Llogaritësi i shkurtesave të shumëzimit. Shndërrimi në dhjetore

Një shprehje algjebrike në të cilën, së bashku me veprimet e mbledhjes, zbritjes dhe shumëzimit, përdor edhe ndarjen në shprehje shkronjash, quhet shprehje algjebrike e pjesshme. Këto janë, për shembull, shprehjet

Thyesë algjebrike e quajmë shprehje algjebrike që ka formën e një herësi të pjesëtimit të dy shprehjeve algjebrike me numra të plotë (për shembull, monomë ose polinom). Këto janë, për shembull, shprehjet

E treta e shprehjeve).

Shndërrimet identike të shprehjeve algjebrike thyesore kanë për qëllim kryesisht paraqitjen e tyre në formën e një thyese algjebrike. Për të gjetur emëruesin e përbashkët, përdoret faktorizimi i emëruesve të thyesave - terma për të gjetur shumëfishin e tyre më të vogël të përbashkët. Kur zvogëloni fraksionet algjebrike, identiteti i rreptë i shprehjeve mund të cenohet: është e nevojshme të përjashtohen vlerat e sasive në të cilat faktori me të cilin bëhet zvogëlimi bëhet zero.

Le të japim shembuj të shndërrimeve identike të shprehjeve algjebrike thyesore.

Shembulli 1: Thjeshtoni një shprehje

Të gjithë termat mund të reduktohen në një emërues të përbashkët (është i përshtatshëm për të ndryshuar shenjën në emëruesin e termit të fundit dhe shenjën përpara tij):

Shprehja jonë është e barabartë me një për të gjitha vlerat, përveç këtyre vlerave, është e papërcaktuar dhe zvogëlimi i fraksionit është i paligjshëm).

Shembulli 2. Paraqisni shprehjen si thyesë algjebrike

Zgjidhje. Shprehja mund të merret si emërues i përbashkët. Ne gjejmë në mënyrë sekuenciale:

Ushtrime

1. Gjeni vlerat e shprehjeve algjebrike për vlerat e parametrave të specifikuara:

2. Faktorizoni.

Një shprehje fjalë për fjalë (ose shprehje e ndryshueshme) është një shprehje matematikore që përbëhet nga numra, shkronja dhe simbole matematikore. Për shembull, shprehja e mëposhtme është fjalë për fjalë:

a+b+4

Duke përdorur shprehjet alfabetike mund të shkruani ligje, formula, ekuacione dhe funksione. Aftësia për të manipuluar shprehjet e shkronjave është çelësi për njohjen e mirë të algjebrës dhe matematikës së lartë.

Çdo problem serioz në matematikë zbret në zgjidhjen e ekuacioneve. Dhe për të qenë në gjendje të zgjidhni ekuacionet, duhet të jeni në gjendje të punoni me shprehje fjalë për fjalë.

Për të punuar me shprehjet fjalë për fjalë, duhet të jeni të aftë për aritmetikën bazë: mbledhje, zbritje, shumëzim, pjesëtim, ligjet bazë të matematikës, thyesat, veprimet me thyesa, përmasat. Dhe jo vetëm studioni, por kuptoni tërësisht.

Përmbajtja e mësimit

Variablat

Shkronjat që përmbahen në shprehjet fjalë për fjalë quhen variablave. Për shembull, në shprehje a+b+ 4 variabla janë shkronja a Dhe b. Nëse zëvendësojmë ndonjë numër në vend të këtyre ndryshoreve, atëherë shprehja literale a+b+ 4 do të kthehet në një shprehje numerike, vlera e së cilës mund të gjendet.

Numrat që zëvendësohen me variabla quhen vlerat e variablave. Për shembull, le të ndryshojmë vlerat e variablave a Dhe b. Shenja e barabartë përdoret për të ndryshuar vlerat

a = 2, b = 3

Ne kemi ndryshuar vlerat e variablave a Dhe b. E ndryshueshme a caktuar një vlerë 2 , e ndryshueshme b caktuar një vlerë 3 . Si rezultat, shprehja fjalë për fjalë a+b+4 shndërrohet në një shprehje të rregullt numerike 2+3+4 vlera e të cilit mund të gjendet:

Kur variablat shumëzohen, ato shkruhen së bashku. Për shembull, regjistroni ab do të thotë njësoj si hyrja a×b. Nëse i zëvendësojmë variablat a Dhe b numrat 2 Dhe 3 , atëherë marrim 6

Ju gjithashtu mund të shkruani së bashku shumëzimin e një numri me një shprehje në kllapa. Për shembull, në vend të a×(b + c) mund të shkruhet a(b + c). Duke zbatuar ligjin e shpërndarjes së shumëzimit, marrim a(b + c)=ab+ac.

Shanset

Në shprehjet fjalë për fjalë shpesh mund të gjeni një shënim në të cilin një numër dhe një ndryshore shkruhen së bashku, për shembull 3a. Kjo është në fakt një stenografi për shumëzimin e numrit 3 me një ndryshore. a dhe kjo hyrje duket si 3×a .

Me fjalë të tjera, shprehja 3aështë prodhimi i numrit 3 dhe i ndryshores a. Numri 3 në këtë vepër thërrasin Koeficient. Ky koeficient tregon se sa herë do të rritet ndryshorja a. Kjo shprehje mund të lexohet si " a tre herë" ose "tri herë A", ose "rrit vlerën e një ndryshoreje a tre herë", por më së shpeshti lexohet si "tre a«

Për shembull, nëse ndryshorja a e barabartë me 5 , pastaj vlera e shprehjes 3a do të jetë e barabartë me 15.

3 × 5 = 15

Me fjalë të thjeshta, koeficienti është numri që shfaqet para shkronjës (përpara ndryshores).

Mund të ketë disa shkronja, për shembull 5abc. Këtu koeficienti është numri 5 . Ky koeficient tregon se prodhimi i variablave abc rritet pesëfish. Kjo shprehje mund të lexohet si " abc pesë herë" ose "të rrisë vlerën e shprehjes abc pesë herë" ose "pesë abc«.

Nëse në vend të variablave abc zëvendësoni numrat 2, 3 dhe 4, pastaj vlerën e shprehjes 5abc do të jetë i barabartë 120

5 × 2 × 3 × 4 = 120

Ju mund të imagjinoni mendërisht se si numrat 2, 3 dhe 4 u shumëzuan fillimisht, dhe vlera që rezulton u rrit pesëfish:

Shenja e koeficientit i referohet vetëm koeficientit dhe nuk vlen për variablat.

Merrni parasysh shprehjen −6b. Minus para koeficientit 6 , vlen vetëm për koeficientin 6 , dhe nuk i përket ndryshores b. Kuptimi i këtij fakti do t'ju lejojë të mos bëni gabime në të ardhmen me shenjat.

Le të gjejmë vlerën e shprehjes −6b në b = 3.

−6b −6×b. Për qartësi, le të shkruajmë shprehjen −6b në formë të zgjeruar dhe zëvendësoni vlerën e ndryshores b

−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18

Shembulli 2. Gjeni vlerën e një shprehjeje −6b në b = −5

Le të shkruajmë shprehjen −6b në formë të zgjeruar

−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30

Shembulli 3. Gjeni vlerën e një shprehjeje −5a+b në a = 3 Dhe b = 2

−5a+b kjo është një formë e shkurtër për −5 × a + b, pra për qartësi shkruajmë shprehjen −5×a+b në formë të zgjeruar dhe zëvendësoni vlerat e variablave a Dhe b

−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13

Ndonjëherë shkronjat shkruhen pa koeficient, për shembull a ose ab. Në këtë rast, koeficienti është uniteti:

por tradicionalisht njësia nuk shkruhet, kështu që ata thjesht shkruajnë a ose ab

Nëse ka një minus para shkronjës, atëherë koeficienti është një numër −1 . Për shembull, shprehja −a në fakt duket si −1a. Ky është prodhimi i minus një dhe ndryshores a. Doli kështu:

−1 × a = −1a

Këtu ka një kapje të vogël. Në shprehje −a shenjë minus përballë ndryshores a në të vërtetë i referohet një "njësie të padukshme" dhe jo një ndryshoreje a. Prandaj, duhet të jeni të kujdesshëm kur zgjidhni problemet.

Për shembull, nëse jepet shprehja −a dhe na kërkohet të gjejmë vlerën e tij në a = 2, më pas në shkollë zëvendësuam një dy në vend të një ndryshoreje a dhe mori një përgjigje −2 , pa u fokusuar shumë se si doli. Në fakt, minus një u shumëzua me numrin pozitiv 2

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × 2 = −2

Nëse jepet shprehja −a dhe ju duhet të gjeni vlerën e saj në a = −2, pastaj e zëvendësojmë −2 në vend të një ndryshoreje a

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × (−2) = 2

Për të shmangur gabimet, në fillim njësitë e padukshme mund të shkruhen në mënyrë eksplicite.

Shembulli 4. Gjeni vlerën e një shprehjeje abc në a=2 , b=3 Dhe c=4

Shprehje abc 1×a×b×c. Për qartësi, le të shkruajmë shprehjen abc a, b Dhe c

1 × a × b × c = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

Shembulli 5. Gjeni vlerën e një shprehjeje abc në a=−2 , b=−3 Dhe c=−4

Le të shkruajmë shprehjen abc në formë të zgjeruar dhe zëvendësoni vlerat e variablave a, b Dhe c

1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24

Shembulli 6. Gjeni vlerën e një shprehjeje − abc në a=3, b=5 dhe c=7

Shprehje − abc kjo është një formë e shkurtër për −1×a×b×c. Për qartësi, le të shkruajmë shprehjen − abc në formë të zgjeruar dhe zëvendësoni vlerat e variablave a, b Dhe c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105

Shembulli 7. Gjeni vlerën e një shprehjeje − abc në a=−2 , b=−4 dhe c=−3

Le të shkruajmë shprehjen − abc në formë të zgjeruar:

−abc = −1 × a × b × c

Le të zëvendësojmë vlerat e variablave a , b Dhe c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24

Si të përcaktohet koeficienti

Ndonjëherë ju duhet të zgjidhni një problem në të cilin duhet të përcaktoni koeficientin e një shprehjeje. Në parim, kjo detyrë është shumë e thjeshtë. Mjafton të jeni në gjendje të shumëzoni saktë numrat.

Për të përcaktuar koeficientin në një shprehje, duhet të shumëzoni veçmas numrat e përfshirë në këtë shprehje dhe veçmas të shumëzoni shkronjat. Faktori numerik që rezulton do të jetë koeficienti.

Shembulli 1. 7m×5a×(−3)×n

Shprehja përbëhet nga disa faktorë. Kjo mund të shihet qartë nëse e shkruani shprehjen në formë të zgjeruar. Domethënë veprat 7 m Dhe 5a shkruani në formë 7×m Dhe 5×a

7 × m × 5 × a × (−3) × n

Le të zbatojmë ligjin asociativ të shumëzimit, i cili ju lejon të shumëzoni faktorët në çdo rend. Domethënë, ne do të shumëzojmë veçmas numrat dhe veçmas do të shumëzojmë shkronjat (ndryshoret):

−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105 njeri

Koeficienti është −105 . Pas përfundimit, këshillohet të rregulloni pjesën e shkronjave sipas rendit alfabetik:

−105 paradite

Shembulli 2. Përcaktoni koeficientin në shprehje: −a×(−3)×2

−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

Koeficienti është 6.

Shembulli 3. Përcaktoni koeficientin në shprehje:

Le të shumëzojmë numrat dhe shkronjat veç e veç:

Koeficienti është −1. Ju lutemi vini re se njësia nuk është e shkruar, pasi është zakon të mos shkruhet koeficienti 1.

Këto detyra në dukje më të thjeshta mund të na bëjnë një shaka shumë mizore. Shpesh rezulton se shenja e koeficientit është vendosur gabimisht: ose mungon minusi ose, përkundrazi, është vendosur kot. Për të shmangur këto gabime të bezdisshme, duhet studiuar në një nivel të mirë.

Shtesat në shprehje fjalë për fjalë

Kur mblidhen disa numra, fitohet shuma e këtyre numrave. Numrat që shtojnë quhen shtesa. Mund të ketë disa terma, për shembull:

1 + 2 + 3 + 4 + 5

Kur një shprehje përbëhet nga terma, është shumë më e lehtë të vlerësohet, sepse shtimi është më i lehtë sesa zbritja. Por shprehja mund të përmbajë jo vetëm mbledhje, por edhe zbritje, për shembull:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

Në këtë shprehje, numrat 3 dhe 5 janë nënshtresa, jo shtesa. Por asgjë nuk na pengon të zëvendësojmë zbritjen me mbledhjen. Pastaj marrim përsëri një shprehje të përbërë nga terma:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

Nuk ka rëndësi që numrat −3 dhe −5 tani kanë një shenjë minus. Gjëja kryesore është që të gjithë numrat në këtë shprehje janë të lidhur me një shenjë shtesë, domethënë, shprehja është një shumë.

Të dyja shprehjet 1 + 2 − 3 + 4 − 5 Dhe 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) e barabartë me të njëjtën vlerë - minus një

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

Kështu, kuptimi i shprehjes nuk do të vuajë nëse diku e zëvendësojmë zbritjen me mbledhjen.

Ju gjithashtu mund të zëvendësoni zbritjen me mbledhjen në shprehje fjalë për fjalë. Për shembull, merrni parasysh shprehjen e mëposhtme:

7a + 6b − 3c + 2d − 4s

7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)

Për çdo vlerë të variablave a, b, c, d Dhe s shprehjet 7a + 6b − 3c + 2d − 4s Dhe 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) do të jetë e barabartë me të njëjtën vlerë.

Ju duhet të jeni të përgatitur për faktin që një mësues në shkollë ose një mësues në një institut mund të thërrasë numra çift (ose ndryshore) që nuk janë shtesa.

Për shembull, nëse diferenca shkruhet në tabelë a − b, atëherë mësuesi nuk do ta thotë këtë aështë një minuend, dhe b- i zbritshëm. Ai do t'i thërrasë të dy variablat me një fjalë të përbashkët - kushtet. Dhe të gjitha për shkak të shprehjes së formës a − b matematikani sheh se si shuma a+(−b). Në këtë rast, shprehja bëhet një shumë, dhe variablat a Dhe (−b) bëhen terma.

Terma të ngjashëm

Terma të ngjashëm- këto janë terma që kanë të njëjtën pjesë shkronjash. Për shembull, merrni parasysh shprehjen 7a + 6b + 2a. Komponentët 7a Dhe 2a kanë të njëjtën pjesë të shkronjës - ndryshore a. Pra kushtet 7a Dhe 2a janë të ngjashme.

Në mënyrë tipike, terma të ngjashëm shtohen për të thjeshtuar një shprehje ose për të zgjidhur një ekuacion. Ky operacion quhet duke sjellë terma të ngjashëm.

Për të sjellë terma të ngjashëm, duhet të shtoni koeficientët e këtyre termave dhe të shumëzoni rezultatin që rezulton me pjesën e shkronjës së përbashkët.

Për shembull, le të paraqesim terma të ngjashëm në shprehje 3a + 4a + 5a. Në këtë rast, të gjitha termat janë të ngjashëm. Le të mbledhim koeficientët e tyre dhe të shumëzojmë rezultatin me pjesën e shkronjës së përbashkët - me variablin a

3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a

Terma të ngjashëm zakonisht sillen në mendje dhe rezultati shkruhet menjëherë:

3a + 4a + 5a = 12a

Gjithashtu, mund të arsyetohet si më poshtë:

Kishte 3 variabla a , 4 variabla të tjerë a dhe 5 variabla të tjerë a iu shtuan atyre. Si rezultat, kemi marrë 12 variabla a

Le të shohim disa shembuj të sjelljes së termave të ngjashëm. Duke pasur parasysh që kjo temë është shumë e rëndësishme, në fillim do të shkruajmë çdo detaj të vogël në detaje. Edhe pse gjithçka është shumë e thjeshtë këtu, shumica e njerëzve bëjnë shumë gabime. Kryesisht për shkak të pavëmendjes, jo injorancës.

Shembulli 1. 3a + 2a + 6a + 8 a

Le të mbledhim koeficientët në këtë shprehje dhe të shumëzojmë rezultatin që rezulton me pjesën e shkronjës së përbashkët:

3a + 2a + 6a + 8a = (3 + 2 + 6 + 8) × a = 19a

dizajni (3 + 2 + 6 + 8)×a Ju nuk duhet ta shkruani atë, kështu që ne do ta shkruajmë përgjigjen menjëherë

3a + 2a + 6a + 8a = 19a

Shembulli 2. Jepni terma të ngjashëm në shprehje 2a+a

Termi i dytë a shkruhet pa koeficient, por në fakt ka një koeficient përballë 1 , të cilin nuk e shohim sepse nuk është regjistruar. Pra, shprehja duket si kjo:

2a + 1a

Tani le të paraqesim terma të ngjashëm. Kjo do të thotë, ne mbledhim koeficientët dhe shumëzojmë rezultatin me pjesën e shkronjës së përbashkët:

2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a

Le të shkruajmë shkurtimisht zgjidhjen:

2a + a = 3a

2a+a, mund të mendoni ndryshe:

Shembulli 3. Jepni terma të ngjashëm në shprehje 2a−a

Zëvendësojmë zbritjen me mbledhjen:

2a + (−a)

Termi i dytë (−a) shkruar pa koeficient, por në realitet duket (−1a). Koeficient −1 sërish i padukshëm për faktin se nuk është i regjistruar. Pra, shprehja duket si kjo:

2a + (−1a)

Tani le të paraqesim terma të ngjashëm. Le të shtojmë koeficientët dhe të shumëzojmë rezultatin me pjesën e përgjithshme të shkronjës:

2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a

Zakonisht shkruhet më shkurt:

2a − a = a

Dhënia e termave të ngjashëm në shprehje 2a−a Ju mund të mendoni ndryshe:

Kishte 2 ndryshore a, zbrit një ndryshore a, dhe si rezultat mbeti vetëm një ndryshore a

Shembulli 4. Jepni terma të ngjashëm në shprehje 6a − 3a + 4a − 8a

6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)

Tani le të paraqesim terma të ngjashëm. Le të shtojmë koeficientët dhe të shumëzojmë rezultatin me pjesën e përgjithshme të shkronjës

(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a

Le të shkruajmë shkurtimisht zgjidhjen:

6a − 3a + 4a − 8a = −a

Ka shprehje që përmbajnë disa grupe të ndryshme të termave të ngjashëm. Për shembull, 3a + 3b + 7a + 2b. Për shprehje të tilla zbatohen të njëjtat rregulla si për të tjerat, përkatësisht shtimi i koeficientëve dhe shumëzimi i rezultatit me pjesën e shkronjës së përbashkët. Por për të shmangur gabimet, është e përshtatshme të theksohen grupe të ndryshme termash me rreshta të ndryshëm.

Për shembull, në shprehje 3a + 3b + 7a + 2b ato terma që përmbajnë një ndryshore a, mund të nënvizohen me një rresht, dhe ato terma që përmbajnë një ndryshore b, mund të theksohet me dy rreshta:

Tani mund të paraqesim terma të ngjashëm. Kjo do të thotë, shtoni koeficientët dhe shumëzoni rezultatin që rezulton me pjesën e përgjithshme të shkronjës. Kjo duhet të bëhet për të dy grupet e termave: për termat që përmbajnë një ndryshore a dhe për termat që përmbajnë një ndryshore b.

3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b

Përsëri, e përsërisim, shprehja është e thjeshtë dhe mund të mendohen terma të ngjashëm:

3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b

Shembulli 5. Jepni terma të ngjashëm në shprehje 5a − 6a −7b + b

Le të zëvendësojmë zbritjen me mbledhjen kur është e mundur:

5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b

Le të nënvizojmë terma të ngjashëm me rreshta të ndryshëm. Termat që përmbajnë variabla a nënvizojmë me një rresht dhe termat janë përmbajtja e variablave b, nënvizoni me dy rreshta:

Tani mund të paraqesim terma të ngjashëm. Kjo do të thotë, shtoni koeficientët dhe shumëzoni rezultatin që rezulton me pjesën e shkronjës së përbashkët:

5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)

Nëse shprehja përmban numra të zakonshëm pa faktorë shkronjash, atëherë ato shtohen veçmas.

Shembulli 6. Jepni terma të ngjashëm në shprehje 4a + 3a − 5 + 2b + 7

Le të zëvendësojmë zbritjen me mbledhjen kur është e mundur:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7

Le të paraqesim terma të ngjashëm. Numrat −5 Dhe 7 nuk kanë faktorë shkronjash, por janë terma të ngjashëm - ato thjesht duhet të shtohen. Dhe termi 2b do të mbetet e pandryshuar, pasi është e vetmja në këtë shprehje që ka një faktor shkronja b, dhe nuk ka asgjë për të shtuar me:

4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2

Le të shkruajmë shkurtimisht zgjidhjen:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2

Termat mund të renditen në mënyrë që ato terma që kanë të njëjtën pjesë shkronjash të vendosen në të njëjtën pjesë të shprehjes.

Shembulli 7. Jepni terma të ngjashëm në shprehje 5t+2x+3x+5t+x

Meqenëse shprehja është një shumë e disa termave, kjo na lejon ta vlerësojmë atë në çdo mënyrë. Prandaj, termat që përmbajnë variablin t, mund të shkruhen në fillim të shprehjes, dhe termat që përmbajnë variablin x në fund të shprehjes:

5t + 5t + 2x + 3x + x

Tani mund të paraqesim terma të ngjashëm:

5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x

Le të shkruajmë shkurtimisht zgjidhjen:

5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x

Shuma e numrave të kundërt është zero. Ky rregull funksionon edhe për shprehjet fjalë për fjalë. Nëse shprehja përmban terma identikë, por me shenja të kundërta, atëherë mund t'i shpëtoni prej tyre në fazën e zvogëlimit të termave të ngjashëm. Me fjalë të tjera, thjesht eliminoni ato nga shprehja, pasi shuma e tyre është zero.

Shembulli 8. Jepni terma të ngjashëm në shprehje 3t − 4t − 3t + 2t

Le të zëvendësojmë zbritjen me mbledhjen kur është e mundur:

3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t

Komponentët 3t Dhe (−3t) janë të kundërta. Shuma e termave të kundërt është zero. Nëse e heqim këtë zero nga shprehja, vlera e shprehjes nuk do të ndryshojë, kështu që do ta heqim atë. Dhe ne do ta heqim atë thjesht duke kapërcyer kushtet 3t Dhe (−3t)

Si rezultat, do të na mbetet shprehja (−4t) + 2t. Në këtë shprehje, mund të shtoni terma të ngjashëm dhe të merrni përgjigjen përfundimtare:

(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t

Le të shkruajmë shkurtimisht zgjidhjen:

Thjeshtimi i shprehjeve

"thjeshtoni shprehjen" dhe më poshtë është shprehja që duhet thjeshtuar. Thjeshtoni një shprehje do të thotë ta bësh atë më të thjeshtë dhe më të shkurtër.

Në fakt, ne tashmë kemi thjeshtuar shprehjet kur kemi reduktuar thyesat. Pas reduktimit, fraksioni u bë më i shkurtër dhe më i lehtë për t'u kuptuar.

Merrni parasysh shembullin e mëposhtëm. Thjeshtoni shprehjen.

Kjo detyrë mund të kuptohet fjalë për fjalë si më poshtë: "Zbato çdo veprim të vlefshëm për këtë shprehje, por bëje më të thjeshtë." .

Në këtë rast, ju mund të zvogëloni thyesën, domethënë, ndani numëruesin dhe emëruesin e fraksionit me 2:

Çfarë tjetër mund të bëni? Ju mund të llogarisni fraksionin që rezulton. Pastaj marrim thyesën dhjetore 0.5

Si rezultat, fraksioni u thjeshtua në 0.5.

Pyetja e parë që duhet t'i bëni vetes kur zgjidhni probleme të tilla duhet të jetë "Çfarë mund të bëhet?" . Sepse ka veprime që mund t'i bësh, dhe ka veprime që nuk mund t'i bësh.

Një pikë tjetër e rëndësishme për t'u mbajtur mend është se kuptimi i shprehjes nuk duhet të ndryshojë pas thjeshtimit të shprehjes. Le të kthehemi te shprehja. Kjo shprehje paraqet një ndarje që mund të kryhet. Pasi kemi kryer këtë ndarje, marrim vlerën e kësaj shprehjeje, e cila është e barabartë me 0.5

Por ne thjeshtuam shprehjen dhe morëm një shprehje të re të thjeshtuar. Vlera e shprehjes së re të thjeshtuar është ende 0.5

Por ne gjithashtu u përpoqëm të thjeshtojmë shprehjen duke e llogaritur atë. Si rezultat, ne morëm një përgjigje përfundimtare prej 0.5.

Kështu, pavarësisht se si e thjeshtojmë shprehjen, vlera e shprehjeve rezultuese është ende e barabartë me 0.5. Kjo do të thotë se thjeshtimi është kryer në mënyrë korrekte në çdo fazë. Kjo është pikërisht ajo për të cilën duhet të përpiqemi kur thjeshtojmë shprehjet - kuptimi i shprehjes nuk duhet të vuajë nga veprimet tona.

Shpesh është e nevojshme të thjeshtohen shprehjet fjalë për fjalë. Për to zbatohen të njëjtat rregulla thjeshtimi si për shprehjet numerike. Ju mund të kryeni çdo veprim të vlefshëm, për sa kohë që vlera e shprehjes nuk ndryshon.

Le të shohim disa shembuj.

Shembulli 1. Thjeshtoni një shprehje 5,21 s × t × 2,5

Për të thjeshtuar këtë shprehje, mund të shumëzoni numrat veç e veç dhe shkronjat veç e veç. Kjo detyrë është shumë e ngjashme me atë që shikuam kur mësuam të përcaktonim koeficientin:

5,21 s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025st

Pra shprehja 5,21 s × t × 2,5 thjeshtuar për të 13,025.

Shembulli 2. Thjeshtoni një shprehje −0,4 × (−6,3b) × 2

Pjesa e dytë (−6.3b) mund të përkthehet në një formë të kuptueshme për ne, domethënë të shkruar në formën ( −6,3)×b, më pas shumëzoni numrat veç e veç dhe shkronjat veçmas:

− 0,4 × (−6.3b) × 2 = − 0,4 × (−6,3) × b × 2 = 5,04b

Pra shprehja −0,4 × (−6,3b) × 2 thjeshtuar për të 5.04b

Shembulli 3. Thjeshtoni një shprehje

Le ta shkruajmë këtë shprehje në mënyrë më të detajuar për të parë qartë se ku janë numrat dhe ku janë shkronjat:

Tani le të shumëzojmë numrat veç e veç dhe shkronjat veç e veç:

Pra shprehja thjeshtuar për të −abc. Kjo zgjidhje mund të shkruhet shkurtimisht:

Kur thjeshtohen shprehjet, thyesat mund të zvogëlohen gjatë procesit të zgjidhjes, dhe jo në fund, siç bëmë me thyesat e zakonshme. Për shembull, nëse gjatë zgjidhjes hasim një shprehje të formës, atëherë nuk është aspak e nevojshme të llogarisim numëruesin dhe emëruesin dhe të bëjmë diçka të tillë:

Një thyesë mund të zvogëlohet duke zgjedhur një faktor si në numërues ashtu edhe në emërues dhe duke i reduktuar këta faktorë me faktorin e tyre më të madh të përbashkët. Me fjalë të tjera, përdorim në të cilin ne nuk përshkruajmë në detaje se në çfarë u ndanë numëruesi dhe emëruesi.

Për shembull, në numërues faktori është 12 dhe në emërues faktori 4 mund të zvogëlohet me 4. Ne e mbajmë në mendjen tonë të katërtën dhe duke pjesëtuar 12 dhe 4 me këtë katër, shkruajmë përgjigjet pranë këtyre numrave. pasi i ka kryqëzuar fillimisht

Tani mund të shumëzoni faktorët e vegjël që rezultojnë. Në këtë rast, ka pak prej tyre dhe mund t'i shumëfishoni në mendjen tuaj:

Me kalimin e kohës, mund të zbuloni se kur zgjidhni një problem të caktuar, shprehjet fillojnë të "shëndoshen", kështu që këshillohet të mësoheni me llogaritjet e shpejta. Ajo që mund të llogaritet në mendje duhet të llogaritet në mendje. Ajo që mund të reduktohet shpejt duhet të reduktohet shpejt.

Shembulli 4. Thjeshtoni një shprehje

Pra shprehja thjeshtuar për të

Shembulli 5. Thjeshtoni një shprehje

Le të shumëzojmë numrat veçmas dhe shkronjat veçmas:

Pra shprehja thjeshtuar për të mn.

Shembulli 6. Thjeshtoni një shprehje

Le ta shkruajmë këtë shprehje në mënyrë më të detajuar për të parë qartë se ku janë numrat dhe ku janë shkronjat:

Tani le të shumëzojmë numrat veç e veç dhe shkronjat veç e veç. Për lehtësinë e llogaritjes, thyesa dhjetore −6.4 dhe një numër i përzier mund të shndërrohen në thyesa të zakonshme:

Pra shprehja thjeshtuar për të

Zgjidhja për këtë shembull mund të shkruhet shumë më shkurt. Do të duket kështu:

Shembulli 7. Thjeshtoni një shprehje

Le të shumëzojmë numrat veç e veç dhe shkronjat veç e veç. Për lehtësinë e llogaritjes, numrat e përzier dhe thyesat dhjetore 0.1 dhe 0.6 mund të shndërrohen në thyesa të zakonshme:

Pra shprehja thjeshtuar për të abcd. Nëse i kaloni detajet, kjo zgjidhje mund të shkruhet shumë më shkurt:

Vini re se si thyesa është zvogëluar. Faktorët e rinj që përftohen si rezultat i zvogëlimit të faktorëve të mëparshëm lejohen gjithashtu të zvogëlohen.

Tani le të flasim për atë që nuk duhet të bëjmë. Kur thjeshtohen shprehjet, është rreptësisht e ndaluar të shumëzohen numrat dhe shkronjat nëse shprehja është një shumë dhe jo një produkt.

Për shembull, nëse doni të thjeshtoni shprehjen 5a+4b, atëherë nuk mund ta shkruani kështu:

Kjo është njësoj sikur të na kërkohet të mbledhim dy numra dhe ne i kemi shumëzuar në vend që t'i mbledhim.

Kur zëvendësoni ndonjë vlerë të ndryshueshme a Dhe b shprehje 5a +4b kthehet në një shprehje të zakonshme numerike. Le të supozojmë se variablat a Dhe b kanë këto kuptime:

a = 2, b = 3

Atëherë vlera e shprehjes do të jetë e barabartë me 22

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

Fillimisht kryhet shumëzimi dhe më pas shtohen rezultatet. Dhe nëse do të përpiqeshim ta thjeshtonim këtë shprehje duke shumëzuar numrat dhe shkronjat, do të merrnim sa vijon:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 × 2 × 3 = 120

Rezulton një kuptim krejtësisht i ndryshëm i shprehjes. Në rastin e parë funksionoi 22 , në rastin e dytë 120 . Kjo do të thotë se thjeshtimi i shprehjes 5a+4bështë kryer gabimisht.

Pas thjeshtimit të shprehjes, vlera e saj nuk duhet të ndryshojë me të njëjtat vlera të variablave. Nëse, kur zëvendësoni ndonjë vlerë të ndryshueshme në shprehjen origjinale, fitohet një vlerë, atëherë pas thjeshtimit të shprehjes, duhet të merret e njëjta vlerë si para thjeshtimit.

Me shprehje 5a+4b me të vërtetë nuk mund të bësh asgjë. Nuk e thjeshton.

Nëse një shprehje përmban terma të ngjashëm, atëherë ato mund të shtohen nëse qëllimi ynë është të thjeshtojmë shprehjen.

Shembulli 8. Thjeshtoni një shprehje 0,3a−0,4a+a

0,3a − 0,4a + a = 0,3a + (−0,4a) + a = (0,3 + (−0,4) + 1)×a = 0,9a

ose më e shkurtër: 0,3a − 0,4a + a = 0.9a

Pra shprehja 0,3a−0,4a+a thjeshtuar për të 0.9a

Shembulli 9. Thjeshtoni një shprehje −7,5a − 2,5b + 4a

Për të thjeshtuar këtë shprehje, mund të shtojmë terma të ngjashëm:

−7,5a − 2,5b + 4a = −7,5a + (−2,5b) + 4a = ((−7,5) + 4)×a + (−2,5b) = −3,5a + (−2,5b)

ose më të shkurtër −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)

Afati (−2.5b) mbeti i pandryshuar sepse nuk kishte asgjë për ta vënë atë.

Shembulli 10. Thjeshtoni një shprehje

Për të thjeshtuar këtë shprehje, mund të shtojmë terma të ngjashëm:

Koeficienti ishte për lehtësinë e llogaritjes.

Pra shprehja thjeshtuar për të

Shembulli 11. Thjeshtoni një shprehje

Për të thjeshtuar këtë shprehje, mund të shtojmë terma të ngjashëm:

Pra shprehja thjeshtuar në .

Në këtë shembull, do të ishte më e përshtatshme të shtoni së pari koeficientët e parë dhe të fundit. Në këtë rast do të kishim një zgjidhje të shkurtër. Do të dukej kështu:

Shembulli 12. Thjeshtoni një shprehje

Për të thjeshtuar këtë shprehje, mund të shtojmë terma të ngjashëm:

Pra shprehja thjeshtuar për të .

Termi mbeti i pandryshuar, pasi nuk kishte asgjë për ta shtuar.

Kjo zgjidhje mund të shkruhet shumë më shkurt. Do të duket kështu:

Zgjidhja e shkurtër kapërceu hapat e zëvendësimit të zbritjes me mbledhjen dhe detajimin se si thyesat u reduktuan në një emërues të përbashkët.

Një ndryshim tjetër është se në zgjidhjen e detajuar përgjigja duket si , por shkurt si . Në fakt, ato janë e njëjta shprehje. Ndryshimi është se në rastin e parë, zbritja zëvendësohet me mbledhjen, sepse në fillim, kur e shkruanim zgjidhjen në formë të detajuar, zbritjen e zëvendësonim me mbledhje kudo që ishte e mundur dhe ky zëvendësim u ruajt për përgjigjen.

Identitetet. Shprehje identike të barabarta

Pasi të kemi thjeshtuar çdo shprehje, ajo bëhet më e thjeshtë dhe më e shkurtër. Për të kontrolluar nëse shprehja e thjeshtuar është e saktë, mjafton të zëvendësoni çdo vlerë variabël fillimisht në shprehjen e mëparshme që duhej thjeshtuar, dhe më pas në atë të renë që u thjeshtua. Nëse vlera në të dyja shprehjet është e njëjtë, atëherë shprehja e thjeshtuar është e vërtetë.

Le të shohim një shembull të thjeshtë. Le të jetë e nevojshme të thjeshtohet shprehja 2a×7b. Për të thjeshtuar këtë shprehje, mund të shumëzoni numrat dhe shkronjat veç e veç:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

Le të kontrollojmë nëse e kemi thjeshtuar saktë shprehjen. Për ta bërë këtë, le të zëvendësojmë çdo vlerë të variablave a Dhe b së pari në shprehjen e parë që duhej thjeshtuar, dhe më pas në të dytën, e cila u thjeshtua.

Lërini vlerat e variablave a , b do të jetë si më poshtë:

a = 4, b = 5

Le t'i zëvendësojmë ato në shprehjen e parë 2a×7b

Tani le të zëvendësojmë të njëjtat vlera të ndryshueshme në shprehjen që rezultoi nga thjeshtimi 2a×7b, përkatësisht në shprehje 14ab

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Ne e shohim se kur a=4 Dhe b=5 vlera e shprehjes së parë 2a×7b dhe kuptimi i shprehjes së dytë 14ab të barabartë

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

E njëjta gjë do të ndodhë për çdo vlerë tjetër. Për shembull, le a=1 Dhe b=2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 =28

14ab = 14 × 1 × 2 =28

Kështu, për çdo vlerë të variablave të shprehjes 2a×7b Dhe 14ab janë të barabarta me të njëjtën vlerë. Shprehje të tilla quhen identikisht të barabartë.

Përfundojmë se ndërmjet shprehjeve 2a×7b Dhe 14ab ju mund të vendosni një shenjë të barabartë sepse ato janë të barabarta me të njëjtën vlerë.

2a × 7b = 14ab

Barazi është çdo shprehje që lidhet me një shenjë të barabartë (=).

Dhe barazia e formës 2a×7b = 14ab thirrur identiteti.

Një identitet është një barazi që është e vërtetë për çdo vlerë të variablave.

Shembuj të tjerë identitetesh:

a + b = b + a

a(b+c) = ab + ac

a(bc) = (ab)c

Po, ligjet e matematikës që kemi studiuar janë identitete.

Barazitë e vërteta numerike janë gjithashtu identitete. Për shembull:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

Kur zgjidhet një problem kompleks, për ta bërë më të lehtë llogaritjen, shprehja komplekse zëvendësohet me një shprehje më të thjeshtë që është identike e barabartë me atë të mëparshme. Ky zëvendësim quhet transformim identik i shprehjes ose thjesht duke e transformuar shprehjen.

Për shembull, ne thjeshtuam shprehjen 2a×7b, dhe mori një shprehje më të thjeshtë 14ab. Ky thjeshtim mund të quhet transformim identiteti.

Shpesh mund të gjeni një detyrë që thotë "Të provojë se barazia është një identitet" dhe pastaj jepet barazia që duhet vërtetuar. Zakonisht kjo barazi përbëhet nga dy pjesë: pjesa e majtë dhe e djathtë e barazisë. Detyra jonë është të kryejmë transformime identitare me njërën nga pjesët e barazisë dhe të marrim pjesën tjetër. Ose kryeni transformime identike në të dy anët e barazisë dhe sigurohuni që të dyja anët e barazisë të përmbajnë të njëjtat shprehje.

Për shembull, le të provojmë se barazia 0,5a × 5b = 2,5abështë një identitet.

Le të thjeshtojmë anën e majtë të kësaj barazie. Për ta bërë këtë, shumëzoni numrat dhe shkronjat veç e veç:

0,5 × 5 × a × b = 2,5ab

2.5ab = 2.5ab

Si rezultat i një transformimi të vogël identiteti, ana e majtë e barazisë u bë e barabartë me anën e djathtë të barazisë. Pra, ne kemi vërtetuar se barazia 0,5a × 5b = 2,5abështë një identitet.

Nga shndërrimet identike mësuam të mbledhim, zbresim, shumëzojmë dhe pjesëtojmë numra, të zvogëlojmë thyesat, të shtojmë terma të ngjashëm dhe gjithashtu të thjeshtojmë disa shprehje.

Por këto nuk janë të gjitha transformime identike që ekzistojnë në matematikë. Ka shumë më tepër transformime identike. Këtë do ta shohim më shumë se një herë në të ardhmen.

Detyrat për zgjidhje të pavarur:

Ju pëlqeu mësimi?
Bashkohuni me grupin tonë të ri VKontakte dhe filloni të merrni njoftime për mësime të reja

Thjeshtimi i shprehjeve algjebrike është një nga çelësat për të mësuar algjebër dhe është një aftësi jashtëzakonisht e dobishme për të gjithë matematikanët. Thjeshtimi ju lejon të reduktoni një shprehje komplekse ose të gjatë në një shprehje të thjeshtë me të cilën është e lehtë të punohet. Aftësitë bazë të thjeshtimit janë të mira edhe për ata që nuk janë entuziastë për matematikën. Duke ndjekur disa rregulla të thjeshta, ju mund të thjeshtoni shumë nga llojet më të zakonshme të shprehjeve algjebrike pa ndonjë njohuri të veçantë matematikore.

Hapat

Përkufizime të rëndësishme

1. Anëtarë të ngjashëm. Këta janë anëtarë me një variabël të të njëjtit rend, anëtarë me të njëjtat variabla ose anëtarë të lirë (anëtarë që nuk përmbajnë një ndryshore). Me fjalë të tjera, termat e ngjashëm përfshijnë të njëjtën variabël në të njëjtën shkallë, përfshijnë disa nga të njëjtat variabla ose nuk përfshijnë fare një ndryshore. Rendi i termave në shprehje nuk ka rëndësi.

   • Për shembull, 3x 2 dhe 4x 2 janë terma të ngjashëm sepse përmbajnë një ndryshore të rendit të dytë (në fuqinë e dytë) "x". Megjithatë, x dhe x2 nuk janë terma të ngjashëm, pasi përmbajnë variablin "x" të rendit të ndryshëm (i pari dhe i dyti). Po kështu, -3yx dhe 5xz nuk janë terma të ngjashëm sepse përmbajnë variabla të ndryshëm.

2. Faktorizimi. Ky është gjetja e numrave, produkti i të cilëve çon në numrin origjinal. Çdo numër origjinal mund të ketë disa faktorë. Për shembull, numri 12 mund të faktorizohet në seritë e mëposhtme të faktorëve: 1 × 12, 2 × 6 dhe 3 × 4, kështu që mund të themi se numrat 1, 2, 3, 4, 6 dhe 12 janë faktorë të numri 12. Faktorët janë të njëjtë me faktorët, pra numrat me të cilët ndahet numri origjinal.

   • Për shembull, nëse dëshironi të faktorizoni numrin 20, shkruajeni kështu: 4×5.
   • Vini re se gjatë faktorizimit, ndryshorja merret parasysh. Për shembull, 20x = 4 (5x).
   • Numrat e thjeshtë nuk mund të faktorizohen sepse ata janë të pjesëtueshëm vetëm me veten dhe 1.

3. Mbani mend dhe ndiqni rendin e veprimeve për të shmangur gabimet.

   • Kllapa
   • Diplomë
   • Shumëzimi
   • Divizioni
   • Shtesa
   • Zbritja

   Sjellja e anëtarëve të ngjashëm

   1. Shkruani shprehjen. Shprehjet e thjeshta algjebrike (ato që nuk përmbajnë thyesa, rrënjë, etj.) mund të zgjidhen (thjeshtohen) në vetëm disa hapa.

      • Për shembull, thjeshtoni shprehjen 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. Përcaktoni terma të ngjashëm ( terma me një ndryshore të të njëjtit rend, terma me të njëjtat variabla ose terma të lirë).

      • Gjeni terma të ngjashëm në këtë shprehje. Termat 2x dhe 4x përmbajnë një variabël të të njëjtit rend (i pari). Gjithashtu, 1 dhe -3 janë terma të lirë (nuk përmbajnë një ndryshore). Kështu, në këtë shprehje termat 2x dhe 4x janë të ngjashëm, dhe anëtarët 1 dhe -3 janë gjithashtu të ngjashme.

   3. Jepni anëtarë të ngjashëm. Kjo do të thotë shtimi ose zbritja e tyre dhe thjeshtimi i shprehjes.

      • 2x + 4x = 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. Rishkruaj shprehjen duke marrë parasysh termat e dhëna. Do të merrni një shprehje të thjeshtë me më pak terma. Shprehja e re është e barabartë me atë origjinale.

      • Në shembullin tonë: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, domethënë shprehja origjinale është e thjeshtuar dhe më e lehtë për t'u punuar.

   5. Ndiqni rendin e veprimeve kur sillni anëtarë të ngjashëm. Në shembullin tonë, ishte e lehtë të jepeshin terma të ngjashëm. Megjithatë, në rastin e shprehjeve komplekse në të cilat termat janë të mbyllura në kllapa dhe janë të pranishme thyesat dhe rrënjët, nuk është aq e lehtë të sjellësh terma të tillë. Në këto raste, ndiqni rendin e veprimeve.

      • Për shembull, merrni parasysh shprehjen 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Këtu do të ishte gabim që menjëherë t'i përkufizonim 3x dhe 2x si terma të ngjashëm dhe t'i paraqisni ato, sepse është e nevojshme që fillimisht të hapen kllapat. Prandaj, kryeni veprimet sipas rendit të tyre.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Tani, kur shprehja përmban vetëm veprime të mbledhjes dhe zbritjes, mund të sillni terma të ngjashëm.
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12x + 3

   Nxjerrja e shumëzuesit nga kllapat

   1. Gjeni pjesëtuesin më të madh të përbashkët (GCD) të të gjithë koeficientëve të shprehjes. GCD është numri më i madh me të cilin ndahen të gjithë koeficientët e shprehjes.

      • Për shembull, merrni parasysh ekuacionin 9x 2 + 27x - 3. Në këtë rast, GCD = 3, pasi çdo koeficient i kësaj shprehjeje është i pjesëtueshëm me 3.

   2. Ndani çdo term të shprehjes me gcd. Termat që rezultojnë do të përmbajnë koeficientë më të vegjël se në shprehjen origjinale.

      • Në shembullin tonë, ndani çdo term në shprehje me 3.
        • 9x 2/3 = 3x 2
        • 27x/3 = 9x
        • -3/3 = -1
        • Rezultati ishte një shprehje 3x 2 + 9x - 1. Nuk është e barabartë me shprehjen origjinale.

   3. Shkruani shprehjen origjinale si të barabartë me produktin e gcd dhe shprehjen që rezulton. Kjo do të thotë, mbyllni shprehjen që rezulton në kllapa dhe hiqni gcd nga kllapat.

      • Në shembullin tonë: 9x 2 + 27x - 3 = 3 (3x 2 + 9x - 1)

   4. Thjeshtimi i shprehjeve thyesore duke e nxjerrë faktorin jashtë kllapave. Pse thjesht ta vendosni shumëzuesin jashtë kllapave, siç u bë më parë? Më pas, për të mësuar se si të thjeshtohen shprehjet komplekse, siç janë shprehjet thyesore. Në këtë rast, vendosja e faktorit jashtë kllapave mund të ndihmojë në heqjen e thyesës (nga emëruesi).

      • Për shembull, merrni parasysh shprehjen thyesore (9x 2 + 27x - 3)/3. Përdorni faktorizimin për të thjeshtuar këtë shprehje.
        • Vendos faktorin 3 jashtë kllapave (siç bëtë më parë): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • Vini re se tani ka një 3 si në numërues ashtu edhe në emërues Kjo mund të reduktohet për të dhënë shprehjen: (3x 2 + 9x - 1)/1
        • Meqenëse çdo thyesë që ka numrin 1 në emërues është thjesht e barabartë me numëruesin, shprehja origjinale e thyesës thjeshtohet në: 3x 2 + 9x - 1.

   Metoda shtesë të thjeshtimit

4. Le të shohim një shembull të thjeshtë: √(90). Numri 90 mund të faktorizohet në faktorët e mëposhtëm: 9 dhe 10, dhe nga 9 mund të marrim rrënjën katrore (3) dhe të nxjerrim 3 nga poshtë rrënjës.
   • √(90)
   • √(9×10)
   • √(9)×√(10)
   • 3×√(10)
   • 3√(10)

5. Thjeshtimi i shprehjeve me fuqi. Disa shprehje përmbajnë veprime të shumëzimit ose pjesëtimit të termave me fuqi. Kur shumëzohen termat me të njëjtën bazë, fuqitë e tyre shtohen; në rastin e pjesëtimit të termave me të njëjtën bazë, fuqitë e tyre zbriten.

   • Për shembull, merrni parasysh shprehjen 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15). Në rastin e shumëzimit, mblidhni fuqitë dhe në rastin e pjesëtimit, zbritni ato.
     • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15)
     • (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
     • 48x 7 + x 2
   • Më poshtë jepet një shpjegim i rregullave për shumëzimin dhe pjesëtimin e termave të eksponentëve.
     • Shumëzimi i termave me fuqi është i barabartë me shumëzimin e termave në vetvete. Për shembull, meqenëse x 3 = x × x × x dhe x 5 = x × x × x × x × x, atëherë x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), ose x 8 .
     • Po kështu, ndarja e termave me gradë është e barabartë me ndarjen e termave nga vetvetja. x 5 / x 3 = (x × x × x × x × x)/(x × x x x). Meqenëse termat e ngjashëm që gjenden si në numërues ashtu edhe në emërues mund të reduktohen, prodhimi i dy "x", ose x 2, mbetet në numërues.

• Gjithmonë mbani mend për shenjat (plus ose minus) që paraprijnë termat e shprehjes, pasi shumë njerëz kanë vështirësi në zgjedhjen e shenjës së duhur.
• Kërkoni ndihmë nëse është e nevojshme!
• Thjeshtimi i shprehjeve algjebrike nuk është i lehtë, por pasi të keni marrë vesh, është një aftësi që mund ta përdorni për pjesën tjetër të jetës.

Llogaritësi i përshtatshëm dhe i thjeshtë në internet i fraksioneve me zgjidhje të detajuara Ndoshta:

• Shtoni, zbritni, shumëzoni dhe pjesëtoni thyesat në internet,
• Merrni një zgjidhje të gatshme të fraksioneve me një foto dhe transferojeni me lehtësi.



Rezultati i zgjidhjes së thyesave do të jetë këtu...

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Shenja e thyesës "/" + - *:
_fshij Pastro
Llogaritësi ynë i fraksionit në internet ka hyrje të shpejtë. Për të zgjidhur thyesat, për shembull, thjesht shkruani 1/2+2/7 në kalkulator dhe shtypni " Zgjidh thyesat". Llogaritësi do t'ju shkruajë zgjidhje e detajuar e thyesave dhe do të lëshojë një imazh i lehtë për t'u kopjuar.

Shenjat që përdoren për të shkruar në një makinë llogaritëse

Ju mund të shkruani një shembull për një zgjidhje ose nga tastiera ose duke përdorur butonat.

Karakteristikat e kalkulatorit të fraksioneve në internet

Llogaritësi i fraksioneve mund të kryejë veprime vetëm në 2 fraksione të thjeshta. Ato mund të jenë ose të sakta (numëruesi është më i vogël se emëruesi) ose të pasakta (numëruesi është më i madh se emëruesi). Numrat në numërues dhe emërues nuk mund të jenë negativ ose më të mëdhenj se 999.
Llogaritësi ynë në internet zgjidh thyesat dhe e sjell përgjigjen në formën e duhur - zvogëlon thyesën dhe zgjedh të gjithë pjesën, nëse është e nevojshme.

Nëse keni nevojë të zgjidhni thyesat negative, thjesht përdorni vetitë e minusit. Gjatë shumëzimit dhe pjesëtimit të thyesave negative, minus me minus jep plus. Kjo do të thotë, prodhimi dhe ndarja e thyesave negative është e barabartë me prodhimin dhe ndarjen e të njëjtave pozitive. Nëse një thyesë është negative gjatë shumëzimit ose pjesëtimit, atëherë thjesht hiqni minusin dhe shtoni atë në përgjigje. Kur shtoni thyesa negative, rezultati do të jetë i njëjtë sikur të kishit shtuar të njëjtat thyesa pozitive. Nëse shtoni një thyesë negative, atëherë kjo është njësoj sikur të zbritni të njëjtin pozitiv.
Kur zbriten thyesat negative, rezultati do të jetë i njëjtë sikur ato të ndërroheshin dhe të bëheshin pozitive. Kjo do të thotë, minus për minus në këtë rast jep një plus, por rirregullimi i kushteve nuk e ndryshon shumën. Ne përdorim të njëjtat rregulla kur zbresim thyesat, njëra prej të cilave është negative.

Për të zgjidhur thyesat e përziera (fraksionet në të cilat është e izoluar e gjithë pjesa), thjesht vendosni të gjithë pjesën në thyesë. Për ta bërë këtë, shumëzojeni të gjithë pjesën me emëruesin dhe shtoni numëruesit.

Nëse ju duhet të zgjidhni 3 ose më shumë thyesa në internet, duhet t'i zgjidhni ato një nga një. Fillimisht numëroni 2 thyesat e para, më pas zgjidheni thyesën tjetër me përgjigjen që merrni, e kështu me radhë. Kryeni veprimet një nga një, 2 thyesa në të njëjtën kohë dhe përfundimisht do të merrni përgjigjen e saktë.

Aplikacion

Zgjidhja e çdo lloj ekuacioni online në faqe për studentët dhe nxënësit e shkollës për të konsoliduar materialin e studiuar.. Zgjidhja e ekuacioneve online. Ekuacionet online. Ekzistojnë lloje të ekuacioneve algjebrike, parametrike, transcendente, funksionale, diferenciale dhe të tjera. formën e një formule, e cila mund të përfshijë parametra. Shprehjet analitike lejojnë jo vetëm llogaritjen e rrënjëve, por edhe analizimin e ekzistencës dhe sasisë së tyre në varësi të vlerave të parametrave, gjë që shpesh është edhe më e rëndësishme për përdorim praktik sesa vlerat specifike të rrënjëve. Zgjidhja e ekuacioneve online.. Ekuacionet online. Zgjidhja e një ekuacioni është detyra e gjetjes së vlerave të tilla të argumenteve në të cilat arrihet kjo barazi. Kushtet shtesë (numër i plotë, real, etj.) Mund të vendosen në vlerat e mundshme të argumenteve. Zgjidhja e ekuacioneve online.. Ekuacionet online. Ju mund ta zgjidhni ekuacionin në internet menjëherë dhe me saktësi të lartë të rezultatit. Argumentet e funksioneve të specifikuara (ndonjëherë të quajtura "variabla") quhen "të panjohura" në rastin e një ekuacioni. Vlerat e të panjohurave në të cilat arrihet kjo barazi quhen zgjidhje ose rrënjë të këtij ekuacioni. Rrënjët thuhet se plotësojnë këtë ekuacion. Të zgjidhësh një ekuacion në internet do të thotë të gjesh grupin e të gjitha zgjidhjeve (rrënjëve) të tij ose të provosh se nuk ka rrënjë. Zgjidhja e ekuacioneve online.. Ekuacionet online. Ekuacionet, grupet e rrënjëve të të cilave përkojnë quhen ekuivalente ose të barabarta. Ekuivalente konsiderohen gjithashtu ekuivalente që nuk kanë rrënjë. Ekuivalenca e ekuacioneve ka vetinë e simetrisë: nëse një ekuacion është ekuivalent me një tjetër, atëherë ekuacioni i dytë është i barabartë me të parin. Ekuivalenca e ekuacioneve ka vetinë e kalueshmërisë: nëse një ekuacion është i barabartë me një tjetër, dhe i dyti është i barabartë me një të tretë, atëherë ekuacioni i parë është i barabartë me të tretin. Vetia e ekuivalencës së ekuacioneve na lejon të kryejmë transformime me to, në të cilat bazohen metodat për zgjidhjen e tyre. Zgjidhja e ekuacioneve online.. Ekuacionet online. Faqja do t'ju lejojë të zgjidhni ekuacionin në internet. Ekuacionet për të cilat njihen zgjidhjet analitike përfshijnë ekuacione algjebrike jo më të larta se shkalla e katërt: ekuacioni linear, ekuacioni kuadratik, ekuacioni kub dhe ekuacioni i shkallës së katërt. Ekuacionet algjebrike të shkallëve më të larta në rastin e përgjithshëm nuk kanë zgjidhje analitike, megjithëse disa prej tyre mund të reduktohen në ekuacione të shkallëve më të ulëta. Ekuacionet që përfshijnë funksione transcendentale quhen transcendentale. Ndër to, zgjidhjet analitike janë të njohura për disa ekuacione trigonometrike, pasi janë të njohura zerot e funksioneve trigonometrike. Në rastin e përgjithshëm, kur nuk mund të gjendet një zgjidhje analitike, përdoren metoda numerike. Metodat numerike nuk ofrojnë një zgjidhje të saktë, por vetëm e lejojnë atë të ngushtojë intervalin në të cilin shtrihet rrënja në një vlerë të caktuar të paracaktuar. Zgjidhja e ekuacioneve në internet.. Ekuacionet në internet.. Në vend të një ekuacioni në internet, ne do të imagjinojmë se si e njëjta shprehje formon një marrëdhënie lineare, jo vetëm përgjatë një tangjente të drejtë, por edhe në pikën e lakimit të grafikut. Kjo metodë është e domosdoshme në çdo kohë në studimin e lëndës. Ndodh shpesh që zgjidhja e ekuacioneve t'i afrohet vlerës përfundimtare duke përdorur numra të pafund dhe duke shkruar vektorë. Është e nevojshme të kontrollohen të dhënat fillestare dhe ky është thelbi i detyrës. Përndryshe, kushti lokal konvertohet në një formulë. Përmbysja në vijë të drejtë nga një funksion i caktuar, të cilin kalkulatori i ekuacionit do ta llogarisë pa shumë vonesë në ekzekutim, kompensimi do të shërbejë si privilegj i hapësirës. Do të flasim për suksesin e studentëve në mjedisin shkencor. Megjithatë, si të gjitha sa më sipër, do të na ndihmojë në procesin e gjetjes dhe kur të zgjidhni plotësisht ekuacionin, ruani përgjigjen që rezulton në skajet e segmentit të drejtë. Drejtëzat në hapësirë ​​priten në një pikë dhe kjo pikë quhet e prerë nga drejtëza. Intervali në linjë tregohet siç është specifikuar më parë. Do të publikohet postimi më i lartë për studimin e matematikës. Caktimi i një vlere argumenti nga një sipërfaqe e specifikuar parametrikisht dhe zgjidhja e ekuacionit në internet do të jetë në gjendje të përshkruajë parimet e aksesit produktiv në një funksion. Shiriti Möbius, ose pafundësia siç quhet, duket si një figurë tetë. Kjo është një sipërfaqe e njëanshme, jo e dyanshme. Sipas parimit të njohur përgjithësisht për të gjithë, ne do të pranojmë objektivisht ekuacionet lineare si emërtim bazë siç është në fushën e kërkimit. Vetëm dy vlera të argumenteve të dhëna në mënyrë sekuenciale janë në gjendje të zbulojnë drejtimin e vektorit. Duke supozuar se një zgjidhje tjetër për ekuacionet në internet është shumë më tepër sesa thjesht zgjidhja e saj do të thotë të merrni një version të plotë të invariantit si rezultat. Pa një qasje të integruar, është e vështirë për studentët të mësojnë këtë material. Si më parë, për çdo rast të veçantë, kalkulatori ynë i përshtatshëm dhe i zgjuar i ekuacionit në internet do t'i ndihmojë të gjithë në periudha të vështira, sepse thjesht duhet të specifikoni parametrat e hyrjes dhe vetë sistemi do të llogarisë përgjigjen. Përpara se të fillojmë futjen e të dhënave, do të na duhet një mjet input, i cili mund të bëhet pa shumë vështirësi. Numri i çdo vlerësimi të përgjigjes do të çojë në një ekuacion kuadratik për përfundimet tona, por kjo nuk është aq e lehtë për t'u bërë, sepse është e lehtë të vërtetohet e kundërta. Teoria, për shkak të karakteristikave të saj, nuk mbështetet nga njohuritë praktike. Të shohësh një kalkulator fraksioni në fazën e publikimit të përgjigjes nuk është një detyrë e lehtë në matematikë, pasi alternativa e shkrimit të një numri në një grup ndihmon në rritjen e rritjes së funksionit. Megjithatë, do të ishte e gabuar të mos flasim për trajnimin e studentëve, kështu që secili do të themi aq sa duhet bërë. Ekuacioni kub i gjetur më parë me të drejtë do t'i përkasë fushës së përkufizimit dhe do të përmbajë hapësirën e vlerave numerike, si dhe variabla simbolikë. Pasi të kenë mësuar ose mësuar përmendësh teoremën, studentët tanë do të tregohen vetëm në më të mirën e tyre dhe ne do të jemi të lumtur për ta. Ndryshe nga kryqëzimet e shumta të fushës, ekuacionet tona online përshkruhen nga një plan lëvizjeje duke shumëzuar dy dhe tre vija të kombinuara numerike. Një grup në matematikë nuk është përcaktuar në mënyrë unike. Zgjidhja më e mirë, sipas studentëve, është regjistrimi i plotë i shprehjes. Siç u tha në gjuhën shkencore, abstragimi i shprehjeve simbolike nuk hyn në gjendjen e punëve, por zgjidhja e ekuacioneve jep një rezultat të paqartë në të gjitha rastet e njohura. Kohëzgjatja e mësimit të mësuesit varet nga nevojat për këtë propozim. Analiza tregoi domosdoshmërinë e të gjitha teknikave llogaritëse në shumë fusha, dhe është absolutisht e qartë se një kalkulator ekuacionesh është një mjet i domosdoshëm në duart e talentuara të një studenti. Një qasje besnike ndaj studimit të matematikës përcakton rëndësinë e pikëpamjeve nga drejtime të ndryshme. Ju dëshironi të identifikoni një nga teoremat kryesore dhe të zgjidhni ekuacionin në një mënyrë të tillë, në varësi të përgjigjes së të cilit do të ketë nevojë të mëtejshme për zbatimin e tij. Analitika në këtë fushë po fiton vrull. Le të fillojmë nga fillimi dhe të nxjerrim formulën. Duke thyer nivelin e rritjes së funksionit, vija përgjatë tangjentes në pikën e lakimit sigurisht që do të çojë në faktin se zgjidhja e ekuacionit në internet do të jetë një nga aspektet kryesore në ndërtimin e të njëjtit grafik nga argumenti i funksionit. Një qasje amatore ka të drejtë të zbatohet nëse ky kusht nuk bie ndesh me përfundimet e studentëve. Është nëndetyra që vendos analizën e kushteve matematikore si ekuacione lineare në domenin ekzistues të përkufizimit të objektit që sillet në sfond. Rrjeti në drejtim të ortogonalitetit anulon avantazhin e një vlere të vetme absolute. Zgjidhja e ekuacioneve me modul në internet jep të njëjtin numër zgjidhjesh nëse hapni kllapat fillimisht me një shenjë plus dhe më pas me një shenjë minus. Në këtë rast, do të ketë dy herë më shumë zgjidhje, dhe rezultati do të jetë më i saktë. Një kalkulator i qëndrueshëm dhe i saktë i ekuacioneve në internet është suksesi në arritjen e qëllimit të synuar në detyrën e vendosur nga mësuesi. Duket e mundur të zgjidhet metoda e duhur për shkak të dallimeve domethënëse në pikëpamjet e shkencëtarëve të mëdhenj. Ekuacioni kuadratik që rezulton përshkruan kurbën e vijave, të ashtuquajturën parabolë, dhe shenja do të përcaktojë konveksitetin e saj në sistemin e koordinatave katrore. Nga ekuacioni marrim si diskriminuesin ashtu edhe vetë rrënjët sipas teoremës së Vietës. Hapi i parë është të paraqisni shprehjen si një fraksion të duhur ose të papërshtatshëm dhe të përdorni një kalkulator fraksioni. Në varësi të kësaj, do të formohet plani për llogaritjet tona të mëtejshme. Matematika me qasje teorike do të jetë e dobishme në çdo fazë. Rezultatin do ta paraqesim patjetër si një ekuacion kub, sepse do t'i fshehim rrënjët e tij në këtë shprehje për të thjeshtuar detyrën për një student në një universitet. Çdo metodë është e mirë nëse është e përshtatshme për analiza sipërfaqësore. Operacionet shtesë aritmetike nuk do të çojnë në gabime në llogaritje. Përcakton përgjigjen me një saktësi të dhënë. Duke përdorur zgjidhjen e ekuacioneve, le ta pranojmë - gjetja e ndryshores së pavarur të një funksioni të caktuar nuk është aq e lehtë, veçanërisht gjatë periudhës së studimit të drejtëzave paralele në pafundësi. Duke pasur parasysh përjashtimin, nevoja është shumë e dukshme. Dallimi i polaritetit është i qartë. Nga përvoja e mësimdhënies në institute, mësuesi ynë mësoi mësimin kryesor në të cilin u studiuan ekuacionet online në kuptimin e plotë matematikor. Këtu flitej për përpjekje më të larta dhe aftësi të veçanta në zbatimin e teorisë. Në favor të përfundimeve tona, nuk duhet parë nga një prizëm. Deri kohët e fundit, besohej se një grup i mbyllur rritet me shpejtësi mbi rajonin ashtu siç është dhe zgjidhja e ekuacioneve thjesht duhet të hetohet. Në fazën e parë, ne nuk i morëm parasysh të gjitha opsionet e mundshme, por kjo qasje është më e justifikuar se kurrë. Veprimet shtesë me kllapa justifikojnë disa përparime përgjatë boshteve të ordinatave dhe abshisave, të cilat nuk mund të anashkalohen me sy të lirë. Në kuptimin e një rritjeje proporcionale të gjerë të funksionit, ekziston një pikë e përkuljes. Edhe një herë do të vërtetojmë se si do të zbatohet kushti i nevojshëm gjatë gjithë intervalit të uljes së një ose një pozicioni tjetër zbritës të vektorit. Në një hapësirë ​​të kufizuar, ne do të zgjedhim një variabël nga blloku fillestar i skriptit tonë. Një sistem i ndërtuar si bazë përgjatë tre vektorëve është përgjegjës për mungesën e momentit kryesor të forcës. Megjithatë, kalkulatori i ekuacionit gjeneroi dhe ndihmoi në gjetjen e të gjitha termave të ekuacionit të ndërtuar, si mbi sipërfaqe ashtu edhe përgjatë vijave paralele. Le të vizatojmë një rreth rreth pikës së fillimit. Kështu, ne do të fillojmë të lëvizim lart përgjatë vijave të seksionit, dhe tangjentja do të përshkruajë rrethin përgjatë gjithë gjatësisë së tij, duke rezultuar në një kurbë të quajtur involute. Meqë ra fjala, le të tregojmë pak histori për këtë kurbë. Fakti është se historikisht në matematikë nuk kishte asnjë koncept të vetë matematikës në kuptimin e saj të pastër siç është sot. Më parë, të gjithë shkencëtarët ishin të angazhuar në një detyrë të përbashkët, domethënë shkencën. Më vonë, disa shekuj më vonë, kur bota shkencore u mbush me një sasi kolosale informacioni, njerëzimi megjithatë identifikoi shumë disiplina. Ato mbeten ende të pandryshuara. E megjithatë, çdo vit, shkencëtarët në mbarë botën përpiqen të provojnë se shkenca është e pakufishme dhe ju nuk do ta zgjidhni ekuacionin nëse nuk keni njohuri për shkencat natyrore. Mund të mos jetë e mundur që përfundimisht t'i jepet fund. Të mendosh për këtë është po aq e kotë sa ngrohja e ajrit jashtë. Le të gjejmë intervalin në të cilin argumenti, nëse vlera e tij është pozitive, do të përcaktojë modulin e vlerës në një drejtim në rritje të mprehtë. Reagimi do t'ju ndihmojë të gjeni të paktën tre zgjidhje, por do t'ju duhet t'i kontrolloni ato. Le të fillojmë me faktin se ne duhet të zgjidhim ekuacionin në internet duke përdorur shërbimin unik të faqes sonë të internetit. Le të fusim të dy anët e ekuacionit të dhënë, të klikojmë në butonin "ZGJIDH" dhe të marrim përgjigjen e saktë brenda vetëm disa sekondave. Në raste të veçanta, le të marrim një libër për matematikën dhe të kontrollojmë dy herë përgjigjen tonë, domethënë, të shikojmë vetëm përgjigjen dhe gjithçka do të bëhet e qartë. I njëjti projekt për një paralelipiped artificial të tepërt do të fluturojë jashtë. Ekziston një paralelogram me anët e tij paralele, dhe ai shpjegon shumë parime dhe qasje për të studiuar marrëdhëniet hapësinore të procesit ngjitës të akumulimit të hapësirës së zbrazët në formulat e formës natyrore. Ekuacionet lineare të paqarta tregojnë varësinë e ndryshores së dëshiruar nga zgjidhja jonë e përgjithshme në një kohë të caktuar, dhe ne duhet të nxjerrim disi dhe ta sjellim fraksionin e papërshtatshëm në një rast jo të parëndësishëm. Shënoni dhjetë pika në vijën e drejtë dhe vizatoni një kurbë nëpër secilën pikë në drejtimin e dhënë, me pikën konvekse lart. Pa ndonjë vështirësi të veçantë, kalkulatori ynë i ekuacionit do të paraqesë një shprehje në atë formë që kontrolli i tij për vlefshmërinë e rregullave do të jetë i dukshëm edhe në fillim të regjistrimit. Sistemi i paraqitjeve speciale të stabilitetit për matematikanët vjen i pari, përveç nëse parashikohet ndryshe nga formula. Ne do t'i përgjigjemi kësaj me një prezantim të detajuar të një raporti mbi temën e gjendjes izomorfike të një sistemi plastik të trupave dhe zgjidhja e ekuacioneve në internet do të përshkruajë lëvizjen e secilës pikë materiale në këtë sistem. Në nivelin e hulumtimit të thelluar, do të jetë e nevojshme të sqarohet në detaje çështja e përmbysjeve të të paktën shtresës së poshtme të hapësirës. Duke u ngjitur në pjesën ku funksioni është i ndërprerë, do të zbatojmë metodën e përgjithshme të një studiuesi të shkëlqyer, meqë ra fjala, bashkatdhetarit tonë dhe do të tregojmë më poshtë për sjelljen e avionit. Për shkak të karakteristikave të forta të një funksioni të përcaktuar në mënyrë analitike, ne përdorim vetëm kalkulatorin e ekuacionit në internet për qëllimin e tij të synuar brenda kufijve të autoritetit që rrjedhin. Duke arsyetuar më tej, ne do ta fokusojmë rishikimin tonë në homogjenitetin e vetë ekuacionit, domethënë ana e djathtë e tij është e barabartë me zero. Le të sigurohemi edhe një herë që vendimi ynë në matematikë është i saktë. Për të shmangur marrjen e një zgjidhjeje të parëndësishme, ne do të bëjmë disa rregullime në kushtet fillestare për problemin e stabilitetit të kushtëzuar të sistemit. Le të krijojmë një ekuacion kuadratik, për të cilin shkruajmë dy hyrje duke përdorur një formulë të njohur dhe gjejmë rrënjët negative. Nëse një rrënjë është pesë njësi më e madhe se rrënja e dytë dhe e tretë, atëherë duke bërë ndryshime në argumentin kryesor ne shtrembërojmë kushtet fillestare të nëndetyrës. Nga vetë natyra e saj, diçka e pazakontë në matematikë mund të përshkruhet gjithmonë me të qindtën më të afërt të një numri pozitiv. Llogaritësi i fraksionit është disa herë më i lartë se analogët e tij në burime të ngjashme në momentin më të mirë të ngarkesës së serverit. Në sipërfaqen e vektorit të shpejtësisë që rritet përgjatë boshtit të ordinatave, ne vizatojmë shtatë vija, të përkulura në drejtime të kundërta me njëra-tjetrën. Krahasueshmëria e argumentit të funksionit të caktuar është përpara leximeve të numëruesit të bilancit të rikuperimit. Në matematikë, këtë fenomen mund ta paraqesim përmes një ekuacioni kub me koeficientë imagjinarë, si dhe në progresionin bipolar të vijave në rënie. Pikat kritike të ndryshimit të temperaturës në shumë kuptime dhe progresion të tyre përshkruajnë procesin e zbërthimit të një funksioni fraksional kompleks në faktorë. Nëse ju thuhet të zgjidhni një ekuacion, mos nxitoni ta bëni atë menjëherë, përfundimisht së pari vlerësoni të gjithë planin e veprimit dhe vetëm atëherë merrni qasjen e duhur. Sigurisht që do të ketë përfitime. Lehtësia e punës është e dukshme dhe e njëjta gjë vlen edhe në matematikë. Zgjidheni ekuacionin në internet. Të gjitha ekuacionet online përfaqësojnë një lloj të caktuar regjistrimi të numrave ose parametrave dhe një ndryshore që duhet të përcaktohet. Llogaritni këtë variabël, domethënë gjeni vlera specifike ose intervale të një grupi vlerash në të cilat do të mbahet identiteti. Kushtet fillestare dhe përfundimtare varen drejtpërdrejt. Zgjidhja e përgjithshme e ekuacioneve zakonisht përfshin disa ndryshore dhe konstante, duke vendosur të cilat do të marrim familje të tëra zgjidhjesh për një deklaratë të caktuar problemore. Në përgjithësi, kjo justifikon përpjekjet e investuara në rritjen e funksionalitetit të një kubi hapësinor me një anë të barabartë me 100 centimetra. Ju mund të aplikoni një teoremë ose lemë në çdo fazë të ndërtimit të një përgjigjeje. Faqja prodhon gradualisht një kalkulator ekuacioni nëse është e nevojshme të tregohet vlera më e vogël në çdo interval të përmbledhjes së produkteve. Në gjysmën e rasteve, një top i tillë, duke qenë i zbrazët, nuk i plotëson më kërkesat për vendosjen e një përgjigjeje të ndërmjetme. Të paktën në boshtin e ordinatave në drejtim të reduktimit të paraqitjes së vektorit, kjo proporcion do të jetë padyshim më optimale se shprehja e mëparshme. Në orën kur kryhet një analizë e plotë e pikave mbi funksionet lineare, ne në fakt do të bashkojmë të gjithë numrat tanë kompleksë dhe hapësirat planare bipolare. Duke zëvendësuar një ndryshore në shprehjen që rezulton, ju do të zgjidhni ekuacionin hap pas hapi dhe do të jepni përgjigjen më të detajuar me saktësi të lartë. Do të ishte një formë e mirë nga ana e një studenti që të kontrollonte edhe një herë veprimet e tij në matematikë. Përqindja në raportin e fraksioneve regjistroi integritetin e rezultatit në të gjitha fushat e rëndësishme të veprimtarisë së vektorit zero. Trivialiteti konfirmohet në fund të veprimeve të përfunduara. Me një detyrë të thjeshtë, studentët mund të mos kenë ndonjë vështirësi nëse e zgjidhin ekuacionin online në kohën më të shkurtër të mundshme, por mos harrojnë të gjitha rregullat e ndryshme. Një grup nënbashkësish kryqëzohen në një rajon të shënimit konvergjent. Në raste të ndryshme, produkti nuk faktorizohet gabimisht. Ju do të ndihmoheni për të zgjidhur ekuacionin online në seksionin tonë të parë, kushtuar bazave të teknikave matematikore për seksione të rëndësishme për studentët në universitete dhe kolegje teknike. Nuk do të na duhet të presim disa ditë për përgjigje, pasi procesi i ndërveprimit më të mirë të analizës vektoriale me gjetjen sekuenciale të zgjidhjeve u patentua në fillim të shekullit të kaluar. Rezulton se përpjekjet për të krijuar marrëdhënie me ekipin përreth nuk kanë qenë të kota. Disa breza më vonë, shkencëtarët në mbarë botën i bënë njerëzit të besojnë se matematika është mbretëresha e shkencave. Qoftë përgjigja e majtë apo e djathta, megjithatë, termat shterues duhet të shkruhen në tre rreshta, pasi në rastin tonë patjetër do të flasim vetëm për analizën vektoriale të vetive të matricës. Ekuacionet jolineare dhe lineare, së bashku me ekuacionet bikuadratike, zunë një vend të veçantë në librin tonë për metodat më të mira për llogaritjen e trajektores së lëvizjes në hapësirën e të gjitha pikave materiale të një sistemi të mbyllur. Një analizë lineare e produktit skalar të tre vektorëve të njëpasnjëshëm do të na ndihmojë të realizojmë idenë. Në fund të çdo deklarate, detyra bëhet më e lehtë duke zbatuar përjashtime numerike të optimizuara në mbivendosjet e hapësirës së numrave që po kryhen. Një gjykim i ndryshëm nuk do të bëjë kontrast me përgjigjen e gjetur në formën arbitrare të një trekëndëshi në një rreth. Këndi midis dy vektorëve përmban përqindjen e kërkuar të diferencës, dhe zgjidhja e ekuacioneve në internet shpesh zbulon një rrënjë të caktuar të përbashkët të ekuacionit në krahasim me kushtet fillestare. Përjashtimi luan rolin e një katalizatori në të gjithë procesin e pashmangshëm të gjetjes së një zgjidhjeje pozitive në fushën e përcaktimit të një funksioni. Nëse nuk thuhet se nuk mund të përdorni një kompjuter, atëherë një kalkulator i ekuacioneve në internet është i duhuri për problemet tuaja të vështira. Thjesht duhet të futni të dhënat tuaja të kushtëzuara në formatin e duhur dhe serveri ynë do të lëshojë një përgjigje të plotë rezultuese në kohën më të shkurtër të mundshme. Një funksion eksponencial rritet shumë më shpejt se ai linear. Talmudet e literaturës së zgjuar të bibliotekës dëshmojnë për këtë. Do të kryejë një llogaritje në kuptimin e përgjithshëm siç do të bënte një ekuacion i dhënë kuadratik me tre koeficientë kompleksë. Parabola në pjesën e sipërme të gjysmërrafshit karakterizon lëvizjen paralele drejtvizore përgjatë boshteve të pikës. Këtu vlen të përmendet ndryshimi potencial në hapësirën e punës së trupit. Në këmbim të një rezultati jo optimal, llogaritësi ynë i fraksionit me të drejtë zë pozicionin e parë në vlerësimin matematikor të rishikimit të programeve funksionale në anën e serverit. Lehtësia e përdorimit të këtij shërbimi do të vlerësohet nga miliona përdorues të internetit. Nëse nuk dini si ta përdorni, ne do të jemi të lumtur t'ju ndihmojmë. Gjithashtu dëshirojmë të vëmë re dhe të theksojmë veçanërisht ekuacionin kub nga një sërë problemesh të shkollës fillore, kur është e nevojshme të gjejmë shpejt rrënjët e tij dhe të ndërtojmë një grafik të funksionit në një plan. Shkalla më e lartë e riprodhimit është një nga problemet komplekse matematikore në institut dhe një numër i mjaftueshëm orësh ndahen për studimin e tij. Ashtu si të gjitha ekuacionet lineare, edhe ekuacionet tona nuk bëjnë përjashtim sipas shumë rregullave objektive nga këndvështrime të ndryshme dhe do të jetë e thjeshtë dhe e mjaftueshme për të vendosur kushtet fillestare. Intervali i rritjes përkon me intervalin e konveksitetit të funksionit. Zgjidhja e ekuacioneve në internet. Studimi i teorisë bazohet në ekuacione në internet nga seksione të shumta mbi studimin e disiplinës kryesore. Në rastin e kësaj qasjeje në problemet e pasigurta, është shumë e thjeshtë të paraqitet zgjidhja e ekuacioneve në një formë të paracaktuar dhe jo vetëm të nxirren përfundime, por edhe të parashikohet rezultati i një zgjidhjeje kaq pozitive. Një shërbim në traditat më të mira të matematikës do të na ndihmojë të mësojmë fushën e lëndës, ashtu siç është zakon në Lindje. Në momentet më të mira të intervalit kohor, detyra të ngjashme shumëzoheshin me një faktor të përbashkët prej dhjetë. Bollëku i shumëzimeve të variablave të shumtë në kalkulatorin e ekuacionit filloi të shumëzohej me cilësi dhe jo me variablat sasiorë si masa ose pesha e trupit. Për të shmangur rastet e çekuilibrit të sistemit material, nxjerrja e një transformatori tredimensional në konvergjencën e parëndësishme të matricave matematikore jo të degjeneruara është mjaft e dukshme për ne. Plotësoni detyrën dhe zgjidhni ekuacionin në koordinatat e dhëna, pasi përfundimi është i panjohur paraprakisht, ashtu si të gjitha variablat e përfshirë në kohën pas-hapësirës. Për një kohë të shkurtër, hiqni faktorin e përbashkët nga kllapat dhe ndani paraprakisht të dyja anët me faktorin më të madh të përbashkët. Nga nëngrupi i mbuluar i numrave që rezulton, nxirrni në mënyrë të detajuar tridhjetë e tre pika me radhë në një periudhë të shkurtër. Për aq sa është e mundur që çdo student të zgjidhë një ekuacion online në mënyrën më të mirë të mundshme, duke parë përpara, le të themi një gjë e rëndësishme, por kyçe, pa të cilën do të jetë e vështirë të jetosh në të ardhmen. Në shekullin e kaluar, shkencëtari i madh vuri re një sërë modelesh në teorinë e matematikës. Në praktikë, rezultati nuk ishte përshtypja e pritshme e ngjarjeve. Megjithatë, në parim, pikërisht kjo zgjidhje e ekuacioneve në internet ndihmon për të përmirësuar të kuptuarit dhe perceptimin e një qasjeje holistike për studimin dhe konsolidimin praktik të materialit teorik të mbuluar nga studentët. Është shumë më e lehtë për ta bërë këtë gjatë kohës së studimit.

=

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve