Simetria aksiale dhe qendrore. Shembuj të bilancit të mozaikut

I . Simetria në matematikë :

Konceptet dhe përkufizimet bazë.

Simetria boshtore (përkufizime, plan ndërtimi, shembuj)

Simetria qendrore (përkufizimet, plani i ndërtimit, kurmasat)

Tabela përmbledhëse (të gjitha vetitë, veçoritë)

II . Zbatimet e simetrisë:

1) në matematikë

2) në kimi

3) në biologji, botanikë dhe zoologji

4) në art, letërsi dhe arkitekturë

/dict/bse/article/00071/07200.htm

/html/simmetr/index.html

/sim/sim.ht

/index.html

1. Konceptet bazë të simetrisë dhe llojet e saj.

Koncepti i simetrisë R shkon prapa në të gjithë historinë e njerëzimit. Ajo gjendet tashmë në origjinën e njohurive njerëzore. Ajo u ngrit në lidhje me studimin e një organizmi të gjallë, domethënë të njeriut. Dhe u përdor nga skulptorët në shekullin e 5-të para Krishtit. e. Fjala "simetri" është greke dhe do të thotë "proporcionalitet, proporcionalitet, ngjashmëri në renditjen e pjesëve". Përdoret gjerësisht nga të gjitha fushat e shkencës moderne pa përjashtim. Shumë njerëz të mëdhenj kanë menduar për këtë model. Për shembull, L.N. Tolstoi tha: "Duke qëndruar përpara një dërrase të zezë dhe duke vizatuar figura të ndryshme mbi të me shkumës, papritmas u godita nga mendimi: pse simetria është e qartë për syrin? Çfarë është simetria? Kjo është një ndjenjë e lindur, iu përgjigja vetë. Në çfarë bazohet?” Simetria është vërtet e këndshme për syrin. Kush nuk e ka admiruar simetrinë e krijimeve të natyrës: gjethet, lulet, zogjtë, kafshët; ose krijimet njerëzore: ndërtesat, teknologjia, gjithçka që na rrethon që në fëmijëri, gjithçka që përpiqet për bukurinë dhe harmoninë. Hermann Weyl tha: "Simetria është ideja përmes së cilës njeriu gjatë gjithë epokave është përpjekur të kuptojë dhe të krijojë rendin, bukurinë dhe përsosmërinë". Hermann Weyl është një matematikan gjerman. Veprimtaria e tij shtrihet në gjysmën e parë të shekullit të njëzetë. Ishte ai që formuloi përkufizimin e simetrisë, të përcaktuar nga cilat shenja mund të dallohet prania ose, anasjelltas, mungesa e simetrisë në një rast të caktuar. Kështu, një koncept matematikisht rigoroz u formua relativisht kohët e fundit - në fillim të shekullit të njëzetë. Është mjaft e ndërlikuar. Le të kthehemi dhe të kujtojmë edhe një herë përkufizimet që na janë dhënë në tekstin shkollor.

2. Simetria boshtore.

2.1 Përkufizimet bazë

Përkufizimi. Dy pika A dhe A 1 quhen simetrike në lidhje me drejtëzën a nëse kjo drejtëz kalon nga mesi i segmentit AA 1 dhe është pingul me të. Çdo pikë e drejtëzës a konsiderohet simetrike me vetveten.

Përkufizimi. Shifra thuhet se është simetrike në lidhje me një vijë të drejtë A, nëse për secilën pikë të figurës ka një pikë simetrike me të në raport me drejtëzën A i takon edhe kësaj figure. Drejt A quhet boshti i simetrisë së figurës. Thuhet gjithashtu se figura ka simetri boshtore.

2.2 Plani i ndërtimit

Dhe kështu, për të ndërtuar një figurë simetrike në lidhje me një vijë të drejtë, nga secila pikë vizatojmë një pingul me këtë vijë të drejtë dhe e shtrijmë atë në të njëjtën distancë, shënojmë pikën që rezulton. Ne e bëjmë këtë me çdo pikë dhe marrim kulme simetrike të një figure të re. Pastaj i lidhim në seri dhe marrim një figurë simetrike të këtij boshti relativ.

2.3 Shembuj figurash me simetri boshtore.

3. Simetria qendrore

3.1 Përkufizimet bazë

Përkufizimi. Dy pika A dhe A 1 quhen simetrike në lidhje me pikën O nëse O është mesi i segmentit AA 1. Pika O konsiderohet simetrike me vetveten.

Përkufizimi. Një figurë quhet simetrike në lidhje me pikën O nëse, për secilën pikë të figurës, kësaj figure i përket edhe një pikë simetrike në lidhje me pikën O.

3.2 Plani i ndërtimit

Ndërtimi i një trekëndëshi simetrik me atë të dhënë në lidhje me qendrën O.

Për të ndërtuar një pikë simetrike me një pikë A në lidhje me pikën RRETH, mjafton të vizatoni një vijë të drejtë OA(Fig. 46 ) dhe në anën tjetër të pikës RRETH lini mënjanë segmentin e barabartë me segmentin OA. Me fjale te tjera , pika A dhe ; Në dhe ; C dhe simetrike rreth një pike O. Në Fig. 46 është ndërtuar një trekëndësh që është simetrik me një trekëndësh ABC në lidhje me pikën RRETH. Këta trekëndësha janë të barabartë.

Ndërtimi i pikave simetrike në raport me qendrën.

Në figurë, pikat M dhe M 1, N dhe N 1 janë simetrike në lidhje me pikën O, por pikat P dhe Q nuk janë simetrike në lidhje me këtë pikë.

Në përgjithësi, shifrat që janë simetrike për një pikë të caktuar janë të barabarta .

3.3 Shembuj

Le të japim shembuj të figurave që kanë simetri qendrore. Shifrat më të thjeshta me simetri qendrore janë rrethi dhe paralelogrami.

Pika O quhet qendra e simetrisë së figurës. Në raste të tilla, figura ka simetri qendrore. Qendra e simetrisë së një rrethi është qendra e rrethit, dhe qendra e simetrisë së një paralelogrami është pika e kryqëzimit të diagonaleve të tij.

Një drejtëz ka gjithashtu simetri qendrore, por ndryshe nga një rreth dhe një paralelogram, të cilët kanë vetëm një qendër simetrie (pika O në figurë), një drejtëz ka një numër të pafund të tyre - çdo pikë në vijën e drejtë është qendra e saj. të simetrisë.

Fotografitë tregojnë një kënd simetrik në lidhje me kulmin, një segment simetrik me një segment tjetër në lidhje me qendrën A dhe një katërkëndësh simetrik rreth kulmit të tij M.

Një shembull i një figure që nuk ka një qendër simetrie është një trekëndësh.

4. Përmbledhje e mësimit

Le të përmbledhim njohuritë e marra. Sot në klasë mësuam për dy lloje kryesore të simetrisë: qendrore dhe boshtore. Le të shohim ekranin dhe të sistemojmë njohuritë e marra.

Tabela përmbledhëse

	Simetria boshtore	Simetria qendrore
Veçori	Të gjitha pikat e figurës duhet të jenë simetrike në lidhje me një vijë të drejtë.	Të gjitha pikat e figurës duhet të jenë simetrike në lidhje me pikën e zgjedhur si qendër të simetrisë.
Vetitë	1. Pikat simetrike shtrihen në pingul me një drejtëz. 3. Vijat e drejta kthehen në drejtëza, këndet në kënde të barabarta. 4. Ruhen përmasat dhe format e figurave.	1. Pikat simetrike shtrihen në një vijë që kalon nga qendra dhe këtë pikë shifrat. 2. Distanca nga një pikë në një vijë të drejtë është e barabartë me distancën nga një vijë e drejtë në një pikë simetrike. 3. Ruhen përmasat dhe format e figurave.

II. Zbatimi i simetrisë

Matematika

Në mësimet e algjebrës studiuam grafikët e funksioneve y=x dhe y=x

Fotografitë tregojnë fotografi të ndryshme të përshkruara duke përdorur degët e parabolave.

(a) Tetëkëndësh,

(b) dodekaedron rombik, (c) tetëkëndor gjashtëkëndor.

Gjuha ruse

Shkronjat e shtypura të alfabetit rus gjithashtu kanë lloje të ndryshme simetrish.

Ka fjalë "simetrike" në gjuhën ruse - palindromet, të cilat mund të lexohen në mënyrë të barabartë në të dy drejtimet.

A D L M P T F W– boshti vertikal

V E Z K S E Y - boshti horizontal

F N O X- si vertikale ashtu edhe horizontale

B G I Y R U C CH SCHY- pa bosht

Kasolle radar Alla Anna

Letërsia

Fjalitë mund të jenë edhe palindromike. Bryusov shkroi një poezi "Zëri i hënës", në të cilën çdo rresht është një palindrom.

Shikoni katërfishtë e A.S Pushkin ". Kalorësi prej bronzi" Nëse vizatojmë një vijë pas vijës së dytë, mund të vëmë re elemente të simetrisë boshtore

Dhe trëndafili ra në putrën e Azorit.

Unë vij me shpatën e gjykatësit. (Derzhavin)

"Kërko për një taksi"

"Argjentina i bën thirrje zezakëve"

“Argjentinasi e vlerëson zezakun”

"Lesha gjeti një insekt në raft."

Neva është e veshur me granit;

Urat vareshin mbi ujëra;

Kopshte jeshile të errët

Ishujt e mbuluan atë ...

Biologjia

Trupi i njeriut është i ndërtuar sipas parimit simetri dypalëshe. Shumica prej nesh e shikojnë trurin si një strukturë të vetme, në realitet ai është i ndarë në dy gjysma. Këto dy pjesë - dy hemisfera - përshtaten fort me njëra-tjetrën. Në përputhje të plotë me simetrinë e përgjithshme të trupit të njeriut, secila hemisferë është pothuajse pasqyrë e saktë e tjetrës.

Kontrolli i lëvizjeve themelore të trupit të njeriut dhe funksioneve të tij shqisore shpërndahet në mënyrë të barabartë midis dy hemisferave të trurit. Hemisfera e majtë kontrollon anën e djathtë të trurit, dhe hemisfera e djathtë kontrollon anën e majtë.

Botanikë

Një lule konsiderohet simetrike kur çdo perianth përbëhet nga një numër i barabartë pjesësh. Lulet që kanë pjesë të çiftëzuara konsiderohen lule me simetri të dyfishtë, etj. Simetria e trefishtë është e zakonshme për bimët njëkotiledone, e pesëfishtë - për bimët dythelbore Një tipar karakteristik i strukturës së bimëve dhe zhvillimit të tyre është spiraliteti.

Kushtojini vëmendje renditjes së gjetheve të fidaneve - kjo është gjithashtu një lloj spirale e veçantë - një spirale. Edhe Gëte, i cili ishte jo vetëm një poet i madh, por edhe një shkencëtar i natyrës, e konsideronte spiralitetin si një nga tiparet karakteristike të të gjithë organizmave, një shfaqje të thelbit më të thellë të jetës. Gjurmët e bimëve rrotullohen në një spirale, rritja e indeve në trungjet e pemëve ndodh në një spirale, farat në një luledielli vendosen në një spirale dhe lëvizjet spirale vërehen gjatë rritjes së rrënjëve dhe fidaneve.

Një tipar karakteristik i strukturës së bimëve dhe zhvillimit të tyre është spiraliteti.

Shikoni konin e pishës. Shkallët në sipërfaqen e saj janë rregulluar rreptësisht rregullisht - përgjatë dy spiraleve që kryqëzohen afërsisht në një kënd të drejtë. Numri i spiraleve të tilla në kone pishe është 8 dhe 13 ose 13 dhe 21.

Zoologjia

Simetria tek kafshët nënkupton korrespondencën në madhësi, formë dhe skicë, si dhe rregullimin relativ të pjesëve të trupit të vendosura në anët e kundërta të vijës ndarëse. Me simetri radiale ose radiale, trupi ka formën e një cilindri ose ene të shkurtër ose të gjatë me bosht qendror, nga i cili shtrihen në mënyrë radiale pjesët e trupit. Këto janë koelenterate, ekinodermë, yjet e detit. Me simetri dypalëshe, ekzistojnë tre boshte simetrie, por vetëm një palë anash simetrike. Sepse dy anët e tjera - barku dhe dorsal - nuk janë të ngjashme me njëra-tjetrën. Kjo lloj simetrie është karakteristike për shumicën e kafshëve, duke përfshirë insektet, peshqit, amfibët, zvarranikët, zogjtë dhe gjitarët.

Simetria boshtore

Lloje të ndryshme simetrie të dukurive fizike: simetria e fushave elektrike dhe magnetike (Fig. 1)

Shpërndarja është simetrike në plane reciproke pingule valët elektromagnetike(Fig. 2)

Fig.1 Fig.2

Art

Simetria e pasqyrës shpesh mund të vërehet në veprat e artit. Simetria e pasqyrës gjendet gjerësisht në veprat e artit të qytetërimeve primitive dhe në pikturat antike. Me këtë lloj simetrie karakterizohen edhe pikturat fetare mesjetare.

Një nga veprat më të mira të hershme të Raphaelit, "Fejesa e Marisë", u krijua në 1504. Nën një qiell blu me diell shtrihet një luginë e kryesuar nga një tempull prej guri të bardhë. Në plan të parë është ceremonia e fejesës. Kryeprifti bashkon duart e Marisë dhe Jozefit. Pas Marisë është një grup vajzash, pas Jozefit është një grup të rinjsh. Të dyja pjesët e kompozimit simetrik mbahen së bashku nga kundërlëvizja e personazheve. Për shijet moderne, përbërja e një pikture të tillë është e mërzitshme, pasi simetria është shumë e dukshme.

Kimia

Një molekulë uji ka një plan simetrie (vijë e drejtë vertikale molekulat e ADN-së (acidi deoksiribonukleik) luajnë një rol jashtëzakonisht të rëndësishëm në botën e natyrës së gjallë. Ky është një polimer me zinxhir të dyfishtë me molekular të lartë, monomeri i të cilit janë nukleotide. Molekulat e ADN-së kanë një strukturë spirale e dyfishtë, i ndërtuar mbi parimin e komplementaritetit.

Arkitekulturës

Njeriu ka përdorur prej kohësh simetrinë në arkitekturë. Arkitektët e lashtë përdorën veçanërisht shkëlqyeshëm simetrinë në strukturat arkitekturore. Për më tepër, arkitektët e lashtë grekë ishin të bindur se në veprat e tyre ata udhëhiqeshin nga ligjet që rregullojnë natyrën. Zgjedhja forma simetrike, artisti shprehu në këtë mënyrë kuptimin e tij të harmonisë natyrore si stabilitet dhe ekuilibër.

Qyteti i Oslos, kryeqyteti i Norvegjisë, ka një ansambël shprehës të natyrës dhe artit. Ky është Frogner - një park - një kompleks skulpturash kopshtesh dhe parku, i cili u krijua gjatë 40 viteve.

Shtëpia e Pashkovit e Luvrit (Paris)

Simetria I Simetria (nga greqishtja simetria - proporcionaliteti)

në matematikë,

1) simetri (në në kuptimin e ngushtë), ose reflektim (pasqyrë) në lidhje me rrafshin α në hapësirë (në lidhje me vijën e drejtë A në rrafsh), është një transformim i hapësirës (rrafsh), në të cilin çdo pikë M shkon në pikën M" të tillë që segmenti MM" pingul me rrafshin α (vijë e drejtë A) dhe e ndan përgjysmë. Rrafshi α (drejt A) quhet plani (boshti) C.

Reflektimi është një shembull i një transformimi ortogonal (Shih transformimin ortogonal) që ndryshon orientimin (Shih Orientimin) (në krahasim me lëvizjen e duhur). Çdo transformim ortogonal mund të kryhet me ekzekutim sekuencial numër i fundëm reflektimet - ky fakt luan një rol të rëndësishëm në studimin e formave gjeometrike.

2) Simetria (në në një kuptim të gjerë) - veti e një figure gjeometrike F, duke karakterizuar njëfarë rregullsie të formës F, pandryshueshmëria e tij nën veprimin e lëvizjeve dhe reflektimeve. Më saktësisht, figura F ka S. (simetrike) nëse ka një transformim ortogonal jo identik që e merr këtë figurë në vetvete. Bashkësia e të gjitha shndërrimeve ortogonale që kombinojnë një figurë F me vetveten, është një grup (Shih Grupi) i quajtur grupi i simetrisë së kësaj figure (nganjëherë vetë këto shndërrime quhen simetri).

Kështu, një figurë e sheshtë që shndërrohet në vetvete pas reflektimit është simetrike në lidhje me një vijë të drejtë - boshti C (. oriz. 1 ); këtu grupi i simetrisë përbëhet nga dy elemente. Nëse figura F në aeroplan është i tillë që rrotullimet në lidhje me çdo pikë O përmes një këndi prej 360°/ n, n- numër i plotë ≥ 2, kthejeni atë në vetvete, atëherë F ka S. n-rendi i thtë në lidhje me pikën RRETH- qendra C. Shembuj të figurave të tilla janë shumëkëndëshat e rregullt (oriz. 2 ); grupi S. këtu - të ashtuquajturat. grup ciklik n- urdhri. Një rreth ka një rreth të rendit të pafund (pasi mund të kombinohet me veten duke u rrotulluar nëpër çdo kënd).

Llojet më të thjeshta të sistemit hapësinor, përveç sistemit të krijuar nga reflektimet, janë sistemi qendror, sistemi boshtor dhe sistemi i transferimit.

a) Në rastin e simetrisë qendrore (inversionit) në lidhje me pikën O, figura Ф kombinohet me vetveten pas reflektimeve të njëpasnjëshme nga tre reciprokisht plane pingule, me fjalë të tjera, pika O është mesi i segmentit që lidh pikat simetrike Ф ( oriz. 3 ). b) Në rast simetria boshtore, ose N. relativisht i drejtë n-rendi i-të, figura mbivendoset mbi vetveten duke u rrotulluar rreth një vije të caktuar të drejtë (boshti C.) në një kënd prej 360°/ n. Për shembull, një kub ka një vijë të drejtë AB boshti C është i rendit të tretë dhe i drejtë CD- boshti C i rendit të katërt ( oriz. 3 ); Në përgjithësi, poliedrat e rregullt dhe gjysmë të rregullt janë simetrikë në lidhje me një numër linjash. Vendndodhja, numri dhe renditja e boshteve të kristalit luajnë një rol të rëndësishëm në kristalografi (shih Simetria e kristaleve), c) Një figurë e mbivendosur mbi vetveten nga rrotullimi i njëpasnjëshëm në një kënd prej 360°/2 k rreth një vije të drejtë AB dhe reflektimi në një rrafsh pingul me të, ka një pasqyrë-boshtore C. Vijë e drejtë AB, quhet bosht rrotullues i pasqyrës C. rendi 2 k, është boshti i rendit C k (oriz. 4 ). Shtrirja pasqyrë-boshtore e rendit 2 është ekuivalente me shtrirjen qendrore d) Në rastin e simetrisë së transferimit, figura mbivendoset në vetvete me anë të transferimit përgjatë një vije të caktuar të drejtë (boshti i përkthimit) në çdo segment. Për shembull, një figurë me një bosht të vetëm përkthimi ka numër i pafund planet S. (pasi çdo transferim mund të realizohet nga dy reflektime të njëpasnjëshme nga rrafshet pingul me boshtin e transferimit) ( oriz. 5 ). Figura me boshte të shumta përkthimi luajnë një rol të rëndësishëm në kërkime grila kristalore(Shih rrjetën kristalore).

Në art, kompozimi është bërë i përhapur si një nga llojet e kompozimit harmonik (Shih Kompozicioni). Është karakteristikë për veprat e arkitekturës (duke qenë një cilësi e domosdoshme, nëse jo e gjithë strukturës në tërësi, atëherë e pjesëve dhe detajeve të saj - plani, fasada, kolonat, kapitelet etj.) dhe arti dekorativ dhe i aplikuar. S. përdoret gjithashtu si teknika kryesore për ndërtimin e kufijve dhe stolive (figura të sheshta që kanë, përkatësisht, një ose më shumë transferime S. në kombinim me reflektimet) ( oriz. 6 , 7 ).

Kombinimet e simboleve të krijuara nga reflektimet dhe rrotullimet (duke shterur të gjitha llojet e simboleve të figurave gjeometrike), si dhe përkthimet, janë me interes dhe janë objekt studimi në fusha të ndryshme shkencat natyrore. Për shembull, S. spirale, e kryer nga rrotullimi në një kënd të caktuar rreth një boshti, i plotësuar nga transferimi përgjatë të njëjtit bosht, vërehet në rregullimin e gjetheve në bimë ( oriz. 8 ) (për më shumë, shih artikullin. Simetria në biologji). C. konfigurimin e molekulave, duke ndikuar fizikisht dhe karakteristikat kimike, është i rëndësishëm në analizën teorike të strukturës së përbërjeve, vetive dhe sjelljes së tyre në reaksione të ndryshme (shih Simetria në kimi). Së fundi, në shkencat fizike në përgjithësi, përveç strukturës gjeometrike të treguar tashmë të kristaleve dhe grilave, ato fitojnë e rëndësishme idetë për S. në kuptimin e përgjithshëm (shih më poshtë). Kështu, simetria e hapësirës-kohës fizike, e shprehur në homogjenitetin dhe izotropinë e saj (shih Teorinë e Relativitetit), na lejon të vendosim të ashtuquajturën. ligjet e ruajtjes; sinergjia e përgjithësuar luan një rol të rëndësishëm në formimin e spektrave atomike dhe në klasifikimin grimcat elementare(shih Simetria në fizikë).

3) Simetria (në kuptimin e përgjithshëm) nënkupton pandryshueshmërinë e strukturës së një objekti matematikor (ose fizik) në lidhje me shndërrimet e tij. Për shembull, sistemi i ligjeve të relativitetit përcaktohet nga pandryshueshmëria e tyre nën transformimet e Lorencit (Shih transformimet e Lorencit). Përkufizimi i një grupi transformimesh që lënë gjithçka të pandryshuar marrëdhëniet strukturore objekti, pra përkufizimi i grupit G automorfizmat e tij janë bërë parimi udhëzues i matematikës dhe fizikës moderne, duke e lejuar njeriun të depërtojë thellë në strukturën e brendshme të një objekti në tërësi dhe në pjesët e tij.

Meqenëse një objekt i tillë mund të përfaqësohet nga elementë të një hapësire R, i pajisur me një strukturë karakteristike përkatëse për të, për aq sa shndërrimet e një objekti janë shndërrime R. Se. fitohet një paraqitje në grup G në grupin e transformimit R(ose thjesht brenda R), dhe studimi i objektit S. zbret në studimin e veprimit G në R dhe gjetja e invarianteve të këtij veprimi. Në të njëjtën mënyrë S. ligjet fizike, që kontrollon objektin në studim dhe zakonisht përshkruhet me ekuacione që plotësohen nga elementët e hapësirës R, përcaktohet nga veprimi G për ekuacione të tilla.

Kështu, për shembull, nëse disa ekuacione janë lineare në një hapësirë lineare R dhe mbetet i pandryshueshëm nën transformimet e disa grupeve G, pastaj çdo element g nga G korrespondon me transformimin linear Tg V hapësirë lineare R zgjidhjet e këtij ekuacioni. Korrespondencë g → Tgështë një paraqitje lineare G dhe njohja e të gjitha paraqitjeve të tilla të tij lejon që dikush të vendosë veti të ndryshme të zgjidhjeve, dhe gjithashtu ndihmon për të gjetur në shumë raste (nga "konsideratat e simetrisë") vetë zgjidhjet. Kjo, në veçanti, shpjegon nevojën që matematika dhe fizika të zhvillojnë një teori të zhvilluar të paraqitjeve lineare të grupeve. Për shembuj specifik, shih Art. Simetria në fizikë.

Lit.: Shubnikov A.V., Simetria. (Ligjet e simetrisë dhe zbatimi i tyre në shkencë, teknologji dhe Arte të Aplikuara), M. - L., 1940; Coxeter G.S.M., Hyrje në Gjeometri, përkth. nga anglishtja, M., 1966; Weil G., Simetria, përkth. nga anglishtja, M., 1968; Wigner E., Studime mbi simetrinë, përkth. nga anglishtja, M., 1971.

M. I. Voitsekhovsky.

Oriz. 3. Një kub me drejtëzën AB si bosht simetrie të rendit të tretë, drejtëz CD si bosht simetrie të rendit të katërt dhe pikën O si qendër simetrie. Pikat M dhe M" të kubit janë simetrike si në lidhje me boshtet AB dhe CD, ashtu edhe në lidhje me qendrën O.

II Simetria

në fizikë. Nëse ligjet që vendosin marrëdhënie midis sasive që karakterizojnë një sistem fizik, ose që përcaktojnë ndryshimin e këtyre sasive me kalimin e kohës, nuk ndryshojnë nën disa operacione (transformime) të cilave sistemi mund t'u nënshtrohet, atëherë këto ligje thuhet se kanë S (ose janë të pandryshueshme) në lidhje me transformimet e të dhënave. Matematikisht, transformimet S. formojnë një grup (Shih Grupin).

Përvoja tregon se ligjet fizike janë simetrike në lidhje me transformimet e mëposhtme më të përgjithshme.

Transformim i vazhdueshëm

1) Transferimi (zhvendosja) e sistemit në tërësi në hapësirë. Ky dhe transformimet pasuese hapësinore mund të kuptohen në dy kuptime: si një transformim aktiv - një transferim real. sistemi fizik në lidhje me sistemin e zgjedhur të referencës ose si një transformim pasiv - transferim paralel sistemet e referencës. Simboli i ligjeve fizike në lidhje me zhvendosjet në hapësirë nënkupton ekuivalencën e të gjitha pikave në hapësirë, domethënë mungesën e ndonjë pike të dallueshme në hapësirë (homogjeniteti i hapësirës).

2) Rrotullimi i sistemit në tërësi në hapësirë. S. ligjet fizike lidhur me këtë transformim nënkuptojnë ekuivalencën e të gjitha drejtimeve në hapësirë (izotropia e hapësirës).

3) Ndryshimi i fillimit të kohës (ndërrimi i kohës). S. në lidhje me këtë transformim do të thotë se ligjet fizike nuk ndryshojnë me kalimin e kohës.

4) Kalimi në një sistem referimi që lëviz në lidhje me një sistem të caktuar me një shpejtësi konstante (në drejtim dhe në madhësi). S. në lidhje me këtë transformim nënkupton, në veçanti, ekuivalencën e të gjitha sistemeve të referencës inerciale (Shih sistemin e referencës inerciale) (Shih teorinë e relativitetit).

5) Transformimet e matësve. Ligjet që përshkruajnë ndërveprimet e grimcave me çdo ngarkesë (ngarkesa elektrike (Shih ngarkesa elektrike), ngarkesa e barionit (Shih ngarkesa e Barionit), ngarkesa leptonike (Shih ngarkesa Lepton), Hiperngarkesa) janë simetrike në lidhje me transformimet e matësve të llojit të parë. Këto transformime konsistojnë në faktin se funksionet e valës (Shih funksionin e valës) të të gjitha grimcave mund të shumëzohen njëkohësisht me një faktor fazor arbitrar:

ku ψ j- funksioni i valës së grimcave j, z j është ngarkesa që i përgjigjet grimcës, e shprehur në njësi ngarkesë elementare(për shembull, ngarkesa elektrike elementare e), β është një faktor numerik arbitrar.

A→A + grad f, , (2)

Ku f(x,në, z, t) - funksion arbitrar i koordinatave ( X,në,z) dhe koha ( t), Me- shpejtësia e dritës. Në mënyrë që transformimet (1) dhe (2) të kryhen njëkohësisht në rastin e fushave elektromagnetike, është e nevojshme të përgjithësohen transformimet e matësve të llojit të parë: është e nevojshme të kërkohet që ligjet e ndërveprimit të jenë simetrik në lidhje me transformimet. (1) me vlerën β, e cila është një funksion arbitrar i koordinatave dhe kohës: η - Konstanta e Plankut. Marrëdhënia ndërmjet transformimeve të matësve të llojit 1 dhe 2 për ndërveprimet elektromagnetikeështë për shkak të rolit të dyfishtë të ngarkesës elektrike: nga njëra anë, ngarkesa elektrike është një sasi e konservuar, dhe nga ana tjetër, ajo vepron si një konstante ndërveprimi që karakterizon lidhjen. fushë elektromagnetike me grimca të ngarkuara.

Transformimet (1) korrespondojnë me ligjet e ruajtjes së ngarkesave të ndryshme (shih më poshtë), si dhe me disa ndërveprime të brendshme. Nëse ngarkesat nuk janë vetëm sasi të konservuara, por edhe burime fushash (si ngarkesa elektrike), atëherë fushat që i korrespondojnë duhet të jenë gjithashtu fusha matës (të ngjashme me fushat elektromagnetike), dhe transformimet (1) përgjithësohen në rastin kur sasitë β janë funksione arbitrare koordinatat dhe koha (dhe madje edhe operatorët (Shih Operatorët) që transformojnë gjendjet e sistemit të brendshëm). Kjo qasje ndaj teorisë së fushave ndërvepruese çon në teori të ndryshme matëse të ndërveprimeve të forta dhe të dobëta (e ashtuquajtura teoria Yang-Mills).

Transformime diskrete

Llojet e sistemeve të listuara më sipër karakterizohen nga parametra që mund të ndryshojnë vazhdimisht në një gamë të caktuar vlerash (për shembull, një zhvendosje në hapësirë karakterizohet nga tre parametra zhvendosjeje përgjatë secilit prej boshtet e koordinatave, rrotullim - tre kënde rrotullimi rreth këtyre boshteve, etj.). Së bashku me sinjalet e vazhdueshme, sinjalet diskrete kanë një rëndësi të madhe në fizikë.

Ligjet e simetrisë dhe ruajtjes

Sipas teoremës së Noether-it (Shih teoremën e Noether-it), çdo transformim i një sistemi, i karakterizuar nga një parametër që ndryshon vazhdimisht, korrespondon me një vlerë që ruhet (nuk ndryshon me kalimin e kohës) për një sistem që ka këtë sistem nga ligjet e fizikës Në lidhje me zhvendosjen e një sistemi të mbyllur në hapësirë, rrotullimi i tij në tërësi dhe ndryshimi i origjinës së kohës ndjekin, përkatësisht, ligjet e ruajtjes së momentit, momentit këndor dhe energjisë. Nga sistemi në lidhje me transformimet e matësve të llojit 1 - ligjet e ruajtjes së ngarkesave (elektrike, barion, etj.), Nga pandryshueshmëria izotopike - ruajtja e rrotullimit izotopik (Shih Spin izotopik) në proceset e ndërveprimit të fortë. Sa i përket sistemeve diskrete, në mekanikën klasike ato nuk çojnë në ndonjë ligj ruajtjeje. Megjithatë, në mekanikën kuantike, në të cilën gjendja e sistemit përshkruhet nga një funksion valor, ose për fushat valore (për shembull, fusha elektromagnetike), ku parimi i mbivendosjes është i vlefshëm, ekzistenca e sistemeve diskrete nënkupton ligje ruajtjeje për disa sasi specifike që nuk kanë analoge në mekanikën klasike. Ekzistenca e sasive të tilla mund të demonstrohet me shembullin e barazisë hapësinore (Shih Barazinë), ruajtja e të cilit rrjedh nga sistemi në lidhje me përmbysjen hapësinore. Në të vërtetë, le të jetë ψ 1 funksioni valor që përshkruan disa gjendje të sistemit dhe ψ 2 funksioni valor i sistemit që rezulton nga hapësirat. përmbysja (simbolikisht: ψ 2 = Rψ 1, ku R- operatori i hapësirave. përmbysja). Atëherë, nëse ekziston një sistem në lidhje me përmbysjen hapësinore, ψ 2 është një nga gjendjet e mundshme të sistemit dhe, sipas parimit të mbivendosjes, gjendjet e mundshme të sistemit janë mbivendosjet ψ 1 dhe ψ 2: kombinim simetrik. ψ s = ψ 1 + ψ 2 dhe ψ antisimetrik a = ψ 1 - ψ 2. Gjatë transformimeve të përmbysjes, gjendja e ψ 2 nuk ndryshon (pasi Pψ s = Pψ 1 + Pψ 2 = ψ 2 + ψ 1 = ψ s), dhe gjendja ψ a ndryshon shenjën ( Pψ a = Pψ 1 - Pψ 2 = ψ 2 - ψ 1 = - ψ a). Në rastin e parë, ata thonë se barazia hapësinore e sistemit është pozitive (+1), në të dytën - negative (-1). Nëse funksioni valor i sistemit specifikohet duke përdorur sasi që nuk ndryshojnë gjatë përmbysjes hapësinore (të tilla si momenti këndor dhe energjia), atëherë barazia e sistemit do të ketë gjithashtu një vlerë shumë të caktuar. Sistemi do të jetë në një gjendje ose me barazi pozitive ose negative (dhe kalimet nga një gjendje në tjetrën nën ndikimin e forcave simetrike në lidhje me përmbysjen hapësinore janë absolutisht të ndaluara).

Simetria e sistemeve mekanike kuantike dhe gjendjeve stacionare. Degjenerimi

Ruajtja e sasive që korrespondojnë me sisteme të ndryshme mekanike kuantike është pasojë e faktit se operatorët që u korrespondojnë atyre lëvizin me Hamiltonian të sistemit nëse nuk varet në mënyrë eksplicite nga koha (shih Mekanikë kuantike, Marrëdhëniet e komutimit). Kjo do të thotë se këto sasi janë të matshme njëkohësisht me energjinë e sistemit, d.m.th., ato mund të marrin vlera plotësisht të përcaktuara kur vlera e vendosur energji. Prandaj, prej tyre është e mundur të kompozoni të ashtuquajturat. komplet i plotë sasitë që përcaktojnë gjendjen e sistemit. Kështu, gjendjet stacionare (Shih Gjendjen Stacionare) (gjendjet me një energji të caktuar) të një sistemi përcaktohen nga sasitë që korrespondojnë me qëndrueshmërinë e sistemit në shqyrtim.

Prania e S. çon në faktin se gjendjet e ndryshme të lëvizjes së një sistemi mekanik kuantik, të cilat përftohen nga njëri-tjetri duke transformuar S., kanë të njëjtat vlera. sasive fizike, të cilat nuk ndryshojnë nën këto transformime. Kështu, sistemi i sistemeve, si rregull, çon në degjenerim (Shih Degjenerimin). Për shembull, një vlerë e caktuar e energjisë së një sistemi mund të korrespondojë me disa gjendje të ndryshme që transformohen përmes njëra-tjetrës gjatë transformimeve të sistemit. ). Kjo përcakton frytshmërinë e aplikimit të metodave të teorisë së grupeve në mekanikën kuantike.

Përveç degjenerimit të niveleve të energjisë që lidhen me kontrollin e qartë të një sistemi (për shembull, në lidhje me rrotullimet e sistemit në tërësi), në një sërë problemesh ka degjenerim shtesë të lidhur me të ashtuquajturat. fshehur S. ndërveprim. Oscilatorë të tillë të fshehur ekzistojnë, për shembull, për ndërveprimin e Kulombit dhe për oshilatorin izotropik.

Nëse një sistem që ka ndonjë sistem është në një fushë forcash që shkelin këtë sistem (por janë mjaft të dobëta për t'u konsideruar si një shqetësim i vogël), nivelet e energjisë së degjeneruar të sistemit origjinal ndahen në gjendje të ndryshme, të cilat, për shkak të sistemit Sistemet kishin të njëjtën energji, nën ndikimin e shqetësimeve "asimetrike" ata fitojnë zhvendosje të ndryshme të energjisë. Në rastet kur fusha shqetësuese ka një vlerë të caktuar që është pjesë e vlerës së sistemit origjinal, degjenerimi i niveleve të energjisë nuk hiqet plotësisht: disa nga nivelet mbeten të degjeneruara në përputhje me vlerën e ndërveprimit që "përfshin" fusha shqetësuese.

Prania e gjendjeve të degjeneruara nga energjia në një sistem, nga ana tjetër, tregon ekzistencën e një ndërveprimi sistemik dhe bën të mundur, në parim, gjetjen e këtij sistemi kur nuk dihet paraprakisht. Rrethana e fundit luan rol jetësor, për shembull, në fizikën e grimcave. Ekzistenca e grupeve të grimcave me masa të ngjashme dhe të njëjtat karakteristika të tjera, por të ndryshme ngarkesat elektrike(të ashtuquajturat multiples izotopike) bënë të mundur vendosjen e pandryshueshmërisë izotopike të ndërveprimeve të forta dhe mundësinë e kombinimit të grimcave me veti identike në grupe më të gjera çuan në zbulim S.U.(3)-C. ndërveprime të forta dhe ndërveprime që shkelin këtë sistem (shih ndërveprimet e forta). Ka indikacione se ndërveprim i fortë ka edhe më shumë grup i gjerë ME.

Koncepti i të ashtuquajturit është shumë frytdhënës. sistem dinamik, i cili lind kur konsiderohen transformime që përfshijnë kalime ndërmjet gjendjeve të sistemit me energji të ndryshme. Paraqitja e pareduktueshme e grupit të sistemeve dinamike do të jetë i gjithë spektri gjendjet stacionare sistemeve. Koncepti i një sistemi dinamik mund të shtrihet edhe në rastet kur Hamiltoniani i një sistemi varet në mënyrë eksplicite nga koha, dhe në këtë rast të gjitha gjendjet e një sistemi mekanik kuantik që nuk janë të palëvizshme (d.m.th., nuk kanë një energji të caktuar) janë e kombinuar në një paraqitje të pakalueshme të grupit dinamik të sistemit ).

Lit.: Wigner E., Studime mbi simetrinë, përkth. nga anglishtja, M., 1971.

S. S. Gershtein.

III Simetria

në kimi manifestohet në konfigurimin gjeometrik të molekulave, i cili ndikon në specifikat fizike dhe vetitë kimike molekulat në një gjendje të izoluar, në një fushë të jashtme dhe në bashkëveprim me atome dhe molekula të tjera.

Shumica molekula të thjeshta ka elemente simetria hapësinore konfigurimi i ekuilibrit: boshtet e simetrisë, rrafshet e simetrisë etj. (shih Simetria në matematikë). Kështu, molekula e amoniakut NH 3 ka simetrinë e duhur piramidë trekëndore, molekula e metanit CH 4 - simetria e tetraedrit. Në molekulat komplekse, simetria e konfigurimit të ekuilibrit në tërësi, si rregull, mungon, por simetria e fragmenteve të saj individuale ruhet afërsisht (simetria lokale). Përshkrimi më i plotë i simetrisë së konfigurimeve të ekuilibrit dhe joekuilibrit të molekulave arrihet në bazë të ideve për të ashtuquajturat. Grupet e simetrisë dinamike - grupe që përfshijnë jo vetëm operacione të simetrisë hapësinore të konfigurimit bërthamor, por edhe operacione të rirregullimit të bërthamave identike në konfigurime të ndryshme. Për shembull, grup dinamik simetria për molekulën NH 3 përfshin edhe veprimin e përmbysjes së kësaj molekule: kalimin e atomit N nga njëra anë e planit të formuar nga atomet H në anën tjetër të tij.

Simetria e konfigurimit të ekuilibrit të bërthamave në një molekulë përfshin një simetri të caktuar të funksioneve valore (Shihni funksionin e valës) të gjendjeve të ndryshme të kësaj molekule, gjë që bën të mundur klasifikimin e gjendjeve sipas llojeve të simetrisë. Një tranzicion midis dy gjendjeve të lidhura me thithjen ose emetimin e dritës, në varësi të llojeve të simetrisë së gjendjeve, ose mund të shfaqet në spektrin molekular (Shih spektrat molekularë) ose të ndalohet, në mënyrë që vija ose brezi që korrespondon me këtë tranzicion. do të mungojë në spektër. Llojet e simetrisë së gjendjeve ndërmjet të cilave janë të mundshme kalimet ndikojnë në intensitetin e vijave dhe brezave, si dhe në polarizimin e tyre. Për shembull, në homonukleare molekulat diatomike kalimet ndërmjet gjendjet elektronike të të njëjtit barazi, funksionet valore elektronike të të cilave sillen në të njëjtën mënyrë gjatë operacionit të përmbysjes; në molekulat e benzenit dhe komponimet e ngjashme kalimet ndërmjet gjendjeve elektronike jo të degjeneruara të të njëjtit lloj simetrie etj., janë të ndaluara rregullat e përzgjedhjes së simetrisë për kalimet ndërmjet gjendjeve të ndryshme nga rregullat e përzgjedhjes që lidhen me Spin-in e këtyre gjendjeve.

Për molekulat me qendra paramagnetike, simetria e mjedisit të këtyre qendrave çon në një lloj të caktuar anizotropie. g-faktori (shumëzuesi Lande), i cili ndikon në strukturën e spektrit të avullit elektronik rezonancë magnetike(Shih rezonancën paramagnetike të elektroneve), ndërsa në molekulat, bërthamat atomike të të cilave kanë spin jo zero, simetria e fragmenteve individuale lokale çon në një lloj të caktuar të ndarjes së energjisë të gjendjeve me projeksione të ndryshme të rrotullimit bërthamor, gjë që ndikon në strukturën e magnetikës bërthamore. spektrat e rezonancës (Shih rezonancën magnetike bërthamore).

Në qasjet e përafërta të kimisë kuantike, duke përdorur idenë e orbitaleve molekulare, klasifikimi sipas simetrisë është i mundur jo vetëm për funksioni i valës molekulat në tërësi, por edhe për orbitalet individuale. Nëse konfigurimi i ekuilibrit të një molekule ka një plan simetrie në të cilin shtrihen bërthamat, atëherë të gjitha orbitalet e kësaj molekule ndahen në dy klasa: simetrike (σ) dhe antisimetrike (π) në lidhje me funksionimin e reflektimit në këtë plan. Molekulat në të cilat orbitalet më të larta (në energji) janë π-orbitalet formojnë klasa specifike të përbërjeve të pangopura dhe të konjuguara me vetitë karakteristike të tyre. Njohuri për simetrinë lokale të fragmenteve individuale të molekulave dhe atyre të lokalizuara në këto fragmente orbitalet molekulare na lejon të gjykojmë se cilat fragmente ngacmohen më lehtë dhe ndryshojnë më fort gjatë transformimeve kimike, për shembull, gjatë reaksioneve fotokimike.

Konceptet e simetrisë janë të rëndësishme në analizën teorike të strukturës së përbërjeve komplekse, vetive dhe sjelljes së tyre në reaksione të ndryshme. Teoria e fushës kristalore dhe teoria e fushës së ligandit vendosin marrëveshje reciproke orbitalet e zëna dhe të zbrazëta të një përbërje komplekse bazuar në të dhënat mbi simetrinë, natyrën dhe shkallën e ndarjes së tij nivelet e energjisë kur ndryshon simetria e fushës së ligandës. Vetëm njohja e simetrisë së një kompleksi shumë shpesh lejon që dikush të gjykojë cilësisht vetitë e tij.

Në vitin 1965, P. Woodward dhe R. Hoffman parashtruan parimin e ruajtjes së simetrisë orbitale në reaksionet kimike, i cili më pas u konfirmua nga një material i gjerë eksperimental dhe pati një ndikim të madh në zhvillimin e shkencës përgatitore. kimia organike. Ky parim (rregulli Woodward-Hoffman) thotë se aktet elementare individuale të reaksioneve kimike ndodhin duke ruajtur simetrinë e orbitaleve molekulare, ose simetrinë orbitale. Sa më shumë të cenohet simetria e orbitaleve gjatë një ngjarje elementare, aq më i vështirë është reagimi.

Marrja në konsideratë e simetrisë së molekulave është e rëndësishme gjatë kërkimit dhe përzgjedhjes së substancave të përdorura në krijimin e lazerëve kimikë dhe ndreqësve molekularë, kur ndërtohen modele të superpërçuesve organikë, kur analizohen substanca kancerogjene dhe farmakologjikisht aktive, etj.

Lit.: Hochstrasser R., Aspektet molekulare të simetrisë, përkth. nga anglishtja, M., 1968; Bolotin A. B., Stepanov N. f.. Teoria e grupit dhe aplikimet e saj në mekanikën kuantike të molekulave, M., 1973; Woodward R., Hoffman R., Conservation of Orbital Symmetry, trans. nga anglishtja, M., 1971.

N. F. Stepanov.

IV Simetria

në biologji (biosimetri). Fenomeni i harmonisë në natyrën e gjallë u vu re në Greqinë e lashtë nga Pitagorianët (shek. V para Krishtit) në lidhje me zhvillimin e tyre të doktrinës së harmonisë. Në shekullin e 19-të Kishte disa vepra kushtuar sintezës së bimëve (shkencëtarët francezë O. P. Decandolle dhe O. Bravo), kafshëve (gjermanisht - E. Haeckel) dhe molekulave biogjene (shkencëtarët francezë - A. Vechan, L. Pasteur dhe të tjerë). Në shekullin e 20-të objektet biologjike u studiuan nga pikëpamja e teorisë së përgjithshme të kristalizimit (shkencëtarët sovjetikë Yu. V. Wulf, V. N. Beklemishev, B. K. Weinstein, kimisti fizik holandez F. M. Yeger, kristalografët anglezë të udhëhequr nga J. Bernal) dhe doktrina e djathtizmit dhe majtizmit. (Shkencëtarët sovjetikë V.I. Vernadsky, V.V. Alpatov, G.F. Gause dhe të tjerë; shkencëtari gjerman W. Ludwig). Këto punime çuan në identifikimin në vitin 1961 të një drejtimi të veçantë në studimin e S. - biosimetrisë.

Struktura strukturore e objekteve biologjike është studiuar më intensivisht. Studimi i biostrukturave - molekulare dhe supramolekulare - nga pikëpamja e strukturës strukturore bën të mundur identifikimin paraprakisht të llojeve të mundshme të strukturës për to, dhe në këtë mënyrë numrin dhe llojin e modifikimeve të mundshme, dhe të përshkruajë në mënyrë rigoroze formën e jashtme dhe strukturën e brendshme. të çdo objekti biologjik hapësinor. Kjo çoi në përdorimin e gjerë të koncepteve të S strukturore në zoologji, botanikë, Biologji Molekulare. S. strukturor manifestohet kryesisht në formën e një ose një tjetër përsëritjeje të rregullt. NË teoria klasike sistemi strukturor, i zhvilluar nga shkencëtari gjerman I. F. Hessel, E. S. Fedorov (Shih Fedorov) dhe të tjerë, lloji i sistemit të një objekti mund të përshkruhet nga tërësia e elementeve të sistemit të tij, d.m.th. elemente gjeometrike(pika, vija, rrafshe) në lidhje me të cilat janë renditur pjesët identike të një objekti (shih Simetria në matematikë). Për shembull, specia lule S. phlox ( oriz. 1 , c) - një bosht i rendit të 5-të që kalon nga qendra e lules; prodhuar përmes funksionimit të tij - 5 rrotullime (72, 144, 216, 288 dhe 360°), me secilën prej të cilave lulja përkon me vetveten. Pamje e figurës së fluturës S. ( oriz. 2 , b) - një plan që e ndan atë në 2 gjysma - majtas dhe djathtas; Operacioni i kryer përmes aeroplanit është një reflektim pasqyre, duke “bërë” gjysmën e majtë djathtas, gjysmën e djathtë majtas dhe figurën e fluturës që kombinohet me vetveten. Lloji S. radiolaria Lithocubus geometricus ( oriz. 3 , b), përveç boshteve të rrotullimit dhe planeve të reflektimit, ai përmban edhe qendrën C. Çdo vijë e drejtë e tërhequr nëpër një pikë të tillë të vetme brenda radiolarisë në të dy anët e saj dhe në distanca të barabarta plotëson pikat identike (përkatëse) të figurës. Operacionet e kryera përmes qendrës S. janë reflektime në një pikë, pas së cilës kombinohet edhe figura e radiolarisë me vetveten.

Në natyrën e gjallë (si në natyrën e pajetë), për shkak të kufizimeve të ndryshme, zakonisht gjendet një numër dukshëm më i vogël i llojeve të S. sesa është teorikisht e mundur. Për shembull, në fazat më të ulëta të zhvillimit të natyrës së gjallë, gjenden përfaqësues të të gjitha klasave të pikave S. - deri në organizmat e karakterizuar nga S. poliedra të rregullta dhe një top (shih oriz. 3 ). Megjithatë, në fazat më të larta të evolucionit, bimët dhe kafshët gjenden kryesisht të ashtuquajturat. boshtor (lloji n) dhe aktinomorfike (lloji n(m)ME. (në të dyja rastet n mund të marrë vlera nga 1 në ∞). Objektet biologjike me S. boshtore (shih. oriz. 1 ) karakterizohen vetëm nga boshti i rendit C n. Bioobjektet e S. saktinomorfike (shih. oriz. 2 ) karakterizohen nga një bosht i rendit n dhe aeroplanët që kryqëzohen përgjatë këtij boshti m. Llojet më të zakonshme në jetën e egër janë S. spp. n = 1 dhe 1. m = m, quhet respektivisht asimetri (Shih Asimetrinë) dhe dypalëshe, ose dypalëshe, S. Asimetria është karakteristikë e gjetheve të shumicës së specieve bimore, bilaterale S. - në një masë të caktuar, për formën e jashtme të trupit të njerëzve, vertebrorëve. , dhe shumë jovertebrorë. Në organizmat e lëvizshëm, një lëvizje e tillë me sa duket shoqërohet me ndryshime në lëvizjen e tyre lart e poshtë dhe përpara dhe mbrapa, ndërsa lëvizjet e tyre djathtas dhe majtas janë të njëjta. Një shkelje e S. dypalëshe të tyre do të çonte në mënyrë të pashmangshme në frenimin e lëvizjes së njërës prej anëve dhe transformimin lëvizje përpara në një qarkore Në vitet 50-70. Shekulli 20 I ashtuquajturi objekte biologjike disimetrike ( oriz. 4 ). Kjo e fundit mund të ekzistojë në të paktën dy modifikime - në formën e origjinalit dhe imazhit të tij të pasqyrës (antipod). Për më tepër, njëra nga këto forma (pa marrë parasysh cila) quhet e drejtë ose D (nga latinishtja dextro), tjetra quhet e majtë ose L (nga latinishtja laevo). Gjatë studimit të formës dhe strukturës së bioobjekteve D- dhe L, u zhvillua një teori e faktorëve disimetrizues, duke vërtetuar mundësinë për çdo objekt D- ose L- prej dy ose më shumë (deri në numër i pafund) modifikimet (shih gjithashtu oriz. 5 ); në të njëjtën kohë përmbante formula për përcaktimin e numrit dhe llojit të këtyre të fundit. Kjo teori çoi në zbulimin e të ashtuquajturit. izomerizmi biologjik (Shih Izomerizmi) (objekte të ndryshme biologjike të së njëjtës përbërje; në oriz. 5 Tregohen 16 izomerë të gjethes së blirit).

Gjatë studimit të shfaqjes së objekteve biologjike, u zbulua se në disa raste mbizotërojnë format D, në të tjera format L, në të tjera ato përfaqësohen po aq shpesh. Bechamp dhe Pasteur (vitet 40 të shekullit të 19-të), dhe në vitet '30. Shekulli 20 Shkencëtari sovjetik G.F. Gause dhe të tjerët treguan se qelizat e organizmave ndërtohen vetëm ose kryesisht nga L-aminoacide, L-proteina, acide D-deoksiribonukleike, D-sheqerna, L-alkaloide, D- dhe L-terpene, etj. Pra, themelore dhe karakteristike qelizat e gjalla, të quajtura nga Pasteur disimetria e protoplazmës, i sigurojnë qelizës, siç u krijua në shekullin e 20-të, një metabolizëm më aktiv dhe mirëmbahet përmes mekanizmave kompleksë biologjikë dhe fiziko-kimikë që u ngritën në procesin e evolucionit. Sov. shkencëtari V.V. Alpatov në 1952, duke përdorur 204 lloje të bimëve vaskulare, zbuloi se 93.2% e specieve bimore i përkasin llojit me L-, 1.5% - me kursin D të trashjeve spirale të mureve të enëve të gjakut, 5.3% e specieve - te tipi racemik (numri i enëve D është afërsisht i barabartë me numrin e enëve L).

Gjatë studimit të bioobjekteve D- dhe L, u zbulua se barazia ndërmjet Format D dhe L në disa raste, ai dëmtohet për shkak të dallimeve në vetitë e tyre fiziologjike, biokimike dhe të tjera. Kjo veçori e natyrës së gjallë u quajt disimetria e jetës. Kështu, efekti emocionues i L-aminoacideve në lëvizjen e plazmës në qelizat bimore dhjetëra e qindra herë më të larta se i njëjti efekt i formave të tyre D. Shumë antibiotikë (penicilinë, gramicidin, etj.) që përmbajnë aminoacide D janë më baktericid se format e tyre me L-aminoacide. Panxharët më të zakonshëm të sheqerit L-kop në formë vide janë 8-44% (në varësi të varietetit) më të rëndë dhe përmbajnë 0,5-1% më shumë sheqer se panxhari i sheqerit D-kop.

Kështu, duke i ndarë grupet e simetrisë nga gjeometritë, mund të vendosen lidhjet ndërmjet simetrive në nivel grupi. Meqenëse grupi i gjeometrisë afine është një nëngrup i gjeometrisë projektive, çdo koncept i një invarianti në gjeometrinë projektive A priori ka kuptim në gjeometrinë afine, gjë që nuk është e vërtetë në drejtim i kundërt. Nëse shtoni simetritë e kërkuara, merrni më shumë teori e fortë, por më pak koncepte dhe teorema (të cilat do të jenë më të thella dhe më të përgjithshme).

Pikëpamja e Thurston-it

Funksionet e çuditshme

Integrale

Teoria Galois

Nëse jepet një polinom, është e mundur që disa rrënjë të lidhen me ekuacione të ndryshme algjebrike. Për shembull, mund të rezultojë që për dy rrënjë, të themi, A Dhe B, $A^2 + 5B^3 = 7$ . Ideja qendrore e teorisë Galois është fakti se kur rrënjët riorganizohen, ato vazhdojnë të kënaqin të gjitha këto ekuacione. Është e rëndësishme të kufizojmë veten ekuacionet algjebrike, koeficientët e të cilit janë numra racionalë. Kështu, teoria Galois studion simetritë e trashëguara nga ekuacionet algjebrike.

Automorfizmat e objekteve algjebrike

Simetria në hapësirat metrike

Izometria në hapësirë

Isometrikeështë një hartë që ruan distancën e hapësirave metrike. Le të jepet një hapësirë metrike, ose një grup, dhe një skemë për llogaritjen e distancës ndërmjet elementeve të grupit. Izometria është një transformim që lidh elementet në një hapësirë tjetër metrike në mënyrë që distanca midis elementeve në hapësirën e re metrike të jetë e barabartë me distancën midis elementeve në hapësirën origjinale. Në dy dimensione ose hapësirë tredimensionale dy figurat gjeometrike janë kongruente nëse janë të lidhura me izometri - ose nga lëvizja e një trupi absolutisht të ngurtë, ose nga përbërja e lëvizjes dhe reflektimit.

Simetria e ekuacioneve diferenciale

Në rastin kur ngjarjet përfaqësojnë një interval të numrave realë, një simetri që merr parasysh permutacionet e nënintervaleve gjatësi të barabartë, korrespondon me një shpërndarje uniforme të vazhdueshme.

Në raste të tjera, të tilla si "zgjedhja e një numri të plotë të rastësishëm" ose "zgjedhja e një reale të rastësishme", nuk ka simetri të shpërndarjes së probabilitetit, duke lejuar permutacione të numrave ose intervale me gjatësi të barabartë. Simetri të tjera të pranueshme nuk çojnë në shpërndarje specifike, ose me fjalë të tjera, nuk ka një shpërndarje unike probabiliteti që prodhon simetri maksimale.

Ekziston një lloj izometria njëdimensionale, e cila mund të mbajë të pandryshuar shpërndarjen e probabilitetit, është një reflektim në lidhje me një pikë, për shembull, zero.

Një simetri e mundshme për vlerat e rastësishme me probabilitet pozitiv është ajo që zbatohet për logaritmet, domethënë kur një ngjarje dhe reciproku i saj kanë të njëjtën shpërndarje. Megjithatë, kjo simetri nuk çon në një shpërndarje specifike probabiliteti.

Për një "pikë të rastësishme" në një plan ose në hapësirë, ju mund të zgjidhni një qendër dhe të merrni parasysh simetrinë e shpërndarjes së probabilitetit në lidhje me një rreth ose sferë.

Shiko gjithashtu

Shkruani një përmbledhje për artikullin "Simetria në matematikë"

Lidhjet

Bibliografi

Hermann Weyl, Simetria. Ribotim i origjinalit të vitit 1952. Biblioteka shkencore e Princetonit. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1989. viii+168 pp. ISBN 0-691-02374-3
Mark Ronan, Simetria dhe Përbindësh, Oxford University Press, 2006. ISBN 978-0-19-280723-6 (Hyrje koncize për lexuesin laik)
Marcus du Sautoy, Gjetja e dritës së hënës: Udhëtimi i një matematikani përmes simetrisë, Pasuria e Katërt, 2009

Një fragment që karakterizon simetrinë në matematikë

"Kisha kënaqësinë," u përgjigj Princi Andrei, "jo vetëm të marr pjesë në tërheqje, por edhe të humbas në këtë tërheqje gjithçka që ishte e dashur, për të mos përmendur pronën dhe në shtëpi... një baba që vdiq nga pikëllimi. Unë jam nga Smolensk.
- Eh?.. Jeni Princ Bolkonsky? Është mirë të takosh: Nënkolonel Denisov, i njohur më mirë si Vaska, "tha Denisov, duke shtrënguar dorën e Princit Andrei dhe duke shikuar në fytyrën e Bolkonsky me vëmendje veçanërisht të mirë," tha ai me simpati dhe, pas një heshtjeje të shkurtër. vazhdoi: - Kjo është lufta e Skitëve, gjithçka është e mirë, por jo për ata që e marrin repin me anët e tyre. Dhe ju jeni Princi Andgey Bolkonsky - Ai tundi kokën: "Është shumë ferr, princ, është shumë ferr të takohem," shtoi ai përsëri me një buzëqeshje të trishtuar.
Princi Andrei e njihte Denisov nga tregimet e Natasha për dhëndrin e saj të parë. Ky kujtim e transportoi me ëmbëlsi dhe me dhimbje tani tek ata ndjesi të dhimbshme, për të cilat ai nuk kishte menduar për një kohë të gjatë, por që ishin ende në shpirtin e tij. Kohët e fundit, kaq shumë përshtypje të tjera dhe kaq serioze si largimi nga Smolensk, ardhja e tij në Malet Tullac, vdekja e fundit e babait të tij - aq shumë ndjesi përjetuan prej tij, saqë këto kujtime nuk i kishin ardhur për një kohë të gjatë dhe, kur erdhën , nuk pati asnjë ndikim tek ai me të njëjtën forcë. Dhe për Denisovin, seria e kujtimeve që ngjalli emri i Bolkonsky ishte një e kaluar e largët, poetike, kur, pas darkës dhe këngës së Natashës, ai, pa e ditur se si, i propozoi një vajze pesëmbëdhjetëvjeçare. Ai buzëqeshi me kujtimet e asaj kohe dhe dashurinë e tij për Natashën dhe menjëherë kaloi në atë që tani e pushtoi me pasion dhe ekskluzivisht. Ky ishte plani i fushatës që ai doli ndërsa shërbente në poste gjatë tërheqjes. Ai ia paraqiti këtë plan Barclay de Tolly dhe tani synoi t'ia paraqiste Kutuzov. Plani bazohej në faktin se linja e operacioneve franceze ishte shumë e zgjeruar dhe se në vend që, ose në të njëjtën kohë, të vepronin nga fronti, t'u bllokonin rrugën francezëve, ishte e nevojshme të veprohej sipas mesazheve të tyre. Ai filloi t'i shpjegonte planin e tij Princit Andrei.
"Ata nuk mund ta mbajnë të gjithë këtë linjë." Kjo është e pamundur, përgjigjem se janë pg"og"vu; Më jep pesëqind njerëz, unë do t'i vras, është veg një sistem është pag "Tisan".
Denisov u ngrit në këmbë dhe, duke bërë gjeste, i përshkroi planin e tij Bolkonsky. Në mes të prezantimit të tij, në vendin e shqyrtimit u dëgjuan klithmat e ushtrisë, më të sikletshme, më të përhapura dhe të shkrira me muzikë e këngë. Në fshat kishte ulërima dhe ulërima.
"Ai po vjen vetë," bërtiti një kozak që qëndronte te porta, "ai po vjen!" Bolkonsky dhe Denisov u zhvendosën drejt portës, në të cilën qëndronin një grup ushtarësh (një roje nderi) dhe panë Kutuzov duke lëvizur përgjatë rrugës, duke hipur në një kalë të ulët. Një grup i madh gjeneralësh hipën pas tij. Barclay hipi pothuajse pranë; një turmë oficerësh vrapuan pas tyre dhe rreth tyre dhe bërtisnin "Hurray!"
Adjutantët galopuan përpara tij në oborr. Kutuzov, duke e shtyrë me padurim kalin e tij, i cili po ecnin nën peshën e tij, dhe duke tundur vazhdimisht kokën, vuri dorën në kapelën e rojes së kalorësisë (me një brez të kuq dhe pa vizore) që kishte veshur. Pasi iu afrua gardës së nderit të granadierëve të mirë, kryesisht kalorës, të cilët e përshëndetën, ai i shikoi në heshtje për një minutë me një vështrim kokëfortë urdhërues dhe iu drejtua turmës së gjeneralëve dhe oficerëve që qëndronin rreth tij. Fytyra e tij mori papritur një shprehje të hollë; ngriti supet me një gjest hutimi.
- Dhe me shokë të tillë, vazhdoni të tërhiqeni dhe të tërhiqeni! - tha ai. "Epo, mirupafshim, gjeneral," shtoi ai dhe filloi kalin e tij përmes portës, duke kaluar Princin Andrei dhe Denisov.
- Ura! hora! hora! - bërtitën nga pas.
Meqenëse Princi Andrei nuk e kishte parë, Kutuzov ishte bërë edhe më i trashë, i dobët dhe i fryrë nga yndyra. Por syri i bardhë i njohur, plaga dhe shprehja e lodhjes në fytyrën dhe figurën e tij ishin të njëjta. Ai ishte i veshur me një pallto uniforme (një kamxhik i varur në një rrip të hollë mbi supe) dhe një kapelë të bardhë roje të kalorësisë. Ai, duke u turbulluar shumë dhe duke u lëkundur, u ul mbi kalin e tij të gëzuar.
"Ua... ua... ua..." fishkëlliu ai mezi në zë ndërsa hyri me makinë në oborr. Fytyra e tij shprehte gëzimin e qetësimit të një burri që synonte të pushonte pas misionit. Ai nxori këmbën e majtë nga stërvitja, duke u rrëzuar me gjithë trupin dhe duke u tërhequr nga përpjekja, e ngriti me vështirësi në shalë, e mbështeti bërrylin në gju, rënkoi dhe zbriti në krahët e kozakëve dhe adjutantëve që e mbështesnin atë.
Ai u shërua, shikoi përreth me sytë e tij të ngushtuar dhe, duke hedhur një vështrim nga princi Andrei, me sa duket duke mos e njohur atë, eci me ecjen e tij të zhytjes drejt verandës.
"Ua... ua... ua", fishkëlliu ai dhe u kthye përsëri te Princi Andrei. Përshtypja e fytyrës së Princit Andrei vetëm pas disa sekondash (siç ndodh shpesh me të moshuarit) u lidh me kujtesën e personalitetit të tij.
"Ah, përshëndetje, princ, përshëndetje, e dashur, le të shkojmë ..." tha ai i lodhur, duke shikuar përreth dhe hyri rëndë në verandë, duke kërcitur nën peshën e tij. Ai i zbërtheu kopsat dhe u ul në një stol në verandë.
- Epo, po babai?
"Dje mora lajmin për vdekjen e tij," tha shkurt Princi Andrei.
Kutuzov është i frikësuar me sy hapur shikoi Princin Andrei, pastaj hoqi kapelën e tij dhe u kryqëzua: "Mbretëria e qiejve për të! Vullneti i Zotit qoftë mbi ne, Ai psherëtiu rëndë, me gjithë gjoksin e tij dhe heshti. "Unë e doja dhe e respektova dhe ju simpatizoj me gjithë zemër." Ai e përqafoi Princin Andrei, e shtypi në gjoksin e tij të trashë dhe nuk e la të shkonte për një kohë të gjatë. Kur e liroi, Princi Andrei pa që buzët e fryra të Kutuzov po dridheshin dhe kishte lot në sytë e tij. Ai psherëtiu dhe kapi stolin me të dyja duart për t'u ngritur.
"Hajde, hajde të vijmë tek unë dhe të flasim," tha ai; por në këtë kohë Denisov, po aq pak i ndrojtur para eprorëve të tij sa edhe përballë armikut, përkundër faktit se adjutantët në verandë e ndaluan atë me pëshpëritje të zemëruara, me guxim, duke trokitur shtyllat e tij në shkallët, hyri në verandë. Kutuzov, duke i lënë duart e tij të mbështetura në stol, dukej i pakënaqur nga Denisov. Denisov, pasi u identifikua, njoftoi se kishte një çështje për të informuar zotërinë e tij rëndësi të madhe për të mirën e atdheut. Kutuzov filloi ta shikonte Denisovin me një vështrim të lodhur dhe me një gjest të mërzitur, duke i marrë duart dhe duke i palosur në bark, ai përsëriti: "Për të mirën e atdheut? Epo, çfarë është ajo? Flisni." Denisov u skuq si një vajzë (ishte kaq e çuditshme të shihje ngjyrën në atë fytyrë me mustaqe, të vjetër dhe të dehur) dhe me guxim filloi të përvijojë planin e tij për prerjen e vijës operacionale të armikut midis Smolensk dhe Vyazma. Denisov jetonte në këto anë dhe e njihte mirë zonën. Plani i tij dukej padyshim i mirë, veçanërisht nga fuqia e bindjes që ishte në fjalët e tij. Kutuzov shikoi këmbët e tij dhe herë pas here hidhte një vështrim në oborrin e kasolles fqinje, sikur të priste diçka të pakëndshme prej andej. Një gjeneral me një çantë nën krah u shfaq në të vërtetë nga kasolle që po shikonte gjatë fjalimit të Denisov.
- Çfarë? – tha Kutuzov në mes të prezantimit të Denisov. - Gati?
"Gati, zotëria juaj," tha gjenerali. Kutuzov tundi kokën, sikur të thoshte: "Si mund ta menaxhojë një person gjithë këtë", dhe vazhdoi të dëgjojë Denisov.
"Unë i jap fjalën time të ndershme, fisnike oficerit Hussian," tha Denisov, "se kam konfirmuar mesazhin e Napoleonit.
- Si ja kaloni, Kirill Andreevich Denisov, shef i katërt? - e ndërpreu Kutuzov.
- Daja i njërit, zotëria juaj.
- RRETH! "Ne ishim miq," tha Kutuzov me gëzim. "Mirë, mirë, e dashur, qëndro këtu në seli, do të flasim nesër." - Duke tundur kokën nga Denisov, ai u kthye dhe zgjati dorën drejt letrave që i solli Konovnitsyn.
"A do t'ju mirëpriste zotëria juaj në dhomat," tha gjenerali në detyrë me një zë të pakënaqur, "ne duhet të shqyrtojmë planet dhe të nënshkruajmë disa letra." “Adjutanti që doli nga dera raportoi se gjithçka ishte gati në banesë. Por Kutuzov, me sa duket, donte të hynte në dhoma tashmë të lirë. Ai u përkul...
"Jo, më thuaj të shërbej, i dashur, këtu është një tryezë, do t'i hedh një sy," tha ai. "Mos u largo," shtoi ai, duke iu kthyer Princit Andrei. Princi Andrei mbeti në verandë, duke dëgjuar gjeneralin në detyrë.
Gjatë raportimit, jashtë derës së përparme, Princi Andrei dëgjoi pëshpëritjen e një gruaje dhe kërcitjen e fustanit mëndafshi të një gruaje. Disa herë, duke parë në atë drejtim, vuri re pas derës, me një fustan rozë dhe një shall mëndafshi të purpurt në kokë, një grua të shëndoshë, me faqe rozë dhe të bukur me një pjatë, e cila me sa duket priste komandantin të hynte. Adjutanti i Kutuzov i shpjegoi Princit Andrei me një pëshpëritje se ishte zonja e shtëpisë, prifti, që synonte t'i shërbente bukë dhe kripë zotërisë së tij. Burri i saj takoi Lartësinë e Tij të Qetë me një kryq në kishë, ajo është në shtëpi... "Shumë bukur", shtoi adjutanti duke buzëqeshur. Kutuzov u kthye në këto fjalë. Kutuzov dëgjoi raportin e gjeneralit në detyrë (tema kryesore e të cilit ishte kritika për pozicionin nën Tsarev Zaimishche) ashtu siç dëgjoi Denisov, ashtu siç dëgjoi debatin e Këshillit Ushtarak të Austerlitz shtatë vjet më parë. Ai me sa duket dëgjonte vetëm sepse kishte veshë, të cilët, pavarësisht se në njërin prej tyre kishte një litar deti, nuk mund të mos i dëgjonte; por ishte e qartë se asgjë që mund t'i thoshte gjenerali në detyrë, jo vetëm që nuk mund ta befasonte apo interesonte, por se ai dinte paraprakisht gjithçka që do t'i tregonin dhe i dëgjonte të gjitha vetëm sepse duhej të dëgjonte, siç ai duhej të dëgjonte shërbimin e lutjes duke kënduar. Gjithçka që tha Denisov ishte praktike dhe e zgjuar. Ajo që tha gjenerali në detyrë ishte edhe më e arsyeshme dhe më e zgjuar, por ishte e qartë se Kutuzov përçmonte njohuritë dhe inteligjencën dhe dinte diçka tjetër që supozohej të vendoste çështjen - diçka tjetër, pavarësisht nga inteligjenca dhe njohuria. Princi Andrei vëzhgoi me kujdes shprehjen në fytyrën e komandantit të përgjithshëm dhe e vetmja shprehje që ai mund të vinte tek ai ishte një shprehje mërzie, kurioziteti për atë që do të thoshte pëshpëritja e gruas pas derës dhe një dëshirë për të ruajtur mirësjelljen. Ishte e qartë se Kutuzov përçmonte inteligjencën, njohurinë, madje edhe ndjenjën patriotike që tregoi Denisov, por ai nuk e përçmoi inteligjencën, jo ndjenjën, jo dijen (sepse nuk u përpoq t'i tregojë), por i përçmoi me diçka tjetër. . I përçmoi me pleqërinë e tij, përvojën e tij të jetës. Një urdhër që Kutuzov bëri vetë në këtë raport lidhej me plaçkitjen e trupave ruse. Në fund të raportit, kryepronar i detyrës i paraqiti Lartësisë së tij të Qetë një dokument për nënshkrimin e tij për ndëshkimet nga komandantët e ushtrisë me kërkesë të pronarit të tokës për tërshërë jeshile të prerë.
Kutuzov goditi buzët dhe tundi kokën pasi dëgjoi këtë çështje.
- Në sobë... në zjarr! Dhe një herë e përgjithmonë po të them, i dashur, - tha ai, - të gjitha këto gjëra janë në zjarr. Le të kositin bukë e të djegin dru për shëndetin e tyre. Unë nuk e porosis këtë dhe nuk e lejoj, por as nuk mund ta përcaktoj. Është e pamundur pa këtë. Ata presin dru dhe patate të skuqura fluturojnë. – Ai shikoi sërish letrën. - Oh, mjeshtëri gjermane! – tha ai duke tundur kokën.

"Epo, kjo është tani," tha Kutuzov, duke nënshkruar letrën e fundit dhe, duke u ngritur rëndë dhe duke rregulluar palosjet e qafës së tij të bardhë, me një fytyrë të gëzuar, u drejtua drejt derës.
Prifti, me gjakun që i vërshonte në fytyrë, rrëmbeu pjatën, të cilën, pavarësisht se e kishte përgatitur kaq gjatë, nuk arriti ta servirte në kohë. Dhe me një hark të ulët ajo ia paraqiti Kutuzov.
Sytë e Kutuzovit u ngushtuan; ai buzëqeshi, e mori mjekrën me dorë dhe tha:
- Dhe çfarë bukurie! Faleminderit e dashur!
Ai nxori disa copa ari nga xhepi i pantallonave dhe i vendosi në pjatën e saj.
- Epo, si po jetoni? - tha Kutuzov, duke u nisur drejt dhomës së rezervuar për të. Popadya, duke buzëqeshur me gropëza në fytyrën e saj rozë, e ndoqi atë në dhomën e sipërme. Adjutanti doli te Princi Andrei në verandë dhe e ftoi të hante mëngjes; Gjysmë ore më vonë, Princi Andrei u thirr përsëri në Kutuzov. Kutuzov ishte shtrirë në një karrige me të njëjtën pallto të zbërthyer. Ai mbajti në dorë një libër francez dhe, në hyrje të Princit Andrei, e vuri me thikë dhe e mbështillte. Ishte "Les chevaliers du Cygne", kompozimi i zonjës de Genlis ["Kalorësit e mjellmës", Madame de Genlis], siç e pa Princi Andrei nga mbështjellësi.
"Epo, uluni, uluni këtu, le të flasim," tha Kutuzov. - Është e trishtueshme, shumë e trishtuar. Por mbani mend, miku im, se unë jam babai juaj, një baba tjetër... - Princi Andrei i tha Kutuzov gjithçka që dinte për vdekjen e babait të tij dhe për atë që pa në Malet Tullac, duke kaluar nëpër to.
- Çfarë... çfarë na kanë sjellë! - tha papritmas Kutuzov me një zë të ngazëllyer, padyshim duke imagjinuar qartë, nga historia e Princit Andrei, situatën në të cilën ndodhej Rusia. “Më jep kohë, më jep kohë”, shtoi ai me një shprehje të zemëruar në fytyrën e tij dhe, padyshim, duke mos dashur të vazhdonte këtë bisedë që e shqetësoi, tha: “Të thirra që të të mbaj me mua”.
"Unë falënderoj zotërinë tuaj," u përgjigj Princi Andrey, "por kam frikë se nuk jam më i përshtatshëm për selinë," tha ai me një buzëqeshje, të cilën Kutuzov e vuri re. Kutuzov e shikoi me pyetje. "Dhe më e rëndësishmja," shtoi Princi Andrei, "unë u mësova me regjimentin, u dashurova me oficerët dhe njerëzit, me sa duket, më donin". Do të më vinte keq të largohesha nga regjimenti. Nëse e refuzoj nderin të jem me ty, atëherë më beso...
Një shprehje inteligjente, e sjellshme dhe në të njëjtën kohë tallës delikate shkëlqeu në fytyrën e shëndoshë të Kutuzov. Ai e ndërpreu Bolkonsky:
– Më fal, do të kisha nevojë për ty; por ke te drejte ke te drejte. Këtu nuk kemi nevojë për njerëz. Ka gjithmonë shumë këshilltarë, por jo njerëz. Regjimentet nuk do të ishin të njëjta nëse të gjithë këshilltarët do të shërbenin atje në regjimente si ju. "Të kujtoj nga Austerlitz... Më kujtohet, mbaj mend, të kujtoj me banderolën," tha Kutuzov dhe një ngjyrë e gëzueshme u vërsul në fytyrën e Princit Andrei në këtë kujtim. Kutuzov e tërhoqi për dore, duke ofruar faqen e tij, dhe përsëri Princi Andrei pa lot në sytë e plakut. Megjithëse Princi Andrei e dinte që Kutuzov ishte i dobët deri në lot dhe se tani po e përkëdhelte veçanërisht dhe po i vinte keq për të nga dëshira për të treguar dhembshuri për humbjen e tij, Princi Andrei ishte edhe i gëzuar dhe i lajkatur nga ky kujtim i Austerlitz.
- Shkoni me Zotin në rrugën tuaj. E di që rruga juaj është një rrugë nderi. – ndaloi ai. "Më erdhi keq për ty në Bukarest: duhet të të kisha dërguar." - Dhe, duke ndryshuar bisedën, Kutuzov filloi të flasë lufta turke dhe bota e burgosur. "Po, ata më qortuan shumë," tha Kutuzov, "si për luftën ashtu edhe për paqen ... por gjithçka erdhi në kohë." Tout vient a point a celui qui sait pjesëmarrës. [Gjithçka vjen në kohë për dikë që di të presë.] Dhe aty nuk kishte më pak këshilltarë se këtu... - vazhdoi ai, duke iu kthyer këshilltarëve që me sa duket e kishin zënë. - Oh, këshilltarë, këshilltarë! - tha ai. Nëse do t'i kishim dëgjuar të gjithë, nuk do të kishim përmbyllur paqen atje, në Turqi, dhe nuk do ta përfundonim luftën. Gjithçka është e shpejtë, por gjërat e shpejta kërkojnë shumë kohë. Nëse Kamensky nuk do të kishte vdekur, ai do të ishte zhdukur. Ai sulmoi fortesën me tridhjetë mijë. Marrja e një fortese nuk është e vështirë, por të fitosh një fushatë është e vështirë. Dhe për këtë nuk keni nevojë të sulmoni dhe të sulmoni, por keni nevojë për durim dhe kohë. Kamensky dërgoi ushtarë në Rushchuk, dhe unë i dërgova vetëm (durim dhe kohë) dhe mora më shumë fortesa se Kamensky dhe i detyrova turqit të hanin mish kali. – tundi kokën. - Dhe francezët do të jenë gjithashtu atje! "Beso fjalën time," tha Kutuzov, i frymëzuar, duke e goditur veten në gjoks, "ata do të hanë mishin e kalit tim!" “Dhe përsëri sytë e tij filluan të turbullohen nga lotët.
- Megjithatë, para betejës do të duhet të pranohet? - tha Princi Andrei.
- Do të duhet të jetë, po të duan të gjithë, s'ka për të bërë... Por, i dashur: nuk ka më të fortë se ata dy luftëtarët, durimi dhe koha; ata do të bëjnë gjithçka, por këshilltarët n "entendent pas de cette oreille, voila le mal. [Ata nuk dëgjojnë me këtë vesh - kjo është e keqja.] Disa duan, të tjerët nuk duan. Çfarë duhet bërë? - ai pyeti, me sa duket duke pritur një përgjigje: "Po, çfarë më thua të bëj?" Ai përsëriti dhe sytë i shkëlqyen thellë. shprehje e zgjuar. "Unë do t'ju them se çfarë të bëni," tha ai, pasi Princi Andrei ende nuk u përgjigj. - Unë do t'ju them se çfarë të bëni dhe çfarë po bëj. "Dans le doute, mon cher," ai ndaloi, "abstiens toi, [Në dyshim, i dashur im, refren.]," tha ai me theksim.
- Mirë, mirupafshim, miku im; mos harroni se me gjithë shpirt e mbaj humbjen tuaj me ju dhe se unë nuk jam Lartësia juaj e qetë, nuk jam princ apo komandant i përgjithshëm, por jam babai juaj. Nëse keni nevojë për ndonjë gjë, ejani direkt tek unë. Mirupafshim, e dashura ime. “Ai e përqafoi dhe e puthi përsëri. Dhe përpara se Princi Andrei të kishte kohë të dilte nga dera, Kutuzov psherëtiu qetësues dhe mori përsëri romanin e papërfunduar të zonjës Genlis "Les chevaliers du Cygne".
Si dhe pse ndodhi kjo, Princi Andrei nuk mund të shpjegonte në asnjë mënyrë; por pas këtij takimi me Kutuzov, ai u kthye në regjimentin e tij i qetësuar përparimin e përgjithshëm rasti dhe se kujt i është besuar. Sa më shumë ai shihte mungesën e gjithçkaje personale tek ky plak, tek i cili dukej se kishte vetëm zakonet e pasioneve dhe në vend të mendjes (grupimi i ngjarjeve dhe nxjerrja e përfundimeve) vetëm aftësia për të soditur me qetësi rrjedhën e ngjarjeve, aq më shumë. i qetë ai ishte se gjithçka do të ishte ashtu siç duhej. “Ai nuk do të ketë asgjë të tijën. "Ai nuk do të dalë me asgjë, nuk do të bëjë asgjë," mendoi Princi Andrei, "por ai do të dëgjojë gjithçka, do të kujtojë gjithçka, do të vendosë gjithçka në vendin e vet, nuk do të ndërhyjë në asgjë të dobishme dhe nuk do të lejojë. çdo gjë të dëmshme.” Ai e kupton se ka diçka më të fortë dhe më domethënëse se vullneti i tij - kjo është rrjedha e pashmangshme e ngjarjeve dhe ai di t'i shohë ato, di të kuptojë kuptimin e tyre dhe, duke pasur parasysh këtë kuptim, di të heqë dorë nga pjesëmarrja në këto ngjarje, nga dallgët e tij personale që synonin të tjerët. Dhe gjëja kryesore, - mendoi Princi Andrei, - pse e beson, është se ai është rus, pavarësisht aferës së Zhanlis dhe thëniet franceze; kjo është se i dridhej zëri kur tha: “Çfarë kanë sjellë këtu!”, dhe se ai filloi të qante duke thënë se do t'i detyronte të hanë mish kali. Pikërisht në të njëjtën ndjenjë, të cilën të gjithë e përjetuan pak a shumë në mënyrë të paqartë, u bazua unanimiteti dhe miratimi i përgjithshëm që shoqëroi zgjedhjen popullore, në kundërshtim me gjykimet e gjykatës, të Kutuzov si komandant i përgjithshëm.

Pas largimit të sovranit nga Moska, jeta në Moskë rrodhi në të njëjtin rend të zakonshëm dhe rrjedha e kësaj jete ishte aq e zakonshme sa ishte e vështirë të kujtohej ditët e mëparshme entuziazëm dhe entuziazëm patriotik dhe ishte e vështirë të besohej se Rusia ishte vërtet në rrezik dhe se anëtarët e Klubit Anglez ishin në të njëjtën kohë bij të atdheut, të gatshëm për çdo sakrificë për të. Një gjë që të kujtonte gjendjen e përgjithshme entuziaste patriotike që ekzistonte gjatë qëndrimit të sovranit në Moskë ishte kërkesa për dhurime njerëzish dhe parash, të cilat, sapo u bënë, morën një formë ligjore, zyrtare dhe dukeshin të pashmangshme.
Ndërsa armiku iu afrua Moskës, pamja e moskovitëve për situatën e tyre jo vetëm që nuk u bë më serioze, por, përkundrazi, u bë edhe më joserioze, siç ndodh gjithmonë me njerëzit që shohin një rrezik të madh që po afrohej. Kur afrohet rreziku, dy zëra flasin gjithmonë në mënyrë të barabartë në shpirtin e një personi: njëri thotë në mënyrë shumë të arsyeshme se një person duhet të marrë parasysh vetë natyrën e rrezikut dhe mjetet për ta hequr qafe atë; një tjetër thotë edhe më me mençuri se është shumë e vështirë dhe e dhimbshme të mendosh për rrezikun, ndërsa nuk është në fuqinë e njeriut të parashikojë gjithçka dhe të shpëtojë veten nga rrjedha e përgjithshme e punëve, prandaj është më mirë të largohet nga e vështira. , derisa të vijë, dhe mendo për të këndshmen. Njeri i vetëm per pjesen me te madhe i jepet zërit të parë, në shoqëri, përkundrazi, të dytit. Kështu ishte tani me banorët e Moskës. U bë një kohë e gjatë që nuk argëtoheshim në Moskë si këtë vit.
Postera të Rastopchinsky me imazhin në krye të një shtëpie të pijshëm, një puthëse dhe një tregtar nga Moska Karpushka Chigirin, i cili, pasi ishte në luftëtarët dhe pasi kishte pirë një goditje shtesë në një thes, dëgjoi që Bonaparti donte të shkonte në Moskë, u zemërua. , i qortoi të gjithë francezët me fjalë të këqija, doli nga shtëpia e pijes dhe filloi të flasë nën shqiponjë me të mbledhurit, lexoi dhe diskutoi së bashku me burimin e fundit të Vasily Lvovich Pushkin.
Në klub, në dhomën e qoshes, ata do të lexonin këto postera, dhe disave u pëlqente sesi Karpushka tallej me francezët, duke thënë se ata do të fryhen nga lakra, do të shpërthejnë nga qulli, do të mbyten nga supa me lakër, se ata ishin të gjithë xhuxha dhe se një grua do t'u hidhte një katran të treve. Disa nuk e miratuan këtë ton dhe thanë se ishte vulgar dhe budalla. Ata thanë se Rostopchin dëboi francezët dhe madje të gjithë të huajt nga Moska, se midis tyre kishte spiunë dhe agjentë të Napoleonit; por ata e thanë këtë kryesisht për të përcjellë me këtë rast fjalët e mprehta të folura nga Rostopchin pas largimit të tyre. Të huajt u dërguan me një maune në Nizhny dhe Rastopchin u tha atyre: "Rentrez en vous meme, entrez dans la barque et n"en faites pas une barque ne Charon [hyni vetë dhe në këtë varkë dhe provoni që kjo varkë". nuk u bë barka e Karonit për ty.] Ata thanë se tashmë i kishin dëbuar të gjitha vendet zyrtare nga Moska dhe menjëherë shtuan shakanë e Shinshin se vetëm për këtë Moska duhet t'i jetë mirënjohëse Napoleonit Ata thanë se regjimenti i Mamonovit do të kushtonte tetëqind mijë. se Bezukhov do të kushtonte edhe më shumë për luftëtarët e tij, por gjëja më e mirë për veprimin e Bezukhov është se ai vetë do të vishet me uniformë dhe do të hipë mbi kalë përpara regjimentit dhe nuk do të marrë asgjë për vende nga ata që do të shikojnë. atij.

Përshëndetje!
Le të shohim se çfarë janë kriptografia simetrike dhe asimetrike - pse quhen kështu, për çfarë përdoren dhe si ndryshojnë.

Për të qenë të saktë, është më e saktë të themi algoritme të enkriptimit simetrik dhe asimetrik.

Kriptografia (kripto - fsheh, fshih), si shkencë e fshehjes së asaj që shkruhet, shkencë e fshehjes së informacionit.

Shumica e algoritmeve të enkriptimit të përdorura janë të hapura, domethënë përshkrimi i algoritmit është i disponueshëm për të gjithë. Çelësi i kriptimit është sekret, pa të cilin është e pamundur të kriptohet, aq më pak të deshifrohet informacioni.

Algoritmet e enkriptimit simetrik janë algoritme që përdorin të njëjtin çelës për enkriptim dhe deshifrim. Kjo do të thotë, nëse duam të shkëmbejmë mesazhe të enkriptuara me një mik, fillimisht duhet të biem dakord se çfarë çelësi enkriptimi do të përdorim. Kjo do të thotë, ne do të kemi një çelës kriptimi për dy.

Në algoritmet simetrike, çelësi i enkriptimit është vend i prekshëm, dhe duhet kushtuar më shumë vëmendje që ky çelës të mos njihet nga të tjerët.

Algoritmet e enkriptimit asimetrik janë algoritme në të cilat çelësa të ndryshëm por të lidhur matematikisht përdoren për enkriptim dhe deshifrim. Çelësa të tillë të lidhur quhen kriptopair. Njëra prej tyre është e mbyllur (private), e dyta është e hapur (publike). Në të njëjtën kohë, informacioni është i koduar në çelës publik, mund të deshifrohet vetëm duke përdorur çelësin privat dhe anasjelltas, ajo që është e koduar me çelësin privat mund të deshifrohet vetëm duke përdorur çelësin publik.
Ju e ruani çelësin privat në një vend të sigurt, dhe askush nuk e di atë përveç jush, dhe ju shpërndani një kopje të çelësit publik për të gjithë. Kështu, nëse dikush dëshiron të shkëmbejë mesazhe të koduara me ju, ai do ta kodojë mesazhin duke përdorur çelësin tuaj publik, i cili është i disponueshëm për të gjithë, dhe ky mesazh mund të deshifrohet vetëm duke përdorur çelësin tuaj privat.

Tani rreth pse dhe pse përdoren algoritmet simetrike dhe asimetrike:
Tabela tregon se për enkriptim vëllim i madh informacioni, kriptimi i transmetimit (për shembull, VPN me kriptim) përdor algoritme simetrike të shpejta dhe të pakërkueshme.

Por nëse duhet të sigurojmë maksimalisht një sasi të vogël informacioni, ndërkohë që nuk jemi të kufizuar nga koha dhe burimet kompjuterike, atëherë mund të përdorim kriptografinë asimetrike.

Në jetë, natyrisht, gjithçka është pak më ndryshe sesa në teori.
Në jetë, përdoret një kombinim i algoritmeve simetrike dhe asimetrike.

Për shembull, VPN me kriptim:

Hapi i parë përdor algoritme të çelësave asimetrik për të marrë një çelës simetrik të enkriptimit (). Në hapin e dytë, të dhënat e transmetimit kodohen duke përdorur algoritme simetrike me çelësin e krijuar në hapin e parë.

Kështu, është praktikë e zakonshme përdorimi i një çelësi simetrik për të enkriptuar shpejt sasi të mëdha të dhënash. Në këtë rast, për të shkëmbyer dhe transmetuar një çelës simetrik, përdoren algoritme asimetrike të kriptimit.

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve