A törtek számokkal való szorzásának szabályai. Törtszámok egész számmal való szorzása szabály
) és nevezőnként nevezőt (a szorzat nevezőjét kapjuk).
A törtek szorzásának képlete:
Például:
Mielőtt elkezdené a számlálók és nevezők szorzását, ellenőriznie kell, hogy a tört csökkenthető-e. Ha csökkenteni tudja a törtet, akkor könnyebb lesz további számításokat végeznie.
Közönséges tört elosztása törttel.
Természetes számokat tartalmazó törtek osztása.
Nem olyan ijesztő, mint amilyennek látszik. Az összeadáshoz hasonlóan az egész számot olyan törtté alakítjuk, amelynek nevezője egy. Például:
Vegyes törtek szorzása.
A törtek szorzásának szabályai (vegyes):
- a kevert frakciókat nem megfelelő frakciókká alakítja át;
- a törtek számlálóinak és nevezőinek szorzása;
- csökkentse a frakciót;
- Ha nem megfelelő törtet kapunk, akkor a nem megfelelő törtet vegyes törtté alakítjuk.
Figyel! Egy vegyes tört egy másik vegyes törttel való szorzásához először át kell alakítani azokat nem megfelelő törtek formájába, majd meg kell szorozni a közönséges törtek szorzására vonatkozó szabály szerint.
A második módszer a tört természetes számmal való szorzására.
Kényelmesebb lehet a második módszert használni a közönséges tört számmal való szorzására.
Figyel! Egy tört természetes számmal való szorzásához el kell osztania a tört nevezőjét ezzel a számmal, és a számlálót változatlanul kell hagynia.
A fenti példából kitűnik, hogy ezt az opciót kényelmesebb használni, ha egy tört nevezőjét maradék nélkül osztjuk egy természetes számmal.
Többemeletes törtek.
A középiskolában gyakran találkoznak háromemeletes (vagy több) törtekkel. Példa:
Ahhoz, hogy egy ilyen tört a szokásos formájába kerüljön, használjon 2 pontra osztást:
Figyel! A törtek felosztásánál nagyon fontos az osztás sorrendje. Vigyázz, itt könnyen összezavarodhatsz.
Kérjük, vegye figyelembe Például:
Ha egyet tetszőleges törttel osztunk, az eredmény ugyanaz a tört lesz, csak megfordítva:
Gyakorlati tippek a törtek szorzásához és osztásához:
1. A törtkifejezésekkel való munka során a legfontosabb a pontosság és a figyelmesség. Minden számítást gondosan és pontosan, koncentráltan és világosan végezzen. Jobb, ha írsz néhány plusz sort a piszkozatodba, mint eltévedni a gondolati számításokban.
2. A különböző típusú törteket tartalmazó feladatoknál lépjen a közönséges törtek típusára.
3. Az összes törtet addig csökkentjük, amíg már nem lehet redukálni.
4. A többszintű törtkifejezéseket 2 ponton keresztüli osztás segítségével közönségessé alakítjuk.
5. Osszon el egy egységet egy törttel a fejében, egyszerűen fordítsa meg a törtet.
Legutóbb megtanultuk, hogyan kell törteket összeadni és kivonni (lásd a „Törtek összeadása és kivonása”). Ezeknek az akcióknak a legnehezebb része az volt, hogy a törteket közös nevezőre hozzuk.
Itt az ideje, hogy foglalkozzunk a szorzással és az osztással. A jó hír az, hogy ezek a műveletek még az összeadásnál és kivonásnál is egyszerűbbek. Először nézzük a legegyszerűbb esetet, amikor két pozitív tört van elválasztott egész rész nélkül.
Két tört szorzásához külön kell szoroznia a számlálóikat és a nevezőit. Az első szám az új tört számlálója, a második pedig a nevező.
Két tört elosztásához meg kell szorozni az első törtet a „fordított” második törttel.
Kijelölés:
A definícióból az következik, hogy a törtek osztása szorzásra redukál. Tört „átforgatásához” csak cserélje fel a számlálót és a nevezőt. Ezért a leckében elsősorban a szorzást fogjuk figyelembe venni.
A szorzás eredményeként redukálható tört keletkezhet (és gyakran előfordul is) - természetesen csökkenteni kell. Ha az összes csökkentés után a tört helytelennek bizonyul, a teljes részt ki kell emelni. De ami a szorzással biztosan nem fog megtörténni, az a közös nevezőre való redukálás: nincsenek keresztmetszetek, a legnagyobb tényezők és a legkisebb közös többszörösek.
Értelemszerűen a következőkkel rendelkezünk:
Törtek szorzása egész részekkel és negatív törtekkel
Ha a törtek egész részt tartalmaznak, akkor azokat nem megfelelő részekre kell konvertálni - és csak ezután kell megszorozni a fent vázolt sémák szerint.
Ha egy tört számlálójában, a nevezőben vagy előtte mínusz van, akkor az a következő szabályok szerint kivehető a szorzásból vagy teljesen eltávolítható:
- Plusz mínuszra mínuszt ad;
- Két negatívum igenlővé tesz.
Ezekkel a szabályokkal eddig csak negatív törtek összeadásánál és kivonásánál találkoztunk, amikor az egész résztől meg kellett szabadulni. Egy mű esetében általánosíthatóak, hogy egyszerre több hátrányt is „égessenek”:
- Páronként áthúzzuk a negatívokat, amíg teljesen el nem tűnnek. Szélsőséges esetekben egy mínusz maradhat fenn - az, amelyikhez nem volt párja;
- Ha nem marad mínusz, a művelet befejeződött - elkezdheti a szorzást. Ha az utolsó mínusz nincs áthúzva, mert nem volt hozzá pár, akkor a szorzás határain kívülre vesszük. Az eredmény egy negatív tört.
Feladat. Keresse meg a kifejezés jelentését:
Az összes törtet helytelenné alakítjuk, majd a mínuszokat kivesszük a szorzásból. A maradékot a szokásos szabályok szerint megszorozzuk. Kapunk:
Hadd emlékeztesselek még egyszer arra, hogy a kiemelt egész részt tartalmazó tört előtt megjelenő mínusz kifejezetten a teljes törtre vonatkozik, és nem csak a teljes részére (ez az utolsó két példára vonatkozik).
Ügyeljünk a negatív számokra is: szorzáskor zárójelben szerepelnek. Ez azért történik, hogy a mínuszokat elkülönítsék a szorzójelektől, és a teljes jelölés pontosabb legyen.
Törtszámok csökkentése menet közben
A szorzás nagyon munkaigényes művelet. A számok itt elég nagynak bizonyulnak, és a probléma egyszerűsítése érdekében megpróbálhatja tovább csökkenteni a törtet szorzás előtt. Valójában a törtek számlálói és nevezői lényegében közönséges tényezők, ezért a tört alapvető tulajdonságával redukálhatók. Vessen egy pillantást a példákra:
Feladat. Keresse meg a kifejezés jelentését:
Értelemszerűen a következőkkel rendelkezünk:
Minden példában pirossal jelöljük a csökkentett számokat és a megmaradt számokat.
Kérjük, vegye figyelembe: az első esetben a szorzók teljes mértékben csökkentek. Helyükön olyan egységek maradnak, amelyeket általában véve nem kell írni. A második példában nem sikerült teljes csökkentést elérni, de a számítások összmennyisége így is csökkent.
Ezt a technikát azonban soha ne használja törtek összeadásakor és kivonásakor! Igen, néha vannak hasonló számok, amelyeket csak csökkenteni szeretne. Tessék, nézd:
Ezt nem teheted!
A hiba azért fordul elő, mert összeadáskor a tört számlálója összeget ad, nem pedig számok szorzatát. Következésképpen a tört alaptulajdonságát nem lehet alkalmazni, mivel ez a tulajdonság kifejezetten a számok szorzására vonatkozik.
Egyszerűen nincs más oka a törtek csökkentésének, így az előző probléma helyes megoldása így néz ki:
Helyes megoldás:
Mint látható, a helyes válasz nem volt olyan szép. Általában legyen óvatos.
A közönséges törtek szorzását több lehetséges lehetőségben is megvizsgáljuk.
Közönséges tört szorzása törttel
Ez a legegyszerűbb eset, amikor a következőket kell használnia törtek szorzásának szabályai.
To tört törttel szorozzuk meg, szükséges:
- szorozzuk meg az első tört számlálóját a második tört számlálójával, és írjuk be a szorzatukat az új tört számlálójába;
- szorozzuk meg az első tört nevezőjét a második tört nevezőjével, és írjuk be a szorzatukat az új tört nevezőjébe;
- Hasonló nevezőt tartalmazó törtek hozzáadása
- Különböző nevezőjű törtek összeadása
A számlálók és nevezők szorzása előtt ellenőrizze, hogy a törtek csökkenthetők-e. A törtek számának csökkentése a számításokban sokkal könnyebbé teszi a számításokat.
Tört szorzata természetes számmal
Hogy tört szorozzuk meg egy természetes számmal A tört számlálóját meg kell szorozni ezzel a számmal, és a tört nevezőjét változatlanul hagyni.
Ha a szorzás eredménye hibás tört, ne felejtse el vegyes számmá alakítani, azaz kiemelni a teljes részt.
Vegyes számok szorzása
A vegyes számok szorzásához először helytelen törtekké kell alakítani, majd a közönséges törtek szorzási szabálya szerint szorozni.
Egy másik módszer a tört természetes számmal való szorzására
Néha a számítások során kényelmesebb egy másik módszert használni a közönséges tört számmal való megszorzására.
Egy tört természetes számmal való szorzásához el kell osztania a tört nevezőjét ezzel a számmal, és a számlálót változatlannak kell hagynia.
Amint a példából látható, a szabálynak ez a változata kényelmesebb, ha a tört nevezője maradék nélkül osztható természetes számmal.
Műveletek törtekkel
Hasonló nevezőt tartalmazó törtek hozzáadása
A törtek összeadásának két típusa van:
Először tanuljuk meg a hasonló nevezőkkel rendelkező törtek összeadását. Itt minden egyszerű. Az azonos nevezőjű törtek hozzáadásához hozzá kell adni a számlálóikat, és a nevezőt változatlanul kell hagyni. Például vegyük össze a törteket és a . Adja hozzá a számlálókat, és hagyja változatlanul a nevezőt:
Ez a példa könnyen érthető, ha a pizzára emlékezünk, amely négy részre oszlik. Ha pizzát adsz a pizzához, akkor pizzát kapsz:
2. példa Adjunk hozzá törteket és .
Ismét összeadjuk a számlálókat, és a nevezőt változatlanul hagyjuk:
A válasz helytelen törtnek bizonyult. Amikor eljön a feladat vége, szokás megválni a helytelen törtektől. Ahhoz, hogy megszabaduljon egy nem megfelelő törttől, ki kell választania annak teljes részét. Esetünkben az egész rész könnyen elkülöníthető - kettő osztva kettővel egyenlő:
Ez a példa könnyen érthető, ha egy két részre osztott pizzára emlékezünk. Ha több pizzát adsz a pizzához, egy egész pizzát kapsz:
3. példa. Adjunk hozzá törteket és .
Ez a példa könnyen érthető, ha a pizzára emlékezünk, amely három részre oszlik. Ha több pizzát adsz a pizzához, akkor pizzát kapsz:
4. példa Keresse meg egy kifejezés értékét 
Ez a példa pontosan ugyanúgy van megoldva, mint az előzőek. A számlálókat hozzá kell adni, a nevezőt pedig változatlanul kell hagyni:
Próbáljuk meg rajz segítségével ábrázolni a megoldásunkat. Ha pizzát ad hozzá egy pizzához, és több pizzát ad hozzá, 1 egész pizzát és még több pizzát kap.
Amint látja, nincs semmi bonyolult az azonos nevezőjű törtek összeadásában. Elég megérteni a következő szabályokat:
- Az azonos nevezőjű törtek hozzáadásához hozzá kell adni a számlálóikat, és a nevezőt változatlannak kell hagyni;
- Ha a válasz helytelen törtnek bizonyul, akkor a teljes részt ki kell emelnie.
- Keresse meg a törtek nevezőinek LCM-jét;
- Ossza el az LCM-et az egyes törtek nevezőjével, és kapjon további tényezőt minden törthez;
- Szorozzuk meg a törtek számlálóit és nevezőit további tényezőikkel;
- Adjon hozzá azonos nevezővel rendelkező törteket;
- Ha a válasz helytelen törtnek bizonyul, jelölje ki a teljes részét;
- Hasonló nevezővel rendelkező törtek kivonása
- Különböző nevezőjű törtek kivonása
Különböző nevezőjű törtek összeadása
Most pedig tanuljuk meg, hogyan adjunk hozzá különböző nevezőkkel rendelkező törteket. Törtek összeadásakor a törtek nevezőinek azonosaknak kell lenniük. De nem mindig ugyanazok.
Például törtek adhatók hozzá, mert ugyanazok a nevezők.
De a törteket nem lehet azonnal összeadni, mivel ezeknek a törteknek más a nevezője. Ilyen esetekben a törteket ugyanarra a (közös) nevezőre kell csökkenteni.
Többféle módon is csökkenthetjük a törteket ugyanarra a nevezőre. Ma csak az egyiket nézzük meg, mivel a többi módszer bonyolultnak tűnhet egy kezdő számára.
Ennek a módszernek az a lényege, hogy először mindkét tört nevezőjének legkisebb közös többszörösét (LCM) keressük. Az LCM-et ezután elosztjuk az első tört nevezőjével, hogy megkapjuk az első további tényezőt. Ugyanezt teszik a második törttel is - az LCM-et elosztják a második tört nevezőjével, és egy második további tényezőt kapnak.
A törtek számlálóit és nevezőit ezután megszorozzuk a további tényezőkkel. Ezen műveletek eredményeként a különböző nevezővel rendelkező törtek azonos nevezővel rendelkező törtekké alakulnak. És már tudjuk, hogyan kell ilyen törteket összeadni.
1. példa. Adjuk össze a törteket és
Ezeknek a törteknek különböző nevezői vannak, ezért le kell redukálni őket ugyanarra a (közös) nevezőre.
Először is megtaláljuk mindkét tört nevezőjének legkisebb közös többszörösét. Az első tört nevezője a 3, a másodiké pedig a 2. Ezeknek a számoknak a legkisebb közös többszöröse a 6
LCM (2 és 3) = 6
Most térjünk vissza a törtekhez és . Először ossza el az LCM-et az első tört nevezőjével, és kapja meg az első további tényezőt. Az LCM a 6-os szám, az első tört nevezője pedig a 3. A 6-ot elosztjuk 3-mal, így 2-t kapunk.
A kapott 2-es szám az első további szorzó. Leírjuk az első törtre. Ehhez húzzon egy kis ferde vonalat a tört fölé, és írja fel a felette található további tényezőt:
Ugyanezt tesszük a második törttel is. Az LCM-et elosztjuk a második tört nevezőjével, és megkapjuk a második járulékos tényezőt. Az LCM a 6-os szám, a második tört nevezője pedig a 2. A 6-ot elosztjuk 2-vel, 3-at kapunk.
A kapott 3 a második további szorzó. Felírjuk a második törtre. Ismét készítünk egy kis ferde vonalat a második tört fölé, és felírjuk a felette talált további tényezőt:
Most már minden készen áll a kiegészítésre. Továbbra is meg kell szorozni a törtek számlálóit és nevezőit további tényezőkkel:
Nézd meg alaposan, mire jutottunk. Arra a következtetésre jutottunk, hogy a különböző nevezőjű törtek olyan törtekké alakultak, amelyeknek azonos nevezője volt. És már tudjuk, hogyan kell ilyen törteket összeadni. Vegyük ezt a példát a végére:
Ezzel teljes a példa. Kiderül hozzá .
Próbáljuk meg rajz segítségével ábrázolni a megoldásunkat. Ha pizzát adsz egy pizzához, akkor egy egész pizzát és egy pizza másik hatodát kapod:
A törtek ugyanarra a (közös) nevezőre való redukálása kép segítségével is ábrázolható. A törteket és a törteket közös nevezőre redukálva megkaptuk a és a törteket. Ezt a két frakciót ugyanazok a pizzadarabok képviselik. Az egyetlen különbség az lesz, hogy ezúttal egyenlő részekre osztják őket (azonos nevezőre csökkentve).
Az első rajz egy töredéket ábrázol (hatból négy darab), a második rajz pedig egy törtet (hatból három darab). Ezeket a darabokat összeadva (hatból hét darabot) kapunk. Ez a tört nem megfelelő, ezért a teljes részt kiemeltük. Ennek eredményeként kaptunk (egy egész pizza és egy másik hatodik pizza).
Kérjük, vegye figyelembe, hogy ezt a példát túl részletesen írtuk le. Az oktatási intézményekben nem szokás ilyen részletesen írni. Gyorsan meg kell találnia mindkét nevező és a hozzájuk tartozó további tényezők LCM-jét, valamint gyorsan meg kell szoroznia a talált további tényezőket a számlálóival és a nevezőivel. Ha iskolában lennénk, ezt a példát a következőképpen kellene leírnunk:
De az éremnek van egy másik oldala is. Ha a matematika tanulmányozásának első szakaszában nem készít részletes jegyzeteket, akkor ilyen jellegű kérdések kezdenek megjelenni. „Honnan jön ez a szám?”, „Miért válnak a törtek hirtelen teljesen más törtté? «.
A különböző nevezőkkel rendelkező törtek összeadásának megkönnyítése érdekében kövesse az alábbi lépésenkénti utasításokat:
2. példa Keresse meg egy kifejezés értékét 
.
Használjuk a fent megadott diagramot.
1. lépés: Keresse meg a törtek nevezőinek LCM-jét
Keresse meg mindkét tört nevezőjének LCM-jét. A törtek nevezői a 2, 3 és 4 számok. Meg kell találni az LCM-et ezekhez a számokhoz:
2. lépés: Ossza el az LCM-et az egyes törtek nevezőjével, és kapjon további tényezőt minden törthez
Ossza el az LCM-et az első tört nevezőjével. Az LCM a 12-es szám, az első tört nevezője pedig a 2. A 12-t elosztjuk 2-vel, így 6-ot kapunk. Az első további 6-os tényezőt kaptuk. Az első tört fölé írjuk:
Most elosztjuk az LCM-et a második tört nevezőjével. Az LCM a 12-es szám, a második tört nevezője pedig a 3. A 12-t elosztjuk 3-mal, így 4-et kapunk. A második további 4-es tényezőt kapjuk. A második tört fölé írjuk:
Most elosztjuk az LCM-et a harmadik tört nevezőjével. Az LCM a 12-es szám, a harmadik tört nevezője pedig a 4. A 12-t elosztjuk 4-gyel, így 3-at kapunk. A harmadik további tényezőt 3-at kapjuk. A harmadik tört fölé írjuk:
3. lépés. Szorozzuk meg a törtek számlálóit és nevezőit további tényezőikkel
A számlálókat és a nevezőket megszorozzuk további tényezőikkel:
4. lépés: Adjon hozzá azonos nevezővel rendelkező törteket
Arra a következtetésre jutottunk, hogy a különböző nevezőjű törtek olyan törtekké alakultak, amelyeknek azonos (közös) nevezője volt. Már csak ezeket a törteket kell összeadni. Add hozzá:
Az összeadás nem fért egy sorba, ezért a fennmaradó kifejezést áthelyeztük a következő sorba. Ez a matematikában megengedett. Ha egy kifejezés nem fér el egy sorba, akkor a következő sorba kerül, és egyenlőségjelet (=) kell tenni az első sor végére és az új sor elejére. A második sorban lévő egyenlőségjel azt jelzi, hogy ez az első sorban lévő kifejezés folytatása.
5. lépés: Ha a válasz helytelen törtnek bizonyul, jelölje ki a teljes részét
A válaszunk helytelen törtnek bizonyult. Ennek egy egész részét ki kell emelnünk. Kiemeljük:
Választ kaptunk
Hasonló nevezővel rendelkező törtek kivonása
A törtek kivonásának két típusa van:
Először is, tanuljuk meg, hogyan kell kivonni a törteket hasonló nevezőkkel. Itt minden egyszerű. Ha egy törtből egy másikat szeretne kivonni, ki kell vonnia a második tört számlálóját az első tört számlálójából, de a nevezőt változatlannak kell hagynia.
Például keressük meg a kifejezés értékét. A példa megoldásához ki kell vonni a második tört számlálóját az első tört számlálójából, és a nevezőt változatlannak kell hagyni. Tegyük ezt:
Ez a példa könnyen érthető, ha a pizzára emlékezünk, amely négy részre oszlik. Ha pizzát vágsz ki egy pizzából, akkor pizzát kapsz:
2. példa Keresse meg a kifejezés értékét.
Ismét az első tört számlálójából vonjuk ki a második tört számlálóját, és hagyjuk a nevezőt változatlannak:
Ez a példa könnyen érthető, ha a pizzára emlékezünk, amely három részre oszlik. Ha pizzát vágsz ki egy pizzából, akkor pizzát kapsz:
3. példa Keresse meg egy kifejezés értékét 
Ez a példa pontosan ugyanúgy van megoldva, mint az előzőek. Az első tört számlálójából ki kell vonni a fennmaradó törtek számlálóit:
A válasz egy helytelen tört volt. Ha a példa elkészült, akkor szokás a helytelen törttől megszabadulni. Szabaduljunk meg a nem megfelelő törttől a válaszban. Ehhez jelöljük ki a teljes részét:
Amint látja, nincs semmi bonyolult az azonos nevezőjű törtek kivonásában. Elég megérteni a következő szabályokat:
Különböző nevezőjű törtek kivonása
Például levonhat egy törtet egy törtből, mert a törtek ugyanazokkal a nevezőkkel rendelkeznek. De nem lehet törtet kivonni a törtből, mivel ezeknek a törteknek más a nevezője. Ilyen esetekben a törteket ugyanarra a (közös) nevezőre kell csökkenteni.
A közös nevezőt ugyanazon az elv alapján találjuk meg, amelyet a különböző nevezőjű törtek összeadásakor használtunk. Először is keresse meg mindkét tört nevezőinek LCM-jét. Ezután az LCM-et elosztjuk az első tört nevezőjével, és megkapjuk az első további tényezőt, amelyet az első tört fölé írunk. Hasonlóképpen, az LCM-et elosztjuk a második tört nevezőjével, és egy második járulékos tényezőt kapunk, amelyet a második tört fölé írunk.
A törteket ezután megszorozzuk további tényezőikkel. E műveletek eredményeként a különböző nevezővel rendelkező törteket azonos nevezővel rendelkező törtekké alakítják. És már tudjuk, hogyan kell kivonni az ilyen törteket.
1. példa Keresse meg a kifejezés jelentését:
Először megtaláljuk mindkét tört nevezőjének LCM-jét. Az első tört nevezője a 3, a másodiké pedig a 4. Ezeknek a számoknak a legkisebb közös többszöröse a 12
LCM (3 és 4) = 12
Most térjünk vissza a törtekhez és
Keressünk egy további tényezőt az első törthez. Ehhez el kell osztani az LCM-et az első tört nevezőjével. Az LCM a 12-es szám, az első tört nevezője pedig a 3. Oszd el a 12-t 3-mal, így 4-et kapunk. Írj négyest az első tört fölé!
Ugyanezt tesszük a második törttel is. Ossza el az LCM-et a második tört nevezőjével. Az LCM a 12-es szám, a második tört nevezője pedig a 4. Oszd el a 12-t 4-gyel, 3-at kapunk. Írj hármast a második tört fölé:
Most készen állunk a kivonásra. Továbbra is meg kell szorozni a törteket további tényezőikkel:
Arra a következtetésre jutottunk, hogy a különböző nevezőjű törtek olyan törtekké alakultak, amelyeknek azonos nevezője volt. És már tudjuk, hogyan kell kivonni az ilyen törteket. Vegyük ezt a példát a végére:
Választ kaptunk
Próbáljuk meg rajz segítségével ábrázolni a megoldásunkat. Ha pizzát vágsz egy pizzából, akkor pizzát kapsz
Ez a megoldás részletes változata. Ha iskolában lennénk, ezt a példát rövidebben kellene megoldanunk. Egy ilyen megoldás így nézne ki:
A törtek közös nevezőre való redukálása kép segítségével is ábrázolható. Ezeket a törteket közös nevezőre redukálva megkaptuk a és a törteket. Ezeket a törtrészeket ugyanazok a pizzaszeletek képviselik, de ezúttal egyenlő részekre osztják őket (azonos nevezőre csökkentve):
Az első képen egy töredék látható (nyolc darab a tizenkettőből), a második képen pedig egy töredék (három darab a tizenkettőből). Nyolc darabból három darabot levágva a tizenkettőből öt darabot kapunk. A tört ezt az öt darabot írja le.
2. példa Keresse meg egy kifejezés értékét 
Ezeknek a törteknek különböző nevezői vannak, ezért először le kell redukálni őket ugyanarra a (közös) nevezőre.
Keressük meg e törtek nevezőinek LCM-jét.
A törtek nevezői a 10, 3 és 5 számok. Ezeknek a számoknak a legkisebb közös többszöröse a 30
LCM(10;3;5) = 30
Most minden törthez további tényezőket találunk. Ehhez el kell osztani az LCM-et az egyes törtek nevezőjével.
Keressünk egy további tényezőt az első törthez. Az LCM a 30-as szám, az első tört nevezője pedig a 10. A 30-at elosztva 10-zel kapjuk az első további 3-as tényezőt. Az első tört fölé írjuk:
Most találunk egy további tényezőt a második törthez. Ossza el az LCM-et a második tört nevezőjével. Az LCM a 30-as szám, a második tört nevezője pedig a 3. A 30-at elosztva 3-mal kapjuk a második további 10-es tényezőt. A második tört fölé írjuk:
Most találunk egy további tényezőt a harmadik törthez. Ossza el az LCM-et a harmadik tört nevezőjével. Az LCM a 30-as szám, a harmadik tört nevezője pedig az 5. A 30-at elosztva 5-tel kapjuk a harmadik további 6-os tényezőt. A harmadik tört fölé írjuk:
Most minden készen áll a kivonásra. Továbbra is meg kell szorozni a törteket további tényezőikkel:
Arra a következtetésre jutottunk, hogy a különböző nevezőjű törtek olyan törtekké alakultak, amelyeknek azonos (közös) nevezője volt. És már tudjuk, hogyan kell kivonni az ilyen törteket. Fejezzük be ezt a példát.
A példa folytatása nem fog elférni egy sorba, ezért a folytatást áthelyezzük a következő sorba. Ne feledkezzünk meg az egyenlőségjelről (=) az új sorban:
A válasz szabályos törtnek bizonyult, és úgy tűnik, minden megfelel nekünk, de túl nehézkes és csúnya. Egyszerűbbé, esztétikusabbá kellene tenni. Mit lehet tenni? Lerövidítheti ezt a törtet. Emlékezzünk vissza, hogy a tört redukálása a számláló és a nevező osztása a számláló és a nevező legnagyobb közös osztójával.
A tört helyes csökkentéséhez el kell osztani a számlálót és a nevezőt a 20 és 30 számok legnagyobb közös osztójával (GCD).
A GCD-t nem szabad összetéveszteni a NOC-val. Sok kezdő leggyakoribb hibája. A GCD a legnagyobb közös osztó. Úgy találjuk, hogy töredékét csökkenti.
Az LCM pedig a legkisebb közös többszörös. Azért találjuk meg, hogy a törteket ugyanarra a (közös) nevezőre hozzuk.
Most megtaláljuk a 20 és 30 számok legnagyobb közös osztóját (GCD).
Tehát megtaláljuk a GCD-t a 20-as és 30-as számokhoz:
GCD (20 és 30) = 10
Most visszatérünk példánkhoz, és elosztjuk a tört számlálóját és nevezőjét 10-zel:
Gyönyörű választ kaptunk
Tört szorzása számmal
Egy tört számmal való szorzásához meg kell szorozni az adott tört számlálóját ezzel a számmal, és a nevezőt változatlannak kell hagyni.
1. példa. Szorozza meg a törtet 1-gyel.
Szorozzuk meg a tört számlálóját 1-gyel
A felvétel fele 1 idő alatt érthető. Például, ha 1 alkalommal veszel pizzát, akkor pizzát kapsz
A szorzás törvényeiből tudjuk, hogy ha a szorzót és a tényezőt felcseréljük, a szorzat nem változik. Ha a kifejezést így írjuk, akkor a szorzat továbbra is egyenlő lesz. Ismét működik az egész szám és a tört szorzásának szabálya:
Ez a jelölés úgy értelmezhető, hogy az egy felét veszi. Például, ha van 1 egész pizza és a felét kivesszük, akkor pizzánk lesz:
2. példa. Keresse meg egy kifejezés értékét
Szorozzuk meg a tört számlálóját 4-gyel
A kifejezés úgy értelmezhető, hogy 4-szer kétnegyedet vesz. Például, ha veszel 4 pizzát, akkor két egész pizzát kapsz
És ha felcseréljük a szorzót és a szorzót, akkor a kifejezést kapjuk. Ez is egyenlő lesz 2-vel. Ez a kifejezés úgy értelmezhető, hogy négy egész pizzából két pizzát veszünk:
Törtek szorzása
A törtek szorzásához meg kell szorozni a számlálóikat és a nevezőiket. Ha a válasz helytelen törtnek bizonyul, ki kell emelnie a teljes részét.
1. példa Keresse meg a kifejezés értékét.
Választ kaptunk. Ezt a hányadot célszerű csökkenteni. A tört 2-vel csökkenthető. Ekkor a végső oldat a következő formát ölti:
A kifejezés úgy értelmezhető, hogy egy fél pizzából pizzát veszünk. Tegyük fel, hogy van egy fél pizza:
Hogyan lehet ebből a félből kétharmadot kivenni? Először ezt a felét három egyenlő részre kell osztania:
És ebből a három darabból vegyél kettőt:
Pizzát készítünk. Ne feledje, hogyan néz ki a pizza három részre osztva:
Ebből a pizzából egy darab és az általunk vett két darab azonos méretű lesz:
Vagyis azonos méretű pizzáról beszélünk. Ezért a kifejezés értéke
2. példa. Keresse meg egy kifejezés értékét
Szorozzuk meg az első tört számlálóját a második tört számlálójával, az első tört nevezőjét pedig a második tört nevezőjével:
A válasz egy helytelen tört volt. Kiemeljük a teljes részt:
3. példa Keresse meg egy kifejezés értékét
A válasz szabályos törtnek bizonyult, de jó lenne, ha lerövidítenék. Ennek a törtnek a csökkentéséhez el kell osztani a számláló és a nevező gcd értékével. Tehát keressük meg a 105 és 450 számok gcd-jét:
A (105 és 150) GCD értéke 15
Most válaszunk számlálóját és nevezőjét elosztjuk gcd-vel:
Egész szám törtként való ábrázolása
Bármely egész szám ábrázolható törtként. Például az 5-ös szám ábrázolható . Ez nem fogja megváltoztatni az öt jelentését, mivel a kifejezés azt jelenti, hogy „az ötös szám osztva eggyel”, és ez, mint tudjuk, egyenlő öttel:
Reciprok számok
Most egy nagyon érdekes matematikai témával fogunk megismerkedni. Ezt "fordított számoknak" hívják.
Meghatározás. Fordítva a számhoz a egy olyan szám, amelyet ha megszorozunk a ad egyet.
Helyettesítsük be ezt a definíciót a változó helyett a az 5-ös számot, és próbálja meg elolvasni a definíciót:
Fordítva a számhoz 5 egy olyan szám, amelyet ha megszorozunk 5 ad egyet.
Lehet-e találni olyan számot, amelyet 5-tel megszorozva egyet adunk? Kiderül, hogy lehetséges. Képzeljük el az ötöt törtként:
Ezután szorozza meg ezt a törtet önmagával, csak cserélje fel a számlálót és a nevezőt. Más szóval, szorozzon meg egy törtet önmagával, csak fejjel lefelé:
Mi lesz ennek eredményeként? Ha folytatjuk a példa megoldását, egyet kapunk:
Ez azt jelenti, hogy az 5-ös szám inverze a szám, mivel ha 5-öt szorozunk, akkor egyet kapunk.
Egy szám reciproka bármely más egész számra is megtalálható.
- 3 reciproka tört
- a 4 reciproka tört
Megtalálhatja bármely más tört reciprokát is. Ehhez csak fordítsa meg.
Egy másik, közönséges törtekkel végrehajtható művelet a szorzás. Megpróbáljuk elmagyarázni annak alapvető szabályait a problémák megoldása során, megmutatjuk, hogyan szorozzuk meg a közönséges tört természetes számmal, és hogyan kell helyesen szorozni három vagy több közönséges törtet.
Először is írjuk le az alapszabályt:
1. definíció
Ha egy közönséges törtet megszorozunk, akkor a kapott tört számlálója egyenlő lesz az eredeti törtek számlálóinak szorzatával, a nevező pedig a nevezőik szorzatával. Szó szerinti formában két a / b és c / d tört esetén ez a b · c d = a · c b · d formában fejezhető ki.
Nézzünk egy példát a szabály helyes alkalmazására. Tegyük fel, hogy van egy négyzet, amelynek oldala egy számegységgel egyenlő. Ekkor az ábra területe 1 négyzet lesz. egység. Ha a négyzetet egyenlő téglalapokra osztjuk, amelyek oldalai egyenlők 1 4 és 1 8 numerikus egységekkel, akkor azt kapjuk, hogy most 32 téglalapból áll (mert 8 4 = 32). Ennek megfelelően mindegyik területe egyenlő lesz a teljes ábra területének 1 32-ével, azaz. 132 nm. egységek.
Van egy árnyékolt töredékünk, amelynek oldalai 5 8 numerikus egységgel és 3 4 numerikus egységekkel egyenlők. Ennek megfelelően a terület kiszámításához meg kell szoroznia az első törtet a másodikkal. 5 8 · 3 4 négyzetméter lesz. egységek. De egyszerűen megszámolhatjuk, hogy hány téglalap van a töredékben: 15 db van, ami azt jelenti, hogy a teljes terület 15 32 négyzetegység.
Mivel 5 3 = 15 és 8 4 = 32, a következő egyenlőséget írhatjuk fel:
5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32
Megerősíti a közönséges törtek szorzására általunk megfogalmazott szabályt, amely a b · c d = a · c b · d formában van kifejezve. Ugyanúgy működik a megfelelő és nem megfelelő törteknél is; Használható különböző és azonos nevezővel rendelkező törtek szorzására is.
Nézzünk megoldást több, a közönséges törtek szorzásával kapcsolatos probléma megoldására.
1. példa
Szorozzuk meg a 7 11-et 9 8-cal.
Megoldás
Először is számítsuk ki a jelzett törtek számlálóinak szorzatát úgy, hogy 7-et megszorozunk 9-cel. 63-at kaptunk. Ezután kiszámítjuk a nevezők szorzatát, és megkapjuk: 11 · 8 = 88. Állítsunk össze két számot, és a válasz: 63 88.
A teljes megoldás így írható:
7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88
Válasz: 7 11 · 9 8 = 63 88.
Ha a válaszunkban redukálható törtet kapunk, akkor be kell fejeznünk a számítást és el kell végeznünk a redukcióját. Ha nem megfelelő törtet kapunk, akkor az egész részt le kell választani belőle.
2. példa
Számítsa ki a törtek szorzatát! 4 15 és 55 6 .
Megoldás
A fent vizsgált szabály szerint a számlálót meg kell szoroznunk a számlálóval, a nevezőt pedig a nevezővel. A megoldási rekord így fog kinézni:
4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90
Csökkenthető törtet kaptunk, i.e. amely osztható 10-zel.
Csökkentsük a törtet: 220 90 gcd (220, 90) = 10, 220 90 = 220: 10 90: 10 = 22 9. Ennek eredményeként egy nem megfelelő törtet kaptunk, amelyből kiválasztjuk a teljes részt, és vegyes számot kapunk: 22 9 = 2 4 9.
Válasz: 4 15 55 6 = 2 4 9.
A számítás megkönnyítése érdekében a szorzási művelet végrehajtása előtt csökkenthetjük az eredeti törteket is, amihez a törtet a · c b · d formájúra kell redukálnunk. Bontsuk fel a változók értékeit egyszerű tényezőkre, és csökkentsük ugyanazokat.
Nézzük meg, hogyan néz ki ez egy adott feladatból származó adatok felhasználásával.
3. példa
Számítsa ki a szorzatot 4 15 55 6.
Megoldás
Írjuk fel a szorzási szabály alapján végzett számításokat. Kapunk:
4 15 55 6 = 4 55 15 6
Mivel 4 = 2 2, 55 = 5 11, 15 = 3 5 és 6 = 2 3, akkor 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3.
2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9
Válasz: 4 15 · 55 6 = 2 4 9 .
Az a numerikus kifejezés, amelyben a közönséges törteket szorozzuk, kommutatív tulajdonsággal rendelkezik, vagyis ha szükséges, megváltoztathatjuk a tényezők sorrendjét:
a b · c d = c d · a b = a · c b · d
Hogyan szorozzuk meg a tört természetes számmal
Rögtön írjuk le az alapszabályt, majd próbáljuk meg elmagyarázni a gyakorlatban.
2. definíció
Egy közönséges tört természetes számmal való szorzásához meg kell szoroznia a tört számlálóját ezzel a számmal. Ebben az esetben a végső tört nevezője egyenlő lesz az eredeti közönséges tört nevezőjével. Egy bizonyos a b tört n természetes számmal való szorzata az a b · n = a · n b képlettel írható fel.
Könnyű megérteni ezt a képletet, ha emlékszel arra, hogy bármely természetes szám ábrázolható közönséges törtként, amelynek nevezője eggyel egyenlő, azaz:
a b · n = a b · n 1 = a · n b · 1 = a · n b
Magyarázzuk meg elképzelésünket konkrét példákkal.
4. példa
Számítsa ki a szorzatot 2 27-szer 5.
Megoldás
Ha az eredeti tört számlálóját megszorozzuk a második tényezővel, 10-et kapunk. A fenti szabály értelmében 10 27-et kapunk. A teljes megoldás ebben a bejegyzésben található:
2 27 5 = 2 5 27 = 10 27
Válasz: 2 27 5 = 10 27
Amikor egy természetes számot megszorozunk törttel, gyakran le kell rövidíteni az eredményt, vagy vegyes számként kell ábrázolnunk.
5. példa
Feltétel: számítsa ki a szorzatot 8-szor 5 12-vel.
Megoldás
A fenti szabály szerint a természetes számot megszorozzuk a számlálóval. Ennek eredményeként azt kapjuk, hogy 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12. A végső törtnek 2-vel osztható jelei vannak, ezért csökkentenünk kell:
LCM (40, 12) = 4, tehát 40 12 = 40:4 12:4 = 103
Most már nincs más dolgunk, mint kijelölni a teljes részt, és felírni a kész választ: 10 3 = 3 1 3.
Ebben a bejegyzésben a teljes megoldás látható: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3.
Csökkenthetjük a törtet úgy is, hogy a számlálót és a nevezőt prímtényezőkké alakítjuk, és az eredmény pontosan ugyanaz lenne.
Válasz: 5 12 8 = 3 1 3.
Az a numerikus kifejezés, amelyben egy természetes számot megszorozunk törttel, szintén eltolás tulajdonsággal rendelkezik, vagyis a tényezők sorrendje nem befolyásolja az eredményt:
a b · n = n · a b = a · n b
Három vagy több gyakori tört szorzása
A közönséges törtek szorzásának műveletére kiterjeszthetjük ugyanazokat a tulajdonságokat, amelyek a természetes számok szorzására jellemzőek. Ez e fogalmak meghatározásából következik.
A kombináló és kommutatív tulajdonságok ismeretének köszönhetően három vagy több közönséges tört szorozható. Elfogadható a tényezők átrendezése a nagyobb kényelem érdekében, vagy a zárójelek olyan elrendezése, amely megkönnyíti a számolást.
Mutassuk meg egy példán, hogyan történik ez.
6. példa
Szorozzuk meg a négy közönséges törtet 1 20, 12 5, 3 7 és 5 8.
Megoldás: először rögzítsük a munkát. 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8-at kapunk. Az összes számlálót és nevezőt össze kell szoroznunk: 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 = 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 .
Mielőtt elkezdenénk a szorzást, egy kicsit megkönnyíthetjük magunknak a dolgunkat, és néhány számot prímtényezőkké alakíthatunk a további csökkentés érdekében. Ez könnyebb lesz, mint a már elkészített frakció csökkentése.
1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9 280
Válasz: 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 9280.
7. példa
Szorozz össze 5 számot 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 .
Megoldás
A kényelem kedvéért a 7 8-as törtet a 8-as számmal, a 12-es számot pedig az 5-36-tal csoportosíthatjuk, mivel a jövőbeni rövidítések nyilvánvalóak lesznek számunkra. Ennek eredményeként a következőket kapjuk:
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = 7 5 3 10 = 7 = 5 31 6 3 2 3
Válasz: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3.
Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt
A közönséges törtszámok először az 5. osztályban találkoznak az iskolásokkal, és végigkísérik őket életükön keresztül, hiszen a mindennapi életben gyakran nem egészben, hanem külön-külön kell egy tárgyat figyelembe venni vagy használni. Kezdje el tanulmányozni ezt a témát - megosztások. A részvények egyenlő részek, amelybe ez vagy az a tárgy fel van osztva. Hiszen nem mindig lehet egy termék hosszát vagy árát egész számként kifejezni, figyelembe kell venni valamilyen mértéket. A „hasadás” - részekre osztás igéből alakult, és arab gyökerekkel rendelkezik, maga a „töredék” szó a 8. században jelent meg az orosz nyelvben.
A törtkifejezéseket régóta a matematika legnehezebb ágának tartják. A 17. században, amikor megjelentek az első matematikai tankönyvek, „tört számoknak” nevezték őket, amit nagyon nehéz volt megérteni az emberek számára.
Az egyszerű törtmaradványok modern formáját, amelyek részeit vízszintes vonal választja el, először Fibonacci – Pisa Leonardo hirdette. Művei 1202-re datálhatók. De ennek a cikknek az a célja, hogy egyszerűen és világosan elmagyarázza az olvasónak, hogyan szorozzák a különböző nevezőkkel rendelkező vegyes törteket.
Különböző nevezőkkel rendelkező törtek szorzása
Kezdetben érdemes meghatározni törtek fajtái:
- helyes;
- helytelen;
- vegyes.
Ezután emlékeznie kell arra, hogy az azonos nevezővel rendelkező törtszámok hogyan szorozódnak. Ennek a folyamatnak a szabályát nem nehéz önállóan megfogalmazni: az azonos nevezővel rendelkező egyszerű törtek szorzatának eredménye egy törtkifejezés, amelynek számlálója a számlálók szorzata, a nevező pedig e törtek nevezőinek szorzata. . Vagyis az új nevező a meglévők közül az egyik négyzete.
Szorzáskor egyszerű törtek különböző nevezőkkel két vagy több tényező esetén a szabály nem változik:
a/b * c/d = a*c / b*d.
Az egyetlen különbség az, hogy a törtvonal alatt képzett szám különböző számok szorzata lesz, és természetesen nem nevezhető egyetlen numerikus kifejezés négyzetének.
Érdemes megfontolni a különböző nevezőjű törtek szorzását példák segítségével:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
A példák a törtkifejezések csökkentésére szolgáló módszereket alkalmaznak. Csak azokat a számlálószámokat csökkentheti, amelyeknél a szomszédos tényezők a törtvonal felett vagy alatt vannak, nem csökkenthetők.
Az egyszerű törtek mellett létezik a vegyes törtek fogalma is. A vegyes szám egy egész számból és egy tört részből áll, vagyis ezeknek a számoknak az összege:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Hogyan működik a szorzás?
Több példa is megfontolandó.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
A példa egy szám szorzását használja közönséges tört rész, ennek a műveletnek a szabálya a következőképpen írható fel:
a* b/c = a*b /c.
Valójában egy ilyen szorzat azonos tört maradékok összege, és a tagok száma ezt a természetes számot jelzi. Különleges eset:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
Van egy másik megoldás is egy szám tört maradékkal való szorzására. Csak el kell osztania a nevezőt ezzel a számmal:
d* e/f = e/f: d.
Ez a technika akkor hasznos, ha a nevezőt elosztjuk egy maradék nélküli természetes számmal, vagy ahogy mondják, egész számmal.
Váltsa át a vegyes számokat helytelen törtekre, és kapja meg a szorzatot a korábban leírt módon:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
Ez a példa egy vegyes tört helytelen törtként való ábrázolásának módját tartalmazza, és általános képletként is ábrázolható:
a bc = a*b+ c / c, ahol az új tört nevezőjét úgy alakítjuk ki, hogy az egész részt megszorozzuk a nevezővel, és összeadjuk az eredeti tört maradék számlálójával, és a nevező változatlan marad.
Ez a folyamat az ellenkező irányba is működik. A teljes rész és a tört maradék szétválasztásához el kell osztani a nem megfelelő tört számlálóját a nevezőjével egy „sarok” segítségével.
Nem megfelelő törtek szorzásaáltalánosan elfogadott módon állítják elő. Ha egyetlen törtsor alá ír, szükség szerint csökkentenie kell a törteket, hogy ezzel a módszerrel csökkentse a számokat, és megkönnyítse az eredmény kiszámítását.
Az interneten számos segítő található még bonyolult matematikai problémák megoldására is a programok különféle változataiban. Elegendő számú ilyen szolgáltatás nyújt segítséget a nevezőkben különböző számokkal rendelkező törtek szorzásának kiszámításához - az úgynevezett online számológépek a törtek kiszámításához. Képesek nemcsak szorozni, hanem minden más egyszerű aritmetikai műveletet is végrehajtani közönséges törtekkel és vegyes számokkal. Nem nehéz vele dolgozni, töltse ki a megfelelő mezőket a weboldalon, válassza ki a matematikai művelet jelét, és kattintson a „számítás” gombra. A program automatikusan számol.
A törtekkel végzett aritmetikai műveletek témája a közép- és középiskolások oktatásában végig releváns. Középiskolában már nem a legegyszerűbb fajt tartják, hanem egész számú tört kifejezések, de az átalakítási és számítási szabályok korábban szerzett ismereteit eredeti formájában alkalmazzuk. A jól elsajátított alapismeretek teljes önbizalmat adnak a legbonyolultabb problémák sikeres megoldásában.
Befejezésül érdemes idézni Lev Nyikolajevics Tolsztoj szavait, aki ezt írta: „Az ember egy töredék. Az embernek nincs hatalmában a számlálóját - érdemeit - növelni, de nevezőjét - önmagáról alkotott véleményét - bárki csökkentheti, és ezzel a csökkenéssel közelebb kerülhet tökéletességéhez.
Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete