Cili numër është një thyesë periodike e pafundme. Si të shkruhet një thyesë periodike e pafundme si një thyesë e zakonshme? Çfarë është një "fraksion"
Ky artikull ka të bëjë me dhjetore . Këtu do të kuptojmë shënimin dhjetor të numrave thyesorë, do të prezantojmë konceptin e një thyese dhjetore dhe do të japim shembuj të thyesave dhjetore. Më pas do të flasim për shifrat e thyesave dhjetore dhe do të japim emrat e shifrave. Pas kësaj, ne do të fokusohemi në thyesat dhjetore të pafundme, le të flasim për thyesat periodike dhe jo periodike. Më pas rendisim veprimet bazë me thyesat dhjetore. Si përfundim, le të vendosim pozicionin e thyesave dhjetore në rrezen e koordinatave.
Navigimi i faqes.
Shënimi dhjetor i një numri thyesor
Leximi i numrave dhjetorë
Le të themi disa fjalë për rregullat e leximit të thyesave dhjetore.
Thyesat dhjetore, të cilat korrespondojnë me thyesat e duhura të zakonshme, lexohen në të njëjtën mënyrë si këto thyesa të zakonshme, së pari shtohet vetëm "zero numër i plotë". Për shembull, thyesa dhjetore 0.12 korrespondon me thyesë e zakonshme 12/100 (lexo "dymbëdhjetë të qindtat"), pra 0.12 lexon "pika zero dymbëdhjetë të qindtat".
Thyesat dhjetore që u përgjigjen numrave të përzier lexohen saktësisht njësoj si këta numra të përzier. Për shembull, thyesa dhjetore 56.002 korrespondon me numër i përzier, pra, thyesa dhjetore 56.002 lexohet si "pesëdhjetë e gjashtë pikë dymijtë".
Vendet në numra dhjetorë
Në shkrimin e thyesave dhjetore, si dhe në shkrimin e numrave natyrorë, kuptimi i secilës shifër varet nga pozicioni i saj. Në të vërtetë, numri 3 në thyesën dhjetore 0.3 do të thotë tre të dhjetat, në thyesën dhjetore 0.0003 - tre të dhjetë të mijëtat, dhe në thyesën dhjetore 30,000.152 - tre të dhjetë të mijtët. Kështu që ne mund të flasim për vende dhjetore, si dhe për shifrat në numrat natyrorë.
Emrat e numrave dhjetorë deri në pikë dhjetore përputhen plotësisht me emrat e shifrave në numra natyrorë. Dhe emrat e numrave dhjetorë pas presjes dhjetore mund të shihen nga tabela e mëposhtme.
Për shembull, në thyesën dhjetore 37.051, shifra 3 është në vendin e dhjetësheve, 7 është në vendin e njësive, 0 është në vendin e dhjetë, 5 është në vendin e qindtave dhe 1 është në vendin e njëmijtë.
Vendet në thyesat dhjetore ndryshojnë gjithashtu në përparësi. Nëse me shkrimin e një thyese dhjetore kalojmë nga shifra në shifër nga e majta në të djathtë, atëherë do të lëvizim nga të moshuarit për të gradat e vogla. Për shembull, vendi i qindra është më i vjetër se vendi i dhjetës dhe vendi i milionave është më i ulët se vendi i qindëshit. Në një thyesë dhjetore përfundimtare të dhënë, mund të flasim për shifrat e mëdha dhe të vogla. Për shembull, në thyesën dhjetore 604.9387 i moshuar (më i larti) vendi është vendi i qindrave, dhe i vogël (më i ulëti)- shifra dhjetëmijëshe.
Për thyesat dhjetore, bëhet zgjerimi në shifra. Është e ngjashme me zgjerimin në shifra të numrave natyrorë. Për shembull, zgjerimi në numra dhjetore prej 45,6072 është si vijon: 45,6072=40+5+0,6+0,007+0,0002. Dhe vetitë e mbledhjes nga zbërthimi i një thyese dhjetore në shifra ju lejojnë të kaloni në paraqitjet e tjera të kësaj thyese dhjetore, për shembull, 45,6072=45+0,6072, ose 45,6072=40,6+5,007+0,0002, ose 45,65,072= 0.6.
Dhjetore që mbarojnë
Deri në këtë pikë kemi folur vetëm për thyesat dhjetore, në shënimin e të cilave pas presjes dhjetore ka numri përfundimtar numrat Thyesat e tilla quhen dhjetore të fundme.
Përkufizimi.
Dhjetore që mbarojnë- Këto janë thyesa dhjetore, rekordet e të cilave përmbajnë një numër të kufizuar karakteresh (shifrash).
Këtu janë disa shembuj të thyesave dhjetore përfundimtare: 0.317, 3.5, 51.1020304958, 230,032.45.
Megjithatë, jo çdo thyesë mund të përfaqësohet si dhjetore përfundimtare. Për shembull, thyesa 5/13 nuk mund të zëvendësohet me një thyesë të barabartë me një nga emëruesit 10, 100, ..., prandaj, nuk mund të shndërrohet në një thyesë dhjetore përfundimtare. Ne do të flasim më shumë për këtë në seksionin e teorisë, duke i kthyer thyesat e zakonshme në dhjetore.
Thyesat e pafundme: Thyesat periodike dhe thyesat jo periodike
Duke shkruar një thyesë dhjetore pas presjes dhjetore, mund të supozojmë mundësinë e të paturit numër i pafund numrat Në këtë rast, do të marrim parasysh të ashtuquajturat thyesa dhjetore të pafundme.
Përkufizimi.
Dhjetore të pafundme- këto janë thyesa dhjetore, në formën e të cilave ekziston një demon grup i kufizuar numrat
Është e qartë se ne nuk mund të shkruajmë thyesa dhjetore të pafundme në formë të plotë, kështu që në regjistrimin e tyre ne kufizohemi vetëm në një numër të caktuar të fundëm të shifrave pas pikës dhjetore dhe vendosim një elipsë që tregon një sekuencë shifrash pafundësisht të vazhdueshme. Këtu janë disa shembuj të thyesave dhjetore të pafundme: 0,143940932…, 3,1415935432…, 153,02003004005…, 2,111111111…, 69,74152152152….
Nëse shikoni me vëmendje dy thyesat e fundit dhjetore të pafundme, atëherë në thyesën 2.111111111... shihet qartë numri 1 që përsëritet pafundësisht, dhe në thyesën 69.74152152152..., duke filluar nga numri i tretë dhjetor, një grup numrash përsëritës. 1, 5 dhe 2 janë qartë të dukshme. Thyesat dhjetore të tilla të pafundme quhen periodike.
Përkufizimi.
Dhjetore periodike(ose thjesht thyesat periodike) janë thyesa dhjetore të pafundme, në regjistrimin e të cilave, duke filluar nga një numër dhjetor i caktuar, përsëritet pafund një numër ose grup numrash, i cili quhet. periudha e fraksionit.
Për shembull, periudha e thyesës periodike 2.111111111... është shifra 1, dhe periudha e fraksionit 69.74152152152... është një grup shifrash të formës 152.
Për thyesat dhjetore periodike të pafundme pranohet formë të veçantë rekorde. Për shkurtësi, ne ramë dakord që të shënojmë periudhën një herë, duke e vendosur në kllapa. Për shembull, thyesa periodike 2.111111111... shkruhet si 2,(1) , dhe thyesa periodike 69.74152152152... shkruhet si 69.74(152) .
Vlen të përmendet se për të njëjtën thyesë dhjetore periodike mund të specifikoni periudha të ndryshme. Për shembull, thyesa periodike dhjetore 0,73333... mund të konsiderohet si një thyesë 0,7(3) me një periudhë 3, dhe gjithashtu si një thyesë 0,7(33) me një periudhë 33, dhe kështu me radhë 0,7(333), 0.7 (3333), ...Gjithashtu me radhë fraksion periodik 0.73333... mund ta shikoni në këtë mënyrë: 0.733 (3), ose 0.73 (333), etj. Këtu, për të shmangur paqartësitë dhe mospërputhjet, ne biem dakord të konsiderojmë si periodë të një thyese dhjetore më të shkurtër nga të gjitha sekuencat e mundshme të shifrave të përsëritura, dhe duke filluar nga pozicioni më i afërt në pikën dhjetore. Domethënë, perioda e thyesës dhjetore 0,73333... do të konsiderohet sekuencë me një shifër 3, dhe periodiciteti fillon nga pozicioni i dytë pas presjes dhjetore, pra 0,73333...=0,7(3). Shembull tjetër: thyesa periodike 4.7412121212... ka periodë 12, periodiciteti fillon nga shifra e tretë pas presjes dhjetore, pra 4.7412121212...=4.74(12).
Thyesat periodike dhjetore të pafundme fitohen duke i kthyer në thyesa dhjetore thyesat e zakonshme, emëruesit e të cilëve përmbajnë faktorët kryesorë, të ndryshme nga 2 dhe 5.
Këtu vlen të përmenden thyesat periodike me një periudhë 9. Le të japim shembuj të thyesave të tilla: 6.43(9) , 27, (9) . Këto thyesa janë një tjetër shënim për thyesat periodike me periudhë 0, dhe zakonisht zëvendësohen nga thyesat periodike me periodë 0. Për ta bërë këtë, periudha 9 zëvendësohet me periodën 0, dhe vlera e shifrës tjetër më të lartë rritet me një. Për shembull, një thyesë me pikën 9 të formës 7.24(9) zëvendësohet nga një thyesë periodike me pikën 0 të formës 7.25(0) ose një thyesë dhjetore përfundimtare e barabartë 7.25. Një shembull tjetër: 4,(9)=5,(0)=5. Barazia e një thyese me periodën 9 dhe e thyesës përkatëse me periodën 0 përcaktohet lehtësisht pasi të zëvendësohen këto thyesa dhjetore me thyesa të zakonshme të barabarta.
Së fundi, le t'i hedhim një vështrim më të afërt thyesave dhjetore të pafundme, të cilat nuk përmbajnë një sekuencë shifrash që përsëriten pafundësisht. Ato quhen jo periodike.
Përkufizimi.
Dhjetore jo të përsëritura(ose thjesht thyesat jo periodike ) janë thyesa dhjetore të pafundme që nuk kanë pikë.
Ndonjëherë thyesat jo periodike kanë një formë të ngjashme me atë të thyesave periodike, për shembull, 8.02002000200002... është një thyesë jo periodike. Në këto raste, duhet të jeni veçanërisht të kujdesshëm për të vënë re ndryshimin.
Vini re se thyesat joperiodike nuk shndërrohen në thyesa të zakonshme të pafundme, jo periodike, paraqesin numra iracionalë.
Veprimet me dhjetore
Një nga veprimet me thyesat dhjetore është krahasimi, dhe janë përcaktuar edhe katër funksionet bazë aritmetike. veprimet me dhjetore: mbledhje, zbritje, shumëzim dhe pjesëtim. Le të shqyrtojmë veçmas secilin nga veprimet me thyesa dhjetore.
Krahasimi i numrave dhjetorë në thelb bazuar në krahasimin e thyesave të zakonshme që korrespondojnë me thyesat dhjetore që krahasohen. Sidoqoftë, shndërrimi i thyesave dhjetore në thyesa të zakonshme është një proces mjaft i mundimshëm dhe fraksionet e pafundme jo periodike nuk mund të përfaqësohen si një fraksion i zakonshëm, kështu që është i përshtatshëm të përdoret një krahasim vend pas shifror i thyesave dhjetore. Krahasimi në vend i thyesave dhjetore është i ngjashëm me krahasimin e numrave natyrorë. Për informacion më të detajuar, ju rekomandojmë të studioni materialin në artikull: krahasimi i thyesave dhjetore, rregulla, shembuj, zgjidhje.
Le të kalojmë në hapin tjetër - duke shumëzuar numrat dhjetorë. Shumëzimi i thyesave dhjetore të fundme kryhet në mënyrë të ngjashme me zbritjen e thyesave dhjetore, rregullat, shembujt, zgjidhjet e shumëzimit me një kolonë numrash natyrorë. Në rastin e thyesave periodike, shumëzimi mund të reduktohet në shumëzim të thyesave të zakonshme. Nga ana tjetër, shumëzimi i thyesave dhjetore të pafundme jo periodike pas rrumbullakimit të tyre reduktohet në shumëzimin e thyesave dhjetore të fundme. Ne rekomandojmë për studim të mëtejshëm materialin në artikull: shumëzimin e thyesave dhjetore, rregulla, shembuj, zgjidhje.
Numrat dhjetorë në një rreze koordinative
Ekziston një korrespondencë një-për-një midis pikave dhe numrave dhjetorë.
Le të kuptojmë se si janë ndërtuar pikat në rrezen e koordinatave që korrespondojnë me një fraksion dhjetor të caktuar.
Mund të zëvendësojmë thyesat dhjetore të fundme dhe thyesat dhjetore periodike të pafundme me thyesa të zakonshme të barabarta, dhe më pas të ndërtojmë thyesat e zakonshme përkatëse në rrezen e koordinatave. Për shembull, thyesa dhjetore 1.4 korrespondon me thyesën e përbashkët 14/10, kështu që pika me koordinatë 1.4 hiqet nga origjina në drejtim pozitiv në 14 segmente të barabarta me një të dhjetën e një segmenti njësi.
Thyesat dhjetore mund të shënohen në një rreze koordinative, duke filluar nga zbërthimi i një thyese dhjetore të caktuar në shifra. Për shembull, le të na duhet të ndërtojmë një pikë me koordinatën 16.3007, pasi 16.3007=16+0.3+0.0007, pastaj në këtë pikë ju mund të arrini atje duke hequr në mënyrë sekuenciale nga origjina 16 segmente njësi, 3 segmente gjatësia e të cilëve është e barabartë me një të dhjetën e një segmenti njësi dhe 7 segmente, gjatësia e të cilëve është e barabartë me një të dhjetën e mijëtën e një segmenti njësi.
Kjo mënyrë ndërtimi numra dhjetorë në rreze koordinative ju lejon të afroheni sa të doni pikës që i korrespondon thyesës dhjetore të pafundme.
Ndonjëherë është e mundur të vizatohet saktësisht pika që korrespondon me një fraksion dhjetor të pafund. Për shembull, 
, atëherë kjo thyesë dhjetore e pafundme 1.41421... korrespondon me një pikë rreze koordinative, i hequr nga origjina me gjatësinë e diagonales së një katrori me brinjë prej 1 segmenti njësi.
Procesi i kundërt i marrjes së thyesës dhjetore që korrespondon me një pikë të caktuar në një rreze koordinative është i ashtuquajturi matja dhjetore e një segmenti. Le të kuptojmë se si bëhet.
Le të jetë detyra jonë të arrijmë nga origjina në një pikë të caktuar të vijës së koordinatave (ose t'i afrohemi pafundësisht nëse nuk mund ta arrijmë atë). Me matjen dhjetore të një segmenti, në mënyrë sekuenciale mund të heqim nga origjina çdo numër segmentesh njësi, pastaj segmente gjatësia e të cilëve është e barabartë me një të dhjetën e njësisë, pastaj segmentet gjatësia e të cilëve është e barabartë me një të qindtën e njësisë, etj. Duke regjistruar numrin e segmenteve të secilës gjatësi të vendosur mënjanë, marrim thyesën dhjetore që korrespondon me një pikë të caktuar në rrezen koordinative.
Për shembull, për të arritur në pikën M në figurën e mësipërme, duhet të lini mënjanë 1 segment njësi dhe 4 segmente, gjatësia e të cilave është e barabartë me një të dhjetën e njësisë. Kështu, pika M i përgjigjet thyesës dhjetore 1.4.
Është e qartë se pikat e rrezes së koordinatave që nuk mund të arrihen në procesin e matjes dhjetore korrespondojnë me thyesa dhjetore të pafundme.
Referencat.
- Matematika: tekst shkollor për klasën e 5-të. arsimi i përgjithshëm institucionet / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - Botimi 21, i fshirë. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 f.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
- Matematika. Klasa e 6-të: arsimore. për arsimin e përgjithshëm institucionet / [N. Ya. Vilenkin dhe të tjerët]. - Botimi i 22-të, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 f.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
- Algjebra: teksti shkollor për klasën e 8-të. arsimi i përgjithshëm institucionet / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; redaktuar nga S. A. Telyakovsky. - botimi i 16-të. - M.: Arsimi, 2008. - 271 f. : i sëmurë. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematikë (një manual për ata që hyjnë në shkollat teknike): Proc. shtesa.- M.; Më e lartë shkolla, 1984.-351 f., ill.
Dihet se nëse emëruesi n fraksion i pareduktueshëm në të tijën zgjerim kanonik ka një faktor të thjeshtë jo të barabartë me 2 dhe 5, atëherë kjo thyesë nuk mund të paraqitet si një thyesë dhjetore e fundme. Nëse përpiqemi në këtë rast të shkruajmë thyesën origjinale të pakësueshme si dhjetore, duke e pjesëtuar numëruesin me emëruesin, atëherë procesi i pjesëtimit nuk mund të përfundojë, sepse nëse do të plotësohej pas një numri të caktuar hapash, do të merrnim një thyesë dhjetore të fundme, e cila bie ndesh me teoremën e provuar më parë. Pra, në këtë rast shënimi dhjetor i një numri racional pozitiv është A= duket të jetë një thyesë e pafundme.
Për shembull, fraksioni = 0,3636... . Është e lehtë të vërehet se mbetjet kur pjesëtohet 4 me 11 përsëriten periodikisht, prandaj, numrat dhjetorë do të përsëriten periodikisht, d.m.th. rezulton thyesë dhjetore periodike të pafundme, e cila mund të shkruhet si 0,(36).
Numrat 3 dhe 6 që përsëriten periodikisht formojnë një pikë. Mund të rezultojë se ka disa shifra midis pikës dhjetore dhe fillimit të periudhës së parë. Këta numra formojnë paraperiudhën. Për shembull,
0.1931818... Procesi i pjesëtimit të 17 me 88 është i pafund. Numrat 1, 9, 3 formojnë paraperiudhën; 1, 8 - periudha. Shembujt që kemi shqyrtuar pasqyrojnë një model, d.m.th. ndonjë pozitiv numër racional e përfaqësuar ose si një thyesë dhjetore periodike e fundme ose e pafundme.
Teorema 1. Le të jetë thyesa e zakonshme e pakalueshme në zgjerimin kanonik të emëruesit nështë një faktor kryesor i ndryshëm nga 2 dhe 5. Atëherë thyesa e përbashkët mund të paraqitet si një thyesë dhjetore periodike e pafundme.
Dëshmi. Ne tashmë e dimë se procesi i pjesëtimit të një numri natyror m në një numër natyror n do të jetë i pafund. Le të tregojmë se do të jetë periodik. Në fakt, kur ndahet m në n bilancet që rezultojnë do të jenë më të vogla n, ato. numrat e formës 1, 2, ..., ( n– 1), nga e cila është e qartë se numri i mbetjeve të ndryshme është i fundëm dhe për këtë arsye, duke filluar nga një hap i caktuar, do të përsëritet një pjesë e mbetur, e cila do të sjellë përsëritjen e numrave dhjetorë të herësit dhe të thyesës dhjetore të pafundme. bëhet periodik.
Dy teorema të tjera vlejnë.
Teorema 2. Nëse zgjerimi i emëruesit të një thyese të pareduktueshme në faktorë të thjeshtë nuk përfshin numrat 2 dhe 5, atëherë kur kjo thyesë shndërrohet në një thyesë dhjetore të pafundme, do të fitohet një thyesë e pastër periodike, d.m.th. një thyesë periudha e së cilës fillon menjëherë pas presjes dhjetore.
Teorema 3. Nëse zgjerimi i emëruesit përfshin faktorët 2 (ose 5) ose të dy, atëherë thyesa periodike e pafundme do të përzihet, d.m.th. ndërmjet pikës dhjetore dhe fillimit të periudhës do të ketë disa shifra (paraperiudha), përkatësisht sa më i madhi nga eksponentët e faktorëve 2 dhe 5.
Teoremat 2 dhe 3 propozohen të vërtetohen nga lexuesi në mënyrë të pavarur.
28. Metodat e kalimit nga periodike e pafundme
thyesat dhjetore në thyesat e zakonshme
Le të jepet një thyesë periodike A= 0, (4), d.m.th. 0,4444... .
Le të shumëzohemi A nga 10, marrim
10A= 4,444…4…Þ 10 A = 4 + 0,444….
ato. 10 A = 4 + A, kemi marrë një ekuacion për A, duke e zgjidhur atë, marrim: 9 A= 4 Þ A = .
Vëmë re se 4 është edhe numëruesi i thyesës që rezulton dhe periudha e thyesës 0,(4).
Rregulli shndërrimi i një thyese të pastër periodike në një thyesë të zakonshme formulohet si më poshtë: numëruesi i thyesës është i barabartë me periodën, dhe emëruesi përbëhet nga i njëjti numër nëntësh sa ka shifra në periudhën e thyesës.
Le ta vërtetojmë këtë rregull për një fraksion, periudha e së cilës përbëhet nga n
A= . Le të shumëzohemi A nga 10 n, marrim:
10n × A = 
= + 0, ;
10n × A = + a;
(10n – 1) A = Þ a = = .
Pra, rregulli i formuluar më parë është vërtetuar për çdo fraksion periodik të pastër.
Tani le të japim një thyesë A= 0.605 (43) - periodike e përzier. Le të shumohemi A me 10 me të njëjtin tregues, sa shifra janë në paraperiudhë, d.m.th. nga 10 3, marrim
10 3 × A= 605 + 0,(43) Þ 10 3 × A = 605 + = 605 + = = 
,
ato. 10 3 × A= .
Rregulli shndërrimi i një thyese periodike të përzier në një thyesë të zakonshme formulohet si më poshtë: numëruesi i thyesës është i barabartë me diferencën midis numrit të shkruar me shifra para fillimit të periudhës së dytë dhe numrit të shkruar me shifra përpara fillimit të periudhës së parë. , emëruesi përbëhet nga numri i nëntëve i barabartë me numrin e shifrave në periudhë dhe numri i tillë i zeros sa shifra ka para fillimit të periudhës së parë.
Le ta vërtetojmë tani këtë rregull për një thyesë paraperiudha e së cilës përbëhet nga n numrat, dhe periudha është nga për të numrat Le të jepet një thyesë periodike
Le të shënojmë V= ; r= ,
Me= 
; Pastaj Me=në × 10k + r.
Le të shumëzohemi A me 10 me një eksponent të tillë sa shifra janë në paraperiudhë, d.m.th. nga 10 n, marrim:
A× 10 n = + 
.
Duke marrë parasysh shënimet e paraqitura më sipër, ne shkruajmë:
a× 10n= V+ .
Pra, rregulli i formuluar më sipër është vërtetuar për çdo fraksion periodik të përzier.
Çdo thyesë dhjetore periodike e pafundme është një formë e shkrimit të një numri racional.
Për hir të konsistencës, ndonjëherë një dhjetore e fundme konsiderohet gjithashtu një dhjetore periodike e pafundme me periudhën "zero". Për shembull, 0,27 = 0,27000...; 10.567 = 10.567000...; 3 = 3000... .
Tani pohimi i mëposhtëm bëhet i vërtetë: çdo numër racional mund (dhe në një mënyrë unike) të shprehet si një thyesë dhjetore periodike e pafundme, dhe çdo thyesë dhjetore periodike e pafundme shpreh saktësisht një numër racional (thyesat dhjetore periodike me një periudhë 9 nuk konsiderohen ).
Tashmë në shkollën fillore, nxënësit janë të ekspozuar ndaj thyesave. Dhe pastaj shfaqen në çdo temë. Ju nuk mund të harroni veprimet me këto numra. Prandaj, duhet të dini të gjitha informacionet për thyesat e zakonshme dhe dhjetore. Këto koncepte nuk janë të komplikuara, gjëja kryesore është të kuptoni gjithçka në rregull.
Pse nevojiten thyesat?
Bota rreth nesh përbëhet nga objekte të tëra. Prandaj, nuk ka nevojë për aksione. Por jetën e përditshme vazhdimisht i shtyn njerëzit të punojnë me pjesë të sendeve dhe sendeve.
Për shembull, çokollata përbëhet nga disa pjesë. Konsideroni një situatë ku pllaka e tij formohet nga dymbëdhjetë drejtkëndësha. Nëse e ndani në dysh, merrni 6 pjesë. Mund të ndahet lehtësisht në tre. Por nuk do të jetë e mundur t'u jepni pesë personave një numër të plotë feta çokollate.
Nga rruga, këto feta janë tashmë fraksione. Dhe ndarja e tyre e mëtejshme çon në shfaqjen e numrave më kompleksë.
Çfarë është një "fraksion"?
Ky është një numër i përbërë nga pjesë të një njësie. Nga pamja e jashtme, duket si dy numra të ndarë nga një horizontale ose e pjerrët. Kjo veçori quhet fraksionale. Numri i shkruar në krye (majtas) quhet numërues. Ajo që është në fund (djathtas) është emëruesi.
Në thelb pikë dhjetore rezulton të jetë një shenjë ndarjeje. Kjo do të thotë, numëruesi mund të quhet divident, dhe emëruesi mund të quhet pjesëtues.
Cilat thyesa ka?
Në matematikë ekzistojnë vetëm dy lloje: thyesat e zakonshme dhe dhjetore. Nxënësit e shkollës takohen për herë të parë në shkollën fillore, duke i quajtur thjesht "fraksione". Kjo e fundit do të mësohet në klasën e 5-të. Pikërisht atëherë shfaqen këta emra.
Thyesat e zakonshme janë të gjitha ato që shkruhen si dy numra të ndarë me një rresht. Për shembull, 4/7. Një dhjetor është një numër në të cilin pjesa thyesore ka një shënim pozicionor dhe ndahet nga numri i plotë me presje. Për shembull, 4.7. Nxënësit duhet të kuptojnë qartë se dy shembujt e dhënë janë numra krejtësisht të ndryshëm.
Çdo thyesë e thjeshtë mund të shkruhet në formë dhjetore. Kjo deklaratë është pothuajse gjithmonë e vërtetë në drejtim i kundërt. Ka rregulla që ju lejojnë të shkruani një thyesë dhjetore si një thyesë e zakonshme.
Çfarë nëntipesh kanë këto lloj thyesash?
Është më mirë të filloni në renditja kronologjike, pasi ato janë duke u studiuar. Thyesat e zakonshme janë të parat. Midis tyre, mund të dallohen 5 nënspecie.
E sakte. Numëruesi i tij është gjithmonë më i vogël se emëruesi i tij.
E gabuar. Numëruesi i tij është më i madh ose i barabartë me emëruesin e tij.
E reduktueshme/pa reduktueshme. Mund të dalë ose e drejtë ose e gabuar. Një tjetër gjë e rëndësishme është nëse numëruesi dhe emëruesi kanë faktorë të përbashkët. Nëse ka, atëherë është e nevojshme të ndani të dy pjesët e fraksionit me to, domethënë ta zvogëloni atë.
Të përziera. Një numër i plotë i caktohet pjesës së tij të zakonshme të rregullt (të parregullt) thyesore. Për më tepër, është gjithmonë në të majtë.
Kompozit. Formohet nga dy fraksione të ndara me njëra-tjetrën. Kjo do të thotë, ai përmban tre rreshta të pjesshëm në të njëjtën kohë.
Thyesat dhjetore kanë vetëm dy nëntipe:
i fundëm, pra ai, pjesa thyesore e të cilit është e kufizuar (ka fund);
i pafund - një numër, shifrat e të cilit pas presjes dhjetore nuk mbarojnë (ato mund të shkruhen pafundësisht).
Si të konvertohet një thyesë dhjetore në një thyesë të zakonshme?
Nëse ky është një numër i fundëm, atëherë zbatohet një asociacion bazuar në rregullin - siç dëgjoj, kështu shkruaj. Kjo do të thotë, duhet ta lexoni saktë dhe ta shkruani, por pa presje, por me një shirit të pjesshëm.
Si një aluzion për emëruesin e kërkuar, duhet të mbani mend se është gjithmonë një dhe disa zero. Ju duhet të shkruani aq shumë nga këto të fundit sa shifra ka në pjesën thyesore të numrit në fjalë.
Si të shndërroni thyesat dhjetore në thyesa të zakonshme nëse pjesa e tyre e plotë mungon, domethënë e barabartë me zero? Për shembull, 0.9 ose 0.05. Pas aplikimit të rregullit të specifikuar, rezulton se ju duhet të shkruani zero numra të plotë. Por nuk tregohet. Mbetet vetëm të shënohen pjesët thyesore. Numri i parë do të ketë emërues 10, i dyti do të ketë emërues 100. Pra, shembujt e dhënë do të kenë si përgjigje numrat e mëposhtëm: 9/10, 5/100. Për më tepër, rezulton se kjo e fundit mund të reduktohet me 5. Prandaj, rezultati për të duhet të shkruhet si 1/20.
Si mund ta shndërroni një thyesë dhjetore në një thyesë të zakonshme nëse pjesa e saj e plotë është e ndryshme nga zero? Për shembull, 5.23 ose 13.00108. Në të dy shembujt lexohet e gjithë pjesa dhe shkruhet vlera e saj. Në rastin e parë është 5, në të dytën është 13. Pastaj duhet të kaloni në pjesën e pjesshme. I njëjti operacion supozohet të kryhet me ta. Numri i parë shfaqet 23/100, i dyti - 108/100000. Vlera e dytë duhet të reduktohet përsëri. Përgjigja duket si kjo thyesat e përziera: 5 23/100 dhe 13 27/25000.
Si të konvertohet një thyesë dhjetore e pafundme në një thyesë të zakonshme?
Nëse është jo periodike, atëherë një operacion i tillë nuk do të jetë i mundur. Ky fakt është për faktin se çdo thyesë dhjetore gjithmonë shndërrohet në një thyesë të fundme ose periodike.
E vetmja gjë që mund të bësh me një fraksion të tillë është ta rrumbullakosh atë. Por atëherë numri dhjetor do të jetë afërsisht i barabartë me atë të pafundme. Ajo tashmë mund të kthehet në një të zakonshme. Por procesi i kundërt: konvertimi në dhjetor nuk do të japë kurrë vlerën fillestare. Kjo do të thotë, thyesat e pafundme jo periodike nuk shndërrohen në thyesa të zakonshme. Kjo duhet të mbahet mend.
