Llogaritni numrat kompleks në internet me zgjidhje. Shprehje, ekuacione dhe sisteme ekuacionesh me numra kompleks

AGJENCIA FEDERALE PËR ARSIM

INSTITUCIONI ARSIMOR SHTETËROR

ARSIMI I LARTË PROFESIONAL

"UNIVERSITETI SHTETËROR PEDAGOGJIK I VORONEZH"

DEPARTAMENTI AGLEBRE DHE GJEOMETRI

Numrat kompleks

(detyrat e zgjedhura)

PUNË KUALIFIKUESE E diplomuar

specialiteti 050201.65 matematikë

(me specialitet shtesë 050202.65 informatikë)

Plotësuar nga: student i vitit të 5-të

fizike dhe matematikore

fakultetit

Drejtues shkencor:

VORONEZH – 2008

1. Hyrje…………………………………………………………………………..

2. Numrat kompleksë (probleme të zgjedhura)

2.1. Numrat kompleksë në formë algjebrike………………………….

2.2. Interpretimi gjeometrik i numrave kompleks…………………

2.3. Forma trigonometrike e numrave kompleks

2.4. Zbatimi i teorisë së numrave kompleksë në zgjidhjen e ekuacioneve të shkallës 3 dhe 4……………………………………………………………………………………

2.5. Numrat kompleks dhe parametrat……………………………………………

3. Përfundimi………………………………………………………………………………

4. Lista e referencave………………………………………………………

1. Hyrje

Në programin e matematikës kursi shkollor teoria e numrave prezantohet duke përdorur shembuj të bashkësive të numrave natyrorë, numra të plotë, racionalë, irracionalë, d.m.th. në grupin e numrave realë, imazhet e të cilëve mbushin të gjithë boshti numerik. Por tashmë në klasën e 8-të nuk ka furnizim të mjaftueshëm të numrave realë kur zgjidhen ekuacionet kuadratike me një diskriminues negativ. Prandaj, ishte e nevojshme të plotësohej stoku i numrave realë me ndihmën e numrave kompleksë, për të cilët rrënja katrore e numër negativ ka kuptim.

Zgjedhja e temës “Numrat kompleks” si temë e diplomimit punë kualifikuese, është se koncepti i një numri kompleks zgjeron njohuritë e nxënësve rreth sistemet e numrave, në lidhje me zgjidhjen e një klase të gjerë problemesh të përmbajtjes algjebrike dhe gjeometrike, në lidhje me zgjidhjen ekuacionet algjebrikeçdo shkallë dhe për zgjidhjen e problemeve me parametra.

Kjo tezë shqyrton zgjidhjen e 82 problemeve.

Pjesa e parë e seksionit kryesor "Numrat kompleks" ofron zgjidhje për problemet me numra kompleks në formë algjebrike, përcakton veprimet e mbledhjes, zbritjes, shumëzimit, pjesëtimit, operacionin e konjugimit për numrat kompleks në formë algjebrike, fuqinë e një njësie imagjinare. , moduli i një numri kompleks, dhe gjithashtu përcakton nxjerrjen e rregullave rrënjë katrore nga një numër kompleks.

Në pjesën e dytë zgjidhen problema mbi interpretimin gjeometrik të numrave kompleksë në formën e pikave ose vektorëve. plan kompleks.

Pjesa e tretë diskuton veprimet mbi numrat kompleks në formë trigonometrike. Formulat e përdorura janë: Moivre dhe nxjerrja e rrënjës së një numri kompleks.

Pjesa e katërt i kushtohet zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës 3 dhe 4.

Gjatë zgjidhjes së problemeve në pjesën e fundit, "Numrat kompleks dhe parametrat", përdoret dhe konsolidohet informacioni i dhënë në pjesët e mëparshme. Një sërë problemesh në kapitull i kushtohen përcaktimit të familjeve të drejtëzave në planin kompleks të përcaktuar nga ekuacionet (pabarazitë) me një parametër. Në një pjesë të ushtrimeve ju duhet të zgjidhni ekuacionet me një parametër (mbi fushën C). Ka detyra ku një ndryshore komplekse përmbush njëkohësisht një sërë kushtesh. Një tipar i veçantë i zgjidhjes së problemeve në këtë seksion është reduktimi i shumë prej tyre në zgjidhjen e ekuacioneve (pabarazive, sistemeve) të shkallës së dytë, irracionale, trigonometrike me një parametër.

Një tipar i paraqitjes së materialit në secilën pjesë është inputi fillestar bazat teorike, dhe më pas zbatimi i tyre praktik në zgjidhjen e problemeve.

Në fund tezëështë paraqitur një listë e literaturës së përdorur. Shumica e tyre paraqesin material teorik, merren parasysh dhe jepen zgjidhje për disa probleme detyra praktike Për vendim i pavarur. Vëmendje e veçantë Unë do të doja t'u referohesha burimeve të tilla si:

1. Gordienko N.A., Belyaeva E.S., Firstov V.E., Serebryakova I.V. Numrat kompleks dhe zbatimet e tyre: Teksti mësimor. . Materiali mjete mësimore paraqitet në formë leksionesh dhe ushtrimesh praktike.

2. Shklyarsky D.O., Chentsov N.N., Yaglom I.M. Probleme dhe teorema të zgjedhura matematikë elementare. Aritmetika dhe algjebra. Libri përmban 320 probleme që lidhen me algjebrën, aritmetikën dhe teorinë e numrave. Këto detyra ndryshojnë dukshëm në natyrë nga detyrat standarde të shkollës.

2. Numrat kompleksë (probleme të zgjedhura)

2.1. Numrat kompleksë në formë algjebrike

Zgjidhja e shumë problemeve në matematikë dhe në fizikë zbret në zgjidhjen e ekuacioneve algjebrike, d.m.th. ekuacionet e formës

ku a0, a1, …, an janë numra realë. Prandaj, studimi i ekuacioneve algjebrike është një nga çështjet më të rëndësishme në matematikë. Për shembull, ekuacioni kuadratik me diskriminues negativ. Ekuacioni më i thjeshtë i tillë është ekuacioni

Në mënyrë që ky ekuacion të ketë një zgjidhje, është e nevojshme të zgjerohet bashkësia e numrave realë duke i shtuar rrënjën e ekuacionit.

Le ta shënojmë këtë rrënjë me

. Kështu, sipas përkufizimit, ose,

prandaj,

quhet njësi imagjinare. Me ndihmën e tij dhe me ndihmën e një çifti numrash realë, përpilohet një shprehje e formës.

Shprehja që rezulton u quajt numra komplekse sepse ato përmbanin pjesë reale dhe imagjinare.

Pra, numrat kompleks janë shprehje të formës , dhe janë numra realë, dhe është një simbol i caktuar që plotëson kushtin . Numri thirret pjesë reale

numër kompleks, dhe numri është pjesa imagjinare e tij. Simbolet , përdoren për t'i treguar ato.

Numrat kompleksë të formularit janë numra realë

numër kompleks, dhe numri është pjesa imagjinare e tij. Simbolet , përdoren për t'i treguar ato.

dhe, për rrjedhojë, bashkësia e numrave kompleks përmban bashkësinë e numrave realë.

quhen thjesht imagjinare. Dy numra kompleks të formës dhe quhen të barabartë nëse pjesët reale dhe imagjinare të tyre janë të barabarta, d.m.th. nëse barazitë, .

Shënimi algjebrik i numrave kompleks lejon veprimet mbi ta sipas rregullave të zakonshme të algjebrës.

Përdorimi i ekuacioneve është i përhapur në jetën tonë. Ato përdoren në shumë llogaritje, ndërtime strukturash dhe madje edhe sporte. Njeriu përdorte ekuacione në kohët e lashta, dhe që atëherë përdorimi i tyre vetëm është rritur. Për qartësi, le të zgjidhim problemin e mëposhtëm:

Llogaritni \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] nëse \ Para së gjithash, le t'i kushtojmë vëmendje faktit që një numër paraqitet në formë algjebrike, tjetri në formë trigonometrike. Duhet të thjeshtohet dhe të sillet

pamje tjetër

\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]

Shprehja \ thotë se para së gjithash bëjmë shumëzim dhe ngritje në fuqinë e 10-të duke përdorur formulën Moivre. Kjo formulë është formuluar për formën trigonometrike të një numri kompleks.

Ne marrim:

\[\fillim(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]

Duke ndjekur rregullat për shumëzimin e numrave kompleksë në formë trigonometrike, ne bëjmë si më poshtë:

Në rastin tonë:

\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]

Përgjigje: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]

Ky ekuacion mund të zgjidhet në një mënyrë tjetër, e cila përfundon në sjelljen e numrit të 2-të në formë algjebrike, më pas kryerjen e shumëzimit në formë algjebrike, shndërrimin e rezultatit në formë trigonometrike dhe aplikimin e formulës së Moivre:

Ku mund të zgjidh një sistem ekuacionesh me numra kompleksë në internet?

Ju mund të zgjidhni sistemin e ekuacioneve në faqen tonë të internetit https://site. Zgjidhësi falas në internet do t'ju lejojë të zgjidhni ekuacionet në internet të çdo kompleksiteti në disa sekonda. E tëra çfarë ju duhet të bëni është thjesht të futni të dhënat tuaja në zgjidhës. Ju gjithashtu mund të shikoni udhëzime video dhe të mësoni se si ta zgjidhni ekuacionin në faqen tonë të internetit. Dhe nëse keni ende pyetje, mund t'i bëni ato në grupin tonë VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Bashkohuni me grupin tonë, ne jemi gjithmonë të lumtur t'ju ndihmojmë.

Shërbimi i zgjidhjes së ekuacioneve në internet do t'ju ndihmojë të zgjidhni çdo ekuacion. Duke përdorur faqen tonë, jo vetëm që do të merrni përgjigjen e ekuacionit, por edhe do të shihni zgjidhje e detajuar, domethënë një shfaqje hap pas hapi e procesit të marrjes së rezultatit. Shërbimi ynë do të jetë i dobishëm për nxënësit e shkollave të mesme shkollat e mesme dhe prindërit e tyre. Studentët do të jenë në gjendje të përgatiten për teste dhe provime, të testojnë njohuritë e tyre dhe prindërit do të jenë në gjendje të kontrollojnë vendimin ekuacionet matematikore me fëmijët tuaj. Aftësia për të zgjidhur ekuacionet është një kërkesë e detyrueshme për nxënësit e shkollës. Shërbimi do t'ju ndihmojë të edukoheni dhe të përmirësoni njohuritë tuaja në fushën e ekuacioneve matematikore. Me ndihmën e tij ju mund të zgjidhni çdo ekuacion: kuadratik, kub, irracional, trigonometrik, etj. Përfitimi shërbim online dhe është e paçmuar, sepse përveç përgjigjes së saktë, ju merrni një zgjidhje të detajuar për çdo ekuacion. Përfitimet e zgjidhjes së ekuacioneve në internet. Ju mund të zgjidhni çdo ekuacion në internet në faqen tonë të internetit absolutisht falas. Shërbimi është plotësisht automatik, nuk keni nevojë të instaloni asgjë në kompjuterin tuaj, thjesht duhet të futni të dhënat dhe programi do t'ju japë një zgjidhje. Çdo gabim në llogaritje ose gabime shtypi janë të përjashtuara. Tek ne, zgjidhja e çdo ekuacioni në internet është shumë e lehtë, prandaj sigurohuni që të përdorni faqen tonë për të zgjidhur çdo lloj ekuacioni. Ju duhet vetëm të futni të dhënat dhe llogaritja do të përfundojë brenda pak sekondash. Programi funksionon në mënyrë të pavarur, pa ndërhyrje njerëzore dhe ju merrni një përgjigje të saktë dhe të detajuar. Zgjidhja e ekuacionit në pamje e përgjithshme. Në një ekuacion të tillë, koeficientët e ndryshueshëm dhe rrënjët e dëshiruara janë të ndërlidhura. Fuqia më e lartë e një ndryshoreje përcakton rendin e një ekuacioni të tillë. Bazuar në këtë, për ekuacionet përdorni metoda të ndryshme dhe teorema për gjetjen e zgjidhjeve. Zgjidhja e ekuacioneve të këtij lloji nënkupton gjetjen e rrënjëve të kërkuara në formë të përgjithshme. Shërbimi ynë ju lejon të zgjidhni edhe ekuacionin algjebrik më kompleks në internet. Ju mund të merrni një zgjidhje të përgjithshme të ekuacionit dhe një të veçantë për ato që specifikuat vlerat numerike koeficientët Për të zgjidhur një ekuacion algjebrik në faqen e internetit, mjafton të plotësoni saktë vetëm dy fusha: anën e majtë dhe të djathtë. ekuacioni i dhënë. Për ekuacionet algjebrike me koeficientë të ndryshueshëm numër i pafund vendimet dhe duke kërkuar kushte të caktuara, ato private përzgjidhen nga një grup zgjidhjesh. Ekuacioni kuadratik. Ekuacioni kuadratik ka formën ax^2+bx+c=0 për a>0. Zgjidhja e ekuacioneve pamje katrore nënkupton gjetjen e vlerave të x në të cilat vlen barazia ax^2+bx+c=0. Për ta bërë këtë, gjeni vlerën diskriminuese duke përdorur formulën D=b^2-4ac. Nëse diskriminuesi është më i vogël se zero, atëherë ekuacioni nuk ka rrënjë reale (rrënjët janë nga fusha e numrave kompleksë), nëse e barabartë me zero, atëherë ekuacioni ka një rrënjë reale, dhe nëse diskriminuesin më i madh se zero, atëherë ekuacioni ka dy rrënjë të vërteta, të cilat gjenden me formulën: D= -b+-sqrt/2a. Për të zgjidhur një ekuacion kuadratik në internet, thjesht duhet të futni koeficientët e ekuacionit (numra të plotë, thyesa ose dhjetore). Nëse ka shenja zbritjeje në një ekuacion, duhet të vendosni një shenjë minus përpara termave përkatës të ekuacionit. Ju mund të zgjidhni një ekuacion kuadratik në internet në varësi të parametrit, domethënë variablave në koeficientët e ekuacionit. Shërbimi ynë online për gjetjen zgjidhjet e përgjithshme. Ekuacionet lineare. Për të zgjidhur ekuacionet lineare(ose sisteme ekuacionesh) ekzistojnë katër metoda kryesore që përdoren në praktikë. Ne do të përshkruajmë secilën metodë në detaje. Metoda e zëvendësimit. Zgjidhja e ekuacioneve duke përdorur metodën e zëvendësimit kërkon shprehjen e një ndryshoreje në terma të të tjerëve. Pas kësaj, shprehja zëvendësohet me ekuacione të tjera të sistemit. Prandaj emri i metodës së zgjidhjes, domethënë, në vend të një ndryshoreje, shprehja e saj zëvendësohet përmes variablave të mbetur. Në praktikë, metoda kërkon llogaritjet komplekse, edhe pse e lehtë për t'u kuptuar, kështu që zgjidhja e një ekuacioni të tillë në internet do të ndihmojë në kursimin e kohës dhe lehtësimin e llogaritjeve. Thjesht duhet të tregoni numrin e të panjohurave në ekuacion dhe të plotësoni të dhënat nga ekuacionet lineare, atëherë shërbimi do të bëjë llogaritjen. Metoda e Gausit. Metoda bazohet në transformimet më të thjeshta të sistemit për të arritur në një sistem ekuivalent në pamje trekëndore. Prej saj përcaktohen një nga një të panjohurat. Në praktikë, kërkohet të zgjidhet një ekuacion i tillë në internet me përshkrim i detajuar, në sajë të së cilës do të keni një kuptim të mirë të metodës Gaussian për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare. Shkruani sistemin e ekuacioneve lineare në formatin e duhur dhe merrni parasysh numrin e të panjohurave për të zgjidhur me saktësi sistemin. Metoda e Cramer-it. Kjo metodë zgjidh sistemet e ekuacioneve në rastet kur sistemi e vetmja zgjidhje. Kryesor operacion matematik këtu është një llogaritje përcaktuesit e matricës. Zgjidhja e ekuacioneve duke përdorur metodën Cramer kryhet në internet, rezultatin e merrni menjëherë me një përshkrim të plotë dhe të detajuar. Mjafton vetëm të mbushni sistemin me koeficientë dhe të zgjidhni numrin e variablave të panjohur. Metoda e matricës. Kjo metodë konsiston në mbledhjen e koeficientëve të të panjohurave në matricën A, të panjohurave në kolonën X dhe anëtarë të lirë në kolonën B. Kështu, sistemi i ekuacioneve lineare reduktohet në ekuacioni matricor lloji AxX=B. Ky ekuacion ka një zgjidhje unike vetëm nëse përcaktorja e matricës A është e ndryshme nga zero, përndryshe sistemi nuk ka zgjidhje, ose një numër të pafund zgjidhjesh. Zgjidhja e ekuacioneve metoda e matricësështë për të gjetur matricë e anasjelltë A.

Për të zgjidhur problemet me numra kompleksë, duhet të kuptoni përkufizimet themelore. Detyra kryesore Ky artikull rishikues ka për qëllim të shpjegojë se çfarë janë numrat kompleksë dhe të paraqesë metoda për zgjidhjen e problemeve themelore me numra kompleks. Pra, një numër kompleks do të quhet një numër i formës z = a + bi, Ku a, b- numra realë, të cilët quhen përkatësisht pjesët reale dhe imagjinare të një numri kompleks dhe tregojnë a = Re(z), b=Im(z).
i quhet njësi imagjinare. i 2 = -1. Në veçanti, çdo numër real mund të konsiderohet kompleks: a = a + 0i, ku a është e vërtetë. Nëse a = 0 Dhe b ≠ 0, atëherë numri zakonisht quhet thjesht imagjinar.

Tani le të prezantojmë veprimet mbi numrat kompleks.
Konsideroni dy numra kompleks z 1 = a 1 + b 1 i Dhe z 2 = a 2 + b 2 i.

Le të shqyrtojmë z = a + bi.

Bashkësia e numrave kompleks zgjeron bashkësinë e numrave realë, e cila nga ana tjetër e zgjeron bashkësinë numrat racionalë etj. Ky zinxhir investimesh mund të shihet në figurën: N - numrat natyrorë, Z - numra të plotë, Q - racional, R - real, C - kompleks.

Paraqitja e numrave kompleks

Shënim algjebrik.

Konsideroni një numër kompleks z = a + bi, kjo formë e shkrimit të një numri kompleks quhet algjebrike. Ne kemi diskutuar tashmë këtë formë regjistrimi në detaje në seksionin e mëparshëm. Vizatimi vizual i mëposhtëm përdoret mjaft shpesh

Forma trigonometrike.

Nga figura shihet se numri z = a + bi mund të shkruhet ndryshe. Është e qartë se a = rcos(φ), b = rsin (φ), r=|z|, prandaj z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) quhet argument i një numri kompleks. Kjo paraqitje e një numri kompleks quhet formë trigonometrike. Forma trigonometrike e shënimit ndonjëherë është shumë e përshtatshme. Për shembull, është i përshtatshëm për ta përdorur atë për të ngritur një numër kompleks në një fuqi numër të plotë, domethënë, nëse z = rcos(φ) + rsin(φ)i, Kjo z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, kjo formulë quhet formula e Moivre.

Forma demonstrative.

Le të shqyrtojmë z = rcos(φ) + rsin(φ)i- një numër kompleks në formë trigonometrike, shkruaje në një formë tjetër z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, barazia e fundit rrjedh nga formula e Euler-it, kështu që marrim uniformë të re Shënimi i numrave kompleks: z = reiφ, e cila quhet tregues. Kjo formë shënimi është gjithashtu shumë e përshtatshme për ngritjen e një numri kompleks në një fuqi: z n = r n e inφ, Këtu n jo domosdoshmërisht një numër i plotë, por mund të jetë një numër real arbitrar. Kjo formë shënimi përdoret mjaft shpesh për të zgjidhur problemet.

Teorema themelore e algjebrës së lartë

Le të imagjinojmë se kemi një ekuacion kuadratik x 2 + x + 1 = 0. Natyrisht, diskriminuesi i këtij ekuacioni është negativ dhe nuk ka rrënjë reale, por rezulton se ky ekuacion ka dy rrënjë të ndryshme komplekse. Pra, teorema kryesore algjebër më të lartë thotë se çdo polinom i shkallës n ka të paktën një rrënjë komplekse. Nga kjo rezulton se çdo polinom i shkallës n ka saktësisht n rrënjë komplekse duke marrë parasysh shumësinë e tyre. Kjo teoremë është shumë rezultat i rëndësishëm në matematikë dhe përdoret gjerësisht. Një pasojë e thjeshtë Nga kjo teoremë rezulton rezultati i mëposhtëm: ekzistojnë saktësisht n rrënjë të ndryshme të shkallës n të unitetit.

Llojet kryesore të detyrave

Ky seksion do të mbulojë llojet kryesore detyra të thjeshta te numrat kompleks. Në mënyrë konvencionale, problemet që përfshijnë numra kompleks mund të ndahen në kategoritë e mëposhtme.

Kryerja e veprimeve të thjeshta aritmetike me numra kompleks.
Gjetja e rrënjëve të polinomeve në numra kompleksë.
Ngritja e numrave komplekse në fuqi.
Nxjerrja e rrënjëve nga numrat kompleks.
Përdorimi i numrave kompleksë për zgjidhjen e problemeve të tjera.

Tani le të shqyrtojmë teknikat e përgjithshme zgjidhje për këto probleme.

Veprimet më të thjeshta aritmetike me numra komplekse kryhen sipas rregullave të përshkruara në pjesën e parë, por nëse numrat kompleks paraqiten në forma trigonometrike ose eksponenciale, atëherë në këtë rast mund t'i ktheni ato në formë algjebrike dhe të kryeni veprime sipas rregullave të njohura.

Gjetja e rrënjëve të polinomeve zakonisht zbret në gjetjen e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik. Supozoni se kemi një ekuacion kuadratik, nëse diskriminuesi i tij është jonegativ, atëherë rrënjët e tij do të jenë reale dhe mund të gjenden sipas një formule të njohur. Nëse diskriminuesi është negativ, d.m.th. D = -1∙a 2, Ku aështë një numër i caktuar, atëherë diskriminuesi mund të paraqitet si D = (ia) 2, prandaj √D = i|a|, dhe më pas mund ta përdorni formula e njohur për rrënjët e një ekuacioni kuadratik.

Shembull. Le të kthehemi tek ajo që u përmend më lart. ekuacioni kuadratik x 2 + x + 1 = 0 .
Diskriminues - D = 1 - 4 ∙ 1 = -3 = -1(√3) 2 = (i√3) 2.
Tani mund të gjejmë lehtësisht rrënjët:

Ngritja e numrave komplekse në fuqi mund të bëhet në disa mënyra. Nëse ju duhet të ngrini një numër kompleks në formë algjebrike në një fuqi të vogël (2 ose 3), atëherë mund ta bëni këtë me shumëzim të drejtpërdrejtë, por nëse fuqia është më e madhe (në probleme shpesh është shumë më e madhe), atëherë duhet të shkruajeni këtë numër në forma trigonometrike ose eksponenciale dhe përdorni metoda të njohura tashmë.

Shembull. Konsideroni z = 1 + i dhe ngrijeni atë në fuqinë e dhjetë.
Le të shkruajmë z në formë eksponenciale: z = √2 e iπ/4.
Pastaj z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Le të kthehemi në formën algjebrike: z 10 = -32i.

Nxjerrja e rrënjëve nga numrat kompleks është veprim i kundërt i fuqizimit dhe për këtë arsye kryhet në mënyrë të ngjashme. Për të nxjerrë rrënjët, shpesh përdoret forma eksponenciale e shkrimit të një numri.

Shembull. Le të gjejmë të gjitha rrënjët e shkallës 3 të unitetit. Për ta bërë këtë, ne do të gjejmë të gjitha rrënjët e ekuacionit z 3 = 1, do t'i kërkojmë rrënjët në formë eksponenciale.
Le të zëvendësojmë në ekuacionin: r 3 e 3iφ = 1 ose r 3 e 3iφ = e 0 .
Prandaj: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, pra φ = 2πk/3.
Rrënjë të ndryshme fitohen në φ = 0, 2π/3, 4π/3.
Prandaj 1, e i2π/3, e i4π/3 janë rrënjë.
Ose në formë algjebrike:

Lloji i fundit i detyrave përfshin shumëllojshmëri të madhe problemet dhe nuk ka metoda të përgjithshme për zgjidhjen e tyre. Le të japim një shembull të thjeshtë të një detyre të tillë:

Gjeni shumën sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).

Edhe pse formulimi i këtij problemi nuk e bën ne po flasim për për numrat kompleksë, por me ndihmën e tyre mund të zgjidhet lehtësisht. Për ta zgjidhur atë, përdoren paraqitjet e mëposhtme:

Nëse tani e zëvendësojmë këtë paraqitje me shumën, atëherë problemi reduktohet në përmbledhjen e progresionit të zakonshëm gjeometrik.

konkluzioni

Numrat kompleksë përdoren gjerësisht në matematikë, ky artikull i rishikimit shqyrtoi veprimet bazë mbi numrat kompleks dhe përshkroi disa lloje detyra standarde dhe përshkruhen shkurtimisht metodat e përgjithshme zgjidhjet e tyre, për më shumë studim i detajuar Për të mësuar më shumë rreth mundësive të numrave kompleksë, rekomandohet të përdorni literaturë të specializuar.

Letërsia

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve