A térbeli vektorokhoz kapcsolódó képletek. Vektorok
A síkon lévő vektorokkal kapcsolatos összes definíció és tétel a térre is igaz. Emlékezzünk vissza az alapvető definíciókra.
A vektor meghatározásához szükségünk van
Meghatározás
Irányított szegmens rendezett pontpárnak nevezzük a térben. Az irányított szegmenseket ún egyenlő, ha egyenlő hosszúságúak és azonos irányúak.
Meghatározás
Vektor az összes egymással egyenlő irányított szegmens halmaza.
A vektorokat általában kisbetűs latin betűkkel jelölik, felül nyíllal: $\vec(a)$, $\vec(b)$, $\vec(c)$. Az irányított szegmenseket a kezdet és a vég jelölése jelzi, felül nyíllal is: $\vec(AB)$.
A vektor végtelen számú elemből álló halmaz. Az irányított szegmenst gyakran „vektornak” nevezik. Ha $\vec(AB) \in \vec(a)$, akkor a $\vec(AB)$ irányított szegmens a $\vec(a)$ vektort képviseli. Ebben az esetben egy irányított szegmens rajzolódik ki a rajzba, és azt „vektornak” hívják. Például, amikor azt mondjuk, hogy „ábrázoljuk a $\vec(r)$ vektort a $O$ pontból”, akkor azt értjük, hogy egy $\vec(OR)$ irányított szegmenst készítünk, amely a $\vec(r) vektort reprezentálja. )$.
Meghatározás
A vektorokat ún egyenlő, ha az őket reprezentáló irányított szegmensek egyenlőek.
Vektorokon összeadás és kivonás műveleteket végezhet, valamint adott vektort valós számmal szorozhat.
A háromszögszabály a planimetriából ismert: $\vec(a)+\vec(b) = \vec(c)$,
paralelogramma szabály: $\vec(a)+\vec(b) = \vec(c)$
és a síkra vonatkozó törött vektorösszeadás szabálya, amelyek térben is igazak.
A vonallánc vektor összeadás szabálya
Ha a $A_1, \, A_2, \, \dots, \, A_n$ tetszőleges pontok a térben, akkor
$ \vec(A_1A_2) + \dots + \vec(A_(n-1)A_n) = \vec(A_1A_n). $
Ráadásul az űrben ez igaz
Párhuzamos szabály
Ha $\vec(OA) \in \vec(a)$, $\vec(OB) \in \vec(b)$, $\vec(OC) \in \vec(c)$, akkor a következőre építve A paralelepipedon $OAEBCFDG$ irányított szegmensei között található egy $\vec(OD)$ irányított szegmens, amely a $\vec(d)$ vektort reprezentálja, ami a $\vec(a), \, \ vektorok összege vec(b), \, \vec(c).$
Lesznek önálló megoldandó feladatok is, amelyekre láthatod a válaszokat.
Vektor koncepció
Mielőtt mindent megtudna a vektorokról és a rajtuk végzett műveletekről, készüljön fel egy egyszerű probléma megoldására. Van egy vektora a vállalkozásodnak és egy vektora az innovációs képességeidnek. A vállalkozói szellem vektora az 1. célhoz, az innovatív képességek vektora pedig a 2. célhoz vezet. A játékszabályok olyanok, hogy nem lehet egyszerre haladni e két vektor irányában, és egyszerre két célt elérni. A vektorok kölcsönhatásba lépnek egymással, vagy matematikai nyelven szólva valamilyen műveletet végrehajtanak a vektorokon. Ennek a műveletnek az eredménye az „Eredmény” vektor, amely a 3. célhoz vezet.
Most mondd meg: melyik „Vállalkozás” és „Innovatív képességek” vektorokon végzett művelet eredménye az „Eredmény” vektor? Ha nem tudja azonnal megmondani, ne csüggedjen. Ahogy haladsz ezen a leckén, képes leszel válaszolni erre a kérdésre.
Mint fentebb láttuk, a vektor szükségszerűen egy bizonyos pontból származik A egyenes vonalban egy bizonyos pontig B. Ebből következően minden vektornak nemcsak számértéke - hossza, hanem fizikai és geometriai értéke is van - iránya. Ebből adódik a vektor első, legegyszerűbb meghatározása. Tehát a vektor egy pontból érkező irányított szakasz A lényegre törő B. Jelölése a következő: .
És kezdeni különféle műveletek vektorokkal , meg kell ismerkednünk a vektor egy további definíciójával.
A vektor egy olyan pont reprezentációja, amelyet valamilyen kiindulási pontból kell elérni. Például egy háromdimenziós vektort általában úgy írnak le (x, y, z) . Nagyon leegyszerűsítve ezek a számok azt jelentik, hogy mennyit kell gyalogolnia három különböző irányba, hogy eljuss egy ponthoz.
Legyen adott egy vektor. Ahol x = 3 (jobb kéz jobbra mutat), y = 1 (bal kéz előre mutat) z = 5 (a pont alatt lépcső vezet fel). Ezen adatok felhasználásával 3 métert a jobb kezével jelzett irányba sétálva talál egy pontot, majd 1 métert a bal kezével jelzett irányba, majd egy létra várja Önt és 5 métert emelkedve végre megtalálja. magát a végponton.
Az összes többi kifejezés a fent bemutatott magyarázat pontosítása, amely a vektorokon végzett különféle műveletekhez, azaz gyakorlati problémák megoldásához szükséges. Nézzük át ezeket a szigorúbb definíciókat, a tipikus vektorproblémákra összpontosítva.
Fizikai példák vektormennyiségek lehetnek egy térben mozgó anyagi pont elmozdulása, ennek a pontnak a sebessége és gyorsulása, valamint a rá ható erő.
Geometriai vektor formában kétdimenziós és háromdimenziós térben bemutatva irányszakasz. Ez egy olyan szegmens, amelynek van eleje és vége.
Ha A- a vektor eleje, és B- vége, akkor a vektort a szimbólum vagy egy kisbetű jelöli. Az ábrán a vektor végét nyíl jelzi (1. ábra)
Hossz(vagy modul) egy geometriai vektorból az azt generáló szakasz hossza
A két vektort ún egyenlő , ha kombinálhatók (ha az irányok egybeesnek) párhuzamos transzferrel, pl. ha párhuzamosak, azonos irányba irányítottak és egyenlő hosszúak.
A fizikában gyakran úgy tartják rögzített vektorok, amelyet az alkalmazás helye, hossza és iránya határoz meg. Ha a vektor alkalmazási pontja nem számít, akkor a hosszát és irányát megtartva a tér bármely pontjára átvihető. Ebben az esetben a vektort ún ingyenes. Egyetértünk abban, hogy csak megfontoljuk szabad vektorok.
Lineáris műveletek geometriai vektorokon
Egy vektor szorzata egy számmal
Egy vektor szorzata számonként olyan vektor, amelyet egy vektorból úgy kapunk, hogy egy tényezővel megnyújtjuk (at ) vagy összenyomjuk (at ), és a vektor iránya ugyanaz marad, ha , és az ellenkezőjére változik, ha . (2. ábra)
A definícióból az következik, hogy a vektorok és az = mindig egy vagy párhuzamos egyenesen helyezkednek el. Az ilyen vektorokat ún kollineáris. (Mondhatjuk úgy is, hogy ezek a vektorok párhuzamosak, de a vektoralgebrában "kollineárisnak" szokás mondani.) Ez fordítva is igaz: ha a vektorok kollineárisak, akkor a reláció összefügg egymással.
Következésképpen az (1) egyenlőség két vektor kollinearitásának feltételét fejezi ki.
Vektorok összeadása és kivonása
Ha vektorokat ad hozzá, ezt tudnia kell összeg vektorokat, és vektornak nevezik, amelynek eleje egybeesik a vektor kezdetével, a vége pedig a vektor végével, feltéve, hogy a vektor eleje a vektor végéhez kapcsolódik. (3. ábra)
Ez a meghatározás tetszőleges véges számú vektor között elosztható. Adják meg őket a térben n szabad vektorok. Több vektor összeadásakor ezek összegét a záró vektornak vesszük, amelynek eleje egybeesik az első vektor elejével, a vége pedig az utolsó vektor végével. Vagyis ha a vektor elejét a vektor végéhez, a vektor elejét pedig a vektor végéhez csatolja stb. és végül a vektor végéig - a vektor elejéig, akkor ezeknek a vektoroknak az összege a záró vektor 
, amelynek eleje egybeesik az első vektor kezdetével, és a vége - az utolsó vektor végével. (4. ábra)
A kifejezéseket a vektor komponenseinek nevezzük, a megfogalmazott szabályt pedig az sokszög szabály. Ez a sokszög nem lehet sík.
Ha egy vektort megszorozunk a -1 számmal, akkor az ellenkező vektort kapjuk. A és vektorok azonos hosszúságúak és ellentétes irányúak. Az összegük adja nulla vektor, melynek hossza nulla. A nulla vektor iránya nincs meghatározva.
A vektoralgebrában nem kell külön figyelembe venni a kivonási műveletet: a vektorból egy vektor kivonása azt jelenti, hogy a vektorhoz hozzáadjuk az ellentétes vektort, azaz. 
1. példa Egyszerűsítse a kifejezést:
.
,
vagyis a vektorok ugyanúgy összeadhatók és szorozhatók számokkal, mint a polinomok (különösen a kifejezések egyszerűsítésével kapcsolatos problémák). Jellemzően a vektorok szorzatainak kiszámítása előtt felmerül az igény a lineárisan hasonló kifejezések vektorokkal történő egyszerűsítésére.
2. példa Vektorok és az ABCD paralelogramma átlóiként szolgálnak (4a. ábra). Fejezzük ki a és a , , és , vektorokat, amelyek ennek a paralelogrammának az oldalai.
Megoldás. A paralelogramma átlóinak metszéspontja minden átlót felez. A problémafelvetésben szükséges vektorok hosszát vagy a szükségesekkel háromszöget alkotó vektorok összegének feleként, vagy a különbségek feleként (az átlóként szolgáló vektor irányától függően), vagy mint az utóbbi esetben, a mínusz előjellel felvett összeg fele. Az eredmény a problémafelvetésben szükséges vektorok:
Minden okunk megvan azt hinni, hogy most helyesen válaszolt a „Vállalkozási képesség” és az „Innovatív képességek” vektorokkal kapcsolatos kérdésre a lecke elején. Helyes válasz: ezeken a vektorokon összeadási műveletet hajtanak végre.
Oldja meg a vektorproblémákat saját maga, majd nézze meg a megoldásokat
Hogyan találjuk meg a vektorok összegének hosszát?
Ez a probléma különleges helyet foglal el a vektorokkal végzett műveleteknél, mivel trigonometrikus tulajdonságokat használ. Tegyük fel, hogy a következőhöz hasonló feladattal találkozik:
A vektorhosszok adottak 
és ezen vektorok összegének hossza. Határozzuk meg ezen vektorok közötti különbség hosszát!
Megoldások erre és más hasonló problémákra és magyarázatok a megoldásukra a leckében Vektorösszeadás: a vektorok összegének hossza és a koszinusztétel ".
És megtekintheti az ilyen problémák megoldását a címen Online számológép "A háromszög ismeretlen oldala (vektorösszeadás és koszinusz tétel)" .
Hol vannak a vektorok szorzatai?
A vektor-vektor szorzatok nem lineáris műveletek, és külön kell figyelembe venni. És vannak leckék: "Vektorok skaláris szorzata" és "Vektorok vektoros és vegyes szorzata".
Vektor vetítése egy tengelyre
A vektor vetülete egy tengelyre egyenlő a vetített vektor hosszának és a vektor és a tengely közötti szög koszinuszának szorzatával:
Mint ismeretes, egy pont vetülete A az egyenesen (síkon) az ebből a pontból az egyenesre (síkra) ejtett merőleges alapja.
Legyen tetszőleges vektor (5. ábra), és origójának vetületei (pontok A) és vége (pontok B) tengelyenként l. (Egy pont vetületének elkészítéséhez A) húzzon egy egyenest a ponton keresztül A egyenesre merőleges sík. Az egyenes és a sík metszéspontja határozza meg a szükséges vetületet.
Vektor komponens az l tengelyen Olyan ezen a tengelyen fekvő vektornak nevezzük, amelynek eleje egybeesik a kezdet vetületével, a vége pedig a vektor végének vetületével.
A vektor vetítése a tengelyre l hívott szám
,
egyenlő a komponensvektor hosszával ezen a tengelyen, pluszjellel véve, ha az összetevők iránya egybeesik a tengely irányával l, és mínuszjellel, ha ezek az irányok ellentétesek.
A tengelyre történő vektorvetítések alapvető tulajdonságai:
1. Egyenlő vektorok vetületei ugyanarra a tengelyre egyenlők egymással.
2. Ha egy vektort megszorozunk egy számmal, akkor a vetülete megszorozódik ugyanazzal a számmal.
3. A vektorok összegének vetülete bármely tengelyre megegyezik a vektorok összegének ugyanazon tengelyre vetített vetületeinek összegével.
4. A vektor vetülete a tengelyre egyenlő a vetített vektor hosszának és a vektor és a tengely közötti szög koszinuszának szorzatával:
.
Megoldás. Vetítsünk vektorokat a tengelyre l a fenti elméleti háttérben meghatározottak szerint. Az 5a. ábrán látható, hogy a vektorok összegének vetülete egyenlő a vektorok vetületeinek összegével. A következő előrejelzéseket számítjuk ki:
Megtaláljuk a vektorok összegének végső vetületét:
Egy vektor és egy derékszögű derékszögű koordinátarendszer kapcsolata a térben
Megismerni derékszögű derékszögű koordinátarendszer térben került sor a megfelelő leckében, célszerű új ablakban megnyitni.
A koordinátatengelyek rendezett rendszerében 0xyz tengely Ökör hívott x tengely, tengely 0y – y tengely, és tengely 0z – tengelyt alkalmazni.
Tetszőleges ponttal M tér kapcsolódni vektor
hívott sugárvektor pontokat Més vetítse ki az egyes koordinátatengelyekre. Jelöljük a megfelelő vetületek nagyságait:
Számok x, y, z hívják M pont koordinátái, ill abszcissza, ordinátaÉs alkalmazni, és a számok rendezett pontjaként vannak írva: M(x;y;z)(6. ábra).
Olyan egységnyi hosszúságú vektort nevezünk, amelynek iránya egybeesik a tengely irányával egységvektor(vagy ortom) tengelyek. Jelöljük azzal
Ennek megfelelően a koordinátatengelyek egységvektorai Ökör, Oy, Oz
Tétel. Bármely vektor kiterjeszthető koordinátatengelyek egységvektoraira:
(2)
A (2) egyenlőséget a vektor koordinátatengelyek mentén történő kiterjesztésének nevezzük. Ennek a bővítésnek az együtthatói a vektor vetületei a koordináta tengelyekre. Így a vektor koordinátatengelyek mentén történő tágulási együtthatói (2) a vektor koordinátái.
Egy adott térbeli koordinátarendszer kiválasztása után a vektor és a koordinátáinak hármasa egyértelműen meghatározza egymást, így a vektor a következő alakba írható
A vektor (2) és (3) formájú ábrázolása megegyezik.
A vektorok kollinearitása koordinátákban
Amint már említettük, a vektorokat kollineárisnak nevezzük, ha a reláció összefügg
Legyenek adottak a vektorok 
. Ezek a vektorok kollineárisak, ha a vektorok koordinátáit a reláció összefügg
,
vagyis a vektorok koordinátái arányosak.
6. példa. Vektorok megadva 
. Ezek a vektorok kollineárisak?
Megoldás. Nézzük meg az összefüggést ezen vektorok koordinátái között:
.
A vektorok koordinátái arányosak, ezért a vektorok kollineárisak, vagy ami ugyanaz, párhuzamosak.
Vektor hossza és irány koszinuszai
A koordinátatengelyek kölcsönös merőlegessége miatt a vektor hossza
egyenlő a vektorokra épített téglalap alakú paralelepipedon átlójának hosszával
és az egyenlőség fejezi ki
(4)
Egy vektort teljesen definiálunk két pont (kezdet és vég) megadásával, így a vektor koordinátái ezeknek a pontoknak a koordinátáival fejezhetők ki.
Legyen egy adott koordinátarendszerben a vektor origója a pontban
és a vége a ponton van
Az egyenlőségtől
Ezt követi
vagy koordináta formában
Ennélfogva, A vektor koordinátái megegyeznek a vektor végének és kezdetének ugyanazon koordinátái közötti különbségekkel . A (4) képlet ebben az esetben a következőt veszi fel
A vektor iránya meghatározásra kerül irány koszinuszokat . Ezek azoknak a szögeknek a koszinuszai, amelyeket a vektor a tengelyekkel alkot Ökör, OyÉs Oz. Jelöljük ezeket a szögeket ennek megfelelően α , β És γ . Ezután ezeknek a szögeknek a koszinuszai a képletekkel megkereshetők
Egy vektor iránykoszinuszai egyben az adott vektor egységvektorának koordinátái és így a vektor egységvektora is
.
Figyelembe véve, hogy az egységvektor hossza egyenlő egységgel, azaz
,
az iránykoszinuszokra a következő egyenlőséget kapjuk:
7. példa. Keresse meg a vektor hosszát x = (3; 0; 4).
Megoldás. A vektor hossza a
8. példa. Adott pontok:
Nézze meg, hogy az ezeken a pontokon megszerkesztett háromszög egyenlő szárú-e.
Megoldás. A (6) vektorhossz képlet segítségével megkeressük az oldalak hosszát, és meghatározzuk, hogy van-e köztük két egyenlő:
Két egyenlő oldalt találtunk, ezért a harmadik oldal hosszát nem kell keresni, és a megadott háromszög egyenlő szárú.
9. példa. Határozza meg a vektor hosszát és iránykoszinuszait, ha 
.
Megoldás. A vektor koordinátái a következők:
.
A vektor hossza egyenlő a vektorkoordináták négyzetösszegének négyzetgyökével:
.
Iránykoszinusz keresése:
Oldja meg saját maga a vektorfeladatot, majd nézze meg a megoldást
Műveletek koordináta alakban megadott vektorokon
Legyen két és a vetületeik által meghatározott vektor:
Jelöljük meg a műveleteket ezeken a vektorokon.
A cikk megvitatja, hogy mi a vektor, mi az geometriai értelemben, és bemutatjuk a következő fogalmakat.
Először is adjunk egy definíciót:
1. definíció
Vektor egy irányított egyenes szakasz.
A definíció alapján vektor a geometriában egy síkban vagy térben lévő szakasz, amelynek van iránya, és ezt az irányt a kezdet és a vége adja meg.
A matematikában általában kisbetűs latin betűket használnak a vektorok jelölésére, de mindig a vektor fölé kerül egy kis nyíl, például egy →. Ha egy vektor határpontjai ismertek - annak eleje és vége, például A és B, akkor a vektort A B →-ként jelöljük.
2. definícióAlatt nulla vektor 0 → egy sík vagy tér bármely pontját megértjük.
A definícióból nyilvánvalóvá válik, hogy a nulla vektornak tetszőleges iránya lehet a síkon és a térben.
Vektor hossza
3. definícióAlatt vektor hossza A B → egy 0-nál nagyobb vagy egyenlő szám, és egyenlő az AB szakasz hosszával.
Az A B → vektor hosszát általában A B → -vel jelöljük.
A vektormodulus és a vektorhossz fogalma ekvivalens, mert jelölése egybeesik a modulusjellel. Ezért egy vektor hosszát modulusának is nevezik. Helyesebb azonban a „vektorhossz” kifejezést használni. Nyilvánvaló, hogy a nulla vektor hossza nulla értéket vesz fel.
A vektorok kollinearitása
4. definícióKét, ugyanazon vagy párhuzamos egyenesen fekvő vektort nevezünk kollineáris .
5. definíció
Két olyan vektort hívunk, amelyek nem ugyanazon az egyenesen vagy párhuzamos egyeneseken helyezkednek el nem kollineáris .
Emlékeztetni kell arra, hogy a nulla vektor mindig kollineáris bármely más vektorral, mivel bármilyen irányt vehet.
A kollineáris vektorok viszont szintén két osztályba oszthatók: egyirányú és ellentétes irányú.
6. definícióEgyirányú vektorok két kollineáris a → és b → vektort hívunk, amelyek irányai egybeesnek, ezeket a vektorokat a → b →-ként jelöljük.
7. definíció
Ellentétes irányú vektorok két kollineáris a → és b → vektort hívunk, amelyek irányai nem esnek egybe, azaz. ellentétesek, az ilyen vektorokat a következőképpen jelöljük: a → ↓ b → .
A nulla vektort úgy tekintjük, mint amelyik irányultságú bármely más vektorral.
Egyenlő koirányú vektoroknak nevezzük, amelyek hossza egyenlő.
9. definíció
Szemben Ellentétes irányú vektoroknak nevezzük azokat, amelyek hossza egyenlő.
A fent bemutatott fogalmak lehetővé teszik, hogy vektorokat konkrét pontokra való hivatkozás nélkül is figyelembe vegyünk. Más szóval, egy vektort lecserélhet bármely pontból ábrázolt egyenlő vektorra.
Legyen adott két tetszőleges vektor az a → és a b → síkon vagy térben. Ábrázoljuk az O A → = a → és az O B → = b → vektorokat a sík vagy tér valamely O pontjából. Az OA és OB sugarak ∠ A O B = φ szöget alkotnak.
9. definícióA φ = ∠ A O B szöget nevezzük vektorok közötti szög a → = O A → és b → = O B → .
Nyilvánvaló, hogy az együttirányú vektorok közötti szög nulla fokkal (vagy nulla radiánnal) egyenlő, mivel a koirányú vektorok ugyanazon vagy párhuzamos egyeneseken fekszenek és azonos irányúak, és az ellentétes irányú vektorok közötti szög 180 fokkal (vagy π radiánnal) egyenlő. ), mivel az ellentétes irányú vektorok ugyanazon vagy párhuzamos egyeneseken fekszenek, de ellentétes irányúak.
10. definíció
Merőleges két vektort nevezünk, amelyek szöge 90 fok (vagy π 2 radián).
Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt
Ebben a cikkben megadjuk a vektor definícióját geometriai szempontból, valamint a kapcsolódó főbb fogalmakat. Síkon és térben a vektor egy teljes értékű geometriai objektum, vagyis nagyon valóságos körvonalai vannak, amelyeket a mellékelt grafikus illusztrációkon láthat.
Meghatározás.
Vektor egy irányított egyenes szakasz.
Vagyis egy síkon vagy térben lévő szakaszt veszünk vektornak, az egyik határpontját a kezdetnek, a másikat a végnek tekintjük.
A vektorok jelölésére például kisbetűs latin betűket fogunk használni, felettük nyíllal. Ha a szakasz kezdetének és végének határpontjai adottak, például A és B, akkor a vektort jelöljük.
Meghatározás.
Nulla vektor egy sík vagy tér bármely pontja.
Meghatározás.
Vektor hossza egy nem negatív szám, amely megegyezik az AB szakasz hosszával.
A vektor hosszát jelöljük.
Mivel a vektor hosszának megjelölése pontosan egybeesik a modulus előjelével, hallható, hogy a vektor hosszát a vektor modulusának nevezzük. Javasoljuk azonban a „vektorhossz” kifejezés használatát. A nulla vektor hossza nulla.
Meghatározás.
A két vektort ún kollineáris, ha ugyanazon vagy párhuzamos vonalakon fekszenek.
Meghatározás.
A két vektort ún nem kollineáris, ha nem ugyanazon az egyenesen vagy párhuzamos vonalakon fekszenek.
A nullvektor kollineáris bármely más vektorral.
Meghatározás.
társrendező, ha irányuk egybeesik és jelöli.
Meghatározás.
Két kollineáris vektort nevezünk ellentétes irányú, ha irányuk ellentétes és jelöli.
Meghatározás.
A két vektort ún egyenlő, ha egyirányúak és hosszuk egyenlő.
Meghatározás.
A két vektort ún szemben, ha ellentétes irányúak és hosszuk egyenlő.
Az egyenlő vektorok fogalma lehetőséget ad arra, hogy vektorokat vegyünk figyelembe konkrét pontokra való hivatkozás nélkül. Más szóval, lehetőségünk van arra, hogy egy vektort helyettesítsünk egy tetszőleges pontból ábrázolt egyenlő vektorral.
Legyen két tetszőleges vektor egy síkon vagy a térben. Ábrázoljuk a vektorokat és a sík vagy tér valamely O pontjából. Az OA és OB sugarak szöget alkotnak.
Vektor – ez egy irányított egyenes szakasz, azaz egy meghatározott hosszúságú és meghatározott irányú szakasz. Legyen a lényeg A a vektor eleje és a pont B a vége, akkor a vektort a szimbólum jelöli vagy . A vektort ún szemben vektor és kijelölhető .
Fogalmazzunk meg néhány alapvető definíciót.
Hossz vagy modul vektora szakasz hosszának nevezzük és jelöljük. Egy nulla hosszúságú vektort (lényege egy pont) nevezünk nulla és nincs iránya. Vektor egységhosszúságot nevezzükegyetlen . Egységvektor, amelynek iránya egybeesik a vektor irányával , hívott a vektor orsójára .
A vektorokat ún kollineáris , ha ugyanazon a vonalon vagy párhuzamos vonalakon fekszenek, írd le. A kollineáris vektorok iránya egybeeső vagy ellentétes lehet. A nulla vektort bármely vektorhoz képest kollineárisnak tekintjük.
A vektorokat egyenlőnek mondják, ha kollineárisak, azonos irányúak és azonos hosszúságúak.
Három térbeli vektort nevezünk egysíkú , ha egy síkban vagy párhuzamos síkon helyezkednek el. Ha három vektor közül legalább egy nulla, vagy kettő kollineáris, akkor az ilyen vektorok koplanárisak.
Tekintsünk térben egy 0 téglalap alakú koordinátarendszert xyz. Válasszunk 0-t a koordinátatengelyeken x, 0y, 0z egységvektorok (orts) és jelöljük őketilletőleg. Válasszunk egy tetszőleges térvektort, és igazítsuk az origóját a koordináták origójához. Vetítsük a vektort a koordinátatengelyekre, és jelöljük a vetületeket -val egy x, a y, a z illetőleg. Akkor ezt könnyű megmutatni
.
(2.25)
Ez a képlet alapvető a vektorszámításban, és ún a vektor kiterjesztése a koordinátatengelyek egységvektoraiban . Számok egy x, a y, a z hívják vektor koordináták . Így egy vektor koordinátái a koordinátatengelyekre való vetületei. A vektoregyenlőséget (2,25) gyakran a formába írják
A kapcsos kapcsos zárójelekben vektorjelölést fogunk használni, hogy vizuálisan könnyebb legyen megkülönböztetni a vektorkoordinátákat és a pontkoordinátákat. Az iskolai geometriából ismert szakasz hosszának képletével találhatunk kifejezést a vektor modulusának kiszámításához:
,
(2.26)
vagyis egy vektor modulusa egyenlő a koordinátái négyzetösszegének négyzetgyökével.
A vektor és a koordinátatengelyek közötti szögeket jelöljük mint α, β, γ illetőleg. Koszinusz ezeket a szögeket nevezzük a vektornak útmutatók , és rájuk a következő összefüggés áll fenn:Ennek az egyenlőségnek az érvényessége a vektor tengelyre vetítésének tulajdonságával mutatható ki, amelyről a következő 4. bekezdésben lesz szó.
Adjunk meg vektorokat háromdimenziós térbena koordinátáiddal. A következő műveletek zajlanak rajtuk: lineáris (összeadás, kivonás, szorzás egy számmal és vektor vetítése tengelyre vagy másik vektorra); nemlineáris – vektorok különféle szorzatai (skaláris, vektoros, vegyes).
1. Kiegészítés két vektort koordinátaszerűen állítunk elő, vagyis ha
Ez a képlet tetszőleges véges számú tagra érvényes.
Geometriailag két vektort két szabály szerint adunk össze:
A) szabály háromszög – a két vektor összegének eredő vektora az első vektor elejét a második végével köti össze, feltéve, hogy a második eleje egybeesik az első vektor végével; vektorok összegére – az összeg eredő vektora az első tag elejét az utolsó vektortag végével köti össze, feltéve, hogy a következő tag eleje egybeesik az előző tag végével;
b) szabály paralelogramma (két vektorra) – a vektorparancsokra, mint az azonos origóra redukált oldalakra egy paralelogramma készül; A paralelogramma közös origójukból kiinduló átlója a vektorok összege.
2. Kivonás két vektort koordinátaszerűen hajtunk végre, hasonlóan az összeadáshoz, vagyis ha, Azt
Geometriailag a már említett paralelogramma-szabály szerint két vektort adunk össze, figyelembe véve, hogy a vektorok közötti különbség a vektorok végeit összekötő átló, és az így kapott vektort a részrész végétől a végére irányítjuk. kisebbítendő.
A vektorkivonás fontos következménye, hogy ha ismerjük a vektor kezdetének és végének koordinátáit, akkor egy vektor koordinátáinak kiszámításához ki kell vonni a kezdetének koordinátáit a végének koordinátáiból
. Valójában a tér bármely vektoraaz origóból kiinduló két vektor különbségeként ábrázolható:
. Vektor koordinátákÉs esnek egybe a pontok koordinátáivalAÉs BAN BEN, az eredet ótaRÓL RŐL(0;0;0). Így a vektorok kivonásának szabálya szerint ki kell vonni a pont koordinátáitApont koordinátáitólBAN BEN.
3.
U
vektort megszorozunk egy λ számmal
koordinátánként:
.
Nál nél λ> 0 – vektor társrendező ; λ< 0 – vektor ellenkező irányba ; | λ|> 1 – vektor hossza növekszik be λ egyszer;| λ|< 1 – a vektor hossza eggyel csökken λ egyszer.
4. Legyen egy irányított egyenes (tengely l), vektora vég és a kezdet koordinátái határozzák meg. Jelöljük a pontok vetületeit AÉs B tengelyenként l ennek megfelelően keresztül A’ És B’ .
Kivetítés vektor tengelyenként la vektor hosszának nevezzük, a „+” jellel vettük, ha a vektorés tengely ltársrendező, és „–” jellel, haÉs lellentétes irányokba.
Ha tengelyként l vegyünk egy másik vektort, akkor megkapjuk a vektor vetületét on vecto r.
Nézzük meg a vetületek néhány alapvető tulajdonságát:
1) vektorvetítés tengelyenként legyenlő a vektor modulusának szorzatávala vektor és a tengely közötti szög koszinuszával, azaz
;
2.) a vektor vetülete a tengelyre pozitív (negatív), ha a vektor hegyesszöget (tompaszöget) zár be a tengellyel, és egyenlő nullával, ha ez a szög egyenes;
3) több vektor összegének ugyanarra a tengelyre vetítése egyenlő az erre a tengelyre vetített vetületek összegével.
Fogalmazzunk meg definíciókat és tételeket a vektorokon végzett nemlineáris műveleteket reprezentáló vektorok szorzatairól.
5. Pontos termék vektorok ésegy szám (skalár), amely egyenlő ezen vektorok hosszának és a szög koszinuszának szorzatávalφ köztük, vagyis
.
(2.27)
Nyilvánvaló, hogy bármely nem nulla vektor skaláris négyzete egyenlő a hosszának négyzetével, mivel ebben az esetben a szög , tehát a koszinusza (a 2.27-ben) 1.
Tétel 2.2.Két vektor merőlegességének szükséges és elégséges feltétele, hogy skaláris szorzatuk egyenlő legyen nullával
Következmény. Az egységvektorok páronkénti skalárszorzata egyenlő nullával, azaz
Tétel 2.3. Két vektor pontszorzatakoordinátáikkal megadva egyenlő az azonos nevű koordinátáik szorzatának összegével, azaz
(2.28)
A vektorok skaláris szorzatával kiszámíthatja a szögetközöttük. Ha két nullától eltérő vektort adunk meg a koordinátáival, akkor a szög koszinuszaφ közöttük:
(2.29)
Ez magában foglalja a nem nulla vektorok merőlegességének feltételétÉs:
(2.30)
Egy vektor vetületének megkeresésea vektor által meghatározott irányba , a képlet szerint hajtható végre
(2.31)
A vektorok skaláris szorzatát használva megtaláljuk az állandó erő által végzett munkátaz út egyenes szakaszán.
Tegyük fel, hogy állandó erő hatására egy anyagi pont egyenesen mozog a pozíciójából A pozicionálni B. Erővektor szöget alkot φ eltolási vektorral (2.14. ábra). A fizika azt mondja, hogy az erő munkája mozgáskor egyenlő .
Példa 2.9.A vektorok skaláris szorzatával keresse meg a csúcsszögetAparalelogrammaABCD, épült vektorok alapján
Megoldás. Számítsuk ki a vektorok modulusait és skaláris szorzatát a (2.3) Tétel segítségével:
Innen a (2.29) képlet szerint megkapjuk a kívánt szög koszinuszát
2.10. példa.Az egy tonna túró előállításához felhasznált nyersanyagok és anyagi erőforrások költségeit a 2.2. táblázat tartalmazza (dörzsölje).
Mennyi ezeknek az erőforrásoknak az ára összesen egy tonna túró előállítására?2.2. táblázat
Akkor 
.Teljes erőforrás ár
, amely a vektorok skaláris szorzata. Számítsuk ki a (2.28) képlettel a 2.3 Tétel szerint:
jegyzet. A 2.10. példában végrehajtott vektorokkal végzett műveletek végrehajthatók személyi számítógépen. A vektorok skaláris szorzatának megtalálásához MS Excelben használja a SUMPRODUCT() függvényt, ahol argumentumként adjuk meg azon mátrixelemek tartományainak címét, amelyek szorzatainak összegét meg kell találni. A MathCAD-ben két vektor skaláris szorzata a Mátrix eszköztár megfelelő operátorával történik.
Példa 2.11. Számítsa ki az erő által végzett munkát!
, ha alkalmazásának pontja lineárisan elmozdul a pozícióból A(2;4;6) pozícióba A(4;2;7). Milyen szögben AB erő irányul ?Megoldás. Keresse meg az eltolási vektort úgy, hogy kivonja a végének koordinátáibólkezdő koordináták
. A (2.28) képlet szerint(munkaegységek).
Sarok φ között és a (2.29) képlettel találjuk meg, azaz
6. Három nem egysíkú vektor, a jelzett sorrendben, formában felvettjobb három, ha a harmadik vektor végéről történő megfigyeléskorlegrövidebb forgatás az első vektortóla második vektorhozaz óramutató járásával ellentétes irányban történik, ésbal , ha az óramutató járásával megegyező irányba.
vektoros alkotás vektorról vektorra vektornak nevezzük , amely megfelel a következő feltételeknek:
– merőleges a vektorokraÉs ;
– hossza egyenlő
, Ahol φ
– a vektorok által alkotott szögÉs ;
– vektorok jobb hármast alkotnak (2.15. ábra).
Tétel 2.4.Két vektor kollinearitásának szükséges és elégséges feltétele, hogy vektorszorzatuk nullával egyenlő
Tétel 2.5. Vektor vektor szorzatakoordinátáival adott, egyenlő az alak harmadrendű determinánsával
(2.32)
Jegyzet. Döntő (2,25) 7 determináns tulajdonsága szerint bővül
Következmény 1.Két vektor kollinearitása szükséges és elégséges feltétele a megfelelő koordinátáik arányossága
Következmény 2. Az egységvektorok vektorszorzatai egyenlőek
Következmény 3.Bármely vektor vektornégyzete nulla
A keresztszorzat geometriai értelmezése
az, hogy a kapott vektor hossza számszerűen egyenlő a területtel S egy paralelogramma, amely azonos origóra redukált oldalakként faktorvektorokra épül. Valójában a definíció szerint a vektorok vektorszorzatának modulusa egyenlő
.
Másrészt a vektorok segítségével megszerkesztett paralelogramma területeés , szintén egyenlő 
. Ennélfogva,
.
(2.33)
Ezenkívül a vektorszorzat segítségével meghatározhatja a ponthoz viszonyított erőnyomatékot és a lineárist forgási sebesség.
Hadd a ponton A alkalmazott erő elengedni O – a tér valamely pontja (2.16. ábra). A fizika tantárgyból ismert, hogy erőpillanat ponthoz képest Ovektornak nevezzük , amely áthalad a pontonOés megfelel a következő feltételeknek:
A pontokon átmenő síkra merőleges O, A, B;
Modulusa numerikusan egyenlő a karra ható erő szorzatával.
- vektorokkal jobb oldali hármast alkotÉs.
Ezért az erő pillanata ponthoz képestOegy vektorszorzat
. (2.34)
tengelypontja (2.17. ábra).
Példa 2.12. Keresse meg a háromszög területét a keresztszorzat segítségével ABC, vektorokra épül, egy kezdetre redukálva.
Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete