Cili është ndryshimi midis integralit të caktuar dhe të pacaktuar? Llogaritja e integraleve të caktuar me metodën e integrimit sipas pjesëve dhe metodën e ndryshimit të ndryshores
Pyetje programore.
1. Koncepti i integralit antiderivativ dhe i pacaktuar.
2. Vetitë e integralit të pacaktuar.
3. Tabela e integraleve bazë.
4. Metodat e njehsimit të integraleve të pacaktuar.
5. Integrali i caktuar.
6. Zbatime gjeometrike të integralit të caktuar.
Zgjidhja e shembujve tipikë .
Integrali i pacaktuar .
Integrimi me metodën e zëvendësimit (zëvendësimi i variablave).
Zëvendësimi i një ndryshoreje në një integral të pacaktuar bëhet duke përdorur dy lloje zëvendësimesh:
1) X= j( t), Ku tështë një ndryshore e re, dhe j( t) – funksion vazhdimisht i diferencueshëm; Pastaj
t= y( x), Ku t– ndryshore e re; në këtë rast:
Shembulli 8.1. Llogarit integralin
Zgjidhje. Le ta llogarisim këtë integral duke përdorur metodën e zëvendësimit.
Duke u kthyer te ndryshorja e vjetër, gjejmë dhe zëvendësojmë shprehjen e gjetur:
Përgjigje: 
Shembulli 8.2. Llogarit integralin
Zgjidhje. Le të prezantojmë një ndryshore të re, ky zëvendësim sjell integralin në formën e mëposhtme:
Përgjigje: 
.
Mënyra e integrimit sipas pjesëve.
Le U=U(x) Dhe V=V(x) – funksionet e argumentit X, që ka derivate të vazhdueshme. Pastaj integrimi sipas pjesëve është i mundur:
∫UdV = UV - ∫VdU
Ku V gjendet me formulë V = ò dV.
Formula e integrimit sipas pjesëve bën të mundur reduktimin e llogaritjes së integralit 🔻UdV për llogaritjen e integralit 🔻VdU.
Suksesi i aplikimit të formulës së integrimit sipas pjesëve varet nga zgjedhja e saktë e faktorëve U Dhe dV në integrandin e integralit origjinal. Janë dy rregulla të dobishme për këtë zgjedhje:
1. Integrale të formës ∫ P(x)e kx dx , ∫ P(x)mbytetxdx, ∫ P(x)coskxdx ,
Ku P(x) - polinom, dhe k– një numër i caktuar, i llogaritur duke përdorur formulën e mësipërme, nëse vendosim P(x)=U.
2. Integrale të formës ∫ P(x) lnxdx, ∫ P(x)arcsinxdx,∫ P(x)arccosxdx,
∫ P(x)arctgxdx,∫ P(x)arcctgxdx, Ku P(x)– polinom. Në të gjitha këto integrale për Dhe kur integrohen sipas pjesëve, ato marrin një funksion që është një shumëzues për P(x), dhe puna P(x)dx = dV.
Shembulli 8.3. Llogarit integralin
Zgjidhje. Sipas formulës së integrimit sipas pjesëve, marrim:
Përgjigje: 
Shembulli 8.4. Llogarit integralin
Zgjidhje. Duke u integruar sipas pjesëve marrim:
= 
=
Përgjigje: 
.
Integrimi i thyesave racionale
Një thyesë racionale është një pjesë e formës Ku P(x) Dhe Q(x) - polinomet. Nëse shkalla e një polinomi P(x) më e lartë se shkalla e polinomit R(X), atëherë një thyesë e tillë racionale quhet e saktë; V ndryshe thyesa quhet gabim.
Thyesat më të thjeshta të llojeve I, II, III dhe IV quhen thyesa racionale llojin e mëposhtëm:
II. Ku m- numër i plotë, më i madh se një.
III. Ku trinom kuadratik x 2 + px+ q nuk ka
rrënjë të vërteta.
IV. 
Ku nështë një numër i plotë më i madh se një, dhe
x 2 + px + q nuk ka rrënjë të vërteta.
Çdo thyesë e duhur racionale mund të përfaqësohet në mënyrë unike si një shumë e thyesave racionale më të thjeshta sipas rregulli tjetër:
1. Ju duhet një emërues P(x) zbërthehet në lineare dhe faktorë katrorë, duke mos pasur rrënjë të vërteta.
2. Thyesa duhet të zbërthehet në shumën e thyesave të thjeshta në mënyrën e mëposhtme:
- çdo faktor ( x – a)k dekompozimi P(x) korrespondon në zgjerimin e thyesës me zgjerimin e formës
Ku A– rrënja e një polinomi P(x), A k– shumësia e kësaj rrënje; A 1 , A 2 , …, A k – numra (koeficientë të papërcaktuar);
– çdo faktor i zgjerimit P(x) – shprehje e formës
Ku l– shumëfishimi i polinomit në zgjerim P(x); B i Dhe C i (i = 1, 2, …, l) janë koeficientë të pasigurt.
3. Barazia që rezulton duhet të reduktohet në emërues i përbashkët dhe, pasi ka marrë barazinë e dy thyesave me emërues të njëjtë, barazoni numëruesit.
4. Ka dy mënyra për të gjetur koeficientë të caktuar.
Mënyra e parë. Hapni kllapat, sillni anëtarë të ngjashëm dhe barazoni koeficientët në shkallë të barabarta X.
Mënyra e dytë. Pa hapur kllapa, vendosni argumentin X shume kuptime të ndryshme, sa koeficientë të pasigurt ka.
Në të dyja rastet marrim sisteme ekuacionet lineare në lidhje me koeficientët e pasigurt, zgjidhja e cila merr vlerat e koeficientëve të dëshiruar të pasigurt.
Koment. Për të gjetur integralin e një thyese të papërshtatshme racionale, është e nevojshme, para së gjithash, të izolohet e gjithë pjesa prej tij, d.m.th. i pranishëm në formën:
Ku M(x) është një polinom dhe është një thyesë e duhur racionale.
Shembulli 8.5. Llogarit integralin 
Zgjidhje. Emëruesi i një thyese ka rrënjë X= 2 dhe X= -5, dhe mund të faktorizohet si më poshtë:
Le ta imagjinojmë integrandin si një shumë e thyesave të thjeshta:
Le të japim anën e djathtë barazia me një emërues të përbashkët:
Duke barazuar numëruesit, marrim:
Shanset A 1 dhe A 2 mund të gjendet në dy mënyra.
Mënyra e parë. Le të hapim kllapat në anën e djathtë të barazisë së fundit dhe të paraqesim terma të ngjashëm:
Le të barazojmë koeficientët në të njëjtat shkallë X:
x 1 3 = A 1 + A 2
x 0 8 = 5A 1 - 2A 2
Ne marrim një sistem prej dy ekuacionesh me dy të panjohura:
, zgjidhjen e të cilave do ta gjejmë A 1 = 2, A 2 = 1.
Prandaj,
Mënyra e dytë. Ne do të vendosim disa vlera X(mundësisht ato vlera në të cilat emëruesit e thyesave më të thjeshta janë të barabarta me zero):
| x = 2 x = -5 | 
|
Kështu, integrali i kërkuar
Përgjigje: 
Shembulli 8.6. Llogarit integralin 
Zgjidhje. Le ta imagjinojmë integrandin si një shumë të thyesave të thjeshta. Shumëzues linear (X+ 3) emëruesi i kësaj thyese korrespondon me thyesën a me faktorin ( X– 2) 2 – shuma e thyesave më të thjeshta të formës 
Prandaj, zbërthimi i kësaj fraksioni në fraksione më të thjeshta ka formën:
Duke shtuar anën e djathtë të barazisë dhe duke barazuar numëruesit, marrim
Për të llogaritur koeficientët e pasigurt, ne do të kombinojmë të dyja metodat e mësipërme.
Së pari, le të vendosim disa vlera X:
Le të barazojmë koeficientët për X 2, marrim
Pra, gjejmë integralin e kërkuar:
Përgjigje: 
Shembulli 8.7. Llogarit integralin 
Zgjidhje. Funksioni i integrandit është i pasaktë thyesa racionale, prandaj është e nevojshme të zgjidhni pjesën e plotë për ta bërë këtë, pjesëtoni numëruesin me emëruesin.
Në llogaritjen diferenciale, konsideroheshin probleme, zgjidhja e të cilave kërkonte gjetjen e derivatit të një funksioni të caktuar. Në një numër rastesh, është e nevojshme të zgjidhet problemi i anasjelltë: duke marrë një derivat të caktuar, gjeni funksionin që është diferencuar. Problemet e këtij lloji zgjidhen në seksion analiza matematikore, thirri llogaritja integrale. Metodat llogaritja integrale ju lejon të zgjidhni probleme për llogaritjen e sipërfaqeve të figurave të sheshta, gjatësisë së harqeve, vëllimeve të trupave dhe problemeve të tjera gjeometrike dhe fizike.
Shembulli 1. Le të jetë shpejtësia (v) e pikës në kohën (t) e barabartë me 2t. Le të gjejmë një shprehje për koordinatën e një pike në kohën (t) (pika lëviz në vijë të drejtë).
Zgjidhje. Dihet se v=\frac(dx)(dt) . Që në në këtë rast\frac(dx)(dt)=2t , atëherë përgjigja e problemit mund të jetë funksionet x=t^2; x=t^2+3 etj.; V pamje e përgjithshme përgjigja e pyetjes së parashtruar shkruhet në formën x=t^2+C, ku C është një konstante arbitrare.
Nga shembulli i mësipërm është e qartë se problem i anasjelltë Ajo ka grup i pafund vendimet. Për të marrë një ligj të caktuar të lëvizjes, është e nevojshme të dihet, për shembull, pozicioni i një pike në kohën t=0. Nëse në t=0 kemi x=0, atëherë 0=0+C, dhe për rrjedhojë C=0.
Zhvendosja e një pike gjatë një periudhe kohore është e barabartë me (b^2+C)-(a^2+C)=b^2-a^2, dhe për këtë arsye nuk varet nga C.
Funksioni antiderivativ
Përkufizimi 1. Le të jepet funksioni y=f(x) në një interval X. Thirret funksioni y=F(x). antiderivativ për f(x) në këtë interval, nëse për të gjithë x\në X
F"(x)=f(x).
U prezantua termi "antiderivativ". Matematikan francez J. L. Lagrange (1736-1813).
Teorema e mëposhtme na lejon të reduktojmë gjetjen e të gjithë antiderivativëve të një funksioni të caktuar në gjetjen e njërit prej tyre.
Teorema 1. Nëse një funksion y=f(x) ka një antiderivativ F(x) në një interval X, atëherë të gjitha funksionet e formës F(x)+C do të jenë antiderivative për të në të njëjtin interval. Në të kundërt, çdo antiderivativ \Phi(x) për funksionin y=f(x),\,x\në X mund të përfaqësohet si \Phi(x)+C, ku F(x) është një nga funksionet antiderivative, dhe C është një konstante arbitrare.
Dëshmi. Nga përkufizimi i një antiderivati kemi F"(x)=f(x). Duke marrë parasysh që derivati i një konstante është i barabartë me zero, marrim:
(F(x)+C)"=F"(x)+C"=F"(x)=f(x).
Kjo do të thotë se F(x)+C është antiderivativ për y=f(x) në intervalin X.
Le të tregojmë tani se nëse funksioni y=f(x) është dhënë në intervalin F dhe F(x) është një nga antiderivativët për f(x), atëherë çdo antiderivativ \Phi(x) mund të përfaqësohet si \Phi (x)= F(x)+C.
Në fakt, me përkufizimin e një antiderivati kemi: \Phi"(x)=f(x) dhe F"(x)=f(x) . Por dy funksione që kanë derivate të barabartë në intervalin X ndryshojnë vetëm nga një term konstant. Kjo do të thotë \Phi(x)=F(x)+C, që është ajo që duhej vërtetuar.
Përkufizime të integraleve të pacaktuar dhe të caktuar
Përkufizimi 2. Bashkësia e të gjithë antiderivativëve për funksionin y=f(x) në intervalin X quhet jo integral i caktuar për f(x) dhe shënohet me .
Thirret funksioni y=f(x). funksioni i integruar Për \textstyle(\int f(x)\,dx), dhe produkti f(x)\,dx - integrand.
Kështu, \int f(x)\,dx=\(F(x)+C\mid C\in \mathbb(R)\). Në praktikë, pranohet një shënim më i shkurtër: \int f(x)\,dx=F(x)+C.
Ata shpesh thonë: "merr integral i pacaktuar" ose "llogaritni integralin e pacaktuar", që do të thotë si vijon: gjeni bashkësinë e të gjithë antiderivativëve për integrandin.
Ne kemi parë që nëse një funksion ka të paktën një antiderivativ, atëherë ai ka pafundësisht shumë antiderivativë. Në praktikë, shpesh është e nevojshme të kërkohet ndryshimi në vlerat e antiderivativit në pikat b dhe a. Ky ndryshim nuk varet nga zgjedhja e një konstante arbitrare C. Në të vërtetë, nëse \Phi(x)=F(x)+C , atëherë
\Phi(b)-\Phi(b)=(F(b)+C)-(F(a)+C)=F(b)-F(a).
Kështu që, \Phi(b)-\Phi(b)=F(b)-F(a), që ishte ajo që duhej vërtetuar.
Meqenëse ndryshimi në vlerat e antiderivativit në pikat b dhe a nuk varet nga cila antiderivativ i funksionit Zgjedhim y=f(x), ky ndryshim quhet integral i caktuar i funksionit mbi segment.
Përkufizimi 3. Le të jetë dhënë funksioni y=f(x) në një segment dhe të ketë një antiderivativ y=F(x) në të. Diferenca F(b)-F(a) quhet integral i caktuar funksionet f(x) mbi segmentin dhe shënojnë \textstyle(\int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx). Kështu që,
\int\ limits_(a)^(b)f(x)\,dx=F(b)-F(a).
Diferenca F(b)-F(a) shkruhet si \Bigl.(F(x))\Bigr|_(a)^(b), Pastaj \textstyle(\int\limits_(a)^(b) f(x)\,dx= \Bigl.(F(x))\Bigr|_(a)^(b)). Numrat a dhe b quhen kufijtë e integrimit.
Për shembull, y=\frac(x^3)(3) është një nga antiderivativët për funksionin y=x^2. Kjo është arsyeja pse
\int\ limits_(a)^(b)x^2\,dx=\majtas.(\frac(x^3)(3))\djathtas|_(a)^(b)=\frac(b^ 3)(3)-\frac(a^3)(3)=\frac(b^3-a^3)(3)\,.
Le të ndalemi në kuptimi gjeometrik prezantoi konceptet. Le të jetë F(x) një antiderivativ i f(x) . Koeficienti këndor i tangjentes në secilën pikë të grafikut të funksionit y=F(x) është i barabartë me F"(x), pra f(x). Prandaj, problemi i gjetjes së një antiderivativ gjeometrikisht nënkupton si vijon: duke ditur shpat tangjente në çdo pikë, gjeni kurbën. Meqenëse gjatë përkthimit paralel përgjatë boshtit të ordinatave koeficienti këndor i tangjentes në pikën me një abshisë të caktuar nuk ndryshon, atëherë, pasi të kemi gjetur një kurbë të tillë, të gjitha kthesat e tjera të kërkuara merren prej saj. transferim paralel në drejtim të boshtit të ordinatave. Kjo familje kurbash (Fig. 1) është një ilustrim gjeometrik i integralit të pacaktuar.
Integral i caktuar \textstyle(\int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx=F(b)-F(a)) tregon ndryshimin e ordinatës së secilës prej kurbave y=F(x)+C gjatë lëvizjes nga pika a në pikën b. Meqenëse të gjitha këto kthesa fitohen nga njëra-tjetra me anë të përkthimit paralel në drejtim të boshtit të ordinatës, ndryshimi i treguar në ordinatë është i njëjtë për të gjitha kurbat (Fig. 2).
Le të shqyrtojmë problemet, zgjidhja e të cilave zbret në llogaritjen e integraleve të caktuar.
Detyra 1. Le të lëvizë pika M në vijë të drejtë dhe le të dihet shpejtësia v=v(t) e lëvizjes së kësaj pike në çdo moment (x) të kohës (t) të intervalit. Le të gjejmë zhvendosjen (t) e pikës M gjatë kësaj periudhe kohore.
Zgjidhje. Ne e dimë se nëse x=x(t) është ligji i lëvizjes së një pike, atëherë v(t)=x"(t). Prandaj, x(t) është një nga antiderivativët për funksionin v=v(t Por lëvizja (s) e një pike M gjatë një periudhe kohore është e barabartë me ndryshimin në koordinatat e saj në momentet b dhe a, pra e barabartë me x(b)-x(a) Me fjalë të tjera, kjo zhvendosje është e barabartë). te diferenca në vlerat e antiderivativit për funksionin v=v(t) Kështu, s=\textstyle(\int\limits_(a)^(b)v(t)\,dt).
Kështu, për shembull, shpejtësia e një trupi në renie e lire shprehur me formulën v=gt. Në këtë rast, rruga e përshkuar nga trupi në rënie në b sekonda nga fillimi i rënies llogaritet si më poshtë:
S=\int\limits_(0)^(b)gt\,dt= \majtas.(\frac(gt^2)(2))\djathtas|_(0)^(b)= \frac(gb^ 2)(2)\,.
Detyra 2. Le të gjejmë zonën trapezoid i lakuar aA\,Bb, i kufizuar nga boshti x, drejtëzat x=a dhe x=b dhe grafiku i një funksioni të vazhdueshëm y=f(x), i cili merr vetëm vlera jo negative në këtë segment (Fig. 3).
Para se të kaloni në zgjidhjen e problemit, vini re se këtu po përdorim paraqitje vizuale rreth zonës figurë e sheshtë(më shumë detaje rreth përcaktimit të zonës).
Zgjidhje. Le të shënojmë me S(x) sipërfaqen e trapezit lakor aA\,Nx\,(a Le t'i japim abshisës x shtimin \Delta x (le të vendosim \Delta x>0 për definicion), atëherë zona do të marrë rritjen \Delta S . Le të shënojmë me m vlerën më të vogël të funksionit y=f(x) në segmentin , dhe me M vlerën më të madhe të të njëjtit funksion në të njëjtin segment. Është e qartë se atëherë m\cdot\Delta x\leqslant\Delta S\leqslant M\cdot\Delta x , që do të thotë. m\leqslant\frac(\Delta S)(\Delta x)\leqslant M Nëse \Delta x\to 0, atëherë për shkak të vazhdimësisë së funksionit y=f(x) do të kemi: \lim_(\Delta x\to0)m=\lim_(\Delta x\to0)=f(x). Kjo do të thotë se ka gjithashtu\lim\frac(\Delta S)(\Delta x) , dhe ky kufi është i barabartë me f(x) . Kështu, S"(x)=f(x) . Barazia që rezulton do të thotë që S(x) është një nga antiderivativët për funksionin y=f(x) . Meqenëse drejtëza x=a “pret” një figurë me sipërfaqe zero nga trapezi aABb, atëherë S(a)=0. Nga ana tjetër, S(b) është zona e të gjithë trapezit të lakuar aABb. Kjo do të thotë se zona e kërkuar S është e barabartë me (S(b)-S(a)), d.m.th. është e barabartë me diferencën midis vlerave të njërit prej antiderivativëve për funksionin y=f(x) në pikat b dhe a. Do të thotë se \boldsymbol(S=\int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx\,.) Shembulli 2. Le të gjejmë sipërfaqen e figurës të kufizuar nga boshti x dhe një sinusoid gjysmëvalë y=\sin(x) (Fig. 4). Zgjidhje. Zona e kërkuar S shprehet me formulë \textstyle(S= \int\limits_(0)^(\pi)\sin(x)\,dx). Një nga antiderivativët për funksionin y=\sin(x) është (-\cos(x)), pasi (-\cos(x))"=\sin(x)) . Do të thotë, S= \int\limits_(0)^(\pi)\sin(x)\,dx=\Bigl.(-\cos(x))\Bigr|_(0)^(\pi)= -(\ cos\pi-\cos0)=-(-1-1)=2. Për të përfunduar këtë pjesë, le të ndalemi në dy veti të integralit të pacaktuar, të cilat përftohen lehtësisht nga përkufizimi. 1°. Diferenciali i integralit të pacaktuar është i barabartë me integrandin dhe derivati i integralit të pacaktuar është i barabartë me integrandin: D\!\left(\int f(x)\,dx\right)= f(x)\,dx,\quad \left(\int f(x)\,dx\djathtas)"=f(x) . Dëshmi. \textstyle(\majtas(\int f(x)\,dx\djathtas)"= \bigl(F(x)+C\bigr)"=F"(x)+C"=f(x)). Por pastaj \textstyle(d\!\left(\int f(x)\,dx\djathtas)= \majtas(\int f(x)\,dx\djathtas)"dx=f(x)\,dx). Kjo deklaratë përdoret shpesh për të kontrolluar rezultatin e integrimit. Le të, për shembull, ju duhet ta tregoni atë \int5x\,dx=\frac(5)(2)\,x^2+C\quad (C=\tekst(const)). Duke diferencuar anën e djathtë të barazisë, marrim integrandin: \left(\frac(5)(2)\,x^2+C\djathtas)"=\frac(5)(2)\cdot 2x+0=5x. Do të thotë, \int5x\,dx=\frac(5)(2)\,x^2+C. 2°. Integrali i pacaktuar i derivatit të disa funksioneve është i barabartë me këtë funksion të shtuar në një konstante arbitrare: \int F"(x)\,dx=F(x)+C. Diferenciali i integralit të pacaktuar është i barabartë me integrandin dhe derivati i integralit të pacaktuar është i barabartë me integrandin: \bigl(F(x)+C\bigr)"=F"(x), pastaj sipas përkufizimit të integralit të pacaktuar \textstyle(\int F"(x)\,dx=F(x)+C), që ishte ajo që duhej vërtetuar. Duke marrë parasysh atë F"(x)\,dx=d\bigl(F(x)\bigr), vetia 2° mund të shkruhet kështu: \textstyle(\int d\bigl(F(x)\bigr)=F(x)+C). Duke përdorur veçorinë 1° nga paragrafi i mëparshëm, mund të përdorni tabelën e derivateve për të krijuar një tabelë të integraleve bazë. Për shembull, që nga (\sin(x))"=\cos(x), Kjo \int\cos(x)\,dx=\sin(x)+C.. Le ta vërtetojmë këtë \int\dfrac(1)(x)\,dx=\ln|x|+C. Në të vërtetë, nëse x>0, atëherë |x|=x dhe, prandaj, \bigl(\ln|x|\bigr)"=\bigl(\ln(x)\bigr)"=\frac(1)(x)\,. Nëse x<0
, то |x|=-x
и, следовательно, \bigl(\ln|x|\bigr)"=\bigl(\ln(-x)\bigr)"= \frac(1)(-x)\cdot(-1)=\frac(1)(x ). Kështu që, \bigl(\ln|x|\bigr)"=\frac(1)(x) m\cdot\Delta x\leqslant\Delta S\leqslant M\cdot\Delta x \int\frac(1)(x)\,dx=\ln|x|+C. Kjo formulë mund të aplikohet ose në traun e hapur (0;+\infty) ose në traun e hapur (-\infty;0). Tabela e integraleve bazë \fillim(përafruar)&\boldsymbol(1.)\quad \int 0\,dx=C; &\quad &\boldsymbol(2.)\quad \int 1\,dx=\int dx=x+C;\\ &\boldsymbol(3.)\quad \int x^(a)\,dx=\ frac(x^(a+1))(a+1)+C,~a\ne-1; &\quad &\boldsymbol(4.)\quad \int \frac(dx)(x)=\ln(x)+C;\\ &\boldsymbol(5.)\quad \int \frac(dx)( a^2+x^2)=\frac(1)(a)\emri i operatorit(arctg)\frac(x)(a)+C; &\quad &\boldsymbol(6.)\quad \int \frac(dx)(\sqrt(a^2-x^2))=\arcsin\frac(x)(a)+C;\\ &\ boldsymbol(7.)\quad \int a^x\,dx=\frac(a^x)(\ln a)+C; &\quad &\boldsymbol(8.)\quad \int e^x\,dx=e^x+C;\\ &\boldsymbol(9.)\quad \int \sin(x)\,dx=- \cos(x)+C; &\quad &\boldsymbol(10.)\quad \int \cos(x)\,dx=\sin(x)+C;\\ &\boldsymbol(11.)\quad \int \frac(dx)( \sin^2x)=-\emri i operatorit(ctg)x+C; &\quad &\boldsymbol(12.)\quad \int \frac(dx)(\cos^2x)=\emri i operatorit(tg)x+C;\\ &\boldsymbol(13.)\quad \int \frac (dx)(x^2-a^2)=\frac(1)(2a)\ln\! \majtas|\frac(x-a)(x+a)\djathtas|+C; &\quad &\boldsymbol(14.)\quad \int \frac(dx)(\sqrt(x^2\pm a^2))=\ln \bigl|x+\sqrt(x^2\pm a^ 2)\bigr|+C.\\ \fund(përafruar) Vini re se ndryshorja x e përfshirë në këto formula mund të zëvendësohet nga çdo tjetër. Për shembull, në vend të formulës \textstyle(\int\cos(x)\,dx= \sin(x)+C) ti mund te shkruash \textstyle(\int\cos(t)\,dt= \sin(t)+C) etj. Shembulli 3. Le të llogarisim integrale të pacaktuara të thyesave të ndryshme: \mathsf(1))~\int\frac(dx)(\sqrt(x))\,;\quad \mathsf(2))~\int\frac(dx)(x^2+16)\,; \quad \mathsf(3))~\int\frac(dx)(x^2-16)\,;\quad \mathsf(4))~\int\frac(dx)(\sqrt(3-x^ 2))\,;\quad \mathsf(5))~\int\frac(dx)(\sqrt(x^2-3))\,. Zgjidhje. 1) Le të përdorim formulën 3 nga tabela e integraleve: \int\frac(dx)(\sqrt(x))= \int x^(-1/3)\,dx= \frac(x^(-1/3+1))(-1/3+1 )+C= \frac(3)(2)\,x^(2/3)+C; 2) Le të përdorim formulën 5: \int\frac(dx)(x^2+16)= \int\frac(dx)(x^2+4^2)=\frac(1)(4) \emri i operatorit(arctg)\frac(x) (2)+C;. 3) Le të përdorim formulën 12: \int\frac(dx)(x^2-16)= \int\frac(dx)(x^2-4^2)= \frac(1)(8)\ln\!\majtas|\frac( x-4)(x+4)\djathtas|+C;. 4) Le të përdorim formulën 6: \int\frac(dx)(\sqrt(3-x^2))= \int\frac(dx)(\sqrt((\sqrt(3))^2-x^2))= \arcsin\frac (x)(\sqrt(3))+C;. 5) Le të përdorim formulën 13: \int\frac(dx)(\sqrt(x^2-3))= \ln\Bigl|x+\sqrt(x^2-3)\Bigr|+C.. Me një integral të caktuar
nga një funksion i vazhdueshëm f(x) në segmentin përfundimtar [ a, b] (ku ) është shtimi i disa prej antiderivave të tij në këtë segment. (Në përgjithësi, kuptimi do të jetë dukshëm më i lehtë nëse përsëritni temën e integralit të pacaktuar) Në këtë rast, përdoret shënimi Siç mund të shihet në grafikët e mëposhtëm (rritja e funksionit antiderivativ tregohet nga ), një integral i caktuar mund të jetë ose një numër pozitiv ose negativ(Llogaritet si diferencë midis vlerës së antiderivativit në kufirin e sipërm dhe vlerës së tij në kufirin e poshtëm, d.m.th. F(b) - F(a)). Numrat a Dhe b quhen përkatësisht kufijtë e poshtëm dhe të sipërm të integrimit dhe segmenti [ a, b] – segment i integrimit. Kështu, nëse F(x) – disa funksione antiderivative për f(x), atëherë, sipas përcaktimit, Barazia (38) quhet Formula Njuton-Leibniz
. Diferenca F(b) – F(a) shkruhet shkurt si më poshtë: Prandaj, ne do të shkruajmë formulën e Newton-Leibniz si kjo: Le të vërtetojmë se integrali i caktuar nuk varet nga cili antideriv i integrandit merret gjatë njehsimit të tij. Le F(x) dhe F( X) janë antiderivat arbitrarë të integrandit. Meqenëse këto janë antiderivate të të njëjtit funksion, ato ndryshojnë nga një term konstant: Ф( X) = F(x) + C. Kjo është arsyeja pse Kjo vërteton se në segmentin [ a, b] rritja e të gjithë antiderivave të funksionit f(x) përputhen. Kështu, për të llogaritur një integral të caktuar, është e nevojshme të gjendet ndonjë antiderivativ i integrandit, d.m.th. Së pari ju duhet të gjeni integralin e pacaktuar. Konstante ME
përjashtuar nga llogaritjet e mëvonshme. Pastaj zbatohet formula e Njuton-Leibniz: vlera e kufirit të sipërm zëvendësohet në funksionin antiderivativ. b
, më tej - vlera e kufirit të poshtëm a
dhe diferenca llogaritet F(b) - F(a)
. Numri që rezulton do të jetë një integral i caktuar.. Në a = b sipas definicionit pranohet Shembulli 1. Zgjidhje. Së pari, le të gjejmë integralin e pacaktuar: Zbatimi i formulës Njuton-Leibniz në antiderivativin (në ME= 0), marrim Sidoqoftë, kur llogaritet një integral i caktuar, është më mirë të mos gjejmë veçmas antiderivativin, por ta shkruajmë menjëherë integralin në formën (39). Shembulli 2. Njehsoni integralin e caktuar Zgjidhje. Duke përdorur formulën Teorema 2.Vlera e integralit të caktuar nuk varet nga përcaktimi i ndryshores së integrimit, d.m.th. Le F(x) – antideriv për f(x). Për f(t) antiderivati është i njëjti funksion F(t), në të cilën ndryshorja e pavarur caktohet vetëm ndryshe. Prandaj, Bazuar në formulën (39), barazia e fundit nënkupton barazinë e integraleve Teorema 3.Faktori konstant mund të hiqet nga shenja e integralit të caktuar, d.m.th. Teorema 4.Integrali i caktuar i një shume algjebrike të një numri të caktuar funksionesh është i barabartë me shumën algjebrike të integraleve të caktuar të këtyre funksioneve, d.m.th. Teorema 5.Nëse një segment i integrimit ndahet në pjesë, atëherë integrali i caktuar mbi të gjithë segmentin është i barabartë me shumën e integraleve të caktuar mbi pjesët e tij, d.m.th. Nëse Teorema 6.Kur rirregulloni kufijtë e integrimit, vlera absolute e integralit të caktuar nuk ndryshon, por ndryshon vetëm shenja e tij., d.m.th. Teorema 7(teorema e vlerës mesatare). Një integral i caktuar është i barabartë me produktin e gjatësisë së segmentit të integrimit dhe vlerën e integrandit në një pikë brenda tij, d.m.th. Teorema 8.Nëse kufiri i sipërm i integrimit është më i madh se ai i poshtëm dhe integrani është jonegativ (pozitiv), atëherë edhe integrali i caktuar është jonegativ (pozitiv), d.m.th. Nëse Teorema 9.Nëse kufiri i sipërm i integrimit është më i madh se ai i poshtëm dhe funksionet dhe janë të vazhdueshme, atëherë pabarazia mund të integrohet term pas termi, d.m.th. Vetitë e integralit të caktuar bëjnë të mundur thjeshtimin e llogaritjes së drejtpërdrejtë të integraleve. Shembulli 5. Njehsoni integralin e caktuar Duke përdorur teoremat 4 dhe 3, dhe kur gjejmë antiderivativë - integralet e tabelës (7) dhe (6), marrim Le f(x) – e vazhdueshme në segmentin [ a, b] funksion, dhe F(x) është antiderivativ i tij. Merrni parasysh integralin e caktuar dhe përmes t ndryshorja e integrimit është caktuar në mënyrë që të mos ngatërrohet me kufirin e sipërm. Kur ndryshon X ndryshon edhe integrali i caktuar (47), d.m.th. është funksion i kufirit të sipërm të integrimit X, të cilin e shënojmë me F(X), d.m.th. Le të vërtetojmë se funksioni F(X) është një antiderivativ për f(x) = f(t). Në të vërtetë, duke dalluar F(X), marrim sepse F(x) – antideriv për f(x), A F(a) është një vlerë konstante. Funksioni F(X) – një nga numri i pafund i antiderivativëve për f(x), përkatësisht ai që x = a shkon në zero. Ky pohim fitohet nëse në barazi (48) vendosim x = a dhe përdorni teoremën 1 të paragrafit të mëparshëm. ku, sipas përkufizimit, F(x) – antideriv për f(x). Nëse ndryshojmë variablin në integrand atëherë, në përputhje me formulën (16), mund të shkruajmë Në këtë shprehje funksioni antiderivativ për Në fakt, derivati i tij, sipas rregulli i diferencimit të funksioneve komplekse, është e barabartë Le të jenë α dhe β vlerat e ndryshores t, për të cilin funksioni merr vlerat në përputhje me rrethanat a Dhe b, d.m.th. Por, sipas formulës Njuton-Leibniz, ndryshimi F(b) – F(a) Ka Zgjidhja e integraleve është një detyrë e lehtë, por vetëm për disa të zgjedhur. Ky artikull është për ata që duan të mësojnë të kuptojnë integralet, por nuk dinë asgjë ose pothuajse asgjë rreth tyre. Integrale... Pse nevojitet? Si për të llogaritur atë? Cilat janë integralet e përcaktuara dhe të pacaktuara? Nëse i vetmi përdorim që dini për një integral është përdorimi i një grep me grep në formë si një ikonë integrale për të marrë diçka të dobishme nga vendet e vështira për t'u arritur, atëherë mirëpresim! Zbuloni se si të zgjidhni integrale dhe pse nuk mund të bëni pa të. Integrimi ishte i njohur që në Egjiptin e Lashtë. Sigurisht, jo në formën e tij moderne, por ende. Që atëherë, matematikanët kanë shkruar shumë libra mbi këtë temë. Veçanërisht u dalluan Njutoni
Dhe Leibniz
, por thelbi i gjërave nuk ka ndryshuar. Si të kuptoni integralet nga e para? Në asnjë mënyrë! Për të kuptuar këtë temë, do t'ju duhet ende një njohuri bazë e bazave të analizës matematikore. Ne tashmë kemi informacione rreth , të nevojshme për të kuptuar integralet, në blogun tonë. Le të kemi një funksion f(x)
. Funksion integral i pacaktuar f(x)
ky funksion quhet F(x)
, derivati i të cilit është i barabartë me funksionin f(x)
. Me fjalë të tjera, integrali është një derivat në të kundërt ose antiderivativ. Nga rruga, lexoni se si në artikullin tonë. Ekziston një antiderivativ për të gjitha funksionet e vazhdueshme. Gjithashtu, një shenjë konstante i shtohet shpesh antiderivativit, pasi derivatet e funksioneve që ndryshojnë nga një konstante përkojnë. Procesi i gjetjes së integralit quhet integrim. Shembull i thjeshtë:
Për të mos llogaritur vazhdimisht antiderivatet e funksioneve elementare, është e përshtatshme t'i vendosni ato në një tabelë dhe të përdorni vlera të gatshme: Kur kemi të bëjmë me konceptin e një integrali, kemi të bëjmë me madhësi infiniteminale. Integrali do të ndihmojë për të llogaritur sipërfaqen e një figure, masën e një trupi jo uniform, distancën e përshkuar gjatë lëvizjes së pabarabartë dhe shumë më tepër. Duhet mbajtur mend se një integral është shuma e një numri pafundësisht të madh të termave infiniteminalë. Si shembull, imagjinoni një grafik të një funksioni. Si të gjeni sipërfaqen e një figure të kufizuar nga grafiku i një funksioni? Duke përdorur një integral! Le ta ndajmë trapezin lakor, të kufizuar nga boshtet koordinative dhe grafiku i funksionit, në segmente pafundësisht të vogla. Në këtë mënyrë figura do të ndahet në kolona të holla. Shuma e sipërfaqeve të kolonave do të jetë zona e trapezit. Por mbani mend se një llogaritje e tillë do të japë një rezultat të përafërt. Megjithatë, sa më të vogla dhe më të ngushta të jenë segmentet, aq më e saktë do të jetë llogaritja. Nëse i zvogëlojmë ato në një masë të tillë që gjatësia të tentojë në zero, atëherë shuma e sipërfaqeve të segmenteve do të priret në sipërfaqen e figurës. Ky është një integral i caktuar, i cili shkruhet kështu: Meqe ra fjala! Për lexuesit tanë tani ka një zbritje prej 10%. Si të zgjidhim një integral të pacaktuar? Këtu do të shikojmë vetitë e integralit të pacaktuar, të cilat do të jenë të dobishme gjatë zgjidhjes së shembujve. Ne kemi zbuluar tashmë se një integral i caktuar është kufiri i një shume. Por si të merrni një vlerë specifike kur zgjidhni një shembull? Për këtë ekziston formula e Newton-Leibniz: Më poshtë do të shqyrtojmë disa shembuj të gjetjes së integraleve të pacaktuar. Ne ju sugjerojmë të kuptoni vetë ndërlikimet e zgjidhjes, dhe nëse diçka është e paqartë, bëni pyetje në komente. Për të përforcuar materialin, shikoni një video se si zgjidhen integralet në praktikë. Mos u dëshpëroni nëse integrali nuk jepet menjëherë. Kontaktoni një shërbim profesional për studentët dhe çdo integral i trefishtë ose i lakuar mbi një sipërfaqe të mbyllur do të jetë në fuqinë tuaj.
Tabela e integraleve bazë
Për të kryer llogaritjet, duhet të aktivizoni kontrollet ActiveX!
(38)
(39)
Vetitë e integralit të caktuar
(40)
(41)
(42)
(43)
(44)
(45)
(46)
Integral i caktuar me kufirin e sipërm të ndryshueshëm
(47)
(48)
Llogaritja e integraleve të caktuar me metodën e integrimit sipas pjesëve dhe metodën e ndryshimit të ndryshores
Ne studiojmë konceptin e "integralit"
Integrali i pacaktuar
Integral i caktuar
Pikat a dhe b quhen kufijtë e integrimit.
Bari Alibasov dhe grupi "Integral" Rregullat për llogaritjen e integraleve për dummies
Vetitë e integralit të pacaktuar
Vetitë e një integrali të caktuar
Shembuj të zgjidhjes së integraleve
Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës
Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve