Egyenletek megoldása x-szel. függvényekkel, származékokkal ismerkedhet meg

matematikát megoldani. Keresse meg gyorsan matematikai egyenlet megoldása módban online. A www.site weboldal lehetővé teszi oldja meg az egyenletet szinte minden adott algebrai, trigonometrikus vagy transzcendentális egyenlet online. Amikor a matematika szinte bármely ágát különböző szakaszokban tanulja, döntenie kell egyenletek online. Ahhoz, hogy azonnal választ kapjon, és ami a legfontosabb, hogy pontos választ kapjon, olyan erőforrásra van szüksége, amely lehetővé teszi ezt. Köszönet a www.site oldalnak egyenleteket online megoldani eltart néhány percig. A www.site fő előnye matematikai megoldások során egyenletek online- ez a megadott válasz gyorsasága és pontossága. Az oldal bármelyiket képes megoldani algebrai egyenletek online, trigonometrikus egyenletek online, transzcendentális egyenletek online, és egyenletek ismeretlen paraméterekkel módban online. Egyenletek erős matematikai berendezésként szolgálnak megoldásokat gyakorlati problémák. Segítségével matematikai egyenletek lehetséges az első pillantásra zavarosnak és összetettnek tűnő tények és összefüggések kifejezése. Ismeretlen mennyiségek egyenletek a probléma megfogalmazásával lehet megtalálni matematikai nyelv a formában egyenletekÉs döntsd el módban fogadta a feladatot online a www.site weboldalon. Bármi algebrai egyenlet, trigonometrikus egyenlet vagy egyenletek tartalmazó transzcendentális könnyen elérhető funkciókat döntsd el online, és megkapja a pontos választ. A természettudományok tanulmányozása során óhatatlanul szembe kell nézni a szükséglettel egyenletek megoldása. Ebben az esetben a válasznak pontosnak kell lennie, és azonnal meg kell kapnia a módban online. Ezért azért matematikai egyenletek online megoldása ajánljuk a www.site oldalt, amely nélkülözhetetlen számológépe lesz oldjon meg algebrai egyenleteket online, trigonometrikus egyenletek online, és transzcendentális egyenletek online vagy egyenletek ismeretlen paraméterekkel. A különböző gyökerek megtalálásának gyakorlati problémáira matematikai egyenletek forrás www.. Megoldás egyenletek online saját magának, célszerű a kapott választ a segítségével ellenőrizni online egyenletmegoldás a www.site weboldalon. Meg kell írni az egyenletet helyesen, és azonnal megkapja online megoldás, ami után már csak össze kell hasonlítani a választ az egyenlet megoldásával. A válasz ellenőrzése nem tart tovább egy percnél, ez elég oldja meg az egyenletet onlineés hasonlítsa össze a válaszokat. Ez segít elkerülni a hibákat döntésés időben javítsa ki a választ egyenletek online megoldása bármelyik algebrai, trigonometrikus, transzcendentális vagy az egyenlet ismeretlen paraméterekkel.

Ebben a videóban egy sor lineáris egyenletet elemezünk, amelyeket ugyanazzal az algoritmussal oldanak meg – ezért nevezik őket a legegyszerűbbnek.

Először is határozzuk meg: mi az a lineáris egyenlet, és melyiket nevezzük a legegyszerűbbnek?

Lineáris egyenlet az, amelyben csak egy változó van, és csak az első fokig.

A legegyszerűbb egyenlet a konstrukciót jelenti:

Az összes többi lineáris egyenletet a legegyszerűbbre redukáljuk az algoritmus segítségével:

1. Ha van, bontsa ki a zárójeleket;
2. Helyezze át a változót tartalmazó kifejezéseket az egyenlőségjel egyik oldalára, a változó nélküli kifejezéseket pedig a másik oldalára;
3. Adjon hasonló kifejezéseket az egyenlőségjel bal és jobb oldalán;
4. A kapott egyenletet osszuk el a $x$ változó együtthatójával.

Természetesen ez az algoritmus nem mindig segít. A helyzet az, hogy néha mindezen machinációk után a $x$ változó együtthatója nullával egyenlő. Ebben az esetben két lehetőség közül választhat:

1. Az egyenletnek egyáltalán nincs megoldása. Például amikor valami olyasmi kiderül, hogy $0\cdot x=8$, pl. a bal oldalon a nulla, a jobb oldalon pedig egy nullától eltérő szám. Az alábbi videóban több okot is megvizsgálunk, miért lehetséges ez a helyzet.
2. A megoldás minden szám. Ez csak akkor lehetséges, ha az egyenletet a $0\cdot x=0$ konstrukcióra redukáltuk. Teljesen logikus, hogy hiába cseréljük be a $x$-t, akkor is kiderül, hogy „nulla egyenlő nullával”, azaz. helyes számszerű egyenlőség.

Most pedig nézzük meg, hogyan működik mindez, valós példák segítségével.

Példák egyenletek megoldására

Ma lineáris egyenletekkel foglalkozunk, és csak a legegyszerűbbekkel. Általában a lineáris egyenlet minden olyan egyenlőséget jelent, amely pontosan egy változót tartalmaz, és csak az első fokig megy.

Az ilyen konstrukciókat megközelítőleg ugyanúgy oldják meg:

1. Először is ki kell bővítenie a zárójeleket, ha vannak (mint legutóbbi példánkban);
2. Ezután keverje össze a hasonlókat
3. Végül izoláljuk a változót, azaz. vigyen át mindent, ami a változóval kapcsolatos – a kifejezéseket, amelyekben szerepel – az egyik oldalra, és helyezzen át mindent, ami nélküle marad.

Ezután általában hasonlókat kell megadni a kapott egyenlőség mindkét oldalán, és ezután már csak az „x” együtthatóval kell osztani, és megkapjuk a végső választ.

Elméletileg ez szépnek és egyszerűnek tűnik, de a gyakorlatban még a tapasztalt középiskolás diákok is elkövethetnek sértő hibákat a meglehetősen egyszerű lineáris egyenletekben. A hibák jellemzően a zárójelek megnyitásakor vagy a „plusz” és „mínusz” kiszámításakor történnek.

Emellett előfordul, hogy egy lineáris egyenletnek egyáltalán nincs megoldása, vagy a megoldás a teljes számegyenes, i.e. bármilyen szám. A mai leckében ezeket a finomságokat nézzük meg. De amint azt már megértette, a legegyszerűbb feladatokkal kezdjük.

Séma egyszerű lineáris egyenletek megoldására

Először is hadd írjam le még egyszer a teljes sémát a legegyszerűbb lineáris egyenletek megoldására:

1. Bontsa ki a zárójeleket, ha vannak.
2. Elkülönítjük a változókat, azaz. Mindent, ami „X”-et tartalmaz, áthelyezünk az egyik oldalra, és mindent, amiben nincs „X” a másik oldalra.
3. Hasonló kifejezéseket mutatunk be.
4. Mindent elosztunk „x” együtthatóval.

Természetesen ez a séma nem mindig működik, vannak benne bizonyos finomságok és trükkök, és most megismerjük őket.

Valós példák megoldása egyszerű lineáris egyenletekre

1. számú feladat

Az első lépéshez meg kell nyitnunk a zárójeleket. De ebben a példában nem szerepelnek, ezért kihagyjuk ezt a lépést. A második lépésben el kell különítenünk a változókat. Kérjük, vegye figyelembe: csak egyedi kifejezésekről beszélünk. Írjuk fel:

Hasonló kifejezéseket mutatunk be a bal és a jobb oldalon, de ezt itt már megtették. Ezért továbblépünk a negyedik lépésre: osszuk el az együtthatóval:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Tehát megkaptuk a választ.

2. feladat

Ebben a feladatban láthatjuk a zárójeleket, ezért bővítsük ki őket:

A bal és a jobb oldalon is megközelítőleg ugyanazt a kialakítást látjuk, de járjunk el az algoritmus szerint, pl. a változók szétválasztása:

Íme néhány hasonló:

Milyen gyökereknél működik ez? Válasz: bármilyen. Ezért felírhatjuk, hogy $x$ tetszőleges szám.

3. feladat

A harmadik lineáris egyenlet érdekesebb:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Itt több zárójel van, de ezek nincsenek szorozva semmivel, egyszerűen csak különböző jelek előzik meg őket. Bontsuk fel őket:

Elvégezzük a számunkra már ismert második lépést:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Számoljuk ki:

Elvégezzük az utolsó lépést - mindent elosztunk az „x” együtthatóval:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Amit emlékezni kell a lineáris egyenletek megoldása során

Ha figyelmen kívül hagyjuk a túl egyszerű feladatokat, a következőket szeretném mondani:

• Ahogy fentebb mondtam, nem minden lineáris egyenletnek van megoldása – néha egyszerűen nincsenek gyökök;
• Még ha vannak is gyökerek, nulla lehet köztük – nincs ezzel semmi baj.

A nulla ugyanaz, mint a többi; semmilyen módon nem szabad megkülönböztetni, vagy azt feltételezni, hogy ha nullát kap, akkor valamit rosszul csinált.

Egy másik jellemző a zárójelek nyitásához kapcsolódik. Figyelem: ha mínusz van előttük, eltávolítjuk, de a zárójelben a jeleket módosítjuk szemben. Ezután pedig szabványos algoritmusok segítségével megnyithatjuk: azt kapjuk, amit a fenti számításoknál láttunk.

Ennek az egyszerű ténynek a megértése segít elkerülni az ostoba és bántó hibákat a középiskolában, amikor az ilyen dolgokat magától értetődőnek tekintik.

Összetett lineáris egyenletek megoldása

Térjünk át az összetettebb egyenletekre. Mostantól a konstrukciók bonyolultabbá válnak, és különféle transzformációk végrehajtásakor egy kvadratikus függvény jelenik meg. Ettől azonban nem kell megijednünk, mert ha a szerző terve szerint lineáris egyenletet oldunk meg, akkor a transzformációs folyamat során minden másodfokú függvényt tartalmazó monom biztosan törlődik.

1. számú példa

Nyilvánvaló, hogy az első lépés a zárójelek kinyitása. Tegyük ezt nagyon óvatosan:

Most pedig vessünk egy pillantást az adatvédelemre:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Íme néhány hasonló:

Nyilvánvaló, hogy ennek az egyenletnek nincs megoldása, ezért ezt írjuk a válaszba:

\[\varnothing\]

vagy nincsenek gyökerei.

2. példa

Ugyanazokat a műveleteket hajtjuk végre. Első lépés:

Vigyünk mindent változóval balra, anélkül pedig jobbra:

Íme néhány hasonló:

Nyilvánvaló, hogy ennek a lineáris egyenletnek nincs megoldása, ezért a következőképpen írjuk fel:

\[\varnothing\],

vagy nincsenek gyökerei.

A megoldás árnyalatai

Mindkét egyenlet teljesen megoldott. E két kifejezést példaként használva ismét meggyőződhettünk arról, hogy a legegyszerűbb lineáris egyenletekben sem lehet minden olyan egyszerű: lehet egy, vagy nincs, vagy végtelen sok gyök. A mi esetünkben két egyenletet vettünk figyelembe, mindkettőnek egyszerűen nincs gyökere.

De egy másik tényre szeretném felhívni a figyelmet: hogyan kell dolgozni a zárójelekkel, és hogyan kell megnyitni, ha mínusz jel van előtte. Fontolja meg ezt a kifejezést:

Kinyitás előtt mindent meg kell szorozni „X”-szel. Figyelem: szoroz minden egyes kifejezést. Belül két kifejezés van - rendre két kifejezés és szorozva.

És csak ezeknek az eleminek tűnő, de nagyon fontos és veszélyes átalakításoknak a befejezése után lehet kinyitni a zárójelet abból a szempontból, hogy mínusz jel van utána. Igen, igen: csak most, amikor az átalakítások befejeződtek, eszünkbe jut, hogy a zárójelek előtt egy mínusz jel van, ami azt jelenti, hogy az alábbiakban minden egyszerűen előjelet vált. Ugyanakkor maguk a konzolok eltűnnek, és ami a legfontosabb, az elülső „mínusz” is eltűnik.

Ugyanezt tesszük a második egyenlettel:

Nem véletlenül figyelek ezekre az apró, jelentéktelennek tűnő tényekre. Mert az egyenletek megoldása mindig elemi átalakítások sorozata, ahol az egyszerű műveletek világos és kompetens végrehajtásának képtelensége oda vezet, hogy középiskolások jönnek hozzám, és újra megtanulják az ilyen egyszerű egyenleteket megoldani.

Természetesen eljön a nap, amikor ezeket a készségeket az automatizmusig csiszolod. Többé nem kell minden alkalommal annyi átalakítást végrehajtania, mindent egy sorba fog írni. De amíg csak tanulsz, minden egyes műveletet külön kell megírnod.

Még bonyolultabb lineáris egyenletek megoldása

Amit most meg fogunk oldani, aligha nevezhetjük a legegyszerűbb feladatnak, de a jelentés ugyanaz marad.

1. számú feladat

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Szorozzuk meg az első részben szereplő összes elemet:

Tegyünk egy kis magánéletet:

Íme néhány hasonló:

Végezzük el az utolsó lépést:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Íme a végső válaszunk. És annak ellenére, hogy a megoldás során másodfokú függvényű együtthatók voltak, ezek kioltották egymást, ami lineárissá teszi az egyenletet, és nem másodfokú.

2. feladat

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Óvatosan hajtsuk végre az első lépést: szorozzuk meg az első zárójelből származó minden elemet a másodikból származó minden elemmel. Az átalakítások után összesen négy új kifejezésnek kell lennie:

Most óvatosan hajtsuk végre a szorzást minden egyes tagban:

Vigyük át az „X”-szel jelölt kifejezéseket balra, a nem - jobbra pedig a nem szereplő kifejezéseket:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Itt vannak hasonló kifejezések:

Ismét megkaptuk a végső választ.

A megoldás árnyalatai

A legfontosabb megjegyzés ezzel a két egyenlettel kapcsolatban a következő: amint elkezdjük szorozni azokat a zárójeleket, amelyek egynél több tagot tartalmaznak, ez a következő szabály szerint történik: az első tagot vesszük az elsőből, és szorozunk minden elemmel a második; akkor vesszük a második elemet az elsőből és hasonlóképpen szorozzuk meg a másodikból származó minden elemmel. Ennek eredményeként négy ciklusunk lesz.

Az algebrai összegről

Ezzel az utolsó példával szeretném emlékeztetni a tanulókat, hogy mi az algebrai összeg. A klasszikus matematikában 1-7 $ alatt egy egyszerű konstrukciót értünk: vonjunk ki hetet egyből. Az algebrában ez alatt a következőket értjük: az „egy” számhoz hozzáadunk egy másik számot, nevezetesen a „mínusz hetest”. Így különbözik az algebrai összeg a közönséges számtani összegtől.

Amint az összes transzformáció, minden összeadás és szorzás végrehajtásakor a fent leírtakhoz hasonló konstrukciókat kezd látni, egyszerűen nem lesz problémája az algebrával, amikor polinomokkal és egyenletekkel dolgozik.

Végül nézzünk meg még néhány példát, amelyek még az imént látottaknál is összetettebbek lesznek, és ezek megoldásához kissé ki kell bővítenünk a szokásos algoritmusunkat.

Egyenletek megoldása törtekkel

Az ilyen feladatok megoldásához még egy lépést kell hozzáadnunk az algoritmusunkhoz. De először hadd emlékeztesselek az algoritmusunkra:

1. Nyissa ki a zárójeleket.
2. Külön változók.
3. Hozz hasonlókat.
4. Oszd el az aránnyal.

Sajnos, ez a csodálatos algoritmus, minden hatékonysága ellenére, nem bizonyul teljesen megfelelőnek, ha törtek vannak előttünk. És amit alább látni fogunk, mindkét egyenletben a bal és a jobb oldalon is van egy tört.

Hogyan kell dolgozni ebben az esetben? Igen, ez nagyon egyszerű! Ehhez hozzá kell adni egy további lépést az algoritmushoz, amelyet az első művelet előtt és után is meg lehet tenni, nevezetesen a törtektől való megszabadulást. Tehát az algoritmus a következő lesz:

1. Megszabadulni a törtektől.
2. Nyissa ki a zárójeleket.
3. Külön változók.
4. Hozz hasonlókat.
5. Oszd el az aránnyal.

Mit jelent „megszabadulni a törtektől”? És miért lehet ezt megtenni az első standard lépés után és előtt is? Valójában esetünkben minden tört numerikus a nevezőjében, azaz. A nevező mindenhol csak egy szám. Ezért, ha az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk ezzel a számmal, megszabadulunk a törtektől.

1. számú példa

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Megszabadulunk a törtektől ebben az egyenletben:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \jobbra)\cdot 4\]

Figyelem: mindent egyszer megszoroznak „néggyel”, azaz. csak azért, mert van két zárójel, nem jelenti azt, hogy mindegyiket "néggyel" kell szoroznia. Írjuk fel:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Most bővítsük ki:

A változót elkülönítjük:

Hasonló kifejezések redukcióját végezzük:

\[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Megkaptuk a végső megoldást, térjünk át a második egyenletre.

2. példa

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Itt ugyanazokat a műveleteket hajtjuk végre:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

A probléma megoldódott.

Valójában ez minden, amit ma el akartam mondani.

Főbb pontok

A legfontosabb megállapítások a következők:

• Ismerje a lineáris egyenletek megoldási algoritmusát.
• A zárójelek kinyitásának képessége.
• Ne aggódjon, ha valahol másodfokú függvényei vannak, ezek a további átalakítások során csökkenni fognak.
• A lineáris egyenletekben háromféle gyök létezik, még a legegyszerűbbek is: egyetlen gyök, az egész számegyen gyök, és nincs gyök.

Remélem, ez a lecke segít egy egyszerű, de nagyon fontos téma elsajátításában az összes matematika további megértéséhez. Ha valami nem világos, menjen az oldalra, és oldja meg az ott bemutatott példákat. Maradj velünk, még sok érdekesség vár rád!

Az online egyenletmegoldó szolgáltatás bármilyen egyenlet megoldásában segít. Weboldalunk segítségével nemcsak az egyenletre adott választ kapja meg, hanem részletes megoldást is láthat, vagyis az eredmény megszerzésének folyamatának lépésről lépésre történő megjelenítését. Szolgáltatásunk hasznos lesz középiskolásoknak és szüleiknek. A tanulók felkészülhetnek a tesztekre, vizsgákra, összemérhetik tudásukat, a szülők pedig figyelemmel kísérhetik gyermekeik matematikai egyenletek megoldását. Az egyenletmegoldó képesség az iskolások számára kötelező követelmény. A szolgáltatás segíti önképzését és tudásának bővítését a matematikai egyenletek területén. Segítségével bármilyen egyenletet megoldhat: másodfokú, köbös, irracionális, trigonometrikus stb. Az online szolgáltatás előnyei felbecsülhetetlenek, hiszen a helyes válasz mellett minden egyenletre részletes megoldást kap. Az egyenletek online megoldásának előnyei. Weboldalunkon online bármilyen egyenletet teljesen ingyenesen megoldhat. A szolgáltatás teljesen automatikus, nem kell semmit telepítenie a számítógépére, csak be kell írnia az adatokat és a program ad megoldást. A számítási hibák és az elírások kizártak. Nálunk bármilyen egyenlet online megoldása nagyon egyszerű, ezért mindenképpen használja oldalunkat bármilyen egyenlet megoldásához. Csak az adatokat kell megadni, és pillanatok alatt elkészül a számítás. A program önállóan, emberi beavatkozás nélkül működik, pontos és részletes választ kap. Az egyenlet megoldása általános formában. Egy ilyen egyenletben a változó együtthatók és a kívánt gyökök összekapcsolódnak. Egy változó legnagyobb hatványa határozza meg egy ilyen egyenlet sorrendjét. Ennek alapján az egyenletekhez különféle módszereket és tételeket használnak a megoldások keresésére. Az ilyen típusú egyenletek megoldása a szükséges gyökök általános formában történő megtalálását jelenti. Szolgáltatásunk lehetővé teszi a legbonyolultabb algebrai egyenlet online megoldását is. Kaphat egy általános megoldást az egyenletre és egy konkrét megoldást az Ön által megadott együtthatók számértékeihez. A weboldalon található algebrai egyenlet megoldásához elegendő csak két mezőt helyesen kitölteni: az adott egyenlet bal és jobb oldalát. A változó együtthatós algebrai egyenleteknek végtelen számú megoldása van, és bizonyos feltételek felállításával a megoldások halmazából kiválasztják a részlegeseket. Másodfokú egyenlet. A másodfokú egyenlet alakja ax^2+bx+c=0, ha a>0. A másodfokú egyenletek megoldása magában foglalja az x azon értékeinek megtalálását, amelyekre az ax^2+bx+c=0 egyenlőség érvényes. Ehhez keresse meg a diszkrimináns értéket a D=b^2-4ac képlet segítségével. Ha a diszkrimináns kisebb, mint nulla, akkor az egyenletnek nincs valódi gyöke (a gyökök a komplex számok mezőjéből származnak), ha egyenlő nullával, akkor az egyenletnek egy valós gyöke van, és ha a diszkrimináns nagyobb nullánál , akkor az egyenletnek két valós gyöke van, amelyeket a következő képlettel találunk meg: D = -b+-sqrt/2a. Egy másodfokú egyenlet online megoldásához csak meg kell adnia az egyenlet együtthatóit (egész számok, törtek vagy tizedesjegyek). Ha egy egyenletben kivonási előjelek vannak, akkor az egyenlet megfelelő tagjai elé mínuszjelet kell tenni. Másodfokú egyenletet online is meg tud oldani a paramétertől, vagyis az egyenlet együtthatóiban szereplő változóktól függően. Általános megoldásokat kereső online szolgáltatásunk jól megbirkózik ezzel a feladattal. Lineáris egyenletek. A lineáris egyenletek (vagy egyenletrendszerek) megoldására a gyakorlatban négy fő módszert alkalmaznak. Mindegyik módszert részletesen ismertetjük. Helyettesítési módszer. Az egyenletek helyettesítési módszerrel történő megoldásához az egyik változót a többivel kell kifejezni. Ezt követően a kifejezést behelyettesítjük a rendszer más egyenleteivel. Innen származik a megoldási metódus neve is, vagyis változó helyett a kifejezése a fennmaradó változókkal helyettesítődik. A gyakorlatban a módszer bonyolult számításokat igényel, bár könnyen érthető, így egy ilyen egyenlet online megoldása időt takarít meg és megkönnyíti a számításokat. Csak meg kell adni az ismeretlenek számát az egyenletben, és ki kell töltenie a lineáris egyenletek adatait, majd a szolgáltatás elvégzi a számítást. Gauss módszer. A módszer a rendszer legegyszerűbb transzformációin alapul, hogy egy ekvivalens háromszögrendszert kapjunk. Belőle sorra határozzák meg az ismeretleneket. A gyakorlatban meg kell oldania egy ilyen egyenletet online, részletes leírással, aminek köszönhetően jól ismeri a Gauss-módszert a lineáris egyenletrendszerek megoldására. Írja fel a lineáris egyenletrendszert a megfelelő formátumban, és vegye figyelembe az ismeretlenek számát a rendszer pontos megoldása érdekében! Cramer módszere. Ez a módszer olyan egyenletrendszereket old meg, ahol a rendszernek egyedi megoldása van. A fő matematikai művelet itt a mátrixdeterminánsok kiszámítása. Az egyenletek megoldása a Cramer módszerrel online történik, az eredményt azonnal megkapja teljes és részletes leírással. Elég csak kitölteni a rendszert együtthatókkal és kiválasztani az ismeretlen változók számát. Mátrix módszer. Ez a módszer abból áll, hogy az A mátrixban lévő ismeretlenek, az X oszlopban lévő ismeretlenek és a B oszlopban lévő szabad tagok együtthatóit gyűjtjük. Így a lineáris egyenletrendszer egy AxX=B formájú mátrixegyenletre redukálódik. Ennek az egyenletnek csak akkor van egyedi megoldása, ha az A mátrix determinánsa különbözik nullától, ellenkező esetben a rendszernek nincs megoldása, vagy végtelen számú megoldása van. Az egyenletek mátrixmódszerrel történő megoldása magában foglalja az A inverz mátrix megtalálását.

Az egyenlet egy olyan betűt tartalmazó egyenlőség, amelynek értékét meg kell találni.

Az egyenletekben az ismeretlent általában kisbetűvel jelöljük. A leggyakrabban használt betűk az „x” [ix] és az „y” [y].

• Az egyenlet gyökere- ez annak a betűnek az értéke, amelynél az egyenletből a helyes numerikus egyenlőséget kapjuk.
• Oldja meg az egyenletet- azt jelenti, hogy meg kell találni az összes gyökerét, vagy meg kell győződni arról, hogy nincsenek gyökerei.

Az egyenlet megoldása után mindig írunk egy csekket a válasz után.

Információk a szülőknek

Felhívjuk a kedves szülők figyelmét, hogy általános iskolában és 5. osztályban a gyerekek NEM ismerik a „Negatív számok” témát.

Ezért az egyenleteket csak az összeadás, kivonás, szorzás és osztás tulajdonságaival kell megoldaniuk. Az alábbiakban bemutatjuk az 5. osztály egyenletek megoldásának módszereit.

Ne próbálja megmagyarázni az egyenletek megoldását úgy, hogy az egyenlet egyik részéből számokat és betűket előjelváltással áthelyez a másikba.

Az összeadáshoz, kivonáshoz, szorzáshoz és osztáshoz kapcsolódó fogalmakat az „Aritmetika törvényei” leckében ecsetelheti.

Összeadási és kivonási egyenletek megoldása

Hogyan lehet megtalálni az ismeretlent
kifejezést

Hogyan lehet megtalálni az ismeretlent
kisebbítendő

Hogyan lehet megtalálni az ismeretlent
kivonandó

Az ismeretlen tag megtalálásához ki kell vonni az ismert tagot az összegből.

Az ismeretlen minuend megtalálásához hozzá kell adni a részfejet a különbséghez.

Az ismeretlen részösszeg megtalálásához ki kell vonni a különbséget a minuendből.

x + 9 = 15
x = 15 − 9
x=6
Vizsgálat

x − 14 = 2
x = 14 + 2
x = 16
Vizsgálat

16 − 2 = 14
14 = 14

5 − x = 3
x = 5–3
x = 2
Vizsgálat

Szorzási és osztási egyenletek megoldása

Hogyan találjunk meg egy ismeretlent
tényező

Hogyan lehet megtalálni az ismeretlent
osztalék

Hogyan találjunk meg egy ismeretlent
osztó

Ismeretlen tényező megtalálásához el kell osztania a terméket az ismert tényezővel.

Az ismeretlen osztalék meghatározásához meg kell szorozni a hányadost az osztóval.

Ismeretlen osztó kereséséhez el kell osztani az osztalékot a hányadossal.

y 4 = 12
y=12:4
y=3
Vizsgálat

y: 7 = 2
y = 27
y=14
Vizsgálat

8:y=4
y=8:4
y=2
Vizsgálat

Az egyenlet egy olyan betűt tartalmazó egyenlőség, amelynek előjelét meg kell találni. Az egyenlet megoldása a betűértékek halmaza, amely az egyenletet valódi egyenlőséggé változtatja:

A megoldáshoz emlékezzen rá egyenletát kell vinni az ismeretlennel rendelkező kifejezéseket az egyenlőség egyik részébe, a numerikus tagokat a másikba, hasonlókat kell hozni, és a következő egyenlőséget kapni:

Az utolsó egyenlőségből meghatározzuk az ismeretlent a szabály szerint: „az egyik tényező egyenlő a második tényezővel elosztott hányadossal”.

Mivel az a és b racionális számok azonos vagy eltérő előjelűek lehetnek, az ismeretlen előjelét a racionális számok osztására vonatkozó szabályok határozzák meg.

Eljárás lineáris egyenletek megoldására

A lineáris egyenletet egyszerűsíteni kell a zárójelek kinyitásával és a második lépés műveleteinek (szorzás és osztás) végrehajtásával.

Mozgassa az ismeretleneket az egyenlőségjel egyik oldalára, a számokat pedig az egyenlőségjel másik oldalára, így az adott egyenlőséggel azonos egyenlőséget kapunk,

Hozz hasonlókat az egyenlőségjeltől balra és jobbra, így megkapod a forma egyenlőségét fejsze = b.

Számítsa ki az egyenlet gyökerét (keresse meg az ismeretlent x egyenlőségtől x = b : a),

Ellenőrizze úgy, hogy az ismeretlent behelyettesíti az adott egyenletbe.

Ha egy numerikus egyenlőségben azonosságot kapunk, akkor az egyenlet helyesen van megoldva.

Az egyenletek megoldásának speciális esetei

1. Ha az egyenlet ha adott egy 0-val egyenlő szorzat, akkor a megoldáshoz a szorzás tulajdonságát használjuk: „a szorzat akkor egyenlő nullával, ha az egyik tényező vagy mindkét tényező nulla.”

27 (x - 3) = 0
27 nem egyenlő 0-val, ami azt jelenti x - 3 = 0

A második példának két megoldása van az egyenletre, mivel
ez egy másodfokú egyenlet:

Ha az egyenlet együtthatói közönséges törtek, akkor mindenekelőtt meg kell szabadulnia a nevezőktől. Ezért:

Keresse meg a közös nevezőt;

Határozzon meg további tényezőket az egyenlet minden tagjához;

Szorozzuk meg a törtek és egész számok számlálóit további tényezőkkel, és írjuk fel az egyenlet összes tagját nevezők nélkül (a közös nevezőt el lehet vetni);

Az egyenlőségjelből az ismeretleneket tartalmazó tagokat az egyenlet egyik oldalára, a numerikus tagokat pedig a másikra helyezzük, így ekvivalens egyenlőséget kapunk;

Hozz hasonló tagokat;

Az egyenletek alapvető tulajdonságai

Az egyenlet bármely részében hozzáadhat hasonló kifejezéseket, vagy nyithat zárójelet.

Az egyenlet bármely tagja átvihető az egyenlet egyik részéből a másikba, ha az előjelét az ellenkezőjére változtatjuk.

Az egyenlet mindkét oldala 0 kivételével szorozható (osztható) ugyanazzal a számmal.

A fenti példában minden tulajdonságát felhasználtuk az egyenlet megoldására.

Szabály egyszerű egyenletek megoldására

Figyelem!
Vannak további
az 555. külön szakaszban szereplő anyagok.
Azoknak, akik nagyon „nem nagyon. »
És azoknak, akik „nagyon. ")

Lineáris egyenletek.

A lineáris egyenletek nem a legnehezebb téma az iskolai matematikában. De vannak olyan trükkök, amelyek még egy képzett diákot is megzavarhatnak. Kitaláljuk?)

A lineáris egyenletet általában a következő alakú egyenletként határozzák meg:

Semmi bonyolult, igaz? Főleg, ha nem veszi észre a következő szavakat: "ahol a és b tetszőleges számok". És ha észreveszi és hanyagul belegondol?) Végül is, ha a=0, b=0(bármilyen szám lehetséges?), akkor kapunk egy vicces kifejezést:

De ez még nem minden! Ha mondjuk a=0, A b=5, Ez valami egészen szokatlan dolognak bizonyul:

Ami megterhelő és aláássa a matematikába vetett bizalmat, igen.) Főleg vizsgák közben. De ezek közül a furcsa kifejezések közül meg kell találni X-et is! Ami egyáltalán nem létezik. És meglepő módon ezt az X-et nagyon könnyű megtalálni. Megtanuljuk ezt csinálni. Ebben a leckében.

Hogyan lehet felismerni egy lineáris egyenletet a megjelenése alapján? Megjelenéstől függ.) A trükk az, hogy a lineáris egyenletek nem csak a forma egyenletei. fejsze + b = 0 , hanem minden olyan egyenletet is, amely átalakításokkal és egyszerűsítésekkel ebbe a formába redukálható. És ki tudja, hogy lejön-e vagy sem?)

A lineáris egyenlet bizonyos esetekben egyértelműen felismerhető. Tegyük fel, ha van egy egyenletünk, amelyben csak elsőfokú ismeretlenek és számok vannak. És az egyenletben nincs törtek osztva ismeretlen , fontos! És osztás szerint szám, vagy numerikus tört – ez örvendetes! Például:

Ez egy lineáris egyenlet. Itt vannak törtek, de nincs x a négyzetben, kockában stb., és nincs x a nevezőkben, azaz. Nem osztás x-szel. És itt van az egyenlet



nem nevezhető lineárisnak. Itt az X-ek mind első fokon vannak, de vannak osztás kifejezéssel x-szel. Egyszerűsítések és átalakítások után beszerezhet lineáris egyenletet, másodfokú egyenletet vagy bármit, ami tetszik.

Kiderült, hogy lehetetlen felismerni a lineáris egyenletet néhány bonyolult példában, amíg majdnem meg nem oldja. Ez felháborító. De a feladatokban általában nem kérdeznek az egyenlet alakjáról, igaz? A feladatok egyenleteket kérnek döntsd el. Ez boldoggá tesz.)

Lineáris egyenletek megoldása. Példák.

A lineáris egyenletek teljes megoldása az egyenletek azonos transzformációiból áll. A megoldások alapját egyébként ezek az átalakítások (két darab!) képezik a matematika összes egyenlete. Más szóval a megoldás Bármi az egyenlet éppen ezekkel a transzformációkkal kezdődik. Lineáris egyenletek esetén ez (a megoldás) ezeken a transzformációkon alapul, és teljes válasszal zárul. Van értelme követni a linket, nem?) Sőt, van ott példa a lineáris egyenletek megoldására is.

Először nézzük a legegyszerűbb példát. Minden buktató nélkül. Tegyük fel, hogy meg kell oldanunk ezt az egyenletet.

Ez egy lineáris egyenlet. Az X-ek mind az első hatványban vannak, nincs X-szel való osztás. De valójában nem mindegy számunkra, hogy milyen egyenletről van szó. Meg kell oldanunk. A séma itt egyszerű. Gyűjts össze mindent az egyenlet bal oldalán lévő X-szel, a jobb oldalon pedig mindent, ahol nincs X (szám).

Ehhez át kell vinni — 4x bal oldalra, persze jelzésváltással, ill — 3 - jobbra. Mellesleg ez az az egyenletek első azonos transzformációja. Meglepődött? Ez azt jelenti, hogy nem követted a linket, de hiába.) Ezt kapjuk:

Itt vannak hasonlók, figyelembe vesszük:

Mi kell a teljes boldogsághoz? Igen, hogy a bal oldalon tiszta X legyen! Öt útban van. Megszabadulni az öttől a segítséggel az egyenletek második azonos transzformációja. Ugyanis az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk 5-tel. Kész választ kapunk:

Természetesen egy elemi példa. Ez bemelegítésre szolgál.) Nem egészen világos, hogy miért emlékeztem itt azonos átalakításokra? RENDBEN. Fogjuk a bikát a szarvánál.) Döntsünk valami szilárdabbat.

Például itt van az egyenlet:



Hol kezdjük? X-szel - balra, X nélkül - jobbra? Lehet így. Kis lépések egy hosszú úton. Vagy megteheti azonnal, univerzális és erőteljes módon. Ha természetesen azonos egyenlettranszformációk vannak az arzenáljában.

Felteszek egy kulcskérdést: Mit nem szeretsz a legjobban ebben az egyenletben?

100 emberből 95 válaszol: törtek ! A válasz helyes. Tehát szabaduljunk meg tőlük. Ezért azonnal kezdjük azzal második identitástranszformáció. Mi kell ahhoz, hogy a bal oldali törtet megszorozzuk, hogy a nevező teljesen lecsökkenjen? Így van, 3-nál. És a jobb oldalon? 4-gyel. De a matematika lehetővé teszi, hogy mindkét oldalt megszorozzuk ugyanaz a szám. Hogyan juthatunk ki? Szorozzuk meg mindkét oldalt 12-vel! Azok. közös nevezőre. Ekkor a három és a négy is csökkenni fog. Ne felejtse el, hogy minden részt meg kell szoroznia teljesen. Így néz ki az első lépés:





Jegyzet! Számláló (x+2) zárójelbe teszem! Törtszámok szorzásakor ugyanis a teljes számlálót megszorozzuk! Most csökkentheti a törteket:

Bontsa ki a fennmaradó zárójeleket:

Nem példa, hanem tiszta öröm!) Most emlékezzünk egy varázslatra az általános iskolából: X-szel - balra, X nélkül - jobbra!És alkalmazza ezt az átalakítást:

És mindkét részt elosztjuk 25-tel, azaz. alkalmazza újra a második transzformációt:



Ez minden. Válasz: x=0,16

Kérjük, vegye figyelembe: hogy az eredeti zavaró egyenletet szép formába hozzuk, kettőt (csak kettőt!) identitás-transzformációk– balra-jobbra fordítása előjelváltással és egy egyenlet azonos számmal való szorzásával-osztásával. Ez egy univerzális módszer! Ezzel együtt fogunk dolgozni Bármi egyenletek! Teljesen bárki. Ezért unalmasan ismétlem ezeket az azonos átalakulásokat.)

Mint látható, a lineáris egyenletek megoldásának elve egyszerű. Felvesszük az egyenletet, és azonos transzformációkkal egyszerűsítjük, amíg meg nem kapjuk a választ. A fő problémák itt a számításokban vannak, nem a megoldás elvében.

De. Olyan meglepetések érik a legelemibb lineáris egyenletek megoldása során, hogy erős kábulatba kergethetnek.) Szerencsére csak két ilyen meglepetés lehet. Nevezzük őket különleges eseteknek.

Speciális esetek a lineáris egyenletek megoldásában.

Első meglepetés.

Tegyük fel, hogy egy nagyon alapvető egyenlettel találkozik, valami ilyesmi:

Kissé unatkozva haladunk az X-szel balra, az X nélkül - jobbra. A táblaváltással minden rendben. Kapunk:

Azt gondoljuk, és hopp. Kapunk:

Ez az egyenlőség önmagában nem kifogásolható. A nulla tényleg nulla. De X hiányzik! És le kell írnunk a válaszba, x mivel egyenlő? Egyébként a megoldás nem számít, ugye.) Holtpont?

Nyugodt! Ilyen kétes esetekben a legáltalánosabb szabályok megmentenek. Hogyan lehet egyenleteket megoldani? Mit jelent egy egyenlet megoldása? Ez azt jelenti, hogy, keresse meg x összes értékét, amelyet az eredeti egyenletbe behelyettesítve megadjuk a helyes egyenlőséget.

De nálunk van igazi egyenlőség már történt! 0=0, mennyivel pontosabb?! Azt kell kitalálni, hogy ez melyik x-nél történik. X milyen értékekkel helyettesíthető? eredeti egyenlet, ha ezek az x-ek akkor is nullára csökkennek? Gyerünk?)

Igen. Az X-ek helyettesíthetők Bármi! Melyiket szeretnéd? Legalább 5, legalább 0,05, legalább -220. Akkor is zsugorodnak. Ha nem hiszi, ellenőrizheti.) Cserélje be az X bármely értékét eredeti egyenletet és kiszámítani. Mindig megkapja a tiszta igazságot: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 és így tovább.

Íme a válaszod: x - tetszőleges szám.

A válasz különböző matematikai jelekkel írható, a lényeg nem változik. Ez egy teljesen helyes és teljes válasz.

Második meglepetés.

Vegyük ugyanazt az elemi lineáris egyenletet, és változtassunk meg benne csak egy számot. Ezt fogjuk eldönteni:

Ugyanezen azonos átalakítások után valami érdekeset kapunk:

Mint ez. Megoldottunk egy lineáris egyenletet, és furcsa egyenlőséget kaptunk. Matematikai értelemben megkaptuk hamis egyenlőség. De leegyszerűsítve ez nem igaz. Félrebeszél. De ennek ellenére ez a hülyeség nagyon jó ok az egyenlet helyes megoldására.)

Ismét általános szabályok alapján gondolkodunk. Ha az eredeti egyenletbe behelyettesítjük az x-eket, az adható meg nekünk igaz egyenlőség? Igen, egyik sem! Nincsenek ilyen X-ek. Mindegy mit teszel bele, minden lecsökken, csak a hülyeségek maradnak.)

Íme a válaszod: nincsenek megoldások.

Ez is teljesen teljes válasz. A matematikában gyakran találunk ilyen válaszokat.

Mint ez. Nos, remélem, az X-ek eltűnése bármely (nem csak lineáris) egyenlet megoldása során egyáltalán nem fogja megzavarni. Ez már ismerős dolog.)

Most, hogy a lineáris egyenletek összes buktatójával foglalkoztunk, van értelme megoldani őket.

Egységes államvizsgán lesznek? - hallom a gyakorlati emberek kérdését. Válaszolok. Tiszta formájában - nem. Túl alapvető. De a GIA-n vagy az egységes államvizsga problémák megoldása során biztosan találkozni fog velük! Tehát az egeret tollra cseréljük, és döntünk.









A válaszok összevissza adják: 2,5; nincsenek megoldások; 51; 17.

Történt?! Gratulálunk! Jó esélyed van a vizsgákon.)

A válaszok nem egyeznek? Hmmm. Ez nem tesz boldoggá. Ez nem az a téma, ami nélkül meglenni. Azt javaslom, látogassa meg az 555. szakaszt. Nagyon részletesen le van írva, Mit meg kell tenni és Hogyan tegye ezt, hogy ne keveredjen össze a döntésben. Ezeket az egyenleteket példaként használva.

A hogyan kell megoldani az egyenleteket ravaszabbak - ez a következő topikban.

Ha tetszik ez az oldal.

Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)

Itt gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanuljunk – érdeklődéssel!)

És itt megismerkedhet a függvényekkel és a származékokkal.

Lineáris egyenletek megoldása 7. évfolyam

Mert lineáris egyenletek megoldása két alapvető szabályt (tulajdonságokat) használjon.

1. számú ingatlan
vagy
átviteli szabály

Amikor az egyenlet egyik részéből a másikba viszünk át, az egyenlet egy tagja az ellenkezőjére változtatja az előjelét.

Nézzük meg az átviteli szabályt egy példán keresztül. Tegyük fel, hogy meg kell oldanunk egy lineáris egyenletet.



Emlékezzünk vissza, hogy minden egyenletnek van bal és jobb oldala.



Vigyük át a „3” számot az egyenlet bal oldaláról jobbra.

Mivel a „3” számnak egy „+” jele volt az egyenlet bal oldalán, ez azt jelenti, hogy a „3” átkerül az egyenlet jobb oldalára „−” jellel.



Az így kapott „x = 2” számértéket az egyenlet gyökének nevezzük.

Ne felejtse el leírni a választ az egyenlet megoldása után.

Tekintsünk egy másik egyenletet.

Az átviteli szabály szerint az egyenlet bal oldaláról „4x” mozgatjuk jobbra, az előjelet fordítva az ellenkezőjére.

Annak ellenére, hogy a "4x" előtt nincs jel, megértjük, hogy a "4x" előtt van egy "+" jel.

Most adjunk hasonlókat, és oldjuk meg az egyenletet a végéig.

2. számú ingatlan
vagy
felosztási szabály

Bármely egyenletben eloszthatja a bal és a jobb oldalt ugyanazzal a számmal.

De nem oszthatsz az ismeretlenre!

Nézzünk egy példát az osztási szabály használatára lineáris egyenletek megoldása során.

Az „x”-et jelentő „4” számot az ismeretlen numerikus együtthatójának nevezzük.



A numerikus együttható és az ismeretlen között mindig van egy szorzási művelet.

Az egyenlet megoldásához meg kell győződnie arról, hogy „x” együtthatója „1”.

Tegyük fel magunknak a kérdést: „Mivel osszuk el a „4”-et, hogy ez sikerüljön
kapsz "1"-et? A válasz nyilvánvaló, el kell osztani „4”-gyel.

Használjuk az osztási szabályt, és az egyenlet bal és jobb oldalát elosztjuk 4-gyel. Ne felejtse el, hogy a bal és a jobb oldali részt is fel kell osztani.



Használjuk a törtcsökkentést, és oldjuk meg a lineáris egyenletet a végéig.



Hogyan lehet megoldani egy egyenletet, ha "x" negatív

Az egyenletekben gyakran előfordul olyan helyzet, amikor az „x” negatív együtthatóval rendelkezik. Mint az alábbi egyenletben.

Egy ilyen egyenlet megoldásához ismét feltesszük magunknak a kérdést: „Mivel kell elosztanunk a „-2”-t, hogy „1”-et kapjunk? El kell osztani „-2”-vel.

Egyszerű lineáris egyenletek megoldása

Ebben a videóban egy sor lineáris egyenletet elemezünk, amelyeket ugyanazzal az algoritmussal oldanak meg – ezért nevezik őket a legegyszerűbbnek.

Először is határozzuk meg: mi az a lineáris egyenlet, és melyiket nevezzük a legegyszerűbbnek?

Lineáris egyenlet az, amelyben csak egy változó van, és csak az első fokig.

A legegyszerűbb egyenlet a konstrukciót jelenti:

Az összes többi lineáris egyenletet a legegyszerűbbre redukáljuk az algoritmus segítségével:

2. Ha van, bontsa ki a zárójeleket;
3. Helyezze át a változót tartalmazó kifejezéseket az egyenlőségjel egyik oldalára, a változó nélküli kifejezéseket pedig a másik oldalára;
4. Adjon hasonló kifejezéseket az egyenlőségjel bal és jobb oldalán;
5. A kapott egyenletet osszuk el a $x$ változó együtthatójával.

Természetesen ez az algoritmus nem mindig segít. A helyzet az, hogy néha mindezen machinációk után a $x$ változó együtthatója nullával egyenlő. Ebben az esetben két lehetőség közül választhat:

6. Az egyenletnek egyáltalán nincs megoldása. Például amikor valami olyasmi kiderül, hogy $0\cdot x=8$, pl. a bal oldalon a nulla, a jobb oldalon pedig egy nullától eltérő szám. Az alábbi videóban több okot is megvizsgálunk, miért lehetséges ez a helyzet.
7. A megoldás minden szám. Ez csak akkor lehetséges, ha az egyenletet a $0\cdot x=0$ konstrukcióra redukáltuk. Teljesen logikus, hogy hiába cseréljük be a $x$-t, akkor is kiderül, hogy „nulla egyenlő nullával”, azaz. helyes számszerű egyenlőség.

Most pedig nézzük meg, hogyan működik mindez, valós példák segítségével.

Példák egyenletek megoldására

Ma lineáris egyenletekkel foglalkozunk, és csak a legegyszerűbbekkel. Általában a lineáris egyenlet minden olyan egyenlőséget jelent, amely pontosan egy változót tartalmaz, és csak az első fokig megy.

Az ilyen konstrukciókat megközelítőleg ugyanúgy oldják meg:

1. Először is ki kell bővítenie a zárójeleket, ha vannak (mint legutóbbi példánkban);
2. Ezután keverje össze a hasonlókat
3. Végül izoláljuk a változót, azaz. minden, ami a változóhoz kapcsolódik - a kifejezések, amelyekben szerepel - az egyik oldalra kerül, és minden, ami nélküle marad, a másik oldalra kerül.

Ezután általában hasonlókat kell megadni a kapott egyenlőség mindkét oldalán, és ezután már csak az „x” együtthatóval kell osztani, és megkapjuk a végső választ.

Elméletileg ez szépnek és egyszerűnek tűnik, de a gyakorlatban még a tapasztalt középiskolás diákok is elkövethetnek sértő hibákat a meglehetősen egyszerű lineáris egyenletekben. A hibák jellemzően a zárójelek megnyitásakor vagy a „plusz” és „mínusz” kiszámításakor történnek.

Emellett előfordul, hogy egy lineáris egyenletnek egyáltalán nincs megoldása, vagy a megoldás a teljes számegyenes, i.e. bármilyen szám. A mai leckében ezeket a finomságokat nézzük meg. De amint azt már megértette, a legegyszerűbb feladatokkal kezdjük.

Séma egyszerű lineáris egyenletek megoldására

Először is hadd írjam le még egyszer a teljes sémát a legegyszerűbb lineáris egyenletek megoldására:

4. Bontsa ki a zárójeleket, ha vannak.
5. Elkülönítjük a változókat, azaz. Mindent, ami „X”-et tartalmaz, áthelyezünk az egyik oldalra, és mindent, amiben nincs „X” a másik oldalra.
6. Hasonló kifejezéseket mutatunk be.
7. Mindent elosztunk „x” együtthatóval.

Természetesen ez a séma nem mindig működik, vannak benne bizonyos finomságok és trükkök, és most megismerjük őket.

Valós példák megoldása egyszerű lineáris egyenletekre

Az első lépéshez meg kell nyitnunk a zárójeleket. De ebben a példában nem szerepelnek, ezért kihagyjuk ezt a lépést. A második lépésben el kell különítenünk a változókat. Kérjük, vegye figyelembe: csak egyedi kifejezésekről beszélünk. Írjuk fel:

Hasonló kifejezéseket mutatunk be a bal és a jobb oldalon, de ezt itt már megtették. Ezért továbblépünk a negyedik lépésre: osszuk el az együtthatóval:

Tehát megkaptuk a választ.

Ebben a feladatban láthatjuk a zárójeleket, ezért bővítsük ki őket:

A bal és a jobb oldalon is megközelítőleg ugyanazt a kialakítást látjuk, de járjunk el az algoritmus szerint, pl. a változók szétválasztása:

Milyen gyökereknél működik ez? Válasz: bármilyen. Ezért felírhatjuk, hogy $x$ tetszőleges szám.

A harmadik lineáris egyenlet érdekesebb:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Itt több zárójel van, de ezek nincsenek szorozva semmivel, egyszerűen csak különböző jelek előzik meg őket. Bontsuk fel őket:

Elvégezzük a számunkra már ismert második lépést:

Elvégezzük az utolsó lépést - mindent elosztunk az „x” együtthatóval:

Amit emlékezni kell a lineáris egyenletek megoldása során

Ha figyelmen kívül hagyjuk a túl egyszerű feladatokat, a következőket szeretném mondani:

8. Ahogy fentebb mondtam, nem minden lineáris egyenletnek van megoldása – néha egyszerűen nincsenek gyökök;
9. Még ha vannak is gyökerek, nulla lehet köztük – nincs ezzel semmi baj.

A nulla ugyanaz, mint a többi; semmilyen módon nem szabad megkülönböztetni, vagy azt feltételezni, hogy ha nullát kap, akkor valamit rosszul csinált.

Egy másik jellemző a zárójelek nyitásához kapcsolódik. Figyelem: ha mínusz van előttük, eltávolítjuk, de a zárójelben a jeleket módosítjuk szemben. Ezután pedig szabványos algoritmusok segítségével megnyithatjuk: azt kapjuk, amit a fenti számításoknál láttunk.

Ennek az egyszerű ténynek a megértése segít elkerülni az ostoba és bántó hibákat a középiskolában, amikor az ilyen dolgokat magától értetődőnek tekintik.

Összetett lineáris egyenletek megoldása

Térjünk át az összetettebb egyenletekre. Mostantól a konstrukciók bonyolultabbá válnak, és különféle transzformációk végrehajtásakor egy kvadratikus függvény jelenik meg. Ettől azonban nem kell megijednünk, mert ha a szerző terve szerint lineáris egyenletet oldunk meg, akkor a transzformációs folyamat során minden másodfokú függvényt tartalmazó monom biztosan törlődik.

Nyilvánvaló, hogy az első lépés a zárójelek kinyitása. Tegyük ezt nagyon óvatosan:

Most pedig vessünk egy pillantást az adatvédelemre:

Nyilvánvaló, hogy ennek az egyenletnek nincs megoldása, ezért ezt írjuk a válaszba:

Ugyanazokat a műveleteket hajtjuk végre. Első lépés:

Vigyünk mindent változóval balra, anélkül pedig jobbra:

Nyilvánvaló, hogy ennek a lineáris egyenletnek nincs megoldása, ezért a következőképpen írjuk fel:

vagy nincsenek gyökerei.

A megoldás árnyalatai

Mindkét egyenlet teljesen megoldott. E két kifejezést példaként használva ismét meggyőződhettünk arról, hogy a legegyszerűbb lineáris egyenletekben sem lehet minden olyan egyszerű: lehet egy, vagy nincs, vagy végtelen sok gyök. A mi esetünkben két egyenletet vettünk figyelembe, mindkettőnek egyszerűen nincs gyökere.

De egy másik tényre szeretném felhívni a figyelmet: hogyan kell dolgozni a zárójelekkel, és hogyan kell megnyitni, ha mínusz jel van előtte. Fontolja meg ezt a kifejezést:

Kinyitás előtt mindent meg kell szorozni „X”-szel. Figyelem: szoroz minden egyes kifejezést. Belül két kifejezés van - rendre két kifejezés és szorozva.

És csak ezeknek az eleminek tűnő, de nagyon fontos és veszélyes átalakításoknak a befejezése után lehet kinyitni a zárójelet abból a szempontból, hogy mínusz jel van utána. Igen, igen: csak most, amikor az átalakítások befejeződtek, eszünkbe jut, hogy a zárójelek előtt egy mínusz jel van, ami azt jelenti, hogy az alábbiakban minden egyszerűen előjelet vált. Ugyanakkor maguk a konzolok eltűnnek, és ami a legfontosabb, az elülső „mínusz” is eltűnik.

Ugyanezt tesszük a második egyenlettel:

Nem véletlenül figyelek ezekre az apró, jelentéktelennek tűnő tényekre. Mert az egyenletek megoldása mindig elemi átalakítások sorozata, ahol az egyszerű műveletek világos és kompetens végrehajtásának képtelensége oda vezet, hogy középiskolások jönnek hozzám, és újra megtanulják az ilyen egyszerű egyenleteket megoldani.

Természetesen eljön a nap, amikor ezeket a készségeket az automatizmusig csiszolod. Többé nem kell minden alkalommal annyi átalakítást végrehajtania, mindent egy sorba fog írni. De amíg csak tanulsz, minden egyes műveletet külön kell megírnod.

Még bonyolultabb lineáris egyenletek megoldása

Amit most meg fogunk oldani, aligha nevezhetjük a legegyszerűbb feladatnak, de a jelentés ugyanaz marad.

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21=3\]

Szorozzuk meg az első részben szereplő összes elemet:

Tegyünk egy kis magánéletet:

Végezzük el az utolsó lépést:

Íme a végső válaszunk. És annak ellenére, hogy a megoldás során másodfokú függvényű együtthatók voltak, ezek kioltották egymást, ami lineárissá teszi az egyenletet, és nem másodfokú.

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Óvatosan hajtsuk végre az első lépést: szorozzuk meg az első zárójelből származó minden elemet a másodikból származó minden elemmel. Az átalakítások után összesen négy új kifejezésnek kell lennie:

Most óvatosan hajtsuk végre a szorzást minden egyes tagban:

Mozgassuk az „X”-szel jelölt kifejezéseket balra, a nem - jobbra pedig azokat:

Itt vannak hasonló kifejezések:

Ismét megkaptuk a végső választ.

A legfontosabb megjegyzés ezzel a két egyenlettel kapcsolatban a következő: amint elkezdjük szorozni azokat a zárójeleket, amelyek egynél több tagot tartalmaznak, ez a következő szabály szerint történik: az első tagot vesszük az elsőből, és szorozunk minden elemmel a második; akkor vesszük a második elemet az elsőből és hasonlóképpen szorozzuk meg a másodikból származó minden elemmel. Ennek eredményeként négy ciklusunk lesz.

Az algebrai összegről

Ezzel az utolsó példával szeretném emlékeztetni a tanulókat, hogy mi az algebrai összeg. A klasszikus matematikában 1-7 $ alatt egy egyszerű konstrukciót értünk: vonjunk ki hetet egyből. Az algebrában ez alatt a következőket értjük: az „egy” számhoz hozzáadunk egy másik számot, nevezetesen a „mínusz hetest”. Így különbözik az algebrai összeg a közönséges számtani összegtől.

Amint az összes transzformáció, minden összeadás és szorzás végrehajtásakor a fent leírtakhoz hasonló konstrukciókat kezd látni, egyszerűen nem lesz problémája az algebrával, amikor polinomokkal és egyenletekkel dolgozik.

Végül nézzünk meg még néhány példát, amelyek még az imént látottaknál is összetettebbek lesznek, és ezek megoldásához kissé ki kell bővítenünk a szokásos algoritmusunkat.

Egyenletek megoldása törtekkel

Az ilyen feladatok megoldásához még egy lépést kell hozzáadnunk az algoritmusunkhoz. De először hadd emlékeztesselek az algoritmusunkra:

10. Külön változók.

Sajnos, ez a csodálatos algoritmus, minden hatékonysága ellenére, nem bizonyul teljesen megfelelőnek, ha törtek vannak előttünk. És amit alább látni fogunk, mindkét egyenletben a bal és a jobb oldalon is van egy tört.

Hogyan kell dolgozni ebben az esetben? Igen, ez nagyon egyszerű! Ehhez hozzá kell adni egy további lépést az algoritmushoz, amelyet az első művelet előtt és után is meg lehet tenni, nevezetesen a törtektől való megszabadulást. Tehát az algoritmus a következő lesz:

11. Megszabadulni a törtektől.
12. Nyissa ki a zárójeleket.
13. Hozz hasonlókat.
14. Oszd el az aránnyal.

Mit jelent „megszabadulni a törtektől”? És miért lehet ezt megtenni az első standard lépés után és előtt is? Valójában esetünkben minden tört numerikus a nevezőjében, azaz. A nevező mindenhol csak egy szám. Ezért, ha az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk ezzel a számmal, megszabadulunk a törtektől.

Megszabadulunk a törtektől ebben az egyenletben:

Figyelem: mindent egyszer megszoroznak „néggyel”, azaz. csak azért, mert van két zárójel, nem jelenti azt, hogy mindegyiket "néggyel" kell szoroznia. Írjuk fel:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(-1 \right)\cdot 4\]

A változót elkülönítjük:

Hasonló kifejezések redukcióját végezzük:

\[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]

Megkaptuk a végső megoldást, térjünk át a második egyenletre.

Itt ugyanazokat a műveleteket hajtjuk végre:

Valójában ez minden, amit ma el akartam mondani.

Főbb pontok

A legfontosabb megállapítások a következők:

8. Ismerje a lineáris egyenletek megoldási algoritmusát.
9. A zárójelek kinyitásának képessége.
10. Ne aggódjon, ha valahol másodfokú függvényei vannak, ezek a további átalakítások során csökkenni fognak.
11. A lineáris egyenletekben háromféle gyök létezik, még a legegyszerűbbek is: egyetlen gyök, az egész számegyen gyök, és nincs gyök.

Remélem, ez a lecke segít egy egyszerű, de nagyon fontos téma elsajátításában az összes matematika további megértéséhez. Ha valami nem világos, menjen az oldalra, és oldja meg az ott bemutatott példákat. Maradj velünk, még sok érdekesség vár rád!

12. Irracionális egyenlet: a gyökérizolációs módszerrel való megoldás megtanulása
13. Hogyan oldjunk meg egy kétnegyedes egyenletet
14. Teszt az „Összetett kifejezések törtekkel” leckéhez (egyszerű)
15. Próba Egységes Államvizsga 2012 december 7-től. 1. lehetőség (logaritmus nélkül)
16. Videólecke a C2 feladatokról: egy pont és egy sík távolsága
17. Matematikatanár: hol találunk diákokat?

A videó megtekintéséhez adja meg e-mail címét, és kattintson az „Edzés indítása” gombra

• Oktató 12 éves tapasztalattal
• Videófelvétel az egyes órákról
• Az osztályok egyszeri költsége - 3000 rubel 60 percre


Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete