Спин элементарной частицы не может принимать значения. Что такое спин в физике: момент импульса, бозоны, фермионы

Спин - это момент вращения элементарной частицы .

Иногда даже в очень серьезных книгах по физике можно встретить ошибочное утверждение о том, что спин никак не связан с вращением, что, якобы, элементарная частица не вращается. Иногда встречается даже такое утверждение, что спин, это, якобы, такая особая квантовая характеристика элементарных частиц, типа заряда, которая не встречается в классической механике.

Такое заблуждение возникло вследствие того, что, при попытке представить элементарную частицу в виде вращающегося твердого шарика однородной плотности, получаются нелепые результаты относительно скорости такого вращения и магнитного момента, связанным с таким вращением. Но, на самом деле, эта нелепость говорит лишь о том, что элементарную частицу нельзя представить в виде твердого шарика однородной плотности, а не о том, что спин будто бы никак не связан с вращением.

• Если спин не связан с вращением, то почему выполняется общий закон сохранения момента вращения, куда в виде слагаемого входит и спиновый момент? Получается, что с помощью спинового момента мы можем раскрутить какую-нибудь элементарную частицу так, чтобы она двигалась по окружности. Это получается, что вращение возникло, как бы, из ничего.
• Если у всех элементарных частиц в теле все спины будут направлены в одну сторону и суммируются друг с другом, то что тогда мы получим на макроуровне?
• Наконец, чем вращение отличается от невращения? Какая характеристика тела, является универсальным признаком вращения этого тела? Как отличить вращение от невращения? Если задуматься над этими вопросами, то Вы придете к выводу, что единственным критерием вращения тела является наличие у него момента вращения. Очень нелепо выглядит такая ситуация, когда Вам говорят, что, дескать, да, момент вращения как бы есть, а самого вращения как бы нет.

На самом деле, очень сильно сбивает с толку то, что в классической физике мы не наблюдаем аналога спина. Если бы мы могли бы обнаружить аналог спина в классической механике, то его квантовые свойства не казались бы нам слишком экзотическими. Поэтому для начала попробуем поискать аналог спина в классической механике.

Аналог спина в классической механике

Как известно, при доказательстве теоремы Эммы Нётер в той её части, которая посвящена изотропности пространства, мы получаем два слагаемых связанных с моментом вращения. Одно из этих слагаемых интерпретируется в качестве обычного вращения, а другое в качестве спина. Но теоремы Э.Нётер безотносительна того, с какой физикой мы имеем дело, с классической или с квантовой. Теорема Нётер имеет отношение к глобальным свойствам пространства и времени. Это универсальная теорема.

А раз так, то значит и спиновый вращательный момент существует в классической механике, хотя бы теоретически. Действительно, можно чисто теоретически построить модель спина в классической механике. Реализуется ли эта модель спина на практике в какой-нибудь макросистеме, это уже другой вопрос.

Давайте посмотрим на обычное классическое вращение. Сразу бросается в глаза то, что бывают вращения связанные с переносом центра массы и без переноса центра массы. Например, когда Земля вращается вокруг Солнца, то происходит перенос массы Земли, так как ось этого вращения не проходит через центр массы Земли. В то время, как при вращении Земли вокруг своей оси, центр массы Земли никуда не перемещается.

Тем не менее, при вращении Земли вокруг своей оси масса Земли всё равно двигается. Но очень интересно. Если выделить какой-нибудь объем пространства внутри Земли, то масса внутри этого объема не меняется с течением времени. Потому что, сколько массы уходит из этого объема в единицу времени с одной стороны, столько же и приходит массы с другой стороны. Получается, что в случае вращения Земли вокруг своей оси мы имеем дело с потоком массы.

Другой пример потока массы в классической механике, это круговой поток воды (воронка в ванной, перемешивание сахара в стакане с чаем) и круговые потоки воздуха (смерч, тайфун, циклон и т.п.). Сколько воздуха или воды уходит из выделенного объема в единицу времени, столько же туда и приходит. Поэтому масса этого выделенного объема не меняется во времени.

А теперь давайте сообразим, как должно выглядеть вращательное движение, в котором нет даже потока массы, но присутствует момент вращения. Представим себе неподвижный стакан воды. Пусть каждая молекула воды в этом стакане вращается по часовой стрелке вокруг вертикальной оси, которая проходит через центр массы молекулы. Вот такое упорядоченное вращение всех молекул воды.

Понятно, что у каждой молекулы воды в стакане будет ненулевой момент вращения. При этом моменты вращения всех молекул направлены в одну и ту же сторону. Значит, эти моменты вращения суммируются друг с другом. И эта сумма как раз и будет макроскопическим моментом вращения воды в стакане. (В реальной ситуации все моменты вращения молекул воды направлены в разные стороны и их суммирование дает нулевой общий момент вращения всей воды в стакане.)

Таким образом, мы получаем, что центр массы воды в стакане не вращается вокруг чего-то, и нет кругового потока воды в стакане. А момент вращения имеется. Это и есть аналог спина в классической механике.

Правда, это пока еще не совсем "честный" спин. У нас есть локальные потоки массы, связанные с вращением каждой отдельно взятой молекулы воды. Но это преодолевается предельным переходом, при котором число молекул воды в стакане устремляем к бесконечности, а массу каждой молекулы воды устремляем к нулю так, чтобы плотность воды оставалась постоянной при таком предельном переходе. Понятно, что при таком предельном переходе угловая скорость вращения молекул остается постоянной, и общий момент вращения воды тоже остается постоянным. В пределе получаем, что этот момент вращения воды в стакане имеет чисто спиновую природу.

Квантование момента вращения

В квантовой механике характеристики тела, которые могут передаваться от одного тела к другому, могут квантоваться. Основное положение квантовой механики утверждает, что эти характеристики могут передаваться от одного тела к другому не в любых количествах, а только кратно некоторому минимальному количеству. Это минимальное количество называется квантом. Квант в переводе с латыни как раз и означает количество, порция.

Поэтому и наука, которая изучает все следствия такой передачи характеристик, называется квантовой физикой. (Не путать с квантовой механикой! Квантовая механика, это математическая модель квантовой физики.)

Создатель квантовой физики Макс Планк полагал, что только такая характеристика, как энергия, передается от тела к телу пропорционально целому числу квантов. Это помогло Планку объяснить одну из загадок физики конца 19-го века, а именно, почему все тела не отдают всю свою энергию полям. Дело в том, что у полей бесконечное число степеней свободы, а у тел конечное число степеней свободы. В соответствии с законом о равнораспределении энергии по всем степеням свободы, все тела должны были бы мгновенно отдать всю свою энергию полям, чего мы не наблюдаем.

Впоследствии Нильс Бор разгадал вторую величайшую загадку физики конца 19-го века, а именно, почему все атомы одинаковы. Например, почему не бывает больших атомов водорода и маленьких атомов водорода, почему радиусы всех атомов водорода одинаковы. Оказалось, что эта проблема решается, если считать, что не только энергия квантуется, но и момент вращения тоже квантуется. И, соответственно, вращение может передаваться от одного тела к другому не в любых количествах, а только пропорционально минимальному кванту вращения.

Квантование момента вращения сильно отличается от квантования энергии. Энергия, это скалярная величина. Поэтому квант энергии всегда положителен и у тела может быть только положительная энергия, то есть положительное число квантов энергии. Кванты вращения вокруг определенной оси бывают двух видов. Квант вращения по часовой стрелке и квант вращения против часовой стрелки. Соответственно, если Вы выбираете другую ось вращения, то там также есть два кванта вращения, по часовой стрелке и против часовой стрелки.

Аналогичная ситуация и при квантовании импульса. Вдоль определенной оси телу можно передать положительный квант импульса или отрицательный квант импульса. При квантовании заряда тоже получается два кванта, положительный и отрицательный, но это скалярные величины, они не имеют направления.

Спин элементарных частиц

В квантовой механике принято собственные моменты вращения элементарных частиц называть спином. Момент вращения элементарных частиц очень удобно измерять в минимальных квантах вращения. Так и говорят, что, например, спин фотона вдоль оси такой-то равен (+1). Это означает, что у этого фотона момент вращения равен одному кванту вращения по часовой стрелке относительно выбранной оси. Или говорят, что спин электрона вдоль оси такой-то равен (-1/2). Это означает, что у этого электрона момент вращения равен половине кванта вращения против часовой стрелки относительно выбранной оси.

Иногда некоторых людей смущает, почему у фермионов (электроны, протоны, нейтроны и т.п.) половинные кванты вращения в отличие от бозонов (фотоны и т.п.). На самом деле квантовая механика ничего не говорит о том, какое количество вращения может иметь тело. Она говорит только о том, в каком количестве это вращение может ПЕРЕДАВАТЬСЯ от одного тела к другому.

Ситуация с половинами квантов встречается не только при квантовании вращения. Например, если решать уравнение Шредингера для линейного осциллятора, то получается, что энергия линейного осциллятора всегда равна полуцелому значению квантов энергии. Поэтому, если у линейного осциллятора забирать кванты энергии, то в конце концов у осциллятора останется только половина кванта энергии. И вот эту половину кванта энергии забрать у осциллятора уже никак не получится, так как забрать можно только весь квант энергии целиком, а не его половину. У линейного осциллятора остаются эти полкванта энергии в качестве нулевых колебаний. (Эти нулевые колебания бывают не такими уж и маленькими. В жидком гелии их энергия больше, чем энергия кристаллизации гелия, в связи с чем, гелий не может образовать кристаллическую решетку даже при нуле абсолютной температуры.)

Передача вращения элементарных частиц

Посмотрим, как передаются собственные моменты вращения элементарных частиц. Например, пусть электрон, вращается по часовой стрелке вокруг некоторой оси (спин равен +1/2). И пусть он отдает, например, фотону при электрон-фотонных взаимодействиях, один квант вращения по часовой стрелке вокруг этой же оси. Тогда спин электрона становится равным (+1/2)-(+1)=(-1/2), то есть электрон просто начинает вращаться вокруг этой же оси, но в обратную сторону против часовой стрелки. Таким образом, хотя у электрона была половина кванта вращения по часовой стрелке, но тем не менее у него можно забрать целый квант вращения по часовой стрелке.

Если у фотона до взаимодействия с электроном был спин на ту же самую ось равен (-1), то есть равен одному кванту вращения против часовой стрелки, то после взаимодействия спин стал равен (-1)+(+1)=0. Если спин на эту оссь изначально был равен нулю, то есть фотон не вращался вокруг этой оси, то после взаимодействия с электроном фотон, получив один квант вращения по часовой стрелке, начнет вращаться по часовой стрелке с величиной одного кванта вращения: 0+(+1)=(+1).

Итак, получается, что фермионы и бозоны отличаются друг от друга еще и тем, что собственное вращение бозонов можно остановить, а собственное вращение фермионов оснановить нельзя. Фермион всегда будет иметь ненулевой момент вращения.

У такого бозона, как, например, фотон, могут быть два состояния: полное отсутствие вращения (спин относительно любой оси равен 0) и состояние вращения. В состоянии вращения фотона, величина его спина на какую-нибудь ось может принимать три значения: (-1) или 0 или (+1). Значение ноль в состоянии вращения фотона говорит о том, что фотон вращается перпендикулярно выбранной оси и поэтому отсутствует проекция вектора момента вращения на выбранную ось. Если ось выбрать по другому, то там будет спин или (+1) или (-1). Нужно различать эти две ситуации у фотона, когда вращения совсем нет, и когда вращение есть, но оно идет не вокруг выделенной оси.

Кстати, спин фотона имеет очень простой аналог в классической электродинамике. Это вращение плоскости поляризации электромагнитной волны.

Ограничение максимального спина элементарных частиц

Очень загадочным является то, что мы не можем наращивать момент вращения элементарных частиц. Например, если электрон имеет спин (+1/2), то мы не можем дать этому электрону еще один квант вращения по часовой стрелке: (+1/2)+(+1)=(+3/2). Мы можем только менять вращение электрона по часовой и против часовой стрелки. Мы также не можем сделать спин равный, например, (+2) у фотона.

В то же время более массивные элементарные частицы могут иметь больше значения момента вращения. Например, омега-минус-частица имеет спин равный 3/2. На выделенную ось этот спин может принимать значения: (-3/2), (-1/2), (+1/2) и (+3/2). Так, если омега-минус-частица имеет спин (-1/2), то есть вращается против часовой стрелки вдоль заданной оси с величиной половины кванта вращения, тогда она может поглотить еще один квант вращения против часовой стрелки (-1) и её спин вдоль этой оси станет (-1/2)+(-1)=(-3/2).

Чем больше масса тела тем может быть больше его спин. Это можно понять, если вернуться к нашему классическому аналогу спина.

Когда мы имеем дело с потоком массы, то можем наращивать момент вращения до бесконечности. Например, если мы раскручиваем твердый однородный шарик вокруг оси, проходящий через его центр массы, то по мере того, как линейная скорость вращения на "экваторе" будет приближаться к скорости света, у нас начнет себя проявлять релятивистский эффект увеличения массы шарика. И хотя радиус шарика не меняется и линейная скорость вращения не растет свыше скорости света, тем не менее, момент вращения бесконечно нарастает из-за бесконечного нарастания массы тела.

А в классическом аналоге спина этого эффекта нет, если мы делаем "честный" предельный переход, уменьшая массу каждой молекулы воды в стакане. Можно показать, что в такой модели классического спина существует предельная величина момента вращения воды в стакане, когда дальнейшее поглощение момента вращения уже невозможно.

Как в классической, так и в квантовой механике закон сохранения момента возникает как результат изотропии пространства по отношению к замкнутой системе. Уже в этом проявляется связь момента со свойствами симметрии по отношению к вращениям. Но в квантовой механике эта связь становится в особенности глубокой, делаясь по существу основным содержанием понятия о моменте, тем более, что классическое определение момента частицы как произведения теряет здесь свой непосредственный смысл в виду одновременной неизмеримости радиуса-вектора и импульса.

Мы видели в § 28, что задание значений l к определяет угловую зависимость волновой функции частицы, а тем самым - все ее свойства симметрии по отношению к вращениям. В наиболее общем виде формулировка этих свойств сводится к указанию закона преобразования волновых функций при поворотах системы координат.

Неизменной волновая функция системы частиц (с заданными значениями момента L и его проекции М) остается лишь при повороте системы координат вокруг оси . Всякий же поворот, меняющий направление оси , приводит к тому, что проекция момента на ось уже не будет иметь определенного значения. Это значит, что в новых координатных осях волновая функция превратится, вообще говоря, в суперпозицию (линейную комбинацию) функций, отвечающих различным возможным (при заданном L) значениям М. Можно сказать, что при поворотах системы координат функций преобразуются друг через друга. Закон этого преобразования, т. е. коэффициенты суперпозиции (как функции углов поворота координатных осей), полностью определяется заданием значения L. Таким образом, момент приобретает смысл квантового числа, классифицирующего состояния системы по их трансформационным свойствам по отношению к вращениям системы координат.

Этот аспект понятия момента в квантовой механике в особенности существен в связи с тем, что он не связан непосредственно с явной зависимостью волновых функций от углов; закон их преобразования друг через друга может быть сформулирован сам по себе, без ссылки на эту зависимость.

Рассмотрим сложную частицу (скажем, атомное ядро), покоящуюся как целое и находящуюся в определенном внутреннем состоянии. Помимо определенной внутренней энергии она обладает также и определенным по своей величине L моментом, связанным с движением частиц внутри нее; этот момент может еще иметь 2L + 1 различных ориентаций в пространстве. Другими словами, при рассмотрении движения сложной частицы как целого мы должны, наряду с ее координатами, приписывать ей еще и одну дискретную переменную - проекцию ее внутреннего момента на некоторое избранное направление в пространстве.

Но при указанном выше понимании смысла момента становится несущественным вопрос о его происхождении, и мы приходим естественным образом к представлению о «собственном» моменте, который должен быть приписан частице вне зависимости от того, является ли она «сложной» или «элементарной».

Таким образом, в квантовой механике элементарной частице следует приписывать некоторый «собственный» момент, не связанный с ее движением в пространстве. Это свойство элементарных частиц является специфически квантовым (исчезающим при переходе к пределу и поэтому принципиально не допускает классической интерпретации.

Собственный момент частицы называют ее спином, в отличие от момента, связанного с движением частицы в пространстве, о котором говорят как об орбитальном моменте. Речь может идти при этом как об элементарной частице, так и о частице, хотя и составной, но ведущей себя в том или ином рассматриваемом круге явлений как элементарная (например, об атомном ядре). Спин частицы (измеренный, как и орбитальный момент, в единицах й) будем обозначать посредством s.

Для частиц, обладающих спином, описание состояния с помощью волновой функции должно определять не только вероятности ее различных положений в пространстве, но и вероятности различных возможных ориентаций ее спина.

Другими словами, волновая функция должна зависеть не только от трех непрерывных переменных - координат частицы, но и от одной дискретной спиновой переменной, указывающей значение проекции спина на некоторое избранное направление в пространстве (ось ) и пробегающей ограниченное число дискретных значений (которые мы будем обозначать далее буквой ).

Пусть - такая волновая функция. По существу она представляет собой совокупность нескольких различных функций координат, отвечающих различным значениям а; об этих функциях мы будем говорить как о спиновых компонентах волновой функции. При этом интеграл

определяет вероятность частице иметь определенное значение а. Вероятность же частице находиться в элементе Объема имея произвольное значение а, есть

Квантовомеханический оператор спина при применении его к волновой функции действует именно на спиновую переменную . Другими словами, он каким-то образом преобразует друг через друга компоненты волновой функции. Вид этого оператора будет установлен ниже. Но, уже исходя из самых общих соображений, легко убедиться в том, что операторы удовлетворяют таким же условиям коммутации, как и операторы орбитального момента.

Оператор момента в основном совпадает с оператором бесконечно малого поворота. При выводе в § 26 выражения для оператора орбитального момента мы рассматривали результат применения операции поворота к функции координат. В случае спинового момента такой вывод теряет смысл, поскольку оператор спина действует на спиновую переменную, а не на координаты. Поэтому для получения искомых соотношений коммутации мы должны рассматривать операцию бесконечно малого поворота в общем виде, как поворот системы координат. Производя последовательно бесконечно малые повороты вокруг оси х и оси у, а затем вокруг этих же осей в обратном порядке, легко убедиться непосредственным вычислением, что разница между результатами обеих этих операций эквивалентна бесконечно малому повороту вокруг оси (на угол, равный произведению углов поворота вокруг осей х и у). Мы не станем производить здесь этих простых вычислений, в результате которых вновь получаются обычные соотношения коммутации между операторами компонент момента импульса, которые, следовательно, должны иметь место и для операторов спина:

со всеми вытекающими из них физическими следствиями.

Соотношения коммутации (54,1) дают возможность определить возможные значения абсолютной величины и компонент спина. Весь вывод, произведенный в § 27 (формулы (27,7)-(27,9)), был основан только на соотношениях коммутации и потому полностью применим и здесь; надо только вместо L в этих формулах подразумевать s. Из формул (27,7) следует, что собственные значения проекции спина образуют последовательность чисел, отличающихся на единицу. Мы не можем, однако, теперь утверждать, что сами эти значения должны быть целыми, как это имело место для проекции орбитального момента (приведенный в начале § 27 вывод здесь неприменим, поскольку он основан на выражении (26,14) для оператора , специфическом для орбитального момента).

Далее, последовательность собственных значений ограничена сверху и снизу значениями, одинаковыми по абсолютной величине и противоположными по знаку, которые мы обозначим посредством Разность между наибольшим и наименьшим значениями должна быть целым числом или нулем. Следовательно, число s может иметь значения 0, 1/2, 1, 3/2, ...

Таким образом, собственные значения квадрата спина равны

где s может быть либо целым числом (включая значение нуль), либо полуцелым. При заданном s компонента спина может пробегать значения - всего значений. Соответственно этому, и волновая функция частицы со спином s имеет компонент

Опыт показывает, что большинство элементарных частиц - электроны, позитроны, протоны, нейтроны, мезоны и все гипероны - обладают спином 1/2. Кроме того, существуют элементарные частицы - -мезоны и -мезоны, - обладающие спином 0.

Полный момент импульса частицы складывается из ее орбитального момента 1 и спина s. Их операторы, действуя на функции совершенно различных переменных, разумеется, коммутативны друг с другом.

Собственные значения полного момента

определяются тем же правилом «векторной модели», что и сумма орбитальных моментов двух различных частиц (§ 31).

Именно, при заданных значениях полный момент может иметь значения . Так, у электрона (спин 1/2) с отличным от нуля орбитальным моментом l полный момент может быть равен ; при момент имеет, конечно, лишь одно значение

Оператор полного момента J системы частиц равен сумме операторов моментов каждой из них, так что его значения опредег ляются снова правилами векторной модели. Момент J можно представить в виде

где S можно назвать полным спином, а L - полным орбитальным моментом системы.

Отметим, что если полный спин системы - полуцелый (или целый), то то же самое будет иметь место и для полного момента, поскольку орбитальный момент всегда целый. В частности, если система состоит из четного числа одинаковых частиц, то ее полный спин во всяком случае целый, а потому будет целым и полный момент.

Операторы полного момента частицы j (или системы частиц J) удовлетворяют тем же правилам коммутации, что и операторы орбитального момента или спина, поскольку эти правила являются вообще общими правилами коммутации, справедливыми для всякого момента импульса. Следующие из правил коммутации формулы (27,13) для матричных элементов момента тоже справедливы для всякого момента, если матричные элементы определять по отношению к собственным функциям этого же момента. Остаются справедливыми (с соответствующим изменением обозначений) также и формулы (29,7)-(29,10) для матричных элементов произвольных векторных величин.

Учитывая также, что найдем