A trigonometrikus függvények értéktáblázata

Jegyzet. Ez a trigonometrikus függvényértékek táblázata a √ jelet használja a négyzetgyök megjelenítésére. Törtszám jelzéséhez használja a "/" szimbólumot.

Lásd még hasznos anyagok:

Mert trigonometrikus függvény értékének meghatározása, keresse meg a trigonometrikus függvényt jelző egyenes metszéspontjában. Például szinusz 30 fok - megkeressük a sin (szinusz) fejlécű oszlopot, és megtaláljuk ennek a táblázatoszlopnak a metszéspontját a „30 fokos” sorral, a metszéspontjuknál olvassuk le az eredményt - az egyik felét. Hasonlóan találjuk koszinusz 60 fokok, szinusz 60 fokok (még egyszer a sin oszlop és a 60 fokos egyenes metszéspontjában a sin 60 = √3/2 értéket találjuk) stb. A szinuszok, koszinuszok és más „népszerű” szögek érintőinek értékei ugyanúgy megtalálhatók.

Szinusz pi, koszinusz pi, tangens pi és egyéb szögek radiánban

Az alábbi koszinuszokat, szinuszokat és érintőket tartalmazó táblázat alkalmas olyan trigonometrikus függvények értékének meghatározására is, amelyek argumentuma radiánban megadva. Ehhez használja a szögértékek második oszlopát. Ennek köszönhetően átválthatja a népszerű szögek értékét fokról radiánra. Például keressük meg az első sorban a 60 fokos szöget, és olvassuk le alatta az értékét radiánban. 60 fok egyenlő π/3 radiánnal.

A pi szám egyértelműen kifejezi a kerület függését a szög mértékétől. Így a pi radián 180 fokkal egyenlő.

Bármely pi-ben (radiánban) kifejezett szám könnyen átváltható fokokká, ha a pi (π)-t 180-ra cseréljük..

Példák:
1. Sine pi.
sin π = sin 180 = 0
így a pi szinusza megegyezik 180 fok szinuszával, és egyenlő nullával.

2. Koszinusz pi.
cos π = cos 180 = -1
így a pi koszinusza megegyezik 180 fokos koszinuszával, és egyenlő mínusz eggyel.

3. Érintő pi
tg π = tg 180 = 0
így a pi érintő megegyezik a 180 fokos érintővel, és egyenlő nullával.

Szinusz, koszinusz, érintő értékek táblázata 0 - 360 fokos szögekhez (közös értékek)

szög α értéke (fok)	szög α értéke radiánban (a pi-n keresztül)	bűn (sinus)	kötözősaláta (koszinusz)	tg (tangens)	ctg (kotangens)	mp (metsző)	cosec (koszekáns)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

Ha a trigonometrikus függvények értéktáblázatában a függvény értéke helyett kötőjel van feltüntetve (tangens (tg) 90 fok, kotangens (ctg) 180 fok), akkor a szög fokmértékének adott értékéhez a függvény nincs konkrét értéke. Ha nincs kötőjel, akkor a cella üres, ami azt jelenti, hogy még nem adtuk meg a szükséges értéket. Érdekelnek bennünket, hogy a felhasználók milyen lekérdezésekre keresnek fel minket, és új értékekkel egészítik ki a táblázatot, annak ellenére, hogy a legáltalánosabb szögértékek koszinuszainak, szinuszainak és érintőinek aktuális adatai elégségesek a legtöbb megoldáshoz. problémákat.

A sin, cos, tg trigonometrikus függvények értéktáblázata a legnépszerűbb szögekhez
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 fok
(numerikus értékek „a Bradis táblázatok szerint”)

α szög értéke (fok)	szög α értéke radiánban	bűn (szinusz)	cos (koszinusz)	tg (érintő)	ctg (kotangens)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18

A szög mértéke. Radián szögmérték. Fokok átváltása radiánba és fordítva.

Figyelem!
Vannak további
anyagok az 555. külön szakaszban.
Azoknak, akik nagyon "nem nagyon..."
És azoknak, akik „nagyon…”)

Az előző leckében megtanultuk, hogyan kell szögeket mérni egy trigonometrikus körön. Megtanulta számolni a pozitív és negatív szögeket. Megtanultuk, hogyan rajzoljunk 360 foknál nagyobb szöget. Ideje kitalálni, hogyan kell mérni a szögeket. Főleg a „Pi” számmal, ami trükkös feladatokban igyekszik megzavarni minket, igen...

A "Pi" számmal rendelkező trigonometriai szabványos feladatok jól megoldottak. A vizuális memória segít. De a sablontól való bármilyen eltérés katasztrófa! Hogy ne essen le - megérteni szükséges. Amit most meg fogunk tenni sikerrel. Úgy értem, mindent meg fogunk érteni!

Így, Mi számítanak a szögek? Az iskolai trigonometria tanfolyamon két mértéket használnak: fokos szögmértékÉs radiánszögmérés. Nézzük ezeket az intézkedéseket. E nélkül nincs sehol a trigonometria.

A szög mértéke.

Valahogy hozzászoktunk a fokokhoz. Legalább átmentünk a geometrián... És az életben gyakran találkozunk a „180 fokkal elfordult” kifejezéssel. A diploma röviden, egyszerű dolog...

Igen? Akkor válaszolj mi az a diploma? Mi van, nem megy azonnal? Ennyi...

A fokozatokat az ókori Babilonban találták fel. Nagyon régen volt... 40 évszázaddal ezelőtt... És előálltak egy egyszerű ötlettel. Fogták és 360 egyenlő részre osztották a kört. 1 fok a kör 1/360-a. Ez minden. 100 darabra bonthatták volna. Vagy 1000. De felosztották 360-ra. Egyébként miért pont 360-ra? Mennyivel jobb a 360, mint a 100? A 100 valahogy simábbnak tűnik... Próbálj meg válaszolni erre a kérdésre. Vagy gyenge az ókori Babilonnal szemben?

Valahol ugyanabban az időben, az ókori Egyiptomban egy másik kérdés gyötörte őket. Hányszor nagyobb egy kör hossza, mint az átmérője? És mértek így, meg úgy... Mindenből valamivel több lett, mint három. De valahogy bozontos, egyenetlen lett... De nem ők, az egyiptomiak a hibásak. Utánuk még 35 évszázadig szenvedtek. Míg végül bebizonyították, hogy akármilyen finomra is vágsz egy kört egyenlő darabokra, ezekből lehet csinálni sima az átmérő hossza lehetetlen... Elvileg lehetetlen. Nos, persze, hogy hányszor nagyobb a kerület az átmérőnél. Hozzávetőlegesen. 3,1415926... alkalommal.

Ez a "Pi" szám. Olyan bozontos, olyan bozontos. A tizedesvessző után végtelen számú szám van sorrend nélkül... Az ilyen számokat irracionálisnak nevezzük. Ez egyébként azt jelenti, hogy egy kör egyenlő darabjaiból az átmérőt sima ne hajtogasd. Soha.

A gyakorlati használat érdekében a tizedesvessző után csak két számjegyet szokás megjegyezni. Ne feledje:

Mivel megértjük, hogy a kör kerülete „Pi”-szeresével nagyobb, mint az átmérője, érdemes megjegyezni a kör kerületének képletét:

Ahol L- kerülete, és d- átmérője.

Hasznos a geometriában.

Az általános műveltséghez hozzáteszem, hogy a „Pi” szám nem csak a geometriában található... A matematika különböző ágaiban, és főleg a valószínűségszámításban ez a szám folyamatosan megjelenik! Önmagában. A vágyainkon túl. mint ez.

De térjünk vissza a fokokhoz. Rájöttél, hogy az ókori Babilonban miért osztották fel a kört 360 egyenlő részre? És például nem 100-zal? Nem? RENDBEN. Adok egy verziót. Nem lehet kérdezni az ókori babiloniaktól... Építkezéshez, vagy mondjuk csillagászathoz célszerű a kört egyenlő részekre osztani. Most nézze meg, milyen számokkal osztható teljesen 100, és melyik - 360? És ezeknek az osztóknak milyen változatában teljesen- több? Ez a felosztás nagyon kényelmes az emberek számára. De...

Mint az ókori Babilonnál sokkal később kiderült, nem mindenki szereti a diplomát. A felsőbb matematika nem szereti őket... A felsőbb matematika komoly hölgy, a természet törvényei szerint szerveződik. És ez a hölgy kijelenti: „Ma 360 részre bontottad a kört, holnap 100-ra, holnapután 245-re... És mit tegyek, tényleg...” Hallgatnom kellett? A természetet nem lehet becsapni...

Olyan szögmértéket kellett bevezetni, amely nem függ az emberi találmányoktól. Találkozás - radián!

Radián szögmérték.

Mi az a radián? A radián meghatározása továbbra is körön alapul. Az 1 radián szög az a szög, amely ívet vág egy körből, amelynek hossza ( L) egyenlő a sugár hosszával ( R). Nézzük a képeket.

Ilyen kis szög, szinte nincs is... Vigyük a kurzort a kép fölé (vagy érintsük meg a képet a táblagépen) és látunk kb. radián. L = R

Érzi a különbséget?

Egy radián sokkal több, mint egy fok. Hányszor?

Nézzük a következő képet. Amire félkört rajzoltam. A kihajtott szög természetesen 180°.

Most ezt a félkört radiánokra vágom! Vigyük a kurzort a kép fölé, és látjuk, hogy a 180° 3 és fél radiánnak felel meg.

Ki tudja kitalálni, hogy mivel egyenlő ez a farok!?

Igen! Ez a farok 0,1415926... Helló, "Pi" szám, még nem felejtettünk el!

Valóban, a 180° fok 3,1415926... radiánt tartalmaz. Amint maga is érti, a 3.1415926 írása állandóan... kényelmetlen. Ezért e végtelen szám helyett mindig egyszerűen ezt írják:

De az interneten a szám

Kényelmetlen írni... Ezért írom a nevét a szövegbe - „Pi”. Ne keveredj össze, oké?

Most teljesen értelmesen felírhatunk egy közelítő egyenlőséget:

Vagy pontos egyenlőség:

Határozzuk meg, hány fok van egy radiánban. Hogyan? Könnyen! Ha 3,14 radiánban 180° fok van, akkor 1 radiánban 3,14-szer kevesebb! Azaz elosztjuk az első egyenletet (a képlet is egyenlet!) 3,14-gyel:

Ezt az arányt hasznos megjegyezni egy radián körülbelül 60°. A trigonometriában gyakran meg kell becsülni és felmérni a helyzetet. Itt ez a tudás sokat segít.

De ennek a témának a fő készsége az fokok átváltása radiánba és fordítva.

Ha a szöget radiánban adjuk meg "Pi" számmal, akkor minden nagyon egyszerű. Tudjuk, hogy "Pi" radián = 180°. Tehát radiánokkal helyettesítjük a „Pi” - 180°-ot. A szöget fokban kapjuk. Csökkentjük a csökkentett mennyiséget, és kész a válasz. Például meg kell találnunk, hogy hány fokon szögben "Pi"/2 radián? Tehát ezt írjuk:

Vagy egy egzotikusabb kifejezés:

Könnyű, igaz?

A fordított fordítás egy kicsit bonyolultabb. De nem sokat. Ha a szöget fokban adjuk meg, ki kell találnunk, hogy egy fok hányados radiánban, és ezt a számot meg kell szorozni a fokok számával. Mit jelent 1° radiánban?

Megnézzük a képletet, és rájövünk, hogy ha 180° = „Pi” radián, akkor 1° 180-szor kisebb. Más szóval, elosztjuk az egyenletet (egy képlet is egyenlet!) 180-zal. Nem kell a „Pi”-t 3,14-ként ábrázolni, úgyis mindig betűvel írjuk. Azt találjuk, hogy egy fokozat egyenlő:

Ennyi. A fokok számát megszorozzuk ezzel az értékkel, és megkapjuk a szöget radiánban. Például:

Vagy hasonlóan:

Amint láthatja, egy lírai kitérőkkel teli, nyugodt beszélgetés során kiderült, hogy a radiánok nagyon egyszerűek. A fordítás pedig nem probléma... A „Pi” pedig egy teljesen tűrhető dolog... Akkor honnan a zavar!?

felfedem a titkot. A helyzet az, hogy a trigonometrikus függvényekben a fokok szimbólumát írják. Mindig. Például sin35°. Ez a szinusz 35 fokon . És a radián ikon ( boldog) - nincs írva! Utalva van. Vagy a matematikusokat eluralta a lustaság, vagy valami más... De úgy döntöttek, nem írnak. Ha a szinusz-kotangensben nincsenek szimbólumok, akkor a szög az radiánban ! Például a cos3 a három koszinusza radiánok .

Ez zűrzavarhoz vezet... Az ember látja a „Pi”-t, és azt hiszi, hogy az 180°. Mindig és mindenhol. Ez egyébként működik. A példák egyelőre szabványosak. De a "Pi" egy szám! A szám 3,14, de nem fok! Ez a "Pi" radián = 180°!

Még egyszer: „Pi” egy szám! 3.14. Irracionális, de számszerű. Ugyanaz, mint az 5 vagy a 8. Megteheti például a „Pi” lépéseket. Három lépés és még egy kicsit. Vagy vásároljon "Pi" kilogramm édességet. Ha egy képzett eladó találkozik...

"Pi" egy szám! Mi van, bosszantalak ezzel a mondattal? Már mindent megértettél régen? RENDBEN. Ellenőrizzük. Mondd, melyik szám nagyobb?

Vagy mi a kevesebb?

Ez egyike azoknak a kissé nem szokványos kérdéseknek, amelyek kábulatba sodorhatnak...

Ha Ön is elkábult, emlékezzen a varázslatra: „Pi” egy szám! 3.14. A legelső szinuszban egyértelműen szerepel, hogy a szög fokokban! Ezért lehetetlen a „Pi”-t 180°-kal helyettesíteni! A "Pi" fok körülbelül 3,14°. Ezért írhatjuk:

A második szinuszban nincsenek jelölések. Szóval, ott... radiánok! Ez az a hely, ahol a „Pi” 180°-kal való helyettesítése tökéletesen működik. A radiánokat fokokra konvertálva, ahogy fent írtuk, a következőt kapjuk:

Marad a két szinusz összehasonlítása. Mi. elfelejtette hogyan? Természetesen trigonometrikus kört használva! Rajzolj egy kört, rajzolj hozzávetőlegesen 60°-os és 1,05°-os szögeket. Nézzük meg, milyen szinuszokkal rendelkeznek ezek a szögek. Röviden, minden úgy van leírva, mint a trigonometrikus körről szóló téma végén. Egy körön (még a görbén is!) jól látható lesz, hogy sin60° lényegesen több mint sin1,05°.

Pontosan ugyanezt tesszük a koszinuszokkal. Rajzolj a körre körülbelül 4-es szögeket fokonés 4 radián(Elfelejtette, hogy 1 radián megközelítőleg mivel egyenlő?). A kör mindent elmond! Természetesen a cos4 kisebb, mint a cos4°.

Gyakoroljuk a szögmértékek használatát.

Konvertálja át ezeket a szögeket fokokról radiánra:

360°; 30°; 90°; 270°; 45°; 0°; 180°; 60°

Ezeket az értékeket radiánban kell megadni (más sorrendben!)

0

A válaszokat egyébként külön kiemeltem két sorban. Nos, derítsük ki, mik a sarkok az első sorban? Legalább fokban, legalább radiánban?

Igen! Ezek a koordinátarendszer tengelyei! Ha a trigonometrikus kört nézzük, akkor ezekkel az értékekkel a szög mozgó oldalát pontosan illeszkedik a tengelyekre. Ezeket az értékeket ismerni kell. És jó okkal vettem észre a 0 fokos (0 radián) szöget. Aztán vannak, akik egyszerűen nem találják ezt a szöget egy körön... És ennek megfelelően összezavarodnak a nulla trigonometrikus függvényeiben... A másik dolog, hogy a mozgó oldal nulla fokos helyzete egybeesik a pozícióval. 360°-ban, tehát teljesen egybeesések vannak a közeli körön.

A második sorban speciális szögek is vannak... Ezek 30°, 45° és 60°. És mi olyan különleges bennük? Semmi különös. Az egyetlen különbség ezen szögek és az összes többi között az, hogy tudnia kell ezekről a szögekről Minden. És hol találhatók, és milyen trigonometrikus funkcióik vannak ezeknek a szögeknek. Mondjuk az értéket sin100° nem kell tudnod. A sin45°- Kérlek légy olyan kedves! Ez egy kötelező tudás, ami nélkül nincs mit tenni a trigonometriában... De erről majd a következő leckében.

Addig is folytassuk az edzést. Alakítsa át ezeket a szögeket radiánról fokra:

Ilyen eredményeket kell kapnia (rendetlenségben):

210°; 150°; 135°; 120°; 330°; 315°; 300°; 240°; 225°.

Sikerült? Akkor ezt feltételezhetjük fokok átváltása radiánra és vissza- már nem a te problémád.) De a szögek fordítása az első lépés a trigonometria megértéséhez. Ott is szinuszokkal és koszinuszokkal kell dolgozni. És érintőkkel és kotangensekkel is...

A második erőteljes lépés az a trigonometrikus kör bármely szögének meghatározásának képessége. Mind fokban, mind radiánban. A trigonometria során unalmas tippeket fogok adni erről a készségről, igen...) Ha mindent tudsz (vagy azt hiszed, hogy mindent tudsz) a trigonometrikus körről és a trigonometrikus kör szögeinek méréséről, akkor megnézheted. Oldja meg ezeket az egyszerű feladatokat:

1. Melyik negyedbe esnek a szögek:

45°, 175°, 355°, 91°, 355°?

Könnyen? Folytassuk:

2. Melyik negyedbe esnek a sarkok:

402°, 535°, 3000°, -45°, -325°, -3000°?

Nincs is gond? Na, nézd...)

3. A sarkokat negyedekbe is helyezheti:

tudnál? Hát adsz..)

4. Mely tengelyekre esik a sarok:

és sarok:

Az is könnyű? Hm...)

5. Melyik negyedbe esnek a sarkok:

És működött!? Hát akkor tényleg nem tudom...)

6. Határozza meg, melyik negyedbe esnek a sarkok:

1, 2, 3 és 20 radián.

Csak az utolsó feladat utolsó kérdésére (ez egy kicsit trükkös) adok választ. Az első negyedévben 20 radiános szög esik be.

A többi választ nem adom meg, nem kapzsiságból.) Egyszerűen, ha te nem döntöttek valami kételkedsz benne ennek eredményeként, illetve a 4. számú feladatra költött több mint 10 másodperc, rosszul tájékozódsz a körben. Ez lesz a te problémád az egész trigonometriában. Jobb, ha azonnal megszabadulsz tőle (a probléma, nem a trigonometria!). Ezt a következő témakörben lehet megtenni: Gyakorlati munka a trigonometrikus körrel az 555. szakaszban.

Megmondja, hogyan kell egyszerűen és helyesen megoldani az ilyen feladatokat. Nos, ezeket a feladatokat természetesen megoldották. A negyedik feladatot pedig 10 másodperc alatt sikerült megoldani. Igen, eldőlt, hogy bárki megteheti!

Ha teljesen biztos a válaszaiban, és nem érdeklik a radiánokkal való munka egyszerű és problémamentes módjai, akkor nem kell felkeresnie az 555-öt. Nem ragaszkodom hozzá.)

A jó megértés elég jó ok a továbblépésre!)

Ha tetszik ez az oldal...

Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)

Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanuljunk – érdeklődéssel!)

Megismerkedhet a függvényekkel, deriváltokkal.

Ebben a cikkben megállapítjuk a szögek alapvető mértékegységei - fok és radián - közötti kapcsolatot. Ez a kapcsolat végül lehetővé teszi számunkra, hogy elvégezzük fokok átváltása radiánra és vissza. Hogy ezek a folyamatok ne okozzanak nehézséget, megkapjuk a fokok radiánokká konvertálásának képletét, valamint a radiánokból fokokká konvertáló képletet, amely után részletesen elemezzük a példák megoldásait.

Oldalnavigáció.

A fokok és a radiánok kapcsolata

A fokok és a radiánok közötti kapcsolat akkor jön létre, ha egy szög fokszáma és radián mértéke is ismert (a szög fokszáma és radián mértéke a szakaszban található).

Vegyük a középponti szöget egy r sugarú kör átmérője alapján. Kiszámolhatjuk ennek a szögnek a mértékét radiánban: ehhez el kell osztanunk az ív hosszát a kör sugarának hosszával. Ez a szög egy felével egyenlő ívhossznak felel meg kerülete, vagyis . Ezt a hosszúságot elosztva az r sugár hosszával, megkapjuk a bevett szög radián mértékét. Tehát a szögünk rad. Másrészt ez a szög kibővül, 180 fokkal egyenlő. Ezért a pi radián 180 fok.

Tehát a képlet fejezi ki π radián = 180 fok, vagyis .

Képletek a fokok radiánokká és a radiánok fokokká konvertálásához

A forma egyenlőségéből, amelyet az előző bekezdésben kaptunk, könnyen következtethetünk képletek radiánok fokokká és fokok radiánokká konvertálására.

Az egyenlőség mindkét oldalát elosztva pi-vel, egy radiánt fokokban kifejező képletet kapunk: . Ez a képlet azt jelenti, hogy egy radián szögének mértéke 180/π. Ha felcseréljük az egyenlőség bal és jobb oldalát, majd mindkét oldalt elosztjuk 180-zal, akkor egy képletet kapunk . Egy fokot fejez ki radiánban.

Kíváncsiságunk kielégítésére számítsuk ki az egy radián szög közelítő értékét fokban és az egy fokos szög értékét radiánban. Ehhez vegye a pi értékét tízezred pontossággal, és helyettesítse be a képletekkel És , és végezze el a számításokat. megvan És . Tehát egy radián megközelítőleg egyenlő 57 fokkal, egy fok pedig 0,0175 radiánnal.

Végül a kapott kapcsolatokból És Térjünk át a radiánok fokokká és fordítva konvertálására szolgáló képletekre, és vegyünk példákat e képletek alkalmazására.

Képlet a radiánok fokokká konvertálásához a következő formában van: . Ha tehát ismert a szög radiánban kifejezett értéke, akkor 180-zal megszorozva és pi-vel osztva megkapjuk ennek a szögnek az értékét fokban.

Példa.

Adott egy 3,2 radián szög. Mi ennek a szögnek a mértéke fokban?

Megoldás.

Használjuk a radiánok fokokká konvertálására szolgáló képletet

Válasz:

.

Képlet a fokok radiánra konvertálásáraúgy néz ki . Vagyis ha ismert a szög fokban kifejezett értéke, akkor pi-vel megszorozva és 180-zal osztva megkapjuk ennek a szögnek az értékét radiánban. Nézzük a példamegoldást.

A szögek mérésének igénye azóta jelent meg az emberekben, hogy a civilizáció elérte a minimális technikai szintet. Mindenki ismeri az egyiptomi piramisok építői által biztosított dőlés és tájolás fenomenális pontosságát a sarkalatos pontokhoz. A szögek modern fokmérőjét ma úgy tartják, hogy az ókori akkádok találták fel.

Mik azok a diplomák?

A fok a szögek általánosan elfogadott mértékegysége. Egy teljes körben 360 fokban. Ennek a számnak az oka ismeretlen. Az akkádok valószínűleg egy egyenlő oldalú háromszög szögét használva szektorokra osztották a kört, majd a kapott szakaszokat számrendszerük szerint ismét 60 részre osztották. Egy fok is fel van osztva 60 percre, a perc pedig 60 másodpercre. Az általánosan elfogadott megnevezések a következők:

° - szögfok

' - perc,

'' - másodperc.

Az évezredek során a szögek mértéke az emberi tevékenység számos területén szilárdan megszilárdult. Továbbra is nélkülözhetetlen a tudomány és a technológia minden területén – a térképészettől a mesterséges földi műholdak pályájának kiszámításáig.

Mik azok a radiánok?

Archimedes nevéhez fűződik a kör kerületének és átmérőjének állandó arányának felfedezése. Pi számnak hívjuk. Irracionális, vagyis nem lehet közös vagy periodikus törtként kifejezni. A π szám leggyakrabban használt értéke 3,14, két tizedesjegy pontossággal. Az R sugarú L kör hossza könnyen kiszámítható a következő képlettel: L=2πR.

Az R=1 sugarú kör hossza 2π. Ezt az összefüggést a geometriában a radián szögmérték megfogalmazásaként használják.

Definíció szerint a radián egy olyan szög, amelynek csúcsa a kör középpontjában van, és amelyet a kör sugarával megegyező hosszúságú ív zár be. A radián nemzetközi megjelölése rad, a hazai jelölése rad. Nincs dimenziója.

Az R sugarú és α radián szögértékű körív hossza α * R.

Miért volt szükség a szög új mértékegységének bevezetésére?

A tudomány és a technika fejlődése a trigonometria és a matematikai elemzés megjelenéséhez vezetett, amelyek szükségesek a mechanikai és optikai eszközök pontos számításaihoz. Egyik feladata egy görbe vonal hosszának mérése. A leggyakoribb eset a körív hosszának meghatározása. A szögek fokmértékének használata erre a célra rendkívül kényelmetlen. Az ív hosszának a kör sugarával való összehasonlításának ötlete sok matematikusban merült fel, de magát a „radián” kifejezést csak a 19. század második felében vezették be a tudományos használatba. Napjainkban a számításban minden trigonometrikus függvény alapértelmezés szerint a radiánszög mértékét használja.

Hogyan lehet átváltani a fokokat radiánra

A kör kerületének képletéből az következik, hogy 2π sugarak illeszkednek bele. Ebből következik, hogy: 1⁰=2π/360= π/180 rad.

És egy egyszerű képlet a radiánokból fokokra való átváltáshoz: 1 rad = 180/π.

Legyen N fokos szögünk. Ekkor a fokokról radiánra való átváltás képlete a következő lesz: α(radiánok) = N/(180/π) = N*π/180.

Van még kérdése?

Ezekre a válaszok találhatók, ahol részletesen kifejtik a kerület, a radián szögmérték fogalmait, és konkrét példákon keresztül bemutatjuk a fokok radiánra való átváltását. A fentiek ismerete rendkívül fontos a matematika megértéséhez, amely nélkül a modern civilizáció léte lehetetlen.

A szögeket fokban vagy radiánban mérik. Fontos megérteni ezeknek a mértékegységeknek a kapcsolatát. Ennek az összefüggésnek a megértése lehetővé teszi, hogy szögekkel dolgozzon, és áttérjen a fokokról a radiánokra és vissza. Ebben a cikkben levezetünk egy képletet a fokok radiánokká és a radiánok fokokká konvertálására, valamint számos gyakorlati példát is megnézünk.

Yandex.RTB R-A-339285-1

A fokok és a radiánok kapcsolata

A fokok és a radiánok közötti kapcsolat megállapításához ismerni kell egy szög fokát és radiánmértékét. Vegyük például a középponti szöget, amely egy r sugarú kör átmérőjén alapul. Ennek a szögnek a radiánmértékének kiszámításához el kell osztani az ív hosszát a kör sugarának hosszával. A vizsgált szög a π·r kerület felével egyenlő ívhossznak felel meg. Ossza el az ív hosszát a sugárral, és kapja meg a szög radián mértékét: π · r r = π rad.

Tehát a kérdéses szög π radián. Másrészt ez egy fordított szög 180°. Ezért 180° = π rad.

A fokok és a radiánok kapcsolata

A radiánok és a fokok közötti összefüggést a képlet fejezi ki

π radián = 180°

Képletek radiánok fokokká konvertálására és fordítva

A fent kapott képletből más képleteket is levezethet a szögek radiánokból fokokká és fokokból radiánokká konvertálására.

Adjunk ki egy radiánt fokban. Ehhez osszuk el a sugár bal és jobb oldalát pi-vel.

1 r a d = 180 π ° - az 1 radián szög mértéke 180 π.

Egy fokot radiánban is kifejezhet.

1° = π 180 r a d

Hozzávetőlegesen kiszámíthatja a szögértékeket radiánban és fordítva. Ehhez vegye a π szám értékeit tízezrelékes pontossággal, és helyettesítse őket a kapott képletekkel.

1 r a d = 180 π ° = 180 3, 1416 ° = 57, 2956 °

Tehát egy radiánban körülbelül 57 fok van

1° = π 180 r a d = 3,1416 180 r a d = 0,0175 r a d

Egy fok 0,0175 radiánt tartalmaz.

Képlet a radiánok fokokká konvertálásához

x r a d = x 180 π °

Egy szög radiánról fokra konvertálásához meg kell szoroznia a radiánban kifejezett szöget 180-al, és el kell osztania pi-vel.

Példák a fokok radiánokká és radiánok fokokká konvertálására

Nézzünk egy példát.

1. példa Radiánok átváltása fokokra

Legyen α = 3,2 rad. Meg kell találnunk ennek a szögnek a mértékét.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete