Megnevezések és szimbolika. A matematikai szimbólumok történetéből

"A szimbólumok nem csak gondolatok rögzítései,
ábrázolásának és megszilárdításának eszköze, -
nem, magát a gondolatot befolyásolják,
ők... vezetik őt, és ez elég
mozgassa őket papíron... annak érdekében
tévedhetetlenül új igazságokhoz jutni.”

L. Carnot

A matematikai jelek elsősorban a matematikai fogalmak és mondatok pontos (egyértelműen meghatározott) rögzítésére szolgálnak. Ezek összessége a matematikusok általi alkalmazásuk valós feltételei között alkotja az úgynevezett matematikai nyelvet.

A matematikai szimbólumok lehetővé teszik olyan mondatok tömör formájú írását, amelyeket nehézkes a hétköznapi nyelven kifejezni. Így könnyebben megjegyezhetők.

Mielőtt bizonyos jeleket használna az érvelésben, a matematikus megpróbálja elmondani, hogy mindegyik mit jelent. Különben lehet, hogy nem értik meg őt.
De a matematikusok nem mindig tudják azonnal megmondani, mit tükröz ez vagy az a szimbólum, amelyet bármely matematikai elmélethez bevezettek. Például a matematikusok több száz évig operáltak negatív és összetett számokkal, de ezeknek a számoknak az objektív jelentését és a velük való műveletet csak a 18. század végén, a 19. század elején fedezték fel.

1. Matematikai kvantorok szimbolikája

A közönséges nyelvhez hasonlóan a matematikai jelek nyelve is lehetővé teszi a megállapított matematikai igazságok cseréjét, de lévén csak segédeszköz a hétköznapi nyelvhez, és nem létezhet nélküle.

Matematikai definíció:

Közönséges nyelven:

A funkció korlátja F (x) egy bizonyos ponton X0 egy állandó A szám úgy, hogy egy tetszőleges E>0 számra létezik olyan pozitív d(E), hogy az |X - X 0 |X feltételből |

Írás kvantorokban (matematikai nyelven)

2. Matematikai jelek és geometriai alakzatok szimbolikája.

1) A végtelen a matematikában, a filozófiában és a tudományban használt fogalom. Egy adott objektum fogalmának vagy attribútumának végtelensége azt jelenti, hogy nem lehet határokat vagy mennyiségi mértéket jelölni számára. A végtelen kifejezés több különböző fogalomnak felel meg, alkalmazási területtől függően, legyen az matematika, fizika, filozófia, teológia vagy a mindennapi élet. A matematikában nincs egyetlen fogalma a végtelennek, minden szakaszban különleges tulajdonságokkal van felruházva. Ráadásul ezek a különböző „végtelenségek” nem felcserélhetők. Például a halmazelmélet különböző végteleneket foglal magában, és az egyik nagyobb lehet, mint a másik. Tegyük fel, hogy az egész számok száma végtelenül nagy (ezt hívják megszámlálhatónak). A végtelen halmazokra vonatkozó elemszám fogalmának általánosítása érdekében a matematikában bevezetik a halmaz számosságának fogalmát. Azonban nincs egyetlen „végtelen” hatalom. Például a valós számok halmazának hatványa nagyobb, mint az egész számok hatványa, mivel ezek között a halmazok között nem lehet egy-egy megfelelést építeni, és a valós számokba egész számok is beletartoznak. Így ebben az esetben az egyik kardinális szám (amely a halmaz hatványával egyenlő) „végtelen”, mint a másik. E fogalmak alapítója Georg Cantor német matematikus volt. A számításban két szimbólumot adnak a valós számok halmazához, a plusz és mínusz végtelent, amelyeket a határértékek és a konvergencia meghatározására használnak. Meg kell jegyezni, hogy ebben az esetben nem „kézzelfogható” végtelenről beszélünk, hiszen minden ezt a szimbólumot tartalmazó állítás csak véges számok és kvantorok felhasználásával írható. Ezeket a szimbólumokat (és még sok mást) a hosszabb kifejezések lerövidítésére vezették be. A végtelenség is elválaszthatatlanul összefügg a végtelenül kicsi megjelölésével, például Arisztotelész mondta:
„... mindig lehet nagyobb számot kitalálni, mert nincs határa azoknak a részeknek, amelyekre egy szegmens felosztható; ezért a végtelen potenciális, soha nem aktuális, és függetlenül attól, hogy hány osztást adunk meg, mindig lehetséges, hogy ezt a szegmenst még nagyobb számra osztjuk fel.” Vegyük észre, hogy Arisztotelész nagymértékben hozzájárult a végtelenség tudatosításához, potenciálisra és ténylegesre osztotta azt, és erről az oldalról közel került a matematikai elemzés alapjaihoz, rámutatva öt gondolati forrásra is:

• idő,
• mennyiségek felosztása,
• a kreatív természet kimeríthetetlensége,
• maga a határ fogalma, túllép a határain,
• megállíthatatlan gondolkodás.

A végtelen a legtöbb kultúrában valami felfoghatatlanul nagy dolog absztrakt mennyiségi megjelöléseként jelent meg, amelyet térbeli vagy időbeli határok nélküli entitásokra alkalmaztak.
Továbbá a végtelent a filozófiában és a teológiában az egzakt tudományokkal együtt fejlesztették ki. Például a teológiában Isten végtelensége nem annyira mennyiségi definíciót ad, mint inkább azt, hogy korlátlan és felfoghatatlan. A filozófiában ez a tér és az idő sajátossága.
A modern fizika közel áll a végtelenség Arisztotelész által tagadott relevanciájához – vagyis a való világban való hozzáférhetőséghez, és nem csak elvont értelemben. Például létezik a szingularitás fogalma, amely szorosan kapcsolódik a fekete lyukakhoz és az ősrobbanás elméletéhez: ez egy olyan pont a téridőben, ahol a tömeg végtelenül kicsi térfogatban végtelen sűrűséggel koncentrálódik. Már most szilárd közvetett bizonyítékok állnak rendelkezésre a fekete lyukak létezésére, bár az ősrobbanás-elmélet még fejlesztés alatt áll.

2) A kör a pontok geometriai helye egy síkon, amelynek távolsága egy adott ponttól, amelyet a kör középpontjának nevezünk, nem haladja meg az adott nemnegatív számot, amelyet a kör sugarának nevezünk. Ha a sugár nulla, akkor a kör ponttá degenerálódik. A kör egy síkon azon pontok geometriai helye, amelyek egyenlő távolságra vannak egy adott ponttól, amelyet középpontnak neveznek, adott nem nulla távolságban, amelyet sugarának nevezünk.
A kör a Nap, a Hold szimbóluma. Az egyik leggyakoribb szimbólum. A végtelenség, az örökkévalóság és a tökéletesség szimbóluma is.

3) Négyzet (rombusz) - négy különböző elem kombinációjának és sorrendjének szimbóluma, például a négy fő elem vagy a négy évszak. A 4-es szám szimbóluma, egyenlőség, egyszerűség, tisztesség, igazság, igazságosság, bölcsesség, becsület. A szimmetria az a gondolat, amelyen keresztül az ember megpróbálja megérteni a harmóniát, és ősidők óta a szépség szimbólumának tekintik. Az úgynevezett „figurás” versek, amelyek szövege rombusz körvonalú, szimmetrikus.
A vers egy rombusz.

Mi -
A sötétség között.
A szem pihen.
Az éjszaka sötétje él.
A szív mohón sóhajt,
A csillagok suttogása néha eljut hozzánk.
És az azúrkék érzések zsúfoltak.
Minden feledésbe merült a harmatos ragyogásban.
Adjunk egy illatos csókot!
Ragyogj gyorsan!
Suttogj újra
Akkor hogyan:
"Igen!"

(E.Martov, 1894)

4) Téglalap. Az összes geometriai forma közül ez a legracionálisabb, legmegbízhatóbb és leghelyesebb ábra; tapasztalatilag ez azzal magyarázható, hogy mindig és mindenhol a téglalap volt a kedvenc forma. Segítségével az ember a teret vagy bármilyen tárgyat a mindennapi életében való közvetlen használatra alakította át, például: házat, szobát, asztalt, ágyat stb.

5) Az ötszög szabályos ötszög, csillag alakú, az örökkévalóság, a tökéletesség és az univerzum szimbóluma. Pentagon - egészség amulett, tábla az ajtókon a boszorkányok elűzésére, Thoth, Merkúr, kelta Gawain stb. emblémája, Jézus Krisztus öt sebének szimbóluma, a jólét, a zsidók körében sok szerencsét, a legendás Salamon kulcsa; a japán társadalom magas státuszának jele.

6) Szabályos hatszög, hatszög - a bőség, a szépség, a harmónia, a szabadság, a házasság szimbóluma, a 6-os szám szimbóluma, egy személy képe (két kar, két láb, egy fej és egy törzs).

7) A kereszt a legmagasabb szakrális értékek szimbóluma. A kereszt a szellemi aspektust, a szellem felemelkedését, az Istenre, az örökkévalóságra való törekvést modellezi. A kereszt az élet és a halál egységének egyetemes szimbóluma.
Természetesen lehet, hogy nem ért egyet ezekkel a kijelentésekkel.
Azt azonban senki sem tagadja, hogy bármilyen kép asszociációkat vált ki az emberben. De a probléma az, hogy egyes tárgyak, cselekmények vagy grafikai elemek minden emberben (vagy inkább sokban) ugyanazokat az asszociációkat váltják ki, míg mások teljesen másokat.

8) A háromszög olyan geometriai alakzat, amely három pontból áll, amelyek nem esnek ugyanazon az egyenesen, és három szakaszból, amelyek összekötik ezt a három pontot.
A háromszög mint alak tulajdonságai: szilárdság, változhatatlanság.
A sztereometria A1 axiómája ezt mondja: „A tér három pontján, amelyek nem ugyanazon az egyenesen fekszenek, egy sík halad át, és csak egy!”
Ennek az állításnak a megértésének ellenőrzésére általában egy feladatot tesznek fel: „Három légy ül az asztalon, az asztal három végén. Egy bizonyos pillanatban három, egymásra merőleges irányban, azonos sebességgel repülnek szét. Mikor lesznek újra ugyanazon a gépen?” A válasz az a tény, hogy három pont mindig, minden pillanatban egyetlen síkot határoz meg. És pontosan 3 pont határozza meg a háromszöget, így a geometriában ez a szám a legstabilabb és legtartósabb.
A háromszöget általában éles, „sértő” alaknak nevezik, amely a férfias elvhez kapcsolódik. Az egyenlő oldalú háromszög egy férfias és szoláris jel, amely az istenséget, a tüzet, az életet, a szívet, a hegyet és a felemelkedést, a jólétet, a harmóniát és a királyságot képviseli. A fordított háromszög egy női és holdi szimbólum, amely a vizet, a termékenységet, az esőt és az isteni irgalmat jelképezi.

9) Hatágú csillag (Dávid-csillag) - két egyenlő oldalú háromszögből áll, amelyek egymásra helyezkednek. A jel eredetének egyik változata a formáját a fehér liliom virág formájával köti össze, amelynek hat szirmja van. A virágot hagyományosan a templomi lámpa alá helyezték, oly módon, hogy a pap mintegy tüzet gyújtott Dávid Mágus közepén. A Kabbalában két háromszög szimbolizálja az ember eredendő kettősségét: a jót a rosszal, a spirituálist a fizikaival és így tovább. A felfelé mutató háromszög jelképezi jócselekedeteinket, amelyek a mennybe emelkednek, és a kegyelem folyamát ereszkedik vissza ebbe a világba (amit a lefelé mutató háromszög jelképez). Néha a Dávid-csillagot a Teremtő csillagának nevezik, és mind a hat vége a hét valamelyik napjához, a középpontja pedig a szombathoz kapcsolódik.
Az Egyesült Államok államszimbólumai különböző formákban is tartalmazzák a hatágú csillagot, különösen az Egyesült Államok nagy pecsétjén és a bankjegyeken. A Dávid-csillag a németországi Cher és Gerbstedt városok, valamint az ukrán Ternopil és Konotop címerén látható. Burundi zászlaján három hatágú csillag látható, amelyek a nemzeti mottót képviselik: „Egység. Munka. Előrehalad".
A kereszténységben a hatágú csillag Krisztus szimbóluma, nevezetesen az isteni és emberi természet Krisztusban való egyesülése. Ezért van ez a jel az ortodox keresztben.

