Grafikus módszer egyenletrendszerek megoldására. Rendszerek grafikus megoldása

Tekintsük a következő egyenleteket:

1. 2*x + 3*y = 15;

2. x 2 + y 2 = 4;

4. 5*x 3 + y 2 = 8.

A fent bemutatott egyenletek mindegyike két változóból álló egyenlet. A koordinátasíkon azon pontok halmazát, amelyek koordinátái az egyenletet helyes numerikus egyenlőséggé alakítják, ún. egy egyenlet grafikonja két ismeretlenben.

Egyenlet ábrázolása két változóban

A kétváltozós egyenleteknek sokféle grafikonja van. Például a 2*x + 3*y = 15 egyenletnél a grafikon egy egyenes lesz, az x 2 + y 2 = 4 egyenletnél a grafikon egy 2 sugarú kör lesz, az y* egyenlet grafikonja x = 1 hiperbola lesz stb.

A két változós teljes egyenleteknek is van egy olyan fogalmuk, mint a fokozat. Ezt a fokot ugyanúgy határozzuk meg, mint egy teljes egyenlet esetében, egy változóval. Ehhez hozzuk az egyenletet olyan alakra, ahol a bal oldal a standard alak polinomja, a jobb oldala pedig nulla. Ez egyenértékű átalakításokkal történik.

Grafikus módszer egyenletrendszerek megoldására

Nézzük meg, hogyan lehet megoldani olyan egyenletrendszereket, amelyek két egyenletből állnak, két változóval. Tekintsünk egy grafikus módszert az ilyen rendszerek megoldására.

1. példa Oldja meg az egyenletrendszert:

(x 2 + y 2 = 25

(y = -x 2 + 2*x + 5.

Szerkesszük meg az első és a második egyenlet gráfját ugyanabban a koordinátarendszerben. Az első egyenlet grafikonja egy kör lesz, amelynek középpontja az origóban van, sugara pedig 5. A második egyenlet grafikonja egy parabola lesz, melynek ágai lefelé haladnak.

A grafikonok minden pontja kielégíti a saját egyenletét. Meg kell találnunk azokat a pontokat, amelyek mind az első, mind a második egyenletet kielégítik. Nyilvánvalóan ezek lesznek azok a pontok, ahol ez a két grafikon metszi egymást.

Rajzunk segítségével megtaláljuk azoknak a koordinátáknak a hozzávetőleges értékét, amelyeken ezek a pontok metszik egymást. A következő eredményeket kapjuk:

A(-2,2;-4,5), B(0;5), C(2,2;4,5), D(4,-3).

Ez azt jelenti, hogy egyenletrendszerünknek négy megoldása van.

x1 ≈ -2,2; y1 ≈ -4,5;

x2 ≈ 0; y2 ≈ 5;

x3 ≈ 2,2; y3 ≈ 4,5;

x4 ≈ 4, y4 ≈ -3.

Ha ezeket az értékeket behelyettesítjük rendszerünk egyenleteibe, láthatjuk, hogy az első és a harmadik megoldás közelítő, a második és a negyedik pedig pontos. A grafikus módszert gyakran használják a gyökerek számának és közelítő határainak becslésére. A megoldások gyakran inkább közelítőek, semmint pontosak.

A „Grafikus módszer az egyenletrendszerek megoldásához” című videólecke oktatási anyagokat mutat be a téma elsajátításához. Az anyag tartalmazza az egyenletrendszer megoldásának általános koncepcióját, valamint részletes magyarázatot egy példán keresztül egy egyenletrendszer grafikus megoldására.

A vizuális segédlet animációt használ a szerkezetek kényelmesebbé és érthetőbbé tétele érdekében, valamint különböző módokon kiemeli a fontos fogalmakat és részleteket az anyag mélyebb megértése és a jobb memorizálás érdekében.

A videóóra a téma bemutatásával kezdődik. Emlékeztetjük a tanulókat, hogy mi az egyenletrendszer, és milyen egyenletrendszereket ismertek már 7. osztályban. Korábban ax+by=c alakú egyenletrendszereket kellett megoldaniuk a tanulóknak. Az egyenletrendszerek megoldásának fogalmát elmélyítve és a megoldási képesség fejlesztése érdekében ez a videóóra egy olyan rendszer megoldását vizsgálja, amely két másodfokú egyenletből, valamint egy másodfokú és egy második fokú egyenletből áll. elsőfokú. Emlékeztetünk arra, hogy mi az egyenletrendszer megoldása. A képernyőn megjelenik egy rendszer megoldásának definíciója olyan változók értékpárjaként, amelyek megfordítják az egyenleteket, ha helyes egyenlőségre cserélik. A rendszermegoldás definíciójának megfelelően a feladat pontosításra kerül. Megjelenik a képernyőn, ne feledje, hogy egy rendszer megoldása megfelelő megoldások megtalálását vagy hiányuk bizonyítását jelenti.

Javasoljuk egy grafikus módszer elsajátítását egy bizonyos egyenletrendszer megoldására. Ennek a módszernek az alkalmazását az x 2 +y 2 =16 és y=-x 2 +2x+4 egyenletekből álló rendszer megoldásának példáján tekintjük át. A rendszer grafikus megoldása ezen egyenletek mindegyikének ábrázolásával kezdődik. Nyilvánvaló, hogy az x 2 + y 2 = 16 egyenlet grafikonja egy kör lesz. Az egyenlet megoldását az adott körhöz tartozó pontok jelentik. Az egyenlet mellett a koordinátasíkon egy 4 sugarú kört szerkesztünk, amelynek origója O középpontja. A második egyenlet grafikonja egy parabola, amelynek ágait leeresztjük. Ezt az egyenlet grafikonjának megfelelő parabolát a koordinátasíkon szerkesztjük. A parabolához tartozó bármely pont az y = -x 2 + 2x + 4 egyenlet megoldását jelenti. Elmagyarázzuk, hogy egy egyenletrendszer megoldása a gráf azon pontjai, amelyek egyszerre tartoznak mindkét egyenlet gráfjához. Ez azt jelenti, hogy a megszerkesztett gráfok metszéspontjai az egyenletrendszer megoldásai lesznek.

Meg kell jegyezni, hogy a grafikus módszer abból áll, hogy megtaláljuk a két grafikon metszéspontjában elhelyezkedő pontok koordinátáinak közelítő értékét, amelyek a rendszer egyes egyenleteinek megoldásait tükrözik. Az ábrán a két grafikon talált metszéspontjainak koordinátái láthatók: A, B, C, D[-2;-3,5]. Ezek a pontok egy grafikusan talált egyenletrendszer megoldásai. Ellenőrizheti helyességüket, ha behelyettesíti őket az egyenletbe, és igazságos egyenlőséget kap. Miután behelyettesítettük a pontokat az egyenletbe, jól látható, hogy a pontok egy része a megoldás pontos értékét adja meg, néhány pedig az egyenlet megoldásának közelítő értékét jelenti: x 1 = 0, y 1 = 4; x2 =2, y2 ≈3,5; x 3 ≈ 3,5, y 3 = -2; x 4 = -2, y 4 ≈-3,5.

Az oktatóvideó részletesen elmagyarázza az egyenletrendszer grafikus megoldásának lényegét és alkalmazását. Ez lehetővé teszi, hogy oktatóvideóként használja az iskolai algebra leckéken a téma tanulmányozásakor. Az anyag a tanulók számára is hasznos lesz az önálló tanuláshoz, és segíthet a téma elmagyarázásában a távoktatás során.

Vissza előre

Figyelem! A dia-előnézetek csak tájékoztató jellegűek, és nem feltétlenül képviselik a prezentáció összes jellemzőjét. Ha érdekli ez a munka, töltse le a teljes verziót.

Az óra céljai és céljai:

• folytassa a munkát az egyenletrendszerek grafikus módszerrel történő megoldásának készségeinek fejlesztésére;
• kutatásokat végezni és következtetéseket levonni egy két lineáris egyenletrendszer megoldásainak számáról;
• játékon keresztül fejleszti az érdeklődést a téma iránt.

AZ ÓRÁK ALATT

1. Szervezési pillanat (Tervezési értekezlet)- 2 perc.

- Jó napot! Megkezdjük hagyományos tervezési értekezletünket. Szeretettel várunk mindenkit, aki ma hozzánk látogat, laboratóriumunkban (én képviselem a vendégeket). Laboratóriumunk neve: „Érdeklődéssel és örömmel dolgozunk”(a 2. dia megjelenítése). A név mottóként szolgál munkánkban. „Alkoss, dönts, tanulj, érj el érdeklődéssel és örömmel" Kedves Vendégeink, bemutatom laboratóriumunk vezetőit (3. dia).
Laboratóriumunk tudományos munkák tanulmányozásával, kutatásával, vizsgálatával, kreatív projektek készítésével foglalkozik.
Mai beszélgetésünk témája: „Lineáris egyenletrendszerek grafikus megoldása”. (Javaslom, hogy írja le az óra témáját)

A nap programja:(4. dia)

1. Tervezési értekezlet
2. Bővített tudományos tanács:

• Beszédek a témában
• Engedély a munkához

3. Szakértelem
4. Kutatás és felfedezés
5. Kreatív projekt
6. Jelentés
7. Tervezés

2. Kikérdezés és szóbeli munka (bővített tudományos tanács)- 10 perc.

– Ma kibővített tudományos tanácsot tartunk, amelyen nemcsak tanszékvezetők, hanem csapatunk minden tagja részt vesz. A laboratórium éppen most kezdte el a munkát a „Lineáris egyenletrendszerek grafikus megoldása” témában. Meg kell próbálnunk a legmagasabb eredményeket elérni ebben a kérdésben. Laboratóriumunknak híresnek kell lennie a témában végzett kutatásainak minőségéről. Mint tudományos főmunkatárs mindenkinek sok sikert kívánok!

A kutatás eredményeiről a laboratórium vezetőjét jelentjük.

Az egyenletrendszerek megoldásáról szóló beszámolóhoz a szó... (hívom a diákot a táblához). Feladatot adok a feladatnak (1. kártya).

És a laboráns... (megadom a vezetéknevét) emlékeztetni fogja, hogyan kell függvényt modulussal ábrázolni. Adom a 2-es kártyát.

1. kártya(a feladat megoldása a 7. dián)

Oldja meg az egyenletrendszert:

2. kártya(a feladat megoldása a 9. dián)

Ábrázolja a függvényt: y = | 1,5x – 3 |

Amíg a munkatársak a jelentésre készülnek, ellenőrizni fogom, mennyire vagy felkészülve a kutatás befejezésére. Mindenkinek engedélyt kell szereznie a munkához. (A szóbeli számlálást a válaszok jegyzetfüzetbe írásával kezdjük)

Engedély a munkához(feladatok az 5. és 6. dián)

1) Expressz nál nél keresztül x:

3x + y = 4 (y = 4 - 3x)
5x – y = 2 (y = 5x – 2)
1/2 év – x = 7 (y = 2x + 14)
2x + 1/3 év – 1 = 0 (y = – 6x + 3)

2) Oldja meg az egyenletet:

5x + 2 = 0 (x = – 2/5)
4x – 3 = 0 (x = 3/4)
2 – 3x = 0 (x = 2/3)
1/3x + 4 = 0 (x = -12)

3) Adott egyenletrendszer:

A (– 1; 1) vagy (1; – 1) számpárok közül melyik a megoldása ennek az egyenletrendszernek?

Válasz: (1; – 1)

Közvetlenül a szóbeli számítás minden egyes töredéke után a tanulók füzeteket cserélnek (ahol egy diák ül mellettük ugyanabban a részben), a helyes válaszok megjelennek a diákon; Az ellenőr ad pluszt vagy mínuszt. A munka végén az osztályvezetők beírják az eredményeket az összesítő táblázatba (lásd alább); Példánként 1 pont jár (9 pontot lehet kapni).
Az 5 vagy több pontot elérők dolgozhatnak. A többiek feltételes felvételt kapnak, pl. osztályvezető felügyelete mellett kell dolgoznia.

Táblázat (a főnök tölti ki)

(A táblázatokat az óra kezdete előtt adjuk ki)

A felvételi után meghallgatjuk a tanulók válaszait a táblánál. A válaszért a hallgató teljes válasz esetén 9 pontot (a felvételi maximális szám), 4 pontot kap, ha a válasz nem teljes. A pontokat a „felvételi” oszlopba kell beírni.
Ha a táblán a megoldás helyes, akkor a 7. és 9. diát nem kell bemutatni. Ha a megoldás helyes, de nem egyértelműen kivitelezett, vagy a megoldás hibás, akkor a diákat magyarázatokkal együtt kell bemutatni.
Mindig megmutatom a 8. diát a tanuló válasza után az 1. kártyán. Ezen a dián a következtetések fontosak az óra szempontjából.

Algoritmus rendszerek grafikus megoldásához:

• Fejezd ki y-t x-szel a rendszer minden egyenletében.
• Ábrázolja a rendszer minden egyenletét!
• Keresse meg a grafikonok metszéspontjainak koordinátáit!
• Végezzen ellenőrzést (felhívom a tanulók figyelmét, hogy a grafikus módszer általában közelítő megoldást ad, de ha a grafikonok metszéspontja egy teljes koordinátájú pontot érint, akkor ellenőrizheti és pontos választ kaphat).
• Írd le a választ.

3. Gyakorlatok (vizsga)- 5 perc.

Tegnap súlyos hibákat követtek el egyes alkalmazottak munkájában. Ma már kompetensebb a grafikai megoldások terén. Felkérjük, hogy vizsgálja meg a javasolt megoldásokat, pl. hibákat találni a megoldásokban. A 10. dia látható.
Az osztályokon folyik a munka. (A hibás feladatokról minden asztalra fénymásolatot adunk; osztályonként a dolgozóknak meg kell találniuk a hibákat és ki kell emelniük vagy javítaniuk kell; a fénymásolatokat át kell adni a tudományos főmunkatársnak, azaz tanárnak). A főnök 2 pontot ad azoknak, akik megtalálják és kijavítják a hibát. Ezután megbeszéljük az elkövetett hibákat, és jelezzük a 10. dián.

1. hiba

Oldja meg az egyenletrendszert:

Válasz: nincsenek megoldások.

A tanulóknak addig kell folytatniuk a vonalakat, amíg nem metszik egymást, és megkapják a választ: (– 2; 1).

2. hiba.

Oldja meg az egyenletrendszert:

Válasz: (1; 4).

A tanulóknak meg kell találniuk a hibát az első egyenlet transzformációjában, és ki kell javítaniuk a kész rajzon. Másik válasz: (2; 5).

4. Új anyag magyarázata (Kutatás és felfedezés)– 12 perc.

Javaslom, hogy a hallgatók három rendszert oldjanak meg grafikusan. Minden tanuló önállóan old meg füzetben. Csak a feltételes engedéllyel rendelkezők konzultálhatnak.

Megoldás

Grafikonok rajzolása nélkül egyértelmű, hogy az egyenesek egybeesnek.

A 11. dia a rendszermegoldást mutatja be; Várhatóan nehézséget okoz a tanulóknak a 3. példában szereplő válasz lejegyzése. A tanszékeken végzett munka után ellenőrizzük a megoldást (a főnök 2 pontot ad a helyes válaszért). Itt az ideje, hogy megvitassuk, hány megoldása lehet egy két lineáris egyenletrendszernek.
A tanulóknak önállóan kell következtetéseket levonniuk és elmagyarázniuk, felsorolva az egyenesek egymáshoz viszonyított helyzetének eseteit egy síkon (12. dia).

5. Kreatív projekt (gyakorlatok)– 12 perc.

A feladatot a tanszék kapja. A főnök képességei szerint minden laboránsnak ad egy töredéket teljesítményéből.

Egyenletrendszerek grafikus megoldása:

A zárójelek kinyitása után a tanulók megkapják a rendszert:

A zárójelek kinyitása után az első egyenlet így néz ki: y = 2/3x + 4.

6. Jelentés (a feladat teljesítésének ellenőrzése)- 2 perc.

A kreatív projekt befejezése után a tanulók felforgatják a füzeteiket. A 13. dián megmutatom, minek kellett volna történnie. A főnökök átadják az asztalt. Az utolsó oszlopot a tanár tölti ki és jelöli meg (az érdemjegyeket a következő órán közölhetjük a tanulókkal). A projektben az első rendszer megoldását három ponttal, a másodikat pedig négy ponttal értékelik.

7. Tervezés (összegzés és házi feladat)- 2 perc.

Foglaljuk össze munkánkat. Jó munkát végeztünk. A holnapi tervezési értekezleten konkrétan az eredményekről fogunk beszélni. Természetesen kivétel nélkül minden laboráns elsajátította az egyenletrendszerek grafikus megoldását, és megtanulta, hogy egy rendszernek hány megoldása lehet. Holnap mindegyikőtöknek lesz egy személyes projektje. További előkészítés: 36. bekezdés; 647-649 (2); ismételje meg az analitikai módszereket a rendszerek megoldására. 649. (2) bekezdése alapján, és analitikusan oldja meg.

Munkánkat egész nap a laboratórium igazgatója, Nouman Nou Manovich felügyelte. Őé a szó. (Az utolsó dia megjelenítése).

Hozzávetőleges osztályozási skála

Ebben a leckében két egyenletrendszer két változóban történő megoldását vizsgáljuk meg. Először nézzük meg egy két lineáris egyenletrendszer grafikus megoldását és a grafikonjaik halmazának sajátosságait. Ezután több rendszert fogunk megoldani grafikus módszerrel.

Témakör: Egyenletrendszerek

Lecke: Grafikus módszer egyenletrendszer megoldására

Fontolja meg a rendszert

Az a számpár, amely egyszerre megoldása a rendszer első és második egyenletének is, ún. egyenletrendszer megoldása.

Egy egyenletrendszer megoldása azt jelenti, hogy megtaláljuk az összes megoldását, vagy megállapítjuk, hogy nincsenek megoldások. Megnéztük az alapegyenletek grafikonjait, térjünk át a rendszerek figyelembevételére.

Példa 1. Oldja meg a rendszert

Megoldás:

Ezek lineáris egyenletek, mindegyik grafikonja egy egyenes. Az első egyenlet grafikonja átmegy a (0; 1) és (-1; 0) pontokon. A második egyenlet grafikonja átmegy a (0; -1) és (-1; 0) pontokon. Az egyenesek a (-1; 0) pontban metszik egymást, ez az egyenletrendszer megoldása ( Rizs. 1).

A rendszer megoldása egy számpár. Ezt a számpárt minden egyenletbe behelyettesítve megkapjuk a helyes egyenlőséget.

Egyedülálló megoldást kaptunk a lineáris rendszerre.

Emlékezzünk vissza, hogy a lineáris rendszer megoldása során a következő esetek lehetségesek:

a rendszernek egyedi megoldása van - a vonalak metszik egymást,

a rendszernek nincs megoldása - a vonalak párhuzamosak,

a rendszernek végtelen számú megoldása van – az egyenesek egybeesnek.

A rendszer egy speciális esetét vizsgáltuk, amikor p(x; y) és q(x; y) x és y lineáris kifejezései.

2. példa Egyenletrendszer megoldása

Megoldás:

Az első egyenlet grafikonja egy egyenes, a második egyenlet grafikonja egy kör. Építsük fel az első gráfot pontok szerint (2. ábra).

A kör középpontja az O(0; 0) pontban van, sugara 1.

A grafikonok az A(0; 1) pontban és a B(-1; 0) pontban metszik egymást.

Példa 3. Oldja meg a rendszert grafikusan

Megoldás: Készítsük el az első egyenlet grafikonját - ez egy kör, amelynek középpontja t.O(0; 0) és sugara 2. A második egyenlet grafikonja egy parabola. Az origóhoz képest 2-vel felfelé tolódik, azaz. csúcsa a (0; 2) pont (3. ábra).

A grafikonoknak van egy közös pontja - az A(0; 2). Ez a megoldás a rendszerre. Csatlakoztassunk néhány számot az egyenlethez, hogy ellenőrizzük, helyes-e.

Példa 4. Oldja meg a rendszert

Megoldás: Szerkesszük meg az első egyenlet grafikonját - ez egy kör, amelynek középpontja t.O(0; 0) és sugara 1 (4. ábra).

Ábrázoljuk a függvényt Ez egy szaggatott vonal (5. ábra).

Most mozgassuk 1-el lefelé az oy tengely mentén. Ez lesz a függvény grafikonja

Helyezzük mindkét grafikont ugyanabba a koordinátarendszerbe (6. ábra).

Három metszéspontot kapunk - A(1; 0), B(-1; 0), C(0; -1) pont.

Megnéztük a grafikus módszert a rendszerek megoldására. Ha minden egyenlet grafikonját meg tudja rajzolni, és megtalálja a metszéspontok koordinátáit, akkor ez a módszer teljesen elegendő.

De gyakran a grafikus módszer lehetővé teszi a rendszer hozzávetőleges megoldásának megtalálását vagy a megoldások számával kapcsolatos kérdés megválaszolását. Ezért más, pontosabb módszerekre van szükség, amelyekkel a következő leckékben foglalkozunk.

1. Mordkovich A.G. és mások Algebra 9. évfolyam: Tankönyv. Általános műveltségre Intézmények.- 4. sz. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 p.: ill.

2. Mordkovich A.G. és mások Algebra 9. évfolyam: Problémakönyv általános oktatási intézmények tanulói számára / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina stb. - 4. kiad. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: ill.

3. Makarychev Yu N. Algebra. 9. évfolyam: oktatási. általános iskolai tanulók számára. intézmények / Yu N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. — 7. kiadás, rev. és további - M.: Mnemosyne, 2008.

4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. Algebra. 9. osztály. 16. kiadás - M., 2011. - 287 p.

5. Mordkovich A. G. Algebra. 9. osztály. 2 órában 1. rész. Tankönyv általános oktatási intézmények tanulói számára / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. — 12. kiadás, törölve. - M.: 2010. - 224 p.: ill.

6. Algebra. 9. osztály. 2 részben 2. rész Problémakönyv általános oktatási intézmények tanulói számára / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina és mások; Szerk. A. G. Mordkovich. — 12. kiadás, rev. - M.: 2010.-223 p.: ill.

1. College.ru matematika rész ().

2. „Feladatok” internetes projekt ().

3. „MEGOLDOM az egységes államvizsgát” oktatási portál ().

1. Mordkovich A.G. és mások Algebra 9. évfolyam: Problémakönyv általános oktatási intézmények tanulói számára / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina stb. - 4. kiad. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: ill. 105., 107., 114., 115. sz.