§1. A származék definíciója
A derivált megtalálásának műveletét differenciálásnak nevezzük.
A legegyszerűbb (és nem túl egyszerű) függvények deriváltjainak megtalálásának problémáinak megoldása eredményeként a derivált az inkrementum és az argumentum növekmény arányának határaként definiálva, megjelent a derivált táblázat és a pontosan meghatározott differenciálási szabályok. . A származékok keresésének területén elsőként Isaac Newton (1643-1727) és Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) dolgozott.
Ezért napjainkban ahhoz, hogy bármely függvény deriváltját megtaláljuk, nem kell kiszámítani a függvény növekményének és az argumentum növekményének arányának fent említett határát, hanem csak a táblázatot kell használni. származékai és a differenciálás szabályai. A derivált megtalálására a következő algoritmus alkalmas.
A származék megtalálásához, szükséged van egy kifejezésre a prímjel alá egyszerű függvényeket komponensekre bontaniés meghatározza, hogy milyen lépéseket (termék, összeg, hányados) ezek a funkciók összefüggenek. Ezután az elemi függvények deriváltjait a derivált táblázatban, a szorzat, az összeg és a hányados származékainak képleteit pedig a differenciálás szabályaiban találjuk. A származéktáblázatot és a differenciálási szabályokat az első két példa után adjuk meg.
1. példa Keresse meg egy függvény deriváltját
Megoldás. A differenciálás szabályaiból megtudjuk, hogy egy függvényösszeg deriváltja a függvények deriváltjainak összege, azaz.
A derivált táblázatból megtudjuk, hogy "x" deriváltja egyenlő eggyel, a szinusz deriváltja pedig koszinusszal. Ezeket az értékeket behelyettesítjük a deriváltak összegébe, és megkeressük a probléma feltételéhez szükséges deriváltot:
2. példa Keresse meg egy függvény deriváltját
Megoldás. Egy olyan összeg származékaként differenciálunk, amelyben a második tag állandó tényezője kivehető a derivált előjelből:
Ha mégis kérdések merülnek fel azzal kapcsolatban, hogy valami honnan származik, akkor általában tisztázódnak a származéktáblázat és a legegyszerűbb differenciálási szabályok megismerése után. Jelenleg rájuk megyünk.
Egyszerű függvények deriváltjainak táblázata
| 1. Állandó (szám) származéka. Bármely szám (1, 2, 5, 200...), amely a függvénykifejezésben szerepel. Mindig egyenlő nullával. Ezt nagyon fontos megjegyezni, mivel nagyon gyakran van rá szükség | |
| 2. A független változó származéka. Leggyakrabban "X". Mindig egyenlő eggyel. Ezt is fontos sokáig emlékezni | |
| 3. Végzettség származéka. A feladatok megoldása során a nem négyzetgyököket hatványokká kell konvertálnia. | |
| 4. Változó deriváltja a -1 hatványra | |
| 5. A négyzetgyök származéka | |
| 6. A szinusz származéka | |
| 7. A koszinusz származéka |  |
| 8. Az érintő származéka |  |
| 9. A kotangens származéka |  |
| 10. Az arcszinus származéka |  |
| 11. Az ív koszinusz származéka |  |
| 12. Arktangens származéka |  |
| 13. Az ívkotangens származéka |  |
| 14. A természetes logaritmus deriváltja | |
| 15. Logaritmikus függvény deriváltja |  |
| 16. A kitevő származéka | |
| 17. Exponenciális függvény deriváltja |
A megkülönböztetés szabályai
| 1. Összeg vagy különbözet származéka |  |
| 2. A termék származéka |  |
| 2a. Egy kifejezés származéka szorozva egy állandó tényezővel | |
| 3. A hányados származéka |  |
| 4. Komplex függvény deriváltja |  |
1. szabályHa a funkciók
egy ponton differenciálhatók, akkor a függvények ugyanazon a ponton differenciálhatók
és
azok. függvények algebrai összegének deriváltja egyenlő e függvények deriváltjainak algebrai összegével.
Következmény. Ha két differenciálható függvény konstans taggal különbözik, akkor deriváltjaik egyenlőek, azaz
2. szabályHa a funkciók
egy ponton differenciálhatóak, akkor a termékük ugyanazon a ponton differenciálható
és
azok. Két függvény szorzatának deriváltja egyenlő ezen függvények szorzatának és a másik függvény szorzatának összegével.
Következmény 1. A konstans tényező kivehető a derivált előjeléből:
Következmény 2. Több differenciálható függvény szorzatának deriváltja egyenlő az egyes tényezők és az összes többi derivált szorzatának összegével.
Például három szorzóhoz:
3. szabály.Ha a funkciók
egy bizonyos ponton megkülönböztethető És , akkor ezen a ponton a hányadosuk is differenciálhatóu/v , és
azok. két függvény hányadosának deriváltja egyenlő egy törttel, amelynek számlálója a nevező és a számláló deriváltja, valamint a számláló és a nevező deriváltja szorzatának különbsége, a nevezője pedig a nevező négyzete. az egykori számláló.
Hol lehet más oldalakon keresni
Egy szorzat származékának és hányadosának valós problémákban való megtalálásakor mindig több differenciálási szabályt kell egyszerre alkalmazni, ezért a cikkben több példa is található ezekre a származékokra."A szorzat származéka és a függvények hányadosa".
Megjegyzés. Nem szabad összekeverni a konstanst (vagyis egy számot) összegben szereplő tagként és állandó tényezőként! Egy tag esetén a deriváltja egyenlő nullával, állandó tényező esetén pedig kikerül a származékok előjeléből. Ez egy tipikus hiba, amely a származékok tanulmányozásának kezdeti szakaszában fordul elő, de mivel az átlaghallgató több egy- és kétrészes példát old meg, ezt a hibát már nem követi el.
És ha egy termék vagy hányados megkülönböztetésekor van egy kifejezés u"v, amelyben u- egy szám, például 2 vagy 5, azaz egy állandó, akkor ennek a számnak a deriváltja nulla lesz, és ezért a teljes tag nulla lesz (ezt az esetet a 10. példa tárgyalja).
Egy másik gyakori hiba, hogy egy összetett függvény deriváltját mechanikusan egy egyszerű függvény deriváltjaként oldják meg. azért komplex függvény deriváltja külön cikket szentelünk. De először megtanuljuk megtalálni az egyszerű függvények deriváltjait.
Útközben nem nélkülözheti a kifejezések átalakítását. Ehhez előfordulhat, hogy új ablakban kell megnyitnia a kézikönyvet. Erőkkel és gyökerekkel rendelkező cselekvésekÉs Műveletek törtekkel .
Ha megoldásokat keres a hatványokkal és gyökökkel rendelkező törtek származékaira, vagyis amikor a függvény így néz ki 
, majd kövesse a „Hatványokkal és gyökökkel rendelkező törtek összegeinek származéka” című leckét.
Ha olyan feladatod van, mint pl 
, akkor felveszi az „Egyszerű trigonometrikus függvények származékai” című leckét.
Példák lépésről lépésre - hogyan lehet megtalálni a származékot
3. példa Keresse meg egy függvény deriváltját
Megoldás. Meghatározzuk a függvénykifejezés részeit: a teljes kifejezés egy szorzatot reprezentál, faktorai pedig összegek, amelyek közül a másodikban az egyik tag konstans tényezőt tartalmaz. Alkalmazzuk a szorzatdifferenciálási szabályt: két függvény szorzatának deriváltja egyenlő ezen függvények szorzatainak összegével a másik függvény deriváltjával:
Ezután alkalmazzuk az összeg differenciálásának szabályát: a függvények algebrai összegének deriváltja egyenlő ezen függvények deriváltjainak algebrai összegével. Esetünkben minden összegben a második tagnak mínusz előjele van. Minden összegben látunk egy független változót, amelynek deriváltja eggyel, és egy állandót (számot), amelynek deriváltja nulla. Tehát az „X” egy lesz, a mínusz 5 pedig nullává. A második kifejezésben az "x"-t megszorozzuk 2-vel, így kettőt megszorozunk ugyanazzal az egységgel, mint az "x" deriváltja. A származékok következő értékeit kapjuk:
A talált deriváltokat behelyettesítjük a szorzatok összegébe, és megkapjuk a probléma feltétele által megkövetelt teljes függvény deriváltját:
4. példa Keresse meg egy függvény deriváltját
Megoldás. Meg kell találnunk a hányados deriváltját. A hányados differenciálására a képletet alkalmazzuk: két függvény hányadosának deriváltja egyenlő egy törttel, amelynek számlálója a nevező és a számláló deriváltja és a számláló szorzata és a számláló származéka közötti különbség. nevező, a nevező pedig az előbbi számláló négyzete. Kapunk:
A 2. példában már megtaláltuk a számlálóban szereplő tényezők deriváltját. Ne felejtsük el azt sem, hogy a szorzatot, amely az aktuális példában a számláló második tényezője, mínusz előjellel vesszük:
Ha olyan problémákra keres megoldást, amelyekben meg kell találnia egy függvény deriváltját, ahol a gyökök és hatványok folytonos halmaza van, mint pl. 
, akkor üdv az órán "Hatványokkal és gyökökkel rendelkező törtek összegeinek származéka" .
Ha többet szeretne megtudni a szinuszok, koszinuszok, érintők és más trigonometrikus függvények deriváltjairól, vagyis amikor a függvény így néz ki , akkor egy lecke neked "Egyszerű trigonometrikus függvények származékai" .
5. példa. Keresse meg egy függvény deriváltját
Megoldás. Ebben a függvényben egy szorzatot látunk, melynek egyik tényezője a független változó négyzetgyöke, amelynek deriváltját a derivált táblázatban ismerkedtünk meg. A szorzat megkülönböztetésének szabályát és a négyzetgyök deriváltjának táblázatos értékét alkalmazva kapjuk:
6. példa. Keresse meg egy függvény deriváltját
Megoldás. Ebben a függvényben egy olyan hányadost látunk, amelynek osztaléka a független változó négyzetgyöke. A 4. példában megismételt és alkalmazott hányadosok differenciálási szabályát, valamint a négyzetgyök deriváltjának táblázatos értékét felhasználva kapjuk:
A számlálóban lévő tört eltávolításához szorozza meg a számlálót és a nevezőt -val.
A geometria, mechanika, fizika és más tudományágak különböző problémáinak megoldása során felmerült az igény, hogy ebből a függvényből ugyanazt az elemzési folyamatot használják. y=f(x) kap egy új függvényt derivált függvény(vagy csak egy adott f(x) függvény deriváltjaés a szimbólum jelöli
Az a folyamat, amellyel egy adott függvényből f(x) kap egy új funkciót f" (x), hívott különbségtételés a következő három lépésből áll: 1) adja meg az argumentumot x növekedés
xés határozza meg a függvény megfelelő növekményét
y = f(x+
x) -f(x); 
2) hozzon létre egy kapcsolatot x 3) számolás
xállandó és 
0, találjuk f" (x), amivel jelöljük x, mintha azt hangsúlyozná, hogy a kapott függvény csak az értéktől függ , aminél a határig megyünk.:
Meghatározás
y származéka " =f " (x)
adott függvény y=f(x) adott x-re 
egy függvény növekményének az argumentum növekményéhez viszonyított arányának határának nevezzük, feltéve, hogy az argumentum növekménye nullára hajlik, ha természetesen ez a határ létezik, pl. véges. Így, 
, vagy x Vegye figyelembe, hogy ha valamilyen értékre , például amikor x=a 
, hozzáállás
x at f(x)0 nem hajlik a véges határra, akkor ebben az esetben azt mondják, hogy a függvény , például amikor at , például amikor(vagy a ponton , például amikor.
) nincs deriváltja, vagy nem differenciálható a ponton
2. A származék geometriai jelentése.
f(x)
Tekintsünk egy tetszőleges egyenest, amely egy függvény grafikonjának egy pontján áthalad - A(x 0, f (x 0)) ponton, és a gráfot egy B(x;f(x)) pontban metszi. Az ilyen egyenest (AB) szekánsnak nevezzük. ∆ABC-ből: AC = ∆x;
ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x.
Mivel az AC || Ox, akkor ALO = BAC = β (a párhuzamosnak megfelelően). De ALO az AB szekáns dőlésszöge az Ox tengely pozitív irányához képest. Ez azt jelenti, hogy tanβ = k az AB egyenes szögegyütthatója.
Most csökkentjük a ∆х-t, azaz. ∆х→ 0. Ebben az esetben a B pont a grafikon szerint megközelíti az A pontot, és az AB szekáns forog. Az AB szekáns határhelyzete ∆x→ 0 pontban egy egyenes (a) lesz, amelyet az y = f (x) függvény grafikonjának érintőjének nevezünk az A pontban. 
Ha a tgβ =∆y/∆x egyenlőségben ∆x → 0 határértékre megyünk, azt kapjuk 
ortg =f "(x 0), mivel 
- az Ox tengely pozitív irányának érintőjének dőlésszöge
, a származék definíciója szerint. De tg = k az érintő szögegyütthatója, ami azt jelenti, hogy k = tg = f "(x 0).
Tehát a derivált geometriai jelentése a következő: 0 Egy függvény deriváltja az x pontban 0 .
egyenlő az x abszcissza pontban megrajzolt függvény grafikonjának érintőjének meredekségével
3. A származék fizikai jelentése.
Tekintsük egy pont mozgását egy egyenes mentén. Legyen adott egy pont koordinátája bármikor x(t). Ismeretes (egy fizika tantárgyból), hogy egy adott időszak átlagsebessége megegyezik az ezen időtartam alatt megtett távolság és az idő arányával, azaz.
Vav = ∆x/∆t. Menjünk a határértékre az utolsó egyenlőségben, mint ∆t → 0.
lim Vav (t) = (t 0) - pillanatnyi sebesség t 0 időpontban, ∆t → 0.
és lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (a derivált meghatározása szerint).
Tehát (t) =x"(t).A derivált fizikai jelentése a következő: a függvény deriváltja = y(xfx 0 ) pontbanya függvény változási sebességex 0
(x) pontban
A deriváltot a fizikában használják a sebesség meghatározására a koordináták ismert függvényéből az idő függvényében, a gyorsulást pedig a sebesség és az idő ismert függvényéből.
(t) = x"(t) - sebesség,
a(f) = "(t) - gyorsulás, vagy
Ha ismert egy körben lévő anyagi pont mozgástörvénye, akkor a forgó mozgás során meghatározható a szögsebesség és a szöggyorsulás:
φ = φ(t) - a szög időbeli változása,
ω = φ"(t) - szögsebesség,
ε = φ"(t) - szöggyorsulás, vagy ε = φ"(t).
Ha ismert egy inhomogén rúd tömegeloszlásának törvénye, akkor az inhomogén rúd lineáris sűrűsége megtalálható:
m = m(x) - tömeg,
x , l - a rúd hossza,
A derivált segítségével a rugalmasság és a harmonikus rezgések elméletéből adódó problémákat oldják meg. Tehát Hooke törvénye szerint
F = -kx, x – változó koordináta, k – rugórugalmassági együttható. Ha ω 2 =k/m-t teszünk, megkapjuk a rugóinga x"(t) + ω 2 x(t) = 0 differenciálegyenletét,
ahol ω = √k/√m oszcillációs frekvencia (l/c), k - rugómerevség (H/m).
Az y" + ω 2 y = 0 alakú egyenletet a harmonikus rezgések (mechanikai, elektromos, elektromágneses) egyenletének nevezzük. Az ilyen egyenletek megoldása a függvény.
y = Asin(ωt + φ 0) vagy y = Acos(ωt + φ 0), ahol
A - rezgések amplitúdója, ω - ciklikus frekvencia,
φ 0 - kezdeti fázis.
Meghatározás. Legyen az \(y = f(x)\) függvény definiálva egy bizonyos intervallumban, amely a benne lévő \(x_0\) pontot tartalmazza. Adjunk az argumentumnak egy \(\Delta x \) növekményt úgy, hogy ne hagyja el ezt az intervallumot. Keressük meg a \(\Delta y \) függvény megfelelő növekményét (ha az \(x_0 \) pontból a \(x_0 + \Delta x \) pontba megyünk) és állítsuk össze a \(\frac(\Delta) relációt y)(\Delta x) \). Ha ennek az aránynak van korlátja a \(\Delta x \rightarrow 0\\), akkor a megadott határértéket hívják függvény deriváltja\(y=f(x) \) az \(x_0 \) pontban, és jelölje \(f"(x_0) \).
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
Az y szimbólumot gyakran használják a derivált jelölésére. Vegye figyelembe, hogy az y" = f(x) egy új függvény, de természetesen kapcsolódik az y = f(x) függvényhez, amely minden olyan x pontban van meghatározva, ahol a fenti határérték létezik. Ezt a függvényt így hívják: az y = f(x) függvény deriváltja.
A származék geometriai jelentése a következő. Ha lehetséges az y = f(x) függvény grafikonjának érintője az x=a abszcissza pontban, amely nem párhuzamos az y tengellyel, akkor f(a) az érintő meredekségét fejezi ki. :
\(k = f"(a)\)
Mivel \(k = tg(a) \), akkor a \(f"(a) = tan(a) \) egyenlőség igaz.
Most értelmezzük a derivált definícióját a közelítő egyenlőségek szemszögéből. Legyen az \(y = f(x)\) függvénynek deriváltja egy adott \(x\) pontban:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Ez azt jelenti, hogy az x pont közelében a közelítő egyenlőség \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\), azaz \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ Delta x\). A kapott közelítő egyenlőség értelmes jelentése a következő: a függvény növekménye „majdnem arányos” az argumentum növekményével, az arányossági együttható pedig a derivált értéke egy adott x pontban. Például az \(y = x^2\) függvényre a \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) közelítő egyenlőség érvényes. Ha gondosan elemezzük egy derivált definícióját, azt találjuk, hogy tartalmaz egy algoritmust annak megtalálására.
Fogalmazzuk meg.
Hogyan találjuk meg az y = f(x) függvény deriváltját?
1. Javítsa ki az \(x\) értékét, keresse meg az \(f(x)\)
2. Adja meg az \(x\) argumentumot növekményként \(\Delta x\), lépjen egy új pontra \(x+ \Delta x \), keresse meg a \(f(x+ \Delta x) \)
3. Keresse meg a függvény növekményét: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Hozza létre a \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \) relációt
5. Számítsa ki a $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Ez a határérték a függvény deriváltja az x pontban.
Ha egy y = f(x) függvénynek van deriváltja egy x pontban, akkor azt egy x pontban differenciálhatónak nevezzük. Az y = f(x) függvény deriváltjának megtalálására szolgáló eljárást nevezzük különbségtétel függvények y = f(x).
Vizsgáljuk meg a következő kérdést: hogyan függ össze egy függvény folytonossága és differenciálhatósága egy ponton?
Legyen az y = f(x) függvény az x pontban differenciálható. Ekkor az M(x; f(x) pontban lévő függvény grafikonjára egy érintőt lehet húzni, és visszaidézve, az érintő szögegyütthatója egyenlő f "(x). Egy ilyen gráf nem „törhet" az M pontban, azaz a függvénynek folytonosnak kell lennie az x pontban.
Ezek „gyakorlati” érvek voltak. Adjunk egy szigorúbb érvelést. Ha az y = f(x) függvény az x pontban differenciálható, akkor teljesül a \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x\) egyenlőség. Ha ebben az egyenlőségben \(\Delta x) \) nullára hajlik, akkor \(\Delta y \) nullára, és ez a feltétele a függvény folytonosságának egy pontban.
Így, ha egy függvény egy x pontban differenciálható, akkor abban a pontban folytonos.
A fordított állítás nem igaz. Például: függvény y = |x| mindenhol folytonos, különösen az x = 0 pontban, de a függvény grafikonjának érintője a „csomópontban” (0; 0) nem létezik. Ha egy függvény grafikonjára egy ponton nem lehet érintőt húzni, akkor a derivált abban a pontban nem létezik.
Egy másik példa. Az \(y=\sqrt(x)\) függvény folytonos a teljes számegyenesen, beleértve az x = 0 pontot is. És a függvény grafikonjának érintője bármely pontban létezik, beleértve az x = 0 pontot is. De ezen a ponton az érintő egybeesik az y tengellyel, azaz merőleges az abszcissza tengelyre, egyenlete x = 0. Egy ilyen egyenesnek nincs szögegyütthatója, ami azt jelenti, hogy \(f) "(0)\) nem létezik.
Tehát megismerkedtünk egy függvény új tulajdonságával - a differenciálhatósággal. Hogyan lehet egy függvény grafikonjából arra következtetni, hogy differenciálható?
A válasz valójában fent van. Ha egy függvény grafikonjára egy ponton olyan érintőt lehet rajzolni, amely nem merőleges az abszcissza tengelyre, akkor ezen a ponton a függvény differenciálható. Ha egy függvény grafikonjának érintője egy ponton nem létezik, vagy merőleges az abszcissza tengelyre, akkor ezen a ponton a függvény nem differenciálható.
A megkülönböztetés szabályai
A derivált megtalálásának műveletét ún különbségtétel. Ennek a műveletnek a végrehajtása során gyakran kell dolgozni hányadosokkal, összegekkel, függvények szorzataival, valamint „függvények függvényeivel”, azaz összetett függvényekkel. A derivált definíciója alapján levezethetünk differenciálási szabályokat, amelyek megkönnyítik ezt a munkát. Ha C egy állandó szám és f=f(x), g=g(x) néhány differenciálható függvény, akkor a következők igazak differenciálási szabályok:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
Egyes függvények deriváltjainak táblázata
$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $A cikk tartalma
SZÁRMAZÉK– a függvény deriváltja y = y(x), adott időközönként ( a, b) pontban x Ennek az intervallumnak az a határértéke, amelyre a függvény növekményének aránya hajlik y ezen a ponton az argumentum megfelelő növekményére, amikor az argumentum növekménye nullára hajlik.
A származékot általában a következőképpen jelölik:
Más megnevezéseket is széles körben használnak:
Azonnali sebesség.
Legyen a lényeg M egyenes vonalban mozog. Távolság s mozgópont, valamilyen kiindulási helyzetből számolva M 0 , időtől függ t, azaz s van az idő függvénye t: s= y(t). Engedje meg valamikor t mozgó pont M távol volt s a kiinduló helyzetből M 0, és a következő pillanatban t+D t helyzetbe került M 1 – távolról s+D s a kiinduló helyzetből ( lásd a képet.).
Így egy ideig D t távolság s D összeggel változott s. Ebben az esetben azt mondják, hogy a D időtartam alatt t nagyságrendű s növekményt kapott D s.
Az átlagsebesség nem minden esetben képes pontosan jellemezni egy pont mozgási sebességét M egy adott időpontban t. Ha például a test a D intervallum elején t nagyon gyorsan, és a végén nagyon lassan mozgott, akkor az átlagsebesség nem fogja tudni tükrözni a pont mozgásának jelzett jellemzőit, és képet adni a mozgásának pillanatnyi sebességéről t. A valós sebesség pontosabb kifejezéséhez az átlagsebesség használatával, rövidebb D időtartamot kell venni t. Legteljesebben jellemzi egy pont mozgási sebességét pillanatnyilag t az a határ, amelyre az átlagsebesség D-nél hajlik t® 0. Ezt a határértéket aktuális sebességnek nevezzük:
Így egy adott pillanatban a mozgási sebességet a D útnövekedési arány határának nevezzük s időnövekedés D t, amikor az időnövekedés nullára hajlik. Mert
A származék geometriai jelentése. Egy függvény grafikonjának érintője.
Az érintővonalak felépítése az egyik olyan probléma, amely a differenciálszámítás megszületéséhez vezetett. A differenciálszámítással kapcsolatos első publikált munka címet kapta, amelyet Leibniz írt A maximumok és minimumok, valamint érintők új módszere, amelyeknek sem a tört-, sem az irracionális mennyiségek nem jelentenek akadályt, és erre egy speciális számítási típus..
Legyen a görbe a függvény grafikonja A derivált fizikai jelentése a következő: a függvény deriváltja =f(x) téglalap alakú koordinátarendszerben ( cm. rizs.).
Valamilyen értékben x a funkció számít A derivált fizikai jelentése a következő: a függvény deriváltja =f(x). Ezek az értékek xÉs A derivált fizikai jelentése a következő: a függvény deriváltja a görbe pontja megfelel M 0(x, A derivált fizikai jelentése a következő: a függvény deriváltja). Ha az érvelés x ad növekedés D x, majd az argumentum új értéke x+D x megfelel az új függvényértéknek y+ D A derivált fizikai jelentése a következő: a függvény deriváltja = y(x + D x). A görbe megfelelő pontja lesz a pont M 1(x+D x,y+D A derivált fizikai jelentése a következő: a függvény deriváltja). Ha szekánst rajzol M 0M 1 és j-vel jelöljük az a szög, amelyet egy keresztirány a tengely pozitív irányával alkot Ökör, az ábráról azonnal kiderül, hogy .
Ha most D x nullára hajlik, akkor a lényeg M 1 a görbe mentén mozog, megközelítve a pontot M 0 és szög j változik D-vel x. at Dx® 0 j szög egy bizonyos a határig tart és a ponton áthaladó egyeneshez M 0 és az x tengely pozitív irányú komponense, a szög, lesz a kívánt érintő. Lejtése:
Ezért, y´( x) = tga
azok. származékos érték y´( x) adott argumentumértékhez x egyenlő a függvény grafikonjának érintője által alkotott szög érintőjével y(x) a megfelelő ponton M 0(x,A derivált fizikai jelentése a következő: a függvény deriváltja) pozitív tengelyiránnyal Ökör.
A funkciók differenciálhatósága.
Meghatározás. Ha a funkció A derivált fizikai jelentése a következő: a függvény deriváltja = y(x) deriváltja van a ponton x = x 0, akkor a függvény ezen a ponton differenciálható.
Egy függvény folytonossága, amelynek deriváltja van. Tétel.
Ha a funkció A derivált fizikai jelentése a következő: a függvény deriváltja = y(x) bizonyos pontokon differenciálható x = x 0, akkor ezen a ponton folytonos.
Így a függvénynek nem lehet deriváltja a folytonossági pontokon. Az ellenkező következtetés helytelen, i.e. attól, hogy valamikor x = x 0 funkció A derivált fizikai jelentése a következő: a függvény deriváltja = y(x) folytonos nem jelenti azt, hogy ezen a ponton differenciálható. Például a függvény A derivált fizikai jelentése a következő: a függvény deriváltja = |x| folyamatos mindenkinek x(–Ґ x x = 0-nak nincs deriváltja. Ezen a ponton nincs érintője a gráfnak. Van jobb oldali és bal oldali érintője, de ezek nem esnek egybe.
Néhány tétel a differenciálható függvényekről. Tétel a derivált gyökeiről (Rolle-tétel). Ha a funkció y(x) folyamatos a szakaszon [a,b], ennek a szegmensnek minden belső pontján és a végein differenciálható x = aÉs x = b nullára megy ( y(a) = y(b) = 0), majd a szegmensen belül [ a,b] van legalább egy pont x= Vel, a c b, amelyben a derivált yў( x) nullára megy, azaz. yў( c) = 0.
Véges növekmény tétel (Lagrange-tétel). Ha a funkció y(x) folyamatos a [ a, b] és ennek a szegmensnek minden belső pontjában differenciálható, majd a szegmensen belül [ a, b] van legalább egy pont Vel, a c b azt
y(b) – y(a) = yў( c)(b– a).
Tétel két függvény növekményének arányáról (Cauchy-tétel). Ha y(x) És g(x) – két folyamatos függvény a szegmensen [a, b] és ennek a szegmensnek minden belső pontján differenciálható, és gў( x) nem tűnik el sehol ezen a szegmensen belül, majd a szegmensen belül [ a, b] van egy ilyen pont x = Vel, a c b azt
Különféle rendelések származékai.
Hagyja a függvényt A derivált fizikai jelentése a következő: a függvény deriváltja =f(x) bizonyos intervallumon differenciálható [ a, b]. Származékos értékek y ў( x), általában attól függ x, azaz származéka y ў( x) is függvénye x. Ennek a függvénynek a differenciálásakor megkapjuk a függvény úgynevezett második deriváltját y(x), amelyet jelölünk y ўў ( x).
Származék n- funkciói sorrend y(x) a derivált (elsőrendű) származékának nevezzük n- 1- és a szimbólum jelöli A derivált fizikai jelentése a következő: a függvény deriváltja(n) = (A derivált fizikai jelentése a következő: a függvény deriváltja(n– 1))ў.
Különböző sorrendű különbségek.
Funkció differenciál A derivált fizikai jelentése a következő: a függvény deriváltja = y(x), Hol x– független változó, igen dy = y ў( x)dx, valamilyen funkciót x, hanem attól x csak az első tényezőtől függhet y ў( x), a második tényező ( dx) a független változó növekménye xés nem függ ennek a változónak az értékétől. Mert dy van egy függvény x, akkor meghatározhatjuk ennek a függvénynek a differenciálját. Egy függvény differenciáljának differenciálját e függvény másoddifferenciáljának vagy másodrendű differenciáljának nevezzük, és jelöljük d 2A derivált fizikai jelentése a következő: a függvény deriváltja:
d(dx) = d 2A derivált fizikai jelentése a következő: a függvény deriváltja = y ўў( x)(dx) 2 .
Differenciális n- az elsőrendűt a differenciál első differenciáljának nevezzük n- 1- sorrend:
d n y = d(d n–1y) = y(n)(x)dx(n).
Részleges derivált.
Ha egy függvény nem egy, hanem több argumentumtól függ x i(én 1-től változik n,én= 1, 2,… n),f(x 1,x 2,… x n), akkor a differenciálszámításban bevezetik a parciális derivált fogalmát, amely több változó függvényének változási sebességét jellemzi, amikor csak egy argumentum változik pl. x i. tekintetében elsőrendű részleges származékos x i közönséges deriváltként van definiálva, és feltételezzük, hogy minden argumentum, kivéve x i, tartsa állandó értékeket. A részleges deriváltoknál a jelölés kerül bevezetésre
Az így definiált I. rendű parciális deriváltoknak (azonos argumentumok függvényeiként) viszont lehetnek parciális deriváltak is, ezek másodrendű parciális deriváltok stb. Az ilyen, különböző argumentumokból vett származékokat vegyesnek nevezzük. Az azonos rendű folytonos kevert származékok nem függnek a differenciálási sorrendtől és egyenlőek egymással.
Anna Chugainova
(\large\bf Függvény származéka)
Fontolja meg a funkciót y=f(x), megadva az intervallumon (a, b). Hadd x- az intervallum bármely fix pontja (a, b), A Δx- egy tetszőleges szám úgy, hogy az érték x+Δx intervallumhoz is tartozik (a, b). Ezt a számot Δx argumentumnövekménynek nevezzük.
, aminél a határig megyünk.. Funkciónövekedés y=f(x) pontban x, amely megfelel az argumentumnövekménynek Δx, hívjuk a számot
Δy = f(x+Δx) - f(x).
Mi ezt hisszük Δx ≠ 0. Tekintsük egy adott fix ponton x az ezen a ponton lévő függvénynövekmény és a megfelelő argumentumnövekmény aránya Δx
Ezt a relációt differenciarelációnak nevezzük. Mivel az érték x rögzítettnek tekintjük, a különbségi arány az argumentum függvénye Δx. Ez a függvény minden argumentumértékhez definiálva van Δx, amely a pont valamely kellően kicsi szomszédságához tartozik Δx=0, kivéve magát a pontot Δx=0. Így jogunk van mérlegelni a megadott függvény határértékének meglétét at Δx → 0.
, aminél a határig megyünk.. Függvény származéka y=f(x) egy adott fix ponton x a határértéket at Δx → 0 különbségi arány, vagyis
Feltéve, hogy ez a határ létezik.
Kijelölés. y'(x) vagy f′(x).
A származék geometriai jelentése: Függvény származéka f(x) ezen a ponton x egyenlő a tengely közötti szög érintőjével Ökörés a függvény grafikonjának érintője a megfelelő pontban:
f′(x 0) = \tgα.
A származék mechanikai jelentése: Az út időbeli deriváltja egyenlő a pont egyenes vonalú mozgásának sebességével:
Egy egyenes érintőjének egyenlete y=f(x) pontban M 0 (x 0 ,y 0) felveszi a formát
y-y 0 = f′(x 0) (x-x 0).
A görbe normálisa egy ponton az ugyanabban a pontban lévő érintőre merőleges. Ha f′(x 0)≠ 0, akkor a normál egyenlete az egyeneshez y=f(x) pontban M 0 (x 0 ,y 0)így van írva:
Egy függvény differenciálhatóságának fogalma
Hagyja a függvényt y=f(x) meghatározott intervallumon belül (a, b), x- néhány rögzített argumentumérték ebből az intervallumból, Δx- az argumentum tetszőleges növekménye úgy, hogy az érv értéke legyen x+Δx ∈ (a, b).
, aminél a határig megyünk.. Funkció y=f(x) egy adott pontban differenciálhatónak nevezzük x, ha növekmény Δy ezt a funkciót a ponton x, amely megfelel az argumentumnövekménynek Δx, alakban ábrázolható
Δy = A Δx + αΔx,
Ahol A- néhány számtól független Δx, A α - argumentumfüggvény Δx, ami végtelenül kicsi a Δx → 0.
Mivel két infinitezimális függvény szorzata αΔx magasabb rendű végtelen kicsi, mint Δx(3 infinitezimális függvény tulajdonsága), akkor felírhatjuk:
Δy = A Δx +o(Δx).
Tétel. A funkció érdekében y=f(x) differenciálható volt egy adott ponton x, szükséges és elégséges, hogy ezen a ponton véges deriváltja legyen. Egy időben A=f′(x), vagyis
Δy = f′(x) Δx +o(Δx).
A derivált megtalálásának műveletét általában differenciálásnak nevezik.
Tétel. Ha a funkció y=f(x) x, akkor ezen a ponton folyamatos.
Megjegyzés. A funkció folytonosságától y=f(x) ezen a ponton x, általánosságban elmondható, hogy a függvény differenciálhatósága nem következik f(x) ezen a ponton. Például a függvény y=|x|- folyamatos egy ponton x=0, de nincs származéka.
A differenciálfüggvény fogalma
, aminél a határig megyünk.. Funkció differenciál y=f(x) ennek a függvénynek a deriváltjának és a független változó növekményének szorzatát nevezzük x:
dy = y′ Δx, df(x) = f′(x) Δx.
A funkció miatt y=x kapunk dy=dx=x′Δx = 1· Δx= Δx, vagyis dx=Δx- egy független változó differenciája egyenlő ennek a változónak a növekményével.
Így tudunk írni
dy = y′ dx, df(x) = f′(x) dx
Differenciális dyés növekmény Δy funkciókat y=f(x) ezen a ponton x, mindkettő ugyanannak az argumentumnövekménynek felel meg ΔxÁltalánosságban elmondható, hogy nem egyenlőek egymással.
A differenciál geometriai jelentése: Egy függvény differenciája egyenlő a függvény grafikonjának érintőjének ordinátájának növekedésével, amikor az argumentum növekszik Δx.
A megkülönböztetés szabályai
Tétel. Ha az egyes funkciók u(x)És v(x) egy adott ponton differenciálható x, akkor ezeknek a függvényeknek az összege, különbsége, szorzata és hányadosa (hányados feltéve, hogy v(x)≠ 0) ezen a ponton is differenciálhatók, és a képletek érvényesek:
Tekintsük az összetett függvényt y=f(φ(x))≡ F(x), Hol y=f(u), u=φ(x). Ebben az esetben u hívott köztes érv, x - független változó.
Tétel. Ha y=f(u)És u=φ(x) argumentumaik differenciálható függvényei, majd egy komplex függvény deriváltja y=f(φ(x)) létezik, és egyenlő ennek a függvénynek a szorzatával a köztes argumentum és a köztes argumentum deriváltjával a független változó tekintetében, azaz.
Megjegyzés. Olyan összetett függvényre, amely három függvény szuperpozíciója y=F(f(φ(x))), a differenciálási szabály alakja
y′ x = y′ u u′ v v′ x,
hol vannak a funkciók v=φ(x), u=f(v)És y=F(u)- érveik differenciálható függvényei.
Tétel. Hagyja a függvényt y=f(x) növekszik (vagy csökken), és a pont valamely környezetében folyamatos x 0. Ezenkívül legyen ez a függvény differenciálható a jelzett pontban x 0és származéka ezen a ponton f′(x 0) ≠ 0. Majd a megfelelő pont valamelyik szomszédságában y 0 =f(x 0) az inverze van definiálva y=f(x) funkció x=f -1 (y), és a jelzett inverz függvény a megfelelő pontban differenciálható y 0 =f(x 0)és származékára ezen a ponton A derivált fizikai jelentése a következő: a függvény deriváltja a képlet érvényes
Származékos táblázat
Az első differenciál alakjának változatlansága
Tekintsük egy komplex függvény differenciálját. Ha y=f(x), x=φ(t)- argumentumaik függvényei differenciálhatók, majd a függvény deriváltja y=f(φ(t)) képlettel fejezzük ki
y′t = y′xx′t.
Definíció szerint dy=y′ t dt, akkor megkapjuk
dy = y′ t dt = y′ x · x′ t dt = y′ x (x′ t dt) = y′ x dx,
dy = y′ x dx.
Tehát bebizonyítottuk
Egy függvény első differenciáljának alakjának invarianciájának tulajdonsága: mint abban az esetben, amikor az érv x egy független változó, és abban az esetben, ha az argumentum x maga az új változó, a differenciál differenciálható függvénye dy funkciókat y=f(x) egyenlő ennek a függvénynek a deriváltjával, szorozva az argumentum differenciáljával dx.
Differenciál alkalmazása közelítő számításokban
Megmutattuk, hogy a differenciál dy funkciókat y=f(x)Általánosságban elmondható, hogy nem egyenlő a növekedéssel Δy ezt a funkciót. Azonban egészen egy infinitezimális függvényig egy magasabb rendű kicsinységig, mint Δx, a közelítő egyenlőség érvényes
Δy ≈ dy.
Az arányt ezen egyenlőség egyenlőségének relatív hibájának nevezzük. Mert Δy-dy=o(Δx), akkor ennek az egyenlőségnek a relatív hibája csökkenéssel a kívánt kicsivé válik |Δх|.
Ezt figyelembe véve Δy=f(x+δ x)-f(x), dy=f′(x)Δx, megkapjuk f(x+δ x)-f(x) ≈ f′(x)Δx vagy
f(x+δ x) ≈ f(x) + f′(x)Δx.
Ez a közelítő egyenlőség hibával megengedi o(Δx) csere funkciót f(x) pont egy kis szomszédságában x(azaz kis értékekhez Δx) az argumentum lineáris függvénye Δx, a jobb oldalon állva.
Magasabb rendű származékok
, aminél a határig megyünk.. Egy függvény másodrendű deriváltja (vagy másodrendű deriváltja). y=f(x) első származékának származékának nevezzük.
Egy függvény második deriváltjának jelölése y=f(x):
A második származék mechanikai jelentése. Ha a funkció y=f(x) leírja egy anyagi pont egyenes vonalbeli mozgásának törvényét, majd a második deriváltot f″(x) egyenlő egy mozgó pont gyorsulásával az időpillanatban x.
A harmadik és a negyedik származékot hasonló módon határozzuk meg.
, aminél a határig megyünk.. n származéka (vagy származéka n-edik rend) függvények y=f(x) származékának nevezzük n-1 származéka:
y (n) =(y (n-1))′, f (n) (x)=(f (n-1) (x))′.
Megnevezések: y″′, y IV, y V stb.
Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete