologjia e Pergës më shumë se dy mijë vjet më parë dhe madje edhe tek egjiptianët e lashtë. Per here te pare kjo......
KOORDINATA KARTEZINALE Enciklopedia matematikore - Sistemi i koordinatave karteziane [emërtuar sipas francezëve. filozof dhe matematikan R. Descartes (R. Descartes; 1596 1650)], një sistem koordinativ në një rrafsh ose në hapësirë, zakonisht me boshte reciprokisht pingul dhe shkallë të barabarta përgjatë boshteve drejtkëndëshe D ...
KOORDINATA KARTEZINALE Fjalori i madh enciklopedik politeknik - (Sistemi i koordinatave Karteziane), një sistem koordinativ në një rrafsh ose në hapësirë, zakonisht me boshte reciproke pingule dhe shkallë të barabarta përgjatë boshteve drejtkëndëshe Emërtuar sipas R. Dekartit.
KOORDINATA KARTEZINALE- Sistemi për pozicionimin e çdo pike të gjetur në kocka në lidhje me dy boshte që kryqëzohen në kënde të drejta. I zhvilluar nga René Descartes, ky sistem u bë baza për metodat standarde për paraqitjen grafike të të dhënave. Vija horizontale...... Fjalor shpjegues i psikologjisë
Koordinatat- Koordinatat. Në aeroplan (majtas) dhe në hapësirë (djathtas). KOORDINATA (nga latinishtja co together dhe ordinatus ordered), numra që përcaktojnë pozicionin e një pike në një drejtëz, rrafsh, sipërfaqe, në hapësirë. Koordinatat janë distanca... Fjalor Enciklopedik i Ilustruar
Një sistem i renditur i dy ose tre akseve të kryqëzuara pingul me njëri-tjetrin me një origjinë të përbashkët (origjina e koordinatave) dhe një njësi të përbashkët të gjatësisë quhet sistem koordinativ kartezian drejtkëndor .
Sistemi i përgjithshëm i koordinatave karteziane (sistemi i koordinatave afinale) mund të përfshijë jo domosdoshmërisht boshte pingul. Për nder të matematikanit francez Rene Descartes (1596-1662), është emëruar ky sistem koordinativ në të cilin njësia e përbashkët e gjatësisë matet në të gjitha akset dhe boshtet janë të drejta.
Sistemi i koordinatave karteziane drejtkëndëshe në një rrafsh ka dy akse dhe sistem koordinativ drejtkëndor Kartezian në hapësirë - tre akse. Çdo pikë në një plan ose në hapësirë përcaktohet nga një grup i renditur i koordinatave - numrave që korrespondojnë me njësinë e gjatësisë së sistemit të koordinatave.
Vini re se, siç vijon nga përkufizimi, ekziston një sistem koordinativ kartezian në një vijë të drejtë, domethënë në një dimension. Futja e koordinatave karteziane në një vijë është një nga mënyrat me të cilat çdo pikë në një drejtëzë lidhet me një numër real të mirëpërcaktuar, domethënë një koordinatë.
Metoda e koordinatave, e cila u ngrit në veprat e Rene Descartes, shënoi një ristrukturim revolucionar të të gjithë matematikës. U bë e mundur interpretimi i ekuacioneve (ose pabarazive) algjebrike në formën e imazheve gjeometrike (grafiket) dhe, anasjelltas, për të kërkuar zgjidhje për problemet gjeometrike duke përdorur formula analitike dhe sisteme ekuacionesh. Po, pabarazi z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOy dhe ndodhet mbi këtë aeroplan nga 3 njësi.
Duke përdorur sistemin e koordinatave karteziane, anëtarësimi i një pike në një kurbë të caktuar korrespondon me faktin se numrat x Dhe y plotësojnë disa ekuacione. Kështu, koordinatat e një pike në një rreth me qendër në një pikë të caktuar ( a; b) plotësoni ekuacionin (x - a)² + ( y - b)² = R² .
Sistemi i koordinatave karteziane drejtkëndëshe në një rrafsh
Dy boshte pingul në një rrafsh me një origjinë të përbashkët dhe të njëjtën formë njësi shkallë Sistemi koordinativ drejtkëndor kartezian në rrafsh . Një prej këtyre boshteve quhet bosht kau, ose boshti x , tjetra - boshti Oy, ose boshti y . Këto boshte quhen edhe boshte koordinative. Le të shënojmë me Mx Dhe My përkatësisht projeksioni i një pike arbitrare M në bosht kau Dhe Oy. Si të merrni projeksione? Le të kalojmë nëpër pikën M kau. Kjo vijë e drejtë kryqëzon boshtin kau në pikën Mx. Le të kalojmë nëpër pikën M vijë e drejtë pingul me boshtin Oy. Kjo vijë e drejtë kryqëzon boshtin Oy në pikën My. Kjo tregohet në foton më poshtë.
x Dhe y pikë M ne do t'i quajmë vlerat e segmenteve të drejtuara në përputhje me rrethanat OMx Dhe OMy. Vlerat e këtyre segmenteve të drejtuara llogariten në përputhje me rrethanat si x = x0 - 0 Dhe y = y0 - 0 . Koordinatat karteziane x Dhe y pikë M abshissa Dhe ordinator . Fakti që pika M ka koordinata x Dhe y, shënohet si më poshtë: M(x, y) .
Boshtet e koordinatave e ndajnë rrafshin në katër kuadrant , numërimi i të cilave është paraqitur në figurën e mëposhtme. Ai gjithashtu tregon renditjen e shenjave për koordinatat e pikave në varësi të vendndodhjes së tyre në një kuadrant të caktuar.
Përveç koordinatave drejtkëndore karteziane në një aeroplan, shpesh merret parasysh edhe sistemi i koordinatave polar. Rreth metodës së kalimit nga një sistem koordinativ në tjetrin - në mësim sistemi i koordinatave polar .
Sistemi koordinativ kartezian drejtkëndor në hapësirë
Koordinatat karteziane në hapësirë futen në analogji të plotë me koordinatat karteziane në rrafsh.
Tre boshte reciproke pingul në hapësirë (boshte koordinative) me një origjinë të përbashkët O dhe me të njëjtën njësi shkallë ato formojnë Sistemi i koordinatave drejtkëndore kartezian në hapësirë .
Njëri prej këtyre boshteve quhet bosht kau, ose boshti x , tjetra - boshti Oy, ose boshti y , boshti i tretë Oz, ose aks aplikojnë . Le Mx, My Mz- projeksionet e një pike arbitrare M hapësirë në bosht kau , Oy Dhe Oz përkatësisht.
Le të kalojmë nëpër pikën M kaukau në pikën Mx. Le të kalojmë nëpër pikën M rrafshi pingul me boshtin Oy. Ky aeroplan kryqëzon boshtin Oy në pikën My. Le të kalojmë nëpër pikën M rrafshi pingul me boshtin Oz. Ky aeroplan kryqëzon boshtin Oz në pikën Mz.
Koordinatat drejtkëndore karteziane x , y Dhe z pikë M ne do t'i quajmë vlerat e segmenteve të drejtuara në përputhje me rrethanat OMx, OMy Dhe OMz. Vlerat e këtyre segmenteve të drejtuara llogariten në përputhje me rrethanat si x = x0 - 0 , y = y0 - 0 Dhe z = z0 - 0 .
Koordinatat karteziane x , y Dhe z pikë M thirren në përputhje me rrethanat abshissa , ordinator Dhe aplikojnë .
Boshtet e koordinatave të marra në çifte janë të vendosura në plane koordinative xOy , yOz Dhe zOx .
Probleme rreth pikave në një sistem koordinativ kartezian
Shembulli 1.
A(2; -3) ;
B(3; -1) ;
C(-5; 1) .
Gjeni koordinatat e projeksioneve të këtyre pikave në boshtin e abshisave.
Zgjidhje. Siç del nga pjesa teorike e këtij mësimi, projeksioni i një pike në boshtin e abshisave ndodhet në vetë boshtin e abshisave, domethënë në boshtin kau, dhe për këtë arsye ka një abshisë të barabartë me abshisën e vetë pikës, dhe një ordinatë (koordinatë në bosht Oy, të cilin boshti x e pret në pikën 0), e cila është e barabartë me zero. Pra, marrim koordinatat e mëposhtme të këtyre pikave në boshtin x:
Ax(2;0);
Bx(3;0);
Cx (-5; 0).
Shembulli 2. Në sistemin koordinativ kartezian, pikat jepen në rrafsh
A(-3; 2) ;
B(-5; 1) ;
C(3; -2) .
Gjeni koordinatat e projeksioneve të këtyre pikave në boshtin e ordinatave.
Zgjidhje. Siç del nga pjesa teorike e këtij mësimi, projeksioni i një pike në boshtin e ordinatave ndodhet në vetë boshtin e ordinatave, domethënë në boshtin Oy, dhe për këtë arsye ka një ordinatë të barabartë me ordinatën e vetë pikës, dhe një abshisë (koordinatë në bosht kau, të cilën boshti i ordinatës e pret në pikën 0), e cila është e barabartë me zero. Pra, marrim koordinatat e mëposhtme të këtyre pikave në boshtin e ordinatave:
Ay(0;2);
By(0;1);
Cy (0;-2).
Shembulli 3. Në sistemin koordinativ kartezian, pikat jepen në rrafsh
A(2; 3) ;
B(-3; 2) ;
C(-1; -1) .
kau .
kau kau kau, do të ketë të njëjtën abshisë me pikën e dhënë, dhe një ordinatë të barabartë në vlerë absolute me ordinatën e pikës së dhënë dhe të kundërt në shenjë. Pra, marrim koordinatat e mëposhtme të pikave simetrike me këto pika në lidhje me boshtin kau :
A"(2; -3) ;
B"(-3; -2) ;
C"(-1; 1) .
Zgjidhini vetë problemat duke përdorur sistemin e koordinatave karteziane dhe më pas shikoni zgjidhjet
Shembulli 4. Përcaktoni se në cilat kuadrante (çerekët, vizatimi me kuadrantë - në fund të paragrafit "Sistemi koordinativ kartezian drejtkëndor në një plan") mund të vendoset një pikë M(x; y) , Nëse
1) xy > 0 ;
2) xy < 0 ;
3) x − y = 0 ;
4) x + y = 0 ;
5) x + y > 0 ;
6) x + y < 0 ;
7) x − y > 0 ;
8) x − y < 0 .
Shembulli 5. Në sistemin koordinativ kartezian, pikat jepen në rrafsh
A(-2; 5) ;
B(3; -5) ;
C(a; b) .
Gjeni koordinatat e pikave simetrike me këto pika në lidhje me boshtin Oy .
Le të vazhdojmë të zgjidhim problemet së bashku
Shembulli 6. Në sistemin koordinativ kartezian, pikat jepen në rrafsh
A(-1; 2) ;
B(3; -1) ;
C(-2; -2) .
Gjeni koordinatat e pikave simetrike me këto pika në lidhje me boshtin Oy .
Zgjidhje. Rrotulloni 180 gradë rreth boshtit Oy segmenti i drejtimit nga boshti Oy deri në këtë pikë. Në figurën, ku tregohen kuadrantet e rrafshit, shohim se pika simetrike me atë të dhënë në lidhje me boshtin Oy, do të ketë të njëjtën ordinatë me pikën e dhënë, dhe një abshisë të barabartë në vlerë absolute me abshisën e pikës së dhënë dhe të kundërt në shenjë. Pra, marrim koordinatat e mëposhtme të pikave simetrike me këto pika në lidhje me boshtin Oy :
A"(1; 2) ;
B"(-3; -1) ;
C"(2; -2) .
Shembulli 7. Në sistemin koordinativ kartezian, pikat jepen në rrafsh
A(3; 3) ;
B(2; -4) ;
C(-2; 1) .
Gjeni koordinatat e pikave simetrike me këto pika në lidhje me origjinën.
Zgjidhje. Ne e rrotullojmë segmentin e drejtuar duke shkuar nga origjina në pikën e dhënë me 180 gradë rreth origjinës. Në figurë, ku tregohen kuadrantet e rrafshit, shohim se një pikë simetrike me pikën e dhënë në lidhje me origjinën e koordinatave do të ketë një abshisë dhe ordinatë të barabartë në vlerë absolute me abshisën dhe ordinatën e pikës së caktuar, por përballë në shenjë. Pra, marrim koordinatat e mëposhtme të pikave simetrike me këto pika në lidhje me origjinën:
A"(-3; -3) ;
B"(-2; 4) ;
C(2; -1) .
Shembulli 8.
A(4; 3; 5) ;
B(-3; 2; 1) ;
C(2; -3; 0) .
Gjeni koordinatat e projeksioneve të këtyre pikave:
1) në aeroplan Oksi ;
2) në aeroplan Oxz ;
3) në aeroplan Oyz ;
4) në boshtin e abshisë;
5) në boshtin e ordinatave;
6) në boshtin aplikativ.
1) Projektimi i një pike në një plan Oksi ndodhet në vetë këtë rrafsh, dhe për këtë arsye ka një abshisë dhe ordinatë të barabartë me abshisë dhe ordinatë të një pike të caktuar, dhe një aplikim të barabartë me zero. Pra, marrim koordinatat e mëposhtme të projeksioneve të këtyre pikave Oksi :
Axy (4; 3; 0);
Bxy (-3; 2; 0);
Cxy(2;-3;0).
2) Projektimi i një pike në një plan Oxz ndodhet në vetë këtë rrafsh, dhe për këtë arsye ka një abshisë dhe aplikativ të barabartë me abshisën dhe aplikimin e një pike të caktuar, dhe një ordinatë të barabartë me zero. Pra, marrim koordinatat e mëposhtme të projeksioneve të këtyre pikave Oxz :
Axz (4; 0; 5);
Bxz (-3; 0; 1);
Cxz (2; 0; 0).
3) Projeksioni i një pike në një plan Oyz ndodhet në vetë këtë rrafsh, dhe për këtë arsye ka një ordinatë dhe një aplikim të barabartë me ordinatën dhe aplikativin e një pike të caktuar dhe një abshisë të barabartë me zero. Pra, marrim koordinatat e mëposhtme të projeksioneve të këtyre pikave Oyz :
Ayz(0; 3; 5);
Byz (0; 2; 1);
Cyz (0; -3; 0).
4) Siç del nga pjesa teorike e këtij mësimi, projeksioni i një pike në boshtin e abshisave ndodhet në vetë boshtin e abshisave, domethënë në boshtin kau, dhe për këtë arsye ka një abshisë të barabartë me abshisën e vetë pikës, dhe ordinata dhe aplikimi i projeksionit janë të barabarta me zero (pasi boshti i ordinatës dhe i zbatueshëm e kryqëzojnë abshisën në pikën 0). Ne marrim koordinatat e mëposhtme të projeksioneve të këtyre pikave në boshtin e abshisë:
Ax (4; 0; 0);
Bx (-3; 0; 0);
Cx(2;0;0).
5) Projeksioni i një pike mbi boshtin e ordinatave ndodhet në vetë boshtin e ordinatave, domethënë boshtin Oy, dhe për këtë arsye ka një ordinatë të barabartë me ordinatën e vetë pikës, dhe abshisa dhe aplikimi i projeksionit janë të barabarta me zero (pasi boshti i abshisës dhe i aplikantit kryqëzojnë boshtin e ordinatave në pikën 0). Ne marrim koordinatat e mëposhtme të projeksioneve të këtyre pikave në boshtin e ordinatave:
Ay(0; 3; 0);
By (0; 2; 0);
Cy(0;-3;0).
6) Projeksioni i një pike në boshtin aplikativ ndodhet në vetë boshtin e aplikuar, domethënë boshtin Oz, dhe për këtë arsye ka një aplikacion të barabartë me aplikuesin e vetë pikës, dhe abshisa dhe ordinata e projeksionit janë të barabarta me zero (pasi boshtet e abshisave dhe të ordinatave ndërpresin boshtin aplikativ në pikën 0). Ne marrim koordinatat e mëposhtme të projeksioneve të këtyre pikave në boshtin e aplikuar:
Az (0; 0; 5);
Bz (0; 0; 1);
Cz(0; 0; 0).
Shembulli 9. Në sistemin koordinativ kartezian, pikat jepen në hapësirë
A(2; 3; 1) ;
B(5; -3; 2) ;
C(-3; 2; -1) .
Gjeni koordinatat e pikave simetrike me këto pika në lidhje me:
1) aeroplan Oksi ;
2) aeroplanë Oxz ;
3) aeroplanë Oyz ;
4) sëpatat e abshisave;
5) akset e ordinatave;
6) aplikoni akset;
7) origjina e koordinatave.
1) "Lëvizni" pikën në anën tjetër të boshtit Oksi Oksi, do të ketë një abshisë dhe ordinatë të barabartë me abshisën dhe ordinata të një pike të caktuar, dhe një aplikim të barabartë në madhësi me aplikatin e një pike të caktuar, por të kundërt në shenjë. Pra, marrim koordinatat e mëposhtme të pikave simetrike me të dhënat në lidhje me rrafshin Oksi :
A"(2; 3; -1) ;
B"(5; -3; -2) ;
C"(-3; 2; 1) .
2) "Lëvizni" pikën në anën tjetër të boshtit Oxz në të njëjtën distancë. Nga figura që shfaq hapësirën e koordinatave, shohim se një pikë simetrike me një të dhënë në lidhje me boshtin Oxz, do të ketë një abshisë dhe do të zbatohet e barabartë me abshisën dhe zbatuesin e një pike të caktuar, dhe një ordinatë të barabartë në madhësi me ordinatën e një pike të caktuar, por e kundërt në shenjë. Pra, marrim koordinatat e mëposhtme të pikave simetrike me të dhënat në lidhje me rrafshin Oxz :
A"(2; -3; 1) ;
B"(5; 3; 2) ;
C"(-3; -2; -1) .
3) "Lëvizni" pikën në anën tjetër të boshtit Oyz në të njëjtën distancë. Nga figura që shfaq hapësirën e koordinatave, shohim se një pikë simetrike me një të dhënë në lidhje me boshtin Oyz, do të ketë një ordinatë dhe një aplikat të barabartë me ordinatën dhe një aplikat të një pike të caktuar, dhe një abshisë të barabartë në vlerë me abshisën e një pike të caktuar, por në shenjë të kundërt. Pra, marrim koordinatat e mëposhtme të pikave simetrike me të dhënat në lidhje me rrafshin Oyz :
A"(-2; 3; 1) ;
B"(-5; -3; 2) ;
C"(3; 2; -1) .
Për analogji me pikat simetrike në një rrafsh dhe pikat në hapësirë që janë simetrike me të dhënat në lidhje me rrafshet, vërejmë se në rastin e simetrisë në lidhje me disa boshte të sistemit koordinativ kartezian në hapësirë, koordinata në bosht në lidhje me të cilës i është dhënë simetria do të ruajë shenjën e saj dhe koordinatat në dy boshtet e tjera do të jenë të njëjta në vlerë absolute me koordinatat e një pike të caktuar, por në shenjë të kundërta.
4) Abshisa do të ruajë shenjën e saj, por ordinata dhe aplikanti do të ndryshojnë shenjat. Pra, marrim koordinatat e mëposhtme të pikave simetrike me të dhënat në lidhje me boshtin e abshisës:
A"(2; -3; -1) ;
B"(5; 3; -2) ;
C"(-3; -2; 1) .
5) Ordinata do të ruajë shenjën e saj, por abshisa dhe aplikacioni do të ndryshojnë shenja. Pra, marrim koordinatat e mëposhtme të pikave simetrike me të dhënat në lidhje me boshtin e ordinatave:
A"(-2; 3; -1) ;
B"(-5; -3; -2) ;
C"(3; 2; 1) .
6) Aplikacioni do të ruajë shenjën e tij, por abshisa dhe ordinata do të ndryshojnë shenja. Pra, marrim koordinatat e mëposhtme të pikave simetrike me të dhënat në lidhje me boshtin e aplikuar:
A"(-2; -3; 1) ;
B"(-5; 3; 2) ;
C"(3; -2; -1) .
7) Për analogji me simetrinë në rastin e pikave në një plan, në rastin e simetrisë në lidhje me origjinën e koordinatave, të gjitha koordinatat e një pike simetrike me një të dhënë do të jenë të barabarta në vlerë absolute me koordinatat e një pike të caktuar, por përballë tyre në shenjë. Pra, marrim koordinatat e mëposhtme të pikave simetrike me të dhënat në lidhje me origjinën.
Udhëzimet
Shkruani veprimet matematikore në formë teksti dhe futini ato në fushën e pyetjes së kërkimit në faqen kryesore të faqes së internetit të Google nëse nuk mund të përdorni një kalkulator, por keni akses në internet. Ky motor kërkimi ka një kalkulator të integruar shumëfunksional, i cili është shumë më i lehtë për t'u përdorur se çdo tjetër. Nuk ka ndërfaqe me butona - të gjitha të dhënat duhet të futen në formë teksti në një fushë të vetme. Për shembull, nëse dihet koordinatat pika ekstreme segment në një sistem koordinativ tredimensional A(51.34 17.2 13.02) dhe A(-11.82 7.46 33.5), atëherë koordinatat pika e mesit segment C ((51,34-11,82)/2 (17,2+7,46)/2 (13,02+33,5)/2). Duke futur (51.34-11.82)/2 në fushën e pyetjes së kërkimit, më pas (17.2+7.46)/2 dhe (13.02+33.5)/2, mund të përdorni Google për të marrë koordinatat C(19,76 12,33 23,26).
Ekuacioni standard i një rrethi ju lejon të zbuloni disa informacione të rëndësishme rreth kësaj figure, për shembull, koordinatat e qendrës së tij, gjatësia e rrezes. Në disa probleme, përkundrazi, duhet të krijoni një ekuacion duke përdorur parametra të dhënë.
Udhëzimet
Përcaktoni se çfarë informacioni keni për rrethin bazuar në detyrën që ju është dhënë. Mos harroni se qëllimi përfundimtar është përcaktimi i koordinatave të qendrës si dhe diametrit. Të gjitha veprimet tuaja duhet të synojnë arritjen e këtij rezultati të veçantë.
Përdorni të dhëna për praninë e pikave të kryqëzimit me vija koordinative ose vija të tjera. Ju lutemi vini re se nëse rrethi kalon nëpër boshtin e abshisave, i dyti do të ketë koordinatë 0, dhe nëse kalon nëpër boshtin e ordinatave, atëherë i pari. Këto koordinata do t'ju lejojnë të gjeni koordinatat e qendrës së rrethit dhe gjithashtu të llogarisni rrezen.
Mos harroni për vetitë themelore të sekanteve dhe tangjenteve. Në veçanti, teorema më e dobishme është se në pikën e kontaktit rrezja dhe tangjentja formojnë një kënd të drejtë. Por ju lutemi vini re se mund t'ju kërkohet të provoni të gjitha teoremat e përdorura gjatë kursit.
Zgjidhni llojet më standarde për të mësuar të shihni menjëherë se si të përdorni të dhëna të caktuara për ekuacionin e një rrethi. Pra, përveç problemeve të përmendura tashmë me koordinatat e dhëna drejtpërdrejt dhe ato në të cilat jepet informacion për praninë e pikave të kryqëzimit, për të përpiluar ekuacionin e një rrethi, mund të përdorni njohuri për qendrën e rrethit, gjatësinë e akord dhe mbi të cilin qëndron kjo kordë.
Për të zgjidhur, ndërtoni një trekëndësh dykëndësh, baza e të cilit do të jetë korda e dhënë dhe brinjët e barabarta do të jenë rrezet. Përpiloni nga i cili mund të gjeni lehtësisht të dhënat e nevojshme. Për ta bërë këtë, mjafton të përdorni formulën për gjetjen e gjatësisë së një segmenti në një plan.
Video mbi temën
Një rreth kuptohet si një figurë që përbëhet nga shumë pika në një plan të barabartë nga qendra e tij. Distanca nga qendra në pika rrethi i quajtur rreze.
Përkufizimi 1. Boshti i numrit ( vija numerike, vija e koordinatave) Ox është drejtëza në të cilën zgjidhet pika O origjina (origjina e koordinatave)(Fig. 1), drejtim
O → x
të listuara si drejtim pozitiv dhe shënohet një segment, gjatësia e të cilit merret si njësi gjatësie.
Përkufizimi 2. Një segment gjatësia e të cilit merret si njësi gjatësie quhet shkallë.
Çdo pikë në boshtin e numrave ka një koordinatë që është një numër real. Koordinata e pikës O është zero. Koordinata e një pike arbitrare A që shtrihet në rreze Ox është e barabartë me gjatësinë e segmentit OA.
Koordinata e një pike arbitrare A të boshtit numerik që nuk shtrihet në rreze Ox është negative dhe në vlerë absolute është e barabartë me gjatësinë e segmentit OA. Përkufizimi 3. Sistemi koordinativ drejtkëndor Kartezian Oxy në aeroplan telefononi dy reciprokisht pingul boshtet numerike Ox dhe Oy me Dhe të njëjtën shkallë pikë referimi e përbashkët në pikën O, dhe e tillë që rrotullimi nga rrezja Ox në një kënd prej 90° në rreze Oy kryhet në drejtim në të kundërt të akrepave të orës
(Fig. 2). Shënim. Sistemi i koordinatave drejtkëndëshe kartezian Oxy, i paraqitur në figurën 2, quhet sistemi i duhur i koordinatave , ndryshe nga sistemet e koordinatave të majta , në të cilën rrotullimi i rrezes Ox me një kënd prej 90° ndaj rrezes Oy kryhet në drejtim të akrepave të orës. Në këtë udhëzues ne marrim parasysh vetëm sistemet e koordinatave të djathta
, pa e specifikuar konkretisht. Nëse futim një sistem të koordinatave drejtkëndëshe karteziane Oxy në aeroplan, atëherë çdo pikë e rrafshit do të fitojë – dy koordinata Dhe abshissa ordinator , të cilat llogariten si më poshtë. Le të jetë A një pikë arbitrare në rrafsh. Le të hedhim pingulet nga pika A A.A. , të cilat llogariten si më poshtë. Le të jetë A një pikë arbitrare në rrafsh. Le të hedhim pingulet nga pika A 1 dhe
2 në vija të drejta Ox dhe Oy, përkatësisht (Fig. 3). A Përkufizimi 4. Abshisa e pikës A është koordinata e pikës A 1 në boshtin numerik Ox, ordinata e pikës A është koordinata e pikës
2 në boshtin numerik Oy. Emërtimi Koordinatat (abshisa dhe ordinata) e pikës A(x;A në sistemin koordinativ drejtkëndor Kartezian zakonisht shënohet Oxy (Fig. 4).) ose A = (x; y).
y Shënim. Pika O, e thirrur origjinën O(0 ; 0) .
, ka koordinata
Përkufizimi 5. Në sistemin koordinativ kartezian drejtkëndor Oxy, boshti numerik Ox quhet bosht i abshisës dhe boshti numerik Oy quhet bosht ordinate (Fig. 5).
Përkufizimi 6. Çdo sistem koordinativ drejtkëndor Kartezian e ndan rrafshin në 4 katërshe (kuadrante), numërimi i të cilave tregohet në Figurën 5. Përkufizimi 7. Rrafshi në të cilin është dhënë një sistem koordinativ kartezian drejtkëndor quhet.
plan koordinativ y Shënim. Boshti i abshisave specifikohet në planin koordinativ me ekuacion x = 0.
= 0, boshti i ordinatave jepet në planin koordinativ me ekuacion Deklarata 1. Distanca midis dy pikave
A 1 (x 1 ;A në sistemin koordinativ drejtkëndor Kartezian zakonisht shënohet Oxy (Fig. 4). 1) Dhe A 2 (x 2 ;A në sistemin koordinativ drejtkëndor Kartezian zakonisht shënohet Oxy (Fig. 4). 2)
plan koordinativ llogaritur
sipas formulës
| |A 1 A 2 | 2 = = (x 2 -x 1) 2 + (A në sistemin koordinativ drejtkëndor Kartezian zakonisht shënohet Oxy (Fig. 4). 2 -A në sistemin koordinativ drejtkëndor Kartezian zakonisht shënohet Oxy (Fig. 4). 1) 2 . | (1) |
Prandaj,
Q.E.D.
Ekuacioni i një rrethi në planin koordinativ
Le të shqyrtojmë në planin koordinativ Oxy (Fig. 7) një rreth me rreze R me qendër në pikën A 0 (x 0 ;A në sistemin koordinativ drejtkëndor Kartezian zakonisht shënohet Oxy (Fig. 4). 0) .
Koordinatat polare
Numri thirret rrezja polare pika ose koordinata e parë polare. Distanca nuk mund të jetë negative, kështu që rrezja polare e çdo pike është . Koordinata e parë polare shënohet gjithashtu me një shkronjë greke ("rho"), por unë jam mësuar me versionin latin dhe do ta përdor në të ardhmen.
Numri thirret këndi polar pikë e dhënë ose koordinata e dytë polare. Këndi polar zakonisht ndryshon brenda (të ashtuquajturit vlerat e këndit kryesor). Sidoqoftë, është mjaft e pranueshme të përdoret diapazoni, dhe në disa raste ekziston nevoja e drejtpërdrejtë të merren parasysh të gjitha vlerat e këndit nga zero në "plus pafundësi". Meqë ra fjala, unë rekomandoj të mësoheni me masën radian të një këndi, pasi operimi me gradë në matematikë më të lartë konsiderohet jo comme il faut.
Çifti thirret koordinatat polare pika Është e lehtë të gjesh kuptimet e tyre specifike. Tangjenti i një këndi akut të një trekëndëshi kënddrejtë është raporti i anës së kundërt me anën ngjitur: prandaj, vetë këndi: 
. Sipas teoremës së Pitagorës, katrori i hipotenuzës është i barabartë me shumën e katrorëve të këmbëve: , që do të thotë rreze polare:
Kështu, 
.
Një pinguin është i mirë, por një tufë është më e mirë: 
Këndet e orientuara negativisht 
E shënova me shigjeta për çdo rast, në rast se disa nga lexuesit nuk dinin ende për këtë orientim. Nëse dëshironi, mund të "vidhosni" 1 kthesë (rad. ose 360 gradë) në secilën prej tyre dhe të jeni, meqë ra fjala, rehat. vlerat e tabelës:
Por disavantazhi i këtyre këndeve të orientuara "tradicionalisht" është se ato janë "të përdredhur" shumë larg (më shumë se 180 gradë) në drejtim të kundërt të akrepave të orës. Unë parashikoj pyetjen: "pse ka një disavantazh dhe pse nevojiten fare disa kënde negative?" Në matematikë vlerësohen rrugët më të shkurtra dhe më racionale. Epo, nga pikëpamja e fizikës, drejtimi i rrotullimit shpesh ka një rëndësi thelbësore - secili prej nesh u përpoq të hapte derën duke tërhequr dorezën në drejtimin e gabuar =)
Rendi dhe teknika e ndërtimit të pikave në koordinata polare
Fotografitë e bukura janë të bukura, por ndërtimi i tyre në një sistem koordinativ polar është një detyrë mjaft e mundimshme. Nuk ka vështirësi me pikat këndet polare të të cilave janë 
, në shembullin tonë këto janë pika 
; Vlerat që janë shumëfish të 45 gradë gjithashtu nuk shkaktojnë shumë probleme: . Por si të ndërtoni saktë dhe me kompetencë, të themi, një pikë?
Do t'ju duhet një copë letre me kuadrate, një laps dhe mjetet e mëposhtme të vizatimit: vizore, busull, raportor. Si mjet i fundit, mund t'ia dilni me vetëm një vizore, apo edhe... pa të! Lexoni dhe do të merrni një provë tjetër se ky vend është i pathyeshëm =)
Shembulli 1
Ndërtoni një pikë në sistemin e koordinatave polar.
Para së gjithash, duhet të zbuloni masën e shkallës së këndit. Nëse këndi është i panjohur ose keni dyshime, atëherë është gjithmonë më mirë ta përdorni tabela ose një formulë e përgjithshme për shndërrimin e radianeve në gradë. Pra, këndi ynë është (ose).
Le të vizatojmë një sistem koordinativ polar (shih fillimin e mësimit) dhe të marrim një raportor. Pronarët e një instrumenti të rrumbullakët nuk do të kenë vështirësi të shënojnë 240 gradë, por me shumë mundësi do të keni një version gjysmërrethor të pajisjes në duart tuaja. Problemi i mungesës së plotë të një raportuesi në prani të një printeri dhe gërshërësh zgjidhet me punë dore.
Ka dy mënyra: kthejeni fletën dhe shënoni 120 gradë, ose "vidhosni" gjysmë rrotullimi dhe shikoni në këndin e kundërt. Le të zgjedhim metodën e të rriturve dhe të bëjmë një shenjë prej 60 gradë: 
Ose një raportues liliputian, ose një kafaz gjigant =) Megjithatë, për të matur një kënd, shkalla nuk është e rëndësishme.
Duke përdorur një laps, vizatoni një vijë të drejtë të hollë që kalon nëpër shtyllë dhe shenjën e bërë: 
Ne kemi renditur këndin, tani rrezja polare është e radhës. Merrni një busull dhe përgjatë vijës ne vendosëm zgjidhjen e saj në 3 njësi, më shpesh kjo është, natyrisht, centimetra: 
Tani vendosim me kujdes gjilpërën në shtyllë dhe me një lëvizje rrotulluese bëjmë një prerje të vogël (ngjyrë të kuqe). Pika e kërkuar është ndërtuar: 
Mund të bëni pa busull duke aplikuar vizoren direkt në vijën e drejtë të ndërtuar dhe duke matur 3 centimetra. Por, siç do të shohim më vonë, në problemet që përfshijnë ndërtimin në një sistem koordinativ polar Një situatë tipike është kur duhet të shënoni dy ose më shumë pika me të njëjtën rreze polare, kështu që është më efikase të ngurtësoni metalin. Në veçanti, në vizatimin tonë, duke e rrotulluar këmbën e busullës 180 gradë, është e lehtë të bësh një pikë të dytë dhe të ndërtosh një pikë simetrike në lidhje me shtyllën. Le ta përdorim atë për të punuar me materialin në paragrafin vijues:
Marrëdhënia midis sistemeve të koordinatave drejtkëndëshe dhe polare
Natyrisht le të shtojmë në sistemin e koordinatave polar, një rrjet koordinativ "të rregullt" dhe vizatoni një pikë në vizatim: 
Është gjithmonë e dobishme ta mbani parasysh këtë lidhje kur vizatoni koordinatat polare. Ndonëse, dashur apo s'duhet, sugjeron veten pa asnjë aluzion të mëtejshëm.
Le të vendosim marrëdhënien midis koordinatave polare dhe karteziane duke përdorur shembullin e një pike specifike. Konsideroni një trekëndësh kënddrejtë në të cilin hipotenuza është e barabartë me rrezen polare: , dhe këmbët janë të barabarta me koordinatat "X" dhe "Y" të pikës në sistemin koordinativ kartezian: 
.
Sinusi i një këndi akut është raporti i anës së kundërt me hipotenuzën: 
Kosinusi i një këndi akut është raporti i këmbës ngjitur me hipotenuzën: 
Në të njëjtën kohë, ne përsëritëm përkufizimet e sinusit, kosinusit (dhe tangjentes pak më të hershme) nga kurrikula e klasës së 9-të të një shkolle gjithëpërfshirëse.
Ju lutemi shtoni formula pune në librin tuaj të referencës që shprehin koordinatat karteziane të një pike përmes koordinatave të saj polare - do të na duhet të merremi me to më shumë se një herë, dhe herën tjetër tani =)
Le të gjejmë koordinatat e një pike në një sistem koordinativ drejtkëndor: 
Kështu:
Formulat që rezultojnë hapin një zbrazëtirë tjetër në problemin e ndërtimit, kur mund të bëni fare pa raportues: së pari gjejmë koordinatat karteziane të pikës (natyrisht, në draft), pastaj mendërisht gjejmë vendin e dëshiruar në vizatim dhe shënoni këtë pikë. Në fazën përfundimtare, ne vizatojmë një vijë të hollë të drejtë që kalon nëpër pikën e ndërtuar dhe shtyllën. Si rezultat, rezulton se këndi dyshohet se është matur me një raportor.
Është qesharake që studentët shumë të dëshpëruar mund të bëjnë edhe pa një vizore, duke përdorur në vend të kësaj skajin e lëmuar të një libri shkollor, fletore ose libri notash - në fund të fundit, prodhuesit e fletoreve u kujdesën për matjet, 1 katror = 5 milimetra.
E gjithë kjo më kujtoi një shaka të mirënjohur në të cilën pilotët e shkathët komplotuan një kurs përgjatë një pakete Belomor =) Edhe pse, mënjanë shakatë, shakaja nuk është aq larg realitetit, mbaj mend se në një nga fluturimet e brendshme në rusisht Federata, të gjitha instrumentet e lundrimit në aeroplan dështuan, dhe ekuipazhi me sukses ulja avionin duke përdorur një gotë të rregullt me ujë, e cila tregonte këndin e avionit në raport me tokën. Dhe pista ajrore - ja ku është, e dukshme nga xhami i përparmë.
Duke përdorur teoremën e Pitagorës të cituar në fillim të mësimit, është e lehtë të përftohen formulat e anasjellta: , pra:
Vetë këndi "phi" shprehet standardisht përmes arktangjentit - absolutisht i njëjtë si argumenti i numrit kompleks me të gjitha hallet e saj.
Është gjithashtu e këshillueshme që të vendosni grupin e dytë të formulave në bagazhin tuaj të referencës.
Pas një përmbledhjeje të detajuar me pika individuale, le të kalojmë në vazhdimin e natyrshëm të temës:
Ekuacioni i drejtëzës në koordinata polare
Në thelb, ekuacioni i një linje në një sistem koordinativ polar është funksioni i rrezes polare nga këndi polar (argumenti). Në këtë rast, këndi polar merret parasysh në radiane(!) Dhe vazhdimisht merr vlera nga deri në (ndonjëherë duhet të konsiderohet deri në pafundësi, ose në një numër problemesh për lehtësi nga deri në). Çdo vlerë e këndit "phi" që përfshihet në fusha e përkufizimit funksion, korrespondon me një vlerë të vetme të rrezes polare.
Funksioni polar mund të krahasohet me një lloj radari - kur një rreze drite që buron nga një pol rrotullohet në drejtim të kundërt të akrepave të orës dhe "zbulon" (vizaton) një vijë.
Një shembull standard i një kurbë polare është Spiralja e Arkimedit. Fotografia e mëposhtme e tregon atë raundi i parë- kur rrezja polare që ndjek këndin polar merr vlera nga 0 në: 
Më tej, duke kaluar boshtin polar në pikën , spiralja do të vazhdojë të lëshohet, duke lëvizur pafundësisht larg polit. Por raste të tilla janë mjaft të rralla në praktikë; një situatë më tipike është kur në të gjitha revolucionet e mëvonshme ne "ecim përgjatë së njëjtës linjë" që u mor në diapazonin.
Në shembullin e parë hasim konceptin fusha e përkufizimit funksioni polar: meqenëse rrezja polare është jo negative, këndet negative nuk mund të merren parasysh këtu.
! Shënim : në disa raste është zakon të përdoret koordinatat polare të përgjithësuara, ku rrezja mund të jetë negative, dhe ne do ta studiojmë shkurtimisht këtë qasje pak më vonë
Përveç spirales së Arkimedit, ka shumë kthesa të tjera të famshme, por, siç thonë ata, nuk mund të ngopeni me art, kështu që zgjodha shembuj që gjenden shumë shpesh në detyra reale praktike.
Së pari, ekuacionet më të thjeshta dhe vijat më të thjeshta:
Një ekuacion i formës specifikon atë që del nga poli rreze. Në të vërtetë, mendoni për këtë, nëse vlera e këndit Gjithmonë(çfarëdo që të jetë "er") vazhdimisht, atëherë çfarë rreshti është?
Shënim : në sistemin e koordinatave polar të përgjithësuar, ky ekuacion përcakton një vijë të drejtë që kalon nëpër pol
Një ekuacion i formës përcakton... me mend herën e parë - nëse për këdo Rrezja e këndit "phi" mbetet konstante? Në fakt ky është përkufizimi rrethi me qendër në polin e rrezes .
Për shembull,. Për qartësi, le të gjejmë ekuacionin e kësaj drejtëze në një sistem koordinativ drejtkëndor. Duke përdorur formulën e marrë në paragrafin e mëparshëm, ne bëjmë zëvendësimin:
Le të vendosim në katror të dy anët:
– ekuacioni i një rrethi me qendër në origjinën e rrezes 2, që është ajo që duhej të kontrollohej.
Që nga krijimi dhe publikimi i artikullit rreth varësisë lineare dhe pavarësisë lineare të vektorëve Mora disa letra nga vizitorët e faqes, të cilët bënë një pyetje në frymën e: "ekziston një sistem koordinativ drejtkëndor i thjeshtë dhe i përshtatshëm, pse na duhet një rast tjetër i zhdrejtë afine?" Përgjigja është e thjeshtë: matematika përpiqet të përqafojë gjithçka dhe të gjithë! Për më tepër, në një situatë të caktuar, komoditeti është i rëndësishëm - siç mund ta shihni, është shumë më fitimprurëse të punosh me një rreth në koordinata polare për shkak të thjeshtësisë ekstreme të ekuacionit.
Dhe ndonjëherë një model matematik parashikon zbulime shkencore. Pra, në një kohë rektori i Universitetit Kazan N.I. Lobachevsky vërtetuar rreptësisht, përmes një pike arbitrare të rrafshit mund të vizatohet pafundësisht shumë vija të drejta, paralel me këtë. Si rezultat, ai u shpif nga e gjithë bota shkencore, por... askush nuk mund ta përgënjeshtronte këtë fakt. Vetëm një shekull i mirë më vonë, astronomët zbuluan se drita në hapësirë udhëton përgjatë trajektoreve të lakuara, ku gjeometria jo-Euklidiane e Lobachevsky, e zhvilluar zyrtarisht prej tij shumë përpara këtij zbulimi, fillon të funksionojë. Supozohet se kjo është një veti e vetë hapësirës, lakimi i së cilës është i padukshëm për ne për shkak të distancave të vogla (sipas standardeve astronomike).
Le të shqyrtojmë detyrat më kuptimplote të ndërtimit:
Shembulli 2
Ndërtoni një linjë
Zgjidhje: së pari le të gjejmë fusha e përkufizimit. Meqenëse rrezja polare është jo negative, pabarazia duhet të jetë e qëndrueshme. Ju mund të mbani mend rregullat e shkollës për zgjidhjen e pabarazive trigonometrike, por në raste të thjeshta si kjo, unë rekomandoj një metodë më të shpejtë dhe vizuale të zgjidhjes:
Imagjinoni një grafik kosinus. Nëse nuk është regjistruar ende në kujtesën tuaj, atëherë gjeni atë në faqe Grafikët e funksioneve elementare. Çfarë na thotë pabarazia? Na tregon se grafiku i kosinusit duhet të gjendet jo më e ulët boshti i abshisave. Dhe kjo ndodh në segment. Dhe, në përputhje me rrethanat, intervali nuk është i përshtatshëm.
Kështu, domeni i përkufizimit të funksionit tonë është: , domethënë, grafiku ndodhet në të djathtë të polit (në terminologjinë e sistemit kartezian - në gjysmërrafshin e djathtë).
Në koordinatat polare, shpesh ekziston një ide e paqartë se cila linjë përcakton një ekuacion të caktuar, kështu që për ta ndërtuar atë, ju duhet të gjeni pikat që i përkasin - dhe sa më shumë, aq më mirë. Zakonisht ato janë të kufizuara në një duzinë ose dy (ose edhe më pak). Mënyra më e lehtë, natyrisht, është të marrësh vlerat e këndit të tabelës. Për qartësi më të madhe, unë do të "vidhos" një kthesë në vlerat negative: 
Për shkak të barazisë së kosinusit 
vlerat pozitive përkatëse nuk kanë nevojë të numërohen përsëri: 
Le të përshkruajmë një sistem koordinativ polar dhe të vizatojmë pikat e gjetura, ndërsa është e përshtatshme të vizatohen të njëjtat vlera "er" në të njëjtën kohë, duke bërë pika të çiftuara me një busull duke përdorur teknologjinë e diskutuar më sipër: 
Në parim, vija është tërhequr qartë, por për të konfirmuar plotësisht supozimin, le të gjejmë ekuacionin e saj në sistemin koordinativ Kartezian. Ju mund të aplikoni formulat e nxjerra së fundmi 
, por unë do t'ju tregoj për një truk më dinakë. Ne i shumëzojmë artificialisht të dyja anët e ekuacionit me "er": dhe përdorim formula më kompakte të tranzicionit:
Duke zgjedhur një katror të plotë, ne sjellim ekuacionin e vijës në një formë të dallueshme: 
– ekuacioni i një rrethi me qendër në pikën, rreze 2.
Meqenëse sipas kushtit ishte thjesht e nevojshme të kryhej ndërtimi dhe kjo është ajo, ne i lidhim pa probleme pikat e gjetura me një vijë: 
Gati. Është në rregull nëse rezulton paksa e pabarabartë, nuk është dashur ta dini se ishte një rreth ;-)
Pse nuk i morëm parasysh vlerat e këndit jashtë intervalit? Përgjigja është e thjeshtë: nuk ka asnjë pikë. Për shkak të periodicitetit të funksionit, ne përballemi me një vrapim të pafund përgjatë rrethit të ndërtuar.
Është e lehtë për të kryer një analizë të thjeshtë dhe për të arritur në përfundimin se një ekuacion i formës specifikon një rreth me diametër me një qendër në pikë. Në mënyrë figurative, të gjithë rrathët e tillë "ulen" në boshtin polar dhe domosdoshmërisht kalojnë nëpër shtyllë. Nëse, megjithatë, atëherë shoqëria e gëzuar do të lëvizë në të majtë - në vazhdimin e boshtit polar (mendoni pse).
Një detyrë e ngjashme për të zgjidhur vetë:
Shembulli 3
Ndërtoni një vijë dhe gjeni ekuacionin e saj në një sistem koordinativ drejtkëndor.
Le të sistematizojmë procedurën për zgjidhjen e problemit:
Para së gjithash, ne gjejmë domenin e përkufizimit të funksionit për këtë është i përshtatshëm për t'u parë sinusoid për të kuptuar menjëherë se ku sinusi është jo negativ.
Në hapin e dytë, ne llogarisim koordinatat polare të pikave duke përdorur vlerat e këndit të tabelës; Analizoni nëse është e mundur të zvogëlohet numri i llogaritjeve?
Në hapin e tretë, ne vizatojmë pikat në sistemin e koordinatave polar dhe i lidhim ato me kujdes me një vijë.
Dhe së fundi, ne gjejmë ekuacionin e drejtëzës në sistemin koordinativ kartezian.
Një zgjidhje mostër është në fund të mësimit.
Ne detajojmë algoritmin e përgjithshëm dhe teknikën e ndërtimit në koordinata polare
dhe shpejtohen ndjeshëm në pjesën e dytë të leksionit, por para kësaj do të njihemi me një linjë tjetër të përbashkët:
Trëndafili Polar
Kjo është e drejtë, ne po flasim për një lule me petale:
Shembulli 4
Ndërtoni vija të dhëna nga ekuacionet në koordinata polare
Ekzistojnë dy mënyra për të ndërtuar një trëndafil polar. Së pari, le të ndjekim gjurmën e përkulur, duke supozuar se rrezja polare nuk mund të jetë negative:
Zgjidhje:
a) Le të gjejmë domenin e përkufizimit të funksionit: 
Kjo pabarazi trigonometrike është gjithashtu e lehtë për t'u zgjidhur grafikisht: nga materialet e artikullit Shndërrimet gjeometrike të grafikëve dihet se nëse argumenti i një funksioni dyfishohet, atëherë grafiku i tij do të tkurret në boshtin e ordinatave me 2 herë. Ju lutemi gjeni grafikun e funksionit në shembullin e parë të këtij mësimi. Ku ndodhet ky sinusoid mbi boshtin x? Në intervale 
. Rrjedhimisht, pabarazia plotësohet nga segmentet përkatëse, dhe fusha e përkufizimit funksioni ynë: 
.
Në përgjithësi, zgjidhja e pabarazive në shqyrtim është një bashkim i një numri të pafund segmentesh, por, përsëri, ne jemi të interesuar vetëm për një periudhë.
Ndoshta disa lexues do ta kenë më të lehtë të përdorin një metodë analitike për të gjetur domenin e përkufizimit, unë do ta quaja "prerja e një byreku të rrumbullakët". Ne do të shkurtojmë në pjesë të barabarta dhe, para së gjithash, gjeni kufijtë e pjesës së parë. Ne arsyetojmë si më poshtë: sinusi është jo negativ, Kur argumenti i tij varion nga 0 në rad. përfshirëse. Në shembullin tonë: . Duke pjesëtuar të gjitha pjesët e pabarazisë së dyfishtë me 2, marrim intervalin e kërkuar:
Tani fillojmë të "presim pjesë të barabarta prej 90 gradë" në mënyrë sekuenciale në drejtim të kundërt të akrepave të orës:
– segmenti i gjetur, natyrisht, përfshihet në fushën e përkufizimit;
– intervali tjetër – nuk përfshihet;
- segmenti tjetër - i përfshirë;
– dhe së fundi, intervali – nuk përfshihet.
Ashtu si një margaritë - "dashuron, nuk do, do, nuk do" =) Me ndryshimin se këtu nuk ka pasuri. Po, është thjesht një lloj dashurie në kinezisht….
Pra, 
dhe vija përfaqëson një trëndafil me dy petale identike. Është mjaft e pranueshme të vizatoni vizatimin në mënyrë skematike, por është shumë e këshillueshme që të gjeni dhe shënoni saktë majat e petaleve. Kulmet korrespondojnë me pikat e mesit të segmenteve të fushës së përkufizimit, të cilat në këtë shembull kanë koordinata të dukshme këndore 
. Në të njëjtën kohë gjatesite e petaleve janë: 
Këtu është rezultati natyror i një kopshtari të kujdesshëm: 
Duhet të theksohet se gjatësia e petalit mund të shihet lehtësisht nga ekuacioni - pasi sinusi është i kufizuar: , atëherë vlera maksimale e "er" me siguri nuk do të kalojë dy.
b) Të ndërtojmë drejtëzën e dhënë nga ekuacioni. Natyrisht, gjatësia e petalit të këtij trëndafili është gjithashtu e barabartë me dy, por, para së gjithash, ne jemi të interesuar në fushën e përkufizimit. Le të zbatojmë metodën analitike të "prerjes" në feta: sinusi është jonegativ kur argumenti i tijështë në intervalin nga zero në "pi" përfshirëse, në këtë rast: . Ne i ndajmë të gjitha pjesët e pabarazisë me 3 dhe marrim intervalin e parë:
Më pas, fillojmë "prerjen e byrekut në copa" me rad. (60 gradë):
– segmenti do të hyjë në domenin e përkufizimit;
– intervali – nuk do të përfshihet;
- segmenti - do të përshtatet;
– intervali – nuk do të përfshihet;
- segmenti - do të përshtatet;
– intervali – nuk do të përfshihet.
Procesi përfundon me sukses në 360 gradë.
Pra, qëllimi i përkufizimit është: 
.
Veprimet e kryera tërësisht ose pjesërisht janë të lehta për t'u kryer mendërisht.
Ndërtimi. Nëse në paragrafin e mëparshëm gjithçka funksionoi mirë me kënde të drejta dhe kënde prej 45 gradë, atëherë këtu do të duhet të ngatërroni pak. Le të gjejmë majat e petaleve. Gjatësia e tyre ishte e dukshme që në fillim të detyrës, gjithçka që mbetet është llogaritja e koordinatave këndore, të cilat janë të barabarta me pikat e mesit të segmenteve të domenit të përkufizimit: 
Ju lutemi vini re se duhet të ketë hapësira të barabarta midis majave të petaleve, në këtë rast 120 gradë.
Këshillohet që të shënoni vizatimin në sektorë 60 gradë (të kufizuara me vija jeshile) dhe të vizatoni drejtimet e majave të petaleve (vija gri). Shtë i përshtatshëm të shënoni vetë kulmet duke përdorur një busull - matni një distancë prej 2 njësive një herë dhe bëni tre pika në drejtimet e tërhequra prej 30, 150 dhe 270 gradë: 
Gati. E kuptoj që kjo është një detyrë e mundimshme, por nëse doni të rregulloni gjithçka me mençuri, do t'ju duhet të kaloni kohë.
Le të formulojmë një formulë të përgjithshme: një ekuacion i formës , – një numër natyror), përcakton një trëndafil me petale polare, gjatësia e petalit të të cilit është e barabartë me .
Për shembull, ekuacioni specifikon një katërfletë me një gjatësi petale prej 5 njësi, ekuacioni specifikon një trëndafil me 5 petale me një gjatësi petale prej 3 njësi. etj.
Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve