Mi a kör mint geometriai alakzat: alapvető tulajdonságok és jellemzők.

Utasítás

Írja le a matematikai műveleteket szöveges formában, és írja be azokat a Google webhely főoldalának keresőmezőjébe, ha nem tud számológépet használni, de rendelkezik internet-hozzáféréssel. Ez a kereső egy beépített többfunkciós számológéppel rendelkezik, amely sokkal könnyebben használható, mint bármelyik másik. Nincs gombos felület – minden adatot szöveges formában, egyetlen mezőben kell megadni. Például ha ismert koordináták szélsőséges pontok szegmensben háromdimenziós A(51,34 17,2 13,02) és A(-11,82 7,46 33,5) koordinátarendszerben, akkor koordináták középpont szegmensben C((51,34-11,82)/2 (17,2+7,46)/2 (13,02+33,5)/2). Ha a keresőmezőbe beírja az (51.34-11.82)/2, majd a (17.2+7.46)/2 és (13.02+33.5)/2 számokat, akkor a Google segítségével lekérheti koordináták C(19,76 12,33 23,26).

A kör szabványos egyenlete lehetővé teszi, hogy számos fontos információt megtudjon erről az ábráról, például a középpont koordinátáit, a sugár hosszát. Egyes feladatokban éppen ellenkezőleg, egy egyenletet kell létrehoznia adott paraméterek használatával.

Utasítás

Határozza meg, milyen információi vannak a körről a kapott feladat alapján. Ne feledje, hogy a végső cél a középpont koordinátáinak, valamint az átmérőnek a meghatározása. Minden tevékenységének ennek a konkrét eredménynek az elérésére kell irányulnia.

Használja a koordinátavonalakkal vagy más vonalakkal való metszéspontok jelenlétére vonatkozó adatokat. Vegye figyelembe, hogy ha a kör áthalad az abszcissza tengelyen, akkor a második koordinátája 0 lesz, ha pedig az ordináta tengelyén, akkor az első. Ezek a koordináták lehetővé teszik, hogy megtalálja a kör középpontjának koordinátáit, és kiszámítsa a sugarat is.

Ne feledkezzünk meg a szekánsok és érintők alapvető tulajdonságairól. Különösen az a leghasznosabb tétel, hogy az érintkezési pontban a sugár és az érintő derékszöget alkot. De kérjük, vegye figyelembe, hogy előfordulhat, hogy bizonyítania kell a kurzus során használt összes tételt.

Oldja meg a legszokványosabb típusokat, hogy megtanulja azonnal látni, hogyan kell bizonyos adatokat használni a kör egyenletéhez. Tehát a már említett, közvetlenül megadott koordinátákkal és azokon a problémákon túl, amelyekben a metszéspontok jelenlétéről adnak információt, a kör egyenletének összeállításához felhasználhatja a kör középpontjával, a kör hosszával kapcsolatos ismereteket. akkord, és amelyen ez az akkord fekszik.

A megoldáshoz készítsünk egy egyenlő szárú háromszöget, melynek alapja az adott húr lesz, az egyenlő oldalai pedig a sugarak. Összeállítás, amelyből könnyen megtalálhatja a szükséges adatokat. Ehhez elegendő egy síkban lévő szakasz hosszának meghatározására szolgáló képletet használni.

Videó a témáról

A kör alatt olyan alakzatot értünk, amely a középpontjától egyenlő távolságra lévő síkon sok pontból áll. Távolság a központtól a pontokig kör sugárnak nevezzük.

Először is, értsük meg a különbséget a kör és a kör között. Ennek a különbségnek a megértéséhez elegendő figyelembe venni, hogy mi is a két szám. Ez végtelen számú pont a síkon, amelyek egy központi ponttól egyenlő távolságra helyezkednek el. De ha a kör belső térből is áll, akkor nem tartozik a körhöz. Kiderült, hogy a kör egyrészt egy kör, amely korlátozza azt (kör(r)), másrészt pedig számtalan olyan pont, amely a körön belül van.

A körön fekvő bármely L pontra érvényes az OL=R egyenlőség. (Az OL szakasz hossza megegyezik a kör sugarával).

A kör két pontját összekötő szakasz az akkord.

Közvetlenül a kör középpontján áthaladó akkord az átmérő ez a kör (D). Az átmérő a következő képlettel számítható ki: D=2R

Körméret a következő képlettel számítjuk ki: C=2\pi R

Egy kör területe: S=\pi R^(2)

Egy kör íve Ennek azt a részét nevezzük, amely a két pontja között helyezkedik el. Ez a két pont egy kör két ívét határozza meg. Az akkord CD két ívet ölel fel: CMD és CLD. Azonos akkordok egyenlő íveket zárnak le.

Központi szög A két sugár közé eső szöget nevezzük.

Ívhossz képlet segítségével találhatjuk meg:

1. A fokmérő használata: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
2. Radián mértékkel: CD = \alpha R

A húrra merőleges átmérő a húrt és az általa összehúzott íveket kettéosztja.

Ha egy kör AB és CD húrjai az N pontban metszik egymást, akkor az N ponttal elválasztott húrszakaszok szorzatai egyenlők egymással.

AN\cdot NB = CN\cdot ND

Egy kör érintője

Egy kör érintője Egy olyan egyenest szokás hívni, amelynek egy közös pontja van a körrel.

Ha egy egyenesnek két közös pontja van, akkor ún metsző.

Ha a sugarat az érintőpontra rajzolja, akkor az merőleges lesz a kör érintőjére.

Ebből a pontból húzzunk két érintőt a körünkhöz. Kiderül, hogy az érintőszegmensek egyenlőek lesznek egymással, és a kör középpontja a csúcsponttal bezárt szög felezőjén lesz ezen a ponton.

AC = CB

Most húzzunk egy érintőt és egy szekánst a körhöz a pontunkból. Azt kapjuk, hogy az érintőszakasz hosszának négyzete egyenlő lesz a teljes szekáns szakasz és külső részének szorzatával.

AC^(2) = CD \cdot BC

Megállapíthatjuk: az első szekáns egy teljes szegmensének és külső részének szorzata egyenlő a második szekáns egy teljes szegmensének és külső részének szorzatával.

AC\cdot BC = EC\cdot DC

Szögek egy körben

A középponti szög és az ív, amelyen nyugszik, mértéke egyenlő.

\angle COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)

Beírt szög Olyan szög, amelynek csúcsa egy körön van, és oldalai húrokat tartalmaznak.

Kiszámolhatja az ív méretének ismeretében, mivel ez egyenlő ennek az ívnek a felével.

\angle AOB = 2 \angle ADB

Átmérő, beírt szög, derékszög alapján.

\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ (\circ)

Az azonos ívet bezáró beírt szögek azonosak.

Az egyik húron nyugvó beírt szögek azonosak, vagy összegük 180^ (\circ) .

\angle ADB + \angle AKB = 180^ (\circ)

\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

Ugyanazon a körön vannak az azonos szögű háromszögek csúcsai egy adott alappal.

Az a szög, amelynek csúcsa a körön belül és két húr között helyezkedik el, megegyezik az adott és a függőleges szögeken belüli körívek szögértékeinek felével.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \jobb)

Az a szög, amelynek csúcsa a körön kívül van, és két szekáns között helyezkedik el, megegyezik a szög belsejében lévő körívek szögértékei közötti különbség felével.

\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \left (\cup DmC - \cup AlB \right)

Beírt kör

Beírt kör egy kör, amely egy sokszög oldalait érinti.

Abban a pontban, ahol a sokszög sarkainak felezői metszik egymást, ott van a középpontja.

Egy kör nem írható be minden sokszögbe.

Egy kör alakú sokszög területét a következő képlet határozza meg:

S = pr,

p a sokszög fél kerülete,

r a beírt kör sugara.

Ebből következik, hogy a beírt kör sugara egyenlő:

r = \frac(S)(p)

A szemközti oldalak hosszának összege azonos lesz, ha a kört egy konvex négyszögbe írjuk. És fordítva: egy kör konvex négyszögbe illeszkedik, ha a szemközti oldalak hosszának összege azonos.

AB + DC = AD + BC

Bármelyik háromszögbe beírható egy kör. Csak egyetlenegy. A beírt kör középpontja azon a ponton lesz, ahol az ábra belső szögeinek felezőszögei metszik egymást.

A beírt kör sugarát a következő képlettel számítjuk ki:

r = \frac(S)(p) ,

ahol p = \frac(a + b + c)(2)

Circumcircle

Ha egy kör áthalad egy sokszög minden csúcsán, akkor egy ilyen kört általában hívnak sokszögről írták le.

Az ábra oldalainak merőleges felezőinek metszéspontjában lesz a körülírt kör középpontja.

A sugarat úgy kaphatjuk meg, hogy a sokszög bármely 3 csúcsával meghatározott háromszögre körülírt kör sugaraként számítjuk ki.

Ennek a feltétele a következő: egy kör csak akkor írható le egy négyszög körül, ha szemközti szögeinek összege 180^( \circ) .

\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^ (\circ)

Bármely háromszög körül leírhat egy kört, és csak egyet. Egy ilyen kör középpontja azon a ponton lesz, ahol a háromszög oldalainak merőleges felezői metszik egymást.

A körülírt kör sugara a következő képletekkel számítható ki:

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = \frac(abc)(4 S)

a, b, c a háromszög oldalainak hossza,

S a háromszög területe.

Ptolemaiosz tétele

Végül nézzük Ptolemaiosz tételét.

Ptolemaiosz tétele kimondja, hogy az átlók szorzata azonos egy ciklikus négyszög szemközti oldalainak szorzatával.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

Vegyünk egy iránytűt. Helyezzük az iránytű lábát egy tűvel az „O” pontba, és forgassuk el az iránytű lábát egy ceruzával e pont körül. Így zárt sort kapunk. Az ilyen zárt vonalat - kör.

Nézzük meg közelebbről a kört. Nézzük meg, mit nevezünk egy kör középpontjának, sugarának és átmérőjének.

• (·)O-t a kör középpontjának nevezzük.
• A kör középpontját és bármely pontját összekötő szakaszt nevezzük a kör sugara.
• A kör sugarát "R" betű jelöli. A fenti ábrán ez az „OA” szegmens. A kör két pontját összekötő és a középpontján áthaladó szakaszt nevezzük.

  a kör átmérője

  A kör átmérőjét „D” betű jelöli.

A fenti ábrán ez a „BC” szegmens.

Mielőtt kitalálná, hogyan kell kiszámítani egy kör kerületét, meg kell találnia, hogy mi az a π ("Pi") szám, amelyet oly gyakran emlegetnek az órákon.

Az ókorban az ókori görög matematikusok gondosan tanulmányozták a kört, és arra a következtetésre jutottak, hogy a kör hossza és átmérője összefügg egymással.

Emlékezik!

A kör kerületének és átmérőjének aránya minden körnél azonos, és a görög π ("Pi") betűvel jelöljük.
π ≈ 3,14…

A "Pi" szám olyan számokra vonatkozik, amelyek pontos értéke nem írható le sem közönséges törtekkel, sem tizedesjegyekkel. Számításainkhoz elegendő a π értéket használni,
századra kerekítveπ ≈ 3,14…

Most, ha tudjuk, mi a π szám, felírhatjuk a kerület képletét.

Emlékezik!

Körméret a π szám és a kör átmérőjének szorzata.
A kör kerületét a „C” betű jelzi (értsd: „Tse”). C=
π D C = 2π R

, mivel D = 2R

Hogyan találjuk meg a kör kerületét

A megszerzett tudás megszilárdítása érdekében oldjunk meg egy feladatot egy körön.

Vilenkin 6. osztály. 831-es szám

A feladat:

Határozzuk meg egy 24 cm sugarú kör kerületét. Kerekítsük a π számot a legközelebbi századra!

Használjuk a kerület képletét:

C = 2π R ≈ 2 3,14 24 ≈ 150,72 cm

Elemezzük az inverz problémát, amikor ismerjük egy kör kerületét, és meg kell találnunk az átmérőjét.

Vilenkin 6. osztály. 831-es szám

Vilenkin 6. osztály. 835-ös szám

Határozza meg a kör átmérőjét, ha hossza 56,52 dm!

(π ≈ 3,14). Adjuk meg az átmérőt a kör kerületének képletéből.
C=
πD D = C/π

D = 56,52 / 3,14 = 18

dm Akkord és körív Az alábbi ábrán jelöljön meg két pontot az „A” és „B” körön. Ezek a pontok a kört két részre osztják, amelyek mindegyikét ún ív.