10) Ötágú csillag – A bolsevikok fő megkülönböztető jelképe a piros ötágú csillag, amelyet hivatalosan 1918 tavaszán helyeztek el. Kezdetben a bolsevik propaganda „Mars csillagának” nevezte (amely állítólag a háború ősi istenéhez, a Marshoz tartozik), majd kijelentette, hogy „A csillag öt sugara mind az öt kontinens dolgozó népének egyesülését jelenti. a kapitalizmus elleni harc." A valóságban az ötágú csillagnak semmi köze sem a harcos Mars istenséghez, sem a nemzetközi proletariátushoz, ez egy ősi okkult jel (nyilván közel-keleti eredetű), amit „pentagramnak” vagy „Salamon csillagnak” neveznek.
Kormány”, amely a szabadkőművesség teljes ellenőrzése alatt áll.
A sátánisták nagyon gyakran úgy rajzolnak egy pentagramot, hogy mindkét vége felfelé nézzen, így könnyen ráilleszthető az ördögfej „Baphomet pentagramja”. A „tüzes forradalmár” portréja a „Baphomet pentagrammában” található, amely a „Felix Dzerzsinszkij” különleges csekista rend 1932-ben tervezett kompozíciójának központi része (a projektet később Sztálin elutasította, aki mélyen gyűlölte „Vas Félix”).

Vegyük észre, hogy a pentagramot a bolsevikok gyakran pusztán sátáni módon helyezték el a Vörös Hadsereg egyenruhájára, katonai felszerelésére, különféle táblákra és a vizuális propaganda mindenféle attribútumaira: két „szarvat” felfelé.
A „proletár világforradalom” marxista tervei egyértelműen szabadkőműves eredetűek voltak, a legkiemelkedőbb marxisták közül számos a szabadkőművesség tagja volt. L. Trockij volt az egyikük, és ő javasolta, hogy a szabadkőműves pentagram legyen a bolsevizmus azonosító jelképe.
A nemzetközi szabadkőműves páholyok titokban teljes, különösen anyagi támogatást nyújtottak a bolsevikoknak.

3. Szabadkőműves jelek

szabadkőművesek

Jelmondat:"Szabadság. Egyenlőség. Testvériség".

Szabad emberek társadalmi mozgalma, akik a szabad választás alapján lehetővé teszik a jobbá válást, az Istenhez való közeledést, és ezért elismerik, hogy javítják a világot.
A szabadkőművesek a Teremtő elvtársak, a társadalmi haladás támogatói a tehetetlenség, a tehetetlenség és a tudatlanság ellen. A szabadkőművesség kiemelkedő képviselői Nyikolaj Mihajlovics Karamzin, Alekszandr Vasziljevics Suvorov, Mihail Illarionovics Kutuzov, Alekszandr Szergejevics Puskin, Joseph Goebbels.

Jelek

A ragyogó szem (delta) ősi, vallásos jel. Azt mondja, hogy Isten felügyeli teremtményeit. Ennek a jelnek a képével a szabadkőművesek Isten áldását kérték minden grandiózus cselekedetre vagy munkájukra. A Radiant Eye a szentpétervári kazanyi székesegyház oromfalán található.

Iránytű és négyzet kombinációja szabadkőműves jelben.

Az avatatlanok számára ez a munka eszköze (kőműves), a beavatottak számára pedig a világ megértésének módjai, valamint az isteni bölcsesség és az emberi értelem kapcsolata.
A tér általában alulról az emberi tudás a világról. A szabadkőművesség szempontjából az ember azért jön a világra, hogy megértse az isteni tervet. A tudáshoz pedig eszközökre van szükség. A világ megértésének leghatékonyabb tudománya a matematika.
A tér a legrégebbi matematikai műszer, ősidők óta ismert. A tér érettségije már nagy előrelépést jelent a megismerés matematikai eszköztárában. Az ember a tudományok segítségével érti meg a világot a matematika közülük az első, de nem az egyetlen.
A négyzet azonban fából van, és elbírja, amit elbír. Nem mozdítható szét. Ha megpróbálja kibővíteni, hogy több helyet foglaljon el, megtöri.
Tehát az emberek, akik megpróbálják megérteni az isteni terv végtelenségét, vagy meghalnak, vagy megőrülnek. – Ismerd meg a határaidat! - ezt üzeni ez a jel a Világnak. Még ha Einstein, Newton, Szaharov lennél is – az emberiség legnagyobb elméi! - megértse, hogy Önt korlátozza az az idő, amelyben születtél; a világ, a nyelv, az agykapacitás, a különféle emberi korlátok, a tested életének megértésében. Ezért igen, tanulj, de értsd meg, hogy soha nem fogod teljesen megérteni!
Mi a helyzet az iránytűvel? Az iránytű isteni bölcsesség. Használhat körzőt a kör leírására, de ha széttárja a lábait, egyenes vonal lesz. A szimbolikus rendszerekben pedig a kör és az egyenes két ellentéte. Az egyenes vonal egy személyt jelöl, annak kezdetét és végét (mint egy kötőjel két dátum - születés és halál között). A kör az istenség szimbóluma, mert tökéletes alak. Szemben állnak egymással - isteni és emberi alakok. Az ember nem tökéletes. Isten mindenben tökéletes.

Az isteni bölcsesség számára semmi sem lehetetlen, emberi formát (-) és isteni formát (0) is felvehet, mindent tartalmazhat. Így az emberi elme felfogja és befogadja az isteni bölcsességet. A filozófiában ez az állítás az abszolút és relatív igazság posztulátuma.
Az emberek mindig tudják az igazságot, de mindig a viszonylagos igazságot. Az abszolút igazságot pedig csak Isten ismeri.
Tanulj meg többet és többet, ráébredve, hogy nem tudod teljesen megérteni az igazságot – milyen mélységeket találunk egy közönséges négyzetes iránytűben! Ki gondolta volna!
Ez a szabadkőműves szimbolizmus szépsége és varázsa, hatalmas intellektuális mélysége.
A középkor óta az iránytű, mint a tökéletes körök rajzolásának eszköze, a geometria, a kozmikus rend és a tervezett cselekvés szimbólumává vált. Ebben az időben a Seregek Istenét gyakran ábrázolták az Univerzum alkotójának és építészének képében, iránytűvel a kezében (William Blake „A nagy építész”, 1794).

Hatszögletű csillag (Betlehem)

A G betű Isten (németül – Got) megjelölése, az Univerzum nagy geometriája.
A Hatszögletű csillag az Egységet és az Ellentétek Harcát, Férfi és Nő, Jó és Rossz, Fény és Sötétség harcát jelentette. Egyik nem létezhet a másik nélkül. Az ezen ellentétek között felmerülő feszültség az általunk ismert világot hozza létre.
A felfelé mutató háromszög azt jelenti, hogy „Istenre törekszik az ember”. Háromszög lefelé – „Az istenség leszáll az emberre.” Kapcsolatukban létezik a mi világunk, amely az Emberi és az Isteni egysége. A G betű itt azt jelenti, hogy Isten a mi világunkban él. Valóban jelen van mindenben, amit alkotott.

Következtetés

A matematikai szimbólumok elsősorban a matematikai fogalmak és mondatok pontos rögzítésére szolgálnak. Ezek összessége alkotja az úgynevezett matematikai nyelvet.
A matematikai szimbolika kialakulásában nem a matematikusok „szabad akarata”, hanem a gyakorlat és a matematikai kutatás követelményei a döntő erő. Valódi matematikai kutatás az, ami segít kideríteni, hogy melyik jelrendszer tükrözi legjobban a mennyiségi és minőségi összefüggések szerkezetét, éppen ezért hatékony eszközei lehetnek a szimbólumokban, emblémákban való további felhasználásuknak.

Matematikai jelölés(„matematika nyelve”) egy összetett grafikus jelölési rendszer, amellyel absztrakt matematikai ötletek és ítéletek ember által olvasható formában jeleníthetők meg. Ez alkotja (összetettségében és sokszínűségében) az emberiség által használt nem beszédjelrendszerek jelentős részét. Ez a cikk az általánosan elfogadott nemzetközi jelölési rendszert ismerteti, bár a múlt különböző kultúráinak megvoltak a magukéi, és némelyikük a mai napig korlátozottan használható.

Vegye figyelembe, hogy a matematikai jelöléseket általában valamilyen természetes nyelv írott formájával együtt használják.

Az alapvető és alkalmazott matematika mellett a matematikai jelöléseket széles körben használják a fizikában, valamint (korlátozottan) a mérnöki tudományokban, a számítástechnikában, a közgazdaságtanban és általában az emberi tevékenység minden olyan területén, ahol matematikai modelleket használnak. A megfelelő matematikai és alkalmazott jelölési stílus közötti különbségeket az egész szöveg tárgyalja.

Enciklopédiai YouTube

1 / 5

✪ Bejelentkezés / matematika

✪ Matematika 3. osztály. Többjegyű számok számjegyeinek táblázata

✪ készletek a matematikában

✪ Matematika 19. Matematikai szórakozás - Shishkina iskola

Feliratok

Helló! Ez a videó nem a matematikáról szól, hanem az etimológiáról és a szemiotikáról. De biztos vagyok benne, hogy tetszeni fog. Menjünk! Tisztában van azzal, hogy a matematikusoknak több évszázadot vett igénybe az általános formájú köbös egyenletek megoldásának keresése? Részben ez az oka? Mivel a tiszta gondolatoknak nem voltak egyértelmű szimbólumai, talán eljött a mi időnk. Annyi szimbólum van, hogy összezavarodhatsz. De téged és engem nem lehet becsapni, találjuk ki. Ez a nagy fordított A betű. Ez valójában egy angol betű, amely az "all" és az "any" szavakban az első helyen szerepel. Oroszul ez a szimbólum a szövegkörnyezettől függően így olvasható: bárkinek, mindenkinek, mindenkinek, mindennek stb. Az ilyen hieroglifát univerzális kvantornak nevezzük. És itt van egy másik kvantor, de már létezik. Az angol e betű a Paintben balról jobbra tükröződik, ezzel utalva a tengerentúli „exist” igére, a mi módunkban ezt olvassuk: van, van, van, és más hasonló módon. Egy felkiáltójel egy ilyen egzisztenciális kvantorhoz egyediséget ad. Igen, tudom, hogy már nem vagy kicsi, de még mindig tapsolok azoknak, akik elvégezték ezt a gyakorlatot. Na jó, elég, emlékezzünk a numerikus halmazokra. A számolás során természetes számokat használunk: 1, 2, 3, 4 és így tovább.<Ɛ (эпсилон), то тогда предел числовой последовательности xₙ , при n, стремящемся к бесконечности, равен числу a. Такие вот дела, ребята. Не беда, если вам не удалось прочесть это определение, главное в свое время его понять. Напоследок отмечу: множество тех, кто посмотрел этот ролик, но до сих пор не подписан на канал, не является пустым. Это меня очень печалит, так что во время финальной музыки покажу, как это исправить. Ну а остальным желаю мыслить критически, заниматься математикой! Счастливо! [Музыка / аплодиминнты]

Általános információk

A rendszer a természetes nyelvekhez hasonlóan történetileg alakult ki (lásd a matematikai jelölés története), és úgy szerveződik, mint a természetes nyelvek írása, onnan is kölcsönözve számos szimbólumot (elsősorban a latin és a görög ábécéből). A szimbólumokat a hétköznapi íráshoz hasonlóan kontrasztos vonalakkal ábrázolják egységes alapon (fehér papíron fekete, sötét táblán világos, monitoron kontrasztos stb.), jelentésüket elsősorban alakjuk és egymáshoz viszonyított helyzetük határozza meg. A színt nem veszik figyelembe, és általában nem is használják, de a betűk használatakor a matematikai jelölésben értelmes szerepet játszhatnak olyan jellemzőik, mint a stílus, sőt a betűtípus, amelyek a hétköznapi írásban a jelentést nem befolyásolják.

Szerkezet

A közönséges matematikai jelölések (különösen az ún matematikai képletek) általában egy sorban balról jobbra íródnak, de nem feltétlenül alkotnak egymás után következő karaktersorozatot. Egyedi karakterblokkok megjelenhetnek a sor felső vagy alsó felében, még akkor is, ha a karakterek nem fedik át a függőlegeseket. Ezenkívül egyes részek teljesen a vonal felett vagy alatt találhatók. Nyelvtani szempontból szinte minden „képlet” hierarchikusan szervezett fa típusú szerkezetnek tekinthető.

Szabványosítás

A matematikai jelölés egy rendszert reprezentál összetevői összekapcsolásának értelmében, de általában Nem formális rendszert alkotnak (magának a matematikának a megértésében). Minden bonyolult esetben még programozottan sem elemezhetők. Mint minden természetes nyelv, a „matematika nyelve” is tele van inkonzisztens jelölésekkel, homográfiákkal, a helyesnek tartott dolgok eltérő (a beszélői között) értelmezésével stb. A matematikai szimbólumoknak még csak látható ábécéje sincs, különösen azért, mert Az a kérdés, hogy két megjelölést különböző szimbólumnak vagy ugyanazon szimbólum eltérő írásmódjának tekintsünk, nem mindig tisztázott.

Egyes matematikai jelölések (leginkább a méréssel kapcsolatosak) szabványosítva vannak az ISO 31-11 szabványban, de a jelölések általános szabványosítása meglehetősen hiányzik.

A matematikai jelölés elemei

Számok

Ha tíznél kisebb bázisú számrendszert kell használni, akkor a bázist az alsó indexbe írjuk: 20003 8. A tíznél nagyobb bázisú számrendszereket nem használják az általánosan elfogadott matematikai jelölésekben (bár természetesen maga a tudomány tanulmányozza őket), mivel nincs hozzájuk elegendő szám. Az informatika fejlődésével összefüggésben vált aktuálissá a hexadecimális számrendszer, amelyben a 10-től 15-ig terjedő számokat az első hat latin betű A-tól F-ig jelöli. Az ilyen számok jelölésére a számítástechnikában többféle megközelítést alkalmaznak. tudomány, de nem kerültek át a matematikába.

Felsõ és alsó index karakterek

Zárójelek, kapcsolódó szimbólumok és határolójelek

A "()" zárójelek használatosak:

A "" szögletes zárójeleket gyakran használják csoportosításkor, amikor sok zárójelpárt kell használni. Ebben az esetben kívülre helyezik őket, és (gondos tipográfiával) magasabbak, mint a belső zárójelek.

A négyzet "" és a zárójelek "()" a zárt és a nyitott terek jelzésére szolgálnak.

A "()" göndör kapcsos zárójeleket általában a kifejezésre használják, bár ugyanaz a figyelmeztetés vonatkozik rájuk, mint a szögletes zárójelekre. A bal oldali "(" és jobb ")" zárójelek külön használhatók; céljukat leírják.

Szögzárójeles karakterek " ⟨ ⟩ (\displaystyle \langle \;\rangle ) Letisztult tipográfiával tompaszögekkel kell rendelkezniük, és így különbözniük kell a hasonló derékszögű vagy hegyesszögűektől. A gyakorlatban ebben nem szabad reménykedni (különösen kézi képletek írásakor), és az intuíció segítségével különbséget kell tenni közöttük.

A képlet egy részének kiemelésére gyakran használnak szimmetrikus (a függőleges tengelyhez viszonyított) szimbólumpárokat, beleértve a felsoroltaktól eltérőeket is. Le van írva a párosított zárójelek célja.

Indexek

A helytől függően felső és alsó indexeket különböztetnek meg. A felső index lehet (de nem feltétlenül jelent) hatványozást, más felhasználásokról.

Változók

A tudományokban vannak mennyiségek halmazai, és ezek bármelyike ​​felvehet egy értékkészletet és hívható változóérték (változat), vagy csak egy érték, és konstansnak nevezzük. A matematikában a mennyiségeket gyakran elvonatkoztatják a fizikai jelentéstől, majd a változó mennyiségből absztrakt(vagy numerikus) változó, amelyet valamilyen szimbólum jelöl, amelyet nem foglalnak el a fent említett speciális jelölések.

Változó X adottnak tekintendő, ha az általa elfogadott értékkészlet meg van adva (x). Célszerű egy állandó mennyiséget olyan változónak tekinteni, amelynek megfelelő halmaza (x) egy elemből áll.

Funkciók és operátorok

Matematikában nincs jelentős különbség a kettő között operátor(egyetlen), kijelzőÉs funkció.

Nyilvánvaló azonban, hogy ha egy leképezés értékét adott argumentumokból meg kell adni, akkor ennek a leképezésnek a szimbóluma más esetekben egy függvényt jelöl, inkább operátorról beszélnek. Egy argumentum egyes függvényeinek szimbólumait zárójelekkel vagy anélkül használjuk. Sok elemi funkció például sin ⁡ x (\displaystyle \sin x) vagy sin ⁡ (x) (\displaystyle \sin(x)), de az elemi függvényeket mindig meghívjuk funkciókat.

Operátorok és relációk (unáris és bináris)

Funkciók

Egy függvényt két értelemben említhetünk: értékének kifejezéseként adott argumentumokkal (írt f(x) , f(x, y) (\displaystyle f(x),\ f(x,y)) stb.) vagy maga a funkció. Ez utóbbi esetben csak a funkciószimbólum kerül beillesztésre, zárójelek nélkül (bár gyakran véletlenül írják).

A matematikai munkában használt gyakori függvényekre számos jelölés létezik, további magyarázat nélkül. Egyébként a függvényt le kell írni valahogy, és az alapvető matematikában nem különbözik alapvetően egy tetszőleges betűtől, és azt is jelöljük. A változófüggvények jelölésére a legnépszerűbb betű az f, g és a legtöbb görög betűt is gyakran használják.

Előre meghatározott (fenntartott) megnevezések

Az egybetűs megjelölések azonban kívánság szerint más jelentést is kaphatnak. Például az i betűt gyakran használják indexjelölésként olyan összefüggésekben, ahol nem használnak komplex számokat, és a betűt változóként is használhatják egyes kombinatorikákban. Ezenkívül halmazelméleti szimbólumokat (pl. ⊂ (\displaystyle \subset )"És" ⊃ (\displaystyle \supset )") és propozíciós kalkulusok (például " ∧ (\displaystyle \wedge)"És" ∨ (\displaystyle \vee)") más értelemben is használható, általában sorrendi relációként, illetve bináris műveletként.

Indexelés

Az indexelést grafikusan ábrázolják (általában alsó részekkel, néha felülekkel), és bizonyos értelemben egy mód a változó információtartalmának bővítésére. Azonban három kissé eltérő (bár egymást átfedő) értelemben használják.

A valós számok

Lehetséges több különböző változó is, ha ugyanazt a betűt jelöljük, hasonlóan a használatához. Például: x 1 , x 2 , x 3 … (\displaystyle x_(1),\x_(2),\x_(3)\ldots). Általában valamilyen közös vonás köti össze őket, de általában ez nem szükséges.

Sőt, nem csak számok, hanem bármilyen szimbólum is használható „indexként”. Ha azonban egy másik változót és kifejezést indexként írunk, akkor ez a bejegyzés „az indexkifejezés értéke által meghatározott számmal rendelkező változóként” értelmeződik.

Tenzoranalízisben

A lineáris algebrában a tenzoranalízis, a differenciálgeometria indexekkel (változók formájában) íródik

Mindannyiunknak az iskolából (vagy inkább az általános iskola 1. osztályából) ismernie kell az olyan egyszerű matematikai szimbólumokat, mint több jelÉs kevesebb, mint jel, és az egyenlőségjel is.

Viszont ha ez utóbbival elég nehéz valamit összetéveszteni, akkor kb Hogyan és melyik irányban nagyobbak és kisebbek, mint a jelek írva? (kevesebb jelÉs felett jel, ahogy néha nevezik) sokan rögtön ugyanazon iskolapad után elfelejtik, mert ritkán használjuk a mindennapi életben.

Ám szinte mindenkinek előbb-utóbb mégis találkoznia kell velük, és csak kedvenc keresőjéhez fordulva tud „emlékezni”, hogy milyen irányba íródott a szükséges karakter. Miért ne válaszolna részletesen erre a kérdésre, ugyanakkor elmondja oldalunk látogatóinak, hogyan emlékezzen a jövőre nézve ezeknek a jeleknek a helyes írásmódjára?

Pontosan arra szeretnénk emlékeztetni ebben a rövid jegyzetben, hogyan kell helyesen írni a nagyobbnál és kisebb jelet. Nem is lenne rossz ezt elmondani hogyan kell begépelni a nagyobb vagy egyenlőségjeleket a billentyűzetenÉs kisebb vagy egyenlő, mert Ez a kérdés gyakran nehézségeket okoz azoknak a felhasználóknak, akik nagyon ritkán találkoznak ilyen feladattal.

Térjünk is közvetlenül a lényegre. Ha nem nagyon érdekel, hogy mindezt a jövőre nézve emlékezzen, és legközelebb könnyebben „gugliz” újra, de most már csak a „merre kell írni a jelet” kérdésre választ kell kapnia, akkor készítettünk egy rövid válaszoljon neked - a több és kevesebb jelei így vannak kiírva: az alábbi képen látható módon.

Most beszéljünk egy kicsit többet arról, hogyan lehet ezt megérteni és emlékezni a jövőre nézve.

Általánosságban elmondható, hogy a megértés logikája nagyon egyszerű - amelyik oldalon (nagyobb vagy kisebb) a jel a bal oldali írásirányban, az a jel. Ennek megfelelően a tábla inkább balra néz a széles oldalával - a nagyobbkal.

Példa a nagyobb, mint jel használatára:

• 50>10 - az 50-es szám nagyobb, mint a 10-es;
• A hallgatói részvétel ebben a félévben az órák 90%-át tette ki.

A kevesebb jel írásának módját valószínűleg nem érdemes újra elmagyarázni. Pontosan ugyanaz, mint a nagyobb jel. Ha a tábla a keskeny oldalával balra néz - a kisebb, akkor az Ön előtt lévő tábla kisebb.
Példa a kisebb, mint jel használatára:

• 100<500 - число 100 меньше числа пятьсот;
• jött a találkozóra<50% депутатов.

Amint látja, minden meglehetősen logikus és egyszerű, így most nem lehet kérdése, hogy a jövőben melyik irányba írja a nagyobb és a kisebb jelet.

Nagyobb vagy egyenlő/kisebb vagy egyenlő előjellel

Ha már emlékszel, hogyan kell beírni a szükséges jelet, akkor nem lesz nehéz alulról egy sort hozzáadnod, így megkapod a jelet "kisebb vagy egyenlő" vagy aláírja "nagyobb vagy egyenlő".

Azonban ezekkel a jelekkel kapcsolatban néhány embernek egy másik kérdése van - hogyan kell beírni egy ilyen ikont a számítógép billentyűzetén? Ennek eredményeként a legtöbb egyszerűen két jelet tesz egymás után, például „nagyobb vagy egyenlő” ">=" , ami elvileg sokszor egészen elfogadható, de szebben és korrektebben is meg lehet csinálni.

Valójában ezeknek a karaktereknek a beírásához léteznek speciális karakterek, amelyeket bármilyen billentyűzeten be lehet írni. Egyetértek, jelek "≤" És "≥" sokkal jobban néz ki.

Nagyobb vagy egyenlőségjel a billentyűzeten

Ahhoz, hogy egy jellel „nagyobb, mint vagy egyenlő” írjon a billentyűzetre, nem kell bemennie a speciális karakterek táblázatába – csak írja be a nagyobb, mint jelet, miközben lenyomva tartja a billentyűt. "alt". Így a billentyűkombináció (az angol elrendezésben megadva) a következő lesz.

Vagy egyszerűen kimásolhatja az ikont ebből a cikkből, ha csak egyszer kell használnia. Itt van, kérem.

≥

Kisebb vagy egyenlőségjel a billentyűzeten

Amint azt valószínűleg már sejtette, a billentyűzeten a „kisebb vagy egyenlő” a nagyobb mint jel analógiájára írhatja - csak írja be a kisebb jelet, miközben lenyomva tartja a billentyűt. "alt". Az angol billentyűzeten beírandó billentyűparancs a következő lesz.

Vagy egyszerűen másolja ki erről az oldalról, ha ez megkönnyíti a dolgát, itt van.

≤

Amint láthatja, a nagyobb és kisebb jelek írásának szabálya meglehetősen könnyen megjegyezhető, és ahhoz, hogy a billentyűzeten beírja a nagyobb vagy egyenlő és kisebb vagy egyenlő szimbólumokat, csak meg kell nyomnia egy további kulcs - ez egyszerű.

Végtelenség.J. Wallis (1655).

Először John Valis angol matematikus „A kúpszelvényekről” című értekezésében találták meg.

A természetes logaritmusok alapja. L. Euler (1736).

Matematikai állandó, transzcendentális szám. Ezt a számot néha hívják nem tollas a skót tiszteletére Napier tudós, „A logaritmusok csodálatos táblázatának leírása” (1614) című mű szerzője. A konstans először hallgatólagosan Napier fent említett, 1618-ban megjelent művének angol fordításának mellékletében jelenik meg. Magát a konstanst először Jacob Bernoulli svájci matematikus számította ki, miközben megoldotta a kamatjövedelem határértékének problémáját.

2,71828182845904523...

Ennek az állandónak az első ismert használata, ahol betűvel jelölték b Leibniz Huygensnek írt leveleiben található, 1690-1691. Levél e Euler 1727-ben kezdte használni, és az első publikáció ezzel a levéllel a „Mechanika, avagy a mozgás tudománya, analitikusan magyarázva” című munkája volt 1736-ban. Illetőleg, eáltalában hívják Euler szám. Miért ezt a levelet választották? e, pontosan ismeretlen. Talán ez annak köszönhető, hogy a szó ezzel kezdődik exponenciális(„indikatív”, „exponenciális”). Egy másik feltevés az, hogy a betűk a, b, cÉs d már elég széles körben használták más célokra, és e volt az első „ingyenes” levél.

A kerület és az átmérő aránya. W. Jones (1706), L. Euler (1736).

Matematikai állandó, irracionális szám. A "pi" szám, a régi név Ludolph száma. Mint minden irracionális szám, a π is egy végtelen, nem periodikus tizedes törtként van ábrázolva:

π =3,141592653589793...

Ennek a számnak a görög π betűvel való megjelölését először William Jones brit matematikus használta „A New Introduction to Mathematics” című könyvében, és Leonhard Euler munkája után vált általánosan elfogadottá. Ez a megnevezés a görög περιφερεια - kör, periféria és περιμετρος - kerület szavak kezdőbetűjéből származik. Johann Heinrich Lambert 1761-ben bizonyította a π irracionalitását, Adrienne Marie Legendre pedig 1774-ben a π 2 irracionalitását. Legendre és Euler feltételezte, hogy a π transzcendentális lehet, azaz. nem teljesíthet egyetlen algebrai egyenletet sem egész együtthatókkal, amit végül 1882-ben Ferdinand von Lindemann bizonyított.

Képzeletbeli egység. L. Euler (1777, nyomtatásban - 1794).

Ismeretes, hogy az egyenlet x 2 =1 két gyökere van: 1 És -1 . A képzeletbeli egység az egyenlet két gyökének egyike x 2 = -1, latin betűvel jelölve én, másik gyökér: -én. Ezt a megnevezést Leonhard Euler javasolta, aki a latin szó első betűjét vette át erre a célra képzeletbeli(képzeletbeli). Az összes szabványos függvényt kiterjesztette a komplex tartományra is, pl. mint ábrázolható számok halmaza a+ib, Hol aÉs b- valós számok. A "komplex szám" kifejezést Carl Gauss német matematikus vezette be széles körben 1831-ben, bár a kifejezést korábban Lazare Carnot francia matematikus használta ugyanebben az értelemben 1803-ban.

Egységvektorok. W. Hamilton (1853).

Az egységvektorokat gyakran egy koordináta-rendszer (különösen a derékszögű koordináta-rendszer tengelyei) koordinátatengelyeihez társítják. A tengely mentén irányított egységvektor X, jelölve én, tengely mentén irányított egységvektor Y, jelölve j, és a tengely mentén irányított egységvektor Z, jelölve k. Vektorok én, j, k egységvektoroknak nevezzük, egységmoduljaik vannak. Az "ort" kifejezést Oliver Heaviside angol matematikus és mérnök vezette be (1892), és a jelölést én, j, k- William Hamilton ír matematikus.

A szám egész része, antie. K. Gauss (1808).

Az x szám [x] számának egész része az x-et meg nem haladó legnagyobb egész szám. Tehát =5, [-3,6]=-4. Az [x] függvényt "x antierjének" is nevezik. Az egész rész funkciószimbólumot Carl Gauss vezette be 1808-ban. Egyes matematikusok inkább a Legendre által 1798-ban javasolt E(x) jelölést használják.

A párhuzamosság szöge. N.I. Lobacsevszkij (1835).

A Lobachevsky síkon - az egyenes közötti szögb, áthaladva a pontonKÖRÜLBELÜLpárhuzamos a vonallala, nem tartalmaz pontotKÖRÜLBELÜL, és attól merőlegesenKÖRÜLBELÜL-on a. α - ennek a merőlegesnek a hossza. Ahogy a lényeg távolodikKÖRÜLBELÜL az egyenesből aa párhuzamosság szöge 90°-ról 0°-ra csökken. Lobacsevszkij adott egy képletet a párhuzamosság szögéreP( α )=2arctg e - α /q , Ahol q- valami állandó, amely a Lobacsevszkij-tér görbületéhez kapcsolódik.

Ismeretlen vagy változó mennyiségek. R. Descartes (1637).

A matematikában a változó egy olyan mennyiség, amelyet az általa felvehető értékkészlet jellemez. Ez egyszerre jelenthet egy valós fizikai mennyiséget, amelyet átmenetileg a fizikai kontextusától elszigetelten tekintünk, és egy absztrakt mennyiséget, amelynek nincs analógja a valós világban. A változó fogalma a 17. században merült fel. kezdetben a természettudományi igények hatására, amelyek a mozgás, a folyamatok, és nem csak az állapotok vizsgálatát helyezték előtérbe. Ez a fogalom kifejezéséhez új formákat igényelt. Ilyen új formák voltak Rene Descartes betűalgebrája és analitikus geometriája. A derékszögű koordináta-rendszert és az x, y jelölést először Rene Descartes vezette be „Discourse on Method” című művében 1637-ben. Pierre Fermat is hozzájárult a koordináta-módszer kidolgozásához, de munkái először halála után jelentek meg. Descartes és Fermat csak a síkon alkalmazta a koordináta módszert. A háromdimenziós tér koordináta-módszerét először Leonhard Euler alkalmazta már a 18. században.

Vektor. O. Cauchy (1853).

A vektor kezdettől fogva olyan objektumként értendő, amelynek van nagysága, iránya és (opcionálisan) alkalmazási pontja. A vektorszámítás kezdetei a komplex számok geometriai modelljével együtt jelentek meg Gaussban (1831). Hamilton kidolgozott műveleteket publikált vektorokkal a kvaterniószámítása részeként (a vektort a kvaternió képzeletbeli összetevői alkották). Hamilton javasolta a kifejezést vektor(a latin szóból vektor, hordozó), és leírták a vektoranalízis néhány műveletét. Maxwell ezt a formalizmust használta az elektromágnesességről szóló munkáiban, ezzel is felhívva a tudósok figyelmét az új számításra. Hamarosan megjelent Gibbs Elements of Vector Analysis (1880-as évek), majd Heaviside (1903) a vektoranalízis modern megjelenését adta. Magát a vektorjelet Augustin Louis Cauchy francia matematikus vezette be 1853-ban.

Összeadás, kivonás. J. Widman (1489).

A plusz és mínusz jeleket nyilvánvalóan a német „Kosszisták” (vagyis algebristák) matematikai iskolájában találták ki. Ezeket használja Jan (Johannes) Widmann, A Quick and Pleasant Account for All Merchants című, 1489-ben megjelent tankönyvében. Korábban a kiegészítést a betű jelezte p(latinból plusz"több") vagy latin szó et(kötőszó „és”), és kivonás - betű m(latinból mínusz"kevesebb, kevesebb") Widmann esetében a plusz szimbólum nemcsak az összeadást helyettesíti, hanem az „és” kötőszót is. E szimbólumok eredete nem tisztázott, de valószínűleg korábban a kereskedésben a nyereség és veszteség mutatójaként használták őket. Mindkét szimbólum hamarosan általánossá vált Európában – Olaszország kivételével, amely körülbelül egy évszázadon át a régi megnevezéseket használta.

Szorzás. W. Outred (1631), G. Leibniz (1698).

A ferde kereszt formájú szorzójelet 1631-ben vezette be az angol William Oughtred. Előtte a levelet használták leggyakrabban M, bár más jelöléseket is javasoltak: a téglalap szimbólumot (Erigon francia matematikus, 1634), a csillagot (Johann Rahn svájci matematikus, 1659). Később Gottfried Wilhelm Leibniz a keresztet pontra cserélte (17. század vége), hogy ne keverje össze a betűvel x; előtte Regiomontanus német csillagász és matematikus (15. század) és Thomas Herriot angol tudós (1560-1621) között találtak ilyen szimbolikát.

Osztály. I.Ran (1659), G. Leibniz (1684).

William Oughtred perjelet / / osztásjelként használt. Gottfried Leibniz az osztódást kettősponttal kezdte jelölni. Előttük is gyakran használták a levelet D. Fibonaccitól kezdve a tört vízszintes vonala is használatos, amelyet Heron, Diophantus és az arab művek is használtak. Angliában és az USA-ban elterjedt az ÷ (obelus) szimbólum, amelyet Johann Rahn javasolt (talán John Pell részvételével) 1659-ben. Az Amerikai Nemzeti Matematikai Szabványügyi Bizottság kísérlete ( Országos Matematikai Követelmények Bizottsága) az obelus gyakorlatból való eltávolítása (1923) sikertelen volt.

Százalékos. M. de la Porte (1685).

Század egész, egységnek véve. Maga a „százalék” szó a latin „pro centum” szóból származik, ami „százannyit” jelent. 1685-ben Párizsban kiadták Mathieu de la Porte „Kereskedelmi aritmetikai kézikönyv” című könyvét. Egy helyen százalékokról beszéltek, amelyeket aztán „cto”-nak (a cento rövidítése) neveztek el. A betűszedő azonban ezt a "cto"-t törtnek tévesztette, és "%"-ot nyomtatott. Így egy elírás miatt ez a tábla került használatba.

fokok. R. Descartes (1637), I. Newton (1676).

A kitevő modern jelölését Rene Descartes vezette be „ Geometria"(1637), azonban csak a 2-nél nagyobb kitevővel rendelkező természetes hatványokra. Később Isaac Newton kiterjesztette ezt a jelölési formát a negatív és törtkitevőkre (1676), amelyek értelmezését ekkorra már javasolták: a flamand matematikus és Simon Stevin mérnök, John Wallis angol matematikus és Albert Girard francia matematikus.

Aritmetikai gyök n-valós szám hatványa A≥0, - nem negatív szám n-edik foka egyenlő A. A 2. fok számtani gyökét négyzetgyöknek nevezzük, és a fok megjelölése nélkül is felírható: √. A 3. fokú számtani gyökeret kockagyöknek nevezzük. A középkori matematikusok (például Cardano) a négyzetgyököt R x szimbólummal jelölték (a latin szóból). Alapszám, gyökér). A modern jelölést először Christoph Rudolf német matematikus használta, a Cossist iskolából 1525-ben. Ez a szimbólum ugyanannak a szónak a stilizált első betűjéből származik alapszám. Eleinte nem volt vonal a radikális kifejezés felett; később Descartes (1637) vezette be más céllal (zárójelek helyett), és ez a tulajdonság hamarosan összeolvadt a gyökérjellel. A 16. században a kockagyököt a következőképpen jelölték: R x .u.cu (lat. Radix universalis cubica). Albert Girard (1629) az ismert jelölést kezdte használni egy tetszőleges fokozat gyökére. Ez a formátum Isaac Newtonnak és Gottfried Leibniznek köszönhetően jött létre.

Logaritmus, decimális logaritmus, természetes logaritmus. I. Kepler (1624), B. Cavalieri (1632), A. Prinsheim (1893).

A "logaritmus" kifejezés John Napier skót matematikushoz tartozik ( „A logaritmusok csodálatos táblázatának leírása”, 1614); a görög λογος (szó, kapcsolat) és αριθμος (szám) szavak kombinációjából keletkezett. J. Napier logaritmusa egy segédszám két szám arányának mérésére. A logaritmus modern definícióját először William Gardiner angol matematikus adta meg (1742). Értelemszerűen egy szám logaritmusa b alapján a (a ≠ 1, a > 0) - kitevő m, amelyre a számot emelni kell a(úgynevezett logaritmusbázis), hogy megkapjuk b. Kijelölve log a b.Így, m = log a b, Ha a m = b.

A decimális logaritmusok első táblázatait Henry Briggs oxfordi matematikaprofesszor adta ki 1617-ben. Ezért külföldön a decimális logaritmusokat gyakran Briggs-logaritmusnak nevezik. A „természetes logaritmus” kifejezést Pietro Mengoli (1659) és Nicholas Mercator (1668) vezette be, bár a londoni matematikatanár, John Spidell már 1619-ben összeállított egy táblázatot a természetes logaritmusokról.

A 19. század végéig nem volt általánosan elfogadott logaritmus, az alap. a a szimbólum bal oldalán és fölött látható log, majd felette. Végül a matematikusok arra a következtetésre jutottak, hogy az alap legkényelmesebb helye a vonal alatt, a szimbólum után log. A logaritmus előjel - a "logaritmus" szó rövidítésének eredménye - különféle alakokban jelenik meg szinte egyidejűleg az első logaritmustáblázatok megjelenésével, pl. Napló- I. Kepler (1624) és G. Briggs (1631), log- B. Cavalieri (1632). Kijelölés ln mert a természetes logaritmust Alfred Pringsheim német matematikus vezette be (1893).

Szinusz, koszinusz, érintő, kotangens. W. Outred (17. század közepe), I. Bernoulli (18. század), L. Euler (1748, 1753).

A szinusz és koszinusz rövidítéseit William Oughtred vezette be a 17. század közepén. Az érintő és a kotangens rövidítései: tg, ctg században Johann Bernoulli vezette be, Németországban és Oroszországban terjedtek el. Más országokban ezeknek a függvényeknek a neveit használják barna, kiságy Albert Girard javasolta még korábban, a 17. század elején. Leonhard Euler (1748, 1753) a trigonometrikus függvények elméletét modern formába hozta, és neki köszönhetjük a valódi szimbolizmus megszilárdítását.A „trigonometrikus függvények” kifejezést Georg Simon Klügel német matematikus és fizikus vezette be 1770-ben.

Az indiai matematikusok eredetileg szinuszvonalnak nevezték "arha-jiva"(„félhúr”, azaz fél akkord), majd a szó "archa" eldobták, és a szinuszvonalat egyszerűen kezdték nevezni "dzsiva". Az arab fordítók nem fordították le a szót "dzsiva" arab szó "vatar", amely húrt és akkordot jelöl, és arab betűkkel átírva a szinuszvonalat kezdte hívni "dzsiba". Mivel az arabban a rövid magánhangzókat nem jelölik, hanem hosszú „i”-t a szóban "dzsiba" a félhangzó „th”-hez hasonlóan jelölve az arabok elkezdték kiejteni a szinuszvonal nevét "gúnyolódik", ami szó szerint „üreges”, „sinus”-ot jelent. Az arab művek latinra fordításakor az európai fordítók lefordították a szót "gúnyolódik" Latin szó sinus, ugyanazzal a jelentéssel.Az "érintő" kifejezés (lat.érintők- megható) Thomas Fincke dán matematikus mutatta be The Geometry of the Round (1583) című könyvében.

Arcsine. K. Scherfer (1772), J. Lagrange (1772).

Az inverz trigonometrikus függvények olyan matematikai függvények, amelyek a trigonometrikus függvények inverzei. Az inverz trigonometrikus függvény neve a megfelelő trigonometrikus függvény nevéből jön létre az "ív" előtag hozzáadásával (a lat. ív- ív).Az inverz trigonometrikus függvények általában hat függvényt tartalmaznak: arcszinusz (arcsin), arccosine (arccos), arctangens (arctg), arccotangens (arcctg), arcsekant (arcsec) és arccosecant (arccosec). Az inverz trigonometrikus függvények speciális szimbólumait először Daniel Bernoulli (1729, 1736) használta.Az inverz trigonometrikus függvények előtaggal történő jelölésének módja ív(a lat. arcus, ív) jelent meg Karl Scherfer osztrák matematikussal, és Joseph Louis Lagrange francia matematikusnak, csillagásznak és mechanikusnak köszönhetően konszolidálódott. Ez azt jelentette, hogy például egy közönséges szinusz lehetővé teszi, hogy egy körív mentén egy akkordot találjunk, és az inverz függvény az ellenkező problémát oldja meg. A 19. század végéig az angol és a német matematikai iskolák más jelöléseket javasoltak: bűn -1 és 1/sin, de nem használják széles körben.

Hiperbolikus szinusz, hiperbolikus koszinusz. V. Riccati (1757).

A történészek Abraham de Moivre (1707, 1722) angol matematikus munkáiban fedezték fel a hiperbolikus függvények első megjelenését. Modern meghatározást és részletes tanulmányozásukat az olasz Vincenzo Riccati végezte el 1757-ben „Opusculorum” című művében, és javasolta elnevezéseiket is: sh,ch. Riccati abból indult ki, hogy az egységhiperbolát vette figyelembe. A hiperbolikus függvények tulajdonságainak független felfedezését és további tanulmányozását Johann Lambert (1768) német matematikus, fizikus és filozófus végezte, aki megállapította a közönséges és hiperbolikus trigonometria képleteinek széles körű párhuzamosságát. N.I. Lobacsevszkij ezt a párhuzamosságot használta fel a nem-euklideszi geometria következetességének bizonyítására, amelyben a közönséges trigonometriát hiperbolikus váltja fel.

Ahogy a trigonometrikus szinusz és a koszinusz a koordinátakör egy pontjának koordinátái, a hiperbolikus szinusz és a koszinusz a hiperbola pontjának koordinátái. A hiperbolikus függvényeket exponenciálisan fejezzük ki, és szorosan kapcsolódnak a trigonometrikus függvényekhez: sh(x)=0,5(e x -e -x) , ch(x)=0,5(e x +e -x). A trigonometrikus függvényekkel analóg módon a hiperbolikus tangens és a kotangens a hiperbolikus szinusz és koszinusz, koszinusz és szinusz arányaként definiálható.

Differenciális. G. Leibniz (1675, megjelent 1684).

A függvény fő, lineáris része növekszik.Ha a funkció y=f(x) egy változó x-nek at x=x 0derivált és növekményΔy=f(x 0 +?x)-f(x 0)funkciókat f(x) formában ábrázolhatóΔy=f"(x 0 )Δx+R(Δx) , hol van a tag R végtelenül kicsi ahhoz képestΔx. Első tagdy=f"(x 0 )Δxebben a bővítésben és a függvény differenciáljának nevezzük f(x) pontbanx 0. IN Gottfried Leibniz, Jacob és Johann Bernoulli művei a szó"különbség"„növekmény” értelemben használták, I. Bernoulli Δ-n keresztül jelölte. G. Leibniz (1675, megjelent 1684) a „végtelen kicsi különbség” jelölését használta.d- a szó első betűje"differenciális", általa alkotott től"különbség".

Határozatlan integrál. G. Leibniz (1675, megjelent 1686).

Az „integrál” szót először Jacob Bernoulli (1690) használta nyomtatásban. Talán a kifejezés a latinból származik egész szám- egész. Egy másik feltevés szerint az alap a latin szó volt integro- korábbi állapotába hozni, visszaállítani. A ∫ jelet egy integrál jelölésére használják a matematikában, és a latin szó első betűjének stilizált ábrázolása. summa -összeg. Először a német matematikus, a differenciál- és integrálszámítás megalapítója, Gottfried Leibniz használta a 17. század végén. A differenciál- és integrálszámítás másik megalapítója, Isaac Newton nem javasolt alternatív szimbolikát az integrál számára munkáiban, bár többféle lehetőséggel próbálkozott: függőleges sáv a függvény felett vagy négyzet alakú szimbólum, amely a függvény előtt áll, ill. határolja azt. Határozatlan integrál egy függvényhez y=f(x) egy adott függvény összes antideriváltjának halmaza.

Határozott integrál. J. Fourier (1819-1822).

Egy függvény határozott integrálja f(x) alsó határral aés felső határ b különbségként definiálható F(b) - F(a) = a ∫ b f(x)dx , Hol F(x)- egy függvény valamilyen antideriváltja f(x) . Határozott integrál a ∫ b f(x)dx számszerűen egyenlő az ábra x tengely és egyenes vonalak által határolt területével x=aÉs x=bés a függvény grafikonja f(x). Egy határozott integrál kialakítását az általunk ismert formában Jean Baptiste Joseph Fourier francia matematikus és fizikus javasolta a 19. század elején.

Származék. G. Leibniz (1675), J. Lagrange (1770, 1779).

A derivált a differenciálszámítás alapfogalma, egy függvény változási sebességét jellemzi f(x) amikor az érv megváltozik x . Úgy definiálható, mint egy függvény növekményének és argumentuma növekményének arányának határa, mivel az argumentum növekménye nullára hajlik, ha létezik ilyen korlát. Azt a függvényt, amelynek valamikor véges deriváltja van, abban a pontban differenciálhatónak nevezzük. A derivált kiszámításának folyamatát differenciálásnak nevezzük. A fordított folyamat az integráció. A klasszikus differenciálszámításban a derivált leggyakrabban a határelmélet fogalmain keresztül határozzák meg, de történetileg a határelmélet később jelent meg, mint a differenciálszámítás.

A „származék” kifejezést Joseph Louis Lagrange vezette be 1797-ben, a származék prímszámot használó jelölését is ő vezette be (1770, 1779), ill. dy/dx- Gottfried Leibniz 1675-ben. Az időderivált betű feletti ponttal való jelölésének módja Newtontól (1691) származik.A „függvény származéka” orosz kifejezést először egy orosz matematikus használtaVaszilij Ivanovics Viskovatov (1779-1812).

Részleges derivált. A. Legendre (1786), J. Lagrange (1797, 1801).

Számos változó függvényeihez parciális deriváltok vannak definiálva – az egyik argumentumra vonatkozó deriváltok, amelyeket abból a feltételezésből számítanak ki, hogy a többi argumentum állandó. Megnevezések ∂f/ ∂ x, ∂ z/ ∂ y Adrien Marie Legendre francia matematikus vezette be 1786-ban; fx",z x "- Joseph Louis Lagrange (1797, 1801); ∂ 2 z/ ∂ x 2, ∂ 2 z/ ∂ x ∂ y- másodrendű részleges származékai - Carl Gustav Jacob Jacobi német matematikus (1837).

Különbség, növekedés. I. Bernoulli (17. század vége - 18. század első fele), L. Euler (1755).

A növekmény Δ betűvel történő megjelölését először Johann Bernoulli svájci matematikus használta. A delta szimbólum Leonhard Euler munkája után 1755-ben került általános használatba.

Összeg. L. Euler (1755).

Az összeg mennyiségek (számok, függvények, vektorok, mátrixok stb.) összeadásának eredménye. n szám összegének a 1, a 2, ..., a n jelölésére a görög „szigma” Σ betűt használjuk: a 1 + a 2 + ... + a n = Σ n i=1 a i = Σ n 1 a i. Az összeg Σ jelét Leonhard Euler vezette be 1755-ben.

Munka. K. Gauss (1812).

A szorzat a szorzás eredménye. N szám a 1, a 2, ..., a n szorzatának jelölésére a görög pi Π betűt használjuk: a 1 · a 2 · ... · a n = Π n i=1 a i = Π n 1 a i . Például 1 · 3 · 5 · ... · 97 · 99 = ? 50 1 (2i-1). A Π jelet egy szorzatra Carl Gauss német matematikus vezette be 1812-ben. Az orosz matematikai irodalomban a „termék” kifejezéssel először Leonty Filippovich Magnitsky találkozott 1703-ban.

Faktoriális. K. Crump (1808).

Az n szám faktoriálisa (n-nek jelölve, "en faktoriálisnak" ejtve) az összes természetes szám szorzata n-ig, beleértve az n-t! = 1·2·3·...·n. Például 5! = 1·2·3·4·5 = 120. Definíció szerint 0-t feltételezünk! = 1. A faktoriális csak nemnegatív egész számokra van definiálva. n faktoriálisa egyenlő n elem permutációinak számával. Például 3! = 6, valóban,

♣ ♦

♣ ♦

♣ ♦

♦ ♣

♦ ♣

♦ ♣

Mind a hat és csak hat három elem permutációja.

A "faktoriális" kifejezést Louis Francois Antoine Arbogast francia matematikus és politikus vezette be (1800), az n! - Christian Crump francia matematikus (1808).

Modulus, abszolút érték. K. Weierstrass (1841).

Az x valós szám abszolút értéke egy nem negatív szám, amelyet a következőképpen definiálunk: |x| = x, ha x ≥ 0, és |x| = -x, ha x ≤ 0. Például |7| = 7, |- 0,23| = -(-0,23) = 0,23. A z = a + ib komplex szám modulusa egy valós szám, amely egyenlő √(a 2 + b 2).

Úgy gondolják, hogy a „modul” kifejezést az angol matematikus és filozófus, Newton tanítványa, Roger Cotes javasolta. Gottfried Leibniz is ezt a függvényt használta, amit „modulusnak” nevezett, és mol x-nek jelöli. Az abszolút nagyságrend általánosan elfogadott jelölését Karl Weierstrass német matematikus vezette be 1841-ben. A komplex számok esetében ezt a fogalmat Augustin Cauchy és Jean Robert Argan francia matematikusok vezették be a 19. század elején. 1903-ban Konrad Lorenz osztrák tudós ugyanezt a szimbolikát használta a vektor hosszára.

Norma. E. Schmidt (1908).

A norma egy vektortéren meghatározott funkcionális, amely általánosítja a vektor hosszának vagy egy szám modulusának fogalmát. A "norma" jelet (a latin "norma" szóból - "szabály", "minta") Erhard Schmidt német matematikus vezette be 1908-ban.

Határ. S. Lhuillier (1786), W. Hamilton (1853), sok matematikus (a huszadik század elejéig)

A határérték a matematikai elemzés egyik alapfogalma, ami azt jelenti, hogy egy bizonyos változó érték a vizsgált változása során korlátlanul közelít egy bizonyos állandó értéket. A határ fogalmát a 17. század második felében Isaac Newton, valamint a 18. századi matematikusok, például Leonhard Euler és Joseph Louis Lagrange intuitív módon használták. A szekvenciahatár első szigorú meghatározását Bernard Bolzano 1816-ban és Augustin Cauchy 1821-ben adta meg. A lim szimbólumot (a latin limes szóból az első 3 betű - határ) 1787-ben jelent meg Simon Antoine Jean Lhuillier svájci matematikus, de használata még nem hasonlított a maiakra. A lim kifejezést ismerősebb formában először William Hamilton ír matematikus használta 1853-ban.Weierstrass a modernhez közel álló megjelölést vezetett be, de az ismerős nyíl helyett egyenlőségjelet használt. A nyíl a 20. század elején jelent meg egyszerre több matematikusnál - például Godfried Hardy angol matematikusnál 1908-ban.

Zéta funkció, d Riemann zéta függvény. B. Riemann (1857).

Egy s = σ + it komplex változó analitikai függvénye σ > 1 esetén, abszolút és egyenletesen meghatározva egy konvergens Dirichlet-sorral:

ζ(s) = 1 -s + 2 -s + 3 -s + ... .

σ > 1 esetén az Euler-szorzat formájában való ábrázolás érvényes:

ζ(s) = Π p (1-p -s) -s,

ahol a szorzat átveszi az összes prím p. A zéta függvény nagy szerepet játszik a számelméletben.Valós változó függvényében a zéta függvényt 1737-ben vezette be (1744-ben publikálva) L. Euler, aki jelezte annak termékké való kiterjesztését. Aztán ezt a függvényt L. Dirichlet német matematikus, és különösen sikeresen P.L. orosz matematikus és mechanikus vette figyelembe. Csebisev, amikor a prímszámok eloszlásának törvényét tanulmányozta. A zéta-függvény legmélyebb tulajdonságaira azonban később, Georg Friedrich Bernhard Riemann német matematikus (1859) munkája nyomán fedezték fel, ahol a zéta-függvényt egy komplex változó függvényének tekintették; 1857-ben bevezette a „zéta függvény” nevet és a ζ(s) elnevezést is.

Gamma függvény, Euler Γ függvény. A. Legendre (1814).

A Gamma függvény egy matematikai függvény, amely kiterjeszti a faktoriális fogalmát a komplex számok területére. Általában Γ(z)-vel jelöljük. A G-függvényt először Leonhard Euler vezette be 1729-ben; a képlet határozza meg:

Γ(z) = limn→∞ n!·nz/z(z+1)...(z+n).

A G-függvényen keresztül nagyszámú integrál, végtelen szorzat és sorozatösszeg fejezhető ki. Széles körben használják az analitikus számelméletben. A "gamma-függvény" nevet és a Γ(z) jelölést Adrien Marie Legendre francia matematikus javasolta 1814-ben.

Béta funkció, B funkció, Euler B függvény. J. Binet (1839).

Két p és q változó függvénye, amelyet p>0, q>0 esetén az egyenlőség határoz meg:

B(p, q) = 0 ∫ 1 x p-1 (1-x) q-1 dx.

A béta-függvény a Γ-függvényen keresztül fejezhető ki: B(p, q) = Γ(p)Г(q)/Г(p+q).Ahogy az egész számokhoz tartozó gamma-függvény a faktoriális általánosítása, a béta-függvény bizonyos értelemben a binomiális együtthatók általánosítása.

A béta függvény számos tulajdonságot ír leelemi részecskék részt venni erős interakció. Ezt a tulajdonságot az olasz elméleti fizikus vette észreGabriele Veneziano 1968-ban. Ez jelentette a kezdetet húrelmélet.

A „béta függvény” elnevezést és a B(p, q) jelölést Jacques Philippe Marie Binet francia matematikus, mechanikus és csillagász vezette be 1839-ben.

Laplace operátor, laplaci. R. Murphy (1833).

A Δ lineáris differenciáloperátor, amely n változó x 1, x 2, ..., x n φ(x 1, x 2, ..., x n) függvényét rendeli hozzá:

Δφ = ∂ 2 φ/∂х 1 2 + ∂ 2 φ/∂х 2 2 + ... + ∂ 2 φ/∂х n 2.

Konkrétan egy változó φ(x) függvénye esetén a Laplace-operátor egybeesik a 2. derivált operátorával: Δφ = d 2 φ/dx 2 . A Δφ = 0 egyenletet általában Laplace-egyenletnek nevezik; Innen származik a „Laplace-operátor” vagy „Laplacian” elnevezés. A Δ elnevezést Robert Murphy angol fizikus és matematikus vezette be 1833-ban.

Hamilton operátor, nabla operátor, Hamiltoni. O. Heaviside (1892).

Az űrlap vektor differenciál operátora

∇ = ∂/∂x én+ ∂/∂év · j+ ∂/∂z · k,

Ahol én, j, És k- koordináta egységvektorok. A vektoranalízis alapműveletei, valamint a Laplace-operátor természetes módon fejeződik ki a Nabla-operátoron keresztül.

1853-ban William Rowan Hamilton ír matematikus vezette be ezt az operátort, és a ∇ szimbólumot fordított görög Δ (delta) betűként alkotta meg. Hamiltonban a szimbólum hegye balra mutatott később, Peter Guthrie Tate skót matematikus és fizikus munkáiban a szimbólum nyerte el modern formáját. Hamilton ezt a szimbólumot "atled"-nek nevezte (a "delta" szót visszafelé olvasva). Később az angol tudósok, köztük Oliver Heaviside, ezt a szimbólumot „nabla”-nak kezdték nevezni, a föníciai ábécé ∇ betűjének neve után, ahol előfordul. A betű eredete olyan hangszerhez kapcsolódik, mint a hárfa, a ναβλα (nabla) az ógörögben, jelentése „hárfa”. Az operátort Hamilton operátornak, vagy nabla operátornak hívták.

Funkció. I. Bernoulli (1718), L. Euler (1734).

Matematikai fogalom, amely a halmazok elemei közötti kapcsolatot tükrözi. Azt mondhatjuk, hogy a függvény egy „törvény”, egy „szabály”, amely szerint az egyik halmaz minden eleme (amelyet definíciós tartománynak nevezünk) egy másik halmaz (úgynevezett értéktartomány) valamely eleméhez kapcsolódik. A függvény matematikai fogalma azt az intuitív elképzelést fejezi ki, hogy egy mennyiség hogyan határozza meg teljesen egy másik mennyiség értékét. A „függvény” kifejezés gyakran numerikus függvényre utal; vagyis olyan függvény, amely egyes számokat másokkal összhangban állít. A matematikusok sokáig zárójelek nélkül adtak meg érveket, például így - φх.Ezt a jelölést először Johann Bernoulli svájci matematikus használta 1718-ban.A zárójeleket csak több argumentum esetén használtuk, vagy ha az argumentum összetett kifejezés volt. Ezeknek az időknek a visszhangja a ma is használatos felvételeksin x, log x

stb. De fokozatosan általános szabály lett a zárójelek, f(x) használata. És ennek fő érdeme Leonhard Euleré.

Egyenlőség. R. Record (1557). Az egyenlőségjelet Robert Record walesi orvos és matematikus javasolta 1557-ben; a szimbólum körvonala jóval hosszabb volt a jelenleginél, mivel két párhuzamos szegmens képét imitálta. A szerző kifejtette, hogy nincs egyenlőbb a világon, mint két párhuzamos, azonos hosszúságú szakasz. Ezt megelőzően az ókori és középkori matematikában az egyenlőséget szóban jelölték (pl est egale ). A 17. században Rene Descartes kezdte használni az æ-t (lat.), és a modern egyenlőségjellel jelezte, hogy az együttható negatív is lehet. François Viète az egyenlőségjelet használta a kivonás jelölésére. A rekord szimbólum nem azonnal terjedt el. A Rekord szimbólum elterjedését hátráltatta, hogy ősidők óta ugyanazt a szimbólumot használták az egyenesek párhuzamosságának jelzésére; Végül úgy döntöttek, hogy a párhuzamosság szimbólumot függőlegessé teszik. A kontinentális Európában a "=" jelet Gottfried Leibniz csak a 17-18. század fordulóján vezette be, vagyis több mint 100 évvel Robert Record halála után, aki először használta erre a célra.

Körülbelül egyenlő, megközelítőleg egyenlő. A.Gunther (1882).

jele " A ≈ ""-et Adam Wilhelm Sigmund Günther német matematikus és fizikus vezette be 1882-ben a "körülbelül egyenlő" reláció szimbólumaként.

Többet, kevesebbet. T. Harriot (1631).

Ezt a két jelet Thomas Harriot angol csillagász, matematikus, néprajzkutató és fordító vezette be 1631-ben, ezt megelőzően a „több” és a „kevesebb” szavakat használták.

Összehasonlíthatóság. K. Gauss (1801).

Az összehasonlítás két n és m közötti kapcsolat, ami azt jelenti, hogy ezeknek a számoknak az n-m különbségét elosztjuk egy adott a egész számmal, amelyet összehasonlítási modulusnak nevezünk; a következőt írják: n≡m(mod а), és így szól: „az n és m számok összehasonlíthatók modulo a”. Például 3≡11(mod 4), mivel a 3-11 osztható 4-gyel; a 3-as és 11-es számok összehasonlíthatók modulo 4-el. A kongruenciáknak sok olyan tulajdonsága van, mint az egyenlőségeknek. Így az összehasonlítás egyik részében elhelyezkedő kifejezés ellentétes előjellel átvihető egy másik részre, és az azonos modullal végzett összehasonlítások összeadhatók, kivonhatók, szorozhatók, az összehasonlítás mindkét része ugyanazzal a számmal szorozható, stb. Például:

3≡9+2 (4. mód) és 3-2≡9 (4. mód)

Ugyanakkor igaz összehasonlítások. És egy pár helyes összehasonlításból 3≡11 (mod 4) és 1≡5 (mod 4) a következő:

3+1≡11+5 (4. mód)

3-1≡11-5 (4. mód)

3·1≡11,5 (4. mód)

3 2 ≡ 11 2 (4. mód)

3·23≡11·23 (4. mód)

A számelmélet különféle összehasonlítások megoldási módszereivel foglalkozik, pl. módszerek olyan egész számok megtalálására, amelyek kielégítik az egyik vagy másik típusú összehasonlítást. A modulo-összehasonlításokat először Carl Gauss német matematikus használta Aritmetikai tanulmányok című 1801-es könyvében. A matematikában kialakult szimbolikát is javasolta az összehasonlításhoz.

Identitás. B. Riemann (1857).

Az identitás két analitikai kifejezés egyenlősége, amely a benne szereplő betűk bármely megengedett értékére érvényes. Az a+b = b+a egyenlőség a és b minden számértékére érvényes, tehát azonosság. Az azonosságok rögzítésére 1857 óta bizonyos esetekben a „≡” (értsd: „azonos egyenlőség”) jelet használnak, amelynek szerzője ebben a használatban Georg Friedrich Bernhard Riemann német matematikus. Le lehet írni a+b ≡ b+a.

Függőlegesség. P. Erigon (1634).

A merőlegesség két egyenes, sík vagy egy egyenes és egy sík egymáshoz viszonyított helyzete, amelyben a jelzett ábrák derékszöget alkotnak. A merőlegességet jelző ⊥ jelet 1634-ben vezette be Pierre Erigon francia matematikus és csillagász. A merőlegesség fogalmának számos általánosítása van, de általában mindegyikhez tartozik a ⊥ jel.

Párhuzamosság. W. Outred (posztumusz kiadás, 1677).

A párhuzamosság bizonyos geometriai alakzatok kapcsolata; például egyenes. Különböző geometriáktól függően eltérően határozzák meg; például Eukleidész geometriájában és Lobacsevszkij geometriájában. A párhuzamosság jele ősidők óta ismert, az alexandriai Heron és Pappus használta. A szimbólum eleinte hasonló volt a jelenlegi egyenlőségjelhez (csak kiterjesztettebben), de az utóbbi megjelenésével a félreértések elkerülése végett a szimbólumot függőlegesen || Ebben a formában először William Oughtred angol matematikus műveinek posztumusz kiadásában jelent meg 1677-ben.

Kereszteződés, szakszervezet. J. Peano (1888).

A halmazok metszéspontja olyan halmaz, amely azokat és csak azokat az elemeket tartalmazza, amelyek egyidejűleg az összes adott halmazhoz tartoznak. A halmazok uniója olyan halmaz, amely az eredeti halmazok összes elemét tartalmazza. A metszéspontot és az egyesülést olyan halmazokon végzett műveleteknek is nevezik, amelyek a fent leírt szabályok szerint új halmazokat rendelnek bizonyos halmazokhoz. Jelölve ∩, illetve ∪. Például ha

A= (♠ ♣ )És B= (♣ ♦),

Hogy

A∩B= {♣ }

A∪B= {♠ ♣ ♦ } .

Tartalmaz, tartalmaz. E. Schroeder (1890).

Ha A és B két halmaz, és A-ban nincs olyan elem, amely nem tartozik B-hez, akkor azt mondják, hogy A benne van B-ben. A⊂B-t vagy B⊃A-t írnak (B-ben A-t tartalmaz). Például,

{♠}⊂{♠ ♣}⊂{♠ ♣ ♦ }

{♠ ♣ ♦ }⊃{ ♦ }⊃{♦ }

A „tartalmaz” és a „tartalmaz” szimbólumokat 1890-ben jelent meg Ernst Schroeder német matematikus és logikus.

Affiliáció. J. Peano (1895).

Ha a az A halmaz eleme, akkor írjon a∈A-t, és olvassa el, hogy „a tartozik A-hoz”. Ha a nem eleme az A halmaznak, írjon a∉A-t és olvassa el, hogy "a nem tartozik A-hoz". Eleinte nem különböztették meg a „tartalmaz” és a „tartozik” („egy elem”) kapcsolatokat, de idővel ezek a fogalmak megkülönböztetést igényeltek. A ∈ szimbólumot először Giuseppe Peano olasz matematikus használta 1895-ben. A ∈ szimbólum a görög εστι – lenni – szó első betűjéből származik.

Az egyetemesség, a létezés kvantorálója. G. Gentzen (1935), C. Pierce (1885).

A kvantor olyan logikai műveletek általános neve, amelyek egy predikátum (matematikai állítás) igazságtartományát jelzik. A filozófusok régóta figyelnek azokra a logikai műveletekre, amelyek korlátozzák egy predikátum igazságtartományát, de nem azonosították őket a műveletek külön osztályaként. Bár a kvantor-logikai konstrukciókat széles körben használják a tudományos és a mindennapi beszédben is, formalizálásuk csak 1879-ben, a német logikus, matematikus és filozófus, Friedrich Ludwig Gottlob Frege „A fogalmak számítása” című könyvében történt. Frege jelölése nehézkes grafikai konstrukcióknak tűnt, és nem fogadták el. Ezt követően sok sikeresebb szimbólumot javasoltak, de az általánosan elfogadott jelölések a ∃ egzisztenciális kvantor (olvasd: „létezik”, „van”), amelyet Charles Peirce amerikai filozófus, logikus és matematikus javasolt 1885-ben, és ∀ az univerzális kvantorra (értsd: „any” , „each”, „everyone”), amelyet Gerhard Karl Erich Gentzen német matematikus és logikus alkotott meg 1935-ben a létezés kvantor szimbólumának analógiájával (az angol szavak fordított kezdőbetűi). Létezés (exisztencia) és Bármilyen (bármilyen)). Például rögzíteni

(∀ε>0) (∃δ>0) (∀x≠x 0, |x-x 0 |<δ) (|f(x)-A|<ε)

így hangzik: „bármely ε>0 esetén van δ>0 úgy, hogy minden x esetén nem egyenlő x 0-val, és kielégíti az |x-x 0 |<δ, выполняется неравенство |f(x)-A|<ε".

Üres készlet. N. Bourbaki (1939).

Egy elemet nem tartalmazó halmaz. Az üres készlet jelét 1939-ben vezették be Nicolas Bourbaki könyveiben. A Bourbaki a francia matematikusok 1935-ben létrehozott csoportjának gyűjtőneve. A Bourbaki csoport egyik tagja Andre Weil volt, az Ø szimbólum szerzője.

Q.E.D. D. Knuth (1978).

A matematikában a bizonyítást bizonyos szabályokra épülő érveléssorozatként értjük, amely megmutatja, hogy egy bizonyos állítás igaz. A reneszánsz óta a bizonyítás végét a matematikusok a "Q.E.D." rövidítéssel jelölik, amely a "Quod Erat Demonstrandum" latin kifejezésből származik - "Amit bizonyítani kellett." A ΤΕΧ számítógépes elrendezési rendszer 1978-as megalkotásakor Donald Edwin Knuth amerikai informatikus professzor egy szimbólumot használt: egy kitöltött négyzetet, az úgynevezett „Halmos szimbólumot”, amelyet a magyar származású amerikai matematikusról, Paul Richard Halmosról neveztek el. Ma a bizonyítás elkészültét általában a Halmos-szimbólum jelzi. Alternatív megoldásként más jeleket is használnak: üres négyzetet, derékszögű háromszöget, // (két perjel), valamint a „ch.t.d” orosz rövidítést.

kettőből), 3 > 2 (a három több, mint kettő) stb.

A matematikai szimbolika fejlődése szorosan összefüggött a matematika fogalmainak és módszereinek általános fejlődésével. Első Matematikai jelek táblák voltak a számok ábrázolására - számok, amelynek megjelenése láthatóan megelőzte az írást. A legősibb számozási rendszerek - babilóniai és egyiptomi - már Kr.e. 3 1/2 évezredben megjelentek. e.

Első Matematikai jelek mert az önkényes mennyiségek jóval később (Kr. e. 5-4. századtól kezdődően) jelentek meg Görögországban. A mennyiségeket (területek, térfogatok, szögek) szegmensek formájában, két tetszőleges homogén mennyiség szorzatát pedig a megfelelő szegmensekre épített téglalap formájában ábrázoltuk. Az "Elvek"-ben Eukleidész (Kr. e. 3. század) a mennyiségeket két betű jelöli - a megfelelő szegmens kezdő és utolsó betűje, sőt néha egy is. U Archimedes (Kr. e. 3. század) ez utóbbi módszer válik általánossá. Ez a megjelölés lehetőséget rejtett a betűszámítás fejlesztésére. A klasszikus ókori matematikában azonban nem hozták létre a betűszámítást.

A betűábrázolás és a kalkulus kezdetei a késő hellenisztikus korszakban jelentek meg, az algebra geometriai formától való felszabadulása következtében. Diophantus (valószínűleg 3. század) feljegyezve ismeretlen ( X) és mértéke a következő jelekkel:

[ - a görög dunamiV (dynamis - erő) kifejezésből, amely az ismeretlen négyzetét jelöli, - a görög cuboV (k_ybos) szóból - kocka]. Az ismeretlentől vagy hatványaitól jobbra Diophantus együtthatókat írt, például 3 x 5 volt ábrázolva

(ahol = 3). Az összeadáskor Diophantus a kifejezéseket egymásnak tulajdonította, a kivonáshoz pedig speciális jelet használt; Diophantus az egyenlőséget az i betűvel jelölte [a görög isoV (isos) szóból - egyenlő]. Például az egyenlet

(x 3 + 8x) - (5x 2 + 1) =X

Diophantus így írta volna:

(Itt

azt jelenti, hogy az egységnek nincs szorzója az ismeretlen hatványa formájában).

Néhány évszázaddal később az indiánok különféle Matematikai jelek több ismeretlenre (az ismeretleneket jelölő színek nevének rövidítései), négyzet, négyzetgyök, részfej. Tehát az egyenlet

3X 2 + 10x - 8 = x 2 + 1

Jegyzőkönyvbe Brahmagupta (7. század) így nézne ki:

Igen, 3 és 10 ru 8

Igen va 1 ya 0 ru 1

(ya - yawat - tawat - ismeretlen, va - varga - négyzetszám, ru - rupa - rúpia érme - szabad kifejezés, a szám feletti pont a kivont számot jelenti).

A modern algebrai szimbolika megalkotása a 14-17. századra nyúlik vissza; a gyakorlati aritmetika és az egyenlettanulmányozás sikerei határozták meg. Különböző országokban spontán módon jelennek meg Matematikai jelek egyes cselekvésekre és ismeretlen nagyságrendű erőkre. Sok évtized, sőt évszázad telik el, mire egyik vagy másik kényelmes szimbólum kifejlesztésre kerül. Tehát a végén 15 és. N. Shuke és L. Pacioli használt összeadás és kivonás jeleket

(a latin pluszból és mínuszból) a német matematikusok bevezették a modern +-t (valószínűleg a latin et rövidítése) és --t. Még a 17. században. körülbelül egy tucattal számolhat Matematikai jelek a szorzási művelethez.

Voltak különbözőek is Matematikai jelek ismeretlen és fokozatai. A 16. - a 17. század elején. csak az ismeretlen négyzetéért több mint tíz jelölés versengett, pl. se(az összeírásból - latin kifejezés, amely a görög dunamiV fordításaként szolgált, K(kvadrátból), , A (2), , Aii, aa, a 2 stb Így az egyenlet

x 3 + 5 x = 12

az olasz matematikus G. Cardano (1545) alakja a következő:

M. Stiefel német matematikustól (1544):

R. Bombelli olasz matematikustól (1572):

F. Vieta francia matematikus (1591):

T. Harriot angol matematikustól (1631):

A 16. és a 17. század elején. egyenlőségjeleket és zárójeleket használnak: négyzet (R. Bombelli , 1550), kerek (N. Tartaglia, 1556), alakos (F. Viet, 1593). A 16. században a modern forma a törtek jelölését veszi fel.

Jelentős előrelépést jelentett a matematikai szimbolika fejlődésében Viet (1591) bevezetése. Matematikai jelek tetszőleges állandó mennyiségekre a latin ábécé B, D nagy mássalhangzói betűi formájában, ami először adott lehetőséget arra, hogy tetszőleges együtthatós algebrai egyenleteket írjon le, és operáljon velük. Viet ismeretleneket ábrázolt magánhangzókkal nagybetűkkel A, E,... Például Viet felvétele

A mi szimbólumainkban ez így néz ki:

x 3 + 3bx = d.

Viet volt az algebrai képletek megalkotója. R. Descartes (1637) modern megjelenést kölcsönzött az algebra jeleinek, a lat utolsó betűivel jelölve az ismeretleneket. ábécé x, y, z,és tetszőleges adatértékek - kezdőbetűkkel a, b, c. A diploma jelenlegi rekordja az övé. Descartes jelöléseinek nagy előnye volt az összes korábbihoz képest. Ezért hamarosan egyetemes elismerésben részesültek.

További fejlesztés Matematikai jelek szorosan összefüggött az infinitezimális analízis megalkotásával, melynek szimbolikájának kidolgozásához az alapja már jórészt az algebrában készült.

Egyes matematikai szimbólumok keletkezési dátumai

jel	jelentése	Aki belépett	Belépéskor
Egyedi tárgyak jelei
¥	végtelenség	J. Wallis	1655
e	természetes logaritmusok alapja	L. Euler	1736
p	kerület és átmérő aránya	W. Jones L. Euler	1706
én	-1 négyzetgyöke	L. Euler	1777 (nyomtatott 1794)
i j k	egységvektorok, egységvektorok	W. Hamilton	1853
P(a)	párhuzamosság szöge	N.I. Lobacsevszkij	1835
Változó objektumok jelei
x,y,z	ismeretlen vagy változó mennyiségek	R. Descartes	1637
r	vektor	O. Cauchy	1853
Egyéni műveletek jelei
+	kiegészítés	német matematikusok	15. század vége
–	kivonás
´	szorzás	W. Ooughtred	1631
×	szorzás	G. Leibniz	1698
:	osztály	G. Leibniz	1684
a 2, a 3,…, a n	fokon	R. Descartes	1637
		I. Newton	1676
	gyökerei	K. Rudolph	1525
		A. Girard	1629
Napló	logaritmus	I. Kepler	1624
log		B. Cavalieri	1632
bűn	sinus	L. Euler	1748
kötözősaláta	koszinusz
tg	tangens	L. Euler	1753
ív.bűn	arcszinusz	J. Lagrange	1772
Sh	hiperbolikus szinusz	V. Riccati	1757
Ch	hiperbolikus koszinusz
dx, ddx,…	differenciális	G. Leibniz	1675 (nyomtatott 1684)
d 2 x, d 3 x,…
	integrál	G. Leibniz	1675 (nyomtatott 1686)
	származéka	G. Leibniz	1675
¦¢x	származéka	J. Lagrange	1770, 1779
y'
¦¢(x)
Dx	különbség	L. Euler	1755
	részleges származéka	A. Legendre	1786
	határozott integrál	J. Fourier	1819-22
	összeg	L. Euler	1755
P	munka	K. Gauss	1812
!	faktoriális	K. Crump	1808
|x|	modul	K. Weierstrass	1841
lim	határ	W. Hamilton, sok matematikus	1853, század eleje
lim
n = ¥
lim
n ® ¥
x	zéta függvény	B. Riemann	1857
G	gamma függvény	A. Legendre	1808
IN	béta funkció	J. Binet	1839
D	delta (Laplace-operátor)	R. Murphy	1833
Ñ	nabla (Hamilton operatőr)	W. Hamilton	1853
Változó műveletek jelei
jx	funkció	I. Bernouli	1718
f(x)		L. Euler	1734
Az egyéni kapcsolatok jelei
=	egyenlőség	R. Record	1557
>	több	T. Garriott	1631
<	kevesebb
º	összehasonlíthatóság	K. Gauss	1801
	párhuzamosság	W. Ooughtred	1677
^	függőlegesség	P. Erigon	1634

ÉS. Newton fluxusok és fluentsok módszerében (1666 és az azt követő években) jeleket vezetett be egy mennyiség egymást követő fluxusaira (származékaira) (formában

és végtelenül kicsi növekményre o. Valamivel korábban J. Wallis (1655) javasolta a ¥ végtelen jelet.

A differenciál- és integrálszámítás modern szimbolikájának megalkotója G. Leibniz. Különösen az övé a jelenleg használt Matematikai jelek differenciálművek

dx, d 2 x, d 3 x

és integrál

A modern matematika szimbolikájának megteremtésében óriási elismerés illeti L. Euler. Bevezette (1734) az általános használatba a változó műveletek első jelét, nevezetesen a függvény jelét f(x) (a latin functio szóból). Euler munkája után számos egyedi függvény, például trigonometrikus függvény jelei szabványossá váltak. Euler a konstansok jelölésének szerzője e(természetes logaritmusok alapja, 1736), p [valószínűleg a görög perijereia (periphereia) szóból - kör, periféria, 1736], képzeletbeli egység

(a francia imaginaire - imaginary szóból, 1777, megjelent 1794).

A 19. században a szimbolizmus szerepe növekszik. Ekkor megjelennek az |x| abszolút érték előjelei. (TO. Weierstrass, 1841), vektor (O. Cauchy, 1853), meghatározó

(A. Cayley, 1841) stb. Számos, a 19. században felmerült elmélet, például a tenzorszámítás, nem fejleszthető megfelelő szimbolika nélkül.

A meghatározott szabványosítási folyamattal együtt Matematikai jelek a modern irodalomban gyakran lehet találni Matematikai jelek, amelyet az egyes szerzők csak a jelen tanulmány keretein belül használnak.

A matematikai logika szemszögéből, között Matematikai jelek A következő főcsoportok vázolhatók fel: A) tárgyak jelei, B) műveletek jelei, C) kapcsolatok jelei. Például az 1, 2, 3, 4 jelek számokat, vagyis aritmetikailag vizsgált objektumokat jelölnek. A + összeadás jel önmagában nem jelent semmilyen objektumot; akkor kap tárgyi tartalmat, ha jelzi, hogy mely számok adódnak össze: az 1 + 3 jelölés a 4-et jelenti. A > (nagyobb, mint) jel a számok közötti kapcsolat jele. A relációjel akkor kap teljesen határozott tartalmat, ha meg van jelölve, hogy a relációt mely objektumok között tekintjük. A felsorolt ​​három fő csoporthoz Matematikai jelek a negyedik mellett: D) ​​a fő jelek kombinációs sorrendjét megállapító segédjelek. Az ilyen jelekről elegendő képet adnak a műveletek sorrendjét jelző zárójelek.

Az A), B) és C) csoport mindegyikének jelei kétféleek: 1) jól meghatározott objektumok, műveletek és kapcsolatok egyedi jelei, 2) „nem változó” vagy „ismeretlen” objektumok általános jelei. , műveletek és kapcsolatok.

Példák az első típusú jelekre szolgálhatnak (lásd még a táblázatot):

A 1) A természetes számok 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 megnevezése; transzcendentális számok eés p; képzeletbeli egység én.

B 1) Aritmetikai műveletek előjelei +, -, ·, ´,:; gyökérkivonás, differenciálás

a halmazok összegének (egyesülésének) È és szorzatának (metszéspontjának) Ç jelei; ide tartoznak az egyes függvények sin, tg, log stb. jelei is.

1) egyenlőség- és egyenlőtlenségjelek =, >,<, ¹, знаки параллельности || и перпендикулярности ^, знаки принадлежности Î элемента некоторому множеству и включения Ì одного множества в другое и т.п.

A második típusú jelek egy bizonyos osztály tetszőleges objektumait, műveleteit és relációit ábrázolják, vagy olyan objektumokat, műveleteket és relációkat, amelyekre bizonyos előre egyeztetett feltételek vonatkoznak. Például az identitás ( a + b)(a - b) = a 2 - b 2 betű AÉs b tetszőleges számokat ábrázol; a funkcionális függőség vizsgálatakor at = X 2 betű XÉs y - tetszőleges számok, amelyeket adott kapcsolat köt össze; az egyenlet megoldása során

X bármely olyan számot jelöl, amely kielégít egy adott egyenletet (az egyenlet megoldása során megtudjuk, hogy ennek a feltételnek csak két lehetséges +1 és -1 érték felel meg).

Logikai szempontból jogos az ilyen általános jeleket a matematikai logikában megszokott módon változó jeleinek nevezni, anélkül, hogy félnénk attól, hogy egy változó „változtatási tartománya” egyetlen egyből állhat. tárgy vagy akár „üres” (például egyenletek esetén megoldás nélkül). További példák az ilyen típusú jelekre:

A 2) Pontok, vonalak, síkok és bonyolultabb geometriai alakzatok betűkkel való megjelölése a geometriában.

B 2) Megnevezések f, , j függvényekhez és operátorszámítási jelölésekhez, ha egybetűs L képviseli például az űrlap tetszőleges operátorát:

A „változó relációk” jelölései kevésbé gyakoriak, csak a matematikai logikában használatosak (lásd. Logikai algebra ) és viszonylag absztrakt, többnyire axiomatikus matematikai tanulmányokban.

Megvilágított.: Cajori., A matematikai jelölések története, v. 1-2, Chi., 1928-29.

Cikk a "szóról" Matematikai jelek A Nagy Szovjet Enciklopédiában 39 767 alkalommal olvasták el

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete