Hogyan oldjunk meg egyenleteket a vizsga fokozataival. Exponenciális egyenletek megoldása

Látogasson el weboldalunk youtube csatornájára, hogy naprakész legyen az új videóleckékről.

Először is emlékezzünk a hatványok alapvető képleteire és tulajdonságaikra.

Egy szám szorzata a n-szer fordul elő önmagán, ezt a kifejezést a a … a=a n alakban írhatjuk fel

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

Hatvány- vagy exponenciális egyenletek– ezek olyan egyenletek, amelyekben a változók hatványban (vagy kitevőben) vannak, és az alap egy szám.

Példák exponenciális egyenletekre:

Ebben a példában a 6-os szám az alap, mindig alul van, és a változó x fokozat vagy mutató.

Adjunk még példákat az exponenciális egyenletekre.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6 = 0

Most nézzük meg, hogyan oldják meg az exponenciális egyenleteket?

Vegyünk egy egyszerű egyenletet:

2 x = 2 3

Ezt a példát még fejben is meg lehet oldani. Látható, hogy x=3. Végül is, ahhoz, hogy a bal és a jobb oldal egyenlő legyen, x helyett 3-as számot kell tennie.
Most pedig nézzük meg, hogyan formálhatjuk ezt a döntést:

2 x = 2 3
x = 3

Egy ilyen egyenlet megoldása érdekében eltávolítottuk azonos indokok(vagyis kettesek) és felírta, ami maradt, ezek fokozatok. Megkaptuk a választ, amit kerestünk.

Most pedig foglaljuk össze döntésünket.

Algoritmus az exponenciális egyenlet megoldására:
1. Ellenőrizni kell ugyanaz hogy az egyenletnek van-e alapja a jobb és a bal oldalon. Ha az okok nem ugyanazok, akkor keressük a megoldási lehetőségeket ennek a példának a megoldására.
2. Miután az alapok azonosak lettek, egyenlővé tenni fokot, és oldja meg a kapott új egyenletet.

Most nézzünk néhány példát:

Kezdjük valami egyszerűvel.

A bal és a jobb oldalon lévő alapok egyenlőek a 2-es számmal, ami azt jelenti, hogy eldobhatjuk az alapot, és egyenlővé tehetjük a hatalmukat.

x+2=4 A legegyszerűbb egyenletet kapjuk.
x=4–2
x=2
Válasz: x=2

A következő példában láthatja, hogy az alapok különböznek: 3 és 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

Először mozgassa a kilencet jobb oldalra, így kapjuk:

Most ugyanazokat az alapokat kell elkészítenie. Tudjuk, hogy 9=3 2. Használjuk az (a n) m = a nm hatványképletet.

3 3x = (3 2) x+8

9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16-ot kapunk

3 3x = 3 2x+16 Most már világos, hogy a bal és a jobb oldalon az alapok azonosak, és egyenlők hárommal, ami azt jelenti, hogy eldobhatjuk őket, és egyenlővé tesszük a fokokat.

3x=2x+16 a legegyszerűbb egyenletet kapjuk
3x - 2x=16
x=16
Válasz: x=16.

Nézzük a következő példát:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

Először is nézzük meg az alapokat, a második és a negyedik alapot. És szükségünk van arra, hogy egyformák legyenek. A négyet az (a n) m = a nm képlettel alakítjuk át.

4 x = (2 2) x = 2 2x

És egy képletet is használunk: a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Adjuk hozzá az egyenlethez:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Ugyanezen okokból adtunk példát. De a többi 10-es és 24-es szám zavar minket. Mit kezdjünk velük? Ha alaposan megnézed, láthatod, hogy a bal oldalon 2 2x ismétlődik, itt a válasz - 2 2x-et tehetünk zárójelbe:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Számítsuk ki a zárójelben lévő kifejezést:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

A teljes egyenletet elosztjuk 6-tal:

Képzeljük el, hogy 4=2 2:

2 2x = 2 2 alap azonos, ezeket elvetjük és a fokokat egyenlővé tesszük.
2x = 2 a legegyszerűbb egyenlet. Oszd el 2-vel és megkapjuk
x = 1
Válasz: x = 1.

Oldjuk meg az egyenletet:

9 x – 12*3 x +27= 0

Alakítsuk át:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Kapjuk az egyenletet:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Az alapjaink azonosak, egyenlők hárommal. Ebben a példában láthatjuk, hogy az első háromnak kétszer (2x) a foka, mint a másodiknak (csak x). Ebben az esetben meg tudod oldani cseremódszer. A számot a legkisebb fokozatra cseréljük:

Ekkor 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Az egyenletben szereplő összes x hatványt t-re cseréljük:

t 2 - 12t+27 = 0
Másodfokú egyenletet kapunk. A diszkrimináns segítségével megoldva a következőket kapjuk:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

Visszatérve a változóhoz x.

Vegyük a t 1-et:
t 1 = 9 = 3 x

vagyis

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Egy gyökér található. A másodikat keressük a t 2-ből:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Válasz: x 1 = 2; x 2 = 1.

A honlapon a SEGÍTSÉG DÖNTÉS rovatban feltehetitek kérdéseiteket, mi biztosan válaszolunk.

Csatlakozz a csoporthoz

Az utolsó tesztre való felkészülés szakaszában a középiskolásoknak fejleszteniük kell tudásukat az „Exponenciális egyenletek” témában. Az elmúlt évek tapasztalatai azt mutatják, hogy az ilyen feladatok bizonyos nehézségeket okoznak az iskolásoknak. Ezért a középiskolásoknak, felkészültségüktől függetlenül, alaposan el kell sajátítaniuk az elméletet, emlékezniük kell a képletekre és meg kell érteniük az ilyen egyenletek megoldásának elvét. Miután megtanulták megbirkózni az ilyen típusú problémákkal, a diplomások magas pontszámokra számíthatnak a matematika egységes államvizsga letételekor.

Készüljön fel a vizsgára a Shkolkovo-val!

Az általuk feldolgozott anyagok áttekintése során sok diák szembesül azzal a problémával, hogy megtalálja az egyenletek megoldásához szükséges képleteket. Az iskolai tankönyv nem mindig van kéznél, és a szükséges információk kiválasztása egy témában az interneten sokáig tart.

A Shkolkovo oktatási portál felkéri a diákokat, hogy használják tudásbázisunkat. A záróvizsgára való felkészülés egy teljesen új módszerét vezetjük be. Honlapunkon tanulmányozva képes lesz felismerni a tudásbeli hiányosságokat, és odafigyelni azokra a feladatokra, amelyek a legtöbb nehézséget okozzák.

A Shkolkovo tanárai a legegyszerűbb és leginkább hozzáférhető formában összegyűjtötték, rendszerezték és bemutatták az egységes államvizsga sikeres letételéhez szükséges összes anyagot.

Az alapvető definíciókat és képleteket az „Elméleti háttér” részben mutatjuk be.

Az anyag jobb megértése érdekében javasoljuk, hogy gyakorolja a feladatok elvégzését. A számítási algoritmus megértéséhez gondosan tekintse át az ezen az oldalon bemutatott exponenciális egyenletek és megoldások példáit. Ezután folytassa a feladatok végrehajtását a „Könyvtárak” részben. Kezdheti a legegyszerűbb feladatokkal, vagy egyenesen a bonyolult exponenciális egyenletek megoldására, ahol több ismeretlen vagy . A honlapunkon található gyakorlatok adatbázisa folyamatosan bővül és frissül.

Azokat a mutatókat tartalmazó példákat, amelyek nehézségeket okoztak, felveheti a „Kedvencekbe”. Így gyorsan megtalálhatja őket, és megbeszélheti a megoldást tanárával.

Az egységes államvizsga sikeres letételéhez minden nap tanuljon a Shkolkovo portálon!

Exponenciális egyenletek megoldása. Példák.

Figyelem!
Vannak további
az 555. külön szakaszban szereplő anyagok.
Azoknak, akik nagyon "nem nagyon..."
És azoknak, akik „nagyon…”)

Mi történt exponenciális egyenlet? Ez egy egyenlet, amelyben az ismeretlenek (x-ek) és a hozzájuk tartozó kifejezések benne vannak mutatók néhány fok. És csak ott! Fontos.

Tessék példák exponenciális egyenletekre:

3 x 2 x = 8 x+3

Jegyzet! A fokok alapján (lent) - csak számok. BAN BEN mutatók fokok (fent) - X-szel ellátott kifejezések széles választéka. Ha hirtelen egy X jelenik meg az egyenletben, nem egy indikátoron, például:

ez már vegyes típusú egyenlet lesz. Az ilyen egyenleteknek nincsenek egyértelmű szabályai a megoldásukra. Egyelőre nem vesszük figyelembe őket. Itt fogunk foglalkozni exponenciális egyenletek megoldása legtisztább formájában.

Valójában még a tiszta exponenciális egyenletek sem mindig oldhatók meg egyértelműen. De vannak bizonyos típusú exponenciális egyenletek, amelyeket meg lehet és meg is kell oldani. Ezeket a típusokat fogjuk figyelembe venni.

Egyszerű exponenciális egyenletek megoldása.

Először is oldjunk meg valami nagyon alapvető dolgot. Például:

Még elméletek nélkül is, egyszerű kiválasztással egyértelmű, hogy x = 2. Semmi több, igaz!? X más értéke nem működik. Most nézzük meg ennek a trükkös exponenciális egyenletnek a megoldását:

Mit tettünk? Valójában egyszerűen kidobtuk ugyanazokat az alapokat (hármasokat). Teljesen kidobva. És a jó hír az, hogy fejen találtuk a szöget!

Valóban, ha egy exponenciális egyenletben van bal és jobb oldal ugyanaz számok bármilyen hatványban, ezek a számok eltávolíthatók, és a kitevők kiegyenlíthetők. A matematika megengedi. Marad egy sokkal egyszerűbb egyenlet megoldása. Remek, igaz?)

Emlékezzünk azonban határozottan: A bázisokat csak akkor távolíthatja el, ha a bal és jobb oldali alapszámok nagyszerűen elkülönülnek egymástól! Szomszédok és együtthatók nélkül. Mondjuk az egyenletekben:

2 x +2 x+1 = 2 3, ill

kettes nem távolítható el!

Nos, elsajátítottuk a legfontosabb dolgot. Hogyan térjünk át a gonosz exponenciális kifejezésekről az egyszerűbb egyenletekre.

– Ilyenek az idők! - te mondod. "Ki adna ilyen primitív leckét a tesztekről és a vizsgákról!?"

egyet kell értenem. Senki sem fogja. De most már tudja, merre célozzon trükkös példák megoldása során. Olyan formára kell hozni, ahol bal és jobb oldalon ugyanaz az alapszám van. Akkor minden könnyebb lesz. Valójában ez a matematika klasszikusa. Vegyük az eredeti példát, és átalakítjuk a kívánt példára minketész. Természetesen a matematika szabályai szerint.

Nézzünk olyan példákat, amelyek további erőfeszítést igényelnek, hogy a legegyszerűbbre redukálják őket. Hívjuk fel őket egyszerű exponenciális egyenletek.

Egyszerű exponenciális egyenletek megoldása. Példák.

Az exponenciális egyenletek megoldásánál a fő szabályok az fokozatú cselekvések. Ezen tevékenységek ismerete nélkül semmi sem fog működni.

A diplomával végzett cselekvésekhez hozzá kell adni a személyes megfigyelést és a találékonyságot. Ugyanazokra az alapszámokra van szükségünk? Tehát a példában explicit vagy titkosított formában keressük őket.

Lássuk, hogyan valósul meg ez a gyakorlatban?

Adjunk egy példát:

2 2x - 8 x+1 = 0

Az első éles pillantás a okokból.Ők... Különbözőek! Kettő és nyolc. De még túl korai elcsüggedni. Ideje emlékezni erre

A kettő és a nyolc fokban rokonok.) Teljesen le lehet írni:

8 x+1 = (2 3) x+1

Ha felidézzük a képletet a fokokkal végzett műveletekből:

(a n) m = a nm,

ez remekül működik:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3 (x+1)

Az eredeti példa így kezdett kinézni:

2 2x - 2 3 (x+1) = 0

Mi átutaljuk 2 3 (x+1) jobbra (a matematika elemi műveleteit senki sem törölte!), ezt kapjuk:

2 2x = 2 3 (x+1)

Gyakorlatilag ennyi. Az alapok eltávolítása:

Megoldjuk ezt a szörnyeteget és megkapjuk

Ez a helyes válasz.

Ebben a példában a kettő erejének ismerete segített nekünk. Mi azonosított nyolcban van egy titkosított kettő. Ez a technika (a közös bázisok különböző számokkal történő kódolása) nagyon népszerű technika az exponenciális egyenletekben! Igen, és logaritmusban is. Fel kell tudnia ismerni más számok hatványait a számokban. Ez rendkívül fontos az exponenciális egyenletek megoldásához.

Az a tény, hogy bármilyen számot bármilyen hatványra emelni, nem probléma. Szorozzon, akár papíron is, és ennyi. Például bárki emelhet 3-at az ötödik hatványra. A 243 beválik, ha ismeri a szorzótáblát.) De az exponenciális egyenleteknél sokkal gyakrabban nem kell hatványra emelni, hanem fordítva... Tudja meg milyen szám milyen mértékben a 243-as, vagy mondjuk a 343-as szám mögött van elrejtve... Itt semmilyen számológép nem segít.

Néhány szám hatványait látásból kell tudni, ugye... Gyakoroljunk?

Határozza meg, milyen hatványok és milyen számok vannak a számokban:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

A válaszok (persze rendetlenségben!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Ha alaposan megnézed, furcsa tényt láthatsz. Lényegesen több a válasz, mint a feladat! Nos, előfordul... Például 2 6, 4 3, 8 2 - ez mind a 64.

Tegyük fel, hogy tudomásul vette a számokkal kapcsolatos ismereteket.) Hadd emlékeztessem Önt arra is, hogy az exponenciális egyenletek megoldásához használjuk minden matematikai tudáskészlet. Beleértve a junior és középosztálybelieket is. Nem mentél egyenesen középiskolába, igaz?)

Például exponenciális egyenletek megoldásánál gyakran segít a közös tényező zárójelbe helyezése (üdv a 7. osztálynak!). Nézzünk egy példát:

3 2x+4 -11 9 x = 210

És ismét az első pillantás az alapokra! A fokozatok alapja más... Három és kilenc. És azt akarjuk, hogy egyformák legyenek. Nos, ebben az esetben a vágy teljesen teljesül!) Mert:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Ugyanazokat a szabályokat használva a diplomák kezelésére:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

Nagyon jó, leírhatod:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Ugyanezen okokból adtunk példát. Szóval, mi lesz ezután!? Nem dobhatsz ki hármast... Zsákutca?

Egyáltalán nem. Emlékezzen a leguniverzálisabb és legerőteljesebb döntési szabályra mindenki matematikai feladatok:

Ha nem tudod, mire van szükséged, tedd meg, amit tudsz!

Nézd, minden sikerülni fog).

Mi van ebben az exponenciális egyenletben Tud csinálni? Igen, a bal oldalon csak könyörög, hogy vegyék ki a zárójelből! A teljes 3 2x-es szorzó egyértelműen erre utal. Próbáljuk meg, aztán meglátjuk:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

A példa egyre jobb és jobb!

Emlékezzünk arra, hogy az alapok kiküszöböléséhez tiszta fokozatra van szükségünk, minden együttható nélkül. A 70-es szám zavar minket. Tehát az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk 70-nel, így kapjuk:

Hoppá! Minden jobb lett!

Ez a végső válasz.

Előfordul azonban, hogy az azonos alapon történő taxizás megvalósul, de ezek megszüntetése nem lehetséges. Ez más típusú exponenciális egyenletekben történik. Sajátítsuk el ezt a típust.

Változó cseréje exponenciális egyenletek megoldásában. Példák.

Oldjuk meg az egyenletet:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Először is - szokás szerint. Térjünk át egy alapra. Egy kettesre.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Kapjuk az egyenletet:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

És itt lógunk. A korábbi technikák nem működnek, akárhogyan is nézzük. Egy másik erőteljes és univerzális módszert kell elővennünk az arzenálunkból. Ezt hívják változó csere.

A módszer lényege meglepően egyszerű. Egy összetett ikon (esetünkben - 2 x) helyett egy másik, egyszerűbbet írunk (például - t). Egy ilyen értelmetlennek tűnő csere elképesztő eredményekhez vezet!) Minden csak világossá és érthetővé válik!

Szóval hagyjuk

Ekkor 2 2x = 2 x 2 = (2 x) 2 = t 2

Egyenletünkben minden hatványt x-re cserélünk t-re:

Nos, eszedbe jut?) Elfelejtetted már a másodfokú egyenleteket? A diszkrimináns segítségével megoldva a következőket kapjuk:

Itt az a lényeg, hogy ne hagyjuk abba, ahogy az megesik... Ez még nem a válasz, x-re van szükségünk, nem t-re. Térjünk vissza az X-ekhez, i.e. fordított cserét végzünk. Először a t1-hez:

vagyis

Egy gyökér található. A másodikat keressük a t 2-ből:

Hm... 2 x balra, 1 jobbra... Probléma? Egyáltalán nem! Elég, ha emlékezünk (a hatáskörökkel végzett műveletekből, igen...), hogy egy egység az Bármi számot a nulla hatványig. Bármi. Amire szükség van, azt mi telepítjük. Kettőre van szükségünk. Eszközök:

Most ennyi. 2 gyökerünk van:

Ez a válasz.

Nál nél exponenciális egyenletek megoldása a végén néha valami kínos kifejezéssel zárod. Típus:

Hét nem konvertálható kettővé egyszerű hatványon keresztül. Nem rokonok... Hogy lehetnénk? Valaki összezavarodhat... De aki ezen az oldalon olvasta a „Mi a logaritmus?” témát. , csak takarékosan mosolyog, és határozott kézzel leírja a teljesen helyes választ:

Az egységes államvizsga „B” feladatában ilyen válasz nem adható. Ott egy konkrét szám szükséges. De a „C” feladatokban ez egyszerű.

Ez a lecke példákat ad a leggyakoribb exponenciális egyenletek megoldására. Kiemeljük a főbb pontokat.

Gyakorlati tippek:

1. Először is megnézzük okokból fokon. Kíváncsiak vagyunk, hogy lehetséges-e ezek elkészítése azonos. Próbáljuk ezt megtenni aktív használatával fokozatú cselekvések. Ne felejtsük el, hogy az x nélküli számok is átválthatók hatványokká!

2. Megpróbáljuk formába hozni az exponenciális egyenletet, amikor a bal és a jobb oldalon vannak ugyanaz számok bármilyen hatványban. Használjuk fokozatú cselekvésekÉs faktorizáció. Amit számokban meg lehet számolni, azt megszámoljuk.

3. Ha a második tipp nem működik, próbálja meg a változó helyettesítését. Az eredmény egy könnyen megoldható egyenlet lehet. Leggyakrabban - négyzet. Vagy tört, ami szintén négyzetre redukál.

4. Az exponenciális egyenletek sikeres megoldásához néhány szám hatványait látásból kell ismerni.

Szokás szerint az óra végén döntsön egy kicsit.) Önállóan. Az egyszerűtől a bonyolultig.

Oldja meg az exponenciális egyenleteket:

Nehezebb:

2 x+3 – 2 x+2 – 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5x + 1 - 8 = 0

Keresse meg a gyökerek szorzatát:

2 3 + 2 x = 9

Megtörtént?

Nos, akkor egy nagyon összetett példa (bár fejben meg lehet oldani...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Mi az érdekesebb? Akkor itt egy rossz példa számodra. Elég csábító a megnövekedett nehézséghez. Hadd utaljak arra, hogy ebben a példában a találékonyság ment meg, és az összes matematikai probléma megoldásának legáltalánosabb szabálya.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Egy egyszerűbb példa a kikapcsolódáshoz):

9 2 x - 4 3 x = 0

És desszertnek. Keresse meg az egyenlet gyökeinek összegét:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Igen igen! Ez egy vegyes típusú egyenlet! Amit ebben a leckében nem vettünk figyelembe. Minek figyelembe venni őket, meg kell oldani!) Ez a lecke elég az egyenlet megoldásához. Nos, kell a találékonyság... És a hetedik osztály segítsen (ez egy tipp!).

Válaszok (rendetlenségben, pontosvesszővel elválasztva):

1; 2; 3; 4; nincsenek megoldások; 2; -2; -5; 4; 0.

Minden sikeres? Nagy.

Van egy probléma? Nincs mit! Az 555. speciális szakasz részletes magyarázattal oldja meg ezeket az exponenciális egyenleteket. Mit, miért és miért. És természetesen további értékes információk találhatók a mindenféle exponenciális egyenletekkel való munka során. Nem csak ezekkel.)

Még egy utolsó szórakoztató kérdés, amelyet meg kell fontolni. Ebben a leckében exponenciális egyenletekkel dolgoztunk. Miért nem szóltam itt egy szót sem az ODZ-ről? Az egyenletekben ez egyébként nagyon fontos dolog...

Ha tetszik ez az oldal...

Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)

Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanuljunk – érdeklődéssel!)

Megismerkedhet a függvényekkel, deriváltokkal.

Vissza előre

Figyelem! A dia-előnézetek csak tájékoztató jellegűek, és nem feltétlenül képviselik a bemutató összes jellemzőjét. Ha érdekli ez a munka, töltse le a teljes verziót.

Az óra típusa

: lecke az ismeretek, készségek és képességek általánosításáról és komplex alkalmazásáról „Exponenciális egyenletek és megoldási módszerek” témában.

Az óra céljai.

Nevelési:

ismételje meg és rendszerezze az „Exponenciális egyenletek, megoldásaik” témakör fő anyagát; megszilárdítani a megfelelő algoritmusok használatának képességét különböző típusú exponenciális egyenletek megoldása során; felkészülés az egységes államvizsgára.

Nevelési:

fejleszti a tanulók logikus és asszociatív gondolkodását; elősegíti a tudás önálló alkalmazásának készségének fejlődését.

Nevelési:

fejleszteni az elhivatottságot, a figyelmet és a pontosságot az egyenletek megoldása során.

Felszerelés:

számítógép és multimédiás projektor.

Használt osztályban információs technológia : az óra módszertani támogatása – bemutató a Microsoft Power Pointban.

Az órák alatt

Minden készség kemény munkával jár

ÉN. Az óra céljának kitűzése(2. dia )

Ebben a leckében összefoglaljuk és általánosítjuk az „Exponenciális egyenletek, megoldásaik” témát. Ismerkedjünk meg a különböző évek tipikus egységes államvizsga-feladataival ebben a témában.

Az exponenciális egyenletek megoldásával kapcsolatos problémák az Egységes Államvizsga feladatok bármely részében találhatók. részben " BAN BEN " Általában a legegyszerűbb exponenciális egyenletek megoldását kínálják. részben " VAL VEL " Összetettebb exponenciális egyenleteket találhat, amelyek megoldása általában a feladat elvégzésének egyik szakasza.

Például ( 3. számú dia ).

• Egységes államvizsga - 2007

Q 4 – Keresse meg a kifejezés legnagyobb értékét x y, Ahol ( X; nál nél) – a rendszer megoldása:

• Egységes államvizsga - 2008

Q 1 – Oldja meg az egyenleteket:

A) x 6 3x – 36 6 3x = 0;

b) 4 x +1 + 8 4x= 3.

• Egységes államvizsga - 2009

4. kérdés – Keresse meg a kifejezés jelentését x + y, Ahol ( X; nál nél) – a rendszer megoldása:

• Egységes államvizsga - 2010

– Oldja meg az egyenletet: 7 x– 2 = 49. – Keresse meg az egyenlet gyökereit: 4 x 2 + 3x – 2 - 0,5 2x2 + 2x – 1 = 0. – Oldja meg az egyenletrendszert:

II. Alapvető ismeretek frissítése. Ismétlés

(4-6. dia előadások a leckéhez)

A képernyőn látható elméleti anyag háttér-összefoglalója ebben a témában.

A következő kérdések kerülnek megvitatásra:

1. Milyen egyenleteknek nevezzük jelzésértékű?
2. Nevezze meg ezek megoldásának fő módjait! Mondjon példákat a típusaikra ( 4. számú dia )

(Az egyes módszerekhez önállóan oldja meg a javasolt egyenleteket, és végezzen öntesztet a dia segítségével)

3. Milyen tételt használunk egyszerű exponenciális egyenletek megoldása során: és f(x) = a g(x) ?
4. Milyen egyéb módszerek léteznek az exponenciális egyenletek megoldására? ( 5. számú dia )

• Faktorizációs módszer
(a hatványok tulajdonságai alapján azonos indoklás, technika: a legalacsonyabb mutatójú fok kerül ki a zárójelből).
• A nullától eltérő exponenciális kifejezéssel való osztás (szorzás) technikája homogén exponenciális egyenletek megoldásakor
.

• Tanács:

Az exponenciális egyenletek megoldása során célszerű először transzformációkat végezni, és az egyenlet mindkét oldalán azonos bázisú hatványokat kapni.

1. Egyenletek megoldása az utolsó két módszerrel, további megjegyzésekkel

(6. számú dia ).

. 4 x+ 1 – 2 4 x– 2 = 124, 4 x– 2 (4 3 - 2) = 124, 4 x– 2 62 = 124,

4 x– 2 = 2, 4 x– 2 = 4 0,5 , x– 2 = 0,5, x = 2,5 .

2 2 2х – 3 2 x 5X - 5 5 2x= 0¦: 5 2 x 0,

2 (2/5) 2x – 3 (2/5) X - 5 = 0,

t = (2/5) x, t > 0, 2t 2 - 3t- 5 = 0,t= -1(?...), t = 5/2; 5/2 = (2/5) x, x= ?...

III. Egységes Államvizsga 2010 feladatok megoldása

A tanulók önállóan oldják meg a 3. dián az óra elején javasolt feladatokat a megoldási utasítások segítségével, prezentáció segítségével ellenőrzik a megoldás előrehaladását és a rájuk adott válaszokat ( 7. számú dia). A munka során megbeszélik a lehetőségeket, megoldásokat, felhívják a figyelmet a megoldás esetleges hibáira.

: a) 7 x– 2 = 49, b) (1/6) 12-7 x = 36. Válasz: A) x= 4, b) x = 2. : 4 x 2 + 3x – 2 - 0,5 2x2 + 2x– 1 = 0. (0,5 = 4 – 0,5 helyettesíthető)

Megoldás. ,

x 2 + 3x – 2 = -x 2 - 4x + 0,5 …

Válasz: x= -5/2, x = 1/2.

: 5 5 tg y+ 4 = 5 -tg y, cos y< 0.

Útmutató a megoldáshoz

. 5 5 tg y+ 4 = 5 -tg y¦ 5 tg y 0,

5 5 2g y+ 4 5 tg y – 1 = 0. Legyen x= 5 tg y , …

5 tg y = -1 (?...), 5 tg y= 1/5.

Mivel a tg y= -1 és cos y< 0, akkor nál nél II koordinátanegyed

Válasz: nál nél= 3/4 + 2k, k N.

IV. Csapatmunka a fórumon

Magas szintű képzési feladatot fontolgatnak - 8. számú dia. A dia segítségével párbeszéd jön létre a tanár és a diákok között, elősegítve a megoldás kidolgozását.

– Milyen paraméteren A egyenlet 2 2 x – 3 2 x + A 2 – 4A= 0-nak két gyöke van?

Hadd t= 2 x, Ahol t > 0 . Kapunk t 2 – 3t + (A 2 – 4A) = 0 .

1). Mivel az egyenletnek két gyöke van, akkor D > 0;

2). Mert t 1,2 > 0, akkor t 1 t 2 > 0, azaz A 2 – 4A> 0 (?...).

Válasz: A(– 0,5; 0) vagy (4; 4,5).

V. Próbamunka

(9. számú dia )

A diákok fellépnek próba munka papírlapokon, az elvégzett munka önellenőrzése, önértékelése prezentáció segítségével, a témában meghonosodva. Önállóan határoznak meg maguknak egy programot a munkafüzetekben elkövetett hibák alapján a tudás szabályozására és javítására. Az elkészült önálló munkát tartalmazó lapokat a tanárnak ellenőrzésre átadjuk.

Az aláhúzott számok alapszintűek, a csillaggal jelöltek fokozott összetettségűek.

Megoldás és válaszok.

0,3 2x + 1 = 0,3 – 2 , 2x + 1 = -2, x= -1,5.

(1; 1).

3. 2 x– 1 (5 2 4 - 4) = 19, 2 x– 1 76 = 19, 2 x– 1 = 1/4, 2 x– 1 = 2 – 2 , x– 1 = -2,

x = -1.

4 *.3 9 x = 2 3 x 5x+ 5 25 x | : 25 x ,

3 (9/25) x = 2 (3/5) x+ 5,

3 (9/27) x = 2 (3/5) x + 5 = 0,

3 (3/5) 2x – 2 (3/5) x - 5 = 0,…, (3/5) x = -1 (nem illik),

(3/5) x = 5, x = -1.

VI. Házi feladat

(10. számú dia )

• Ismételje meg a 11., 12. §-t.
• Az Egységes Államvizsga 2008 - 2010 anyagaiból válasszon feladatokat a témában, és oldja meg azokat.
• Otthoni próbamunka
:

Ne ijedj meg a szavaimtól, már 7. osztályban találkoztál ezzel a módszerrel, amikor polinomokat tanultál.

Például, ha szüksége van:

Csoportosítsuk: az első és a harmadik tag, valamint a második és a negyedik.

Nyilvánvaló, hogy az első és a harmadik a négyzetek különbsége:

a második és a negyedik közös tényezője három:

Ekkor az eredeti kifejezés ezzel egyenértékű:

A közös tényező levezetése már nem nehéz:

Ennélfogva,

Nagyjából ezt fogjuk tenni az exponenciális egyenletek megoldása során: keressük a „közösséget” a kifejezések között, és vegyük ki a zárójelből, majd - jöjjön bármi, azt hiszem, szerencsénk lesz =))

14. számú példa

A jobb messze van a hetes hatványtól (megnéztem!) És a bal sem sokkal jobb...

Természetesen „levághatja” az a tényezőt a második tagból az első tagból, majd foglalkozhat azzal, amit kapott, de legyünk körültekintőbbek veled.

Nem akarok a "kiválasztás" során elkerülhetetlenül kialakuló törtekkel foglalkozni, ezért ne vegyem ki inkább?

Akkor nem lesz töredékem: ahogy mondják, a farkasok meg vannak etetve, a birkák biztonságban vannak:

Számítsa ki a zárójelben lévő kifejezést!

Varázsütésre, varázsütésre kiderül, hogy (meglepő módon, bár mi másra számítsunk?).

Ezután az egyenlet mindkét oldalát csökkentjük ezzel a tényezővel. Kapunk: , innen.

Íme egy bonyolultabb példa (egy kicsit, tényleg):

Micsoda probléma! Itt nincs egy közös pontunk!

Nem teljesen világos, hogy most mit kell tenni.

Tegyük meg, amit tudunk: először mozgassuk a „négyeseket” az egyik oldalra, az „ötöst” a másik oldalra:

Most vegyük ki az "általánost" a bal és a jobb oldalon:

Akkor most mi van?

Mi haszna egy ilyen hülye csoportnak? Első pillantásra egyáltalán nem látszik, de nézzünk mélyebbre:

Nos, most megbizonyosodunk arról, hogy a bal oldalon csak a c kifejezés szerepel, a jobb oldalon pedig minden más.

Hogyan csináljuk ezt?

Így kell: Ossza el először az egyenlet mindkét oldalát ezzel (így megszabadulunk a jobb oldali kitevőtől), majd mindkét oldalát osszuk el ezzel (így megszabadulunk a bal oldali numerikus tényezőtől).

Végül megkapjuk:

Hihetetlen!

A bal oldalon van egy kifejezés, a jobb oldalon pedig egy egyszerű kifejezés.

Aztán azonnal arra a következtetésre jutunk

15. számú példa

Röviden megfejtem a megoldását (anélkül, hogy különösebben magyarázkodjam magam), próbálja meg megérteni a megoldás minden „finomságát”.

Most pedig a lefedett anyag végső konszolidációja.

Az alábbi 7 feladat önálló megoldása (válaszokkal együtt)

1. Vegyük ki a közös tényezőt a zárójelekből: Ahol:
2. Mutassuk be az első kifejezést a következő formában: , ossza el mindkét oldalát és kapja meg
3. , akkor az eredeti egyenletet a következő alakra alakítjuk: Nos, most egy tipp - keresd meg, hol oldottuk meg már ezt az egyenletet!
4. Képzeld el, hogyan, hogyan, ah, nos, majd oszd el mindkét oldalt, így megkapod a legegyszerűbb exponenciális egyenletet.
5. Húzza ki a zárójelekből.
6. Húzza ki a zárójelekből.

EXPONENTÁRIS EGYENLETEK. ÁTLAGOS SZINT

Feltételezem, hogy miután elolvasta az első cikket, amely arról beszélt mik az exponenciális egyenletek és hogyan kell megoldani őket, elsajátította a legegyszerűbb példák megoldásához szükséges minimális ismereteket.

Most megnézek egy másik módszert az exponenciális egyenletek megoldására, ez...

Új változó (vagy csere) bevezetésének módja

A legtöbb „nehéz” feladatot az exponenciális egyenletek (és nem csak az egyenletek) témakörében oldja meg.

Ez a módszer az egyik a gyakorlatban leggyakrabban használt. Először is azt javaslom, hogy ismerkedjen meg a témával.

Ahogy már a névből is értetted, ennek a módszernek az a lényege, hogy olyan változóváltást vezetsz be, hogy az exponenciális egyenleted csodával határos módon olyanná alakul át, amelyet könnyen megoldhatsz.

Ennek a nagyon „leegyszerűsített egyenletnek” a megoldása után nem marad más hátra, mint a „fordított csere” elvégzése, vagyis a helyettesítettről a lecseréltre való visszatérés.

Illusztráljuk az imént elmondottakat egy nagyon egyszerű példával:

16. példa Egyszerű cseremódszer

Ezt az egyenletet a segítségével lehet megoldani "egyszerű csere", ahogy a matematikusok lekicsinylően nevezik.

Valójában itt a csere a legkézenfekvőbb. Az embernek csak ezt kell látnia

Ekkor az eredeti egyenlet a következőre változik:

Ha ezen felül elképzeli, hogyan, akkor teljesen egyértelmű, hogy ki kell cserélni...

Természetesen, .

Mi lesz akkor az eredeti egyenlet? Íme:

Könnyen megtalálhatja a gyökereit egyedül: .

Most mit kellene tennünk?

Ideje visszatérni az eredeti változóhoz.

Mit felejtettem el megemlíteni?

Nevezetesen: ha egy bizonyos fokot új változóra cserélünk (vagyis egy típust), akkor érdekelni fog csak pozitív gyökerek!

Te magad is könnyen megválaszolhatod, hogy miért.

Így téged és engem nem érdekel, de a második gyökér nagyon alkalmas számunkra:

Aztán honnan.

Válasz:

Mint látható, az előző példában egy csere csak a kezünket kérte. Sajnos ez nem mindig van így.

Azonban ne menjünk közvetlenül a szomorú dolgokra, hanem gyakoroljunk még egy példát egy meglehetősen egyszerű cserével

17. példa Egyszerű cseremódszer

Nyilvánvaló, hogy nagy valószínűséggel ki kell cserélni (ez a legkisebb fok az egyenletünkben).

A helyettesítés bevezetése előtt azonban az egyenletünket „fel kell készíteni” rá, nevezetesen: , .

Ezután lecserélheti, ennek eredményeként a következő kifejezést kapom:

Ó iszonyat: egy köbös egyenlet, teljesen szörnyű megoldási képletekkel (hát, általánosságban beszélve).

De ne essünk kétségbe azonnal, hanem gondoljuk át, mit kellene tennünk.

A csalást javaslom: tudjuk, hogy a „szép” válaszhoz valamilyen három hatvány formájában kell megkapnunk (miért is lenne az, mi?).

Próbáljuk meg kitalálni az egyenletünk legalább egy gyökerét (három hatványával kezdem a találgatást).

Első tipp. Nem gyökér. Jaj és jaj...

.
A bal oldal egyenlő.
Jobb oldali rész: !

Eszik! Kitalálta az első gyökér. Most minden könnyebb lesz!

Ismeri a „sarok” felosztási sémát? Természetesen igen, akkor használja, amikor egy számot eloszt a másikkal.

De kevesen tudják, hogy ugyanez megtehető polinomokkal.

Van egy csodálatos tétel:

Az én helyzetemre vonatkoztatva ez azt mondja nekem, hogy maradék nélkül osztható vele.

Hogyan történik a felosztás? így:

Megnézem, melyik monomimmal kell szoroznom, hogy megkapjam

Akkor egyértelmű, hogy:

Kivonom az eredményül kapott kifejezést a következőből:

Most mivel kell szoroznom, hogy megkapjam?

Egyértelmű, hogy tovább, akkor megkapom:

és ismét vonjuk ki a kapott kifejezést a maradékból:

Nos, az utolsó lépés a maradék kifejezés szorzása és kivonása:

Hurrá, az osztozásnak vége! Mit halmoztunk fel privátban?

Magától: .

Ezután az eredeti polinom következő kiterjesztését kaptuk:

Oldjuk meg a második egyenletet:

Gyökerei vannak:

Akkor az eredeti egyenlet:

három gyökere van:

Természetesen az utolsó gyökeret eldobjuk, mivel az kisebb, mint nulla.

És az első kettő a fordított csere után két gyökeret ad nekünk:

Válasz: ..

Nem akartalak megijeszteni ezzel a példával!

Éppen ellenkezőleg, az volt a célom, hogy megmutassam, hogy bár volt egy meglehetősen egyszerű pótlásunk, ez mégis egy meglehetősen összetett egyenlethez vezetett, amelynek megoldása speciális készségeket igényelt tőlünk.

Nos, ez ellen senki sem mentes. De a csere ebben az esetben teljesen nyilvánvaló volt.

18. példa (kevésbé nyilvánvaló helyettesítéssel)

Egyáltalán nem világos, hogy mit kell tennünk: a probléma az, hogy az egyenletünkben két különböző bázis van, és az egyik bázist nem lehet a másikból bármilyen (ésszerű, természetesen) hatványra emelni.

Azonban mit látunk?

Mindkét alap csak előjelben különbözik, szorzatuk pedig az eggyel egyenlő négyzetek különbsége:

Meghatározás:

Így a példánkban szereplő számok konjugáltak.

Ebben az esetben az okos lépés lenne szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a konjugált számmal.

Például be, akkor az egyenlet bal oldala egyenlő lesz a jobb oldallal.

Ha behelyettesítünk, akkor az eredeti egyenletünk a következő lesz:

a gyökerei tehát, és erre emlékezve megkapjuk.

Válasz: , .

Általános szabály, hogy a helyettesítési módszer elegendő a legtöbb „iskolai” exponenciális egyenlet megoldásához.

Az alábbi, fokozott bonyolultságú feladatok az egységes államvizsga-változatokból származnak.

Három fokozott összetettségű feladat az egységes államvizsga-változatokból

Már elég művelt vagy ahhoz, hogy egyedül megoldja ezeket a példákat. Csak a szükséges cserét adom.

1. Oldja meg az egyenletet:
2. Keresse meg az egyenlet gyökereit:
3. Oldja meg az egyenletet: . Keresse meg ennek az egyenletnek a szegmenshez tartozó összes gyökerét:

És most néhány rövid magyarázat és válasz:

19. számú példa

Itt elég annyit megjegyeznünk, hogy...

Ekkor az eredeti egyenlet ezzel lesz ekvivalens:

Ez az egyenlet cserével megoldható

Végezze el saját maga a további számításokat.

Végül a feladata egyszerű trigonometrikus feladatok megoldására korlátozódik (szinusztól vagy koszinusztól függően). Hasonló példák megoldásait nézzük meg más részekben.

20. számú példa

Itt akár csere nélkül is megteheti...

Elegendő a részrészt jobbra mozgatni, és mindkét bázist kettő hatványain keresztül ábrázolni: , majd azonnal a másodfokú egyenletre lépni.

21. számú példa

Ezt is meglehetősen standard módon oldják meg: képzeljük el, hogyan.

Ezután kicserélve egy másodfokú egyenletet kapunk: akkor,

Már tudod, mi a logaritmus, igaz? Nem? Akkor sürgősen olvasd el a témát!

Az első gyök nyilván nem tartozik a szegmenshez, de a második nem egyértelmű!

De hamarosan megtudjuk!

Azóta (ez a logaritmus tulajdonsága!)

Vonjuk ki mindkét oldalból, és kapjuk:

A bal oldalt a következőképpen ábrázolhatjuk:

szorozd meg mindkét oldalt a következővel:

akkor szorozható

Akkor hasonlítsd össze:

azóta:

Ekkor a második gyök a kívánt intervallumhoz tartozik

Válasz:

Ahogy látod, Az exponenciális egyenletek gyökereinek kiválasztása a logaritmus tulajdonságainak meglehetősen mély ismeretét igényli, ezért azt tanácsolom, hogy az exponenciális egyenletek megoldásánál a lehető legóvatosabb legyen.

Mint érti, a matematikában minden összefügg!

Ahogy a matematikatanárom mondta: „a matematikát, akárcsak a történelmet, nem lehet egyik napról a másikra elolvasni.”

Általános szabály, hogy minden A megnövekedett összetettségű problémák megoldásának nehézsége éppen az egyenlet gyökereinek kiválasztása.

Még egy példa a gyakorlathoz...

22. példa

Nyilvánvaló, hogy magát az egyenletet egészen egyszerűen megoldják.

A behelyettesítéssel az eredeti egyenletünket a következőre redukáljuk:

Először nézzük meg első gyökér.

Hasonlítsuk össze és: mivel, akkor. (logaritmikus függvény tulajdonsága, at).

Ekkor világos, hogy az első gyök nem tartozik a mi intervallumunkhoz.

Most a második gyökér: . Világos, hogy (mivel a at függvény növekszik).

Marad az összehasonlítás és...

azóta, ugyanakkor.

Így tudok „csapot hajtani” a és a között.

Ez a csap egy szám.

Az első kifejezés kisebb, a második nagyobb.

Ekkor a második kifejezés nagyobb, mint az első, és a gyök az intervallumhoz tartozik.

Válasz: .

Végül nézzünk egy másik példát egy egyenletre, ahol a helyettesítés meglehetősen szokatlan.

23. példa (Egyenlet nem szabványos cserével!)

Kezdjük mindjárt azzal, hogy mit lehet tenni, és mit - elvileg - meg lehet tenni, de jobb, ha nem tesszük.

Elképzelhetsz mindent a három, kettő és hat hatalmán keresztül.

Hová vezet?

Ez nem vezet semmihez: fokok zagyvaságához, amelyek közül néhányat meglehetősen nehéz lesz megszabadulni.

Akkor mire van szükség?

Vegyük észre, hogy a

És mit fog ez adni nekünk?

És az, hogy ennek a példának a megoldását le tudjuk redukálni egy elég egyszerű exponenciális egyenlet megoldására!

Először is írjuk át az egyenletünket a következőképpen:

Most osszuk el a kapott egyenlet mindkét oldalát:

Eureka! Most lecserélhetjük, így kapjuk:

Nos, most rajtad a sor a demonstrációs problémák megoldásán, és ezekhez csak rövid megjegyzéseket teszek, hogy ne tévedj el! Sok szerencsét!

24. számú példa

A legbonyolultabb!

Nagyon nehéz itt cserét látni! De ennek ellenére ez a példa teljesen megoldható a használatával egy teljes négyzet kiemelése.

A megoldáshoz elég megjegyezni, hogy:

Akkor itt a csere:

(Kérjük, vegye figyelembe, hogy itt a csere során nem tudjuk eldobni a negatív gyökeret!!! Ön szerint miért?)

A példa megoldásához csak két egyenletet kell megoldania:

Mindkettő megoldható egy „szokásos cserével” (de egy példában a második!)

25. számú példa

2. Ezt figyelje meg, és cserélje ki.

26. számú példa

3. Bontsa fel a számot koprímtényezőkre, és egyszerűsítse a kapott kifejezést.

27. számú példa

4. Ossza el a tört számlálóját és nevezőjét (vagy, ha úgy tetszik), és végezze el a helyettesítést ill.

28. számú példa

5. Figyeljük meg, hogy a és a számok konjugáltak.

EXPONENTÁRIS EGYENLETEK MEGOLDÁSA LOGARIFHM MÓDSZERHEZ. HALADÓ SZINT

Ezen kívül nézzünk egy másik módot is - exponenciális egyenletek megoldása logaritmus módszerrel.

Nem mondhatom, hogy az exponenciális egyenletek megoldása ezzel a módszerrel nagyon népszerű, de bizonyos esetekben csak ez vezethet el bennünket az egyenletünk helyes megoldásához.

Különösen gyakran használják az ún. vegyes egyenletek": vagyis azok, ahol különböző típusú funkciók fordulnak elő.

29. számú példa

általános esetben csak úgy oldható meg, hogy mindkét oldal logaritmusát vesszük (például az alaphoz), amelyben az eredeti egyenlet a következővé alakul:

Nézzük a következő példát:

Nyilvánvaló, hogy a logaritmikus függvény ODZ-je szerint csak minket érdekel.

Ez azonban nemcsak a logaritmus ODZ-jéből következik, hanem még egy okból.

Azt hiszem, nem lesz nehéz kitalálnia, melyik az.

Vegyük az egyenletünk mindkét oldalának logaritmusát az alaphoz:

Mint látható, az eredeti egyenletünk logaritmusának felvétele gyorsan elvezetett minket a helyes (és szép!) válaszhoz.

Gyakoroljunk még egy példával.

30. számú példa

Itt sincs semmi baj: vegyük az egyenlet mindkét oldalának logaritmusát az alapra, akkor kapjuk:

Cseréljünk:

Valamit azonban kihagytunk! Észrevetted, hol hibáztam? Végül is akkor:

ami nem felel meg a követelménynek (gondold, honnan jött!)

Válasz:

Próbálja meg felírni az alábbi exponenciális egyenletek megoldását:

Hasonlítsa össze döntését ezzel:

31. számú példa

Logaritjuk mindkét oldalt az alaphoz, figyelembe véve, hogy:

(a második gyökér csere miatt nekünk nem megfelelő)

32. számú példa

Vegyük a logaritmusokat az alaphoz:

Alakítsuk át a kapott kifejezést a következő alakra:

EXPONENTÁRIS EGYENLETEK. RÖVID LEÍRÁS ÉS ALAPKÉPLETEK

Exponenciális egyenlet

A forma egyenlete:

hívott a legegyszerűbb exponenciális egyenlet.

A fokozatok tulajdonságai

Megoldás megközelítései

• Csökkentés ugyanarra az alapra
• Csökkentés ugyanarra a kitevőre
• Változó csere
• A kifejezés egyszerűsítése és a fentiek valamelyikének alkalmazása.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete