A legnagyobb közös osztó

2. definíció

Ha egy a természetes szám osztható egy $b$ természetes számmal, akkor a $b$-t $a$ osztójának, az $a$-t pedig a $b$ többszörösének nevezzük.

Legyenek $a$ és $b$ természetes számok. A $c$ számot mind az $a$, mind a $b$ közös osztójának nevezzük.

Az $a$ és $b$ számok közös osztóinak halmaza véges, mivel ezen osztók egyike sem lehet nagyobb $a$-nál. Ez azt jelenti, hogy ezen osztók között van egy legnagyobb, amelyet az $a$ és $b$ számok legnagyobb közös osztójának neveznek, és a következő jelöléssel jelöljük:

$GCD\(a;b)\ vagy \D\(a;b)$

Két szám legnagyobb közös osztójának megtalálásához a következőkre lesz szüksége:

1. Keresse meg a 2. lépésben talált számok szorzatát. Az eredményül kapott szám lesz a kívánt legnagyobb közös osztó.

1. példa

Keresse meg a $121$ és a $132.$ számok gcd-jét

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Válassza ki azokat a számokat, amelyek ezeknek a számoknak a kibontásában szerepelnek

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Keresse meg a 2. lépésben talált számok szorzatát. Az eredményül kapott szám lesz a kívánt legnagyobb közös osztó.

$GCD=2\cdot 11=22$

2. példa

Keresse meg a $63$ és $81$ monomok gcd-jét.

A bemutatott algoritmus szerint megtaláljuk. Ehhez tegye a következőket:

Tekintsük a számokat prímtényezőkbe

$63=3\cdot 3\cdot 7$

81 $=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Kiválasztjuk azokat a számokat, amelyek ezeknek a számoknak a bővítésében szerepelnek

$63=3\cdot 3\cdot 7$

81 $=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Keressük meg a 2. lépésben talált számok szorzatát. Az eredményül kapott szám lesz a kívánt legnagyobb közös osztó.

$GCD=3\cdot 3=9$

Két szám gcd-jét más módon is megtalálhatja, a számok osztókészletével.

3. példa

Keresse meg a $48$ és $60$ számok gcd-jét.

Megoldás:

Keressük meg a $48$ szám osztókészletét: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

Most keressük meg a $60$ szám osztókészletét:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\) $

Keressük meg ezeknek a halmazoknak a metszéspontját: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - ez a halmaz határozza meg a $48$ és $60 számok közös osztóinak halmazát $. A készlet legnagyobb eleme a $12$ szám lesz. Ez azt jelenti, hogy a $48$ és a 60$ számok legnagyobb közös osztója 12$.

Az NPL meghatározása

3. definíció

Természetes számok közös többszörösei Az $a$ és a $b$ egy természetes szám, amely mind az $a$, mind a $b$ többszöröse.

A számok közös többszörösei olyan számok, amelyek maradék nélkül oszthatók az eredeti számokkal. Például a $25$ és a $50$ számok közös többszörösei a $50,100,150,200$ stb.

A legkisebb közös többszöröst a legkisebb közös többszörösnek nevezzük, és jelölése LCM$(a;b)$ vagy K$(a;b).$

Két szám LCM-jének megkereséséhez a következőket kell tennie:

1. A faktorszámok prímtényezőkké
2. Írd le azokat a tényezőket, amelyek az első szám részét képezik, és add hozzá azokat a tényezőket, amelyek a második részei, és nem az elsőben

4. példa

Keresse meg a $99$ és a $77$ számok LCM-jét.

A bemutatott algoritmus szerint megtaláljuk. Erre

A faktorszámok prímtényezőkké

99 USD=3\cdot 3\cdot 11 USD

Írja le az elsőben szereplő tényezőket!

adjunk hozzájuk olyan szorzószámokat, amelyek a második részét képezik, és nem az elsőnek

Keresse meg a 2. lépésben talált számok szorzatát. Az eredményül kapott szám a kívánt legkisebb közös többszörös lesz

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

A számok osztóinak listáinak összeállítása gyakran igen munkaigényes feladat. Van egy módszer a GCD megtalálására, az úgynevezett euklideszi algoritmus.

Állítások, amelyeken az euklideszi algoritmus alapul:

Ha $a$ és $b$ természetes számok, és $a\vdots b$, akkor $D(a;b)=b$

Ha $a$ és $b$ természetes számok, így $b

A $D(a;b)= D(a-b;b)$ használatával egymás után csökkenthetjük a vizsgált számokat, amíg el nem érünk egy olyan számpárt, amelyik osztható a másikkal. Ekkor ezek közül a számok közül a kisebb lesz az $a$ és $b$ számok kívánt legnagyobb közös osztója.

A GCD és az LCM tulajdonságai

1. $a$ és $b$ bármely közös többszöröse osztható K$(a;b)$-tal
2. Ha $a\vdots b$ , akkor К$(a;b)=a$

Ha K$(a;b)=k$ és $m$ természetes szám, akkor K$(am;bm)=km$

Ha $d$ az $a$ és a $b$ közös osztója, akkor K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

Ha $a\vdots c$ és $b\vdots c$ , akkor a $\frac(ab)(c)$ $a$ és $b$ közös többszöröse

Minden $a$ és $b$ természetes számra érvényes az egyenlőség

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

Az $a$ és $b$ számok bármely közös osztója a $D(a;b)$ szám osztója

A „Többszörös számok” témát a középiskola 5. osztályában tanulják. Célja az írásbeli és szóbeli matematikai számítási készségek fejlesztése. Ebben a leckében új fogalmakat vezetnek be - „többszörös számok” és „osztók”, a természetes szám osztóinak és többszöröseinek megtalálásának technikáját, valamint az LCM különféle módokon történő megtalálásának képességét.

Ez a téma nagyon fontos. Ennek ismerete a törtjeles példák megoldásánál is alkalmazható. Ehhez meg kell találni a közös nevezőt a legkisebb közös többszörös (LCM) kiszámításával.

A többszöröse olyan egész szám, amely maradék nélkül osztható A-val.

Minden természetes számnak végtelen számú többszöröse van. Önmagát tekintik a legkisebbnek. A többszörös nem lehet kisebb, mint maga a szám.

Be kell bizonyítani, hogy a 125 szám többszöröse az 5-nek. Ehhez az első számot el kell osztani a másodikkal. Ha 125 osztható 5-tel maradék nélkül, akkor a válasz igen.

Ez a módszer kis számok esetén alkalmazható.

A LOC kiszámításakor vannak speciális esetek.

1. Ha meg kell találnia 2 olyan szám közös többszörösét (például 80 és 20), ahol az egyik (80) osztható a másikkal (20), akkor ez a szám (80) ezeknek a legkisebb többszöröse. két szám.

LCM(80; 20) = 80.

2. Ha kettőnek nincs közös osztója, akkor azt mondhatjuk, hogy az LCM-jük ennek a két számnak a szorzata.

LCM(6; 7) = 42.

Nézzük az utolsó példát. A 6 és 7 a 42-hez képest osztók. Egy szám többszörösét osztják maradék nélkül.

Ebben a példában a 6 és 7 páros faktorok. A szorzatuk megegyezik a legtöbb többszörös számmal (42).

Egy számot prímnek nevezünk, ha csak önmagával vagy 1-gyel osztható (3:1=3; 3:3=1). A többit kompozitnak nevezik.

Egy másik példa annak meghatározása, hogy 9 osztója-e 42-nek.

42:9=4 (a maradék 6)

Válasz: A 9 nem osztója 42-nek, mert a válasznak van maradéka.

Az osztó abban különbözik a többszöröstől, hogy az osztó az a szám, amellyel a természetes számokat elosztjuk, magát a többszöröst pedig ezzel a számmal.

A számok legnagyobb közös osztója aÉs b, megszorozva a legkisebb többszörösükkel, maguknak a számoknak a szorzatát adja aÉs b.

Nevezetesen: gcd (a, b) x gcd (a, b) = a x b.

Az összetettebb számok közös többszörösei a következő módon találhatók meg.

Például keresse meg a 168, 180, 3024 LCM-jét.

Ezeket a számokat prímtényezőkké alakítjuk, és hatványok szorzataként írjuk fel:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

LCM(168; 180; 3024) = 15120.

Az LCM (legkisebb közös többszörös) megtalálása

Két egész szám legkisebb közös többszöröse az összes szám közül a legkisebb, amely maradék nélkül osztható mindkét adott számmal.

1. módszer. Az LCM-et viszont minden adott számhoz megtalálhatja, növekvő sorrendben kiírva az összes számot, amelyet úgy kapunk, hogy megszorozzuk őket 1-gyel, 2-vel, 3-mal, 4-gyel stb.

Példa a 6-os és 9-es számokhoz.
A 6-ot egymás után megszorozzuk 1-gyel, 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 5-tel.
Kapunk: 6, 12, 18 , 24, 30
A 9-et egymás után megszorozzuk 1-gyel, 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 5-tel.
Kapunk: 9, 18 , 27, 36, 45
Amint látja, a 6-os és 9-es számok LCM-je 18 lesz.

Ez a módszer akkor kényelmes, ha mindkét szám kicsi, és könnyű megszorozni őket egész számok sorozatával. Vannak azonban olyan esetek, amikor meg kell találnia az LCM-et két- vagy háromjegyű számokhoz, és akkor is, ha három vagy akár több kezdeti szám van.

2. módszer. Az LCM-et úgy találhatja meg, hogy az eredeti számokat prímtényezőkké alakítja.
Felbontás után a kapott prímtényezők sorából azonos számokat kell kihúzni. Az első szám fennmaradó számai a második szorzóját jelentik, a második szám fennmaradó számai pedig az első szorzóját.

Példa a 75-ös és 60-as számokhoz.
A 75 és 60 számok legkisebb közös többszöröse megtalálható anélkül, hogy ezeknek a számoknak a többszöröseit sorba írnánk. Ehhez vegyen 75-öt és 60-at egyszerű tényezőkre:
75 = 3 * 5 * 5, a
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Mint látható, a 3. és 5. faktor mindkét sorban megjelenik. Mentálisan „áthúzzuk” őket.
Írjuk fel az egyes számok bővítésében szereplő fennmaradó tényezőket. A 75-ös szám bontásánál marad az 5-ös szám, a 60-as szám bontásánál pedig 2*2
Ez azt jelenti, hogy a 75-ös és 60-as számok LCM-jének meghatározásához meg kell szoroznunk a 75-ből (ez 5-ből) fennmaradó számokat 60-zal, és meg kell szoroznunk a 60-as kiterjesztésből fennmaradó számokat (ez 2). * 2) 75-tel. Vagyis a könnyebb érthetőség kedvéért azt mondjuk, hogy „keresztben” szorozunk.
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Így találtuk meg a 60-as és 75-ös számok LCM-jét. Ez a 300-as szám.

Példa. Határozza meg a 12, 16, 24 számok LCM-jét
Ebben az esetben a cselekedeteink valamivel bonyolultabbak lesznek. De először, mint mindig, tizedeljük az összes számot
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Az LCM helyes meghatározásához az összes szám közül kiválasztjuk a legkisebbet (ez a 12-es szám), és egymás után végigmegyünk a faktorain, áthúzva azokat, ha legalább egy másik számsorban ugyanazzal a tényezővel találkozunk, amelyet még nem. át lett húzva.

1. lépés Látjuk, hogy a 2 * 2 minden számsorozatban előfordul. Húzzuk át őket.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

2. lépés. A 12-es szám prímtényezőiben csak a 3-as szám marad meg, de a 24-es szám prímtényezőiben benne van. A 3-as számot mindkét sorból kihúzzuk, míg a 16-os számhoz nem kell semmit tenni. .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Mint látható, a 12-es szám felbontásakor az összes számot „áthúztuk”. Ez azt jelenti, hogy a LOC megtalálása befejeződött. Már csak az értékét kell kiszámítani.
A 12-es számhoz vegye a 16-os szám fennmaradó tényezőit (növekvő sorrendben a következő)
12 * 2 * 2 = 48
Ez a NOC

Amint láthatja, ebben az esetben az LCM megtalálása valamivel nehezebb volt, de ha három vagy több számhoz kell megtalálnia, ez a módszer lehetővé teszi, hogy gyorsabban megtegye. Az LCM megtalálásának mindkét módszere azonban helyes.

Két szám legkisebb közös többszöröse közvetlenül kapcsolódik e számok legnagyobb közös osztójához. Ez kapcsolat a GCD és a NOC között a következő tétel határozza meg.

Tétel.

Két pozitív egész szám a és b legkisebb közös többszöröse egyenlő a és b szorzatával osztva a és b legnagyobb közös osztójával, azaz LCM(a, b)=a b:GCD(a, b).

Bizonyíték.

Hadd M az a és b számok többszöröse. Azaz M osztható a-val, és az oszthatóság definíciója szerint van olyan k egész szám, amelyre az M=a·k egyenlőség igaz. De M is osztható b-vel, akkor a·k osztható b-vel.

Jelöljük gcd(a, b)-t d-ként. Ekkor felírhatjuk az a=a 1 ·d és b=b 1 ·d egyenlőségeket, és a 1 =a:d és b 1 =b:d relatív prímszámok lesznek. Következésképpen az előző bekezdésben kapott feltétel, hogy a · k osztható b-vel, a következőképpen újrafogalmazható: a 1 · d · k osztva b 1 · d -vel, és ez az oszthatósági tulajdonságok miatt ekvivalens az a feltétel, hogy a 1 · k osztható b 1-gyel.

A vizsgált tételből két fontos következményt is le kell írni.

Két szám közös többszörösei megegyeznek a legkisebb közös többszörösük többszörösével.

Ez valóban így van, mivel az a és b számok M bármely közös többszörösét az M=LMK(a, b)·t egyenlőség határozza meg valamilyen t egész értékre.

Az a és b kölcsönösen prímszámú pozitív számok legkisebb közös többszöröse egyenlő a szorzatukkal.

Ennek a ténynek az indoklása teljesen nyilvánvaló. Mivel a és b viszonylag prím, akkor gcd(a, b)=1, ezért GCD(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

Három vagy több szám legkisebb közös többszöröse

Három vagy több szám legkisebb közös többszörösének megtalálása lecsökkenthető két szám LCM-jének szekvenciális meghatározására. Hogy ez hogyan történik, azt a következő tétel jelzi, hogy a 1 , a 2 , …, a k egybeesnek az m k-1 számok közös többszöröseivel, a k tehát egybeesnek az m k szám közös többszörösével. És mivel az m k szám legkisebb pozitív többszöröse maga az m k szám, akkor az a 1, a 2, ..., a k számok legkisebb közös többszöröse m k.

Hivatkozások.

• Vilenkin N.Ya. és a matematika. 6. évfolyam: tankönyv általános oktatási intézmények számára.
• Vinogradov I.M. A számelmélet alapjai.
• Mikhelovich Sh.H. Számelmélet.
• Kulikov L.Ya. és egyebek Algebrai és számelméleti feladatgyűjtemény: Tankönyv fizika és matematika szakos hallgatóknak. pedagógiai intézetek szakterületei.

Az LCM kiszámításának megértéséhez először meg kell határoznia a „többszörös” kifejezés jelentését.

A többszöröse olyan természetes szám, amely maradék nélkül osztható A-val. Így azok a számok, amelyek 5 többszörösei, 15-nek, 20-nak, 25-nek stb.

Egy adott számnak korlátozott számú osztója lehet, de végtelen számú többszöröse van.

A természetes számok közös többszöröse olyan szám, amely osztható velük anélkül, hogy maradékot hagyna.

Hogyan találjuk meg a számok legkisebb közös többszörösét

A számok legkisebb közös többszöröse (LCM) (kettő, három vagy több) a legkisebb természetes szám, amely osztható ezekkel a számokkal.

A LOC megtalálásához többféle módszert is használhat.

Kis számok esetén célszerű ezeknek a számoknak az összes többszörösét felírni egy sorba, amíg nem talál valami közöset közöttük. A többszöröseket nagy K betűvel jelöljük.

Például a 4 többszörösei így írhatók:

K (4) = (8, 12, 16, 20, 24, ...)

K (6) = (12, 18, 24, ...)

Így látható, hogy a 4 és 6 számok legkisebb közös többszöröse a 24. Ez a jelölés a következőképpen történik:

LCM(4; 6) = 24

Ha a számok nagyok, keresse meg három vagy több szám közös többszörösét, akkor jobb, ha más módszert használ az LCM kiszámítására.

A feladat elvégzéséhez a megadott számokat prímtényezőkbe kell számolni.

Először le kell írnia egy sor legnagyobb számának felbomlását, és alatta - a többit.

Az egyes számok dekompozíciója különböző számú tényezőt tartalmazhat.

Például vegyük az 50-es és 20-as számokat prímtényezőkbe.

A kisebb szám bővítésében érdemes kiemelni azokat a tényezőket, amelyek az első legnagyobb szám bővítésében hiányoznak, majd hozzá kell adni azokat. A bemutatott példában hiányzik a kettő.

Most kiszámolhatja a 20 és 50 legkisebb közös többszörösét.

LCM(20; 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Így a nagyobb szám prímtényezőinek és a második szám azon tényezőinek szorzata, amelyek nem szerepeltek a nagyobb szám bővítésében, lesz a legkisebb közös többszörös.

Három vagy több szám LCM-jének meghatározásához az előző esethez hasonlóan mindegyiket prímtényezőkbe kell számolnia.

Példaként megtalálhatja a 16, 24, 36 számok legkisebb közös többszörösét.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Így a tizenhat bővítéséből csak két kettes nem került be nagyobb szám faktorizálásába (az egyik a huszonnégy bővítésébe).

Így nagyobb szám bővítéséhez hozzá kell adni őket.

LCM(12; 16; 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

A legkisebb közös többszörös meghatározásának vannak speciális esetei. Tehát, ha az egyik szám maradék nélkül osztható egy másikkal, akkor ezek közül a számok közül a nagyobb lesz a legkisebb közös többszörös.

Például a tizenkettő és a huszonnégy LCM értéke huszonnégy.

Ha meg kell találni azoknak a koprímszámoknak a legkisebb közös többszörösét, amelyek nem rendelkeznek azonos osztókkal, akkor az LCM-jük egyenlő lesz a szorzatukkal.

Például LCM (10, 11) = 110.