Si të shkruhet një thyesë periodike e pafundme si një thyesë e zakonshme?
Në këta numra, ka gjithmonë një ose më shumë shifra pas presjes dhjetore që përsëriten. Ata quhen një periudhë. Për shembull, 0.3 (3). Këtu "3" është në periudhë. Ato klasifikohen si racionale sepse mund të shndërrohen në thyesa të zakonshme.
Ata që kanë hasur në thyesa periodike e dinë se ato mund të jenë të pastra ose të përziera. Në rastin e parë, pika fillon menjëherë nga presja. Në të dytën, pjesa thyesore fillon me disa numra dhe më pas fillon përsëritja.
Rregulli me të cilin duhet të shkruani një dhjetore të pafundme si një thyesë e zakonshme do të jetë i ndryshëm për dy llojet e numrave të treguar. Është mjaft e lehtë të shkruash thyesat periodike të pastra si thyesa të zakonshme. Ashtu si me ato të fundme, ato duhet të konvertohen: shkruani periudhën në numërues dhe emëruesi do të jetë numri 9, i përsëritur aq herë sa numri i shifrave që përmban perioda.
Për shembull, 0, (5). Numri nuk ka një pjesë të plotë, kështu që duhet të filloni menjëherë me pjesën thyesore. Shkruani 5 si numërues dhe 9 si emërues, domethënë, përgjigja do të jetë thyesa 5/9.
Rregulli se si të shkruhet një thyesë e zakonshme periodike dhjetore që është e përzier.
Shikoni gjatësinë e periudhës. Kaq 9 do të ketë emëruesi.
Shkruani emëruesin: fillimisht nëntë, pastaj zero.
Për të përcaktuar numëruesin, duhet të shkruani ndryshimin e dy numrave. Të gjithë numrat pas presjes dhjetore do të minimizohen, së bashku me pikën. E zbritshme - është pa periudhë.
Për shembull, 0.5 (8) - shkruani thyesën dhjetore periodike si një thyesë e zakonshme. Pjesa thyesore para pikës përmban një shifër. Pra, do të ketë një zero. Ekziston gjithashtu vetëm një numër në periudhën - 8. Kjo do të thotë, ka vetëm një nëntë. Kjo do të thotë, duhet të shkruani 90 në emërues.
Për të përcaktuar numëruesin, duhet të zbrisni 5 nga 58. Rezulton 53. Për shembull, përgjigja duhet të shkruhet si 53/90.
Si shndërrohen thyesat në dhjetore?
Opsioni më i thjeshtë është një numër, emëruesi i të cilit është numri 10, 100, etj. Atëherë emëruesi thjesht hidhet poshtë, dhe midis thyesore dhe e tërë në pjesë shtohet një presje.
Ka situata kur emëruesi kthehet lehtësisht në 10, 100, etj. Për shembull, numrat 5, 20, 25. Mjafton t'i shumëzoni me 2, 5 dhe 4, përkatësisht. Thjesht duhet të shumëzoni jo vetëm emëruesin, por edhe numëruesin me të njëjtin numër.
Për të gjitha rastet e tjera, një rregull i thjeshtë është i dobishëm: ndani numëruesin me emëruesin. Në këtë rast, mund të merrni dy përgjigje të mundshme: një thyesë dhjetore të fundme ose periodike.
Veprimet me thyesat e zakonshme
Mbledhja dhe zbritja
Nxënësit njihen me to më herët se të tjerët. Dhe së pari për thyesat emërues të njëjtë, dhe më pas të ndryshme. Rregulla të përgjithshme mund të reduktohet në një plan të tillë.
Gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët të emëruesve.
Shkruani shumëzues shtesë për të gjitha thyesat e zakonshme.
Shumëzoni numëruesit dhe emëruesit me faktorët e specifikuar për ta.
Shtoni (zbrisni) numëruesit e thyesave dhe lini emëruesin e përbashkët të pandryshuar.
Nëse numëruesi i minuend-it është më i vogël se nëntrupi, atëherë duhet të zbulojmë nëse kemi një numër të përzier apo një thyesë të duhur.
Në rastin e parë, duhet të huazoni një nga e gjithë pjesa. Shtoni emëruesin në numëruesin e thyesës. Dhe pastaj bëni zbritjen.
Në të dytën, është e nevojshme të zbatohet rregulli i zbritjes së një numri më të madh nga një numër më i vogël. Kjo do të thotë, nga moduli i subtrahend, zbrit modulin e minuend, dhe si përgjigje vendosni një shenjë "-".
Shikoni me kujdes rezultatin e mbledhjes (zbritjes). Nëse merrni një fraksion të papërshtatshëm, atëherë duhet të zgjidhni të gjithë pjesën. Domethënë, ndani numëruesin me emëruesin.
Shumëzimi dhe pjesëtimi
Për t'i kryer ato, fraksionet nuk kanë nevojë të reduktohen në emërues i përbashkët. Kjo e bën më të lehtë kryerjen e veprimeve. Por ata ende kërkojnë që ju të ndiqni rregullat.
Kur shumëzoni thyesat, duhet të shikoni numrat në numërues dhe emërues. Nëse ka ndonjë numërues dhe emërues shumëzues i përbashkët, atëherë ato mund të reduktohen.
Shumëzoni numëruesit.
Shumëzoni emëruesit.
Nëse rezultati është një fraksion i reduktueshëm, atëherë ai duhet të thjeshtohet përsëri.
Gjatë pjesëtimit, së pari duhet të zëvendësoni pjesëtimin me shumëzim, dhe pjesëtuesin (pjesën e dytë) me thyesën reciproke (ndërroni numëruesin dhe emëruesin).
Pastaj vazhdoni si me shumëzim (duke filluar nga pika 1).
Në detyrat ku duhet të shumëzoni (pjestoni) me një numër të plotë, ky i fundit duhet të shkruhet në formën thyesë e papërshtatshme. Kjo do të thotë, me një emërues 1. Pastaj veproni siç përshkruhet më sipër.
Veprimet me dhjetore
Mbledhja dhe zbritja
Sigurisht, gjithmonë mund të shndërroni një dhjetore në një thyesë. Dhe veproni sipas planit të përshkruar tashmë. Por ndonjëherë është më e përshtatshme të veprosh pa këtë përkthim. Atëherë rregullat për mbledhjen dhe zbritjen e tyre do të jenë saktësisht të njëjta.
Barazoni numrin e shifrave në pjesën thyesore të numrit, domethënë pas presjes dhjetore. Shtoni në të numrin e munguar të zerave.
Shkruani thyesat në mënyrë që presja të jetë poshtë presjes.
Shtoni (zbrisni) si numra natyrorë.
Hiq presjen.
Shumëzimi dhe pjesëtimi
Është e rëndësishme që nuk keni nevojë të shtoni zero këtu. Thyesat duhet të lihen siç janë dhënë në shembull. Dhe pastaj shkoni sipas planit.
Për të shumëzuar, duhet të shkruani thyesat njëra nën tjetrën, duke injoruar presjet.
Shumëzoni si numra natyrorë.
Vendosni një presje në përgjigje, duke numëruar nga fundi i djathtë i përgjigjes aq shifra sa janë në pjesët thyesore të të dy faktorëve.
Për të ndarë fillimisht duhet të konvertoni pjesëtuesin: ta bëni atë numri natyror. Kjo do të thotë, shumëzojeni atë me 10, 100, etj., në varësi të numrit të shifrave në pjesën thyesore të pjesëtuesit.
Shumëzoni dividentin me të njëjtin numër.
Pjesëtoni një thyesë dhjetore me një numër natyror.
Vendosni presje në përgjigjen tuaj në momentin kur përfundon pjesëtimi i të gjithë pjesës.
Po sikur një shembull të përmbajë të dy llojet e thyesave?
Po, në matematikë ka shpesh shembuj në të cilët duhet të kryeni veprime në thyesa të zakonshme dhe dhjetore. Në detyra të tilla ka dy zgjidhje të mundshme. Ju duhet të peshoni në mënyrë objektive numrat dhe të zgjidhni atë optimalin.
Mënyra e parë: përfaqësoni numrat dhjetorë të zakonshëm
Është i përshtatshëm nëse, kur ndani ose përktheni, merrni thyesat përfundimtare. Nëse të paktën një numër jep një pjesë periodike, atëherë kjo teknikë është e ndaluar. Prandaj, edhe nëse nuk ju pëlqen të punoni me fraksione të zakonshme, do t'ju duhet t'i numëroni ato.
Mënyra e dytë: shkruaj thyesat dhjetore si të zakonshme
Kjo teknikë rezulton të jetë e përshtatshme nëse pjesa pas pikës dhjetore përmban 1-2 shifra. Nëse ka më shumë prej tyre, mund të merrni një fraksion të zakonshëm shumë të madh dhe shënimet dhjetore do t'ju lejojë të llogarisni detyrën më shpejt dhe më lehtë. Prandaj, gjithmonë duhet të vlerësoni me maturi detyrën dhe të zgjidhni metodën më të thjeshtë të zgjidhjes.
Se nëse e njohin teorinë e serive, atëherë pa të nuk mund të futen koncepte metamatike. Për më tepër, këta njerëz besojnë se kushdo që nuk e përdor gjerësisht është injorant. Mendimet e këtyre njerëzve le t'ia lëmë ndërgjegjes së tyre. Le të kuptojmë më mirë se çfarë është një thyesë periodike e pafundme dhe si duhet ta trajtojmë ne, të paarsimuarit që nuk njohim kufij.
Le të ndajmë 237 me 5. Jo, nuk keni nevojë të hapni Llogaritësin. Le të kujtojmë më mirë shkollën e mesme (apo edhe fillore?) dhe thjesht ta ndajmë atë në një kolonë:
Epo, ju kujtohet? Atëherë mund të filloni biznesin.
Koncepti i "fraksionit" në matematikë ka dy kuptime:
- Numër jo i plotë.
- Forma jo e plotë.
- E thjeshtë (ose vertikale) thyesa, si 1/2 ose 237/5.
- Thyesat dhjetore, të tilla si 0,5 ose 47,4.
Në matematikë, në përgjithësi, numërimi dhjetor është pranuar gjithmonë, dhe për këtë arsye thyesat dhjetore janë më të përshtatshme se ato të thjeshta, domethënë një thyesë me emërues dhjetor(Vladimir Dal. fjalor të gjallë Gjuha e madhe ruse. "Dhjetë").Dhe nëse po, atëherë unë dua ta bëj çdo thyesë vertikale një dhjetore ("horizontale"). Dhe për ta bërë këtë ju thjesht duhet të ndani numëruesin me emëruesin. Le të marrim, për shembull, thyesën 1/3 dhe të përpiqemi të bëjmë një dhjetore prej saj.
Edhe një person krejtësisht i paarsimuar do ta vërejë: sado kohë të zgjasë, nuk do të ndahet: trenjakët do të vazhdojnë të shfaqen pafundësisht. Pra, le ta shkruajmë atë: 0.33... Ne nënkuptojmë "numrin që fitohet kur pjesëtoni 1 me 3", ose, shkurt, "një e treta". Natyrisht, një e treta është një thyesë në kuptimin e parë të fjalës, dhe "1/3" dhe "0.33..." janë thyesa në kuptimin e dytë të fjalës, d.m.th. formularët e hyrjes një numër që ndodhet në vijën numerike në një distancë të tillë nga zero, saqë nëse e lini mënjanë tre herë, ju merrni një.
Tani le të përpiqemi të ndajmë 5 me 6:
Le ta shkruajmë përsëri: 0,833... Ne nënkuptojmë "numrin që merrni kur pjesëtoni 5 me 6", ose, shkurt, "pesë të gjashtat". Megjithatë, këtu lind konfuzioni: a do të thotë kjo 0.83333 (dhe më pas trinjakët përsëriten), apo 0.833833 (dhe më pas përsëritet 833). Prandaj, shënimi me elipsë nuk na përshtatet: nuk është e qartë se ku fillon pjesa përsëritëse (quhet "periudha"). Prandaj, do ta vendosim periudhën në kllapa, si kjo: 0,(3); 0.8 (3).
0, (3) jo e lehtë barazohet një e treta, kjo është ka një e treta, sepse ne e shpikëm posaçërisht këtë shënim për të paraqitur këtë numër si një thyesë dhjetore.
Kjo hyrje quhet thyesë periodike e pafundme, ose thjesht një fraksion periodik.
Sa herë që pjesëtojmë një numër me një tjetër, nëse nuk marrim një thyesë të fundme, marrim një thyesë periodike të pafundme, domethënë, një ditë sekuencat e numrave do të fillojnë patjetër të përsëriten. Pse është kështu, mund të kuptohet thjesht në mënyrë spekulative duke parë me kujdes algoritmin e ndarjes së kolonave:
Në vendet e shënuara me shenja, nuk mund të merrni rezultate gjatë gjithë kohës çifte të ndryshme numrat (sepse, në parim, ka një numër të kufizuar çiftesh të tilla). Dhe sapo të shfaqet një palë e tillë, e cila tashmë ekzistonte, ndryshimi do të jetë gjithashtu i njëjtë - dhe më pas i gjithë procesi do të fillojë të përsëritet. Nuk ka nevojë ta kontrolloni këtë, sepse është mjaft e qartë se nëse përsëritni të njëjtat veprime, rezultatet do të jenë të njëjta.
Tani që e kuptojmë mirë thelbi thyesë periodike, le të përpiqemi të shumëzojmë një të tretën me tre. Po, sigurisht, do të merrni një, por le ta shkruajmë këtë thyesë në formë dhjetore dhe ta shumëzojmë në një kolonë (paqartësia nuk lind këtu për shkak të elipsës, pasi të gjithë numrat pas presjes dhjetore janë të njëjtë):
Dhe përsëri vërejmë se nëntë, nëntë dhe nëntë do të shfaqen pas presjes dhjetore gjatë gjithë kohës. Kjo do të thotë, duke përdorur shënimin e kllapave të kundërta, marrim 0, (9). Meqenëse ne e dimë se prodhimi i një të tretës dhe tre është një, atëherë 0.(9) është një mënyrë kaq fantastike për të shkruar një. Megjithatë, është e papërshtatshme të përdoret kjo formë regjistrimi, sepse një njësi mund të shkruhet në mënyrë të përsosur pa përdorur një pikë, si kjo: 1.
Siç mund ta shihni, 0, (9) është një nga ato raste kur numri i plotë shkruhet në formë thyese, si 3/3 ose 7.0. Kjo do të thotë, 0,(9) është një thyesë vetëm në kuptimin e dytë të fjalës, por jo në të parën.
Pra, pa asnjë kufizim apo seri, ne kuptuam se çfarë është 0.(9) dhe si ta trajtojmë atë.
Por le të kujtojmë akoma se në fakt ne jemi analizë të zgjuar dhe të studiuar. Në të vërtetë, është e vështirë të mohohet se:
Por, ndoshta, askush nuk do të argumentojë me faktin se:
E gjithë kjo, natyrisht, është e vërtetë. Në të vërtetë, 0, (9) është edhe shuma e serisë së reduktuar dhe e sinusit të dyfishtë të këndit të treguar, dhe logaritmi natyror Numrat e Euler-it.
Por as njëra, as tjetra, as e treta nuk është përkufizim.
Të thuash se 0,(9) është shuma e serisë së pafundme 9/(10 n), me n të barabartë me një, është e njëjtë sikur të thuash se sinusi është shuma e serisë së pafundme të Taylor:
Kjo absolutisht e drejtë, dhe kjo është fakti më i rëndësishëm për matematikën llogaritëse, por ky nuk është një përkufizim dhe, më e rëndësishmja, nuk e afron një person më afër të kuptuarit në thelb sinusit Thelbi i sinusit të një këndi të caktuar është se ai vetëm gjithçka qëndrim këndi i kundërt këmba në hipotenuzë.
Pra, një thyesë periodike është vetëm gjithçka një thyesë dhjetore që fitohet kur kur pjesëtohet me një kolonë i njëjti grup numrash do të përsëritet. Këtu nuk ka asnjë gjurmë analize.
Dhe këtu lind pyetja: nga vjen? fare morëm numrin 0,(9)? Çfarë ndajmë me çfarë me një kolonë për ta marrë atë? Në të vërtetë, nuk ka numra të tillë që kur ndahen në një kolonë, do të kishim nëntë që shfaqen pafundësisht. Por ne arritëm ta marrim këtë numër duke shumëzuar 0,(3) me 3 me një kolonë? Jo me të vërtetë. Në fund të fundit, ju duhet të shumëzoni nga e djathta në të majtë në mënyrë që të merrni parasysh saktë transferimet e shifrave, dhe ne e bëmë këtë nga e majta në të djathtë, duke përfituar me dinakëri nga fakti që transferimet nuk ndodhin askund gjithsesi. Prandaj, ligjshmëria e shkrimit të 0,(9) varet nga fakti nëse e njohim ligjshmërinë e një shumëzimi të tillë me një kolonë apo jo.
Prandaj, në përgjithësi mund të themi se shënimi 0,(9) është i pasaktë - dhe në një masë të caktuar është i drejtë. Megjithatë, duke qenë se shënimi a ,(b ) pranohet, është thjesht e shëmtuar ta braktisësh atë kur b = 9; Është më mirë të vendosni se çfarë do të thotë një hyrje e tillë. Pra, nëse në përgjithësi pranojmë shënimin 0,(9), atëherë ky shënim, natyrisht, nënkupton numrin një.
Mbetet vetëm të shtojmë se nëse do të përdorim, të themi, sistemin e numrave tresh, atëherë kur pjesëtojmë me një kolonë prej një (1 3) me tre (10 3) do të merrnim 0.1 3 (lexoni "pika zero një e treta"), dhe kur pjesëtimi i një me dy do të ishte 0, (1) 3.
Pra, periodiciteti i një numri të fraksionit nuk është një karakteristikë objektive e një numri të fraksionit, por vetëm një efekt anësor i përdorimit të një ose një sistemi tjetër numrash.
Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve