Найти наибольшее целое значение функции. Наибольшее и наименьшее значение функции

Исследование такого объекта математического анализа как функция имеет большое значение и в других областях науки. Например, в экономическом анализе постоянно требуется оценить поведение функции прибыли, а именно определить ее наибольшее значение и разработать стратегию его достижения.

Инструкция

Исследование поведения любой всегда следует начинать с поиска области определения. Обычно по условию конкретной задачи требуется определить наибольшее значение функции либо на всей этой области, либо на конкретном ее интервале с открытыми или закрытыми границами.

Исходя из , наибольшим является значение функции y(x0), при котором для любой точки области определения выполняется неравенство y(x0) ≥ y(x) (х ≠ x0). Графически эта точка будет наивысшей, если расположить значения аргумента по оси абсцисс, а саму функцию по оси ординат.

Чтобы определить наибольшее значение функции , следуйте алгоритму из трех этапов. Учтите, что вы должны уметь работать с односторонними и , а также вычислять производную. Итак, пусть задана некоторая функция y(x) и требуется найти ее наибольшее значение на некотором интервале с граничными значениями А и В.

Выясните, входит ли этот интервал в область определения функции . Для этого необходимо ее найти, рассмотрев все возможные ограничения: присутствие в выражении дроби, квадратного корня и т.д. Область определения – это множество значений аргумента, при которых функция имеет смысл. Определите, является ли данный интервал его подмножеством. Если да, то переходите к следующему этапу.

Найдите производную функции и решите полученное уравнение, приравняв производную к нулю. Таким образом, вы получите значения так называемых стационарных точек. Оцените, принадлежит ли хоть одна из них интервалу А, В.

Рассмотрите на третьем этапе эти точки, подставьте их значения в функцию. В зависимости от типа интервала произведите следующие дополнительные действия. При наличии отрезка вида [А, В] граничные точки входят в интервал, об этом говорят скобки. Вычислите значения функции при х = А и х = В. Если открытый интервал (А, В), граничные значения являются выколотыми, т.е. не входят в него. Решите односторонние пределы для х→А и х→В. Комбинированный интервал вида [А, В) или (А, В], одна из границ которого принадлежит ему, другая – нет. Найдите односторонний предел при х, стремящемся к выколотому значению, а другое подставьте в функцию. Бесконечный двусторонний интервал (-∞, +∞) или односторонние бесконечные промежутки вида: , (-∞, B). Для действительных пределов А и В действуйте согласно уже описанным принципам, а для бесконечных ищите пределы для х→-∞ и х→+∞ соответственно.

Задача на этом этапе

Во многих сферах жизни можно столкнуться с тем, что потребуется что-то решить с помощью цифр, например, в экономике и бухгалтерии узнать минимум и максимум каких-то показателей можно только с помощью оптимизации заданных параметров. А это и есть не что иное, как нахождение наибольшего и наименьшего значений на заданном отрезке функции. Сейчас рассмотрим, как найти наибольшее значение функции.

Находим наибольшее значение: инструкция

1. Выяснить, на каком отрезке функции требуется вычислить значение, обозначить его точками. Этот промежуток может быть открытым (когда функция равна отрезку), закрытым (когда функция находится на отрезке) и бесконечным (когда функция не заканчивается).
2. Найти производную функцию.
3. Найти на отрезке функции точки, где производная равна нулю, и все критические точки. Затем вычислить значения функции в данных точках, решить уравнение. Найти среди полученных значений наибольшее.
4. Выявить значения функции на конечных точках, определить большее из них
5. Сравнить данные с наибольшим значением, выбрать из них большее. Именно оно и будет являться наибольшим значением функции.

Как найти наибольшее целое значение функции? Требуется вычислить, является функция чётной или нечётной, а затем решить конкретный пример. Если число получилось с дробью, не учитывайте ее, результатом наибольшего целого значения функции будет только целое число.

Методические рекомендации для изучения темы « Множество значений функции. Наибольшее и наименьшее значения функции».

В самой математике главные средства

достигнуть истины – индукция и аналогия.

Дано:- функция. Обозначим
- область определения функции.

Множеством (областью) значений функции называется множество всех тех значений, которые может принимать функция
.Геометрически это означает проекция графика функции на ось
.

Если существует точка такая, что для любого из множества имеет место неравенство
, то говорят, что функция на множестве принимает в точке свое наименьшее значение

Если существует точка такая, что для любого из множества имеет место неравенство
, то говорят, что функция на множестве принимает в точке свое наибольшее значение .

Функция называется ограниченной снизу на множестве , если существует такое число
. Геометрически это означает, что график функции находится не ниже прямой
.

Функция называется ограниченной сверху на множестве , если существует такое число , что для любого из множества справедливо неравенство
. Геометрически это означает, что график функции находится не выше прямой

Функция называется ограниченной на множестве , если она ограничена на этом множестве снизу и сверху. Ограниченность функции означает, что ее график находится внутри некоторой горизонтальной полосы.

Неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом
:

>,>0) Пример:

Наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке

(отрезок, интервал, луч)

Свойства непрерывных на отрезке функций.

1.Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на нем и своего наибольшего и своего наименьшего значений.

2.Наибольшего и наименьшего значений непрерывная функция может достигать как на концах отрезка, так и внутри него

3. Если наибольшее (или наименьшее) значение достигается внутри отрезка, то только в стационарной или критической точке.

Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке

1. Найти производную
.

2. Найти стационарные и критические точки, лежащие внутри отрезка .

3.Найти значения функции в отобранных стационарных и критических точках и на концах отрезка, т. е.
и
.

4.Среди найденных значений выбрать наименьшее (это будет
) и наибольшее(это будет
)

Свойства непрерывных монотонных на отрезке функций:

Непрерывная возрастающая на отрезке функция достигает своего наибольшего значения при
, наименьшего – при
.

Непрерывная убывающая на отрезке функция достигает своего наибольшего значения при , наименьшего – при .

Если значение функции
неотрицательно на некотором промежутке, то эта функция и функция
, где n – натуральное число, принимает наибольшее (наименьшее) значение в одной и той же точке.

Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на интервале
или на луче

(задачи на оптимизацию).

Если непрерывная функция имеет на интервале или луче единственную точку экстремума и этот экстремум максимум или минимум, то в этой точке достигается наибольшее или наименьшее значение функции ( или )

Применение свойства монотонности функций.

1.Сложная функция, составленная из двух возрастающих функций, является возрастающей.

2.Если функция возрастает, а функция
убывает, то функция
- убывающая.

3. Сумма двух возрастающих (убывающих) функций, функция возрастающая(убывающая).

4. Если в уравнении
левая часть - возрастающая (или убывающая) функция, то уравнение имеет не более одного корня.

5.Если функция - возрастающая (убывающая), а функция - убывающая (возрастающая), то уравнение
имеет не более одного решения.

6. Уравнение
имеет хотя бы один корень в том и только том случаи, когда

принадлежит множеству значений
функции .

Применение свойства ограниченности функций.

1. Если левая часть уравнения (неравенства) (
меньше либо равна некоторого числа (
), а правая часть больше либо равна этому числу (), то имеет место система
решение которой и является решением самого уравнения (неравенства).

Задания для самоконтроля

Применение:

3. Найти все значения , при которых уравнение
имеет решение.

Домашнее задание

1.Найдите наибольшее значение функции:

, если
.

2. Найдите наименьшее значение функции:

.

3. Найдите наибольшее целое значение функции:

. теми , что соответствуют в наибольшей . Идеал- ...

С практической точки зрения наибольший интерес представляет использование производной для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции. С чем это связано? Максимизация прибыли, минимизация издержек, определение оптимальной загрузки оборудования... Другими словами, во многих сферах жизни приходится решать задачи оптимизации каких-либо параметров. А это и есть задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции.

Следует отметить, что наибольшее и наименьшее значение функции обычно ищется на некотором интервале X , который является или всей областью определения функции или частью области определения. Сам интервал X может быть отрезком , открытым интервалом , бесконечным промежутком .

В этой статье мы будем говорить о нахождении наибольшего и наименьшего значений явно заданной функции одной переменной y=f(x) .

Навигация по странице.

Наибольшее и наименьшее значение функции - определения, иллюстрации.

Кратко остановимся на основных определениях.

Наибольшим значением функции , что для любого справедливо неравенство .

Наименьшим значением функции y=f(x) на промежутке X называют такое значение , что для любого справедливо неравенство .

Эти определения интуитивно понятны: наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение на рассматриваемом интервале при абсциссе .

Стационарные точки – это значения аргумента, при которых производная функции обращается в ноль.

Для чего нам стационарные точки при нахождении наибольшего и наименьшего значений? Ответ на этот вопрос дает теорема Ферма. Из этой теоремы следует, что если дифференцируемая функция имеет экстремум (локальный минимум или локальный максимум) в некоторой точке, то эта точка является стационарной. Таким образом, функция часто принимает свое наибольшее (наименьшее) значение на промежутке X в одной из стационарных точек из этого промежутка.

Также часто наибольшее и наименьшее значение функция может принимать в точках, в которых не существует первая производная этой функции, а сама функция определена.

Сразу ответим на один из самых распространенных вопросов по этой теме:"Всегда ли можно определить наибольшее (наименьшее) значение функции"? Нет, не всегда. Иногда границы промежутка X совпадают с границами области определения функции или интервал X бесконечен. А некоторые функции на бесконечности и на границах области определения могут принимать как бесконечно большие так и бесконечно малые значения. В этих случаях ничего нельзя сказать о наибольшем и наименьшем значении функции.

Для наглядности дадим графическую иллюстрацию. Посмотрите на рисунки – и многое прояснится.

На отрезке

На первом рисунке функция принимает наибольшее (max y ) и наименьшее (min y ) значения в стационарных точках, находящихся внутри отрезка [-6;6] .

Рассмотрим случай, изображенный на втором рисунке. Изменим отрезок на . В этом примере наименьшее значение функции достигается в стационарной точке, а наибольшее - в точке с абсциссой, соответствующей правой границе интервала.

На рисунке №3 граничные точки отрезка [-3;2] являются абсциссами точек, соответствующих наибольшему и наименьшему значению функции.

На открытом интервале

На четвертом рисунке функция принимает наибольшее (max y ) и наименьшее (min y ) значения в стационарных точках, находящихся внутри открытого интервала (-6;6) .

На интервале , о наибольшем значении никаких выводов сделать нельзя.

На бесконечности

В примере, представленном на седьмом рисунке, функция принимает наибольшее значение (max y ) в стационарной точке с абсциссой x=1 , а наименьшее значение (min y ) достигается на правой границе интервала. На минус бесконечности значения функции асимптотически приближаются к y=3 .

На интервале функция не достигает ни наименьшего, ни наибольшего значения. При стремлении к x=2 справа значения функции стремятся к минус бесконечности (прямая x=2 является вертикальной асимптотой), а при стремлении абсциссы к плюс бесконечности, значения функции асимптотически приближаются к y=3 . Графическая иллюстрация этого примера приведена на рисунке №8.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на отрезке .

Запишем алгоритм, позволяющий находить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

1. Находим область определения функции и проверяем, содержится ли в ней весь отрезок .
2. Находим все точки, в которых не существует первая производная и которые содержатся в отрезке (обычно такие точки встечаются у функций с аргументом под знаком модуля и у степенных функций с дробно-рациональным показателем). Если таких точек нет, то переходим к следующему пункту.
3. Определяем все стационарные точки, попадающие в отрезок . Для этого, приравниваем ее к нулю, решаем полученное уравнение и выбираем подходящие корни. Если стационарных точек нет или ни одна из них не попадает в отрезок, то переходим к следующему пункту.
4. Вычисляем значения функции в отобранных стационарных точках (если такие имеются), в точках, в которых не существует первая производная (если такие имеются), а также при x=a и x=b .
5. Из полученных значений функции выбираем наибольшее и наименьшее - они и будут искомыми наибольшим и наименьшим значениями функции соответственно.

Разберем алгоритм при решении примера на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

Пример.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции

• на отрезке ;
• на отрезке [-4;-1] .

Решение.

Областью определения функции является все множество действительных чисел, за исключением нуля, то есть . Оба отрезка попадают в область определения.

Находим производную функции по :

Очевидно, производная функции существует во всех точках отрезков и [-4;-1] .

Стационарные точки определим из уравнения . Единственным действительным корнем является x=2 . Эта стационарная точка попадает в первый отрезок .

Для первого случая вычисляем значения функции на концах отрезка и в стационарной точке, то есть при x=1 , x=2 и x=4 :

Следовательно, наибольшее значение функции достигается при x=1 , а наименьшее значение – при x=2 .

Для второго случая вычисляем значения функции лишь на концах отрезка [-4;-1] (так как он не содержит ни одной стационарной точки):

В этой статье я расскажу о том, как применять умение находить к исследованию функции: к нахождению ее наибольшего или наименьшего значения. А затем мы решим несколько задач из Задания В15 из Открытого банка заданий для .

Как обычно, сначала вспомним теорию.

В начале любого исследования функции находим ее

Чтобы найти наибольшее или наименьшее значение функции , нужно исследовать, на каких промежутках функция возрастает, и на каких убывает.

Для этого надо найти производную функции и исследовать ее промежутки знакопостоянства, то есть промежутки, на которых производная сохраняет знак.

Промежутки, на которых производная функции положительна, являются промежутками возрастания функции.

Промежутки, на которых производная функции отрицательна, являются промежутками убывания функции.

1 . Решим задание В15 (№ 245184)

Для его решения будем следовать такому алгоритму:

а) Найдем область определения функции

б) Найдем производную функции .

в) Приравняем ее к нулю.

г) Найдем промежутки знакопостоянства функции.

д) Найдем точку, в которой функция принимает наибольшее значение.

е) Найдем значение функции в этой точке.

Подробное решение этого задания я рассказываю в ВИДЕОУРОКЕ:

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Чтобы использовать тренажёр "Час ЕГЭ", попробуйте скачать
Firefox

2 . Решим задание В15 (№282862)

Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Очевидно, что наибольшее значение на отрезке функция принимает в точке максимума, при х=2. Найдем значение функции в этой точке:

Ответ: 5

3 . Решим задание В15 (№245180):

Найдите наибольшее значение функции

1. title="ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.

2. Т.к по область определения исходной функции title="4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.

3. Числитель равен нулю при . Проверим, принадлежит ли ОДЗ функции. Для этого проверим, выполняется ли условие title="4-2x-x^2>0"> при .

Title="4-2(-1)-{(-1)}^2>0">,

значит, точка принадлежит ОДЗ функции

Исследуем знак производной справа и слева от точки :

Мы видим, что наибольшее значение функция принимает в точке . Теперь найдем значение функции при :

Замечание 1. Заметим, что в этой задаче мы не находили область определения функции: мы только зафиксировали ограничения и проверили, принадлежит ли точка, в которой производная равна нулю области определения функции. В данной задаче этого оказалось достаточно. Однако, так бывает не всегда. Это зависит от задачи.

Замечание 2. При исследовании поведения сложной функции можно пользоваться таким правилом:

• если внешняя функция сложной функции возрастающая, то функция принимает наибольшее значение в той же точке, в которой внутренняя функция принимает наибольшее значение. Это следует из определения возрастающей функции: функция возрастает на промежутке I, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.
• если внешняя функция сложной функции убывающая, то функция принимает наибольшее значение в той же точке, в которой внутренняя функция принимает наименьшее значение. Это следует из определения убывающей функции: функция убывает на промежутке I, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции

В нашем примере внешняя функция - возрастает на всей области определения. Под знаком логарифма стоит выражение - квадратный трехчлен, который при отрицательном старшем коэффициенте принимает наибольшее значение в точке . Далее подставляем это значение х в уравнение функции и находим ее наибольшее значение.