Как найти x и y вершины. Формулы нахождения вершины

Парабола – одна из кривых второго порядка, ее точки построены в соответствии с квадратным уравнением. Главное в построении этой кривой – найти вершину параболы . Это можно сделать несколькими способами.

Инструкция

Чтобы найти координаты вершины параболы , воспользуйтесь следующей формулой: х=-b/2а, где а – коэффициент перед х в квадрате, а b – коэффициент перед х. Подставьте ваши значения и рассчитайте его значение. Затем подставьте полученное значение вместо х в уравнение и посчитайте ординату вершины. Например, если вам дано уравнение у=2х^2-4х+5, то абсциссу найдите следующим образом: х=-(-4)/2*2=1. Подставив х=1 в уравнение, рассчитайте значение у для вершины параболы : у=2*1^2-4*1+5=3. Таким образом, вершина параболы имеет координаты (1-3).

Значение ординаты параболы можно найти и без предварительного расчета абсциссы. Для этого воспользуйтесь формулой у=-b^2/4ас+с.

Если вы знакомы с понятием производной, найдите вершину параболы при помощи производных, воспользовавшись следующим свойством любой функции: первая производная функции, приравненная к нулю, указывает на точки экстремума. Так как вершина параболы , независимо от того, направлены ее ветви вверх или вниз, является точкой экстремума, вычислите производную для вашей функции. В общем виде она будет иметь вид f(х)=2ах+b. Приравняйте ее к нулю и получите координаты вершины параболы , соответствующей вашей функции.

Попробуйте найти вершину параболы , воспользовавшись таким ее свойством, как симметричность. Для этого найдите точки пересечения параболы с осью ох, приравняв функцию к нулю (подставив у=0). Решив квадратное уравнение, вы найдете х1 и х2. Так как парабола симметрична относительно директрисы, проходящей через вершину , эти точки будут равноудалены от абсциссы вершины. Чтобы ее найти, разделим расстояние между точками пополам: х=(Iх1-х2I)/2.

Если какой-либо из коэффициентов равен нулю (кроме а), рассчитайте координаты вершины параболы по облегченным формулам. Например, если b=0, то есть уравнение имеет вид у=ах^2+с, то вершина будет лежать на оси оу и ее координаты будут равны (0-с). Если же не только коэффициент b=0, но и с=0, то вершина параболы находится в начале координат, точке (0-0).

Инструкция

Квадратичная функция в общем виде записывается уравнением: y = ax² + bx + c. Графиком этого уравнения является , ветви которой направлены вверх (при a > 0) или вниз (при a < 0). Школьникам предлагается просто запомнить формулу вычисления координат вершины . Вершина параболы в точке x0 = -b/2a. Подставив это значение в квадратное , получите y0: y0 = a(-b/2a)² - b²/2a + c = - b²/4a + c.

Людям, знакомым с понятием производной, легко найти вершину параболы. Независимо от положения ветвей параболы ее вершина является точкой (минимума, если ветви направлены вверх, или , когда ветви направлены вниз). Чтобы найти точки предполагаемого экстремума любой , надо вычислить ее первую производную и приравнять ее к нулю. В общем виде производная равна f"(x) = (ax² + bx + c)" = 2ax + b. Приравняв к нулю, вы получите 0 = 2ax0 + b => x0 = -b/2a.

Парабола - симметричная линия. Ось проходит через вершину параболы. Зная точки параболы с осью координат X, можно легко найти абсциссу вершины x0. Пусть x1 и x2 - корни параболы (так называют точки пересечения параболы с осью абсцисс, поскольку эти значения обращают квадратное уравнение ax² + bx + c в ноль). При этом пусть |x2| > |x1|, тогда вершина параболы лежит посередине между ними и может быть найдена из следующего выражения: x0 = ½(|x2| - |x1|).

Видео по теме

Источники:

Квадратичная функция
формула нахождения вершины параболы

Парабола – это график квадратичной функции, в общем виде уравнение параболы записывается y=aх^2+bх+с, где а≠0. Это универсальная кривая второго порядка, которая описывает многие явления в жизни, например, движение подбрасываемого и затем падающего тела, форму радуги, поэтому умение найти параболу может очень пригодиться в жизни.

Вам понадобится

- формула квадратичного уравнения;
- лист бумаги с координатной сеткой;
- карандаш, ластик;
- компьютер и программа Excel.

Инструкция

В первую очередь найдите вершину параболы. Чтобы найти абсциссу этой точки, возьмите коэффициент перед х, разделите его на удвоенный коэффициент перед х^2 и умножьте на -1 ( х=-b/2a). Ординату найдите, подставив полученное значение в уравнение или по формуле у=(b^2-4ac)/4a. Вы получили координаты точки вершины параболы.

Вершину параболы можно найти и другим способом. Так как является экстремумом функции, то для ее вычисления вычислите первую производную и приравняйте ее к нулю. В общем виде вы получите формулу f(x)" = (ax? + bx + c)" = 2ax + b. А приравняв ее к нулю, вы придете к той же самой формуле - х=-b/2a.

Узнайте, направлены ли ветви параболы вверх или вниз. Для этого посмотрите на коэффициент перед х^2, то есть на а. Если а>0, то ветви направлены вверх, если а

Координаты вершины параболы найдены. Запишите их в виде координат одной точки (x0,y0).

Видео по теме

Для функций (точнее их графиков) используется понятие наибольшего значения, в том числе и локального максимума. Понятие же «вершина» скорее связано с геометрическими фигурами. Точки максимумов гладких функций (имеющих производную) легко определить с помощью нулей первой производной.

Инструкция

Для точек, в которых функция не дифференцируема, но непрерывна, наибольшее на промежутке значение может иметь вид острия (на y=-|x|). В таких точках к функции можно провести сколь угодно касательных для нее просто не существует. Сами функции такого типа обычно задаются на отрезках. Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими.

Реение. y=x+3 при x≤-1 и y=((x^2)^(1/3)) –х при x>-1. Функция задана на отрезках умышленно, так как в данном случае преследуется цель отобразить все в одном примере. Легко , что при х=-1 функция остается непрерывной.y’=1 при x≤-1 и y’=(2/3)(x^(-1/3))-1=(2-3(x^(1/3))/(x^(1/3)) при x>-1. y’=0 при x=8/27. y’ не существует при x=-1 и x=0.При этом y’>0 если x

Видео по теме

Инструкция

Чтобы найти координаты вершины параболы , воспользуйтесь следующей формулой: х=-b/2а, где а – коэффициент перед х в , а b – коэффициент перед х. Подставьте ваши значения и рассчитайте его . Затем подставьте полученное значение вместо х в уравнение и посчитайте ординату вершины. Например, если вам дано уравнение у=2х^2-4х+5, то абсциссу найдите следующим образом: х=-(-4)/2*2=1. Подставив х=1 в уравнение, рассчитайте значение у для вершины параболы : у=2*1^2-4*1+5=3. Таким образом, вершина параболы имеет координаты (1;3).

Если вы знакомы с понятием производной, найдите вершину параболы при помощи производных, воспользовавшись следующим свойством любой : первая производная функции, приравненная к нулю, указывает на . Так как вершина параболы , независимо от того, направлены ее ветви вверх или вниз, точкой , вычислите производную для вашей функции. В общем виде она будет иметь вид f(х)=2ах+b. Приравняйте ее к нулю и получите координаты вершины параболы , соответствующей вашей функции.

График квадратичной функции называют параболой. Эта линия имеет весомое физическое значение. По параболам движутся некоторые небесные тела. Антенна в форме параболы фокусирует лучи, идущие параллельно оси симметрии параболы. Тела, кинутые вверх под углом, долетают до верхней точки и падают вниз, также описывая параболу. Видимо, что неизменно пригодно знать координаты вершины этого движения.

Инструкция

1. Квадратичная функция в всеобщем виде записывается уравнением: y = ax? + bx + c. Графиком этого уравнения является парабола, ветви которой направлены вверх (при a > 0) либо вниз (при a < 0). Школьникам предлагается легко запомнить формулу вычисления координат вершины параболы. Вершина параболы лежит в точке x0 = -b/2a. Подставив это значение в квадратное уравнение, получите y0: y0 = a(-b/2a)? – b?/2a + c = – b?/4a + c.

2. Людям, приятелем с представлением производной, легко обнаружить вершину параболы. Самостоятельно от расположения ветвей параболы ее вершина является точкой экстремума (минимума, если ветви направлены вверх, либо максимума, когда ветви направлены вниз). Дабы обнаружить точки полагаемого экстремума всякий функции, нужно вычислить ее первую производную и приравнять ее к нулю. В всеобщем виде производная квадратичной функции равна f"(x) = (ax? + bx + c)’ = 2ax + b. Приравняв к нулю, вы получите 0 = 2ax0 + b => x0 = -b/2a.

3. Парабола – симметричная линия. Ось симметрии проходит через вершину параболы. Зная точки пересечения параболы с осью координат X, дозволено легко обнаружить абсциссу вершины x0. Пускай x1 и x2 – корни параболы (так называют точки пересечения параболы с осью абсцисс, от того что эти значения обращают квадратное уравнение ax? + bx + c в нуль). При этом пускай |x2| > |x1|, тогда вершина параболы лежит посередине между ними и может быть обнаружена из дальнейшего выражения: x0 = ?(|x2| – |x1|).

Парабола – это график квадратичной функции, в всеобщем виде уравнение параболы записывается y=aх^2+bх+с, где а?0. Это универсальная кривая второго порядка, которая описывает многие явления в жизни, скажем, движение подбрасываемого и после этого падающего тела, форму радуги, следственно знание обнаружить параболу может дюже сгодиться в жизни.

Вам понадобится

– формула квадратичного уравнения;
– лист бумаги с координатной сеткой;
– карандаш, ластик;
– компьютер и программа Excel.

Инструкция

1. В первую очередь обнаружьте вершину параболы. Дабы обнаружить абсциссу этой точки, возьмите показатель перед х, поделите его на удвоенный показатель перед х^2 и умножьте на -1 (формула х=-b/2a). Ординату обнаружьте, подставив полученное значение в уравнение либо по формуле у=(b^2-4ac)/4a. Вы получили координаты точки вершины параболы.

2. Вершину параболы дозволено обнаружить и иным методом. Потому что вершина является экстремумом функции, то для ее вычисления вычислите первую производную и приравняйте ее к нулю. В всеобщем виде вы получите формулу f(x)’ = (ax? + bx + c)’ = 2ax + b. А приравняв ее к нулю, вы придете к той же самой формуле – х=-b/2a.

3. Узнайте, направлены ли ветви параболы вверх либо вниз. Для этого посмотрите на показатель перед х^2, то есть на а. Если а>0, то ветви направлены вверх, если а

4. Постройте ось симметрии параболы, она пересекает вершину параболы и параллельна оси оу. Все точки параболы будут равноудалены от нее, следственно дозволено возвести лишь одну часть, а после этого симметрично отобразить ее касательно оси параболы.

5. Постройте линию параболы. Для этого обнаружьте несколько точек, подставляя различные значения х в уравнения и решая равенство. Комфортно обнаружить пересечение с осями, для этого подставляйте в равенство х=0 и у=0. Возведя одну сторону, отразите ее симметрично касательно оси.

6. Дозволено возвести параболу при помощи программы Excel. Для этого откройте новейший документ и выделите в нем два столбика, х и у=f(х). В первом столбике запишите значения х на выбранном отрезке, а во втором столбце запишите формулу, скажем, =2В3*В3-4В3+1 либо =2В3^2-4В3+1. Дабы не писать эту формулу всякий раз, «растяните» ее на каждый столбец, нажав мышкой на небольшой крестик в нижнем правом углу и потянув вниз.

7. Получив таблицу, нажмите меню «Вставка» – «Диаграмма». Выберите точечную диаграмму, нажмите «Дальше». В появившемся окне добавьте ряд, нажав кнопку «Добавить». Дабы предпочесть необходимые ячейки, щелкните поочередно по кнопкам, обведенным красным овалом ниже, после этого выделите ваши столбики со значениями. Нажав кнопку «Готово», оцените итог – готовую параболу .

Видео по теме

При изыскании квадратичной функции, графиком которой является парабола, в одном из пунктов нужно обнаружить координаты вершины параболы. Как это сделать аналитически, применяя заданное для параболы уравнение?

Инструкция

1. Квадратичная функция – это функция вида y=ax^2+bx+c, где a – старший показатель (он неукоснительно должен быть ненулевым), b – младший показатель, с – вольный член. Данная функция дает своим графиком параболу, ветви которой направлены либо вверх (если а>0), либо вниз (если а<0). При a=0 квадратичная функция вырождается в линейную функцию.

2. Обнаружим координату x0 вершины параболы. Она находится по формулеx0=-b/a.

3. y0=y(x0).Дабы обнаружить координату y0 вершины параболы, нужно в функцию взамен x подставить обнаруженное значение x0. Сосчитайте, чему равен y0.

4. Координаты вершины параболы обнаружены. Запишите их в виде координат одной точки (x0,y0).

5. При построении параболы помните, что она симметрична касательно оси симметрии параболы, проходящей вертикально через вершину параболы, т.к. квадратичная функция является четной. Следственно довольно по точкам возвести только одну ветвь параболы, а иную достроить симметрично.

Видео по теме

Для функций (вернее их графиков) применяется представление наибольшего значения, в том числе и локального максимума. Представление же «вершина» скорее связано с геометрическими фигурами. Точки максимумов гладких функций (имеющих производную) легко определить с подмогой нулей первой производной.

Инструкция

1. Для точек, в которых функция не дифференцируема, но постоянна, наибольшее на интервале значение может иметь вид острия (на пример y=-|x|). В таких точках к графику функции дозволено провести сколь желательно много касательных и производная для нее легко не существует. Сами функции такого типа обыкновенно задаются на отрезках. Точки, в которых производная функции равна нулю либо не существует, именуются скептическими.

2. Выходит, для нахождения точек максимумов функции y=f(x) следует:- обнаружить скептические точки;- для того дабы предпочесть точку максимума, следует обнаружить знак производной в окрестности скептической точки. Если при прохождении точки происходит чередование знака с «+» на «-», то имеет место максимум.

3. Пример. Обнаружить наибольшие значения функции (см. рис.1).y=x+3 при x?-1 и y=((x^2)^(1/3)) –х при x>-1.

4. Реение. y=x+3 при x?-1 и y=((x^2)^(1/3)) –х при x>-1. Функция задана на отрезках умышленно, потому что в данном случае преследуется цель отобразить все в одном примере. Легко проверить, что при х=-1 функция остается постоянной.y’=1 при x?-1 и y’=(2/3)(x^(-1/3))-1=(2-3(x^(1/3))/(x^(1/3)) при x>-1. y’=0 при x=8/27. y’ не существует при x=-1 и x=0.При этом y’>0 если x

Видео по теме

Парабола – одна из кривых второго порядка, ее точки возведены в соответствии с квадратным уравнением. Основное в построении этой косой – обнаружить вершину параболы . Это дозволено сделать несколькими методами.

Инструкция

1. Дабы обнаружить координаты вершины параболы , воспользуйтесь дальнейшей формулой: х=-b/2а, где а – показатель перед х в квадрате, а b – показатель перед х. Подставьте ваши значения и рассчитайте его значение. После этого подставьте полученное значение взамен х в уравнение и посчитайте ординату вершины. Скажем, если вам дано уравнение у=2х^2-4х+5, то абсциссу обнаружьте дальнейшим образом: х=-(-4)/2*2=1. Подставив х=1 в уравнение, рассчитайте значение у для вершины параболы : у=2*1^2-4*1+5=3. Таким образом, вершина параболы имеет координаты (1;3).

2. Значение ординаты параболы дозволено обнаружить и без заблаговременного расчета абсциссы. Для этого воспользуйтесь формулой у=-b^2/4ас+с.

3. Если вы знакомы с представлением производной, обнаружьте вершину параболы при помощи производных, воспользовавшись дальнейшим свойством всякий функции: первая производная функции, приравненная к нулю, указывает на точки экстремума. Потому что вершина параболы , самостоятельно от того, направлены ее ветви вверх либо вниз, является точкой экстремума, вычислите производную для вашей функции. В всеобщем виде она будет иметь вид f(х)=2ах+b. Приравняйте ее к нулю и получите координаты вершины параболы , соответствующей вашей функции.

4. Испробуйте обнаружить вершину параболы , воспользовавшись таким ее свойством, как симметричность. Для этого обнаружьте точки пересечения параболы с осью ох, приравняв функцию к нулю (подставив у=0). Решив квадратное уравнение, вы обнаружите х1 и х2. Потому что парабола симметрична касательно директрисы, проходящей через вершину , эти точки будут равноудалены от абсциссы вершины. Дабы ее обнаружить, поделим расстояние между точками напополам: х=(Iх1-х2I)/2.

5. Если какой-нибудь из показателей равен нулю (помимо а), рассчитайте координаты вершины параболы по облегченным формулам. Скажем, если b=0, то есть уравнение имеет вид у=ах^2+с, то вершина будет лежать на оси оу и ее координаты будут равны (0;с). Если же не только показатель b=0, но и с=0, то вершина параболы находится в начале координат, точке (0;0).

Видео по теме

Исходя из одной точки, прямые образуют угол, где всеобщая для них точка является вершиной. В разделе теоретической алгебры частенько встречаются задачи, когда нужно обнаружить координаты этой вершины , дабы после этого определить уравнение проходящей через вершину прямой.

Инструкция

1. Перед тем, как начать процесс нахождения координат вершины , определитесь с начальными данными. Примите, что желанная вершина принадлежит треугольнику ABC, в котором вестимы координаты 2-х остальных вершин, а также числовые значения углов , равные «e» и «k» по стороне AB.

2. Совместите новую систему координат с одной из сторон треугольника AB таким образом, дабы предисловие системы координат совпадало с точкой A, координаты которой вам знамениты. Вторая вершина B будет лежать на оси OX, и ее координаты вам также знамениты. Определите по оси ОХ значение длины стороны AB согласно координатам и примите ее равной «m».

3. Опустите перпендикуляр из незнакомой вершины C на ось ОХ и на сторону треугольника AB соответственно. Получившаяся высота «y» и определяет значение одной из координат вершины C по оси OY. Примите, что высота «y» делит сторону AB на два отрезка, равные «x» и «m – x».

4. От того что вам вестимы значения всех углов треугольника, значит, знамениты и значения их тангенсов. Примите значения тангенсов для углов , примыкающих к стороне треугольника AB, равными tan(e) и tan(k).

5. Введите уравнения для 2-х прямых, проходящих по сторонам AC и BC соответственно: y = tan(e) * x и y = tan(k) * (m – x). После этого обнаружьте пересечение этих прямых, применяя преобразованные уравнения прямых: tan(e) = y/x и tan(k) = y/(m – x).

6. Если принять, что tan(e)/tan(k) равняется (y/x) /(y/ (m – x)) либо позже сокращения «y» – (m – x) / x , в итоге вы получите желанные значения координат, равные x = m / (tan(e)/tan(k) + e) и y = x * tan(e).

7. Подставьте значения углов (e) и (k), а также обнаруженное значение стороны AB = m в уравнения x = m / (tan(e)/tan(k) + e) и y = x * tan(e).

8. Преобразуйте новую систему координат в начальную систему координат, от того что между ними установлено взаимно-однозначное соответствие, и получите желанные координаты вершины треугольника ABC.

Видео по теме

Многие технические, экономические и социальные вопросы прогнозируются при помощи кривых. Наиболее используемым типом среди них является парабола, а точнее, ее половина. Важной составляющей любой параболической кривой является ее вершина, определение точных координат которой иногда играет ключевую роль не только в самом отображении протекания процесса, но и для последующих выводов. О том, как найти ее точные координаты, и пойдет речь в данной статье.

Вконтакте

Начало поиска

Перед тем как перейти к поиску координат вершины параболы, ознакомимся с самим определением и его свойствами. В классическом понимании параболой называется такое расположение точек, которые удалены на одинаковом расстоянии от конкретной точки (фокус, точка F), а также от прямой, которая не проходит через точку F. Рассмотрим данное определение более предметно на рисунке 1.

Рисунок 1. Классический вид параболы

На рисунке изображена классическая форма. Фокусом является точка F. Директрисой в данном случае будет считаться прямая оси Y (выделена красным цветом). Из определения можно удостовериться, что абсолютно любая точка кривой, не считая фокуса, имеет себе подобную с другой стороны, удаленную на таком же расстояние от оси симметрии, как и сама. Более того, расстояние от любой из точек на параболе равно расстоянию до директрисы . Забегая вперед, скажем, что центр функции не обязательно должен находиться в начале координат, а ветки могут быть направлены в разные стороны.

Парабола, как и любая другая функция, имеет свою запись в виде формулы:

В указанной формуле буква «s» обозначает параметр параболы, которая равна расстоянию от фокуса до директрисы. Также есть и другая форма записи, указано ГМТ, имеющая вид:

Такая формула используется при решении задач из области математического анализа и применяется чаще, чем традиционная (в силу удобства). В дальнейшем будем ориентироваться на вторую запись.

Это интересно! : доказательство

Расчет коэффициентов и основных точек параболы

К числу основных параметров принято относить расположение вершины на оси абсцисс, координаты вершины на оси ординат, параметр директрисы.

Численное значение координаты вершины на оси абсцисс

Если уравнение параболы задано в классическом виде (1), то значение абсциссы в искомой точке будет равняться половине значения параметра s (половине расстояния между директрисой и фокусом). В случае, если функция представлена в виде (2), то x нулевое рассчитывается по формуле:

Т.е., глядя на эту формулу, можно утверждать, что вершина будет находиться в правой половине относительно оси y в том случае, если один из параметров a или b будет меньше нуля.

Уравнение директрисы определяется следующим уравнением:

Значение вершины на оси ординат

Численное значение местонахождения вершины для формулы (2) на оси ординат можно найти по такой формуле:

Отсюда можно сделать вывод, что в случае если а<0, то вершина кривой будет находиться в верхней полуплоскости , в противном случае – в нижней. При этом точки параболы будут обладать теми же свойствами, что были упомянуты ранее.

Если дана классическая форма записи, то более рациональным будет вычисление значения расположения вершины на оси абсцисс, а через него и последующее значение ординаты. Отметим, что для формы записи (2), ось симметрии параболы, в классическом представлении, будет совпадать с осью ординат.

Важно! При решении заданий с использованием уравнения параболы прежде всего выделите основные значения, которые уже известны. Более того, нелишним будет, если будут определены недостающие параметры. Такой подход заранее даст большее «пространство для маневра» и более рациональное решение. На практике старайтесь использовать запись (2). Она более проста для восприятия (не придется «переворачивать координаты Декарта), к тому же подавляющее количество заданий приспособлено именно под такую форму записи.

Построение кривой параболического типа

Используя распространенную форму записи, перед тем как построить параболу, требуется найти ее вершину. Проще говоря, необходимо выполнить следующий алгоритм:

Найти координату вершину на оси X.
Найти координату расположения вершины на оси Y.
Подставляя разные значения зависимой переменной X, найти соответствующие значения Y и построить кривую.

Т.е. алгоритм не представляет собой ничего сложного, основной акцент делается на том, как найти вершину параболы. Дальнейший процесс построения можно считать механическим.

При условии, что даны три точки, координаты которых известны, прежде всего необходимо составить уравнение самой параболы, а потом повторить порядок действий, который был описан ранее. Т.к. в уравнении (2) присутствуют 3 коэффициента, то, используя координаты точек, вычислим каждое из них:

(5.1).

(5.2).

(5.3).

В формулах (5.1), (5.2), (5.3) применяются соответственно тех точек, которые известны (к примеру А (, B (, C (. Таким путем находим уравнение параболы по 3 точкам. С практической стороны такой подход не является самым «приятным», однако он дает четкий результат, на основе которого впоследствии строится сама кривая.

При построении параболы всегда должна присутствовать ось симметрии. Формула оси симметрии для записи (2) будет иметь такой вид:

Т.е. найти ось симметрии, которой симметричны все точки кривой, не составляет труда. Точнее, она равна первой координате вершины.

Наглядные примеры

Пример 1. Допустим, имеем уравнение параболы:

Требуется найти координаты вершины параболы, а также проверить, принадлежит ли точка D (10; 5) данной кривой.

Решение: Прежде всего проверим принадлежность упомянутой точки самой кривой

Откуда делаем вывод, что указанная точка не принадлежит заданной кривой. Найдем координаты вершины параболы. Из формул (4) и (5) получаем такую последовательность:

Получается, что координаты на вершине, в точке О, следующие (-1,25; -7,625). Это говорит о том, что наша парабола берет свое начало в 3-й четверти декартовой системы координат.

Пример 2. Найти вершину параболы, зная три точки, которые ей принадлежат: A (2;3), B (3;5), C (6;2). Используя формулы (5.1), (5.2), (5.3), найдем коэффициенты уравнения параболы. Получим следующее:

Используя полученные значения, получим следующие уравнение:

На рисунке заданная функция будет выглядеть следующим образом (рисунок 2):

Рисунок 2. График параболы, проходящий через 3 точки

Т.е. график параболы, который проходит по трем заданным точкам, будет иметь вершину в 1-й четверти. Однако ветки данной кривой направлены вниз, т.е. имеется смещение параболы от начала координат. Такое построение можно было предвидеть, обратив внимание на коэффициенты a, b, c.

В частности, если a<0, то ветки» будут направлены вниз. При a>1 кривая будет растянута, а если меньше 1 – сжата.

Константа c отвечает за «движение» кривой вдоль оси ординат. Если c>0, то парабола «ползет» вверх , в противном случае – вниз. Относительно коэффициента b, то определить степень влияния можно лишь изменив форму записи уравнения, приведя ее к следующему виду:

Если коэффициент b>0, то координаты вершины параболы будут смещены вправо на b единиц, если меньше – то на b единиц влево.

Важно! Использование приемов определения смещения параболы на координатной плоскости подчас помогает экономить время при решении задач либо узнать о возможном пересечении параболы с другой кривой еще до построения. Обычно смотрят только на коэффициент a, так как именно он дает четкий ответ на поставленный вопрос.

Полезное видео: как найти вершину параболы

Полезное видео: как легко составить уравнение параболы из графика

Вывод

Такой как алгебраический процесс, как определение вершин параболы, не является сложным, но при этом достаточно трудоемкий. На практике стараются использовать именно вторую форму записи с целью облегчения понимания графического решения и решения в целом. Поэтому настоятельно рекомендуем использовать именно такой подход, и если не помнить формулы координаты вершины, то хотя бы иметь шпаргалку.

В математике есть целый цикл тождеств, среди которых значимое место занимают квадратичные уравнения. Подобные равенства могут решаться как отдельно, так и для построения графиков на оси координат. уравнений являются точками пересечения параболы и прямой ох.

Общий вид

В общем виде имеет следующую структуру:

В роли "икса" могут рассматриваться как отдельные переменные, так и целые выражения. Например:

(x+7) 2 +3(x+7)+2=0.

В том случае, когда в роли х выступает выражение, необходимо представить его как переменную и найти После этого к ним приравнять многочлен и найти х.

Так, если (х+7)=а, то уравнение принимает вид а 2 +3а+2=0.

Д=3 2 -4*1*2=1;

а 1 =(-3-1)/2*1=-2;

а 2 =(-3+1)/2*1=-1.

При корнях, равных -2 и -1, получим следующее:

x+7=-2 и x+7=-1;

Корни являются значением х-координаты точки пересечения параболы с осью абсцисс. В принципе, их значение не так уж и важно, если поставлена задача лишь найти вершину параболы. Но для построения графика корни играют важную роль.

Вернемся к начальному уравнению. Для ответа на вопрос о том, как найти вершину параболы, необходимо знать следующую формулу:

где х вп - это значение х-координаты искомой точки.

Но как найти вершину параболы без значения у-координаты? Подставляем полученное значение х в уравнение и находим искомую переменную. Например, решим следующее уравнение:

Находим значение х-координаты для вершины параболы:

х вп =-b/2a=-3/2*1;

Находим значение у-координаты для вершины параболы:

у=2х 2 +4х-3=(-1,5) 2 +3*(-1,5)-5;

В результате получаем, что вершина параболы находится в точке с координатами (-1,5;-7,25).

Парабола представляет собой соединение точек, имеющее вертикальную По этой причине само ее построение не представляет особого труда. Самое сложное - это произвести правильные расчеты координат точек.

Стоит обратить особое внимание на коэффициенты квадратного уравнения.

Коэффициент а влияет на направление параболы. В том случае, когда он имеет отрицательное значение, ветви будут направлены вниз, а при положительном знаке - вверх.

Коэффициент b показывает, насколько широк будет рукав параболы. Чем больше его значение, тем он будет шире.

Коэффициент с указывает на смещение параболы по оси ОУ относительно начала координат.

Как найти вершину параболы, мы уже узнали, а чтобы найти корни, следует руководствоваться следующими формулами:

где Д - это дискриминант, который необходим для нахождения корней уравнения.

x 1 =(-b+V - Д)/2a

x 2 =(-b-V - Д)/2a

Полученные значения х будут соответствовать нулевым значениям у, т.к. они являются точками пересечения с осью ОХ.

После этого отмечаем на вершину параболы и полученные значения. Для более детального графика необходимо найти еще несколько точек. Для этого выбираем любое значение х, допустимое областью определения, и подставляем его в уравнение функции. Результатом вычислений будет координата точки по оси ОУ.

Чтобы упростить процесс построения графика, можно провести вертикальную линию через вершину параболы и перпендикулярно оси ОХ. Это будет при помощи которой, имея одну точку, можно обозначить и вторую, равноудаленную от проведенной линии.

Предыдущая статья: Чему равна скорость света Следующая статья: Углерод — характеристика элемента и химические свойства