Formulat e logaritmeve për zgjidhjen e ekuacioneve në internet. Zgjidhja e ekuacioneve logaritmike - Mësimi përfundimtar

Siç e dini, kur shumëzohen shprehjet me fuqi, eksponentët e tyre gjithmonë mblidhen (a b *a c = a b+c). Ky ligj matematik u nxor nga Arkimedi, dhe më vonë, në shekullin e 8-të, matematikani Virasen krijoi një tabelë të eksponentëve të numrave të plotë. Ishin ata që shërbyen për zbulimin e mëtejshëm të logaritmeve. Shembuj të përdorimit të këtij funksioni mund të gjenden pothuajse kudo ku është e nevojshme të thjeshtohet shumëzimi i rëndë me mbledhje të thjeshtë. Nëse kaloni 10 minuta duke lexuar këtë artikull, ne do t'ju shpjegojmë se çfarë janë logaritmet dhe si të punoni me to. Në një gjuhë të thjeshtë dhe të arritshme.

Përkufizimi në matematikë

Një logaritëm është një shprehje e formës së mëposhtme: log a b=c, d.m.th., logaritmi i çdo numri jonegativ (d.m.th., çdo pozitiv) "b" në bazën e tij "a" konsiderohet të jetë fuqia "c. ” në të cilën baza “a” duhet të ngrihet për të marrë në fund vlerën “b”. Le të analizojmë logaritmin duke përdorur shembuj, le të themi se ekziston një shprehje log 2 8. Si të gjejmë përgjigjen? Është shumë e thjeshtë, ju duhet të gjeni një fuqi të tillë që nga 2 në fuqinë e kërkuar të merrni 8. Pasi të keni bërë disa llogaritje në kokën tuaj, marrim numrin 3! Dhe kjo është e vërtetë, sepse 2 në fuqinë e 3 jep përgjigjen si 8.

Llojet e logaritmeve

Për shumë nxënës dhe studentë, kjo temë duket e ndërlikuar dhe e pakuptueshme, por në fakt logaritmet nuk janë aq të frikshme, gjëja kryesore është të kuptoni kuptimin e tyre të përgjithshëm dhe të mbani mend vetitë e tyre dhe disa rregulla. Ekzistojnë tre lloje të veçanta të shprehjeve logaritmike:

1. Logaritmi natyror ln a, ku baza është numri i Euler-it (e = 2.7).
2. Dhjetor a, ku baza është 10.
3. Logaritmi i çdo numri b në bazën a>1.

Secila prej tyre zgjidhet në një mënyrë standarde, duke përfshirë thjeshtimin, reduktimin dhe reduktimin pasues në një logaritëm të vetëm duke përdorur teorema logaritmike. Për të marrë vlerat e sakta të logaritmeve, duhet të mbani mend vetitë e tyre dhe sekuencën e veprimeve gjatë zgjidhjes së tyre.

Rregulla dhe disa kufizime

Në matematikë ka disa rregulla-kufizime që pranohen si aksiomë, pra nuk janë objekt diskutimi dhe janë të vërteta. Për shembull, është e pamundur të ndash numrat me zero, dhe është gjithashtu e pamundur të nxjerrësh rrënjën çift të numrave negativë. Logaritmet gjithashtu kanë rregullat e tyre, duke ndjekur të cilat lehtë mund të mësoni të punoni edhe me shprehje logaritmike të gjata dhe të mëdha:

• Baza "a" duhet të jetë gjithmonë më e madhe se zero dhe jo e barabartë me 1, përndryshe shprehja do të humbasë kuptimin e saj, sepse "1" dhe "0" në çdo shkallë janë gjithmonë të barabarta me vlerat e tyre;
• nëse a > 0, atëherë a b >0, rezulton se edhe “c” duhet të jetë më e madhe se zero.

Si të zgjidhni logaritmet?

Për shembull, jepet detyra për të gjetur përgjigjen e ekuacionit 10 x = 100. Kjo është shumë e lehtë, ju duhet të zgjidhni një fuqi duke ngritur numrin dhjetë në të cilin marrim 100. Kjo, natyrisht, është 10 2 = 100.

Tani le ta paraqesim këtë shprehje në formë logaritmike. Marrim log 10 100 = 2. Kur zgjidhim logaritme, të gjitha veprimet praktikisht konvergojnë për të gjetur fuqinë në të cilën është e nevojshme të futet baza e logaritmit për të marrë një numër të caktuar.

Për të përcaktuar me saktësi vlerën e një shkalle të panjohur, duhet të mësoni se si të punoni me një tabelë gradash. Duket kështu:

Siç mund ta shihni, disa eksponentë mund të merren me mend në mënyrë intuitive nëse keni një mendje teknike dhe njohuri për tabelën e shumëzimit. Sidoqoftë, për vlera më të mëdha do t'ju duhet një tavolinë energjie. Mund të përdoret edhe nga ata që nuk dinë asgjë për tema komplekse matematikore. Kolona e majtë përmban numra (baza a), rreshti i sipërm i numrave është vlera e fuqisë c në të cilën është ngritur numri a. Në kryqëzim, qelizat përmbajnë vlerat e numrave që janë përgjigja (a c =b). Le të marrim, për shembull, qelizën e parë me numrin 10 dhe ta katrorojmë atë, marrim vlerën 100, e cila tregohet në kryqëzimin e dy qelizave tona. Gjithçka është aq e thjeshtë dhe e lehtë sa që edhe humanisti më i vërtetë do ta kuptojë!

Ekuacionet dhe pabarazitë

Rezulton se në kushte të caktuara eksponenti është logaritmi. Prandaj, çdo shprehje numerike matematikore mund të shkruhet si barazi logaritmike. Për shembull, 3 4 = 81 mund të shkruhet si logaritmi bazë 3 i 81 i barabartë me katër (log 3 81 = 4). Për fuqitë negative rregullat janë të njëjta: 2 -5 = 1/32 e shkruajmë si logaritëm, marrim log 2 (1/32) = -5. Një nga seksionet më tërheqëse të matematikës është tema e "logaritmeve". Ne do të shikojmë shembujt dhe zgjidhjet e ekuacioneve më poshtë, menjëherë pasi të studiojmë vetitë e tyre. Tani le të shohim se si duken pabarazitë dhe si t'i dallojmë ato nga ekuacionet.

Është dhënë shprehja e mëposhtme: log 2 (x-1) > 3 - është një pabarazi logaritmike, pasi vlera e panjohur "x" është nën shenjën logaritmike. Dhe gjithashtu në shprehjen krahasohen dy madhësi: logaritmi i numrit të dëshiruar me bazën dy është më i madh se numri tre.

Dallimi më i rëndësishëm midis ekuacioneve logaritmike dhe pabarazive është se ekuacionet me logaritme (për shembull, logaritmi 2 x = √9) nënkuptojnë një ose më shumë vlera numerike specifike në përgjigje, ndërsa kur zgjidhet një pabarazi, të dy diapazoni i pranueshëm vlerat dhe pikat përcaktohen duke thyer këtë funksion. Si pasojë, përgjigja nuk është një grup i thjeshtë numrash individualë, si në përgjigjen e një ekuacioni, por një seri e vazhdueshme ose grup numrash.

Teorema themelore rreth logaritmeve

Kur zgjidhni detyra primitive për gjetjen e vlerave të logaritmit, vetitë e tij mund të mos dihen. Megjithatë, kur bëhet fjalë për ekuacionet logaritmike ose pabarazitë, para së gjithash, është e nevojshme të kuptohen qartë dhe të zbatohen në praktikë të gjitha vetitë themelore të logaritmeve. Ne do t'i shikojmë shembujt e ekuacioneve më vonë, le të shohim më në detaje secilën veçori.

1. Identiteti kryesor duket si ky: a logaB =B. Zbatohet vetëm kur a është më e madhe se 0, jo e barabartë me një, dhe B është më e madhe se zero.
2. Logaritmi i produktit mund të paraqitet në formulën e mëposhtme: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Në këtë rast, kushti i detyrueshëm është: d, s 1 dhe s 2 > 0; a≠1. Ju mund të jepni një provë për këtë formulë logaritmike, me shembuj dhe zgjidhje. Le të log a s 1 = f 1 dhe log a s 2 = f 2, pastaj a f1 = s 1, a f2 = s 2. Marrim se s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (vetitë e gradë ), dhe më pas sipas përkufizimit: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, që është ajo që duhej vërtetuar.
3. Logaritmi i herësit duket kështu: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Teorema në formën e një formule merr formën e mëposhtme: log a q b n = n/q log a b.

Kjo formulë quhet "vetia e shkallës së logaritmit". Ajo i ngjan vetive të shkallëve të zakonshme dhe nuk është për t'u habitur, sepse e gjithë matematika bazohet në postulate natyrore. Le të shohim provën.

Le të log a b = t, rezulton një t =b. Nëse i ngremë të dyja pjesët në fuqinë m: a tn = b n ;

por meqenëse a tn = (a q) nt/q = b n, prandaj log a q b n = (n*t)/t, atëherë log a q b n = n/q log a b. Teorema është vërtetuar.

Shembuj problemesh dhe pabarazish

Llojet më të zakonshme të problemeve në logaritme janë shembuj të ekuacioneve dhe pabarazive. Ato gjenden pothuajse në të gjitha librat me probleme, si dhe janë pjesë e detyrueshme e provimeve të matematikës. Për të hyrë në një universitet ose për të kaluar provimet pranuese në matematikë, duhet të dini se si t'i zgjidhni saktë detyra të tilla.

Fatkeqësisht, nuk ka asnjë plan ose skemë të vetme për zgjidhjen dhe përcaktimin e vlerës së panjohur të logaritmit, por disa rregulla mund të zbatohen për çdo pabarazi matematikore ose ekuacion logaritmik. Para së gjithash, duhet të zbuloni nëse shprehja mund të thjeshtohet ose reduktohet në një formë të përgjithshme. Ju mund të thjeshtoni shprehjet e gjata logaritmike nëse përdorni saktë vetitë e tyre. Le t'i njohim shpejt.

Kur zgjidhim ekuacione logaritmike, duhet të përcaktojmë se çfarë lloj logaritmi kemi: një shprehje shembull mund të përmbajë një logaritëm natyror ose një dhjetor.

Këtu janë shembuj ln100, ln1026. Zgjidhja e tyre zbret në faktin se ata duhet të përcaktojnë fuqinë në të cilën baza 10 do të jetë e barabartë me 100 dhe 1026, përkatësisht. Për të zgjidhur logaritmet natyrore, duhet të aplikoni identitete logaritmike ose vetitë e tyre. Le të shohim shembuj të zgjidhjes së problemeve logaritmike të llojeve të ndryshme.

Si të përdorni formulat e logaritmit: me shembuj dhe zgjidhje

Pra, le të shohim shembuj të përdorimit të teoremave bazë rreth logaritmeve.

1. Vetia e logaritmit të një produkti mund të përdoret në detyra ku është e nevojshme të zbërthehet një vlerë e madhe e numrit b në faktorë më të thjeshtë. Për shembull, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Përgjigja është 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - siç mund ta shihni, duke përdorur vetinë e katërt të fuqisë së logaritmit, arritëm të zgjidhim një shprehje në dukje komplekse dhe të pazgjidhshme. Thjesht duhet të faktorizoni bazën dhe më pas të hiqni vlerat e eksponentit nga shenja e logaritmit.

Detyra nga Provimi i Unifikuar i Shtetit

Logaritmet gjenden shpesh në provimet pranuese, veçanërisht shumë probleme logaritmike në Provimin e Unifikuar të Shtetit (provim shtetëror për të gjithë maturantët). Në mënyrë tipike, këto detyra janë të pranishme jo vetëm në pjesën A (pjesa më e lehtë testuese e provimit), por edhe në pjesën C (detyrat më komplekse dhe më voluminoze). Provimi kërkon njohuri të sakta dhe të përsosura të temës “Logaritmet natyrore”.

Shembujt dhe zgjidhjet e problemeve janë marrë nga versionet zyrtare të Provimit të Unifikuar të Shtetit. Le të shohim se si zgjidhen detyra të tilla.

Jepet log 2 (2x-1) = 4. Zgjidhje:
le ta rishkruajmë shprehjen, duke e thjeshtuar pak log 2 (2x-1) = 2 2, me përcaktimin e logaritmit marrim se 2x-1 = 2 4, pra 2x = 17; x = 8,5.

• Është mirë që të reduktohen të gjitha logaritmet në të njëjtën bazë në mënyrë që zgjidhja të mos jetë e rëndë dhe konfuze.
• Të gjitha shprehjet nën shenjën e logaritmit tregohen si pozitive, prandaj, kur eksponenti i një shprehjeje që është nën shenjën e logaritmit dhe si bazë e saj nxirret si shumëzues, shprehja e mbetur nën logaritëm duhet të jetë pozitive.

Ruajtja e privatësisë suaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi rishikoni praktikat tona të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.

Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal

Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar ose kontaktuar një person specifik.

Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.

Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.

Çfarë informacioni personal mbledhim:

• Kur dorëzoni një aplikim në sajt, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin tuaj, numrin e telefonit, adresën e emailit, etj.

Si i përdorim të dhënat tuaja personale:

• Informacioni personal që mbledhim na lejon t'ju kontaktojmë me oferta unike, promovime dhe ngjarje të tjera dhe ngjarje të ardhshme.
• Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për të dërguar njoftime dhe komunikime të rëndësishme.
• Ne gjithashtu mund të përdorim të dhënat personale për qëllime të brendshme, si kryerja e auditimeve, analizave të të dhënave dhe kërkimeve të ndryshme, me qëllim që të përmirësojmë shërbimet që ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
• Nëse merrni pjesë në një tërheqje çmimesh, konkurs ose promovim të ngjashëm, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.

Zbulimi i informacionit palëve të treta

Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.

Përjashtimet:

• Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, procedurën gjyqësore, në procedurat ligjore dhe/ose në bazë të kërkesave publike ose kërkesave nga organet qeveritare në Federatën Ruse - për të zbuluar informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione për ju nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për qëllime sigurie, zbatimi të ligjit ose qëllime të tjera me rëndësi publike.
• Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë informacionet personale që mbledhim te pala e tretë pasardhëse e aplikueshme.

Mbrojtja e informacionit personal

Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe qasja, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.

Respektimi i privatësisë suaj në nivel kompanie

Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne i komunikojmë punonjësve tanë standardet e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.

Algjebra klasa e 11-të

Tema: “Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve logaritmike”

Objektivat e mësimit:

arsimore: zhvillimi i njohurive për mënyra të ndryshme për zgjidhjen e ekuacioneve logaritmike, aftësia për t'i zbatuar ato në çdo situatë specifike dhe për të zgjedhur çdo metodë për zgjidhje;

duke zhvilluar: zhvillimi i aftësive për të vëzhguar, krahasuar, zbatuar njohuritë në një situatë të re, identifikimin e modeleve, përgjithësimin; zhvillimi i aftësive të kontrollit të ndërsjellë dhe vetëkontrollit;

arsimore: edukimi i një qëndrimi të përgjegjshëm ndaj punës edukative, perceptimi i vëmendshëm i materialit në mësim dhe mbajtja e kujdesshme e shënimeve.

Lloji i mësimit : mësim mbi prezantimin e materialit të ri.

“Shpikja e logaritmeve, ndërkohë që zvogëloi punën e astronomit, zgjati jetën e tij.”
Matematikani dhe astronomi francez P.S. Laplace

Gjatë orëve të mësimit

I. Vendosja e qëllimit të mësimit

Përkufizimi i studiuar i logaritmit, vetitë e logaritmit dhe funksioni logaritmik do të na lejojë të zgjidhim ekuacionet logaritmike. Të gjitha ekuacionet logaritmike, pavarësisht sa komplekse janë, zgjidhen duke përdorur algoritme uniforme. Ne do t'i shikojmë këto algoritme në mësimin e sotëm. Nuk ka shumë prej tyre. Nëse i zotëroni ato, atëherë çdo ekuacion me logaritme do të jetë i realizueshëm për secilin prej jush.

Shkruani temën e mësimit në fletoren tuaj: "Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve logaritmike". I ftoj të gjithë të bashkëpunojnë.

II. Përditësimi i njohurive referuese

Le të përgatitemi për të studiuar temën e mësimit. Ju zgjidhni çdo detyrë dhe shkruani përgjigjen, nuk keni pse të shkruani kushtin. Punë në çift.

1) Për cilat vlera të x ka kuptim funksioni:

A)

b)

V)

d)

(Përgjigjet kontrollohen për çdo rrëshqitje dhe gabimet zgjidhen)

2) A përputhen grafikët e funksioneve?

a) y = x dhe

b)Dhe

3) Rishkruani barazitë si barazi logaritmike:

4) Shkruani numrat si logaritme me bazën 2:

4 =

2 =

0,5 =

1 =

5) Llogaritni :

6) Përpiquni të rivendosni ose plotësoni elementet që mungojnë në këto barazi.

III. Hyrje në materialin e ri

Deklarata e mëposhtme shfaqet në ekran:

"Ekuacioni është çelësi i artë që hap të gjitha susamet matematikore."
Matematikani modern polak S. Kowal

Mundohuni të formuloni përkufizimin e një ekuacioni logaritmik. (Ekuacion që përmban një të panjohur nën shenjën e logaritmit ).

Le të shqyrtojmëekuacioni më i thjeshtë logaritmik: log A x = b (ku a>0, a ≠ 1). Meqenëse funksioni logaritmik rritet (ose zvogëlohet) në bashkësinë e numrave pozitivë dhe merr të gjitha vlerat reale, atëherë nga teorema e rrënjës del se për çdo b ky ekuacion ka, dhe vetëm një, zgjidhje dhe një pozitive.

Mos harroni përkufizimin e logaritmit. (Logaritmi i një numri x në bazën a është një tregues i fuqisë në të cilën baza a duhet të ngrihet për të marrë numrin x ). Nga përkufizimi i logaritmit rrjedh menjëherë seA V është një zgjidhje e tillë.

Shkruani titullin:Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve logaritmike

1. Sipas përkufizimit të logaritmit .

Kështu zgjidhen ekuacionet më të thjeshta të formës.

Le të shqyrtojmëNr. 514 (a) ): Zgjidhe ekuacionin

Si propozoni ta zgjidhni atë? (Sipas përkufizimit të logaritmit )

Zgjidhje . , Prandaj 2x – 4 = 4; x = 4.

Përgjigje: 4.

Në këtë detyrë 2x – 4 > 0, pasi> 0, kështu që nuk mund të shfaqen rrënjë të jashtme, dhenuk ka nevojë të kontrollohet . Nuk ka nevojë të shkruani kushtin 2x – 4 > 0 në këtë detyrë.

2. Potentizimi (kalimi nga logaritmi i një shprehjeje të dhënë në vetë këtë shprehje).

Le të shqyrtojmëNr. 519 (g): log 5 ( x 2 +8)- log 5 ( x+1)=3 log 5 2

Çfarë veçorie keni vënë re?(Bazat janë të njëjta dhe logaritmet e dy shprehjeve janë të barabarta) . Çfarë mund të bëhet?(Potencoj).

Duhet të kihet parasysh se çdo zgjidhje gjendet në mesin e të gjitha x-ve për të cilat shprehjet logaritmike janë pozitive.

Zgjidhja: ODZ:

X 2 +8>0 pabarazi e panevojshme

log 5 ( x 2 +8) = log 5 2 3 + log 5 ( x+1)

log 5 ( x 2 +8)= log 5 (8 x+8)

Le të fuqizojmë ekuacionin origjinal

x 2 +8= 8 x+8

marrim ekuacioninx 2 +8= 8 x+8

Le ta zgjidhim:x 2 -8 x=0

x=0, x=8

Përgjigje: 0; 8

Në përgjithësikalimi në një sistem ekuivalent :

Ekuacioni

(Sistemi përmban një kusht të tepërt - një nga pabarazitë nuk duhet të merret parasysh).

Pyetje për klasën : Cila nga këto tre zgjidhje ju pëlqeu më shumë? (Diskutim i metodave).

Ju keni të drejtë të vendosni në çfarëdo mënyre.

3. Prezantimi i një variabli të ri .

Le të shqyrtojmëNr. 520 (g) . .

Çfarë keni vënë re? (Ky është një ekuacion kuadratik në lidhje me log3x) Sugjerimet tuaja? (Futni një variabël të ri)

Zgjidhje . ODZ: x > 0.

Le, atëherë ekuacioni do të marrë formën:. Diskriminuesi D > 0. Rrënjët sipas teoremës së Vietës:.

Le të kthehemi te zëvendësimi:ose.

Pasi kemi zgjidhur ekuacionet më të thjeshta logaritmike, marrim:

; .

Përgjigju : 27;

4. Logaritmi të dy anët e ekuacionit.

Zgjidhe ekuacionin:.

Zgjidhje : ODZ: x>0, le të marrim logaritmin e të dy anëve të ekuacionit në bazën 10:

. Le të zbatojmë vetinë e logaritmit të një fuqie:

(logx + 3) logx =

(logx + 3) logx = 4

Le të logx = y, pastaj (y + 3)y = 4

, (D > 0) rrënjët sipas teoremës së Vietës: y1 = -4 dhe y2 = 1.

Le të kthehemi te zëvendësimi, marrim: lgx = -4,; logx = 1,. . Është si më poshtë: nëse një nga funksionet y = f(x) rritet, dhe tjetra y = g(x) zvogëlohet në intervalin X, pastaj ekuacioni f(x)= g(x) ka më së shumti një rrënjë në intervalin X .

Nëse ka një rrënjë, atëherë mund të merret me mend. .

Përgjigju : 2

“Zbatimi i saktë i metodave mund të mësohet nga
vetëm duke i zbatuar ato në shembuj të ndryshëm.”
Historiani danez i matematikës G. G. Zeiten

I V. Detyrë shtëpie

Fq. 39 shqyrto shembullin 3, zgjidh nr. 514 (b), nr. 529 (b), nr. 520 (b), nr. 523 (b)

V. Përmbledhja e mësimit

Cilat metoda të zgjidhjes së ekuacioneve logaritmike kemi parë në klasë?

Në mësimet e ardhshme do të shohim ekuacione më komplekse. Për t'i zgjidhur ato, metodat e studiuara do të jenë të dobishme.

Sllajdi i fundit i shfaqur:

“Çfarë ka më shumë se çdo gjë në botë?
Hapësirë.
Cila është gjëja më e mençur?
Koha.
Cila është pjesa më e mirë?
Arri atë që dëshiron”.
Tales

Uroj që të gjithë të arrijnë atë që duan. Faleminderit për bashkëpunimin dhe mirëkuptimin.

Zgjidhja e ekuacioneve logaritmike. Pjesa 1.

Ekuacioni logaritmikështë një ekuacion në të cilin e panjohura gjendet nën shenjën e logaritmit (në veçanti, në bazën e logaritmit).

Më e thjeshta ekuacioni logaritmik ka formën:

Zgjidhja e çdo ekuacioni logaritmik përfshin një kalim nga logaritmet në shprehje nën shenjën e logaritmeve. Sidoqoftë, ky veprim zgjeron gamën e vlerave të lejuara të ekuacionit dhe mund të çojë në shfaqjen e rrënjëve të jashtme. Për të shmangur shfaqjen e rrënjëve të huaja, mund të bëni një nga tre mënyrat:

1. Bëni një tranzicion ekuivalent nga ekuacioni origjinal në një sistem duke përfshirë

varësisht nga cili pabarazi apo më i thjeshtë.

Nëse ekuacioni përmban një të panjohur në bazën e logaritmit:

pastaj shkojmë te sistemi:

2. Gjeni veçmas gamën e vlerave të pranueshme të ekuacionit, pastaj zgjidhni ekuacionin dhe kontrolloni nëse zgjidhjet e gjetura e përmbushin ekuacionin.

3. Zgjidheni ekuacionin dhe më pas kontrolloni: Zëvendësoni zgjidhjet e gjetura në ekuacionin origjinal dhe kontrolloni nëse kemi barazinë e saktë.

Një ekuacion logaritmik i çdo niveli kompleksiteti gjithmonë përfundimisht reduktohet në ekuacionin logaritmik më të thjeshtë.

Të gjitha ekuacionet logaritmike mund të ndahen në katër lloje:

1 . Ekuacionet që përmbajnë logaritme vetëm në fuqinë e parë. Me ndihmën e shndërrimeve dhe përdorimit, ato sillen në formë

Shembull. Le të zgjidhim ekuacionin:

Le të barazojmë shprehjet nën shenjën e logaritmit:

Le të kontrollojmë nëse rrënja jonë e ekuacionit kënaq:

Po, kënaq.

Përgjigje: x=5

2 . Ekuacionet që përmbajnë logaritme me fuqi të ndryshme nga 1 (veçanërisht në emëruesin e një thyese). Ekuacione të tilla mund të zgjidhen duke përdorur duke futur një ndryshim të ndryshores.

Shembull. Le të zgjidhim ekuacionin:

Le të gjejmë ekuacionin ODZ:

Ekuacioni përmban logaritme në katror, ​​kështu që mund të zgjidhet duke përdorur një ndryshim të ndryshores.

E rëndësishme!

Para se të prezantoni një zëvendësim, duhet të "ndani" logaritmet që janë pjesë e ekuacionit në "tulla", duke përdorur vetitë e logaritmeve.

Kur "ndani" logaritmet, është e rëndësishme të përdorni me shumë kujdes vetitë e logaritmeve:

Për më tepër, këtu ka një pikë më delikate, dhe për të shmangur një gabim të zakonshëm, ne do të përdorim një barazi të ndërmjetme: do të shkruajmë shkallën e logaritmit në këtë formë:

Po kështu,

Le të zëvendësojmë shprehjet që rezultojnë në ekuacionin origjinal. Ne marrim: Tani shohim se e panjohura gjendet në ekuacion si pjesë e . Le të prezantojmë zëvendësimin

Ekuacioni logaritmik: . Meqenëse mund të marrë çdo vlerë reale, ne nuk vendosim asnjë kufizim mbi variablin.
është një ekuacion në të cilin e panjohura (x) dhe shprehjet me të janë nën shenjën e funksionit logaritmik. Zgjidhja e ekuacioneve logaritmike supozon se tashmë jeni njohur me dhe .

Si të zgjidhen ekuacionet logaritmike? Ekuacioni më i thjeshtë është log a x = b
, ku a dhe b janë disa numra, x është një i panjohur. Zgjidhja e një ekuacioni logaritmik

është x = a b me kusht: a > 0, a 1.

Duhet të theksohet se nëse x është diku jashtë logaritmit, për shembull log 2 x = x-2, atëherë një ekuacion i tillë tashmë quhet i përzier dhe nevojitet një qasje e veçantë për ta zgjidhur atë.

Rasti ideal është kur hasni në një ekuacion në të cilin nën shenjën e logaritmit janë vetëm numrat, për shembull x+2 = log 2 2. Këtu mjafton të njihni vetitë e logaritmeve për ta zgjidhur atë. Por një fat i tillë nuk ndodh shpesh, ndaj bëhuni gati për gjëra më të vështira.

Por së pari, le të fillojmë me ekuacione të thjeshta. Për t'i zgjidhur ato, këshillohet të keni një kuptim shumë të përgjithshëm të logaritmit.

Zgjidhja e ekuacioneve të thjeshta logaritmike

Për të zgjidhur një ekuacion logaritmik më kompleks, zakonisht reduktohet në zgjidhjen e një ekuacioni të zakonshëm algjebrik ose në zgjidhjen e një ekuacioni logaritmik të thjeshtë log a x = b. Në ekuacionet më të thjeshta kjo ndodh në një lëvizje, prandaj quhen më të thjeshtat.

Metoda e mësipërme e hedhjes së logaritmeve është një nga mënyrat kryesore për të zgjidhur ekuacionet logaritmike dhe pabarazitë. Në matematikë, ky operacion quhet fuqizim. Ekzistojnë rregulla ose kufizime të caktuara për këtë lloj operacioni:

• logaritmet kanë të njëjtat baza numerike
• Logaritmet në të dy anët e ekuacionit janë të lira, d.m.th. pa asnjë koeficient apo shprehje të llojeve të tjera të ndryshme.

Le të themi se në ekuacionin log 2 x = 2log 2 (1 - x) fuqizimi nuk është i zbatueshëm - koeficienti 2 në të djathtë nuk e lejon atë. Në shembullin e mëposhtëm, log 2 x+log 2 (1 - x) = log 2 (1+x) gjithashtu nuk plotëson një nga kufizimet - ka dy logaritme në të majtë. Nëse do të ishte vetëm një, do të ishte një çështje krejtësisht tjetër!

Në përgjithësi, ju mund të hiqni logaritmet vetëm nëse ekuacioni ka formën:

log a (...) = log a (...)

Absolutisht çdo shprehje mund të vendoset në kllapa, kjo nuk ka asnjë efekt në funksionimin e fuqizimit. Dhe pas eliminimit të logaritmeve, do të mbetet një ekuacion më i thjeshtë - linear, kuadratik, eksponencial, etj., Të cilin, shpresoj, tashmë e dini se si ta zgjidhni.

Le të marrim një shembull tjetër:

log 3 (2x-5) = log 3 x

Ne aplikojmë fuqizimin, marrim:

regjistri 3 (2x-1) = 2

Bazuar në përkufizimin e një logaritmi, domethënë, se një logaritëm është numri në të cilin baza duhet të ngrihet për të marrë një shprehje që është nën shenjën e logaritmit, d.m.th. (4x-1), marrim:

Përsëri morëm një përgjigje të bukur. Këtu bëmë pa eliminuar logaritmet, por fuqizimi është gjithashtu i zbatueshëm këtu, sepse një logaritëm mund të bëhet nga çdo numër, dhe pikërisht ai që na nevojitet. Kjo metodë është shumë e dobishme në zgjidhjen e ekuacioneve logaritmike dhe veçanërisht të pabarazive.

Le të zgjidhim ekuacionin tonë logaritmik log 3 (2x-1) = 2 duke përdorur fuqizimin:

Le të imagjinojmë numrin 2 si një logaritëm, për shembull, këtë regjistër 3 9, sepse 3 2 =9.

Pastaj log 3 (2x-1) = log 3 9 dhe përsëri marrim të njëjtin ekuacion 2x-1 = 9. Shpresoj se gjithçka është e qartë.

Pra, ne shikuam se si të zgjidhim ekuacionet më të thjeshta logaritmike, të cilat në fakt janë shumë të rëndësishme, sepse zgjidhja e ekuacioneve logaritmike, edhe ato më të tmerrshmet dhe më të përdredhurat, në fund gjithmonë zbret në zgjidhjen e ekuacioneve më të thjeshta.

Në gjithçka që bëmë më sipër, humbëm një pikë shumë të rëndësishme, e cila do të luajë një rol vendimtar në të ardhmen. Fakti është se zgjidhja e çdo ekuacioni logaritmik, qoftë edhe ai më elementar, përbëhet nga dy pjesë të barabarta. E para është zgjidhja e vetë ekuacionit, e dyta është duke punuar me gamën e vlerave të lejueshme (APV). Kjo është pikërisht pjesa e parë që kemi zotëruar. Në shembujt e mësipërm, ODZ nuk ndikon në përgjigjen në asnjë mënyrë, kështu që ne nuk e morëm parasysh atë.

Le të marrim një shembull tjetër:

regjistri 3 (x 2 -3) = regjistri 3 (2x)

Nga pamja e jashtme, ky ekuacion nuk ndryshon nga ai elementar, i cili mund të zgjidhet me shumë sukses. Por nuk është kështu. Jo, sigurisht që do ta zgjidhim, por ka shumë të ngjarë gabimisht, sepse përmban një pritë të vogël në të cilën bien menjëherë si studentët e klasës C ashtu edhe studentët e shkëlqyer. Le të hedhim një vështrim më të afërt.

Le të themi se ju duhet të gjeni rrënjën e ekuacionit ose shumën e rrënjëve, nëse ka disa prej tyre:

regjistri 3 (x 2 -3) = regjistri 3 (2x)

Ne përdorim fuqizimin, këtu është e pranueshme. Si rezultat, marrim një ekuacion të zakonshëm kuadratik.

Gjetja e rrënjëve të ekuacionit:

Doli dy rrënjë.

Përgjigje: 3 dhe -1

Në pamje të parë gjithçka është e saktë. Por le të kontrollojmë rezultatin dhe ta zëvendësojmë atë në ekuacionin origjinal.

Le të fillojmë me x 1 = 3:

regjistri 3 6 = regjistri 3 6

Kontrolli ishte i suksesshëm, tani radha është x 2 = -1:

regjistri 3 (-2) = regjistri 3 (-2)

Në rregull, ndalo! Nga jashtë gjithçka është perfekte. Një gjë - nuk ka logaritme nga numrat negativë! Kjo do të thotë se rrënja x = -1 nuk është e përshtatshme për zgjidhjen e ekuacionit tonë. Dhe prandaj përgjigjja e saktë do të jetë 3, jo 2, siç kemi shkruar.

Këtu luajti rolin e saj fatal ODZ, të cilin e kishim harruar.

Më lejoni t'ju kujtoj se diapazoni i vlerave të pranueshme përfshin ato vlera të x që lejohen ose kanë kuptim për shembullin origjinal.

Pa ODZ, çdo zgjidhje, qoftë edhe absolutisht e saktë, e çdo ekuacioni kthehet në një llotari - 50/50.

Si mund të kapemi duke zgjidhur një shembull në dukje elementar? Por pikërisht në momentin e fuqizimit. Logaritmet u zhdukën dhe bashkë me to të gjitha kufizimet.

Çfarë duhet bërë në këtë rast? Refuzoni të eliminoni logaritmet? Dhe refuzoni plotësisht ta zgjidhni këtë ekuacion?

Jo, ne thjesht, si heronj të vërtetë nga një këngë e famshme, do të bëjmë një rrugë të tërthortë!

Para se të fillojmë të zgjidhim ndonjë ekuacion logaritmik, ne do të shkruajmë ODZ. Por pas kësaj, ju mund të bëni gjithçka që dëshiron zemra juaj me ekuacionin tonë. Pasi të kemi marrë përgjigjen, ne thjesht hedhim ato rrënjë që nuk përfshihen në ODZ-në tonë dhe shkruajmë versionin përfundimtar.

Tani le të vendosim se si të regjistrojmë ODZ. Për ta bërë këtë, ne shqyrtojmë me kujdes ekuacionin origjinal dhe kërkojmë vende të dyshimta në të, si p.sh. pjesëtimi me x, madje me rrënjë, etj. Derisa të kemi zgjidhur ekuacionin, nuk e dimë se me çfarë është e barabartë x, por e dimë me siguri se ato x që, kur zëvendësohen, japin pjesëtimin me 0 ose rrënjën katrore të një numri negativ, padyshim që nuk janë të përshtatshme si përgjigje. . Prandaj, x të tillë janë të papranueshëm, ndërsa pjesa tjetër do të përbëjë ODZ.

Le të përdorim përsëri të njëjtin ekuacion:

regjistri 3 (x 2 -3) = regjistri 3 (2x)

regjistri 3 (x 2 -3) = regjistri 3 (2x)

Siç mund ta shihni, nuk ka ndarje me 0, nuk ka as rrënjë katrore, por ka shprehje me x në trupin e logaritmit. Le të kujtojmë menjëherë se shprehja brenda logaritmit duhet të jetë gjithmonë >0. Ne e shkruajmë këtë kusht në formën e ODZ:

Ato. Ne nuk kemi zgjidhur ende asgjë, por ne kemi shkruar tashmë një kusht të detyrueshëm për të gjithë shprehjen nënloggaritmike. Kllapa kaçurrelë do të thotë që këto kushte duhet të jenë të vërteta njëkohësisht.

ODZ është shkruar, por është gjithashtu e nevojshme të zgjidhet sistemi i pabarazive që rezulton, gjë që do të bëjmë. Marrim përgjigjen x > v3. Tani e dimë me siguri se cili x nuk do të na përshtatet. Dhe pastaj fillojmë të zgjidhim vetë ekuacionin logaritmik, që është ajo që bëmë më lart.

Pasi kemi marrë përgjigjet x 1 = 3 dhe x 2 = -1, është e lehtë të shihet se vetëm x1 = 3 na përshtatet dhe ne e shkruajmë atë si përgjigjen përfundimtare.

Për të ardhmen, është shumë e rëndësishme të mbani mend sa vijon: ne zgjidhim çdo ekuacion logaritmik në 2 faza. E para është të zgjidhet vetë ekuacioni, e dyta është të zgjidhet kushti ODZ. Të dyja fazat kryhen të pavarura nga njëra-tjetra dhe krahasohen vetëm kur shkruhet përgjigja, d.m.th. Hidhni gjithçka të panevojshme dhe shkruani përgjigjen e saktë.

Për të përforcuar materialin, ju rekomandojmë fuqimisht të shikoni videon:

Videoja tregon shembuj të tjerë të zgjidhjes së regjistrit. ekuacionet dhe përpunimi i metodës së intervalit në praktikë.

Për këtë pyetje, si të zgjidhim ekuacionet logaritmike Kjo është e gjitha për tani. Nëse diçka vendoset nga regjistri. ekuacionet mbeten të paqarta ose të pakuptueshme, shkruani pyetjet tuaja në komente.

Shënim: Akademia e Edukimit Social (ASE) është e gatshme të pranojë studentë të rinj.

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve