Tétel- olyan állítás, amelynek helyességét érveléssel, bizonyítékkal állapítják meg. Példa a tételre az az állítás, hogy egy tetszőleges háromszög szögeinek összege egyenlő 180°-kal. , győződjön meg arról, hogy az összeg egyenlő 180°-kal (minden esetben a szögmérő által megengedett mérési pontosság határain belül).

Ez a teszt többször is megismételhető különböző háromszögeknél. Ennek az állításnak az érvényességét azonban egy geometriai kurzusban nem kísérleti igazolással, hanem olyan bizonyítással állapítjuk meg, amely meggyőz bennünket arról, hogy ez az állítás bármely háromszögre igaz. Így a háromszög szögeinek összegére vonatkozó állítás egy tétel.

A tételek megfogalmazásában általában a „ha” szavak találhatók. akkor...", "tól... következő:- .." stb. Ezekben az esetekben az előjelet a jelölés lerövidítésére használjuk => Vegyük példának azt a tételt, hogy a két A és B ponttól egyenlő távolságra lévő M pont ezen pontok szimmetriatengelyéhez tartozik (1). Részletesebben a következőképpen fogalmazható meg: (bármely A, B, M pontra) (MA - MB) => (M az A és B pontok szimmetriatengelyéhez tartozik).

Más geometriai tételek is hasonló módon írhatók: először jön a tétel magyarázó része (leírja, hogy mely pontokat vagy ábrákat veszünk figyelembe a tételben), majd két, az => jellel összekötött állítást. Ezen állítások közül az elsőt, amely a magyarázó rész után és a => jel előtt áll, a tétel feltételének, a másodikat, amely az => jel után áll, a tétel következtetésének.

A feltételt és a következtetést felcserélve és a magyarázó részt változatlanul hagyva új tételt kapunk, amelyet az eredeti inverzének nevezünk. Például a fent tárgyalt tételre fordítva a következő lesz: (bármely A, B, M pontra) (az M pont az A és B pontok szimmetriatengelyéhez tartozik) => (MA - MB). Röviden: ha az M pont az A és B pontok szimmetriatengelyéhez tartozik, akkor az M pont egyenlő távolságra van az A és B ponttól. Ebben az esetben az eredeti tétel és annak fordítottja is érvényes.

Azonban attól, hogy egy tétel igaz, nem mindig következik, hogy a megfordítottja is igaz.

A matematikában nagy szerepet játszanak az úgynevezett létezési tételek, amelyek csak egy szám, ábra stb. létezését állítják, de nem jelzik, hogy ez a szám (vagy ábra) hogyan található meg. Például: minden valós együtthatójú x" + -t-atx"-1 + a2xb~2 + ...I egyenletnek van legalább egy valós gyöke páratlan n-nek, azaz van egy x0eR szám, amely a gyöke ezt az egyenletet.

Egyes tételtípusok speciális elnevezéseket kapnak, például lemma, következmény. Kiegészítő árnyalattal rendelkeznek. A lemmát általában segédtételnek nevezik, amely önmagában kevéssé érdekes, de a következőkhöz szükséges. Következmény olyan állítás, amely könnyen levezethető valami korábban bizonyított dologból.

Néha egy tételt valaminek neveznek, amit helyesebben hipotézisnek neveznénk. Például Fermat utolsó tétele, amely kimondja, hogy az x* + y" = z* egyenletnek nincs pozitív egész számú megoldása n > 2-re, még nem bizonyított.

Az axiómák és definíciók mellett a tételek a matematikai mondatok fő típusai. Az egyes matematikai tudományok (geometria, algebra, függvényelmélet, valószínűségszámítás stb.) fontos tényeit tételek formájában fogalmazzuk meg.

A matematika elsajátítása azonban nem korlátozódik a tanulásra axiómák, definíciók és alaptételek. A matematikaoktatáshoz hozzátartozik a matematikai elmélet rengeteg tényében való eligazodás, a problémamegoldás alapvető módszereinek elsajátítása, a matematika alapjául szolgáló gondolatok megértése, valamint a matematikai ismeretek gyakorlati problémák megoldásában való alkalmazásának képessége.

Nem kevésbé fontosak a térábrázolás, a grafikus „látás” készségei, az adott matematikai fogalmat illusztráló példák keresésének képessége stb. Így a tételek csak a matematikai elmélet formális „keretét” alkotják, és a tételek ismerete csak a kezdetét jelenti a matematika mélyreható elsajátításának.

Másnap este Gilbert recepciós sokkal nehezebb problémával szembesült. Ahogy előző nap is, a szálloda zsúfolásig megtelt, amikor megérkezett egy végtelenül hosszú limuzin, amely végtelen számú új vendéget szállított ki. Gilbert azonban ez egyáltalán nem jött zavarba, és csak örömmel dörzsölte a kezét, amikor arra gondolt, hogy az újonnan érkezők milyen végtelen számú számlát fognak fizetni. Gilbert mindenkit arra kért, aki már letelepedett a szállodában, a következő szabály betartásával: az első szoba lakója - a második szobába, a második szoba lakója - a negyedik szobába stb., vagyis Gilbert kérte. minden vendég új szobába költözik dupla nagy "címmel". Mindenki a szállodában maradt, aki az új vendégek érkezése előtt a szállodában lakott, ugyanakkor végtelen számú szoba szabadult fel (mind olyanok, akiknek a „címe” páratlan volt), amelyekben a leleményes recepciós szállásolta el az új vendégeket. Ez a példa azt mutatja, hogy a végtelen kétszerese a végtelennel is egyenlő.

Talán Hilbert szállodája azt a gondolatot ébreszti valakiben, hogy minden végtelen egyforma nagy, egyenlő egymással, és bármilyen különböző végtelent be lehet préselni ugyanannak a végtelen szállodának a szobáiba, ahogy a leleményes portás tette. De a valóságban néhány végtelen nagyobb, mint mások. Például minden olyan kísérlet, amely minden racionális számhoz irracionális számpárt keres, hogy egyetlen irracionális szám se maradjon racionális párja nélkül, minden bizonnyal kudarccal végződik. Valóban bebizonyítható, hogy az irracionális számok végtelen halmaza nagyobb, mint a racionális számok végtelen halmaza. A matematikusoknak egy egész jelölés- és névrendszert kellett létrehozniuk a végtelen végtelen skálájával, és e fogalmak manipulálása korunk egyik legégetőbb problémája.

Bár a prímszámok végtelensége örökre összetörte a Fermat-féle utolsó tétel gyors bizonyításával kapcsolatos reményeket, a prímszámok ilyen nagy készlete hasznos volt például olyan területeken, mint a kémkedés és a rovarkutatás. Mielőtt visszatérnénk Fermat utolsó tételének bizonyítása keresésének történetéhez, érdemes egy kicsit elkalandozni, és megismerkedni a prímszámok helyes és helytelen használatával.

A prímszámelmélet a tiszta matematika azon kevés területeinek egyike, amelyek közvetlenül alkalmazhatók a való világban, nevezetesen a kriptográfia. A kriptográfia a titkos üzenetek kódolásával foglalkozik oly módon, hogy csak a címzett tudja dekódolni, de lehallgató nem tudja megfejteni. A kódolási folyamat rejtjelkulcs használatát igényli, a visszafejtéshez pedig hagyományosan meg kell adni a címzettnek ezt a kulcsot. Ebben az eljárásban a kulcs a leggyengébb láncszem a biztonsági láncban. Először is, a címzettnek és a küldőnek meg kell állapodnia a kulcs részleteiben, és az információcsere ebben a szakaszban bizonyos kockázattal jár. Ha az ellenségnek sikerül elkapnia a kulcsot az információcsere során, akkor képes lesz az összes további üzenet visszafejtésére. Másodszor, a biztonság fenntartása érdekében a kulcsokat rendszeresen cserélni kell, és minden alkalommal, amikor egy kulcsot cserélnek, fennáll annak a veszélye, hogy egy ellenfél elkapja az új kulcsot.

A kulcsprobléma az a tény körül forog, hogy egy kulcs alkalmazása az egyik irányban titkosítja az üzenetet, de ugyanazt a kulcsot az ellenkező irányba alkalmazva dekódolja az üzenetet – a visszafejtés ugyanolyan egyszerű, mint a titkosítás. De tapasztalatból tudjuk, hogy ma már sok olyan helyzet van, amikor a dekódolás sokkal nehezebb, mint a titkosítás: a rántotta elkészítése összehasonlíthatatlanul egyszerűbb, mint a rántotta visszaállítása az eredeti állapotba a fehérje és a sárgája szétválasztásával.

A XX. század 70-es éveiben Whitfield Diffie és Martin Hellman olyan matematikai folyamat után kezdtek kutatni, amelyet az egyik irányban könnyű végrehajtani, az ellenkező irányba viszont hihetetlenül nehéz lenne. Egy ilyen eljárás tökéletes kulcsot biztosítana. Például rendelkezhetek saját, kétrészes kulcsmal, és közzétehetem a titkosítási részét nyilvánosan. Ezt követően bárki küldhetett nekem titkosított üzeneteket, de a kulcs visszafejtési részét csak én ismerem. És bár a kulcs titkosítási része mindenki számára elérhető lenne, ennek semmi köze a visszafejtő részhez.

1977-ben Ronald Rivest, Adi Shamir és Leonard Adleman, az MIT matematikusaiból és informatikusaiból álló csapat felfedezte, hogy a prímszámok ideális alapjai a könnyű titkosítás és a nehéz visszafejtés folyamatának. Saját személyes kulcs létrehozásához vehetek két hatalmas prímszámot, amelyek mindegyike legfeljebb 80 számjegyet tartalmazhat, és az egyik számot megszorozhatom a másikkal, hogy még nagyobb összetett számot kapjak. Az üzenetek kódolásához csak egy nagy összetett szám ismerete szükséges, míg egy üzenet megfejtéséhez ismerni kell a két eredeti prímszámot, amelyet összeszoroztunk, vagyis az összetett szám prímtényezőit. Megengedhetem magamnak, hogy közzétegyek egy nagy összetett számot - a kulcs titkosítási felét, és két elsődleges tényezőt - a kulcs dekódolási felét - titokban tartsak. Nagyon fontos, hogy bár mindenki ismer egy nagy összetett számot, rendkívül nehéz két prímtényezőre számolni.

Nézzünk egy egyszerűbb példát. Tegyük fel, hogy kiválasztottam és mindenkivel közöltem az 589-es összetett számot, amely lehetővé teszi, hogy mindenki titkosított üzeneteket küldjön nekem. Az 589-es szám két prímtényezőjét titokban tartanám, így rajtam kívül senki nem tudja megfejteni az üzeneteket. Ha valaki megtalálná az 589-es szám két prímtényezőjét, akkor az is képes lenne megfejteni a nekem címzett üzeneteket. De bármilyen kicsi is az 589-es szám, nem olyan egyszerű megtalálni a prímtényezőit. Ebben az esetben egy asztali számítógépen néhány perc alatt felfedezhető lenne, hogy az 589-es szám prímtényezői a 31 és a 19 (31 19 = 589), így a kulcsom nem tudta hosszú ideig garantálni a levelezés biztonságát. .

De ha az általam közzétett összetett szám több mint száz számjegyet tartalmazna, az szinte lehetetlen feladattá tenné a prímtényezők megtalálását. Még ha a világ legerősebb számítógépeit használnák is fel egy hatalmas összetett szám (a titkosítási kulcs) két elsődleges tényezőre (a visszafejtési kulcsra) történő bontására, akkor is több évbe telne ezeknek a tényezőknek a megtalálása. Ezért, hogy meghiúsítsam a külföldi kémek alattomos terveit, csak évente kell kulcsot cserélnem. Évente egyszer nyilvánosságra hozom az új gigantikus összetett számomat, majd aki szerencsét akar próbálni és megfejteni az üzeneteimet, kénytelen lesz újra kezdeni a közzétett számot két prímtényezőre bontva.

A prímszámok a természetben is megtalálhatók. A Magicicada septendecim néven ismert időszakos kabócák a rovarok közül a leghosszabb életciklussal rendelkeznek. Életük a föld alatt kezdődik, ahol a lárvák türelmesen szívják a nedvet a fa gyökereiből. És csak 17 év várakozás után emelkednek ki a kifejlett kabócák a földből, hatalmas rajokba gyűlnek, és egy ideig mindent megtöltenek körülöttük. Néhány hét leforgása alatt párosodnak, tojásokat raknak, majd elpusztulnak.

A biológusokat foglalkoztató kérdés az, hogy miért olyan hosszú a kabócák életciklusa? Van-e különbség az életciklus szempontjából, hogy annak időtartamát egyszerű évszámban fejezzük ki? Egy másik faj, a Magicicada tredecim, 13 évente rajzik. Ez azt sugallja, hogy az életciklus hosszúsága egyszerű évszámban kifejezve bizonyos evolúciós előnyöket biztosít a fajnak.

A 19. század elejére Fermat utolsó tétele erős hírnevet szerzett a számelmélet legnehezebb problémájaként. Euler áttörése után a legkisebb előrelépés sem történt egészen addig, amíg egy fiatal francia nő szenzációs kijelentése új reményeket keltett. Újult erővel folytatódott a kutatás Fermat utolsó tételének bizonyítása után. Sophie Germain a sovinizmus és az előítéletek korszakát élte, és ahhoz, hogy gyakorolhassa a matematikát, álnevet kellett felvennie, szörnyű körülmények között kellett dolgoznia, és szellemi elszigetelten alkotnia kellett.

Évszázadokon át a matematikát nem nőies tevékenységnek tekintették, de a diszkrimináció ellenére számos matematikus nő ellenezte a kialakult szokásokat és gyakorlatokat, és bevéste nevüket a matematika évkönyveibe. Az első nő, aki nyomot hagyott a matematika történetében, Theano (Kr. e. 6. század) volt, aki Pythagorasnál tanult, egyik legközelebbi követője lett és feleségül vette. Pythagorast néha "feminista filozófusnak" nevezik, mert ő bátorította a női tudósokat. Theano csak egyike volt a Pythagorean testvériség huszonnyolc nővérének.

A későbbi időkben Szókratész és Platón támogatói és követői továbbra is nőket hívtak iskoláikba, de csak a Kr. u. 4. században. e. egy matematikusnő megalapította saját befolyásos iskoláját. Hypatia, az Alexandriai Akadémia matematikaprofesszorának lánya vitáiról és különféle problémák megoldási képességéről vált híressé az akkori világban. A matematikusok, akik hosszú hónapokig töprengtek valamilyen probléma megoldásán, segítségkéréssel fordultak Hypatiához, aki ritkán okozott csalódást rajongóinak. A matematika és a logikai bizonyítási folyamat teljesen magával ragadta, és arra a kérdésre, hogy miért nem ment férjhez, Hypatia azt válaszolta, hogy eljegyezte az Igazságot. Hypatia emberi értelembe vetett határtalan hite okozta a halálát, amikor Cirill, Alexandriai pátriárka üldözni kezdte a filozófusokat, természettudósokat és matematikusokat, akiket eretnekeknek nevezett. Edward Gibbon történész élénk beszámolót írt azokról az eseményekről, amelyek azután történtek, hogy Cyril összeesküvést szőtt Hypatia ellen, és tömeget indított ellene.

„Azon a végzetes napon, Lentus szent évszakában Hypatiát kirántották a szekérből, amelyben lovagolt, meztelenre vetkőztették, a templomba hurcolták és embertelenül darabokra vágták Olvasó Péter, valamint a vad és irgalmatlan tömeg keze által. fanatikusok; húsát éles osztrigahéjak szakították le csontjairól, remegő tagjait pedig máglyán égették el.”

Hypatia halála után a matematikában stagnálási időszak kezdődött. A második nő, aki matematikusként beszélt magáról, csak a reneszánsz után jelent meg. Maria Agnesi Milánóban született 1718-ban. Hypatiához hasonlóan ő is egy matematikus lánya volt. Agnesit Európa egyik legjobb matematikusaként ismerték el. Különösen híres volt a görbék érintőivel foglalkozó munkáiról. Olaszországban a görbéket "versiera"-nak (a latin "fordulni" szóból) nevezték, de ugyanazt a szót az "avversiera" szó összehúzódásának tekintették - "ördög felesége". Az Agnesi által feltárt görbéket (versiera Agnesi) helytelenül „Agnesi boszorkányának” fordították angolra, és idővel Maria Agnesit is így hívták.

Bár a matematikusok Európa-szerte elismerték Agnesi matematikai tehetségét, sok akadémiai intézmény, különösen a Francia Akadémia megtagadta, hogy kutatói állást adjanak neki. A nők akadémiai pozíciókból való kizárásának politikája a 20. században is folytatódott, amikor Emmy Noethert, akit Einstein „a nők felsőoktatásának kezdete óta a legjelentősebb kreatív matematikai zseninek” minősített, megtagadták az előadási jogot a Gottingeni Egyetemen. A legtöbb professzor így érvelt: „Hogyan engedheti meg, hogy egy nő magánasszisztens legyen? Hiszen ha magántucat lesz, akkor idővel professzor és az egyetem szenátusának tagja lehet... Mit gondolnak majd katonáink, amikor visszatérnek az egyetemre, és megtudják, hogy a lábánál kell tanulniuk egy nőtől? David Gilbert, Emmy Noether barátja és mentora így válaszolt erre: „Uraim! Nem értem, hogy a jelölt neme miért akadályozza meg abban, hogy magántucatként elfogadják. Végül is az egyetemi szenátus nem férfifürdő.”

Később Edmund Landau-t, Noether kollégáját megkérdezték, hogy Noether valóban nagyszerű matematikus nő-e, mire ő ezt válaszolta: „Esküdni tudok rá, hogy nagyszerű matematikus, de nem esküdhetek meg arra, hogy nő.”

Amellett, hogy Emmy Noether az elmúlt évszázadok női matematikusaihoz hasonlóan diszkriminációtól szenvedett, sokkal több közös vonása volt velük: például egy matematikus lánya volt. Általánosságban elmondható, hogy sok matematikus matematikus családból származott, és ez alaptalan pletykákra adott okot egy speciális matematikai génről, de a női matematikusok között különösen magas a matematikus családból származók aránya. A magyarázat úgy tűnik, hogy még a legtehetségesebb nők sem döntenének úgy, hogy matematikát tanulnak, vagy támogatást kapnának szándékaikhoz, ha családjuk nem foglalkozna a természettudományokkal. Hypatiához, Agnesihez és a legtöbb matematikus nőhöz hasonlóan Noether is nőtlen volt. A női matematikusok körében ilyen széles körben elterjedt cölibátus azzal magyarázható, hogy a társadalom rosszallását fogadta egy nő matematikai hivatásválasztása, és csak néhány férfi merte házasságot javasolni ilyen „kétes” hírű nőknek. Az általános szabály alól kivételt képez a nagy oroszországi matematikusnő, Szofja Vasziljevna Kovalevszkaja. Fiktív házasságot kötött Vladimir Onufrievich Kovalevsky paleontológussal. Mindkettőjük számára a házasság megváltás volt, lehetővé téve számukra, hogy megmeneküljenek a családjuk gondozásától, és a tudományos kutatásra összpontosítsanak. Ami Kovalevskaya-t illeti, sokkal kényelmesebb volt számára, hogy egyedül utazzon egy tekintélyes házas hölgy leple alatt.

Az összes európai ország közül Franciaország foglalta el a legmegalkuvástlanabb álláspontot a tanult nőkkel szemben, kijelentve, hogy a matematika nem megfelelő foglalkozás a nők számára, és meghaladja szellemi képességeiket! És bár a párizsi szalonok uralták a 18. és 19. század matematikai világát, egyetlen nőnek sikerült kiszabadulnia a francia közvélemény béklyóiból, és megalapozni a számelméleti nagy szakember hírnevét. Sophie Germain forradalmasította Fermat utolsó tételének bizonyítására irányuló törekvést, és sokkal többet tett, mint amit férfi elődei tettek.

Sophie Germain 1776. április 1-jén született Ambroise Francois Germain kereskedő családjában. A matematika iránti szenvedélye mellett életét mélyen befolyásolták a francia forradalom viharai és viszontagságai. Ugyanabban az évben, amikor felfedezte a számok iránti szeretetét, az emberek megrohamozták a Bastille-t, és miközben ő a számítást tanulta, a rémuralom árnyéka lehullott. Bár Sophie apja meglehetősen gazdag ember volt, Germainék nem tartoztak az arisztokráciához.

A Sophie-val a társadalmi ranglétrán egy fokon álló lányokat nem ösztönözték különösebben a matematika tanulmányozására, de elvárták tőlük, hogy kellő ismeretekkel rendelkezzenek a témában ahhoz, hogy beszélni tudjanak, ha az bármilyen matematikai kérdést érint. Ebből a célból tankönyvek sorozatát írták, hogy megismertesse őket a matematika és a természettudomány legújabb eredményeivel. Így Francesco Algarotti megírta a „Sir Isaac Newton filozófiája, magyarázva a hölgyek javára” című tankönyvet. Mivel Algarotti meg volt győződve arról, hogy a hölgyeket csak a regények érdekelhetik, megpróbálta Newton felfedezéseit a beszélgetőpartnerével flörtölő márkinő párbeszéde formájában bemutatni. Például a beszélgetőpartner kifejti a márkinőnek az egyetemes gravitáció törvényét, amelyre válaszul a márkiné a fizika ezen alapvető törvényének saját értelmezését fejezi ki: „Nem tudom megállni, hogy... ugyanaz az összefüggés, fordított arányosság a négyzettel. a távolságról... figyelik a szerelemben. Például, ha a szerelmesek nyolc napig nem látják egymást, akkor a szerelem hatvannégyszer gyengébb lesz, mint az elválás napján.

Nem meglepő, hogy Sophie Germain tudomány iránti érdeklődése nem az ilyen gáláns műfajú könyvek hatására alakult ki. Az egész életét megváltoztató esemény azon a napon történt, amikor apja könyvtárában könyveket böngészve véletlenül rábukkant Jean Etienne Montucla „A matematika története” című könyvére. Figyelmét felkeltette az a fejezet, amelyben Montucla Arkhimédész életéről beszél. Arkhimédész felfedezésének Montucla által bemutatott listája kétségtelenül felkeltette az érdeklődést, de Sophie képzeletét különösen az az epizód ragadta meg, amelyben Arkhimédész haláláról esett szó.

A legenda szerint Arkhimédész egész életét Siracusában töltötte, ahol viszonylag nyugodt környezetben tanult matematikát. Ám amikor már jóval hetven fölött volt, a békét megzavarta a római hadsereg inváziója. A legenda szerint ebben az invázióban történt, hogy Arkhimédész, mélyen elmerülve a homokba rajzolt geometrikus alakzat szemlélődésében, nem hallotta meg a hozzá intézett római katona kérdését, és lándzsa által átszúrva meghalt.

Germaine úgy érvelt, hogy ha egy geometriai probléma annyira magával ragad valakit, hogy az a halálához vezetett, akkor a matematika a világ legcsodálatosabb tantárgya. Sophie azonnal elkezdte önállóan tanulmányozni a számelmélet és a számítás alapjait, és hamarosan későig ácsorogva olvasta Euler és Newton műveit. Az olyan „nem nőies” tantárgy, mint a matematika iránti hirtelen érdeklődés megriasztotta Sophie szüleit. A család barátja, gróf Guglielmo Libri-Carucci dalla Sommaya elmondta, hogy Sophie apja elvitte lányától a gyertyákat, a ruhákat, és elvitte a kályhát, amely a szobáját fűtötte, hogy megakadályozza a matematika tanulmányozását. Néhány évvel később Nagy-Britanniában egy fiatal matematikus apja, Mary Somerville szintén elvette lánya gyertyáit, és kijelentette: „Ennek véget kell vetni, ha nem akarjuk kényszerzubbonyban látni Maryt.”

De válaszul Sophie Germaine titkos gyertyák tárolót indított, és lepedőbe burkolva megvédte magát a hidegtől. Libri-Carucci szerint a téli éjszakák olyan hidegek voltak, hogy a tinta megfagyott a tintatartóban, Sophie azonban folytatta a matematika tanulmányait, bármi is történt. Néhányan, akik fiatalkorában ismerték, azt állították, hogy félénk és esetlen volt, de határozott volt, és végül a szülei beletörődtek, és áldásukat adták Sophie-nak, hogy matematikát tanuljon. Germaine soha nem ment férjhez, és Sophie kutatásait apja finanszírozta egész karrierje során. Germaine hosszú évekig teljesen egyedül végezte kutatásait, mert a családban nem voltak matematikusok, akik megismertették volna a legújabb ötletekkel, Sophie tanárai pedig nem voltak hajlandók komolyan venni.

Germaine egyre magabiztosabbá vált képességeiben, és az órai feladatok megoldásáról a matematika korábban fel nem fedezett területeinek felfedezésére lépett. A történetünk szempontjából azonban az a legfontosabb, hogy Sophie érdeklődni kezdett a számelmélet iránt, és természetesen nem tudott nem hallani Fermat utolsó tételéről. Germaine több éven át dolgozott a bizonyításán, és végül elérte azt a szakaszt, amikor úgy tűnt neki, hogy képes elérni kívánt célját. Sürgősen meg kellett beszélni a kapott eredményeket egy kollégával, egy számelméleti szakemberrel, és Germaine úgy döntött, hogy a számelmélet legnagyobb szakemberéhez, Carl Friedrich Gauss német matematikushoz fordul.

Gausst általánosan elismerik, mint a valaha élt legbriliánsabb matematikust. EZ. Bell Fermat "az amatőrök hercegének", Gausst pedig "matematikusok hercegének" nevezte. Germaine most először értékelte igazán Gauss tehetségét, amikor találkozott remekművével, az „Aritmetikai vizsgálatok” című művével – ez a legfontosabb és szokatlanul széleskörű értekezés Euklidész elemei óta. Gauss munkája a matematika minden területére hatással volt, de furcsa módon soha nem publikált semmit Fermat utolsó tételéről. Az egyik levélben Gauss még megvetését is kifejezte Fermat problémájával kapcsolatban. Gauss barátja, Heinrich Olbers német csillagász levelet írt neki, amelyben határozottan azt tanácsolta, hogy vegyen részt a Párizsi Akadémia-díjért folyó versenyben Fermat problémájának megoldásáért: „Úgy tűnik, kedves Gauss, hogy aggódnia kell emiatt. ” Két héttel később Gauss így válaszolt: „Nagyon kötelességem hallani a Párizsi Díjjal kapcsolatos híreket. De bevallom, hogy Fermat Utolsó tétele, mint külön tétel, nagyon kevéssé érdekel engem, mivel sok olyan állítást tudnék adni, amelyeket nem lehet sem bizonyítani, sem megcáfolni. Gaussnak joga volt a véleményéhez, de Fermat egyértelműen kijelentette, hogy létezik bizonyíték, és még a későbbi sikertelen bizonyítási kísérletek is új és eredeti módszereket szültek, mint például a végtelen származású bizonyítás és a képzeletbeli számok használata. Talán Gauss is megpróbált bizonyítékot találni, de nem sikerült, és az Olbersnek adott válasza csak egy változata a "zöld a szőlő" kijelentésnek. Azonban a Germaine sikere, amelyről Gauss a leveleiből értesült, olyan erős benyomást tett rá, hogy Gauss átmenetileg megfeledkezett Fermat utolsó tétele iránti megvetéséről.

Hetvenöt évvel korábban Euler közzétette a bizonyítékot, amelyre talált n=3, és azóta minden matematikus más speciális esetekben hiába próbálja bizonyítani Fermat utolsó tételét. De Germaine új stratégiát választott, és Gaussnak írt leveleiben felvázolta Fermat problémájának úgynevezett általános megközelítését. Más szóval, közvetlen célja nem az volt, hogy egyetlen esetet bizonyítson – Germaine egyszerre sok konkrét esetről akart mondani valamit. Gaussnak írt leveleiben felvázolta a prímszámokra összpontosító számítások általános menetét p privát típus: úgy, hogy a számok 2 p+1 - szintén egyszerű. Az ilyen prímszámok Germain által összeállított listája tartalmazza az 5-ös számot, hiszen a 11 = 2·5 + 1 is prím, de a 13-as szám nem szerepel benne, mivel a 27 = 2·13 + 1 nem prím.

Különösen Germaine, elegáns érveléssel bebizonyította, hogy ha az egyenlet x n + y n = z n ilyen egyszerű megoldások is vannak n hogy 2 n A +1 is prímszám, akkor bármelyik x, y, vagy z részvényeket n.

1825-ben Gustav Lejeune Dirichlet és Adrien Marie Legendre sikeresen alkalmazta Sophie Germain módszerét. Ezeket a tudósokat egy egész generáció választotta el egymástól. Legendre egy hetven éves férfi volt, aki túlélte a nagy francia forradalom politikai viharait. Mivel nem volt hajlandó támogatni a Nemzeti Intézet kormányjelöltjét, megfosztották nyugdíjától, és mire hozzájárult Fermat utolsó tételének bizonyításához, Legendre égető szüksége volt. Dirichlet fiatal és ambiciózus számelmélet kutató volt, alig húsz éves. Legendre-nek és Dirichlet-nek egymástól függetlenül sikerült bebizonyítania Fermat utolsó tételét n=5, és mindketten Sophie Germain érvelésére alapozták bizonyítékaikat, és neki köszönhették sikerüket.

Újabb áttörést tizennégy évvel később a francia Gabriel Lamé hajtott végre. Néhány zseniális fejlesztést végzett Germain módszerén, és bebizonyította Fermat utolsó tételét elsődleges értékkel. n=7. Germaine megmutatta a számelméleti szakembereknek, hogyan lehet megszüntetni a prímértékű esetek egész csoportját. n, és most kollégái közös erőfeszítésével folytatták a tétel bizonyítását egyetlen egyszerű érték mellett n a másik után. Germaine Fermat utolsó tételével kapcsolatos munkája volt a legnagyobb eredménye a matematikában, bár nem értékelték azonnal. Amikor Germaine először írt Gaussnak, még nem volt harminc éves, és bár neve Párizsban vált híressé, attól tartott, hogy a nagy matematikus nem veszi komolyan egy nő levelét. Hogy megvédje magát, Germaine ismét egy álnév mögé menekült, és Monsieur Leblanc nevével írta alá a levelet.

Sophie nem titkolta Gauss iránti tiszteletét. Íme egy mondat a leveléből: „Sajnos az intellektusom mélysége alacsonyabb, mint étvágyam kielégíthetetlensége, és tudatában vagyok tettem ostobaságának, amikor magamra veszem a bátorságot, hogy megzavarjak egy zseniális embert anélkül a legcsekélyebb joga is van a figyelmének, kivéve azt a csodálatot, amely elkerülhetetlenül átöleli minden olvasóját." Gauss, aki nem tudta, ki is valójában a tudósítója, megpróbálta lecsillapítani „Monsieur Leblancot”. Gauss válaszlevelében ez állt: „Örülök, hogy az aritmetika ilyen tehetséges barátra talált benned.”

A Germaine által elért eredményeket tévesen Monsieur Leblancnak tulajdoníthatták volna örökre, ha nem Napóleon császárt. 1806-ban Napóleon elfoglalta Poroszországot, és a francia hadsereg egyik német fővárost a másik után rohamozta meg. Germaine félni kezdett, hogy második nagy hőse, Gauss osztozhat Arkhimédész sorsában. Sophie írt barátjának, Joseph Marie Pernety tábornoknak, aki az előrenyomuló csapatokat irányította. A levélben arra kérte a tábornokot, hogy biztosítsa Gauss biztonságát. A tábornok megtette a megfelelő intézkedéseket, gondoskodott a német matematikusról, és elmagyarázta neki, hogy Mademoiselle Germaine-nek köszönheti életét. Gauss kifejezte háláját, de meglepődött, mivel soha nem hallott Sophie Germainről.

A játék elveszett. Következő Gaussnak írt levelében Germaine vonakodva árulta el valódi nevét. Egyáltalán nem haragudott a megtévesztésért, Gauss elragadtatással válaszolt neki: „Hogy is írjam le azt az örömöt és ámulatot, amely elfogott annak láttán, hogy nagyra becsült levelezőtársam, Monsieur Leblanc átesett a metamorfózison, és csodálatos emberré változott. olyan ragyogó példa, hogy én Nehéz elhinni. Az absztrakt tudományok és mindenekelőtt a számok minden rejtélye iránti ízlés rendkívül ritka, és ez nem meglepő: ennek a finom tudománynak a csábító varázsa csak azok számára tárul fel, akiknek van bátorságuk mélyen behatolni abba. De amikor ennek a nemnek a képviselője, akinek szokásaink és előítéleteink szerint végtelenül nagyobb nehézségekkel kell szembenéznie, mint a férfiaknak, hogy megismerkedjen a tüskés nyomozásokkal, sikeresen leküzdi ezeket az akadályokat és behatol legsötétebb részeikbe, akkor kétségtelenül nemes bátorsággal, rendkívüli tehetségekkel és legfelsőbb tehetséggel rendelkezik. Semmi sem tudott ilyen hízelgően és kétségtelenül meggyőzni arról, hogy ennek a tudománynak a vonzó vonásai, amelyek oly sok örömmel gazdagították az életemet, nem csak a fantázia szüleményei, mint az az odaadás, amellyel megtisztelte.

1808-ban hirtelen véget ért a Carl Gauss-szal folytatott levelezés, amely Sophie Germaine munkáinak ihletforrásává vált. Gausst a Göttingeni Egyetem csillagászprofesszorává nevezték ki, érdeklődése a számelméletről az alkalmazott matematika felé terelődött, és nem válaszolt Germaine leveleire. Megfosztották egy ilyen mentor támogatásától, Germaine elvesztette bizalmát képességeiben, és egy év után otthagyta a tiszta matematika tanulmányait. Bár nem tudott további előrelépést elérni Fermat utolsó tételének bizonyítása terén, nagyon eredményes lett a fizika területén, egy olyan tudományterületen, amelyben újra előkelő helyet szerezhetett volna meg, ha nem a megalapozott előítéletekkel. Sophie Germain legnagyobb fizikai eredménye a „Memoir on the Vibrations of Elastic Plates” volt – ez egy zseniális munka, tele új ötletekkel, amelyek lefektették a modern rugalmasságelmélet alapjait. Ezért a munkájáért és a Fermat utolsó tételén végzett munkájáért megkapta az Institut de France kitüntetését, és ő lett az első nő, aki előadásokat tartott a Tudományos Akadémián anélkül, hogy az Akadémia egyik tagjának felesége lett volna. Élete vége felé Sophie Germaine újra kapcsolatot létesített Carl Gauss-szal, aki meggyőzte a Göttingeni Egyetemet, hogy adjon neki tiszteletbeli diplomát. Sajnos Sophie Germaine mellrákban meghalt, mielőtt az egyetem megérdemelten tisztelhette volna.

„Ha mindezt figyelembe vesszük, elmondható, hogy Sophie Germainnek a legmélyebb intelligenciája volt a Franciaország által valaha kifejlesztett nők közül. Furcsának tűnhet, de amikor a hivatalnok kiadta ennek a híres kolléganőnek és a Francia Tudományos Akadémia leghíresebb tagjainak alkalmazottjának halotti anyakönyvi kivonatát, a „foglalkozás” rovatban „szakma nélküli egyedülálló nőként” jelölte meg. ”, és nem „matematikus”. De ez még nem minden. Az Eiffel-torony építése során a mérnökök kiemelt figyelmet fordítottak a felhasznált anyagok rugalmasságára, és hetvenkét olyan tudós nevét írták fel erre a gigantikus szerkezetre, akik különösen jelentős mértékben járultak hozzá a rugalmasság elméletének kidolgozásához. De hiába keresnénk ebben a listában Franciaország ragyogó lányának nevét, akinek kutatásai nagyban hozzájárultak a fémek rugalmasságelméletének kidolgozásához - Sophie Germain. Ugyanabból az okból zárták ki a listáról, amiért Maria Agnesi nem kapott tagságot a Francia Akadémián – mert nő volt? Nyilván ez volt a helyzet. De ha ez valóban így van, akkor annál nagyobb a szégyen azok számára, akik ilyen nyilvánvaló hálátlanságért felelősek egy olyan ember iránt, aki olyan nagy szolgálatot tett a tudománynak - egy olyan emberrel, aki megszerezte az őt megillető helyet a Hírességek csarnokában. (A.J. Mozans, 1913.)

A Sophie Germain munkája révén elért előrehaladást követően a Francia Tudományos Akadémia egy sor díjat, köztük egy aranyérmet és 3000 frankot alapított annak a matematikusnak, aki végre meg tudta fejteni Fermat utolsó tételének rejtélyét. Aki be tudta bizonyítani a tételt, az nemcsak megérdemelt hírnevet, hanem jelentős anyagi jutalmat is kapott. A párizsi szalonok hemzsegtek a pletykáktól, hogy ez vagy az a jelölt milyen stratégiát választott, és mennyi időn belül hirdetik ki a verseny eredményét. Végül 1847. március 1-jén az Akadémia összeült a legdrámaibb ülésére.

A találkozó jegyzőkönyve részletesen leírja, hogy Gabriel Lamé, aki hét évvel korábban bebizonyította Fermat utolsó tételét n=7, fellépett a pódiumra a 19. század leghíresebb matematikusai előtt, és kijelentette, hogy Fermat utolsó tételének általános esetre való bizonyításának küszöbén áll. Lame elismerte, hogy a bizonyítása még nem teljes, de felvázolta módszerét, és némi örömmel bejelentette, hogy néhány héten belül közzéteszi a teljes bizonyítást az Akadémia által kiadott folyóiratban.

A közönség megdermedt az örömtől, de amint Lame elhagyta a pódiumot, az egyik legjobb párizsi matematikus, Augustin Louis Cauchy kért szavakat. Az Akadémia tagjaihoz fordulva Cauchy elmondta, hogy hosszú ideje dolgozik Fermat utolsó tételének bizonyításán, amely nagyjából ugyanazon az elgondoláson alapul, mint Lamé, és hamarosan egy teljes bizonyítást szándékozik publikálni.

Cauchy és Lamé is felismerték, hogy az idő a lényeg. A legrangosabb és legértékesebb matematikai díjat az kapja meg, aki elsőként nyújt be teljes bizonyítást. Bár sem Laménak, sem Cauchynak nem volt teljes bizonyítéka, mindkét rivális szívesen alátámasztotta állításait, és három héttel később mindketten lezárt borítékot nyújtottak be az Akadémiának. Ez volt a szokás abban az időben. Ez lehetővé tette a matematikusok számára, hogy érvényesítsék elsőbbségüket anélkül, hogy felfednék munkájuk részleteit. Ha a későbbiekben vita támadt az ötletek eredetiségét illetően, a lezárt boríték tartalmazta az elsőbbség megállapításához szükséges meggyőző bizonyítékokat.

Áprilisban, amikor Cauchy és Lamé végre közzétett bizonyítékaik néhány részletét a Proceedings of the Academy-ben, a feszültség fokozódott. Az egész matematikai közösség kétségbeesetten várta a teljes bizonyítékot, sok matematikus titokban abban reménykedett, hogy Cauchy helyett Lamé nyeri meg a versenyt. Mindent összevetve Cauchy öntörvényű teremtés és vallási fanatikus volt. Ráadásul nagyon népszerűtlen volt kollégái körében. Az Akadémián csak a ragyogó elméje miatt tűrték meg.

Végül május 24-én elhangzott egy nyilatkozat, amely véget vetett minden találgatásnak. Nem Cauchy vagy Lamé szólt az Akadémiához, hanem Joseph Liouville. Megdöbbentette a tisztelt hallgatóságot azzal, hogy elolvasta Ernst Kummer német matematikus levelét. Kummer a számelmélet elismert szakértője volt, de buzgó hazaszeretete, amelyet Napóleon iránti őszinte gyűlölet táplált, hosszú éveken át nem tette lehetővé, hogy igazi hivatásának szentelje magát. Amikor Kummer még gyerek volt, a francia hadsereg megszállta szülővárosát, Sorau-t, és magával hozta a tífuszjárványt. Kummer apja városi orvos volt, és néhány héttel később a betegség elvitte. A történtek miatt megdöbbent Kummer megfogadta, hogy mindent megtesz annak érdekében, hogy hazáját megszabadítsa egy új ellenséges inváziótól – az egyetem elvégzése után pedig az ágyúgolyók röppályáinak felépítésének problémájának megoldására irányította értelmét. Később a berlini katonai iskolában tanította a ballisztika törvényeit.

Katonai pályafutásával párhuzamosan Kummer aktívan foglalkozott a tiszta matematika területén végzett kutatásokkal, és teljes mértékben tisztában volt a Francia Akadémián történtekkel. Kummer figyelmesen elolvasta a Proceedings of the Academy kiadványait, és elemezte azt a néhány részletet, amelyet Cauchy és Láma megkockáztatott, hogy felfedjen. Világossá vált számára, hogy mindkét francia ugyanazon logikai zsákutca felé halad – és Liouville-nek írt levelében vázolta gondolatait.

Kummer szerint a fő probléma az volt, hogy Cauchy és Lamé bizonyításai az egész számok egy egyedi faktorizációként ismert tulajdonságán alapultak. Ez a tulajdonság azt jelenti, hogy a prímszámoknak csak egy olyan kombinációja lehetséges, amelyek szorzata adott egész számot ad. Például a prímszámok egyetlen olyan kombinációja, amelynek szorzata 18, a következő:

18 = 2 3 3.

Hasonlóképpen, a 35, 180 és 106260 számok egyedileg faktorizálhatók prímszámokká, és ezek faktorizálása a következő alakú:

35 = 5 7, 180 = 2 2 3 3 5, 106260 = 2 2 3 5 7 11 23.

A faktorizáció egyediségét a Kr.e. IV. században fedezték fel. e. Eukleidész, aki az Elemek IX. könyvében bebizonyította, hogy ez minden természetes számra igaz. Az összes természetes szám prímtényezősségének egyedisége számos különféle tétel bizonyításának létfontosságú eleme, és ma az aritmetika alaptételének nevezik.

Első pillantásra semmi oka nem lehet annak, hogy Cauchy és Lamé miért ne használhatta volna fel a faktorizáció egyediségét az érvelésükben, ahogy azt előttük több száz matematikus tette. Az Akadémiának bemutatott mindkét bizonyítás azonban képzeletbeli számokat használt. Kummer felhívta Liouville figyelmét, hogy bár az egyedi faktorizációs tétel érvényes egész számokra, nem feltétlenül érvényes, ha képzeletbeli számokat használunk. Kummer szerint ez végzetes hiba volt.

Például, ha egész számokra korlátozzuk magunkat, akkor a 12-es szám 2·2·3 egyedi dekompozícióját engedi meg. De amint megengedjük a képzeletbeli számokat a bizonyításban, a 12-es szám a következőképpen faktorizálható:

12 = (1 + v–11) · (1 + v–11).

Itt 1 + v–11 egy komplex szám, amely egy valós és egy képzeletbeli szám kombinációja. Bár a komplex számok szorzása összetettebb szabályokat követ, mint a valós számok szorzása, a komplex számok létezése további módszereket ad a 12-es szám faktorálására. Íme egy másik módja a 12-es szám lebontásának:

12 = (2 + v–8) · (2 ​​+ v–8).

Következésképpen, amikor a bizonyításban képzeletbeli számokat használunk, nem a dekompozíció egyediségéről beszélünk, hanem a faktorizálás valamelyik változatának megválasztásáról.

Így a faktorizáció egyediségének elvesztése súlyos károkat okozott Cauchy és Lamé bizonyításaiban, de nem semmisítette meg őket teljesen. A bizonyításnak azt kellett volna demonstrálnia, hogy az egyenletben nem léteznek egész számú megoldások x n + y n = z n, Hol n- bármely 2-nél nagyobb egész szám. Amint azt ebben a fejezetben már említettük, a valóságban Fermat utolsó tételét csak prímértékekre kell bizonyítani n. Kummer megmutatta, hogy további trükkök segítségével vissza lehet állítani bizonyos értékek faktorizálásának egyediségét n. Például a dekompozíció egyediségének problémája megkerülhető minden olyan prímszám esetében, amely nem haladja meg n= 31 (magával az értékkel együtt n= 31). De mikor n= 37 megszabadulni a nehézségektől nem olyan egyszerű. A 100-nál kisebb számok mellett különösen nehéz bebizonyítani Fermat utolsó tételét n= 59 és n= 67. Ezek az úgynevezett szabálytalan prímszámok a többi szám között szétszórva buktatóvá váltak a teljes bizonyításhoz vezető úton.

Kummer megjegyezte, hogy nem ismertek olyan matematikai módszerek, amelyek lehetővé tennék, hogy az összes szabálytalan prímszámot egy csapásra figyelembe vegyük. Ám úgy vélte, hogy ha a meglévő módszereket gondosan minden egyes szabálytalan prímszámra külön-külön szabja, akkor képes lesz „egyenként” kezelni őket. Az ilyen egyedi módszerek kifejlesztése lassú és rendkívül nehéz lenne, és ami még rosszabb, a szabálytalan prímszámok száma végtelen lenne. A szabálytalan prímszámok egyenkénti figyelembevétele az egész világ matematikai közösségében évszázadok végéig tartana.

Kummer levele lenyűgöző hatással volt Lame-re. Ne felejtse el az egyedi faktorizációs feltevést! Ezt legjobb esetben túlzott optimizmusnak, rosszabb esetben megbocsáthatatlan butaságnak nevezhetjük. Béna rájött, hogy ha nem törekedett volna munkája részleteinek titokban tartására, sokkal korábban felfedezhette volna a hiányt. A berlini kollégájának, Dirichlet-nek írt levelében bevallotta: „Ha csak ön Párizsban lett volna, vagy én Berlinben, mindez soha nem történt volna meg.” Ha Lamé megalázottnak érezte magát, Cauchy nem volt hajlandó elismerni a vereségét. Véleménye szerint Lamé bizonyításához képest a saját bizonyítása kevésbé támaszkodott a faktorizáció egyediségére, és amíg Kummer elemzése nem teljesül, fennáll annak a lehetősége, hogy valahol hiba csúszott a német matematikus érvelésébe. Cauchy több héten át cikkről cikkre publikált Fermat utolsó tételének bizonyításáról, de a nyár végére ő is elhallgatott.

Kummer megmutatta, hogy Fermat utolsó tételének teljes bizonyítása meghaladja a meglévő matematikai megközelítések lehetőségeit. Ez a logika zseniális példája volt, és egyben szörnyű csapást mért a matematikusok egész generációjára, akik abban reménykedtek, hogy képesek lesznek megoldani a világ legnehezebb matematikai problémáját.

Az összefoglalót Cauchy foglalta össze, aki 1857-ben a Fermat-féle utolsó tétel bizonyításáért odaítélt díjról az Akadémiának benyújtott zárójelentésében ezt írta: „Jelentés a matematikai tudományok díjáért folyó versenyről. A versenyt 1853-ra tervezték, majd 1856-ig meghosszabbították. Tizenegy emlékiratot mutattak be a titkárnak. Egyikben sem oldódott meg a feltett kérdés. Így annak ellenére, hogy sokszor feltették, a kérdés továbbra is az, hogy Kummer úr hol hagyta. A matematikai tudományokat azonban megjutalmazták a geométerek, különösen Kummer úr munkája a kérdés megoldása érdekében, és a bizottság tagjai úgy vélik, hogy az Akadémia elégséges és hasznos döntést hozott volna, ha visszavonult volna. A verseny kérdésére kitüntetéssel jutalmazták Kummer urat az egységgyökökből és egész számokból álló komplex számokkal kapcsolatos kiváló tanulmányaiért.”

Több mint két évszázadon át minden kísérlet, amely Fermat utolsó tételének bizonyítására irányult, kudarccal végződött. Fiatal korában Andrew Wiles tanulmányozta Euler, Germaine, Cauchy, Lamé és végül Kummer műveit. Wiles abban reménykedett, hogy tanulhat a nagy elődei hibáiból, de mire az Oxfordi Egyetemen egyetemi hallgató lett, ugyanaz a kőfal állta az útját, amelynek Kummer az útját állta.

Wiles kortársai közül néhányan gyanakodni kezdtek, hogy Fermat problémája megoldhatatlan lehet. Lehetséges, hogy Fermat tévedett, és ezért senki sem tudta rekonstruálni Fermat bizonyítását egyszerűen az, hogy ilyen bizonyíték soha nem létezett. Wiles-t az a tény ihlette meg, hogy a múltban, évszázadok óta tartó kitartó erőfeszítések után, bizonyos jelentésekért n Végül felfedezték Fermat utolsó tételének bizonyítékát. És néhány esetben a problémát megoldó sikeres ötletek nem támaszkodtak a matematika új vívmányaira; éppen ellenkezőleg, olyan bizonyíték volt, amelyet már régen fel lehetett volna fedezni.

A megoldásnak évtizedek óta makacsul ellenálló probléma egyik példája a ponthipotézis. Több ponttal foglalkozik, amelyek mindegyike egyenes vonalakkal van összekötve más pontokkal, amint az ábra mutatja. 13. A hipotézis kimondja, hogy lehetetlen ilyen diagramot úgy felrajzolni, hogy minden egyenesen legalább három pont legyen (azt a diagramot kizárjuk a számításból, amelyben minden pont ugyanazon az egyenesen van). Több diagrammal kísérletezve ellenőrizhetjük, hogy a ponthipotézis helyesnek tűnik. ábrán. 13 Aöt pontot hat egyenes köt össze. Ezen egyenesek közül négyen nincs három pont, ezért nyilvánvaló, hogy a pontok ilyen elrendezése nem elégíti ki a feladat azon követelményét, amely szerint minden egyenesnek három pontja van.

Rizs. 13. Ezeken az ábrákon minden pont egyenes vonallal van összekötve a többi ponttal. Lehetséges-e olyan diagramot készíteni, amelyben minden egyenes legalább három ponton halad át?

Egy pont és egy rajta áthaladó vonal hozzáadásával háromra csökkentettük a három pontot nem tartalmazó sorok számát. De a diagram további redukálása a hipotézis feltételeire (az ábra olyan átrendezése, amelynek eredményeként minden egyenesen három pont lenne) láthatóan lehetetlen. Természetesen ez nem bizonyítja, hogy ilyen diagram nem létezik.

Matematikusok nemzedékei próbáltak bizonyítékot találni a pontokról szóló, látszólag egyszerű hipotézisre – de nem sikerült. Ez a hipotézis még bosszantóbb, mert amikor végül megtalálták a megoldást, kiderült, hogy csak minimális matematikai ismereteket és egy rendkívüli fordulatot igényel az érvelés. A bizonyítás menetét a 6. függelék ismerteti.

Nagyon valószínű, hogy a Fermat-féle utolsó tétel bizonyításához szükséges összes módszer már a matematikusok rendelkezésére állt, és az egyetlen hiányzó összetevő valami zseniális trükk volt. Wiles nem akarta feladni: gyermekkori álma, hogy bebizonyítsa Fermat utolsó tételét, mély és komoly szenvedélyté vált. Miután Wiles mindent megtanult, amit a 19. századi matematikáról tudni lehetett, a 20. századi módszerek alkalmazása mellett döntött.

Megjegyzések:

Eszembe jutott Titchmarsh mondata: „Nemrég találkoztam egy emberrel, aki azt mondta, hogy nem is hisz a mínusz egy létezésében, mivel ez azt jelenti, hogy létezik a négyzetgyök :) - E.G.A.

Adok egy illusztrációt egy új ügyfélről, aki Gilbert szállodájába költözik. A "Proofs from THE BOOK" című könyvből származik, amelyet a Springer adott ki 1998-ban, és 2001-ben adtak ki újra. Szerzők: Martin Aigner és Gunter M. Ziegler. Egy kis idézet a szerzők előszavából a könyvhöz: "Paul Erdos szeretett a könyvről beszélni, amelyben Isten tökéletes bizonyítékokat tart fenn matematikai tételekre, követve G. H. Hardy diktátumát, miszerint a csúnya matematikának nincs állandó helye. Erdos azt is mondta, hogy nem kell hinned Istenben, de matematikusként hinned kell a könyvben. Nincs definíciónk vagy jellemzésünk arra vonatkozóan, hogy mi számít bizonyítéknak a könyvből: itt csak azokat a példákat kínáljuk, amelyeket kiválasztottunk, remélve, hogy Az olvasók megosztják lelkesedéssel a zseniális ötleteket, az okos meglátásokat és a csodálatos megfigyeléseket. Reméljük, hogy olvasóink is élvezni fogják a bemutatásunk hiányosságait. Ez az ábra a „Halmazok, függvények és a kontinuum hipotézis” fejezetet nyitja meg. - E.G.A.

Hmm... Valahol azt olvastam, hogy az életével fizetett, amikor azt kiáltotta: „Vigyázat! Ne lépj rá a rajzaimra!”, de a római katona, akinek ez a felkiáltás szólt, nem figyelt arra, hogy előtte egy fegyvertelen öregember áll. :(És az előbb említett „Bizonyítékok A KÖNYVBŐL” könyvben a „Számelmélet” című fejezetet egy rajz előzi meg, amiben nincs lándzsa. Úgy látszik, a művész sem ismerte Arkhimédész halálának részleteit. - E.G.A.

Sok embert összezavarnak az érthetetlen matematikai szimbólumok és a szigorú matematikai szabályok, mindig kerülik az olyan feladatok megoldását, amelyek nem csak betűket, hanem számokat is tartalmaznak. Természetesen a matematika lehet nagyon összetett, de a vele elérhető eredmények egészen váratlanok, gyönyörűek és egyszerűen elképesztőek lehetnek.

Négy szín probléma

A Négy színprobléma egy matematikai probléma, amelyet 1852-ben fogalmazott meg Francis Guthrie, aki akkoriban Anglia megyéinek térképét próbálta kiszínezni (akkor még nem volt internet, így nem nagyon volt mit tenni). Felfedezett valami érdekeset – mindössze 4 színre volt szükség ahhoz, hogy bármely két, egy határon osztozó terület eltérő legyen. Guthrie érdeklődni kezdett, hogy ez a szabály működne-e bármely más térképen, és a kérdés olyan matematikai problémává vált, amelyet évekig nem lehetett megoldani.

Ezt a problémát Kenneth Appel és Wolfgang Haken csak 1976-ban oldotta meg. Számítógépet használtak ennek bizonyítására, és elég bonyolultnak bizonyult. De bebizonyosodott, hogy minden térképet (például egy politikai világtérképet) csak 4 színnel lehet kiszínezni úgy, hogy egyetlen állam sem érint meg egy ugyanolyan színűt.

Brouwer fixpont tétele

Ezt a tételt a matematika olyan ágából, mint a topológia, Leutzen Brouwer bizonyította. Pusztán matematikai kifejezése meglehetősen elvont, de váratlan módokon alkalmazható különféle valós eseményekre. Tegyük fel, hogy van egy festményünk (például a Mona Lisa), és készíthetünk róla másolatot. Ezután bármit megtehetünk ezzel a másolattal – nagyíthatunk, kicsinyíthetünk, forgathatunk, gyűrhetünk, bármit. Brouwer fixpont tétele kimondja, hogy ha ezt a deformált másolatot az eredetire helyezzük, akkor a másolaton mindig lesz legalább egy olyan pont, amely pontosan az eredeti képének ugyanazon pontja felett helyezkedik el. Lehet Mona fülének, szájának vagy szemének egy darabja, de biztosan lesz ilyen pont.

A tétel háromdimenziós térben is működik. Képzeljük el, hogy van egy pohár vizünk, amibe teszünk egy kanalat, és annyit keverünk, amennyit csak akarunk. Brouwer tétele szerint mindig lesz legalább egy vízmolekula, amely pontosan ugyanoda kerül, mint a keverés előtt.

Russell paradoxona

A 20. század fordulóján sok tudóst lenyűgözött a matematika egy új ága - a halmazelmélet. Elvileg a halmaz bármilyen objektum gyűjteménye. Akkoriban azt hitték, hogy bármilyen tárgyhalmazt lehet halmaznak tekinteni - az összes gyümölcs halmazát, az összes amerikai elnök halmazát, és mindezt igaznak tekintették. Érdemes hozzátenni, hogy egy készlet más készleteket is tartalmazhat. 1901-ben a híres matematikus, Bertrand Russell szenzációs felfedezést tett, amikor rájött, hogy ez a gondolkodásmód hibás – valójában nem minden tárgygyűjtemény nevezhető halmaznak.

Úgy döntött, hogy megvizsgálja ezt a kérdést, Russell leírta az összes olyan halmaz halmazát, amelyek nem tartalmazzák magukat elemként. Az összes gyümölcsből álló készlet nem tartalmazza önmagát, így a Russell készletbe is belekerülhet, mint rengeteg más készlet. De mi a helyzet magával a Russell-készlettel? Önmagát nem tartalmazza, így ennek is benne kell lennie ebben a készletben. Várj egy kicsit... most már tartalmazza magát, ezért ki kell zárnunk. De most újra magában kell foglalnia, mivel ebben a pillanatban nem tartalmazza önmagát. És így tovább. Ez a logikai paradoxon a halmazelmélet felülvizsgálatához vezetett, amely a modern matematika egyik legfontosabb területe.

Fermat utolsó tétele

Emlékszel a Pitagorasz-tételre az iskolából? Azt állítja, hogy egy derékszögű háromszögben a befogó négyzete egyenlő a lábak négyzeteinek összegével (x2 + y2 = z2). Pierre Fermat leghíresebb tétele szerint ugyanannak a kifejezésnek nincs x, y és z természetes megoldása, ha bármely kettőnél nagyobb természetes szám hatványban van.

Ahogy Fermat maga írta: „...lehetetlen egy kockát két kockára, egy bikvadrátot két bikvadrátra, és általában minden négyzetnél nagyobb hatványt két hatványra, azonos kitevővel. Találtam erre egy igazán csodálatos bizonyítékot, de a könyv margói túl szűkek hozzá.” A probléma az, hogy Fermat ezt 1637-ben írta, és hosszú évekig nem bizonyított. És csak 1995-ben (358 évvel később) bizonyította be a tételt Andrew Wiles.

A világvége tétel

Valószínű, hogy a cikk olvasóinak többsége ember. Ez kijózanító számunkra, emberek számára – a matematika segítségével megállapítható, hogy fajunk mikor fog teljesen kihalni. Valószínűségeket használva, de mégis.
Ez a tétel (amely körülbelül 30 éve létezik, és többször is felfedezték és újra felfedezték) azt sugallja, hogy az emberiség ideje fogy. Az egyik bizonyíték (amely Richard Gott asztrofizikusé) meglepően egyszerű: ha az emberi faj teljes létezését egy egyedi szervezet életfolyamatának tekintjük, akkor meghatározhatjuk, hogy fajunk melyik életszakaszban van.

Abból a feltételezésből kiindulva, hogy a ma élő emberek az emberi történelem teljes kronológiájában véletlenszerű helyen helyezkednek el, 95%-os biztonsággal kijelenthetjük, hogy a valaha születettek utolsó 95%-a között vagyunk. Ezenkívül Gott megpróbál 95%-os konfidencia intervallumot adni a minimális és maximális túlélési idő között. Mivel 2,5% esélyt ad a minimális idő alulbecslésére, a maximum túlbecslésére csak 2,5% marad. Gott szerint az emberiség 5100 év és 7,8 millió év múlva fog kihalni. Tehát, emberiség, itt az ideje, hogy megírd a végrendeletet.

Azt már láttuk, hogy ha egy numerikus sorozatnak van határa, akkor ennek a sorozatnak az elemei a lehető legközelebb állnak hozzá. Még nagyon kis távolságon is mindig találhat két olyan elemet, amelyek távolsága még kisebb lesz. Ezt nevezik alapvető sorozatnak vagy Cauchy-szekvenciának. Mondhatjuk-e, hogy ennek a sorozatnak van határa? Ha kialakul

Ha veszünk egy négyzetet, amelynek oldala eggyel egyenlő, akkor a Pitagorasz-tétel segítségével könnyen kiszámíthatjuk az átlóját: $d^2=1^2+1^2=2$, azaz az átló értéke egyenlő lesz $\sqrt 2$-ra. Most két számunk van, 1 és $\sqrt 2$, amelyeket két vonalszakasz képvisel. Kapcsolatot azonban nem fogunk tudni kialakítani közöttük, mint korábban. Lehetetlen

Annak meghatározása, hogy a P pont hol található - egy bizonyos ábrán belül vagy kívül - néha nagyon egyszerű, mint például az ábrán látható ábra esetében: Azonban bonyolultabb ábrák esetében, mint például az alábbi ábra, ez nehezebb. . Ehhez ceruzával vonalat kell húznia. Ha azonban ilyen kérdésekre keresünk választ, használhatunk egy egyszerű választ,

Általában a következőképpen fogalmazzák meg: az 1-től eltérő minden természetes szám egyedileg ábrázolható prímszámok szorzataként, vagy így: minden természetes szám egyedileg ábrázolható különböző prímszámok hatványainak szorzataként. Ez utóbbi bővítés gyakran kanonikusnak nevezik, bár nem mindig, de megköveteli. Ez azért van így, hogy a prímtényezők növekvő sorrendben lépjenek be ebbe a bővítésbe.

Ez a tétel rendkívül hasznos a hatványmaradványokat érintő problémák megoldásában, és bár ez egy teljesen komoly számelméleti tétel, és nem szerepel az iskolai kurzusban, bizonyítása normál iskolai szinten elvégezhető. Sokféleképpen kivitelezhető, és az egyik legegyszerűbb bizonyítás a binomiális képleten, vagy a Newton-binomiálison alapul, amely

A módszertani irodalomban gyakran találkozhatunk a közvetett bizonyítékokkal, mint ellentmondásos bizonyítékokkal. Valójában ez a fogalom nagyon szűk értelmezése. Az ellentmondásos bizonyítási módszer az egyik leghíresebb közvetett bizonyítási módszer, de messze nem az egyetlen. Más közvetett bizonyítási módszerek, bár gyakran intuitív szinten alkalmazzák, ritkán valósulnak meg, és

A tanárok gyakran a vektorok skaláris szorzatát használva szinte azonnal bebizonyítják a Pitagorasz-tételt és a koszinusztételt. Ez mindenképpen csábító. Azonban megjegyzés szükséges. A hagyományos bemutatásban a vektorok skaláris szorzatának eloszlását később bizonyítjuk, mint a Pitagorasz-tételt, mivel ez utóbbit használjuk ebben a bizonyításban, legalábbis közvetve. Ennek a bizonyításnak több változata is lehetséges. Az iskolai geometria tankönyvekben, mint pl