Melyik a kisebb, tized vagy század. Véges és végtelen tizedesjegyek összehasonlítása, szabályok, példák, megoldások

A tizedes törtnek vesszőt kell tartalmaznia. A tört numerikus részét, amely a tizedesvesszőtől balra található, egész résznek nevezzük; jobbra - tört:

5,28 5 - egész rész 28 - tört rész

A tizedes tört része a következőkből áll tizedesjegyek(tizedesjegyek):

• tized - 0,1 (egy tized);
• századrész - 0,01 (egy század);
• ezredrész - 0,001 (egy ezrelék);
• tízezrelék - 0,0001 (egy tízezrelék);
• százezrelék - 0,00001 (százezrelék);
• milliomod - 0,000001 (egy milliomod);
• tízmilliomodik - 0,0000001 (egy tízmilliomodik);
• százmilliomodik - 0,00000001 (százmilliomodik);
• milliárdod - 0,000000001 (egymilliárd rész) stb.

• olvasd el azt a számot, amelyik a tört teljes részét alkotja, és add hozzá a "szót" egész";
• olvassa el a tört részét alkotó számot, és adja hozzá a legkisebb jelentőségű számjegy nevét.

Például:

• 0,25 - nulla pont huszonöt századrész;
• 9,1 - kilenc pont egy tized;
• 18.013 - tizennyolc pont tizenhárom ezrelék;
• 100,2834 - száz pont kétezer-nyolcszázharmincnégy tízezrelék.

Tizedesjegyek írása

Tizedes tört írásához:

• írja le a tört teljes részét, és tegyen vesszőt (a szám, ami azt jelenti, hogy a tört egész része mindig a "szóval végződik" egész");
• írja be a tört tört részét úgy, hogy az utolsó számjegy a kívánt számjegybe kerüljön (ha bizonyos tizedesjegyekben nincs jelentős számjegy, akkor azokat nullákkal helyettesítjük).

Például:

• huszonkilenc pont - 20,9 - ebben a példában minden egyszerű;
• öt pont egy század - 5,01 - a „század” szó azt jelenti, hogy a tizedesvessző után két számjegynek kell lennie, de mivel az 1-es számnak nincs tizedik helye, nullára cseréljük;
• nulla pont nyolcszáznyolc ezrelék - 0,808;
• három pontos tizenöt tized - ilyen tizedes tört nem írható le, mert hiba történt a törtrész kiejtésében - a 15-ös szám két számjegyet tartalmaz, és a „tized” szó csak egyet jelent. Helyes lenne a három pontos tizenöt századrész (vagy ezredrész, tízezrelék stb.).

Tizedesjegyek összehasonlítása

A tizedes törtek összehasonlítása a természetes számok összehasonlításához hasonlóan történik.

1. először a törtek egész részeit hasonlítjuk össze - az a tizedes tört, amelynek az egész része nagyobb, nagyobb lesz;
2. ha a törtek egész részei egyenlőek, akkor a tört részeket apránként, balról jobbra, a tizedesvesszőből kiindulva hasonlítsa össze: tized, század, ezred stb. Az összehasonlítást az első eltérésig hajtjuk végre – annál nagyobb lesz az a tizedes tört, amelynek nagyobb egyenlőtlen számjegye van a törtrész megfelelő számjegyében. Például: 1,2 8 3 > 1,27 9, mert a századik helyen az első törtben 8, a másodikban 7 van.

A tizedes tört abban különbözik a közönséges törttől, hogy nevezője helyiérték egység.

Például:

A tizedes törteket a közönséges törtektől külön formába különítik el, ami saját szabályokhoz vezetett ezeknek a törteknek az összehasonlítására, összeadására, kivonására, szorzására és osztására. A tizedes törtekkel elvileg a közönséges törtek szabályait alkalmazva lehet dolgozni. A tizedestörtek konvertálására vonatkozó saját szabályok leegyszerűsítik a számításokat, a közönséges törtek tizedesjegyekké alakítására vonatkozó szabályok pedig összekötőként szolgálnak az ilyen típusú törtek között.

A tizedes törtek írása és olvasása lehetővé teszi azok lejegyzését, összehasonlítását és műveletek végrehajtását a természetes számokkal végzett műveletekre vonatkozó szabályokhoz nagyon hasonló szabályok szerint.

A tizedestörtek rendszere és a rajtuk végzett műveletek először a XV. Dzhemshid ibn-Masudal-Kashi szamarkandi matematikus és csillagász „A számolás művészetének kulcsa” című könyvében.

A tizedes tört egész részét vessző választja el a tört résztől néhány országban (az USA-ban) pontot tesznek. Ha egy tizedes törtnek nincs egész része, akkor a 0 szám kerül a tizedesvessző elé.

A jobb oldali tizedes tört részéhez tetszőleges számú nullát adhatunk, ez nem változtatja meg a tört értékét. A tizedes tört részét a rendszer az utolsó jelentős számjegynél olvassa be.

Például:
0,3 - három tized
0,75 - hetvenöt századrész
0,000005 - öt milliomod.

A tizedesjegy egész részének kiolvasása megegyezik a természetes számok olvasásával.

Például:
27,5 - huszonhét...;
1,57 - egy...

A tizedes tört teljes része után az „egész” szót ejtik.

Például:
10,7 - tízpontos hét

0,67 - nulla pont hatvanhét századrész.

A tizedesjegyek a tört rész számjegyei. A tört részt nem számjegyekkel olvassuk (ellentétben a természetes számokkal), hanem egészben, ezért a tizedes tört tört részét a jobb oldali utolsó jelentős számjegy határozza meg. A tizedes tört részének helyiérték-rendszere némileg eltér a természetes számokétól.

• 1. számjegy foglalt után – tized számjegy
• 2. tizedesjegy - századik hely
• 3. tizedesjegy - ezredhely
• 4. tizedesjegy - tízezredik hely
• 5. tizedesjegy - százezredik hely
• 6. tizedesjegy - milliomodik hely
• A 7. tizedesjegy a tízmilliomodik hely
• A 8. tizedesjegy a százmilliomodik hely

A számításoknál leggyakrabban az első három számjegyet használják. A tizedes tört részének nagy számjegykapacitása csak azokban a tudáságakban használatos, ahol végtelenül kicsi mennyiségeket számítanak ki.

Tizedes tört átalakítása vegyes törtté a következőkből áll: a tizedesvessző előtti szám a vegyes tört egész részeként van felírva; a tizedesvessző utáni szám a tört részének számlálója, a törtrész nevezőjébe pedig írjunk annyi nullát tartalmazó egységet, ahány számjegy van a tizedesvessző után.

3.4 Helyes sorrend
Az előző részben a számokat a számegyenesen elfoglalt helyzetük alapján hasonlítottuk össze. Ez egy jó módszer a számok nagyságának decimális jelöléssel történő összehasonlítására. Ez a módszer mindig működik, de időigényes és kényelmetlen minden alkalommal, amikor két számot kell összehasonlítani. Van egy másik jó módszer is annak kiderítésére, hogy a két szám közül melyik a nagyobb.

A példa

Nézzük meg az előző rész számait, és hasonlítsuk össze a 0,05-öt és a 0,2-t.

Ahhoz, hogy megtudja, melyik szám nagyobb, először hasonlítsa össze a részeiket. Példánkban mindkét számnak azonos számú egész szám van - 0. Hasonlítsuk össze a tizedeiket. A 0,05 szám 0 tizedes, a 0,2 szám 2 tizedes. Az, hogy a 0,05 számban 5 század van, nem számít, mivel a tizedek határozzák meg, hogy a 0,2 nagyobb. Így írhatjuk:

Mindkét számban 0 egész szám és 6 tized van, és még nem tudjuk megállapítani, hogy melyik a nagyobb. A 0,612-es számnak azonban csak 1 századrésze van, a 0,62-esnek pedig kettő. Akkor ezt meg tudjuk határozni

0,62 > 0,612

Az a tény, hogy a 0,612 szám 2 ezreléket tartalmaz, még mindig kevesebb, mint 0,62.

Ezt a képen szemléltethetjük:

		0,612
		0,62

Annak meghatározásához, hogy a decimális jelölésű két szám közül melyik a nagyobb, a következőket kell tennie:

1. Hasonlítsa össze az egész részeket. Az a szám, amelynek az egész része nagyobb, nagyobb lesz.

2 . Ha az egész részek egyenlőek, hasonlítsa össze a tizedik részeket. A több tizeddel rendelkező szám nagyobb lesz.

3 . Ha a tizedek egyenlőek, hasonlítsa össze a századokat. A több századrészes szám nagyobb lesz.

4 . Ha a századrészek egyenlőek, hasonlítsa össze az ezredeket. A több ezreléket tartalmazó szám nagyobb lesz.

Ebben a cikkben a témával foglalkozunk " tizedesjegyek összehasonlítása" Először beszéljük meg a tizedes törtek összehasonlításának általános elvét. Ezek után kitaláljuk, hogy mely tizedes törtek egyenlők és melyek egyenlőtlenek. Ezután megtanuljuk meghatározni, hogy melyik tizedes tört nagyobb és melyik kisebb. Ehhez tanulmányozzuk a véges, végtelen periodikus és végtelen nem periódusos törtek összehasonlításának szabályait. A teljes elméletet példákkal, részletes megoldásokkal ellátjuk. Végezetül nézzük meg a tizedes törtek összehasonlítását természetes számokkal, közönséges törtekkel és vegyes számokkal.

Tegyük fel rögtön, hogy itt csak a pozitív tizedes törtek összehasonlításáról lesz szó (lásd pozitív és negatív számokat). A fennmaradó eseteket a racionális számok összehasonlítása és a cikkek tárgyalják valós számok összehasonlítása.

Oldalnavigáció.

A tizedes törtek összehasonlításának általános elve

Ezen összehasonlítási elv alapján a tizedes törtek összehasonlításának szabályait levezetik, amelyek lehetővé teszik, hogy az összehasonlított tizedes törteket közönséges törtekké alakítsák át. Ezeket a szabályokat, valamint az alkalmazásukra vonatkozó példákat a következő bekezdésekben tárgyaljuk.

Hasonló elvet alkalmaznak a véges tizedes törtek vagy a végtelen periodikus tizedes törtek összehasonlítására természetes számokkal, közönséges törtekkel és vegyes számokkal: az összehasonlított számokat a megfelelő közönséges törtekre cserélik, majd a közönséges törteket összehasonlítják.

Amivel kapcsolatban végtelen nem periodikus tizedesjegyek összehasonlítása, akkor általában véges tizedes törtek összehasonlításáról van szó. Ehhez vegye figyelembe az összehasonlított végtelen nem periodikus tizedes törtek előjeleinek számát, amely lehetővé teszi az összehasonlítás eredményének megszerzését.

Egyenlő és egyenlőtlen tizedesjegyek

Először bemutatjuk egyenlő és egyenlőtlen tizedes törtek definíciói.

Meghatározás.

A két végű tizedes törtet hívjuk egyenlő, ha a hozzájuk tartozó közönséges törtek egyenlőek, különben ezeket a tizedes törteket hívjuk egyenlőtlen.

E definíció alapján könnyen igazolható a következő állítás: ha egy adott tizedes tört végére több 0 számjegyet adunk hozzá vagy eldobunk, akkor egy vele megegyező tizedes törtet kapunk. Például 0,3=0,30=0,300=… és 140 000=140,00=140,0=140.

Valójában egy nulla hozzáadása vagy elvetése a jobb oldali tizedes tört végén a megfelelő közönséges tört számlálójának és nevezőjének 10-zel való szorzását vagy osztását jelenti. És ismerjük a tört alaptulajdonságát, amely szerint a tört számlálóját és nevezőjét megszorozva vagy elosztva ugyanazzal a természetes számmal az eredetivel megegyező törtet kapunk. Ez azt bizonyítja, hogy a tizedes tört részében jobbra nullákat hozzáadva vagy eldobva az eredetivel megegyező törtet kapunk.

Például a 0,5-ös tizedes tört az 5/10-es közönséges törtnek felel meg, a jobb oldali nulla hozzáadása után a 0,50-es tizedestört felel meg, ami az 50/100-nak felel meg, és. Így 0,5=0,50. Ezzel szemben, ha a 0,50-es tizedes törtből a jobb oldalon eldobjuk a 0-t, akkor a 0,5-öt kapjuk, tehát az 50/100-as közönséges törtből az 5/10-hez jutunk, de . Ezért 0,50=0,5.

Menjünk tovább egyenlő és egyenlőtlen végtelen periodikus tizedes törtek meghatározása.

Meghatározás.

Két végtelen periodikus tört egyenlő, ha a megfelelő közönséges törtek egyenlőek; ha a hozzájuk tartozó közönséges törtek nem egyenlők, akkor az összehasonlított periodikus törtek is azonosak nem egyenlő.

Ebből a meghatározásból három következtetés következik:

• Ha a periodikus tizedes törtek jelölései teljesen egybeesnek, akkor az ilyen végtelen periodikus tizedes törtek egyenlőek. Például a 0,34 (2987) és a 0,34 (2987) periodikus tizedesjegyek egyenlőek.
• Ha az összehasonlított tizedes törtek periódusai ugyanarról a helyről kezdődnek, az első tört 0, a második 9 periódusú, és a 0 periódus előtti számjegy értéke eggyel nagyobb, mint a számjegy értéke. 9. periódus előtt, akkor az ilyen végtelen periodikus tizedes törtek egyenlőek. Például a 8,3(0) és 8,2(9) periodikus törtek egyenlőek, és a 141,(0) és 140,(9) törtek is egyenlők.
• Bármely másik két periodikus tört nem egyenlő. Példák az egyenlőtlen végtelen periodikus tizedes törtekre: 9,0(4) és 7,(21), 0,(12) és 0,(121), 10,(0) és 9,8(9).

Még foglalkozni kell vele egyenlő és egyenlőtlen végtelen nem periodikus tizedes törtek. Mint ismeretes, az ilyen tizedes törtek nem konvertálhatók közönséges törtekké (az ilyen tizedes törtek irracionális számokat jelentenek), ezért a végtelen nem periodikus tizedes törtek összehasonlítása nem redukálható a közönséges törtek összehasonlítására.

Meghatározás.

Két végtelen nem periodikus tizedesjegy egyenlő, ha rekordjaik teljesen megegyeznek.

De van egy figyelmeztetés: lehetetlen látni a végtelen, nem periodikus tizedes törtek „kész” rekordját, ezért nem lehet biztos a rekordok teljes egybeesésében. Hogy lehet ez?

Végtelen nem periodikus tizedes törtek összehasonlításakor az összehasonlítandó törtek véges számú előjelét veszik figyelembe, ami lehetővé teszi a szükséges következtetések levonását. Így a végtelen nem periodikus tizedes törtek összehasonlítása véges tizedes törtek összehasonlítására redukálódik.

Ezzel a megközelítéssel csak a szóban forgó számjegyig beszélhetünk végtelen nem periodikus tizedes törtek egyenlőségéről. Mondjunk példákat. A végtelen nem periodikus tizedesjegyek 5,45839... és 5,45839... egyenlőek a legközelebbi százezredekkel, mivel a véges tizedesjegyek 5,45839 és 5,45839 egyenlőek; a 19,54... és a 19,54810375... nem periodikus tizedes törtek egyenlőek a legközelebbi századdal, mivel egyenlők a 19,54 és 19,54 törtekkel.

Ezzel a megközelítéssel a végtelen nem periodikus tizedes törtek egyenlőtlensége egészen határozottan megállapítható. Például a végtelen nem periodikus tizedesjegyek 5,6789... és 5,67732... nem egyenlők, mivel a jelöléseik különbségei nyilvánvalóak (a véges 5,6789 és 5,6773 tizedesjegyek nem egyenlők). A végtelen tizedesjegyek 6,49354... és 7,53789... szintén nem egyenlők.

A tizedes törtek összehasonlításának szabályai, példák, megoldások

Miután megállapította, hogy két tizedes tört egyenlőtlen, gyakran meg kell találnia, hogy ezek közül a törtek közül melyik nagyobb és melyik kisebb, mint a másik. Most megvizsgáljuk a tizedes törtek összehasonlításának szabályait, lehetővé téve a feltett kérdés megválaszolását.

Sok esetben elegendő az összehasonlított tizedes törtek egész részeit összehasonlítani. A következő igaz szabály a tizedesjegyek összehasonlítására: minél nagyobb az a tizedes tört, amelynek az egész része nagyobb, és annál kisebb az a tizedes tört, amelynek az egész része kisebb.

Ez a szabály a véges és a végtelen tizedes törtekre is vonatkozik. Nézzük a példák megoldásait.

Példa.

Hasonlítsa össze a 9,43 és 7,983023 tizedesjegyeket….

Megoldás.

Nyilvánvaló, hogy ezek a tizedesjegyek nem egyenlőek. A 9,43 véges tizedes tört egész része egyenlő 9-cel, a 7,983023... végtelen nem periodikus tört egész része pedig 7-tel. Mivel 9>7 (lásd a természetes számok összehasonlítását), akkor 9,43>7,983023.

Válasz:

9,43>7,983023 .

Példa.

Melyik tizedes tört 49,43(14) és 1045,45029... kisebb?

Megoldás.

A 49,43(14) periodikus tört egész része kisebb, mint a 1045,45029 végtelen nem periodikus tizedes tört egész része, ezért 49,43(14)<1 045,45029… .

Válasz:

49,43(14) .

Ha az összehasonlítandó tizedes törtek egész részei egyenlőek, akkor ahhoz, hogy megtudjuk, melyik a nagyobb és melyik a kisebb, össze kell hasonlítani a törtrészeket. A tizedes törtek tört részeinek összehasonlítása bitenként történik- a tizedes kategóriától az alsóig.

Először is nézzünk meg egy példát két véges tizedes tört összehasonlítására.

Példa.

Hasonlítsa össze a 0,87 és 0,8521 tizedesjegyeket.

Megoldás.

Ezen tizedes törtek egész részei egyenlőek (0=0), ezért áttérünk a törtrészek összehasonlítására. A tizedes hely értéke egyenlő (8=8), és egy tört századhelyének értéke 0,87-tel nagyobb, mint a 0,8521 tört századhelyének értéke (7>5). Ezért 0,87>0,8521.

Válasz:

0,87>0,8521 .

Néha a különböző számú tizedesjegyű záró tizedes törtek összehasonlításához a kevesebb tizedesjegyet tartalmazó törtekhez hozzá kell fűzni egy számú nullát a jobb oldalon. Nagyon kényelmes a tizedesjegyek számának kiegyenlítése, mielőtt elkezdené a végső tizedes törtek összehasonlítását úgy, hogy az egyik jobb oldalán bizonyos számú nullát adunk hozzá.

Példa.

Hasonlítsa össze a 18.00405 és 18.0040532 végű tizedesjegyeket.

Megoldás.

Nyilvánvaló, hogy ezek a törtek egyenlőtlenek, hiszen eltérő a jelölésük, ugyanakkor egyenlő egész részük van (18 = 18).

A törtrészek bitenkénti összehasonlítása előtt kiegyenlítjük a tizedesjegyek számát. Ehhez a 18,00405 tört végéhez adunk két 0 számjegyet, és egy egyenlő tizedes törtet kapunk: 18,0040500.

A 18,0040500 és a 18,0040532 tört tizedesjegyeinek értéke százezrelékig egyenlő, a 18,0040500 tört milliomod helyének értéke pedig kisebb, mint a 18,0040532 (0) tört megfelelő helyének értéke.<3 ), поэтому, 18,0040500<18,0040532 , следовательно, 18,00405<18,0040532 .

Válasz:

18,00405<18,0040532 .

Egy véges tizedes tört és egy végtelen tizedes tört összehasonlításakor a véges törtet egy egyenlő végtelen periódusos törtre cseréljük, amelynek periódusa 0, majd az összehasonlítás számjegyenként történik.

Példa.

Hasonlítsa össze a véges 5,27 tizedesjegyet a végtelen nem periodikus tizedes 5,270013-mal... .

Megoldás.

Ezen tizedes törtek egész része egyenlő. Ezen törtek tized- és századjegyeinek értéke egyenlő, és a további összehasonlítás érdekében a véges tizedes törtet egy egyenlő végtelen periodikus törtre cseréljük, amelynek periódusa 0 5,270000 alakú.... Az ötödik tizedesjegyig az 5,270000... és az 5,270013... tizedesjegyek értéke egyenlő, az ötödik tizedesjegynél pedig 0<1 . Таким образом, 5,270000…<5,270013… , откуда следует, что 5,27<5,270013… .

Válasz:

5,27<5,270013… .

A végtelen tizedes törtek összehasonlítása is helyenként történik, és akkor ér véget, amint egyes számjegyek értéke eltérőnek bizonyul.

Példa.

Hasonlítsa össze a 6.23(18) és a 6.25181815… végtelen tizedesjegyeket.

Megoldás.

Ezen törtek egész részei egyenlőek, és a tizedek helyértékei is egyenlőek. És a 6.23(18) periodikus tört századjegyének értéke kisebb, mint a 6.25181815 végtelen nem periódusos tizedes tört századjegyének értéke..., tehát 6.23(18)<6,25181815… .

Válasz:

6,23(18)<6,25181815… .

Példa.

A 3,(73) és 3,(737) végtelen periodikus tizedesjegyek közül melyik nagyobb?

Megoldás.

Nyilvánvaló, hogy 3,(73)=3,73737373... és 3,(737)=3,737737737... . A negyedik tizedesjegynél a bitenkénti összehasonlítás véget ér, mivel ott 3 van<7 . Таким образом, 3,73737373…<3,737737737… , то есть, десятичная дробь 3,(737) больше, чем дробь 3,(73) .

Válasz:

3,(737) .

Hasonlítsa össze a tizedesjegyeket természetes számokkal, törtekkel és vegyes számokkal.

A tizedes tört természetes számmal való összehasonlításának eredményét úgy kaphatjuk meg, hogy egy adott tört egész részét egy adott természetes számmal hasonlítjuk össze. Ebben az esetben a 0 vagy 9 periódusú periodikus törteket először a velük megegyező véges tizedes törtekre kell cserélni.

A következő igaz szabály a tizedes törtek és a természetes számok összehasonlítására: ha egy tizedes tört teljes része kisebb egy adott természetes számnál, akkor az egész tört kisebb ennél a természetes számnál; ha egy tört egész része nagyobb vagy egyenlő egy adott természetes számnál, akkor a tört nagyobb, mint az adott természetes szám.

Nézzünk példákat ennek az összehasonlítási szabálynak az alkalmazására.

Példa.

Hasonlítsd össze a 7-es természetes számot a 8,8329 tizedes törttel….

Megoldás.

Mivel egy adott természetes szám kisebb, mint egy adott tizedes tört egész része, ezért ez a szám kisebb, mint egy adott tizedes tört.

Válasz:

7<8,8329… .

Példa.

Hasonlítsa össze a 7-es természetes számot és a tizedes törtet 7.1.