Ezzel a matematikai programmal két változós lineáris egyenletrendszert lehet megoldani helyettesítési és összeadásos módszerrel.

A program nem csak a problémára ad választ, hanem részletes megoldást is ad a megoldási lépések magyarázatával kétféle módon: helyettesítési és összeadási módszerrel.

Ez a program hasznos lehet az általános iskolákban tanuló középiskolásoknak a tesztekre, vizsgákra való felkészüléskor, az Egységes Államvizsga előtti tudásfelmérésekor, a szülőknek pedig számos matematikai és algebrai feladat megoldásának kézben tartásához. Vagy talán túl drága önnek oktatót felvenni vagy új tankönyveket vásárolni? Vagy csak a matematikai vagy algebrai házi feladatot szeretné a lehető leggyorsabban elvégezni? Ebben az esetben részletes megoldásokkal is használhatja programjainkat.

Így Ön saját képzést és/vagy öccsei képzését tudja lebonyolítani, miközben a problémamegoldás területén a képzettség növekszik.

Az egyenletek bevitelének szabályai

Bármely latin betű működhet változóként.
Például: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) stb.

Egyenletek beírásakor használhat zárójelet. Ebben az esetben először az egyenleteket egyszerűsítjük. Az egyszerűsítések utáni egyenleteknek lineárisnak kell lenniük, pl. az ax+by+c=0 alakú elemsorrend pontosságával.
Például: 6x+1 = 5(x+y)+2

Az egyenletekben nemcsak egész számokat, hanem törteket is használhat tizedesjegyek és közönséges törtek formájában.

A tizedes törtek bevitelének szabályai.
A tizedes tört egész és tört részeit ponttal vagy vesszővel lehet elválasztani.
Például: 2,1n + 3,5m = 55

A közönséges törtek bevitelének szabályai.
Csak egy egész szám lehet tört számlálója, nevezője és egész része.
A nevező nem lehet negatív.
Törtszám beírásakor a számlálót osztásjel választja el a nevezőtől: /
A teljes részt az és jel választja el a törttől: &

Példák.
-1 és 2/3 év + 5/3x = 55
2,1 p + 55 = -2/7 (3,5 p - 2 és 1/8q)

Egyenletrendszer megoldása

Kiderült, hogy a probléma megoldásához szükséges néhány szkript nem lett betöltve, és előfordulhat, hogy a program nem működik.
Lehetséges, hogy az AdBlock engedélyezve van.
Ebben az esetben kapcsolja ki, és frissítse az oldalt.

A JavaScript le van tiltva a böngészőjében.
A megoldás megjelenítéséhez engedélyeznie kell a JavaScriptet.
Íme a JavaScript engedélyezése a böngészőben.

Mert Nagyon sokan vannak, akik hajlandóak megoldani a problémát, kérései sorba kerültek.
Néhány másodperc múlva megjelenik a megoldás lent.
Kérlek várj mp...

Ha te hibát észlelt a megoldásban, akkor erről írhatsz a Visszajelzési űrlapon.
Ne felejtsd el jelezze, melyik feladatot te döntöd el, mit írja be a mezőkbe.

Játékaink, rejtvényeink, emulátoraink:

Egy kis elmélet.

Lineáris egyenletrendszerek megoldása. Helyettesítő módszer

A műveletsor a lineáris egyenletrendszer helyettesítési módszerrel történő megoldása során:
1) a rendszer valamely egyenletéből egy változót egy másikkal kifejezve;
2) a kapott kifejezést e változó helyett a rendszer egy másik egyenletébe cserélje be;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

Fejezzük ki y-t x-szel az első egyenletből: y = 7-3x. A második egyenletbe y helyett a 7-3x kifejezést behelyettesítve a rendszert kapjuk:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$

Könnyen kimutatható, hogy az első és a második rendszerben ugyanaz a megoldás. A második rendszerben a második egyenlet csak egy változót tartalmaz. Oldjuk meg ezt az egyenletet:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Jobbra -5x+14-6x=3 \Jobbra -11x=-11 \Jobbra x=1 $$

Az y=7-3x egyenlőségbe x helyett az 1-et behelyettesítve megkapjuk az y megfelelő értékét:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Pár (1;4) - a rendszer megoldása

A két változóból álló egyenletrendszereket, amelyeknek ugyanaz a megoldása, nevezzük egyenértékű. A megoldásokkal nem rendelkező rendszerek is egyenértékűnek minősülnek.

Lineáris egyenletrendszerek megoldása összeadással

Nézzük meg a lineáris egyenletrendszerek megoldásának egy másik módját - az összeadás módszerét. A rendszerek ilyen módon történő megoldásakor, valamint a helyettesítéssel történő megoldáskor ebből a rendszerből egy másik, ekvivalens rendszerbe lépünk át, amelyben az egyik egyenlet csak egy változót tartalmaz.

A műveletsor a lineáris egyenletrendszer összeadási módszerrel történő megoldása során:
1) szorozzuk meg a rendszer egyenleteit tagonként, olyan tényezőket választva, hogy az egyik változó együtthatói ellentétes számokká váljanak;
2) adja hozzá a rendszeregyenletek bal és jobb oldalát tagonként;
3) oldja meg a kapott egyenletet egy változóval;
4) keresse meg a második változó megfelelő értékét.

Példa. Oldjuk meg az egyenletrendszert:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

Ennek a rendszernek az egyenleteiben az y együtthatói ellentétes számok. Az egyenletek bal és jobb oldalát tagonként összeadva egy 3x=33 változós egyenletet kapunk. Cseréljük le a rendszer egyik egyenletét, például az elsőt, a 3x=33 egyenlettel. Vegyük a rendszert
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

A 3x=33 egyenletből azt kapjuk, hogy x=11. Ezt az x értéket az \(x-3y=38\) egyenletbe behelyettesítve egy y változóval rendelkező egyenletet kapunk: \(11-3y=38\). Oldjuk meg ezt az egyenletet:
\(-3y=27 \Jobbra y=-9 \)

Így az egyenletrendszer megoldását összeadással találtuk meg: \(x=11; y=-9\) vagy \((11;-9)\)

Kihasználva azt a tényt, hogy a rendszer egyenleteiben az y együtthatók ellentétes számok, megoldását egy ekvivalens rendszer megoldására redukáltuk (az eredeti rendszer egyenleteinek mindkét oldalát összegezve), amelyben az egyik az egyenletek közül csak egy változót tartalmaz.

Könyvek (tankönyvek) Az egységes államvizsga és az egységes államvizsga online tesztek kivonata Játékok, rejtvények Funkciógrafikonok rajzolása Orosz nyelv helyesírási szótára Ifjúsági szlengszótár Orosz iskolák katalógusa Oroszország középfokú oktatási intézményeinek katalógusa Orosz egyetemek katalógusa feladatokról

A matematikában a legtöbb probléma egy változót tartalmazó standard egyenletek megoldására irányul. Néha két vagy több egyenletrendszert használnak, amely két vagy több változót is tartalmazhat.

Azonban vizsgáljunk meg egy külön egyenletet, amely a numerikus kifejezéseken kívül két ismeretlen absztrakt kifejezést is tartalmaz. Például:

Minden ilyen egyenletet kétváltozós egyenletnek nevezünk. Egy ilyen egyenlet megoldása egy x és y értékpár, így a teljes kifejezés egy ekvivalens helyes egyenlőséggé alakul. A következő értékeket használjuk a változókhoz:

Az egyenletünkbe behelyettesítve a helyes egyenlőséget kapjuk:

(2) 2 + 2(1) = 6

Így a (2, 1) számpár az egyenlet megoldása.

x2 + 2y = 6. Vegye figyelembe, hogy megoldás írásakor a változók értékeit zárójelben kell megadni, vesszővel elválasztva, először az x értéket írva (ez nem szigorú, de jóváhagyott).

Az első példát a kiválasztási módszerrel megoldva könnyen találhatunk másik pár megoldást - például a (4, -5) értékeket fogjuk használni:

(4) 2 + 2(-5) = 6

A számpár helyes egyenlőséggé alakította az egyenletet, ami azt jelenti, hogy ennek az egyenletnek a megoldásának is megfelel.

Amint a videóleckéből is megérthető, egy kétváltozós egyenletnek sok megoldása, pontosabban sok számpárja van, amelyek megfelelnek a helyes válasz kritériumainak. Alakítsuk át az első egyenletet a következőképpen. Osszuk el az egyenlet minden oldalát 2-vel:

0,5x2 + y = 3

y = 3 - 0,5x2

Az így kapott y = 3 - 0,5x2 kifejezés nem más, mint egy függvény – az egyik változó függése a másodiktól. Más szavakkal:

y = 3 - 0,5x2

f(x) = 3 - 0,5x2

Ahogy a függvények alapjairól szóló videóleckékből emlékszünk, minden függőséget három elem jellemez: bizonyos kezdeti argumentumok halmaza, konverziós képlet és kapott értékek halmaza. Egyenletünkben az összes valós megoldás halmazát x és y értékpárok jelentik - vagyis a függvény mindkét halmazának páros elemei. Ebben az esetben maga az egyenlet az első és a második változó közötti kapcsolat kifejezése.
Ezenkívül az y = 3 - 0,5x 2 kifejezés pontosan ugyanazokat a megoldáspárokat tartalmazza, mint az x 2 + 2y = 6 - ezért ezeket az egyenleteket ekvivalensnek nevezzük. Egyenértékű egyenleteket kapunk a következő esetekben:

1. A kifejezések átvitele során (figyelembe véve az előjel megfordítását) az egyenlőség egyik részéből a másikba;
2. Különféle azonos átalakítások alatt, amelyek nem változtatják meg az egyenlőség jelentését;
3. Ha egy egyenlet mindkét oldalát egyidejűleg ugyanazzal az együtthatóval szorozzuk vagy osztjuk;

Fontos megérteni, hogy az egyenlet különféle átalakításai során nem torzíthatja el egyik változó definíciós tartományát sem. A legtöbb identitástranszformáció az x vagy y halmazt változatlanul tartja, de vannak kellemetlen kivételek. Tekintsük ezt a példát:

y = x(2/(x) + 4)

Ennek az egyenletnek a megoldásához logikusabb lenne a zárójeleket kinyitni: egy teljesen azonos transzformációt végrehajtani, amely szinte soha nem érinti a változók definíciós tartományát. De ebben az esetben a zárójelek kinyitása nem lesz azonos jelenség. Az eredeti változatban a bemutatott egyenletnek sok x megoldása van, az x = 0 kivételével, mivel ezzel az értékkel a 2/x monomiális értelmét veszti a teljes egyenlettel együtt. Ha kinyitjuk a zárójeleket, a következőket kapjuk:

y = x(2/(x) + 4) = 2x/x + 4x = 2 + 4x

Amint az könnyen belátható, az új egyenletben x definíciós tartománya végtelen, benne x = 0. Azaz x értékkészlete megváltozott, az egyenlet nem ekvivalens az adott példával. Az ilyen gyakorlatokat azonban gyakran hétköznapi átalakításokkal oldják meg. Csak egy helyettesítési ellenőrzést kell végrehajtania, hogy kiküszöbölje az egyenlet érvénytelen megoldásait.

A kétváltozós egyenletek túlnyomó többségét analitikai függőségekké alakítják, ami után az x tetszőleges két értékét behelyettesítik, és így az x és y megoldáspárt számítják ki. Ugyanakkor maguk a megoldások általában végtelen számúak. De vannak apró kivételek is – amikor egy pont kiesik a változó definíciójának hatóköréből. Néhány két ismeretlent tartalmazó egyenletnek csak egy megoldása van, például az x 2 + y 2 = 0 kifejezésnek csak egy gyökpárja van - (0, 0). Az x 2 + y 2 = -1 alakú egyenletnek pedig egyáltalán nincs valódi megoldása. Ugyanez igaz minden hasonló, negatív számokkal egyenlő egyenletre – elvégre a négyzetek, akárcsak az összegeik, elvileg nem adhatnak negatív értéket.

A lineáris egyenletrendszer több lineáris egyenlet együttes figyelembevétele.

Egy rendszernek tetszőleges számú egyenlete lehet tetszőleges számú ismeretlennel.

Az egyenletrendszer megoldása olyan ismeretlen értékek halmaza, amely kielégíti a rendszer összes egyenletét, azaz azonosságokká alakítja azokat.

Egy olyan rendszert, amelynek van megoldása, konzisztensnek nevezzük.

A rendszer megoldására különféle módszereket alkalmaznak.

Hadd
(az egyenletek száma egyenlő az ismeretlenek számával).

Cramer módszer

Fontolja meg egy három lineáris egyenletrendszer megoldását három ismeretlennel:

(7)

Ismeretleneket találni
Alkalmazzuk a Cramer-képletet:

(8)

Ahol - a rendszer determinánsa, melynek elemei az ismeretlenek együtthatói:

.

a determináns első oszlopának cseréjével kapott ingyenes tagok oszlopa:

.

Hasonlóképpen:

;
.

1. példa Oldja meg a rendszert Cramer képletével:

.

Megoldás: Használjuk a (8) képleteket:

;

;

;

;

Válasz:
.

Bármilyen rendszerhez lineáris egyenletek -val az ismeretlenek kijelenthetők:

Mátrix megoldás

Tekintsük három, három ismeretlennel rendelkező lineáris egyenletrendszer (7) megoldását mátrix módszerrel.

A mátrixszorzás szabályait felhasználva ez az egyenletrendszer a következőképpen írható fel:
, Ahol

.

Hagyja a mátrixot nem degenerált, azaz.
. A bal oldali mátrixegyenlet mindkét oldalát megszorozzuk a mátrixszal
, a mátrix inverze , kapunk:
.

Tekintve, hogy
, nekünk van

(9)

2. példa Oldja meg a rendszert mátrix módszerrel:

.

Megoldás: Mutassuk be a mátrixokat:

- az ismeretlenek együtthatóiból;

- ingyenes tagok oszlopa.

Ekkor a rendszer felírható mátrixegyenletként:
.

Használjuk a (9) képletet. Keressük az inverz mátrixot
a (6) képlet szerint:

;

.

Ennélfogva,

Kapott:

.

Válasz:
.

Az ismeretlenek szekvenciális kiküszöbölésének módszere (Gauss-módszer)

Az alkalmazott módszer fő gondolata az ismeretlenek szekvenciális kiküszöbölése. Magyarázzuk meg ennek a módszernek a jelentését egy három egyenletrendszerrel, három ismeretlennel:

.

Tegyük fel, hogy
(Ha
, akkor megváltoztatjuk az egyenletek sorrendjét, és első egyenletnek azt választjuk, amelyben az együttható nem egyenlő nullával).

Első lépés: a) oszd el az egyenletet!
tovább
; b) szorozd meg a kapott egyenletet
és kivonjuk belőle
; c) majd az eredményt szorozd meg vele
és kivonjuk belőle
. Az első lépés eredményeként a következő rendszert kapjuk:

,

Második lépés: foglalkozunk az egyenlettel
És
pontosan ugyanaz, mint az egyenleteknél
.

Ennek eredményeként az eredeti rendszer átalakul az úgynevezett lépcsőzetes formává:

Az átalakított rendszerből minden ismeretlent nehézség nélkül egymás után meghatározunk.

Megjegyzés. A gyakorlatban kényelmesebb, ha nem magát az egyenletrendszert redukáljuk lépcsőzetes formára, hanem együtthatók, ismeretlenek és szabad tagok mátrixát.

3. példa Oldja meg a rendszert Gauss-módszerrel:

.

Az egyik mátrixból a másikba való átmenetet a ~ ekvivalenciajellel írjuk le.

~
~
~
~

~
.

A kapott mátrix segítségével kiírjuk a transzformált rendszert:

.

Válasz:
.

Megjegyzés: Ha a rendszernek egyedi megoldása van, akkor a lépésrendszer háromszög alakúra redukálódik, azaz olyanra, amelyben az utolsó egyenlet egy ismeretlent tartalmaz. Bizonytalan rendszer esetén, vagyis olyan, amelyben az ismeretlenek száma nagyobb, mint a lineárisan független egyenletek száma, nem lesz háromszögrendszer, mivel az utolsó egyenlet egynél több ismeretlent tartalmaz (a rendszernek van egy végtelen számú megoldás). Ha a rendszer inkonzisztens, akkor lépésenkénti formára redukálva legalább egyet tartalmazni fog a forma értéke
, azaz egy egyenlet, amelyben minden ismeretlennek nulla együtthatója van, a jobb oldal pedig nem nulla (a rendszernek nincs megoldása). A Gauss-módszer alkalmazható tetszőleges lineáris egyenletrendszerre (bármilyen
És ).

Létezési tétel lineáris egyenletrendszer megoldására

Lineáris egyenletrendszer Gauss-módszerrel történő megoldása során arra a kérdésre, hogy ez a rendszer kompatibilis vagy inkonzisztens, csak a számítások végén adható meg. Gyakran azonban fontos megoldani egy egyenletrendszer kompatibilitásának vagy inkompatibilitásának kérdését anélkül, hogy maguknak a megoldásoknak meg kellene találniuk. Erre a kérdésre a következő Kronecker-Capelli tétel adja meg a választ.

Adott legyen a rendszer
lineáris egyenletek -val ismeretlen:

(10)

Ahhoz, hogy a (10) rendszer konzisztens legyen, szükséges és elégséges, hogy a rendszermátrix rangja

.

egyenlő volt a kiterjesztett mátrix rangjával

.

Sőt, ha
, akkor a (10) rendszernek egyedi megoldása van; ha
, akkor a rendszernek végtelen számú megoldása van.

Tekintsünk egy homogén lineáris egyenletrendszert (minden szabad tag nulla):

.

Ez a rendszer mindig konzisztens, mivel nulla megoldása van.

A következő tétel olyan feltételeket ad meg, amelyek mellett a rendszernek a nullától eltérő megoldásai is vannak.

Terema. Ahhoz, hogy egy homogén egyenes egyenletrendszernek nulla megoldása legyen, szükséges és elegendő, hogy a determinánsa egyenlő volt nullával:

.

Így ha
, akkor a megoldás az egyetlen. Ha
, akkor végtelen sok más nem nulla megoldás létezik. Jelöljük meg az egyik módot arra, hogyan lehet megoldást találni egy homogén három lineáris egyenletrendszerre három ismeretlennel abban az esetben
.

Bizonyítható, hogy ha
, és az első és a második egyenlet aránytalan (lineárisan független), akkor a harmadik egyenlet az első kettő következménye. A három egyenletből álló homogén rendszer megoldása három ismeretlennel redukálódik két egyenlet három ismeretlennel történő megoldására. Megjelenik egy úgynevezett szabad ismeretlen, amelyhez tetszőleges értékek rendelhetők.

4. példa Keresse meg a rendszer összes megoldását:

.

Megoldás. Ennek a rendszernek a meghatározója

.

Ezért a rendszernek nulla megoldása van. Észreveheti, hogy például az első két egyenlet nem arányos, ezért lineárisan függetlenek. A harmadik az első kettő következménye (kiderül, ha az első egyenlethez a második kétszeresét adjuk). Elutasítva egy két egyenletrendszert kapunk három ismeretlennel:

.

Feltéve, hogy pl.
, kapunk

.

Két lineáris egyenletrendszer megoldása során fejezzük ki És keresztül :
. Ezért a rendszer megoldása a következőképpen írható fel:
, Ahol - tetszőleges szám.

5. példa Keresse meg a rendszer összes megoldását:

.

Megoldás. Könnyen belátható, hogy ebben a rendszerben csak egy független egyenlet van (a másik kettő ezzel arányos). Egy három egyenletből álló, három ismeretlennel rendelkező egyenlet egy három ismeretlent tartalmazó egyenletre redukálódott. Két szabad ismeretlen jelenik meg. Megkeresve például az első egyenletből
önkényesnek És , megoldásokat kapunk erre a rendszerre. A megoldás általános formája hova írható És - tetszőleges számok.

Önellenőrző kérdések

Fogalmazzuk meg a Cramer-szabályt a rendszer megoldására lineáris egyenletek -val ismeretlen.

Mi a mátrixos rendszerek megoldási módszerének lényege?

Mi Gauss módszere lineáris egyenletrendszer megoldására?

Mondja el a Kronecker-Capelli tételt!

Fogalmazzon meg egy szükséges és elégséges feltételt egy homogén lineáris egyenletrendszer nullától eltérő megoldásainak létezéséhez.

Példák önmegoldásra

Találja meg a rendszerek összes megoldását:

1.
; 2.
;

3.
; 4.
;

5.
; 6.
;

7.
; 8.
;

9.
; 10.
;

11.
; 12.
;

13.
; 14.
;

15.
.

Határozza meg, milyen értékeken És egyenletrendszer

a) egyedi megoldása van;

b) nincs megoldása;

c) végtelen sok megoldása van.

16.
; 17.
;

Keresse meg a következő homogén rendszerek összes megoldását:

18.
; 19.
;

20.
; 21.
;

22.
; 23.
;

Válaszok a példákra

1.
; 2.
; 3. Ǿ; 4. Ǿ;

5.
- tetszőleges szám.

6.
, Ahol - tetszőleges szám.

7.
; 8.
; 9. Ǿ; 10. Ǿ;

11.
, Ahol - tetszőleges szám.

12. , hol És - tetszőleges számok.

13.
; 14.
Ahol És - tetszőleges számok.

15. Ǿ; 16. a)
; b)
; V)
.

17. a)
; b)
; V)
;

18.
; 19.
; 20., hol - tetszőleges szám.

21. , hol - tetszőleges szám.

22. , hol - tetszőleges szám.

23. , hol És - tetszőleges számok.

Utasítás

Hozzáadás módja.
Kettőt kell szigorúan egymás alá írni:

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
Egy tetszőlegesen választott (a rendszerből) egyenletbe illessze be a 11-es számot a már megtalált „játék” helyett, és számítsa ki a második ismeretlent:

X=61+5*11, x=61+55, x=116.
A válasz erre az egyenletrendszerre x=116, y=11.

Grafikus módszer.
Ez abból áll, hogy gyakorlatilag megtaláljuk annak a pontnak a koordinátáit, ahol az egyenesek matematikailag fel vannak írva egy egyenletrendszerben. Mindkét egyenes grafikonját külön-külön, ugyanabban a koordinátarendszerben kell megrajzolni. Általános nézet: – y=khx+b. Egy egyenes felépítéséhez elegendő két pont koordinátáit megkeresni, és az x-et tetszőlegesen választjuk.
Legyen adott a rendszer: 2x – y=4

I=-3x+1.
Az elsőből egyenest készítünk, a kényelem kedvéért fel kell írni: y=2x-4. Találjon ki (könnyebb) értékeket x-hez, helyettesítse be az egyenletbe, oldja meg, és keresse meg y-t. Két pontot kapunk, amelyek mentén egyenest szerkesztünk. (Lásd a képen)
x 0 1

y -4 -2
A második egyenlet segítségével egy egyenest szerkesztünk: y=-3x+1.
Készítsen egy egyenest is. (Lásd a képen)

y 1 -5
Keresse meg a grafikonon két megszerkesztett egyenes metszéspontjának koordinátáit (ha az egyenesek nem metszik egymást, akkor az egyenletrendszernek nincs - tehát).

Videó a témáról

Hasznos tanács

Ha ugyanazt az egyenletrendszert három különböző módon oldja meg, a válasz ugyanaz lesz (ha a megoldás helyes).

Források:

• 8. osztályos algebra
• oldjon meg egy egyenletet két ismeretlennel online
• Példák lineáris egyenletrendszerek megoldására kettővel

Rendszer egyenletek matematikai rekordok gyűjteménye, amelyek mindegyike számos változót tartalmaz. Megoldásukra többféle mód van.

Szükséged lesz

• - Vonalzó és ceruza;
• -számológép.

Utasítás

Tekintsük a rendszer megoldási sorozatát, amely a következő alakú lineáris egyenletekből áll: a1x + b1y = c1 és a2x + b2y = c2. Ahol x és y ismeretlen változók, b,c pedig szabad tagok. A módszer alkalmazásakor minden rendszer az egyes egyenleteknek megfelelő pontok koordinátáit reprezentálja. Először minden esetben fejezze ki az egyik változót egy másikkal. Ezután állítsa be az x változót tetszőleges számú értékre. Kettő elég. Helyettesítse be az egyenletet, és keresse meg y-t. Szerkesszünk egy koordináta-rendszert, jelöljük meg rajta a kapott pontokat, és húzzuk át egy vonalat. Hasonló számításokat kell végezni a rendszer többi része esetében is.

Egyedülálló megoldása van a rendszernek, ha a megszerkesztett egyenesek metszik egymást és egy közös pontjuk van. Nem kompatibilis, ha párhuzamosak egymással. És végtelenül sok megoldása van, amikor a vonalak összeolvadnak egymással.

Ez a módszer nagyon vizuálisnak tekinthető. A fő hátrány az, hogy a számított ismeretlenek hozzávetőleges értékkel rendelkeznek. Pontosabb eredményeket az úgynevezett algebrai módszerek adnak.

Az egyenletrendszer bármely megoldását érdemes ellenőrizni. Ehhez cserélje ki a kapott értékeket a változókra. Megoldását több módszerrel is megtalálhatja. Ha a rendszer megoldása helyes, akkor mindenkinek egyforma kell lennie.

Gyakran előfordulnak olyan egyenletek, amelyekben az egyik kifejezés ismeretlen. Egy egyenlet megoldásához emlékeznie kell és végre kell hajtania egy bizonyos műveletsort ezekkel a számokkal.

Szükséged lesz

• - papír;
• - toll vagy ceruza.

Utasítás

Képzeld el, hogy 8 nyúl van előtted, és csak 5 sárgarépa van. Gondoljon bele, még mindig több sárgarépát kell vásárolnia, hogy minden nyúl kapjon egyet.

Mutassuk be ezt a problémát egyenlet formájában: 5 + x = 8. Helyettesítsük x helyett 3-at. Valóban, 5 + 3 = 8.

Amikor egy számot helyettesített x-szel, ugyanazt csinálta, mint amikor 8-ból kivont 5-öt. ismeretlen tag, vonja ki az ismert tagot az összegből.

Tegyük fel, hogy van 20 nyúl és csak 5 sárgarépa. Tegyük fel. Az egyenlet egy egyenlőség, amely csak a benne szereplő betűk bizonyos értékeire érvényes. Azokat a betűket, amelyek jelentését meg kell találni, nevezzük. Írj fel egy egyenletet egy ismeretlennel, nevezd x-nek. A nyúlfeladatunk megoldása során a következő egyenletet kapjuk: 5 + x = 20.

Határozzuk meg a 20 és 5 közötti különbséget. Kivonáskor az a szám, amelyikből kivonjuk azt a számot, amelyikből kivonjuk. A kivont számot nevezzük, a végeredményt pedig különbségnek. Tehát x = 20 – 5; x = 15. 15 sárgarépát kell vásárolni a nyulak számára.

Ellenőrzés: 5 + 15 = 20. Az egyenlet helyesen van megoldva. Természetesen, ha ilyen egyszerűekről van szó, nem szükséges ellenőrizni. Ha azonban háromjegyű, négyjegyű stb. számokat tartalmazó egyenletei vannak, feltétlenül ellenőriznie kell, hogy teljesen biztos legyen a munkája eredményében.

Videó a témáról

Hasznos tanács

Az ismeretlen minuend megtalálásához hozzá kell adni a részfejet a különbséghez.

Az ismeretlen részösszeg megtalálásához ki kell vonni a különbséget a minuendből.

4. tipp: Hogyan oldjunk meg három egyenletrendszert három ismeretlennel

Egy három egyenletből álló rendszernek három ismeretlennel előfordulhat, hogy nincs megoldása, annak ellenére, hogy elegendő számú egyenlet van. Megpróbálhatja megoldani helyettesítési módszerrel vagy Cramer módszerével. A Cramer-módszer a rendszer megoldása mellett lehetővé teszi annak értékelését, hogy a rendszer megoldható-e, mielőtt megtalálná az ismeretlenek értékét.

Utasítás

A helyettesítési módszer abból áll, hogy szekvenciálisan szekvenciálisan egy ismeretlent két másikon át, és a kapott eredményt behelyettesítjük a rendszer egyenleteibe. Adjunk meg egy három egyenletrendszert általános formában:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Fejezd ki x-et az első egyenletből: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - és helyettesítsd be a második és harmadik egyenletbe, majd fejezd ki y-t a második egyenletből és helyettesítsd be a harmadikba. A rendszeregyenletek együtthatóin keresztül z lineáris kifejezését kapja. Most menj „hátra”: cseréld be z-t a második egyenletbe, keresd meg y-t, majd cseréld be z-t és y-t az elsőbe, és oldd meg x-et. A folyamat általában az ábrán látható a z megtalálása előtt. Az általános formában történő további írás a gyakorlatban túl nehézkes lesz, a helyettesítéssel elég könnyen megtalálhatja mindhárom ismeretlent.

Cramer módszere egy rendszermátrix felépítéséből és ennek a mátrixnak a determinánsának kiszámításából áll, valamint három további segédmátrixból. A rendszermátrix az egyenletek ismeretlen tagjainak együtthatóiból áll. Az egyenletek jobb oldalán lévő számokat tartalmazó oszlop, a jobb oldali oszlopok oszlopa. A rendszerben nem, de a rendszer megoldása során használják.

Videó a témáról

jegyzet

A rendszerben lévő összes egyenletnek további információkat kell szolgáltatnia, függetlenül a többi egyenlettől. Ellenkező esetben a rendszer aluldefiniált lesz, és nem lehet egyértelmű megoldást találni.

Hasznos tanács

Az egyenletrendszer megoldása után cserélje be a talált értékeket az eredeti rendszerbe, és ellenőrizze, hogy az összes egyenletet kielégíti-e.

Magától az egyenlet hárommal ismeretlen sok megoldása van, ezért leggyakrabban két további egyenlettel vagy feltétellel egészül ki. A kiinduló adatoktól függően nagyban függ a döntés menete.

Szükséged lesz

• - három egyenletrendszer három ismeretlennel.

Utasítás

Ha a három rendszer közül kettőnek csak kettője van a három ismeretlen közül, próbáljon meg néhány változót a többivel kifejezni, és helyettesítse őket az egyenlet hárommal ismeretlen. A cél ebben az esetben az, hogy normálissá változtassa az egyenlet egy ismeretlen személlyel. Ha ez , akkor a további megoldás meglehetősen egyszerű - a talált értéket helyettesítse más egyenletekkel, és keresse meg az összes többi ismeretlent.

Egyes egyenletrendszerek kivonhatók egyik egyenletből a másikkal. Nézze meg, lehetséges-e megszorozni az egyik vagy egy változót úgy, hogy két ismeretlen egyszerre törlődik. Ha van ilyen lehetőség, akkor nagy valószínűséggel használja ki, a későbbi megoldás nem lesz nehéz. Ne feledje, hogy számmal való szorzáskor a bal és a jobb oldalt is meg kell szoroznia. Hasonlóképpen az egyenletek kivonásakor emlékezni kell arra, hogy a jobb oldalt is ki kell vonni.

Ha az előző módszerek nem segítettek, használja az általános módszert bármely egyenlet hárommal való megoldására ismeretlen. Ehhez írjuk át az egyenleteket a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3 alakba. Most készítsünk együtthatómátrixot x-hez (A), ismeretlenek mátrixát (X) és szabadok mátrixát (B). Vegye figyelembe, hogy az együtthatók mátrixát megszorozva az ismeretlenek mátrixával, szabad tagok mátrixát kapjuk, azaz A*X=B.

Keresse meg az A mátrixot a (-1) hatványhoz úgy, hogy először megtalálja , vegye figyelembe, hogy nem lehet egyenlő nullával. Ezt követően a kapott mátrixot megszorozzuk B mátrixszal, ennek eredményeként megkapjuk a kívánt X mátrixot, amely az összes értéket jelzi.

Három egyenletrendszerre is találhatunk megoldást Cramer módszerével. Ehhez keressük meg a rendszermátrixnak megfelelő ∆ harmadrendű determinánst. Ezután keressen meg egymás után három további determinánst: ∆1, ∆2 és ∆3, a megfelelő oszlopok értékei helyett a szabad tagok értékeit helyettesítve. Most keresse meg x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Források:

• három ismeretlent tartalmazó egyenletek megoldása

Amikor elkezd egy egyenletrendszer megoldását, derítse ki, milyen egyenletek ezek. A lineáris egyenletek megoldásának módszereit elég jól tanulmányozták. A nemlineáris egyenleteket legtöbbször nem oldják meg. Csak egy speciális eset van, amelyek mindegyike gyakorlatilag egyedi. Ezért a megoldási technikák tanulmányozását lineáris egyenletekkel kell kezdeni. Az ilyen egyenletek akár tisztán algoritmikusan is megoldhatók.

a talált ismeretlenek nevezője teljesen megegyezik. Igen, és a számlálók bizonyos mintákat mutatnak a felépítésükben. Ha az egyenletrendszer dimenziója nagyobb lenne kettőnél, akkor az eliminációs módszer nagyon körülményes számításokhoz vezetne. Ezek elkerülésére tisztán algoritmikus megoldásokat fejlesztettek ki. A legegyszerűbb közülük a Cramer-algoritmus (Cramer-képletek). Mert meg kell találnia az n egyenletből álló általános egyenletrendszert.

Egy n lineáris algebrai egyenletből álló rendszer n ismeretlennel a következő alakkal rendelkezik (lásd 1a. ábra). Ebben az aij a rendszer együtthatói,
xj – ismeretlenek, bi – szabad tagok (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). Egy ilyen rendszer kompaktan felírható AX=B mátrix formában. Itt A a rendszeregyütthatók mátrixa, X az ismeretlenek oszlopmátrixa, B a szabad tagok oszlopmátrixa (lásd 1b. ábra). Cramer módszere szerint minden ismeretlen xi =∆i/∆ (i=1,2…,n). Az együtthatómátrix determinánsát ∆ főnek, ∆i-t pedig segédnek nevezzük. Minden ismeretlen esetén a segéddeterminánst úgy találjuk meg, hogy a fődetermináns i-edik oszlopát szabad kifejezések oszlopával helyettesítjük. A másod- és harmadrendű rendszerek esetében a Cramer-módszert részletesen az ábra mutatja be. 2.

A rendszer két vagy több egyenlőség kombinációja, amelyek mindegyike két vagy több ismeretlent tartalmaz. Az iskolai tantervben használt lineáris egyenletrendszerek megoldásának két fő módja van. Az egyiket módszernek, a másikat összeadási módszernek nevezik.

Két egyenletrendszer standard alakja

Szabványos formában az első egyenlet a1*x+b1*y=c1, a második egyenlet alakja a2*x+b2*y=c2, és így tovább. Például a rendszer két része esetén mindkettő adott a1, a2, b1, b2, c1, c2 numerikus együttható, amely meghatározott egyenletekben van ábrázolva. Az x és y viszont olyan ismeretleneket jelöl, amelyek értékét meg kell határozni. A szükséges értékek mindkét egyenletet egyidejűleg valódi egyenlőséggé alakítják.

A rendszer megoldása összeadásos módszerrel

A rendszer megoldásához, vagyis az x és y azon értékeinek megtalálásához, amelyek valódi egyenlőséggé alakítják őket, több egyszerű lépést kell megtennie. Ezek közül az első az, hogy bármelyik egyenletet úgy transzformáljuk, hogy az x vagy y változó numerikus együtthatói mindkét egyenletben azonos nagyságrendűek legyenek, de előjelükben eltérőek legyenek.

Például tegyük fel, hogy egy két egyenletből álló rendszer adott. Közülük az első 2x+4y=8, a második 6x+2y=6 alakú. A feladat elvégzésének egyik lehetősége, hogy a második egyenletet megszorozzuk -2-es együtthatóval, ami a -12x-4y=-12 alakba vezeti. Az együttható helyes megválasztása az egyik kulcsfontosságú feladat egy rendszer összeadásos módszerrel történő megoldásának folyamatában, mivel ez határozza meg az ismeretlenek keresési eljárásának teljes további menetét.

Most össze kell adni a rendszer két egyenletét. Nyilvánvalóan az egyenlő értékű, de ellentétes előjelű együtthatójú változók kölcsönös megsemmisítése a -10x=-4 alakot eredményezi. Ezek után meg kell oldani ezt az egyszerű egyenletet, amiből egyértelműen következik, hogy x = 0,4.

A megoldási folyamat utolsó lépéseként az egyik változó talált értékét behelyettesítjük a rendszerben elérhető bármely eredeti egyenlőségbe. Például az x=0,4 behelyettesítésével az első egyenletbe a 2*0,4+4y=8 kifejezést kaphatjuk, amelyből y=1,8. Így x=0,4 és y=1,8 a példarendszer gyökerei.

Annak érdekében, hogy megbizonyosodjon arról, hogy a gyököket helyesen találta meg, célszerű ellenőrizni úgy, hogy a talált értékeket behelyettesíti a rendszer második egyenletébe. Például ebben az esetben 0,4*6+1,8*2=6 alakú egyenlőséget kapunk, ami helyes.

Videó a témáról

Ez a fejezet a lineáris egyenletrendszerek (azaz elsőfokú egyenletek) megoldásához kapcsolódó segédanyagokat tartalmaz. Az ilyen rendszerek tanulmányozásához bevezetjük a determináns fontos fogalmát. Ennek a fejezetnek az önmagukban és az analitikus geometria alkalmazásában is érdekes eredményeire szükség van a könyv további fejezeteinek megértéséhez,

1. § Kettős és három ismeretlenes egyenletrendszerek

Egy elsőfokú egyenlet megoldása során egy ismeretlennel

három eset lehetséges:

1. Ha , az egyenletnek egyedi megoldása van

2. Ha az egyenletnek végtelen sok megoldása van; tetszőleges x szám kielégíti az egyenletet (hiszen ), ezért ez a megoldása.

3. Ha de az egyenletnek nincs megoldása, hiszen ha x-et tetszőleges számmal helyettesítjük a bal oldalon, akkor az eredmény nulla, a jobb oldal pedig nullától eltérő.

A következőkből kitűnik, hogy egy tetszőleges lineáris egyenletrendszer megoldásánál három hasonló eset is előfordul.

Tekintsünk egy két egyenletrendszert két ismeretlennel:

Egy ilyen rendszer megoldása minden egyes értékpár, amelynek behelyettesítése x és y helyett mindkét egyenletet azonossággá alakítja. A rendszer megoldásához megszorozzuk az első egyenletet a másodikkal - és összeadjuk őket; fogunk kapni

Innentől, ha , megvan

Hasonlóan azt tapasztaljuk

Így abban az esetben, ha az (1) rendszernek egyedi megoldása van.

A (2) és (3) egyenlőségek jobb oldalának számlálóiban és nevezőiben lévő kifejezések szerkezete azonos. Nevezetesen, vegyünk egy négyzet alakú számtáblázatot

Az ilyen táblázatokat mátrixoknak nevezzük. A mátrixot alkotó vízszintes számsorokat sorainak, a függőlegeseket oszlopoknak nevezzük. A mátrixot alkotó számokat elemeinek nevezzük. Példánkban van egy másodrendű négyzetmátrixunk. A mátrix bal felső sarkából a jobb alsóba tartó átlót főátlójának nevezzük. A (2) és (3) egyenlőség jobb oldalán lévő törtek nevezői a következőképpen vannak elrendezve: az A mátrix főátlóján lévő elemek szorzatából a másodikon lévő elemek szorzata, vagy másodlagos, az átlót kivonjuk:

Az eredményül kapott kifejezést az A mátrix determinánsának (másodrendű determináns) nevezzük, és a következőképpen jelöljük:

Ebben a jelölésben a (2) egyenlőség első részében lévő tört számlálója a determináns

nevezőből kapjuk úgy, hogy az első oszlopot szabad tagok oszlopára cseréljük, és az egyenlőség jobb oldalán lévő tört számlálója a meghatározó

a nevezőből kapjuk úgy, hogy a második oszlopot az (1) rendszer egyenleteinek szabad tagjait tartalmazó oszlopra cseréljük,

Tehát azt találtuk, hogy ha akkor

Ezek Cramer képletei két ismeretlennel rendelkező két egyenletrendszer megoldására.

Példa. Cramer-képletek segítségével oldja meg az egyenletrendszert!

Nézzük most azt az esetet, amikor

A (4) egyenlőség a következőképpen írható át:

vagyis ebben az esetben az ismeretlenek együtthatói arányosak. Ha emellett

akkor a szabad tagok arányosak az ismeretlenek együtthatóival, és valójában egy egyenletünk van két ismeretlennel - ez végtelen számú megoldást tesz lehetővé,

Végül, ha

vagyis ha

akkor az egyenletek nyilvánvalóan ellentmondanak egymásnak és a rendszernek nincs egyetlen megoldása.

Tekintsünk most egy három lineáris egyenletrendszert három ismeretlennel:

Ennek a rendszernek a megoldását minden olyan számhármasnak nevezzük, amelyek behelyettesítésével mindhárom egyenlet azonossággá alakul. Az első egyenletet megszorozva a másodikkal - a harmadikkal -

és mindet összeadva kapjuk

(az y és z együtthatói, amint az könnyen belátható, nullával egyenlő lesz). Ezért, ha x együtthatója különbözik nullától, megkapjuk

Nézzük meg, hogyan működik a (6) egyenlőség jobb oldalának nevezőjében szereplő kifejezés. Ehhez vegyünk egy négyzet alakú táblázatot (harmadrendű mátrix)

A főátlónak ismét ennek a mátrixnak a bal felső sarkától a jobb alsóba tartó átlót, a másodlagos átlót pedig a bal alsó sarokból a jobb felsőbe tartó átlónak nevezzük.

A (6) képletben a nevező hat tag algebrai összege, amelyek mindegyike három elem szorzata, az A mátrix minden sorából és oszlopából egy-egy, a pluszjel pedig az elemek szorzata,

a főátlóhoz tartozó, valamint a mátrixban a főátlóval párhuzamos alapokkal rendelkező (egyenlőszárú) háromszögeket alkotó elemek két szorzata (1. ábra, a), a mínuszjel pedig a másodlagos átlóhoz tartozó elemek szorzata, és az oldalátlóval párhuzamos alapokkal háromszöget alkotó elemek két szorzata (1. ábra, b).

Az ilyen kifejezést A mátrixból álló determinánsnak (harmadrendű determináns) nevezzük, és a következőképpen jelöljük:

Tehát definíció szerint

A (6) képlet jobb oldalának számlálójában lévő kifejezést a nevezőből kapjuk, ha minden a betűt egy azonos számú betűvel helyettesítünk, azaz.

Hasonlóképpen kimutatható, hogy amikor az (5) rendszer magában foglalja az egyenlőségeket

ahol a determinánsból kapott determináns az oszlop szabad oszlopra cserélésével

tagjai. Ezek Cramer képletei egy három egyenletrendszerhez három ismeretlennel.

Példa. Oldja meg az egyenletrendszert Cramer-képletekkel!

Ennélfogva,

Annak megértéséhez, hogy mi az a sorrendi determináns, tekintsük újra a második és harmadik rendű determinánst:

Látjuk, hogy a determináns az elemei összes lehetséges szorzatának algebrai összege, minden sorból és oszlopból egyet veszünk.

Minden ilyen szorzatot a determináns tagjának nevezünk. A másodrendű determináns minden tagjában az oszlopok sorrendjébe rendezzük a faktorokat:

és vegye figyelembe az alsó indexek megfelelő elrendezését (permutációit) (a sorszámokat jelölve):

Az első szorzatban ezek az indexek növekvő sorrendben vannak elrendezve, és a megfelelő szorzat pluszjellel szerepel a determinánsban; a másodikban azt mondják, hogy 2, 1 rendellenességet vagy inverziót alkotnak, és a megfelelő tag mínuszjellel lép be a determinánsba.

A harmadik rendű determináns hat tagból áll. Ha mindegyikben a faktorok az oszlopok sorrendjében vannak elrendezve, akkor a pluszjellel ellátott kifejezésekben az alsó indexek permutációkat alkotnak

Tekintsünk három indexpárt 1, 2; 1, 3 és 2, 3 az 1, 2, 3 első permutációból; az egyes párok számai növekvő sorrendben vannak elrendezve - ebben a permutációban nulla inverzió van. A második 2, 3, 1 permutációban három indexpár található: 2, 3; 2, 1 és 3, 1, ebből kettő és 3,1, inverziót alkotnak. A harmadik permutációban 3, 1, 2 - három pár index 3, 1; 1, 2 és 3, 2, ebből kettő és 3, 2 inverziót képez.

A mínuszjellel ellátott termékek az indexek három permutációjának felelnek meg

és az elsőben, amint jól látható, három inverzió van:

3, 2; 3, 1 és 2, 1, valamint a második és a harmadik - egy-egy; rendre 2, 1 és 3, 2. Így a plusz jel azokat a kifejezéseket tartalmazza, amelyeknek páros számú inverziója van az indexek permutációjában, a mínusz jel pedig azokat, amelyek páratlan számmal rendelkeznek.

A következőkben célszerű új jelöléseket bevezetnünk a másod- és harmadrendű determinánsokhoz:

ahol a determináns minden elemét ugyanaz a betű jelöli, két indexszel, amelyek közül az első annak a sornak a számát jelzi, amelyben ez az elem megjelenik, a második pedig a megfelelő oszlop számát. (Elemek,

Például az első determináns így olvasható: az egy az egy, az egy a kettő, a kettő pedig az egy, a kettő pedig a kettő.) Ezután

ahol a pluszjel azon szorzatok előtt van, amelyekben a permutáció páros (azaz páros számú inverziója van), a mínusz pedig azok előtt, ahol páratlan. Ezt így is fel lehet írni:

ahol a az inverziók száma az első indexek permutációjában (a második indexek növekvő sorrendben vannak), és az összegzés a három szám 1, 2, 3 mind a hat permutációjára vonatkozik.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete