Нахождение неизвестного по двум суммам.

Задача 1

Два автомобиля ехали с одинаковой скоростью. Один из них проехал 400 км, а другой - 480 км. Сколько часов был в пути каждый автомобиль, если первый был в пути на 2 часа меньше чем второй?

Решение:
• 1) 480 - 400 = 80
• 2) 80: 2 = 40 (скорость автомобилей)
• 3) 400: 40 = 10 (был в пути первый автомобиль)
• 4) 480: 40 = 12 (был в пути второй автомобиль)
• Ответ: 10 и 12 часов.

Задача 2

Два мотоциклиста ехали с одинаковой скоростью. Один из них был в пути 5 часов, а другой - 3 часа. Сколько километров проехал каждый мотоциклист, если первый проехал на 80 километров больше, чем второй?

Решение:
• 1) 5 - 3 = 2
• 2) 80: 2 = 40 (скорость каждого мотоциклиста)
• 3) 5 * 40 = 200 (проехал первый мотоциклист)
• 4) 3 * 40 = 120 (проехал второй мотоциклист)
• Ответ: 200 и 120 километров.

Задача 3

Портниха купила два куска ткани. Один кусок 6 метров, а другой 12 метров. За первый кусок она заплатила на 24 рубля меньше, чем за второй. Сколько заплатила портниха за каждый из кусков ткани, если метр ткани в каждом из кусков стоит одинаково?

Решение:
• 1) 12 - 6 = 6
• 2) 24: 6 = 4 (стоит метр ткани)
• 3) 6 * 4 = 24 (стоит первый кусок)
• 4) 12 * 4 = 48 (стоит второй кусок)
• Ответ: 24 и 48 рублей.

Задача 4

Два шофера возили зерно. Один из них сделал 3 рейса, другой - 5 рейсов за день. Второй шофер перевез на 30 т зерна больше, чем первый. Сколько зерна перевез каждый из шоферов по отдельности, если каждый рейс перевозилось одинаковое количество зерна?

Решение:
• 1) 5 - 3 = 2
• 2) 30: 2 = 15 (тонн зерна перевозил один грузовик за рейс)
• 3) 3 * 15 = 45 (тонн зерна перевез первый грузовик)
• 4) 5 * 15 = 75 (тонн зерна перевез второй грузовик)
• Ответ: 45 и 75 тонн.

Задача 5

В столовой в одном из залов 15 одинаковых столов, в другом зале 10 таких же столов. Сколько мест в первом зале и во втором зале по отдельности, если во втором зале на 20 мест меньше, чем в первом?

Решение:
• 1) 15 - 10 = 5
• 2) 20: 5 = 4 (места за одним столом)
• 3) 15 * 4 = 60 (мест в первом зале)
• 4) 10 * 4 = 40 (мест во втором зале)
• Ответ: 60 и 40 мест.

Задача 6

Саше купили 7 зеленых карандашей и 5 оранжевых. Оранжевые карандаши на 4 рубля дешевле, чем зеленые. Сколько стоит один зеленый и один оранжевый карандаш?

Решение:
• 1) 7 - 5 = 2
• 2) 4: 2 = 2
• Ответ: 2 рубля.

Задача 7

В первом куске 3 метра ткани, а во втором - 7 метров. Первый кусок стоит на 240 рублей дешевле, чем второй. Сколько стоит каждый кусок по отдельности, если метр ткани в каждом куске стоит одинаково?

Решение:
• 1) 7 - 3 = 4
• 2) 240: 4 = 60 (стоит метр ткани)
• 3) 3 * 60 = 180 (рублей стоит первый кусок)
• 4) 7 * 60 = 420 (рублей стоит второй кусок)
• Ответ:

Задача 8

Грузовики возили с базы муку в два разных магазина. В первый магазин отвезли 3 грузовика муки, а во второй 5. Сколько центнеров муки отправили в каждый магазин по отдельности, если в первый магазин отправили муки на 40 центнеров меньше, чем во второй?

Решение:
• 1) 5 - 3 = 2
• 2) 40: 2 = 20 (центнеров муки вез грузовик за 1 раз)
• 3) 3 * 20 = 60 (отвезли в первый магазин)
• 4) 5 * 20 = 100 (отвезли во второй магазин)
• Ответ: 60 и 100 центнеров.

Задача 9

На двух участках собирали лук. С одного собрали 19 мешков, а с другого 25. Сколько килограммов лука собрали с каждого участка, если с первого собрали на 360 кг меньше чем со второго?

Решение:
• 1) 25 - 19 = 6
• 2) 360: 6 = 60 (килограмм лука в 1 мешке)
• 3) 19 * 60 = 1140 (кг. лука собрали с 1-го участка)
• 4) 25 * 60 = 1500 (кг. лука собали со 2-го участка)
• Ответ: 1140 и 1500 килограмм.

1. Из двух рулонов ткани длиной 56 м и 40 м сшили 24 одинаковых плаща. Сколько плащей сшили из каждого рулона?

2. За 6 тетрадей в клетку и 8 тетрадей в линейку по одинаковой цене заплатили 84 р. Сколько рублей заплатили за тетради в клетку и сколько - за тетради в линейку?

3. Выполни действия

35:4-91:7*6=11 (329+127) : 8 -105:3=22
603:9+84:6*25=417 (900-156) : 6+31*4=248

4. Лыжнику нужно было пройти 50 км. В течение первых двух часов он шёл со скоростью 9 км/ч, а потом стал проходить по 8 км в час. За сколько часов лыжник прошёл весь путь?

5. Для новогодних подарков купили 6 кг мандаринов….

Дополни условие задачи так, чтобы она решилась следующим образом:

1) 45*6= 270 р. - заплатили за мандарины.
2) 510-270=240 р. - заплатили за печенье.
3) 240:8=30 р. - стоит 1 кг печенья.

6. Заполни пропуски в таблице, выполнив вычисления.

Объясни, почему площадь прямоугольника уменьшается в 4 раза.

7. Сравни.

200 к. и 2 р. 167 см и 16 дм 309 м и 39 дм
500 г и 5 кг 948 м и 10 км 2 ч 8 мин и 128 мин

8. Нарисуй в тетради прямоугольник, имеющий такую же площадь, как и данная фигура. Попробуй найти 2 варианта.

9. Лодка проплыла от пристани 8 км по течению реки, потом 14 км против течения, а затем 12 км по течению. На какое расстоянии от пристани оказалась лодка? Построй схематический чертёж и реши задачу.

1. (Устно.) Что больше и во сколько раз:

разность чисел 10 и 8 или их произведение;
частное чисел 25 и 5 или их сумма;
сумма чисел 56 и 40 или их разность;
частное чисел 36 и 6 или их произведение?

2. В одном мешке было 55 кг картофеля, а в другом - 35 кг. Весь картофель расфасовали поровну в 18 пакетов. Сколько пакетов понадобилось для расфасовки каждого мешка?

3. За 3 батона белого хлеба и 2 буханки чёрного хлеба заплатили 56 р. Сколько рублей заплатили за белый хлеб и сколько - за чёрный, если один батон стоит 12 р.?

4. Вычисли удобным способом.

14*(5*9) 28*(2*5) 45*(7*2) 19*(3*10)
9*(4*25) 10*(29*2) 18*(10*4) 10*(2*36)

5. За день в магазине продали цветные карандаши и фломастеры, всего 196 штук. Карандаши были в 8 коробках, по 12 штук в каждой, а фломастеры - в 10 коробках, поровну в каждой. Сколько фломастеров было в каждой коробке?

6. Выполни действия.

320-306:6=269 610-497:7+48=587 (700-285:3*4) :2=160
536: (68:17)=134 (150-125:5) *8=1000 27*(840:7-19*6)=162

7. Заполни пропуски в таблице, выполнив вычисления.

Сравни результаты в третьей и четвёртой строках таблицы. Какой вывод можно сделать? При каких размерах прямоугольник имеет наибольшую площадь? Как называется такой прямоугольник?

8. Из Санкт-Петербурга в Москву выехали одновременно три автомобиля. Первый из них прибыл в Москву через 8 ч 45 мин, второй - на 2 ч 56 мин позднее первого, а третий - на 1 ч 48 мин раньше второго. Сколько времени был в пути третий автомобиль?

9. (Задача Л.Н.Толстого.) Продавец продаёт шапку, которая стоит 10 р. Подходит покупатель, меряет и согласен взять, но у него есть только банкнота 25 р. Продавец отсылает своего помощника с этими деньгами к соседке разменять. Помощник прибегает и отдаёт 10 р. +10 р. + 5 р. Продавец отдаёт шапку и сдачу 15 р. Через какое-то время приходит соседка говорит, что полученная ею банкнота 25 р. фальшивая и требует вернуть ей её деньги. Ну что делать? Продавец возвращает ей деньги. На сколько рублей обманули продавца?

Задачи на нахождение неизвестных по двум разностям включают две переменные и одну или несколько постоянных величин, причём даны два значения одной переменной и разность соответствующих значений другой переменной, а сами значения этой переменной являются искомыми. По отношению к каждой тройке величин, находящихся в пропорциональной зависимости, можно выделить шесть видов задач на нахождение неизвестных по двум разностям .

Таблица 3

Задача. Купили по одинаковой цене 14 м полотна и 10 м шерсти. За всё полотно уплатили на 280 р. больше, чем за всю шерсть. Сколько заплатили за полотно и шерсть в отдельности?

Задачи этого типа представляют определённую трудность для детей в связи с тем, что стоимость и количество заданы в виде разностей: купили больше и заплатили больше. В связи с этим работу над задачами данного типа нужно построить так, чтобы дети осознали, что (на примере данной задачи) за полотно, купленное сверх 10 м заплатили 280 р. В связи с этим до формального разбора при поиске решения задачи на этапе ознакомления целесообразно выполнить разбор по существу, позволяющий развязать этот «трудный узел» задачи. Приведём полное рассуждение ученика при решении задачи данного типа, но прежде выполним разбор по существу, который осуществляется по вопросам учителя.

После выделения условия, требования задачи и выполнения краткой записи задачи в виде таблицы, учитель ставит вопросы:

За какое количество полотна уплатили столько же, сколько за всю шерсть? (За 10 м.)

Сколько уплатили за полотно, купленное сверх 10 м? (280 р.)

Если мы будем знать количество полотна, купленного сверх 10м и знаем его стоимость, то, что сможем узнать по этим данным? (Цену 1 м полотна или шерсти.)

4) Знаю, что купили 14 м полотна и 10м шерсти.

5) Могу узнать, сколько полотна купили за 280 р.

6) Действием вычитания.

4а) Знаю стоимость полотна (280 р.) и буду знать количество, за которое уплатили 280 р.

5а) Могу узнать цену полотна.

6а) Действием деления.

4б) Буду знать цену полотна и знаю его количество.

5б) Могу узнать стоимость полотна.

6б) Действием умножения.

4в) Буду знать стоимость полотна и знаю, что за полотно заплатили на 280 р. больше, чем за шерсть. Значит, за шерсть заплатили на 280 р. меньше.

5в) Могу узнать стоимость шерсти.

6в) Действием вычитания.

7. Составляю план решения: сначала действием вычитания узнаю, за какое количество полотна уплатили 280 р., затем действием деления узнаю цену полотна или шерсти, потом действием умножения узнаю стоимость полотна, затем действием вычитания узнаю стоимость шерсти.

8. Запишу решение по действиям с полным пояснением:

1) 14-10=4(м)- за столько полотна заплатили 280 р.;

2) 280:4=70(р.) - цена полотна (шерсти);

3) 70 14=980(р.) - стоимость полотна;

4) 980-280=700 (р.) - стоимость шерсти.

Ответ: 980 р. и 700 р.

На основе анализа содержания задачи и деятельности по её решению можно увидеть, что необходимые знания, умения и навыки у детей уже сформированы (знания связи между величинами цена, количество, стоимость и умение находить одну из них по двум значениям других величин) в процессе решения задач на нахождение четвёртого пропорционального и на пропорциональное деление. Однако в задачах данного типа дано не значение одной из переменных величин, а разность двух её значений, что и составляет проблему задачи (нужно найти цену, имея не значения стоимости и количества, а значения разности стоимостей и разности количеств).

В связи с этим на подготовительном этапе к введению задач данного типа необходимо предусмотреть специальные задания, с помощью которых раскрывается основная проблема задачи:

1) Ученик купил по одинаковой цене 9 тетрадей в клетку и 5 тетрадей в линейку. Каких тетрадей ученик купил больше? За какие тетради он уплатил денег больше?

Ученик купил по одинаковой цене тетрадей в клетку на 4 больше, чем тетрадей в линейку, и уплатил за них на 16 р. больше, чем за тетради в линейку. Сколько стоила одна тетрадь? К первой задаче ученики выполняют чертёж, затем отвечают на поставленные вопросы (Ученик купил тетрадей в клетку на 4 тетради больше, чем в линейку; за тетради в клетку он уплатил больше, потому что он купил их больше, а цена одинаковая.). Далее выясняется, за сколько тетрадей в клетку он уплатил столько же, сколько за все тетради в линейку.

Как вы понимаете выражение «тетрадей в клетку купил на 4 больше, чем тетрадей в линейку»(тетрадей в клетку столько же, сколько в линейку и ещё 4). Покажите это на чертеже.

Что значит «уплатил за тетради в клетку на 16 р. больше»? (Уплатил за тетради в клетку столько же, сколько за тетради в линейку, и ещё 16 р.) Покажите это на чертеже.

За сколько тетрадей ученик уплатил 16 р.? (За 4 тетради.)

Значением какой величины является 16 р.? (16 р, - значение стоимости.)

Значением какой величины является 4 т.? (4 тетради - значение количества.)

Значит, нам известны значения двух величин - стоимости и количества - и знаем, что цена одинаковая. Что можно найти по этим данным? (Цену.) Каким действием? Учитель может предложить аналогичные задания из учебника, а также составленные им с другими величинами.

Ознакомление с решением задач на нахождение неизвестных по двум разностям можно выполнить разными путями: можно сначала составить задачу на нахождение неизвестных по двум разностям, преобразовав её из задачи на нахождение четвёртого пропорционального, а можно сразу предложить готовую задачу. В том и другом случае работа над задачей ведётся по одному и тому же плану: выделение условия, требования задачи, её иллюстрации в виде краткой записи (в виде таблицы) и чертежа, затем разбор по существу, формальный разбор и т.д. (см. выше).

На этапе закрепления умения решать задачи на нахождение неизвестных по двум разностям можно использовать задания аналогичные тем, которые предлагались при решении задач на пропорциональное деление. После введения задач на нахождение неизвестных по двум разностям второго вида по аналогичной методике следует провести работу по сравнению задач этих двух видов и сравнению их решений. Полезно также выполнить задания по сравнению задач на пропорциональное деление и задач с соответствующими величинами на нахождение неизвестных по двум разностям.

План

1. Задача на нахождение неизвестного по двум разностям.

2. Характеристика основных видов задач на нахождение неизвестного по двум
разностям.

4. Особенности применения различных методов обучения младших школьников
решению задач на нахождение неизвестного по двум разностям.

Литература для самостоятельной работы

1. Программы общеобразовательных учреждений. Начальные классы (1 - 4).
Часть 1. - М.: Просвещение, 2001.

2. Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. Методика преподавания математики в начальных классах: Учеб. пособие для учащихся школ, отд-ний пед. уч-щ. - М.: Просвещение, 1984. С. 233-236.

3. Истомина Н.В. Методика обучения математике в начальных классах: Учеб. пособие для студ. сред, и высш. пед. учеб. заведений. - 3-е изд., стереотип. - М.: Издательский центр «Академия», 2000. С. 233-236.

4. Истомина Н.В. и др. Практикум по методике преподавания математики в начальных классах: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по спец. № 2121 «Педагогика и методика нач. обучения»/ Н.Б. Истомина, Л.Г. Латохина, Г.Г. Шмырева. - М.: Просвещение, 1986.

5. Скаткин Л.Н., Жигалкина Т.К. Обучение решению задач с пропорциональными величинами. - М.: Просвещение, 1979. С. 10-12, 27-31.

6. Узорова О.В. 2500 задач по математике: 1-3-й класс: Пособие для начальной школы/ О.В. Узорова, Е.А. Нефедова. - М.: ЗАО «Премьера»: ООО «Издательство ACT», 2001.

7. Максимова Г.П. Этапы решения задач. - Волгоград: ВГПУ, 1989.

Опорный конспект

Задача на нахождение неизвестного по двум разностям включает три величины, связанные пропорциональной зависимостью, из них две переменные и одна или больше постоянных, причем даны два или более значений одной переменной и разность соответствующих значений другой переменной, а сами значения этой переменной являются искомыми.

Классификация задач на нахождение неизвестного по двум разностям. Применительно к каждой тройке величин, связанных пропорциональной зависимостью, можно выделить 6 видов задач на нахождение неизвестного по двум разностям, четыре из которых с прямо пропорциональной зависимостью, а две с обратно пропорциональной зависимостью (см. таблица 18).

Способ решения - арифметический (нахождение значения постоянной величины через вычисление отношения заданной разности значений величин к разности значений двух данных величин, а затем вычисление значений каждой искомой величины) и алгебраический (уравнением).

Для решения задачи удобно записывать данные условия в виде таблицы. В общем виде таблицы всех шести видов задач представлены в таблице 19.

Этапы обучения решению задач на нахождение неизвестного по двум разностям - подготовительный, ознакомительный, закрепление. Подготовкой к решению задач на нахождение неизвестного по двум разностям является твердое умение школьников решать простые задачи на установление соответствия между двумя разностями и простых задач с различными группами пропорциональных величин. При ознакомлении с задачами на нахождение неизвестного по двум разностям следует учитывать опыт учащихся, полученный в процессе решения задач на пропорциональное деление. Задачи нового типа могут быть получены из решенных задач на пропорциональное деление. Сначала рассматривают задачи на нахождение неизвестного по двум разностям первого вида с различными группами пропорциональных величин. При этом обязательна проверка решения способом установления соответствия между искомыми, полученными в ответе и данными из условия задачи. После этого вводятся задачи второго вида (см. таблица 18). Задачи других видов в начальном курсе математики обычно не рассматриваются. В процессе закрепления школьникам предлагают к решению задачи 1-2 видов с различными группами пропорциональных величин и упражнения творческого характера на преобразование условия задач.

Таблица 18

Задание для домашней работы на 02.04.2012