Osztó törtek. Egyszerű és vegyes törtek szorzása különböző nevezőkkel
Hasonló nevezőt tartalmazó törtek hozzáadása
A törtek összeadásának két típusa van:
- Hasonló nevezőt tartalmazó törtek hozzáadása
- Különböző nevezőjű törtek összeadása
Először tanuljuk meg a hasonló nevezőkkel rendelkező törtek összeadását. Itt minden egyszerű. Az azonos nevezőjű törtek hozzáadásához hozzá kell adni a számlálóikat, és a nevezőt változatlanul kell hagyni. Például vegyük össze a törteket és a . Adja hozzá a számlálókat, és hagyja változatlanul a nevezőt:
Ez a példa könnyen érthető, ha a pizzára emlékezünk, amely négy részre oszlik. Ha pizzát adsz a pizzához, akkor pizzát kapsz:
2. példa Adjunk hozzá törteket és .
A válasz helytelen törtnek bizonyult. Amikor eljön a feladat vége, szokás megválni a helytelen törtektől. Ahhoz, hogy megszabaduljon egy nem megfelelő törttől, ki kell választania annak teljes részét. Esetünkben az egész rész könnyen elkülöníthető - kettő osztva kettővel egyenlő:
Ez a példa könnyen érthető, ha egy két részre osztott pizzára emlékezünk. Ha több pizzát adsz a pizzához, egy egész pizzát kapsz:
3. példa. Adjunk hozzá törteket és .
Ismét összeadjuk a számlálókat, és a nevezőt változatlanul hagyjuk:
Ez a példa könnyen érthető, ha a pizzára emlékezünk, amely három részre oszlik. Ha több pizzát adsz a pizzához, akkor pizzát kapsz:
4. példa Keresse meg egy kifejezés értékét 
Ez a példa pontosan ugyanúgy van megoldva, mint az előzőek. A számlálókat hozzá kell adni, a nevezőt pedig változatlanul kell hagyni:
Próbáljuk meg rajz segítségével ábrázolni a megoldásunkat. Ha pizzát ad hozzá egy pizzához, és több pizzát ad hozzá, 1 egész pizzát és még több pizzát kap.
Amint látja, nincs semmi bonyolult az azonos nevezőjű törtek összeadásában. Elég megérteni a következő szabályokat:
- Az azonos nevezőjű törtek hozzáadásához hozzá kell adni a számlálóikat, és a nevezőt változatlanul kell hagyni;
Különböző nevezőjű törtek összeadása
Most pedig tanuljuk meg, hogyan adjunk hozzá különböző nevezőkkel rendelkező törteket. Törtek összeadásakor a törtek nevezőinek azonosaknak kell lenniük. De nem mindig ugyanazok.
Például törtek adhatók hozzá, mert ugyanazok a nevezők.
De a törteket nem lehet azonnal összeadni, mivel ezeknek a törteknek más a nevezője. Ilyen esetekben a törteket ugyanarra a (közös) nevezőre kell csökkenteni.
Többféle módon is csökkenthetjük a törteket ugyanarra a nevezőre. Ma csak az egyiket nézzük meg, mivel a többi módszer bonyolultnak tűnhet egy kezdő számára.
Ennek a módszernek az a lényege, hogy először mindkét tört nevezőjének LCM-jét keressük. Az LCM-et ezután elosztjuk az első tört nevezőjével, hogy megkapjuk az első további tényezőt. Ugyanezt teszik a második törttel is - az LCM-et elosztják a második tört nevezőjével, és egy második további tényezőt kapnak.
A törtek számlálóit és nevezőit ezután megszorozzuk a további tényezőkkel. Ezen műveletek eredményeként a különböző nevezővel rendelkező törtek azonos nevezővel rendelkező törtekké alakulnak. És már tudjuk, hogyan kell ilyen törteket összeadni.
1. példa. Adjuk össze a törteket és
Először is megtaláljuk mindkét tört nevezőjének legkisebb közös többszörösét. Az első tört nevezője a 3, a másodiké pedig a 2. Ezeknek a számoknak a legkisebb közös többszöröse a 6
LCM (2 és 3) = 6
Most térjünk vissza a törtekhez és . Először ossza el az LCM-et az első tört nevezőjével, és kapja meg az első további tényezőt. Az LCM a 6-os szám, az első tört nevezője pedig a 3. A 6-ot elosztjuk 3-mal, 2-t kapunk.
A kapott 2-es szám az első további szorzó. Leírjuk az első törtre. Ehhez húzzon egy kis ferde vonalat a tört fölé, és írja fel a felette található további tényezőt:
Ugyanezt tesszük a második törttel is. Az LCM-et elosztjuk a második tört nevezőjével, és megkapjuk a második járulékos tényezőt. Az LCM a 6-os szám, a második tört nevezője pedig a 2. A 6-ot elosztva 2-vel, 3-at kapunk.
Az így kapott 3 a második további szorzó. Felírjuk a második törtre. Ismét húzunk egy kis ferde vonalat a második tört fölé, és felírjuk a felette talált további tényezőt:
Most már minden készen áll a kiegészítésre. Továbbra is meg kell szorozni a törtek számlálóit és nevezőit további tényezőkkel:
Nézd meg alaposan, mire jutottunk. Arra a következtetésre jutottunk, hogy a különböző nevezőjű törtek olyan törtekké alakultak, amelyeknek azonos nevezője volt. És már tudjuk, hogyan kell ilyen törteket összeadni. Vegyük ezt a példát a végére:
Ezzel teljes a példa. Kiderül hozzá .
Próbáljuk meg rajz segítségével ábrázolni a megoldásunkat. Ha pizzát adsz egy pizzához, akkor egy egész pizzát és egy pizza másik hatodát kapod:
A törtek ugyanarra a (közös) nevezőre való redukálása kép segítségével is ábrázolható. A törteket és a törteket közös nevezőre redukálva megkaptuk a és a törteket. Ezt a két frakciót ugyanazok a pizzadarabok képviselik. Az egyetlen különbség az lesz, hogy ezúttal egyenlő részekre osztják őket (azonos nevezőre csökkentve).
Az első rajz egy töredéket (hatból négy darabot), a második pedig egy törtet (hatból három darabot) ábrázol. Ezeket a darabokat összeadva (hatból hét darabot) kapunk. Ez a tört nem megfelelő, ezért a teljes részt kiemeltük. Ennek eredményeként kaptunk (egy egész pizza és egy másik hatodik pizza).
Kérjük, vegye figyelembe, hogy ezt a példát túl részletesen leírtuk. Az oktatási intézményekben nem szokás ilyen részletesen írni. Gyorsan meg kell találnia mindkét nevező és a hozzájuk tartozó további tényezők LCM-jét, valamint gyorsan meg kell szoroznia a talált további tényezőket a számlálóival és a nevezőivel. Ha iskolában lennénk, ezt a példát a következőképpen kellene leírnunk:
De az éremnek van egy másik oldala is. Ha a matematika tanulmányozásának első szakaszában nem készít részletes jegyzeteket, akkor ilyen jellegű kérdések kezdenek megjelenni. „Honnan jön ez a szám?”, „Miért válnak a törtek hirtelen teljesen más törtté? «.
A különböző nevezőkkel rendelkező törtek összeadásának megkönnyítése érdekében kövesse az alábbi lépésenkénti utasításokat:
- Keresse meg a törtek nevezőinek LCM-jét;
- Ossza el az LCM-et az egyes törtek nevezőjével, és kapjon további tényezőt minden törthez;
- Szorozzuk meg a törtek számlálóit és nevezőit további tényezőikkel;
- Adjon hozzá azonos nevezővel rendelkező törteket;
- Ha a válasz helytelen törtnek bizonyul, válassza ki a teljes részét;
2. példa Keresse meg egy kifejezés értékét 
.
Használjuk a fenti utasításokat.
1. lépés. Keresse meg a törtek nevezőinek LCM-jét
Keresse meg mindkét tört nevezőinek LCM-jét! A törtek nevezői a 2, 3 és 4 számok
2. lépés: Ossza el az LCM-et az egyes törtek nevezőjével, és kapjon további tényezőt minden törthez
Ossza el az LCM-et az első tört nevezőjével. Az LCM a 12-es szám, az első tört nevezője pedig a 2. A 12-t elosztjuk 2-vel, így 6-ot kapunk. Az első további 6-os tényezőt kaptuk. Az első tört fölé írjuk:
Most elosztjuk az LCM-et a második tört nevezőjével. Az LCM a 12-es szám, a második tört nevezője pedig a 3. A 12-t elosztjuk 3-mal, így 4-et kapunk. A második további 4-es tényezőt kapjuk. A második tört fölé írjuk:
Most elosztjuk az LCM-et a harmadik tört nevezőjével. Az LCM a 12-es szám, a harmadik tört nevezője pedig a 4. A 12-t elosztjuk 4-gyel, így 3-at kapunk. A harmadik további tényezőt 3-at kapjuk. A harmadik tört fölé írjuk:
3. lépés. Szorozzuk meg a törtek számlálóit és nevezőit további tényezőikkel
A számlálókat és a nevezőket megszorozzuk további tényezőikkel:
4. lépés: Adjon hozzá azonos nevezővel rendelkező törteket
Arra a következtetésre jutottunk, hogy a különböző nevezőjű törtek olyan törtekké alakultak, amelyeknek azonos (közös) nevezője volt. Már csak ezeket a törteket kell összeadni. Add hozzá:
Az összeadás nem fért egy sorba, ezért a fennmaradó kifejezést áthelyeztük a következő sorba. Ez a matematikában megengedett. Ha egy kifejezés nem fér el egy sorba, akkor a következő sorba kerül, és egyenlőségjelet (=) kell tenni az első sor végére és az új sor elejére. A második sorban lévő egyenlőségjel azt jelzi, hogy ez az első sorban lévő kifejezés folytatása.
5. lépés: Ha a válasz helytelen törtnek bizonyul, jelölje ki annak teljes részét
A válaszunk helytelen törtnek bizonyult. Ennek egy egész részét ki kell emelnünk. Kiemeljük:
Választ kaptunk
Hasonló nevezővel rendelkező törtek kivonása
A törtek kivonásának két típusa van:
- Hasonló nevezővel rendelkező törtek kivonása
- Különböző nevezőjű törtek kivonása
Először is, tanuljuk meg, hogyan kell kivonni a törteket hasonló nevezőkkel. Itt minden egyszerű. Ha egy törtből egy másikat szeretne kivonni, ki kell vonnia a második tört számlálóját az első tört számlálójából, de a nevezőt változatlannak kell hagynia.
Például keressük meg a kifejezés értékét. A példa megoldásához ki kell vonni a második tört számlálóját az első tört számlálójából, és a nevezőt változatlanul kell hagyni. Csináljuk:
Ez a példa könnyen érthető, ha a pizzára emlékezünk, amely négy részre oszlik. Ha pizzát vágsz ki egy pizzából, akkor pizzát kapsz:
2. példa Keresse meg a kifejezés értékét.
Ismét az első tört számlálójából vonja ki a második tört számlálóját, és hagyja változatlanul a nevezőt:
Ez a példa könnyen érthető, ha a pizzára emlékezünk, amely három részre oszlik. Ha pizzát vágsz ki egy pizzából, akkor pizzát kapsz:
3. példa Keresse meg egy kifejezés értékét 
Ez a példa pontosan ugyanúgy van megoldva, mint az előzőek. Az első tört számlálójából ki kell vonni a fennmaradó törtek számlálóit:
Amint látja, nincs semmi bonyolult az azonos nevezőjű törtek kivonásában. Elég megérteni a következő szabályokat:
- Ha egy törtből egy másikat szeretne kivonni, ki kell vonnia a második tört számlálóját az első tört számlálójából, és a nevezőt változatlanul kell hagynia;
- Ha a válasz helytelen törtnek bizonyul, akkor a teljes részt ki kell emelnie.
Különböző nevezőjű törtek kivonása
Például levonhat egy törtet a törtből, mert a törtek ugyanazokkal a nevezőkkel rendelkeznek. De nem lehet törtet kivonni a törtből, mivel ezeknek a törteknek más a nevezője. Ilyen esetekben a törteket ugyanarra a (közös) nevezőre kell redukálni.
A közös nevezőt ugyanazon az elv alapján találjuk meg, amelyet a különböző nevezőjű törtek összeadásakor használtunk. Először is keresse meg mindkét tört nevezőinek LCM-jét. Ezután az LCM-et elosztjuk az első tört nevezőjével, és megkapjuk az első további tényezőt, amelyet az első tört fölé írunk. Hasonlóképpen, az LCM-et elosztjuk a második tört nevezőjével, és egy második járulékos tényezőt kapunk, amelyet a második tört fölé írunk.
A törteket ezután megszorozzuk további tényezőikkel. E műveletek eredményeként a különböző nevezővel rendelkező törteket azonos nevezővel rendelkező törtekké alakítják át. És már tudjuk, hogyan kell kivonni az ilyen törteket.
1. példa Keresse meg a kifejezés jelentését:
Ezeknek a törteknek különböző nevezői vannak, ezért le kell redukálni őket ugyanarra a (közös) nevezőre.
Először megtaláljuk mindkét tört nevezőjének LCM-jét. Az első tört nevezője a 3, a másodiké pedig a 4. Ezeknek a számoknak a legkisebb közös többszöröse a 12
LCM (3 és 4) = 12
Most térjünk vissza a törtekhez és
Keressünk egy további tényezőt az első törthez. Ehhez el kell osztani az LCM-et az első tört nevezőjével. Az LCM a 12-es szám, az első tört nevezője pedig a 3. Oszd el a 12-t 3-mal, így 4-et kapunk. Írj négyest az első tört fölé!
Ugyanezt tesszük a második törttel is. Ossza el az LCM-et a második tört nevezőjével. Az LCM a 12-es szám, a második tört nevezője pedig a 4. Oszd el a 12-t 4-gyel, 3-at kapunk. Írj hármast a második tört fölé:
Most készen állunk a kivonásra. Továbbra is meg kell szorozni a törteket további tényezőikkel:
Arra a következtetésre jutottunk, hogy a különböző nevezőjű törtek olyan törtekké alakultak, amelyeknek azonos nevezője volt. És már tudjuk, hogyan kell kivonni az ilyen törteket. Vegyük ezt a példát a végére:
Választ kaptunk
Próbáljuk meg rajz segítségével ábrázolni a megoldásunkat. Ha pizzát vágsz egy pizzából, akkor pizzát kapsz
Ez a megoldás részletes változata. Ha iskolában lennénk, ezt a példát rövidebben kellene megoldanunk. Egy ilyen megoldás így nézne ki:
A törtek közös nevezőre való redukálása kép segítségével is ábrázolható. Ezeket a törteket közös nevezőre redukálva megkaptuk a és a törteket. Ezeket a törtrészeket ugyanazok a pizzaszeletek képviselik, de ezúttal egyenlő részekre osztják őket (azonos nevezőre csökkentve):
Az első képen egy töredék látható (nyolc darab a tizenkettőből), a második képen pedig egy töredék (három darab a tizenkettőből). Nyolc darabból három darabot levágva a tizenkettőből öt darabot kapunk. A tört ezt az öt darabot írja le.
2. példa Keresse meg egy kifejezés értékét 
Ezeknek a törteknek különböző nevezői vannak, ezért először le kell redukálni őket ugyanarra a (közös) nevezőre.
Keressük meg e törtek nevezőinek LCM-jét.
A törtek nevezői a 10, 3 és 5 számok. Ezeknek a számoknak a legkisebb közös többszöröse a 30
LCM(10;3;5) = 30
Most minden törthez további tényezőket találunk. Ehhez el kell osztani az LCM-et az egyes törtek nevezőjével.
Keressünk egy további tényezőt az első törthez. Az LCM a 30-as szám, az első tört nevezője pedig a 10. A 30-at elosztva 10-zel kapjuk az első további 3-as tényezőt. Az első tört fölé írjuk:
Most találunk egy további tényezőt a második törthez. Ossza el az LCM-et a második tört nevezőjével. Az LCM a 30-as szám, a második tört nevezője pedig a 3. A 30-at elosztva 3-mal kapjuk a második további 10-es tényezőt. A második tört fölé írjuk:
Most találunk egy további tényezőt a harmadik törthez. Ossza el az LCM-et a harmadik tört nevezőjével. Az LCM a 30-as szám, a harmadik tört nevezője pedig az 5. A 30-at elosztva 5-tel kapjuk a harmadik további 6-os tényezőt. A harmadik tört fölé írjuk:
Most minden készen áll a kivonásra. Továbbra is meg kell szorozni a törteket további tényezőikkel:
Arra a következtetésre jutottunk, hogy a különböző nevezőjű törtek olyan törtekké alakultak, amelyeknek azonos (közös) nevezője volt. És már tudjuk, hogyan kell kivonni az ilyen törteket. Fejezzük be ezt a példát.
A példa folytatása nem fog elférni egy sorba, ezért a folytatást áthelyezzük a következő sorba. Ne feledkezzünk meg az egyenlőségjelről (=) az új sorban:
A válasz szabályos törtnek bizonyult, és úgy tűnik, minden megfelel nekünk, de túl nehézkes és csúnya. Egyszerűbbé kellene tennünk. Mit lehet tenni? Lerövidítheti ezt a törtet.
A tört csökkentéséhez el kell osztani a számlálót és a nevezőt (GCD) a 20 és 30 számokkal.
Tehát megtaláljuk a 20 és 30 számok gcd-jét:
Most visszatérünk a példánkhoz, és elosztjuk a tört számlálóját és nevezőjét a talált gcd-vel, azaz 10-zel
Választ kaptunk
Tört szorzása számmal
Egy tört számmal való szorzásához meg kell szoroznia a tört számlálóját ezzel a számmal, és a nevezőt változatlanul kell hagynia.
1. példa. Szorozza meg a törtet 1-gyel.
Szorozzuk meg a tört számlálóját 1-gyel
A felvétel fele 1 idő alatt érthető. Például, ha egyszer pizzát veszel, akkor pizzát kapsz
A szorzás törvényeiből tudjuk, hogy ha a szorzót és a tényezőt felcseréljük, a szorzat nem változik. Ha a kifejezést így írjuk, akkor a szorzat továbbra is egyenlő lesz. Ismét működik az egész szám és a tört szorzásának szabálya:
Ez a jelölés úgy értelmezhető, hogy az egy felét veszi. Például, ha van 1 egész pizza és a felét kivesszük, akkor pizzánk lesz:
2. példa. Keresse meg egy kifejezés értékét
Szorozzuk meg a tört számlálóját 4-gyel
A válasz egy helytelen tört volt. Kiemeljük a teljes részt:
A kifejezés úgy értelmezhető, hogy 4-szer kétnegyedet vesz. Például, ha veszel 4 pizzát, akkor két egész pizzát kapsz
És ha felcseréljük a szorzót és a szorzót, akkor a kifejezést kapjuk. Ez is egyenlő lesz 2-vel. Ez a kifejezés úgy értelmezhető, hogy négy egész pizzából két pizzát veszünk:
A törttel szorzott szám és a tört nevezője akkor lesz feloldva, ha van egynél nagyobb közös tényező.
Például egy kifejezést kétféleképpen lehet kiértékelni.
Első út. Szorozzuk meg a 4-et a tört számlálójával, és hagyjuk változatlanul a tört nevezőjét:
Második út. A négy szorozva és a négy a tört nevezőjében csökkenthető. Ezek a négyesek csökkenthetők 4-gyel, mivel két négyes legnagyobb közös osztója maga a négy:
Ugyanazt az eredményt kaptuk 3. A négyesek csökkentése után új számok alakulnak ki helyettük: két egyes. De ha egyet megszorozunk hárommal, majd oszt eggyel, az nem változtat semmit. Ezért a megoldást röviden leírhatjuk:
A csökkentés akkor is elvégezhető, ha az első módszer alkalmazása mellett döntöttünk, de a 4-es szám és a 3-as számláló szorzásának szakaszában a csökkentés mellett döntöttünk:
De például a kifejezés csak az első módon számítható ki - szorozza meg 7-et a tört nevezőjével, és hagyja változatlanul a nevezőt:
Ez annak a ténynek köszönhető, hogy a 7-es számnak és a tört nevezőjének nincs egynél nagyobb közös osztója, és ennek megfelelően nem törlődnek.
Egyes tanulók tévedésből lerövidítik a szorzandó számot és a tört számlálóját. Ezt nem tudod megtenni. Például a következő bejegyzés helytelen:
A töredék csökkentése azt jelenti számlálót és nevezőt is osztva lesz ugyanazzal a számmal. A kifejezéssel kapcsolatos helyzetben az osztás csak a számlálóban történik, mivel ennek írása megegyezik az írással. Látjuk, hogy az osztás csak a számlálóban történik, a nevezőben nem történik osztás.
Törtek szorzása
A törtek szorzásához meg kell szorozni a számlálójukat és a nevezőiket. Ha a válasz helytelen törtnek bizonyul, ki kell emelnie a teljes részét.
1. példa Keresse meg a kifejezés értékét.
Választ kaptunk. Ezt a hányadot célszerű csökkenteni. A tört 2-vel csökkenthető. Ekkor a végső oldat a következő formát ölti:
A kifejezés úgy értelmezhető, hogy egy fél pizzából pizzát veszünk. Tegyük fel, hogy van egy fél pizza:
Hogyan lehet ebből a félből kivenni a kétharmadot? Először ezt a felét három egyenlő részre kell osztania:
És ebből a három darabból vegyél kettőt:
Pizzát készítünk. Ne feledje, hogyan néz ki a pizza három részre osztva:
Ebből a pizzából egy darab és az általunk vett két darab azonos méretű lesz:
Vagyis azonos méretű pizzáról beszélünk. Ezért a kifejezés értéke
2. példa. Keresse meg egy kifejezés értékét
Szorozzuk meg az első tört számlálóját a második tört számlálójával, az első tört nevezőjét pedig a második tört nevezőjével:
A válasz egy helytelen tört volt. Kiemeljük a teljes részt:
3. példa Keresse meg egy kifejezés értékét
Szorozzuk meg az első tört számlálóját a második tört számlálójával, az első tört nevezőjét pedig a második tört nevezőjével:
A válasz szabályos törtnek bizonyult, de jó lenne, ha lerövidítenék. Ennek a törtnek a csökkentéséhez el kell osztania ennek a törtnek a számlálóját és nevezőjét a 105 és 450 számok legnagyobb közös osztójával (GCD).
Tehát keressük meg a 105 és 450 számok gcd-jét:
Most elosztjuk a válaszunk számlálóját és nevezőjét a most megtalált gcd-vel, azaz 15-tel
Egész szám törtként való ábrázolása
Bármely egész szám ábrázolható törtként. Például az 5-ös szám ábrázolható . Ez nem fogja megváltoztatni az öt jelentését, mivel a kifejezés azt jelenti, hogy „az ötös szám osztva eggyel”, és ez, mint tudjuk, egyenlő öttel:
Reciprok számok
Most egy nagyon érdekes matematikai témával fogunk megismerkedni. Ezt "fordított számoknak" hívják.
Meghatározás. Fordítva a számhoza egy olyan szám, amelyet ha megszorozunka ad egyet.
Helyettesítsük be ezt a definíciót a változó helyett a az 5-ös számot, és próbálja meg elolvasni a definíciót:
Fordítva a számhoz 5 egy olyan szám, amelyet ha megszorozunk 5 ad egyet.
Lehet-e találni olyan számot, amelyet 5-tel megszorozva egyet adunk? Kiderül, hogy lehetséges. Képzeljük el az ötöt törtként:
Ezután szorozza meg ezt a törtet önmagával, csak cserélje fel a számlálót és a nevezőt. Más szóval, szorozzuk meg a törtet önmagával, csak fejjel lefelé:
Mi lesz ennek eredményeként? Ha folytatjuk a példa megoldását, egyet kapunk:
Ez azt jelenti, hogy az 5-ös szám inverze a szám, mivel ha 5-öt szorozunk, akkor egyet kapunk.
Egy szám reciproka bármely más egész számra is megtalálható.
Megtalálhatja bármely más tört reciprokát is. Ehhez csak fordítsa meg.
Tört elosztása számmal
Tegyük fel, hogy van egy fél pizza:
Osszuk el egyenlő arányban kettő között. Mennyi pizzát kap egy ember?
Látható, hogy a pizza fele felosztása után két egyenlő darabot kaptunk, amelyek mindegyike egy-egy pizzát alkot. Szóval mindenki kap egy pizzát.
Előbb vagy utóbb az iskolában minden gyerek elkezdi megtanulni a törteket: összeadásukat, osztásukat, szorzásukat és a törtekkel végrehajtható összes műveletet. Annak érdekében, hogy megfelelő segítséget nyújtsanak a gyermeknek, maguknak a szülőknek sem szabad elfelejteniük, hogyan kell az egész számokat törtekre osztani, különben semmilyen módon nem tud segíteni neki, hanem csak összezavarja. Ha emlékeznie kell erre a műveletre, de egyszerűen nem tudja egyetlen szabályba foglalni a fejében lévő összes információt, akkor ez a cikk segít: megtanulja, hogyan kell elosztani egy számot törttel, és világos példákat láthat.
Hogyan oszthatunk egy számot törtre
Írja le a példáját durva piszkozatként, hogy feljegyzéseket és törléseket készíthessen. Ne feledje, hogy az egész számot a cellák közé írjuk, közvetlenül a metszéspontjukba, a törtszámokat pedig mindegyik a saját cellájába.
- Ennél a módszernél a törtet fejjel lefelé kell fordítani, vagyis a nevezőt a számlálóba, a számlálót a nevezőbe kell írni.
- Az osztásjelet szorzásra kell módosítani.
- Most már csak a szorzást kell végrehajtani a már megtanult szabályok szerint: a számlálót megszorozzuk egy egész számmal, de a nevezőhöz nem nyúlunk.
Természetesen ennek a műveletnek az eredményeként a számlálóban nagyon nagy szám jelenik meg. Ebben az állapotban nem hagyhat egy töredéket - a tanár egyszerűen nem fogadja el ezt a választ. Csökkentse a törtet úgy, hogy a számlálót elosztja a nevezővel. Írja a kapott egész számot a cellák közepén lévő tört bal oldalára, és a maradék lesz az új számláló. A nevező változatlan marad.
Ez az algoritmus meglehetősen egyszerű, még egy gyermek számára is. Öt-hatszori elvégzése után a gyermek emlékezni fog az eljárásra, és bármilyen töredékre alkalmazni tudja.
Hogyan oszthatunk el egy számot tizedessel
Vannak más típusú törtek - tizedesjegyek. A rájuk való felosztás egészen más algoritmus szerint történik. Ha ilyen példával találkozik, kövesse az utasításokat:
- Először konvertálja mindkét számot tizedesjegyekké. Ez könnyen megtehető: az osztó már törtként van ábrázolva, és az osztandó természetes számot vesszővel választja el, így tizedes törtet kap. Azaz, ha az osztalék 5 volt, akkor az 5,0 törtet kapja. A számokat annyi számjeggyel kell elválasztani, amennyi a tizedesvessző és az osztó után van.
- Ezután mindkét tizedes törtből természetes számot kell készítenie. Elsőre kissé zavarónak tűnhet, de ez a leggyorsabb módja a felosztásnak, és néhány edzés után másodpercekbe telik. Az 5.0 törtből 50, a 6.23-ból 623 lesz.
- Végezze el a felosztást. Ha a számok nagyok, vagy az osztás maradékkal történik, akkor ezt egy oszlopban végezze el. Így tisztán láthatja a példa összes műveletét. Nem kell szándékosan vesszőt tenni, mert a hosszú osztás során automatikusan megjelenik.
Ez a fajta osztás kezdetben túlságosan zavarónak tűnik, mivel az osztót és az osztót törtté, majd vissza természetes számokká kell alakítani. De egy rövid gyakorlat után azonnal látni fogja azokat a számokat, amelyeket egyszerűen el kell osztania egymással.
Ne feledje, hogy a törtek és az egész számok helyes osztásának képessége sokszor jól jöhet az életben, ezért a gyermeknek tökéletesen ismernie kell ezeket a szabályokat és az egyszerű alapelveket, hogy a magasabb évfolyamokon ne váljon akadályokká, amelyek miatt a gyermek nem tud bonyolultabb feladatokat megoldani.
TANTÁRGY: Osztó törtek.
- A törtosztás szabályainak elsajátítása; Törtosztási alapkészségek kialakítása;
- törtekosztási alapkészségek fejlesztése az alapalgoritmus segítségével; A figyelem, a logikus gondolkodás fejlesztése;
- a tantárgy tanulása iránti érdeklődés és a csoportos munkavégzés képességének felkeltése.
TANTERV:
1. Szervezeti mozzanat.
2. Új szabályhoz vezető szóbeli munka.
3. A definíció bemutatása.
4. Az asszimiláció érdekében dolgozzon kártyákkal.
5. Fizikai gyakorlatok.
6. Szóbeli munka „találja meg a hibát”.
7. Tűzés: láncszámítások.
8. A lecke összegzése.
AZ ÓRÁK ALATT
1) Ma az órán, srácok, komoly munkát kell végeznünk. Kitartásra, vágyra, odafigyelésre, következetességre és korrektségre lesz szüksége a feladatok elvégzésében.
Szóbeli munka: írd be ennek a számnak a fordítottját:
2) Hogyan ellenőrizhető, hogy a szorzási művelet megfelelően történik-e? (Az osztás műveletével).
Nem tudjuk, hogyan oszlanak el a törtek. Ideje megismerkedni ezzel az új akcióval.
Az osztás és osztás néha nehézkes lehet, ezért maga a törtosztás művelete is különös figyelmet igényel.
Emlékezzünk vissza, mi az osztás, mint matematikai művelet? (a cselekvés fordítottja a szorzásnak; cselekvés, amikor az egyik tényezőt és a szorzatot egy másik tényező megtalálására használjuk).
Most együtt megpróbálunk egy olyan szabályt találni a törtek elosztására, amely új számunkra a következő probléma mérlegelésekor.
Most megoldásaink eltérnek egymástól.
Milyen javaslatai vannak ennek az egyenletnek a megoldására?
Először is tudjuk, hogyan lehet ilyen egyenleteket megoldani a reciprok számok fogalmával (elég az egyenlet mindkét oldalát megszorozni az X változó együtthatójának inverzével).
Másodszor, ismerjük az ismeretlen tényező megtalálásának standard szabályát (a szorzatot el kell osztani egy ismert tényezővel).
Tekintsük mindkét esetet:
Nézze meg figyelmesen a két eredményül kapott kifejezést, hogy megtalálja X értékét. Ezek ugyanarra a problémára adott válaszok, ami azt jelenti, hogy a válaszoknak azonosaknak kell lenniük. Az egyik esetben 7/6-tal szorozunk, a másikban 6/7-tel osztunk.
Azt találtuk, hogy 6/7-tel osztva ugyanazt a választ kapjuk, ha 7/6-tal szorozzuk. Ez azt jelenti, hogy a törtek osztásának jelentése az osztó reciproka szorzásához vezet. Ez nem egy véletlenszerű tulajdonság, amit észrevettünk.
Ismertesse meg az új szabályt a tankönyv 100. oldalán, ismételje meg többször, kérdezzen meg több tanulót emlékezetből.
3) A tanult szabály segítségével vegye figyelembe annak alkalmazását különböző példákban .
A gyerekek speciális kártyákat kapnak, amelyeket a tanárral együtt töltenek ki, megjegyzésekkel a helyről. Érdemes megfontolni egy tört törttel való osztását, a természetes szám törttel, a törteket pedig a természetes számmal, valamint a vegyes számok elosztását. Kitöltéskor a gyerekek újra elmondják a szabályt. A felosztás során három szakaszra kell különös figyelmet fordítani: az osztalék változatlan marad; az osztás helyébe szorzás lép; szorozzuk meg az osztó inverzével.
Osztály |
Alkalmazás |
Szabály |
Átalakítás |
||
| 5/7: 3/4 = | 5/7 * 4/3= | (5*4) / (7*3) = | 20/21 | 20/21 | |
| 5: 2/5 = | 5 * | ||||
| 7/8: 2 = | 7/8: 2/1= | 7/8 * | |||
| 4 1/2: 1 1/2= | 9/2: 3/2 = | 9/2 * |
A kártya hátoldalán három feladat található, amelyeket a gyerekek a kártya helyben történő kitöltése után oldanak meg, majd ellenőrizzék a megoldásokat és a kapott eredményeket.
DÖNTJ MAGAD |
| 1. 4/6: 3 = |
| 2. 8: 4/5 = |
| 3 . 1 2/3: 1 1/10 = |
4) Fizikai gyakorlatok végzése.
5) A definíció elsajátításának szakasza.
Nézzük meg, hogyan tanultad meg a mai szabályt, és derítsd ki, mennyire vagy figyelmes: „KERESD KI A HIBÁT”
6) Feladatok megoldása a tankönyvből: 619. sz. (a, b, d).
7) Csoportos munka. A gyerekek felváltva mennek a táblához, és leírják a példa megoldását.
8) Szép munka. Szép munka. Összefoglaljuk:
Mi újat tanultál ma az órán?
Hogyan osztják fel a törteket?
Mik azok a reciprok számok?
Otthon: 617. számú szabály.
Legutóbb megtanultuk, hogyan kell törteket összeadni és kivonni (lásd a „Törtek összeadása és kivonása”). Ezeknek az akcióknak a legnehezebb része az volt, hogy a törteket közös nevezőre hozzuk.
Itt az ideje, hogy foglalkozzunk a szorzással és az osztással. A jó hír az, hogy ezek a műveletek még az összeadásnál és kivonásnál is egyszerűbbek. Először nézzük a legegyszerűbb esetet, amikor két pozitív tört van elválasztott egész rész nélkül.
Két tört szorzásához külön kell szoroznia a számlálóikat és a nevezőit. Az első szám az új tört számlálója, a második pedig a nevező.
Két tört elosztásához meg kell szorozni az első törtet a „fordított” második törttel.
Kijelölés:
A definícióból az következik, hogy a törtek osztása szorzásra redukál. Tört „átforgatásához” csak cserélje fel a számlálót és a nevezőt. Ezért a leckében elsősorban a szorzást fogjuk figyelembe venni.
A szorzás eredményeként redukálható tört keletkezhet (és gyakran előfordul is) - természetesen csökkenteni kell. Ha az összes csökkentés után a tört helytelennek bizonyul, a teljes részt ki kell emelni. De ami a szorzással biztosan nem fog megtörténni, az a közös nevezőre való redukálás: nincsenek keresztmetszetek, a legnagyobb tényezők és a legkisebb közös többszörösek.
Értelemszerűen a következőkkel rendelkezünk:
Törtek szorzása egész részekkel és negatív törtekkel
Ha a törtek egész részt tartalmaznak, akkor azokat nem megfelelő részekre kell konvertálni - és csak ezután kell megszorozni a fent vázolt sémák szerint.
Ha egy tört számlálójában, a nevezőben vagy előtte mínusz van, akkor az a következő szabályok szerint kivehető a szorzásból vagy teljesen eltávolítható:
- Plusz mínuszra mínuszt ad;
- Két negatívum igenlővé tesz.
Ezekkel a szabályokkal eddig csak negatív törtek összeadásánál és kivonásánál találkoztunk, amikor az egész résztől meg kellett szabadulni. Egy mű esetében általánosíthatóak, hogy egyszerre több hátrányt is „égessenek”:
- Páronként áthúzzuk a negatívokat, amíg teljesen el nem tűnnek. Szélsőséges esetekben egy mínusz túlélhet - az, amelyikhez nem volt párja;
- Ha nem marad mínusz, a művelet befejeződött - elkezdheti a szorzást. Ha az utolsó mínusz nincs áthúzva, mert nem volt hozzá pár, akkor a szorzás határain kívülre vesszük. Az eredmény egy negatív tört.
Feladat. Keresse meg a kifejezés jelentését:
Az összes törtet helytelenné alakítjuk, majd kivesszük a mínuszokat a szorzásból. A maradékot a szokásos szabályok szerint megszorozzuk. Kapunk:
Hadd emlékeztesselek még egyszer arra, hogy a kiemelt egész részt tartalmazó tört előtt megjelenő mínusz kifejezetten a teljes törtre vonatkozik, és nem csak a teljes részére (ez az utolsó két példára vonatkozik).
Ügyeljünk a negatív számokra is: szorzáskor zárójelben szerepelnek. Ez azért történik, hogy a mínuszokat elkülönítsék a szorzójelektől, és a teljes jelölés pontosabb legyen.
Törtszámok csökkentése menet közben
A szorzás nagyon munkaigényes művelet. A számok itt elég nagynak bizonyulnak, és a probléma egyszerűsítése érdekében megpróbálhatja tovább csökkenteni a törtet szorzás előtt. Valójában a törtek számlálói és nevezői lényegében közönséges tényezők, ezért a tört alapvető tulajdonságával redukálhatók. Vessen egy pillantást a példákra:
Feladat. Keresse meg a kifejezés jelentését:
Értelemszerűen a következőkkel rendelkezünk:
Minden példában pirossal jelöljük a csökkentett számokat és a belőlük megmaradt számokat.
Kérjük, vegye figyelembe: az első esetben a szorzók teljes mértékben csökkentek. Helyükön olyan egységek maradnak, amelyeket általában véve nem kell írni. A második példában nem sikerült teljes csökkentést elérni, de a számítások összmennyisége így is csökkent.
Ezt a technikát azonban soha ne használja törtek összeadásakor és kivonásakor! Igen, néha vannak hasonló számok, amelyeket csak csökkenteni szeretne. Tessék, nézd:
Ezt nem teheted!
A hiba azért fordul elő, mert összeadáskor a tört számlálója összeget ad, nem pedig számok szorzatát. Következésképpen a tört alaptulajdonságát nem lehet alkalmazni, mivel ez a tulajdonság kifejezetten a számok szorzására vonatkozik.
Egyszerűen nincs más oka a törtek csökkentésének, így az előző probléma helyes megoldása így néz ki:
Helyes megoldás:
Mint látható, a helyes válasz nem volt olyan szép. Általában legyen óvatos.
Törtekkel mindent megtehet, az osztást is. Ez a cikk a közönséges törtek felosztását mutatja be. Meghatározásokat adunk, és példákat tárgyalunk. Foglalkozzunk részletesen a törtek természetes számokkal való osztásával és fordítva. A közönséges tört vegyes számmal való osztását tárgyaljuk.
Osztó törtek
Az osztás a szorzás inverze. Osztáskor az ismeretlen tényezőt egy másik tényező ismert szorzatával találjuk meg, ahol az adott jelentését közönséges törtekkel megőrizzük.
Ha el kell osztani egy a b közönséges törtet c d-vel, akkor egy ilyen szám meghatározásához meg kell szorozni a c d osztóval, ez végül a b osztót adja. Kapjunk egy számot, és írjuk fel a b · d c , ahol d c a c d szám inverze. Az egyenlőségek a szorzás tulajdonságaival írhatók fel, nevezetesen: a b · d c · c d = a b · d c · c d = a b · 1 = a b, ahol az a b · d c kifejezés a b és c d hányadosa.
Innen megkapjuk és megfogalmazzuk a közönséges törtek osztásának szabályát:
1. definíció
Egy a b közönséges tört c d-vel való osztásához meg kell szorozni az osztó hányadát az osztó reciprokával.
Írjuk fel a szabályt kifejezés formájában: a b: c d = a b · d c
Az osztás szabályai a szorzásra vezetnek le. Ahhoz, hogy ragaszkodjon hozzá, jól kell értenie a törtek szorzását.
Térjünk át a közönséges törtek felosztására.
1. példa
Osszuk el 9 7-et 5 3-mal. Írja az eredményt törtként!
Megoldás
Az 5 3 szám a 3 5 reciprok törtje. A közönséges törtek osztására vonatkozó szabályt kell használni. Ezt a kifejezést a következőképpen írjuk: 9 7: 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35.
Válasz: 9 7: 5 3 = 27 35 .
Ha a számláló nagyobb, mint a nevező, a törtek kicsinyítésekor válassza el a teljes részt.
2. példa
Oszd meg 8 15: 24 65. Írja a választ törtként!
Megoldás
A megoldáshoz osztásról szorzásra kell lépni. Írjuk fel a következő formában: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9
Csökkenteni kell, és ez a következőképpen történik: 8 65 15 24 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9
Válassza ki a teljes részt, és kapja meg a 13 9 = 1 4 9 értéket.
Válasz: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .
Rendkívüli tört elosztása természetes számmal
A tört természetes számmal való osztására azt a szabályt használjuk, hogy a b-t n természetes számmal osztjuk, csak a nevezőt kell megszorozni n-nel. Innen a következő kifejezést kapjuk: a b: n = a b · n.
Az osztási szabály a szorzási szabály következménye. Ezért, ha egy természetes számot törtként ábrázolunk, akkor egy ilyen típusú egyenlőséget adunk: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n.
Tekintsük ezt a tört számmal való osztását.
3. példa
A 16 45 törtet osszuk el 12-vel.
Megoldás
Alkalmazzuk a tört számmal való osztásának szabályát. 16 45: 12 = 16 45 · 12 alakú kifejezést kapunk.
Csökkentsük a törtet. 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135 kapjuk.
Válasz: 16 45: 12 = 4 135 .
Természetes szám elosztása törttel
Az osztási szabály hasonló O a természetes szám közönséges törttel való osztásának szabálya: ahhoz, hogy egy n természetes számot oszthassunk egy a b közönséges törttel, meg kell szorozni az n számot az a b tört reciprojával.
A szabály alapján n-ünk van: a b = n · b a, és a természetes szám közönséges törttel való szorzásának szabályának köszönhetően a kifejezésünket n formában kapjuk: a b = n · b a. Ezt a felosztást egy példával kell megvizsgálni.
4. példa
Osszuk el a 25-öt 15-28-cal.
Megoldás
Át kell lépnünk az osztásról a szorzásra. Írjuk fel a 25 kifejezés formájában: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15. Csökkentsük a törtet, és kapjuk meg az eredményt a 46 2 3 tört alakjában.
Válasz: 25: 15 28 = 46 2 3 .
Tört elosztása vegyes számmal
Ha egy közönséges törtet vegyes számmal oszt el, könnyen elkezdheti osztani a közönséges törteket. Egy vegyes számot hibás törtté kell konvertálnia.
5. példa
Osszuk el a 35 16 törtet 3 1 8-cal.
Megoldás
Mivel a 3 1 8 vegyes szám, ábrázoljuk helytelen törtként. Ekkor azt kapjuk, hogy 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8. Most osszuk el a törteket. 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10
Válasz: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .
Vegyes szám felosztása ugyanúgy történik, mint a közönséges számok.
Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt
Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete