Sekuenca gjeometrike. Progresioni gjeometrik

Progresioni gjeometrik jo më pak e rëndësishme në matematikë në krahasim me aritmetikën. Një progresion gjeometrik është një sekuencë numrash b1, b2,..., b[n], secili term i ardhshëm i të cilit fitohet duke shumëzuar atë të mëparshëm me një numër konstant. Ky numër, i cili gjithashtu karakterizon shkallën e rritjes ose uljes së progresionit, quhet emëruesi i progresionit gjeometrik dhe shënojnë

Për të specifikuar plotësisht një progresion gjeometrik, përveç emëruesit, është e nevojshme të njihet ose të përcaktohet termi i parë i tij. Për një vlerë pozitive të emëruesit, progresioni është një sekuencë monotone, dhe nëse kjo sekuencë numrash është monotonike në rënie dhe nëse është monotonike në rritje. Rasti kur emëruesi është i barabartë me një nuk merret parasysh në praktikë, pasi kemi një sekuencë numrash identikë dhe mbledhja e tyre nuk është me interes praktik.

Termi i përgjithshëm i progresionit gjeometrik llogaritur me formulë

Shuma e n termave të parë të një progresion gjeometrik përcaktuar nga formula

Le të shohim zgjidhjet e problemeve klasike të progresionit gjeometrik. Le të fillojmë me ato më të thjeshtat për t'u kuptuar.

Shembulli 1. Termi i parë i një progresion gjeometrik është 27, dhe emëruesi i tij është 1/3. Gjeni gjashtë termat e parë të progresionit gjeometrik.

Zgjidhja: Le të shkruajmë kushtin problemor në formë

Për llogaritjet ne përdorim formulën për termin e n-të të një progresion gjeometrik

Bazuar në të, gjejmë termat e panjohur të progresionit

Siç mund ta shihni, llogaritja e kushteve të një progresion gjeometrik nuk është e vështirë. Vetë progresioni do të duket kështu

Shembulli 2. Janë dhënë tre termat e parë të progresionit gjeometrik: 6; -12; 24. Gjeni emëruesin dhe anëtarin e shtatë të tij.

Zgjidhje: Emëruesin e progresionit gjeomitrik e llogarisim në bazë të përcaktimit të tij

Ne kemi marrë një progresion gjeometrik të alternuar, emëruesi i të cilit është i barabartë me -2. Termi i shtatë llogaritet duke përdorur formulën

Kjo e zgjidh problemin.

Shembulli 3. Një progresion gjeometrik jepet me dy nga termat e tij . Gjeni termin e dhjetë të progresionit.

Zgjidhja:

Le të shkruajmë vlerat e dhëna duke përdorur formula

Sipas rregullave, do të na duhej të gjejmë emëruesin dhe më pas të kërkojmë vlerën e dëshiruar, por për termin e dhjetë kemi

E njëjta formulë mund të merret bazuar në manipulime të thjeshta me të dhënat hyrëse. Ndani termin e gjashtë të serisë me një tjetër, dhe si rezultat marrim

Nëse vlera që rezulton shumëzohet me termin e gjashtë, marrim të dhjetën

Kështu, për probleme të tilla, duke përdorur transformime të thjeshta në mënyrë të shpejtë, mund të gjeni zgjidhjen e duhur.

Shembulli 4. Progresioni gjeometrik jepet me formula rekurente

Gjeni emëruesin e progresionit gjeometrik dhe shumën e gjashtë anëtarëve të parë.

Zgjidhja:

Të dhënat e dhëna le t'i shkruajmë në formën e një sistemi ekuacionesh

Shprehni emëruesin duke pjesëtuar ekuacionin e dytë me të parin

Le të gjejmë termin e parë të progresionit nga ekuacioni i parë

Le të llogarisim pesë termat e mëposhtëm për të gjetur shumën e progresionit gjeometrik

Udhëzimet

10, 30, 90, 270...

Ju duhet të gjeni emëruesin e një progresion gjeometrik.
Zgjidhja:

Opsioni 1. Le të marrim një term arbitrar të progresionit (për shembull, 90) dhe ta ndajmë me atë të mëparshëm (30): 90/30=3.

Nëse dihet shuma e disa termave të një progresioni gjeometrik ose shuma e të gjithë termave të një progresioni gjeometrik në rënie, atëherë për të gjetur emëruesin e progresionit, përdorni formulat e duhura:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), ku Sn është shuma e n termave të parë të progresionit gjeometrik dhe
S = b1/(1-q), ku S është shuma e një progresioni gjeometrik pafundësisht në rënie (shuma e të gjithë termave të progresionit me emërues më të vogël se një).
Shembull.

Termi i parë i një progresion gjeometrik në rënie është i barabartë me një, dhe shuma e të gjithë termave të tij është e barabartë me dy.

Kërkohet të përcaktohet emëruesi i këtij progresioni.
Zgjidhja:

Zëvendësoni të dhënat nga problemi në formulë. Do të rezultojë:
2=1/(1-q), prej nga – q=1/2.

Një progresion është një sekuencë numrash. Në një progresion gjeometrik, çdo term i mëpasshëm fitohet duke shumëzuar atë të mëparshëm me një numër të caktuar q, i quajtur emëruesi i progresionit.

Udhëzimet

Nëse njihen dy terma gjeometrikë fqinjë b(n+1) dhe b(n), për të marrë emëruesin, duhet të pjesëtoni numrin me atë më të madhin me atë që i paraprin: q=b(n+1)/b (n). Kjo rrjedh nga përkufizimi i progresionit dhe emëruesi i tij. Kusht i rëndësishëm është që termi i parë dhe emëruesi i progresionit të mos jenë të barabartë me zero, përndryshe ai konsiderohet i pacaktuar.

Kështu, ndërmjet termave të progresionit vendosen marrëdhëniet e mëposhtme: b2=b1 q, b3=b2 q, ... , b(n)=b(n-1) q. Duke përdorur formulën b(n)=b1 q^(n-1), mund të llogaritet çdo term i progresionit gjeometrik në të cilin dihet emëruesi q dhe termi b1. Gjithashtu, secila prej progresioneve është e barabartë në modul me mesataren e anëtarëve fqinjë: |b(n)|=√, që është vendi ku progresion e ka marrë .

Një analog i një progresion gjeometrik është funksioni më i thjeshtë eksponencial y=a^x, ku x është një eksponent, a është një numër i caktuar. Në këtë rast, emëruesi i progresionit përkon me termin e parë dhe është i barabartë me numrin a. Vlera e funksionit y mund të kuptohet si termi i n-të i progresionit nëse argumenti x merret si një numër natyror n (numërues).

Një tjetër veti e rëndësishme e progresionit gjeometrik, e cila dha progresion gjeometrik

Progresioni gjeometrik, së bashku me progresionin aritmetik, është një seri numrash e rëndësishme që studiohet në lëndën e algjebrës shkollore në klasën e 9-të. Në këtë artikull do të shohim emëruesin e një progresion gjeometrik dhe se si vlera e tij ndikon në vetitë e tij.

Përkufizimi i progresionit gjeometrik

Së pari, le të japim përkufizimin e kësaj serie numrash. Një progresion gjeometrik është një seri numrash racionalë që formohen duke shumëzuar në mënyrë sekuenciale elementin e tij të parë me një numër konstant të quajtur emërues.

Për shembull, numrat në seritë 3, 6, 12, 24, ... janë një progresion gjeometrik, sepse nëse shumëzoni 3 (elementin e parë) me 2, merrni 6. Nëse shumëzoni 6 me 2, merrni 12, e kështu me radhë.

Anëtarët e sekuencës në shqyrtim zakonisht shënohen me simbolin ai, ku i është një numër i plotë që tregon numrin e elementit në seri.

Përkufizimi i mësipërm i progresionit mund të shkruhet në gjuhën matematikore si më poshtë: an = bn-1 * a1, ku b është emëruesi. Është e lehtë të kontrollosh këtë formulë: nëse n = 1, atëherë b1-1 = 1, dhe marrim a1 = a1. Nëse n = 2, atëherë an = b * a1, dhe përsëri vijmë te përkufizimi i serisë së numrave në fjalë. Arsyetimi i ngjashëm mund të vazhdohet për vlera të mëdha të n.

Emëruesi i progresionit gjeometrik

Numri b përcakton plotësisht se çfarë karakteri do të ketë e gjithë seria e numrave. Emëruesi b mund të jetë pozitiv, negativ ose më i madh ose më i vogël se një. Të gjitha opsionet e mësipërme çojnë në sekuenca të ndryshme:

• b > 1. Ka një seri numrash racionalë në rritje. Për shembull, 1, 2, 4, 8, ... Nëse elementi a1 është negativ, atëherë e gjithë sekuenca do të rritet vetëm në vlerë absolute, por do të zvogëlohet në varësi të shenjës së numrave.
• b = 1. Shpesh ky rast nuk quhet progresion, pasi ekziston një seri e zakonshme numrash racionalë identikë. Për shembull, -4, -4, -4.

Formula për shumën

Përpara se të kalojmë në shqyrtimin e problemeve specifike duke përdorur emëruesin e llojit të progresionit në shqyrtim, duhet të jepet një formulë e rëndësishme për shumën e n elementëve të tij të parë. Formula duket si: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Këtë shprehje mund ta merrni vetë nëse merrni parasysh sekuencën rekursive të termave të progresionit. Gjithashtu vini re se në formulën e mësipërme mjafton të njihni vetëm elementin e parë dhe emëruesin për të gjetur shumën e një numri arbitrar termash.

Sekuenca pafundësisht në rënie

Një shpjegim u dha më lart se çfarë është. Tani, duke ditur formulën për Sn, le ta zbatojmë atë në këtë seri numrash. Meqenëse çdo numër, moduli i të cilit nuk e kalon 1, tenton në zero kur rritet në fuqi të mëdha, domethënë b∞ => 0 nëse -1

Meqenëse diferenca (1 - b) do të jetë gjithmonë pozitive, pavarësisht nga vlera e emëruesit, shenja e shumës së një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie S∞ përcaktohet në mënyrë unike nga shenja e elementit të tij të parë a1.

Tani le të shohim disa probleme ku do të tregojmë se si të zbatojmë njohuritë e marra në numra specifikë.

Detyra nr. 1. Llogaritja e elementeve të panjohura të progresionit dhe shumës

Duke pasur parasysh një progresion gjeometrik, emëruesi i progresionit është 2, dhe elementi i tij i parë është 3. Me çfarë do të jenë të barabartë termat e 7-të dhe të 10-të të tij dhe sa është shuma e shtatë elementeve fillestare të tij?

Gjendja e problemit është mjaft e thjeshtë dhe përfshin përdorimin e drejtpërdrejtë të formulave të mësipërme. Pra, për të llogaritur numrin e elementit n, përdorim shprehjen an = bn-1 * a1. Për elementin e 7-të kemi: a7 = b6 * a1, duke zëvendësuar të dhënat e njohura, marrim: a7 = 26 * 3 = 192. Të njëjtën gjë bëjmë edhe për termin e 10-të: a10 = 29 * 3 = 1536.

Le të përdorim formulën e njohur për shumën dhe të përcaktojmë këtë vlerë për 7 elementët e parë të serisë. Ne kemi: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Problemi nr. 2. Përcaktimi i shumës së elementeve arbitrare të një progresion

Le të jetë -2 e barabartë me emëruesin e progresionit gjeometrik bn-1 * 4, ku n është një numër i plotë. Është e nevojshme të përcaktohet shuma nga elementi i 5-të në të 10-të të kësaj serie, përfshirëse.

Problemi i paraqitur nuk mund të zgjidhet drejtpërdrejt duke përdorur formula të njohura. Mund të zgjidhet duke përdorur 2 metoda të ndryshme. Për plotësinë e prezantimit të temës, i paraqesim të dyja.

Metoda 1. Ideja është e thjeshtë: duhet të llogaritni dy shumat korresponduese të termave të parë dhe më pas të zbrisni tjetrën nga njëri. Ne llogarisim shumën më të vogël: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Tani llogarisim shumën më të madhe: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Vini re se në shprehjen e fundit u përmblodhën vetëm 4 terma, pasi i pesti tashmë është përfshirë në shumën që duhet të llogaritet sipas kushteve të problemit. Së fundi, marrim ndryshimin: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Metoda 2. Përpara se të zëvendësoni numrat dhe të numëroni, mund të merrni një formulë për shumën midis termave m dhe n të serisë në fjalë. Ne bëjmë saktësisht të njëjtën gjë si në metodën 1, vetëm se fillimisht punojmë me paraqitjen simbolike të shumës. Kemi: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Ju mund të zëvendësoni numrat e njohur në shprehjen që rezulton dhe të llogaritni rezultatin përfundimtar: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Problemi nr 3. Cili është emëruesi?

Le të gjejmë a1 = 2, emëruesin e progresionit gjeometrik, me kusht që shuma e tij e pafundme të jetë 3, dhe dihet se kjo është një seri numrash në rënie.

Bazuar në kushtet e problemit, nuk është e vështirë të merret me mend se cila formulë duhet të përdoret për ta zgjidhur atë. Sigurisht, për shumën e progresionit pafundësisht në rënie. Kemi: S∞ = a1 / (1 - b). Nga ku shprehim emëruesin: b = 1 - a1 / S∞. Mbetet për të zëvendësuar vlerat e njohura dhe për të marrë numrin e kërkuar: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 ose -0.333(3). Këtë rezultat mund ta kontrollojmë në mënyrë cilësore nëse kujtojmë se për këtë lloj sekuence moduli b nuk duhet të shkojë përtej 1. Siç shihet, |-1 / 3|

Detyra nr. 4. Rivendosja e një serie numrash

Le të jepen 2 elementë të një serie numrash, për shembull, i 5-ti është i barabartë me 30 dhe i 10-ti është i barabartë me 60. Është e nevojshme të rindërtohet e gjithë seria nga këto të dhëna, duke ditur se ajo plotëson vetitë e një progresion gjeometrik.

Për të zgjidhur problemin, fillimisht duhet të shkruani shprehjen përkatëse për çdo term të njohur. Kemi: a5 = b4 * a1 dhe a10 = b9 * a1. Tani ndajmë shprehjen e dytë me të parën, marrim: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Prej këtu përcaktojmë emëruesin duke marrë rrënjën e pestë të raportit të termave të njohur nga deklarata e problemit, b = 1,148698. Ne e zëvendësojmë numrin që rezulton në një nga shprehjet për elementin e njohur, marrim: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.

Kështu, gjetëm emëruesin e progresionit bn, dhe progresionin gjeometrik bn-1 * 17,2304966 = an, ku b = 1,148698.

Ku përdoren progresionet gjeometrike?

Nëse nuk do të kishte zbatim praktik të kësaj serie numrash, atëherë studimi i saj do të reduktohej në interes thjesht teorik. Por një aplikim i tillë ekziston.

Më poshtë janë 3 shembujt më të famshëm:

• Paradoksi i Zenos, në të cilin Akili i shkathët nuk mund të arrijë breshkën e ngadaltë, zgjidhet duke përdorur konceptin e një sekuence numrash pafundësisht në rënie.
• Nëse vendosni kokrra gruri në çdo katror të tabelës së shahut në mënyrë që në katrorin e parë të vendosni 1 kokërr, në të dytin - 2, në të tretën - 3, e kështu me radhë, atëherë për të mbushur të gjitha katrorët e tabelës do t'ju nevojiten. 18446744073709551615 kokrra!
• Në lojën "Kulla e Hanoi", për të lëvizur disqet nga një shufër në tjetrën, është e nevojshme të kryhen operacione 2n - 1, domethënë numri i tyre rritet në mënyrë eksponenciale me numrin n të disqeve të përdorur.

SEKUENCA NUMERIKE VI

§ l48. Shuma e një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie

Deri më tani, kur flasim për shuma, gjithmonë kemi supozuar se numri i termave në këto shuma është i kufizuar (për shembull, 2, 15, 1000, etj.). Por kur zgjidhen disa probleme (veçanërisht matematika e lartë) duhet të merret me shumat e një numri të pafund termash.

S= a 1 + a 2 + ... + a n + ... . (1)

Cilat janë këto shuma? A-parësore shuma e një numri të pafund termash a 1 , a 2 , ..., a n , ... quhet kufiri i shumës S n së pari P numrat kur P -> ∞ :

S=S n = (a 1 + a 2 + ... + a n ). (2)

Kufiri (2), natyrisht, mund të ekzistojë ose jo. Prandaj, ata thonë se shuma (1) ekziston ose nuk ekziston.

Si mund të zbulojmë nëse shuma (1) ekziston në çdo rast specifik? Zgjidhja e përgjithshme për këtë çështje shkon përtej qëllimit të programit tonë. Megjithatë, ekziston një rast i rëndësishëm i veçantë që duhet ta shqyrtojmë tani. Ne do të flasim për përmbledhjen e termave të një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie.

Le a 1 , a 1 q , a 1 q 2, ... është një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie. Kjo do të thotë se | q |< 1. Сумма первых P kushtet e këtij progresi është e barabartë

Nga teoremat bazë mbi kufijtë e ndryshoreve (shih § 136) marrim:

Por 1 = 1, a qn = 0. Prandaj

Pra, shuma e një progresioni gjeometrik pafundësisht në rënie është e barabartë me termin e parë të këtij progresioni të ndarë me një minus emëruesin e këtij progresioni.

1) Shuma e progresionit gjeometrik 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... është e barabartë me

dhe shuma e progresionit gjeometrik është 12; -6; 3; - 3/2 , ... e barabartë

2) Shndërroni një thyesë të thjeshtë periodike 0,454545 ... në një të zakonshme.

Për të zgjidhur këtë problem, imagjinoni këtë thyesë si një shumë të pafundme:

Ana e djathtë e kësaj barazie është shuma e një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie, termi i parë i të cilit është i barabartë me 45/100, dhe emëruesi është 1/100. Kjo është arsyeja pse

Duke përdorur metodën e përshkruar, mund të merret një rregull i përgjithshëm për shndërrimin e thyesave të thjeshta periodike në thyesa të zakonshme (shih Kapitullin II, § 38):

Për të kthyer një thyesë të thjeshtë periodike në një fraksion të zakonshëm, duhet të bëni sa më poshtë: në numërues vendosni periudhën e thyesës dhjetore, dhe në emërues - një numër i përbërë nga nëntë të marra aq herë sa ka shifra në periudhë. të thyesës dhjetore.

3) Shndërroje thyesën periodike të përzier 0,58333 .... në një thyesë të zakonshme.

Le ta imagjinojmë këtë thyesë si një shumë të pafundme:

Në anën e djathtë të kësaj barazie, të gjithë termat, duke filluar nga 3/1000, formojnë një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie, termi i parë i të cilit është i barabartë me 3/1000 dhe emëruesi është 1/10. Kjo është arsyeja pse

Duke përdorur metodën e përshkruar, mund të merret një rregull i përgjithshëm për shndërrimin e fraksioneve periodike të përziera në fraksione të zakonshme (shih Kapitullin II, § 38). Ne nuk e paraqesim qëllimisht këtu. Nuk ka nevojë të mbani mend këtë rregull të rëndë. Është shumë më e dobishme të dihet se çdo thyesë periodike e përzier mund të përfaqësohet si shuma e një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie dhe një numri të caktuar. Dhe formula

për shumën e një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie, sigurisht që duhet të mbani mend.

Si ushtrim, ju sugjerojmë që përveç problematikave nr.995-1000 të dhëna më poshtë, t'i drejtoheni edhe një herë problemit nr.301 § 38.

Ushtrime

995. Si quhet shuma e progresionit gjeometrik pafundësisht në rënie?

996. Gjeni shumat e progresioneve gjeometrike pafundësisht në rënie:

997. Në çfarë vlerash X progresion

është në rënie pafundësisht? Gjeni shumën e një progresion të tillë.

998. Në një trekëndësh barabrinjës me brinjë A një trekëndësh i ri është gdhendur duke lidhur mesin e brinjëve të tij; një trekëndësh i ri është brendashkruar në këtë trekëndësh në të njëjtën mënyrë, dhe kështu me radhë ad infinitum.

a) shuma e perimetrave të të gjithë këtyre trekëndëshave;

b) shuma e sipërfaqeve të tyre.

999. Sheshi me faqe A një katror i ri është gdhendur duke lidhur mesin e anëve të tij; një katror është i gdhendur në këtë katror në të njëjtën mënyrë, dhe kështu me radhë ad infinitum. Gjeni shumën e perimetrave të të gjithë këtyre katrorëve dhe shumën e sipërfaqeve të tyre.

1000. Hartoni një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie të tillë që shuma e tij të jetë e barabartë me 25/4 dhe shuma e katrorëve të termave të tij të jetë e barabartë me 625/24.

Formula për termin e n-të të një progresion gjeometrik është shumë e thjeshtë. Si në kuptim ashtu edhe në pamje të përgjithshme. Por ka të gjitha llojet e problemeve në formulën e termit të n-të - nga shumë primitive në mjaft serioze. Dhe në procesin e njohjes sonë, ne patjetër do t'i konsiderojmë të dyja. Epo, le të njihemi?)

Pra, për të filluar, në fakt formulën

Këtu është ajo:

b n = b 1 · qn -1

Formula është thjesht një formulë, asgjë e mbinatyrshme. Duket edhe më e thjeshtë dhe më kompakte se një formulë e ngjashme. Kuptimi i formulës është gjithashtu i thjeshtë sa çizmet e ndjera.

Kjo formulë ju lejon të gjeni ÇDO anëtar të një progresion gjeometrik SIPAS NUMRIT TË TIJ " n".

Siç mund ta shihni, kuptimi është analogji e plotë me një progresion aritmetik. Ne e dimë numrin n - ne gjithashtu mund të numërojmë termin nën këtë numër. Cilin të duam. Pa shumëzuar në mënyrë të përsëritur me "q" shumë e shumë herë. Kjo është e gjithë çështja.)

E kuptoj që në këtë nivel të punës me progresione, të gjitha sasitë e përfshira në formulë duhet të jenë tashmë të qarta për ju, por gjithsesi e konsideroj detyrën time të deshifroj secilën. Për çdo rast.

Pra, ja ku shkojmë:

b 1 – së pari afati i progresionit gjeometrik;

q – ;

n– numri i anëtarit;

b n – e nëntë (nth) termi i një progresion gjeometrik.

Kjo formulë lidh katër parametrat kryesorë të çdo progresioni gjeometrik - bn, b 1 , q Dhe n. Dhe të gjitha problemet e progresionit rrotullohen rreth këtyre katër figurave kryesore.

"Si hiqet?"– Dëgjoj një pyetje kurioze... Elementare! Shikoni!

Çfarë është e barabartë me e dyta anëtar i progresionit? Nuk ka problem! Ne shkruajmë drejtpërdrejt:

b 2 = b 1 ·q

Po anëtari i tretë? As problem! Ne e shumëzojmë termin e dytë edhe një herë nëq.

Si kjo:

B 3 = b 2 q

Le të kujtojmë tani se termi i dytë, nga ana tjetër, është i barabartë me b 1 ·q dhe ta zëvendësojmë këtë shprehje me barazinë tonë:

B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2

Ne marrim:

B 3 = b 1 ·q 2

Tani le të lexojmë hyrjen tonë në Rusisht: e treta termi është i barabartë me termin e parë shumëzuar me q in e dyta gradë. E kuptoni? Ende jo? Mirë, edhe një hap.

Cili është termi i katërt? Te gjitha njesoj! shumohen e mëparshme(d.m.th. termi i tretë) në q:

B 4 = b 3 q = (b 1 q 2) q = b 1 q 2 q = b 1 q 3

Total:

B 4 = b 1 ·q 3

Dhe përsëri ne përkthejmë në Rusisht: e katërta termi është i barabartë me termin e parë shumëzuar me q in e treta gradë.

Dhe kështu me radhë. Pra, si është ajo? E keni kapur modelin? Po! Për çdo term me çdo numër, numri i faktorëve identikë q (d.m.th. shkalla e emëruesit) do të jetë gjithmonë një më pak se numri i anëtarit të dëshiruarn.

Prandaj, formula jonë do të jetë, pa ndryshime:

b n =b 1 · qn -1

Kjo eshte e gjitha.)

Epo, le t'i zgjidhim problemet, mendoj?)

Zgjidhja e problemeve të formulësntermi i një progresion gjeometrik.

Le të fillojmë, si zakonisht, me aplikimin e drejtpërdrejtë të formulës. Këtu është një problem tipik:

Në progresionin gjeometrik dihet se b 1 = 512 dhe q = -1/2. Gjeni termin e dhjetë të progresionit.

Sigurisht, ky problem mund të zgjidhet pa asnjë formulë fare. Drejtpërdrejt në kuptimin e progresionit gjeometrik. Por ne duhet të ngrohemi me formulën për mandatin e nëntë, apo jo? Këtu po ngrohemi.

Të dhënat tona për aplikimin e formulës janë si më poshtë.

Anëtari i parë është i njohur. Ky është 512.

b 1 = 512.

Emëruesi i progresionit është gjithashtu i njohur: q = -1/2.

Gjithçka që mbetet është të kuptojmë se cili është numri i anëtarit n. Nuk ka problem! A na intereson mandati i dhjetë? Pra, ne zëvendësojmë dhjetë në vend të n në formulën e përgjithshme.

Dhe llogaritni me kujdes aritmetikën:

Përgjigje: -1

Siç mund ta shihni, afati i dhjetë i progresionit doli të ishte minus. Asgjë për t'u habitur: emëruesi ynë i progresionit është -1/2, d.m.th. negativ numri. Dhe kjo na tregon se shenjat e përparimit tonë alternojnë, po.)

Gjithçka është e thjeshtë këtu. Këtu është një problem i ngjashëm, por pak më i komplikuar për sa i përket llogaritjeve.

Në progresionin gjeometrik, dihet se:

b 1 = 3

Gjeni termin e trembëdhjetë të progresionit.

Gjithçka është e njëjtë, vetëm këtë herë emëruesi i progresionit është irracionale. Rrënja e dy. Epo, kjo është në rregull. Formula është një gjë universale, ajo mund të përballojë çdo numër.

Ne punojmë drejtpërdrejt sipas formulës:

Formula, natyrisht, funksionoi si duhet, por... këtu ngecin disa njerëz. Çfarë duhet bërë më pas me rrënjën? Si të ngrihet një rrënjë në fuqinë e dymbëdhjetë?

Si-si... Duhet të kuptoni se çdo formulë, sigurisht, është një gjë e mirë, por njohuritë e të gjitha matematikave të mëparshme nuk anulohen! Si të ndërtohet? Po, mbani mend vetitë e gradave! Le ta kthejmë rrënjën në shkallë thyesore dhe – sipas formulës për ngritjen e një diplome në një shkallë.

Si kjo:

Përgjigje: 192

Dhe kjo eshte e gjitha.)

Cila është vështirësia kryesore në zbatimin e drejtpërdrejtë të formulës së termit të n-të? Po! Vështirësia kryesore është duke punuar me diploma! Domethënë, ngritja e numrave negativë, thyesave, rrënjëve dhe ndërtimeve të ngjashme në fuqi. Pra, ata që kanë probleme me këtë, ju lutemi të përsërisin gradat dhe vetitë e tyre! Përndryshe do ta ngadalësoni edhe këtë temë, po...)

Tani le të zgjidhim problemet tipike të kërkimit një nga elementët e formulës, nëse jepen të gjitha të tjerat. Për të zgjidhur me sukses probleme të tilla, receta është uniforme dhe tmerrësisht e thjeshtë - shkruani formulënn-Anëtari në përgjithësi! Pikërisht në fletore pranë gjendjes. Dhe pastaj nga gjendja kuptojmë se çfarë na është dhënë dhe çfarë mungon. Dhe ne shprehim vlerën e dëshiruar nga formula. Të gjitha!

Për shembull, një problem kaq i padëmshëm.

Termi i pestë i progresionit gjeometrik me emërues 3 është 567. Gjeni termin e parë të këtij progresioni.

Asgjë e komplikuar. Ne punojmë drejtpërdrejt sipas magjisë.

Le të shkruajmë formulën për termin e n-të!

b n = b 1 · qn -1

Çfarë na është dhënë? Së pari, është dhënë emëruesi i progresionit: q = 3.

Për më tepër, ne jemi të dhënë anëtari i pestë: b 5 = 567 .

Të gjitha? Jo! Na është dhënë edhe numri n! Kjo është pesë: n = 5.

Shpresoj se tashmë e keni kuptuar se çfarë është në regjistrim b 5 = 567 dy parametra fshihen menjëherë - ky është vetë termi i pestë (567) dhe numri i tij (5). Unë kam folur tashmë për këtë në një mësim të ngjashëm, por mendoj se ia vlen të përmendet edhe këtu.)

Tani ne i zëvendësojmë të dhënat tona në formulën:

567 = b 1 · 3 5-1

Ne bëjmë aritmetikën, thjeshtojmë dhe marrim një ekuacion të thjeshtë linear:

81 b 1 = 567

Ne zgjidhim dhe marrim:

b 1 = 7

Siç mund ta shihni, nuk ka probleme me gjetjen e mandatit të parë. Por kur kërkoni për emëruesin q dhe numrat n Mund të ketë edhe surpriza. Dhe gjithashtu duhet të përgatiteni për to (surpriza), po.)

Për shembull, ky problem:

Anëtari i pestë i një progresioni gjeometrik me emërues pozitiv është 162, dhe anëtari i parë i këtij progresioni është 2. Gjeni emëruesin e progresionit.

Këtë herë na jepen termat e parë dhe të pestë dhe na kërkohet të gjejmë emëruesin e progresionit. Ja ku po shkojmë.

Ne shkruajmë formulënnanëtari!

b n = b 1 · qn -1

Të dhënat tona fillestare do të jenë si më poshtë:

b 5 = 162

b 1 = 2

n = 5

Mungon vlera q. Nuk ka problem! Le ta gjejmë tani.) Ne zëvendësojmë gjithçka që dimë në formulë.

Ne marrim:

162 = 2q 5-1

2 q 4 = 162

q 4 = 81

Një ekuacion i thjeshtë i shkallës së katërt. Dhe tani - me kujdes! Në këtë fazë të zgjidhjes, shumë studentë nxjerrin menjëherë rrënjën (të shkallës së katërt) me gëzim dhe marrin përgjigjen. q=3 .

Si kjo:

q4 = 81

q = 3

Por në fakt, kjo është një përgjigje e papërfunduar. Më saktë, i paplotë. Pse? Çështja është se përgjigja q = -3 gjithashtu i përshtatshëm: (-3) 4 do të jetë gjithashtu 81!

Kjo është për shkak të ekuacionit të fuqisë x n = a gjithmonë ka dy rrënjë të kundërta në madjen . Me plus dhe minus:

Të dyja janë të përshtatshme.

Për shembull, kur vendosni (d.m.th. e dyta gradë)

x 2 = 9

Për disa arsye nuk jeni të befasuar nga pamja dy rrënjët x=±3? Është e njëjta gjë këtu. Dhe me ndonjë tjetër madje shkalla (e katërta, e gjashta, e dhjeta, etj.) do të jetë e njëjtë. Detajet janë në temën rreth

Prandaj, zgjidhja e duhur do të ishte:

q 4 = 81

q= ±3

Mirë, ne i kemi rregulluar shenjat. Cila është e saktë - plus apo minus? Epo, le të lexojmë përsëri deklaratën e problemit në kërkim të informacion shtese. Sigurisht, mund të mos ekzistojë, por në këtë problem një informacion i tillë në dispozicion. Gjendja jonë thotë në tekst të thjeshtë që jepet një progresion emërues pozitiv.

Prandaj përgjigja është e qartë:

q = 3

Gjithçka është e thjeshtë këtu. Çfarë mendoni se do të ndodhte nëse deklarata e problemit do të ishte si kjo:

Termi i pestë i një progresioni gjeometrik është 162, dhe termi i parë i këtij progresioni është 2. Gjeni emëruesin e progresionit.

Qfare eshte dallimi? Po! Ne gjendje Asgjë nuk përmendet shenja e emëruesit. As direkt e as indirekt. Dhe këtu problemi do të kishte tashmë dy zgjidhje!

q = 3 Dhe q = -3

Po Po! Si me një plus ashtu edhe me një minus.) Matematikisht, ky fakt do të thoshte se ka dy progresione, të cilat përshtaten me kushtet e problemit. Dhe secila ka emëruesin e vet. Vetëm për argëtim, praktikoni dhe shkruani pesë termat e parë të secilit.)

Tani le të praktikojmë gjetjen e numrit të anëtarit. Ky problem është më i vështiri, po. Por edhe më kreativ.)

Duke pasur parasysh një progresion gjeometrik:

3; 6; 12; 24; …

Cili numër në këtë progresion është numri 768?

Hapi i parë është ende i njëjtë: shkruani formulënnanëtari!

b n = b 1 · qn -1

Dhe tani, si zakonisht, ne i zëvendësojmë të dhënat që dimë në të. Hm... nuk funksionon! Ku është termi i parë, ku është emëruesi, ku është çdo gjë tjetër?!

Ku, ku... Pse na duhen sytë? Duke përplasur qerpikët? Këtë herë progresioni na jepet drejtpërdrejt në formë sekuencat. A mund ta shohim anëtarin e parë? Ne shohim! Kjo është një treshe (b 1 = 3). Po emëruesi? Nuk e shohim ende, por është shumë e lehtë për t'u numëruar. Nëse, sigurisht, e kuptoni ...

Pra, ne numërojmë. Drejtpërsëdrejti sipas kuptimit të një progresion gjeometrik: marrim ndonjë nga termat e tij (përveç të parës) dhe ndajmë me atë të mëparshëm.

Të paktën kështu:

q = 24/12 = 2

Çfarë dimë tjetër? Ne gjithashtu dimë një term të këtij progresioni, i barabartë me 768. Nën një numër n:

b n = 768

Ne nuk e dimë numrin e tij, por detyra jonë është pikërisht ta gjejmë atë.) Pra, ne po kërkojmë. Ne kemi shkarkuar tashmë të gjitha të dhënat e nevojshme për zëvendësim në formulë. Pa e ditur vetë.)

Këtu zëvendësojmë:

768 = 3 2n -1

Le të bëjmë ato elementare - ndajmë të dyja anët me tre dhe rishkruajmë ekuacionin në formën e zakonshme: e panjohura është në të majtë, e njohura është në të djathtë.

Ne marrim:

2 n -1 = 256

Ky është një ekuacion interesant. Duhet të gjejmë "n". Çfarë, e pazakontë? Po, nuk debatoj. Në fakt, kjo është gjëja më e thjeshtë. Quhet kështu sepse e panjohura (në këtë rast është numri n) kostot në tregues gradë.

Në fazën e të mësuarit për progresionin gjeometrik (kjo është klasa e nëntë), nuk të mësojnë se si të zgjidhësh ekuacionet eksponenciale, po... Kjo është një temë për shkollën e mesme. Por nuk ka asgjë të frikshme. Edhe nëse nuk e dini se si zgjidhen ekuacione të tilla, le të përpiqemi të gjejmë tonën n, të udhëhequr nga logjika e thjeshtë dhe sensi i përbashkët.

Le të fillojmë të flasim. Në të majtë kemi një deuce në një shkallë të caktuar. Ne nuk e dimë ende se çfarë është saktësisht kjo diplomë, por kjo nuk është e frikshme. Por ne e dimë me siguri se kjo shkallë është e barabartë me 256! Pra, ne kujtojmë se deri në çfarë mase një dy na jep 256. A ju kujtohet? Po! NË i teti gradë!

256 = 2 8

Nëse nuk e mbani mend ose keni probleme me njohjen e shkallëve, atëherë kjo është në rregull: ne thjesht vendosim në mënyrë të njëpasnjëshme dy, kubike, të katërtën, të pestën, e kështu me radhë. Përzgjedhja, në fakt, por në këtë nivel do të funksionojë mjaft mirë.

Në një mënyrë apo tjetër, ne marrim:

2 n -1 = 2 8

n-1 = 8

n = 9

Pra 768 është i nënti anëtar i përparimit tonë. Kjo është ajo, problemi u zgjidh.)

Përgjigje: 9

Çfarë? E mërzitshme? Të lodhur nga gjërat elementare? Dakord. Edhe une gjithashtu. Le të kalojmë në nivelin tjetër.)

Detyra më komplekse.

Tani le të zgjidhim probleme më sfiduese. Jo saktësisht super cool, por ato që kërkojnë pak punë për të arritur tek përgjigja.

Për shembull, ky.

Gjeni termin e dytë të një progresion gjeometrik nëse termi i katërt i tij është -24 dhe termi i shtatë është 192.

Ky është një klasik i zhanrit. Dihen dy terma të ndryshëm të progresionit, por duhet gjetur një term tjetër. Për më tepër, të gjithë anëtarët NUK janë fqinjë. E cila është konfuze në fillim, po...

Si në, për të zgjidhur probleme të tilla ne do të shqyrtojmë dy metoda. Metoda e parë është universale. algjebrike. Punon në mënyrë të përsosur me çdo të dhënë burimi. Kështu që këtu do të fillojmë.)

Ne përshkruajmë çdo term sipas formulës nanëtari!

Gjithçka është saktësisht e njëjtë si me një progresion aritmetik. Vetëm këtë herë po punojmë një tjetër formulë e përgjithshme. Kjo është e gjitha.) Por thelbi është i njëjtë: marrim dhe nje nga nje Ne i zëvendësojmë të dhënat tona fillestare në formulën për termin e n-të. Për secilin anëtar - të tyren.

Për mandatin e katërt shkruajmë:

b 4 = b 1 · q 3

-24 = b 1 · q 3

Hani. Një ekuacion është gati.

Për mandatin e shtatë shkruajmë:

b 7 = b 1 · q 6

192 = b 1 · q 6

Në total, kemi marrë dy ekuacione për të njëjtin progresion .

Ne mbledhim një sistem prej tyre:

Pavarësisht pamjes së tij kërcënuese, sistemi është mjaft i thjeshtë. Zgjidhja më e dukshme është zëvendësimi i thjeshtë. shprehemi b 1 nga ekuacioni i sipërm dhe zëvendësojeni atë në fund:

Pasi të përzihemi pak me ekuacionin e poshtëm (duke ulur fuqitë dhe duke e pjesëtuar me -24), marrim:

q 3 = -8

Meqë ra fjala, i njëjti ekuacion mund të arrihet në një mënyrë më të thjeshtë! Cila? Tani do t'ju tregoj një mënyrë tjetër sekrete, por shumë të bukur, të fuqishme dhe të dobishme për të zgjidhur sisteme të tilla. Sisteme të tilla, ekuacionet e të cilave përfshijnë punon vetëm. Të paktën në një. I thirrur metoda e ndarjes një ekuacion në tjetrin.

Pra, ne kemi një sistem para nesh:

Në të dy ekuacionet në të majtë - puna, dhe në të djathtë është vetëm një numër. Kjo është një shenjë shumë e mirë.) Le ta marrim dhe... ta ndajmë, le të themi, ekuacionin e poshtëm me atë të sipërmin! Qe do te thote, le të ndajmë një ekuacion me një tjetër? Shume e thjeshte. Le ta marrim ana e majte një ekuacion (më i ulët) dhe ndajnë ajo në ana e majte një ekuacion tjetër (sipër). Ana e djathtë është e ngjashme: anën e djathtë një ekuacion ndajnë në anën e djathtë një tjetër.

I gjithë procesi i ndarjes duket si ky:

Tani, duke reduktuar gjithçka që mund të reduktohet, marrim:

q 3 = -8

Çfarë është e mirë për këtë metodë? Po, sepse në procesin e një ndarjeje të tillë çdo gjë e keqe dhe e papërshtatshme mund të reduktohet në mënyrë të sigurt dhe mbetet një ekuacion krejtësisht i padëmshëm! Kjo është arsyeja pse është kaq e rëndësishme të kesh vetëm shumëzim në të paktën një nga ekuacionet e sistemit. Nuk ka shumëzim - nuk ka asgjë për të reduktuar, po...

Në përgjithësi, kjo metodë (si shumë metoda të tjera jo të parëndësishme të zgjidhjes së sistemeve) meriton edhe një mësim të veçantë. Unë patjetër do ta shqyrtoj atë në më shumë detaje. Një ditë…

Sidoqoftë, nuk ka rëndësi se sa saktësisht e zgjidhni sistemin, në çdo rast, tani duhet të zgjidhim ekuacionin që rezulton:

q 3 = -8

Nuk ka problem: nxirrni rrënjën e kubit dhe keni mbaruar!

Ju lutemi vini re se nuk ka nevojë të vendosni një plus/minus këtu gjatë nxjerrjes. Kemi një rrënjë të shkallës tek (të tretë). Dhe përgjigja është gjithashtu e njëjtë, po.)

Pra, është gjetur emëruesi i progresionit. Minus dy. E madhe! Procesi është në vazhdim.)

Për termin e parë (të themi, nga ekuacioni i sipërm) marrim:

E madhe! Ne e dimë termin e parë, ne e dimë emëruesin. Dhe tani kemi mundësinë të gjejmë ndonjë anëtar të progresionit. Përfshirë të dytin.)

Për mandatin e dytë gjithçka është mjaft e thjeshtë:

b 2 = b 1 · q= 3·(-2) = -6

Përgjigje: -6

Pra, ne kemi zbërthyer metodën algjebrike të zgjidhjes së problemit. E veshtire? Jo me të vërtetë, jam dakord. E gjatë dhe e lodhshme? Po, patjetër. Por ndonjëherë ju mund të zvogëloni ndjeshëm sasinë e punës. Për këtë ka metodë grafike. E vjetër e mirë dhe e njohur për ne.)

Le të vizatojmë një problem!

Po! Pikërisht. Përsëri ne përshkruajmë përparimin tonë në boshtin e numrave. Nuk është e nevojshme të ndiqni një vizore, nuk është e nevojshme të ruani intervale të barabarta midis termave (të cilat, nga rruga, nuk do të jenë të njëjta, pasi përparimi është gjeometrik!), por thjesht në mënyrë skematike Le të vizatojmë sekuencën tonë.

E kam marrë kështu:

Tani shikoni foton dhe kuptoni. Sa faktorë identikë "q" ndajnë e katërta Dhe i shtati anëtarët? Kjo është e drejtë, tre!

Prandaj, ne kemi çdo të drejtë të shkruajmë:

-24·q 3 = 192

Nga këtu tani është e lehtë të gjesh q:

q 3 = -8

q = -2

Kjo është e mrekullueshme, ne tashmë e kemi emëruesin në xhep. Tani le të shikojmë sërish figurën: sa emërues të tillë ndodhen midis tyre e dyta Dhe e katërta anëtarët? Dy! Prandaj, për të regjistruar lidhjen midis këtyre termave, do të ndërtojmë emëruesin në katror.

Kështu që ne shkruajmë:

b 2 · q 2 = -24 , ku b 2 = -24/ q 2

Ne e zëvendësojmë emëruesin tonë të gjetur në shprehjen për b 2, numërojmë dhe marrim:

Përgjigje: -6

Siç mund ta shihni, gjithçka është shumë më e thjeshtë dhe më e shpejtë sesa përmes sistemit. Për më tepër, këtu nuk kishim nevojë të numëronim fare mandatin e parë! Në të gjitha.)

Këtu është një mënyrë-dritë kaq e thjeshtë dhe vizuale. Por ka edhe një pengesë serioze. E morët me mend? Po! Është i mirë vetëm për pjesë shumë të shkurtra të përparimit. Ato ku distancat midis anëtarëve me interes për ne nuk janë shumë të mëdha. Por në të gjitha rastet e tjera tashmë është e vështirë të vizatosh një pamje, po... Pastaj ne e zgjidhim problemin në mënyrë analitike, përmes sistemit.) Dhe sistemet janë gjëra universale. Ata mund të trajtojnë çdo numër.

Një tjetër sfidë epike:

Termi i dytë i progresionit gjeometrik është 10 më shumë se i pari, dhe termi i tretë është 30 më shumë se i dyti. Gjeni emëruesin e progresionit.

Çfarë, cool? Aspak! Te gjitha njesoj. Përsëri ne e përkthejmë deklaratën e problemit në algjebër të pastër.

1) Ne përshkruajmë çdo term sipas formulës nanëtari!

Termi i dytë: b 2 = b 1 q

Termi i tretë: b 3 = b 1 q 2

2) Ne shkruajmë lidhjen midis anëtarëve nga deklarata e problemit.

Ne lexojmë kushtin: "Termi i dytë i progresionit gjeometrik është 10 më i madh se i pari." Ndaloni, kjo është e vlefshme!

Kështu që ne shkruajmë:

b 2 = b 1 +10

Dhe ne e përkthejmë këtë frazë në matematikë të pastër:

b 3 = b 2 +30

Ne morëm dy ekuacione. Le t'i kombinojmë ato në një sistem:

Sistemi duket i thjeshtë. Por ka shumë tregues të ndryshëm për shkronjat. Le të zëvendësojmë në vend të termave të dytë dhe të tretë shprehjet e tyre përmes termit të parë dhe emëruesit! Mos vallë kot i kemi lyer?

Ne marrim:

Por një sistem i tillë nuk është më dhuratë, po... Si ta zgjidhim këtë? Fatkeqësisht, nuk ka një magji sekrete universale për zgjidhjen e komplekseve jolineare Nuk ka sisteme në matematikë dhe nuk mund të ketë. është fantastike! Por gjëja e parë që duhet t'ju vijë në mendje kur përpiqeni të thyeni një arrë kaq të fortë është ta kuptoni Por a nuk është reduktuar një nga ekuacionet e sistemit në një formë të bukur që lejon, për shembull, të shprehet lehtësisht një nga variablat në terma të një tjetri?

Le ta kuptojmë. Ekuacioni i parë i sistemit është qartësisht më i thjeshtë se i dyti. Do ta torturojmë.) A nuk duhet të përpiqemi nga ekuacioni i parë diçka shprehin përmes diçka? Meqenëse duam të gjejmë emëruesin q, atëherë do të ishte më e dobishme për ne të shprehemi b 1 përmes q.

Pra, le të përpiqemi ta bëjmë këtë procedurë me ekuacionin e parë, duke përdorur të vjetrat e mira:

b 1 q = b 1 +10

b 1 q – b 1 = 10

b 1 (q-1) = 10

Të gjitha! Kështu u shprehëm të panevojshme na jep ndryshoren (b 1) deri e nevojshme(q). Po, nuk është shprehja më e thjeshtë që kemi marrë. Një lloj fraksioni... Por sistemi ynë është i një niveli të mirë, po.)

Tipike. Ne e dimë se çfarë të bëjmë.

Ne shkruajmë ODZ (Domosdoshmërisht!) :

q ≠ 1

Ne shumëzojmë gjithçka me emëruesin (q-1) dhe anulojmë të gjitha thyesat:

10 q 2 = 10 q + 30(q-1)

Ne ndajmë gjithçka me dhjetë, hapim kllapat dhe mbledhim gjithçka nga e majta:

q 2 – 4 q + 3 = 0

Ne zgjidhim rezultatin dhe marrim dy rrënjë:

q 1 = 1

q 2 = 3

Ka vetëm një përgjigje përfundimtare: q = 3 .

Përgjigje: 3

Siç mund ta shihni, rruga për zgjidhjen e shumicës së problemeve që përfshijnë formulën e termit n të një progresion gjeometrik është gjithmonë e njëjtë: lexoni me vëmendje kushti i problemit dhe duke përdorur formulën e termit të n-të ne përkthejmë të gjithë informacionin e dobishëm në algjebër të pastër.

Gjegjësisht:

1) Ne përshkruajmë veçmas çdo term të dhënë në problem sipas formulësnanëtari.

2) Nga kushtet e problemës e përkthejmë lidhjen ndërmjet anëtarëve në formë matematikore. Ne hartojmë një ekuacion ose sistem ekuacionesh.

3) Ne zgjidhim ekuacionin ose sistemin e ekuacioneve që rezulton, gjejmë parametrat e panjohur të progresionit.

4) Në rast të një përgjigjeje të paqartë, lexoni me kujdes kushtet e detyrës në kërkim të informacionit shtesë (nëse ka). Ne gjithashtu kontrollojmë përgjigjen e marrë me kushtet e DL (nëse ka).

Tani le të rendisim problemet kryesore që më së shpeshti çojnë në gabime në procesin e zgjidhjes së problemeve të progresionit gjeometrik.

1. Aritmetikë elementare. Veprimet me thyesa dhe numra negativë.

2. Nëse ka probleme me të paktën një nga këto tre pika, atëherë në mënyrë të pashmangshme do të bëni gabime në këtë temë. Fatkeqësisht... Pra, mos u bëni dembel dhe përsëritni atë që u përmend më lart. Dhe ndiqni lidhjet - shkoni. Ndonjëherë ndihmon.)

Formula të modifikuara dhe të përsëritura.

Tani le të shohim disa probleme tipike të provimit me një paraqitje më pak të njohur të gjendjes. Po, po, e keni marrë me mend! Kjo modifikuar Dhe të përsëritura formulat e termit të ntë. Ne kemi hasur tashmë formula të tilla dhe kemi punuar në progresionin aritmetik. Gjithçka është e ngjashme këtu. Thelbi është i njëjtë.

Për shembull, ky problem nga OGE:

Progresioni gjeometrik jepet me formulë b n = 3 2 n . Gjeni shumën e termave të parë dhe të katërt të tij.

Këtë herë ecuria nuk është si zakonisht për ne. Në formën e një formule. Edhe çfarë? Kjo formulë është gjithashtu një formulënanëtari! Ju dhe unë e dimë se formula për termin e n-të mund të shkruhet si në formë të përgjithshme, duke përdorur shkronja dhe për progresion specifik. ME specifike termi i parë dhe emëruesi.

Në rastin tonë, në fakt, na jepet një formulë e përgjithshme e termit për një progresion gjeometrik me parametrat e mëposhtëm:

b 1 = 6

q = 2

Le të kontrollojmë?) Le të shkruajmë formulën për termin e n-të në formë të përgjithshme dhe ta zëvendësojmë atë në b 1 Dhe q. Ne marrim:

b n = b 1 · qn -1

b n= 6 2n -1

Ne thjeshtojmë përdorimin e faktorizimit dhe vetive të fuqive dhe marrim:

b n= 6 2n -1 = 3·2·2n -1 = 3 2n -1+1 = 3 2n

Siç mund ta shihni, gjithçka është e drejtë. Por qëllimi ynë nuk është të demonstrojmë derivimin e një formule specifike. Kjo është kështu, një digresion lirik. Thjesht për të kuptuar.) Qëllimi ynë është të zgjidhim problemin sipas formulës që na është dhënë në kusht. E kuptoni?) Pra, ne punojmë drejtpërdrejt me formulën e modifikuar.

Ne numërojmë mandatin e parë. Le të zëvendësojmë n=1 në formulën e përgjithshme:

b 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

Si kjo. Nga rruga, nuk do të jem dembel dhe edhe një herë do t'ju tërheq vëmendjen për një gabim tipik me llogaritjen e mandatit të parë. MOS, duke parë formulën b n= 3 2n, nxitoni menjëherë të shkruani se termi i parë është një tre! Ky është një gabim i rëndë, po...)

Le te vazhdojme. Le të zëvendësojmë n=4 dhe numëroni termin e katërt:

b 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

Dhe së fundi, ne llogarisim shumën e kërkuar:

b 1 + b 4 = 6+48 = 54

Përgjigje: 54

Një problem tjetër.

Progresioni gjeometrik specifikohet nga kushtet:

b 1 = -7;

b n +1 = 3 b n

Gjeni termin e katërt të progresionit.

Këtu progresioni jepet nga një formulë e përsëritur. Epo, në rregull.) Si të punoni me këtë formulë – e dimë edhe ne.

Pra veprojmë. Hap pas hapi.

1) Numëroni dy të njëpasnjëshme anëtar i progresionit.

Tashmë na është dhënë mandati i parë. Minus shtatë. Por termi tjetër, i dytë, mund të llogaritet lehtësisht duke përdorur formulën e përsëritjes. Nëse e kuptoni parimin e funksionimit të tij, sigurisht.)

Pra, ne numërojmë mandatin e dytë sipas të parës së njohur:

b 2 = 3 b 1 = 3·(-7) = -21

2) Llogaritni emëruesin e progresionit

As asnjë problem. Drejt, le të ndajmë e dyta kar në së pari.

Ne marrim:

q = -21/(-7) = 3

3) Shkruani formulënnanëtari th në formën e zakonshme dhe llogaritet anëtari i kërkuar.

Pra, ne e dimë termin e parë dhe emëruesin gjithashtu. Kështu që ne shkruajmë:

b n= -7·3n -1

b 4 = -7·3 3 = -7·27 = -189

Përgjigje: -189

Siç mund ta shihni, puna me formula të tilla për një progresion gjeometrik në thelb nuk është e ndryshme nga ajo për një progresion aritmetik. Është e rëndësishme vetëm të kuptohet thelbi dhe kuptimi i përgjithshëm i këtyre formulave. Epo, ju gjithashtu duhet të kuptoni kuptimin e progresionit gjeometrik, po.) Dhe atëherë nuk do të ketë gabime të trashë.

Epo, le të vendosim vetë?)

Detyra shumë themelore për ngrohjen:

1. Jepet një progresion gjeometrik në të cilin b 1 = 243, a q = -2/3. Gjeni termin e gjashtë të progresionit.

2. Termi i përgjithshëm i progresionit gjeometrik jepet me formulë b n = 5∙2 n +1 . Gjeni numrin e termit të fundit treshifror të këtij progresioni.

3. Progresioni gjeometrik jepet nga kushtet:

b 1 = -3;

b n +1 = 6 b n

Gjeni termin e pestë të progresionit.

Pak më e ndërlikuar:

4. Jepet një progresion gjeometrik:

b 1 =2048; q =-0,5

Me çfarë është i barabartë termi i gjashtë negativ?

Çfarë duket super e vështirë? Aspak. Logjika dhe të kuptuarit e kuptimit të progresionit gjeometrik do t'ju shpëtojë. Epo, formula për mandatin e n-të, natyrisht.

5. Anëtari i tretë i progresionit gjeometrik është -14, dhe anëtari i tetë është 112. Gjeni emëruesin e progresionit.

6. Shuma e anëtarëve të parë dhe të dytë të progresionit gjeometrik është 75, dhe shuma e anëtarëve të dytë dhe të tretë është 150. Gjeni anëtarin e gjashtë të progresionit.

Përgjigjet (në rrëmujë): 6; -3888; -1; 800; -32; 448.

Kjo është pothuajse e gjitha. Gjithçka që duhet të bëjmë është të mësojmë të numërojmë shuma e n termave të parë të një progresion gjeometrik po zbuloni progresion gjeometrik pafundësisht në rënie dhe sasinë e saj. Një gjë shumë interesante dhe e pazakontë, meqë ra fjala! Më shumë për këtë në mësimet e ardhshme.)

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve