Terület keresése határozott integrál segítségével. Hogyan számoljuk ki egy síkfigura területét kettős integrál segítségével

Az előző szakaszban, amely egy határozott integrál geometriai jelentésének elemzésével foglalkozott, számos képletet kaptunk a görbe vonalú trapéz területének kiszámításához:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x folytonos és nem negatív y = f (x) függvényre az [ a ; b ] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x y = f (x) folytonos és nem pozitív függvényre az [ a ; b ] .

Ezek a képletek viszonylag egyszerű feladatok megoldására alkalmazhatók. A valóságban gyakran bonyolultabb figurákkal kell dolgoznunk. Ebben a tekintetben ezt a részt az olyan ábrák területének kiszámítására szolgáló algoritmusok elemzésének szenteljük, amelyeket a függvények explicit formában korlátoznak, pl. mint például y = f(x) vagy x = g(y).

Tétel

Legyen az y = f 1 (x) és y = f 2 (x) függvény definiált és folytonos az [ a ; b ] , és f 1 (x) ≤ f 2 (x) bármely x értékre [a ; b ] . Ekkor az x = a, x = b, y = f 1 (x) és y = f 2 (x) egyenesekkel határolt G ábra területének kiszámítására szolgáló képlet így fog kinézni: S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

Hasonló képlet alkalmazható az y = c, y = d, x = g 1 (y) és x = g 2 (y) egyenesekkel határolt alakzat területére is: S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y.

Bizonyíték

Nézzünk meg három olyan esetet, amelyekre a képlet érvényes lesz.

Az első esetben, figyelembe véve a terület additivitásának tulajdonságát, az eredeti G ábra és a görbe vonalú G 1 trapéz területének összege megegyezik a G 2 ábra területével. Ez azt jelenti

Ezért S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Az utolsó átmenetet a határozott integrál harmadik tulajdonságával tudjuk végrehajtani.

A második esetben az egyenlőség igaz: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

A grafikus illusztráció így fog kinézni:

Ha mindkét függvény nem pozitív, akkor a következőt kapjuk: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f) 2 (x) - f 1 (x)) d x . A grafikus illusztráció így fog kinézni:

Térjünk át arra az általános esetre, amikor y = f 1 (x) és y = f 2 (x) metszi az O x tengelyt.

A metszéspontokat x i, i = 1, 2, -vel jelöljük. . . , n - 1 . Ezek a pontok felosztják a szakaszt [a; b ] n részre x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , n, ahol α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Ennélfogva,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Az utolsó átmenetet a határozott integrál ötödik tulajdonságával végezhetjük el.

Illusztráljuk az általános esetet a grafikonon.

Az S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x képlet bizonyítottnak tekinthető.

Most menjünk tovább az y = f (x) és x = g (y) egyenesek által határolt ábrák területének kiszámítására vonatkozó példák elemzésére.

A példák bármelyikének vizsgálatát egy gráf felépítésével kezdjük. A kép lehetővé teszi számunkra, hogy bonyolult formákat egyszerűbb formák uniójaként ábrázoljunk. Ha Önnek nehézséget okoz a grafikonok és ábrák elkészítése, tanulmányozhatja az alapvető elemi függvényekről, a függvénygráfok geometriai transzformációjáról szóló részt, valamint a függvény tanulmányozása közben a grafikonok szerkesztését.

1. példa

Meg kell határozni az ábra területét, amelyet az y = - x 2 + 6 x - 5 parabola és az y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4 egyenesek korlátoznak.

Megoldás

Rajzoljuk meg a grafikonon a vonalakat a derékszögű koordinátarendszerben.

A szakaszon [ 1 ; 4 ] az y = - x 2 + 6 x - 5 parabola grafikonja az y = - 1 3 x - 1 2 egyenes felett helyezkedik el. Ebben a tekintetben a válasz megszerzéséhez a korábban kapott képletet, valamint a határozott integrál kiszámításának módszerét használjuk a Newton-Leibniz képlet segítségével:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Válasz: S(G) = 13

Nézzünk egy összetettebb példát.

2. példa

Ki kell számítani az ábra területét, amelyet az y = x + 2, y = x, x = 7 vonalak határolnak.

Megoldás

Ebben az esetben csak egyetlen egyenesünk van, amely párhuzamos az x tengellyel. Ez x = 7. Ez megköveteli, hogy magunk találjuk meg az integráció második határát.

Építsünk gráfot, és ábrázoljuk rajta a feladatmeghatározásban megadott egyeneseket.

Ha a gráf a szemünk előtt van, könnyen megállapíthatjuk, hogy az integráció alsó határa az y = x egyenes és az y = x + 2 félparabola grafikonja metszéspontjának abszcisszája lesz. Az abszcissza meghatározásához az egyenlőségeket használjuk:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

Kiderül, hogy a metszéspont abszcisszája x = 2.

Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a rajz általános példájában az y = x + 2, y = x egyenesek a (2; 2) pontban metszik egymást, így az ilyen részletes számítások szükségtelennek tűnhetnek. Csak azért adtunk itt ilyen részletes megoldást, mert bonyolultabb esetekben a megoldás nem biztos, hogy olyan egyértelmű. Ez azt jelenti, hogy mindig jobb az egyenesek metszéspontjának koordinátáit analitikusan kiszámítani.

Az intervallumon [ 2 ; 7] az y = x függvény grafikonja az y = x + 2 függvény grafikonja felett helyezkedik el. Alkalmazzuk a képletet a terület kiszámításához:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Válasz: S (G) = 59 6

3. példa

Ki kell számítani az ábra területét, amelyet az y = 1 x és y = - x 2 + 4 x - 2 függvények grafikonjai korlátoznak.

Megoldás

Ábrázoljuk a vonalakat a grafikonon.

Határozzuk meg az integráció határait. Ehhez az 1 x és - x 2 + 4 x - 2 kifejezések egyenlővé tételével határozzuk meg az egyenesek metszéspontjainak koordinátáit. Feltéve, hogy x nem nulla, az 1 x = - x 2 + 4 x - 2 egyenlőség ekvivalenssé válik a harmadfokú - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 egyenlettel egész együtthatókkal. Az ilyen egyenletek megoldására szolgáló algoritmus emlékezetének felfrissítéséhez olvassa el a „Köbös egyenletek megoldása” című részt.

Ennek az egyenletnek a gyöke x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

Az - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 kifejezést elosztva az x - 1 binomiálissal, a következőt kapjuk: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

A maradék gyököket az x 2 - 3 x - 1 = 0 egyenletből találhatjuk meg:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

Megtaláltuk az x ∈ 1 intervallumot; 3 + 13 2, amelyben a G ábra a kék felett és a piros vonal alatt található. Ez segít meghatározni az ábra területét:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Válasz: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

4. példa

Ki kell számítani az ábra területét, amelyet az y = x 3, y = - log 2 x + 1 görbék és az abszcissza tengely korlátoznak.

Megoldás

Ábrázoljuk a grafikonon az összes vonalat. Az y = log 2 x grafikonból megkaphatjuk az y = - log 2 x + 1 függvény grafikonját, ha szimmetrikusan pozícionáljuk az x tengelyre, és egy egységgel feljebb mozgatjuk. Az x tengely egyenlete y = 0.

Jelöljük az egyenesek metszéspontjait.

Amint az ábrán látható, az y = x 3 és y = 0 függvények grafikonjai a (0; 0) pontban metszik egymást. Ez azért történik, mert az x = 0 az x 3 = 0 egyenlet egyetlen valódi gyöke.

x = 2 az egyetlen gyöke a - log 2 x + 1 = 0 egyenletnek, így az y = - log 2 x + 1 és y = 0 függvények grafikonjai a (2; 0) pontban metszik egymást.

x = 1 az x 3 = - log 2 x + 1 egyenlet egyetlen gyöke. Ebben a tekintetben az y = x 3 és y = - log 2 x + 1 függvények grafikonjai az (1; 1) pontban metszik egymást. Lehet, hogy az utolsó állítás nem nyilvánvaló, de az x 3 = - log 2 x + 1 egyenletnek nem lehet több gyöke, mivel az y = x 3 függvény szigorúan növekvő, az y = - log 2 x + 1 függvény pedig szigorúan csökken.

A további megoldás több lehetőséget is magában foglal.

1.opció

A G ábrát elképzelhetjük két, az x tengely felett elhelyezkedő görbe vonalú trapéz összegeként, amelyek közül az első az x ∈ 0 szakaszon a középvonal alatt helyezkedik el; 1, a második pedig a piros vonal alatt van az x ∈ 1 szakaszon; 2. Ez azt jelenti, hogy a terület egyenlő lesz S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

2. lehetőség

A G ábra két ábra különbségeként ábrázolható, amelyek közül az első az x tengely felett és a kék vonal alatt található az x ∈ 0 szakaszon; 2, a második pedig az x ∈ 1 szakasz piros és kék vonalai között; 2. Ez lehetővé teszi, hogy a következőképpen találjuk meg a területet:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

Ebben az esetben a terület megtalálásához egy S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y képletet kell használnia. Valójában az ábrát határoló vonalak az y argumentum függvényeiként ábrázolhatók.

Oldjuk meg az y = x 3 és - log 2 x + 1 egyenleteket x vonatkozásában:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Megkapjuk a szükséges területet:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Válasz: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

5. példa

Ki kell számítani az ábra területét, amelyet az y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4 vonalak korlátoznak.

Megoldás

Piros vonallal ábrázoljuk az y = x függvény által meghatározott egyenest. Az y = - 1 2 x + 4 vonalat kékkel, az y = 2 3 x - 3 vonalat feketével húzzuk.

Jelöljük meg a metszéspontokat.

Keressük meg az y = x és y = - 1 2 x + 4 függvények grafikonjainak metszéspontjait:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Ellenőrizze: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 nem az x 2 = egyenlet megoldása 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 a ⇒ (4; 2) egyenlet megoldása i y = x és y = - 1 2 x metszéspont + 4

Keressük meg az y = x és y = 2 3 x - 3 függvények grafikonjainak metszéspontját:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Ellenőrizze: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 a ⇒ (9 ; 3) egyenlet megoldása, pont a s y = x és y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Az egyenletnek nincs megoldása

Keressük meg az y = - 1 2 x + 4 és y = 2 3 x - 3 egyenesek metszéspontját:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) metszéspont y = - 1 2 x + 4 és y = 2 3 x - 3

1. számú módszer

Képzeljük el a kívánt ábra területét az egyes figurák területének összegeként.

Ekkor az ábra területe:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

2. számú módszer

Az eredeti ábra területe két másik ábra összegeként is ábrázolható.

Ezután megoldjuk az x-hez viszonyított egyenes egyenletét, és csak ezután alkalmazzuk az ábra területének kiszámításának képletét.

y = x ⇒ x = y 2 piros vonal y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 fekete vonal y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

Tehát a terület:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 év + 9 2 - - 2 év + 8 n y + ∫ 2 3 3 2 év + 9 2 - y 2 n y = = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 n y + ∫ 3 3 2 év + 9 2 - y 2 nap y = = 7 4 év 2 - 7 4 év 1 2 + - y 3 3 + 3 év 2 4 + 9 2 év 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Mint látható, az értékek ugyanazok.

Válasz: S (G) = 11 3

Eredmények

Ahhoz, hogy megtaláljuk egy alakzat azon területét, amelyet adott vonalak határolnak, vonalakat kell megszerkesztenünk egy síkon, meg kell találnunk a metszéspontjaikat, és a képlet segítségével meg kell találnunk a területet. Ebben a részben a feladatok leggyakoribb változatait vizsgáltuk.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Megoldás.

A döntés első és legfontosabb pontja a rajz felépítése.

Készítsük el a rajzot:

Az egyenlet y=0 beállítja az „x” tengelyt;

- x=-2 És x=1 - egyenes, a tengellyel párhuzamos OU;

- y=x 2 +2 - parabola, melynek ágai felfelé irányulnak, csúcsa a (0;2) pontban van.

Megjegyzés. Egy parabola megszerkesztéséhez elegendő megtalálni a koordinátatengelyekkel való metszéspontjait, azaz. elhelyezés x=0 keresse meg a metszéspontot a tengellyel OU és a megfelelő másodfokú egyenlet megoldásával keressük meg a tengellyel való metszéspontot Ó .

A parabola csúcsát a következő képletekkel találhatjuk meg:

A vonalakat pontról pontra is építheti.

A [-2;1] intervallumon a függvény grafikonja y=x 2 +2 található tengelye felett Ökör , Ezért:

Válasz: S =9 négyzetméter

A feladat elvégzése után mindig hasznos megnézni a rajzot, és rájönni, hogy a válasz valódi-e. Ebben az esetben „szemmel” megszámoljuk a rajz celláinak számát - nos, körülbelül 9 lesz, úgy tűnik, igaz. Teljesen egyértelmű, hogy ha mondjuk azt a választ kaptuk: 20 négyzetegység, akkor nyilvánvaló, hogy valahol hiba történt - 20 cella nyilván nem fér bele a kérdéses ábrába, legfeljebb egy tucat. Ha a válasz nemleges, akkor a feladatot is rosszul oldották meg.

Mi a teendő, ha az ívelt trapéz található a tengely alatt Ó?

b) Számítsa ki egy vonallal határolt ábra területét! y=-e x , x=1 és koordinátatengelyek.

Megoldás.

Készítsünk rajzot.

Ha egy ívelt trapéz teljesen a tengely alatt helyezkedik el Ó , akkor a területe a következő képlettel kereshető:

Válasz: S=(e-1) sq. units" 1,72 sq. units

Figyelem! A két típusú feladatot nem szabad összekeverni:

1) Ha egyszerűen egy határozott integrált kell megoldani, geometriai jelentés nélkül, akkor az negatív lehet.

2) Ha egy figura területét egy határozott integrál segítségével kérik meg, akkor a terület mindig pozitív! Ezért jelenik meg a mínusz az imént tárgyalt képletben.

A gyakorlatban az ábra leggyakrabban a felső és az alsó félsíkban található.

Val vel) Keresse meg egy síkidom vonallal határolt területét y=2x-x2, y=-x.

Megoldás.

Először be kell fejeznie a rajzot. Általánosságban elmondható, hogy területfeladatokban rajz készítésekor leginkább az egyenesek metszéspontjaira vagyunk kíváncsiak. Keressük meg a parabola metszéspontjait és egyenes Ezt kétféleképpen lehet megtenni. Az első módszer analitikus.

Megoldjuk az egyenletet:

Ez azt jelenti, hogy az integráció alsó határa a=0 , az integráció felső határa b=3 .

Megépítjük a megadott egyeneseket: 1. Parabola - csúcs az (1;1) pontban; tengely metszéspontja Ó - pont (0;0) és (0;2). 2. Egyenes - a 2. és 4. koordinátaszög felezője. És most Figyelem! Ha a szegmensen [ a;b] valamilyen folytonos függvény f(x) nagyobb vagy egyenlő, mint valamilyen folytonos függvény g(x), akkor a megfelelő ábra területét a következő képlet segítségével találhatja meg: .

És nem számít, hogy az ábra hol található - a tengely felett vagy a tengely alatt, hanem az számít, hogy melyik grafikon magasabb (egy másik grafikonhoz képest), és melyik ALATT. A vizsgált példában nyilvánvaló, hogy a szakaszon a parabola az egyenes felett helyezkedik el, ezért le kell vonni

Pontról pontra építhet vonalakat, és az integráció határai „önmaguktól” válnak egyértelművé. Ennek ellenére a határértékek meghatározásának analitikus módszerét olykor még mindig alkalmazni kell, ha például elég nagy a gráf, vagy a részletes konstrukció nem tárta fel az integráció határait (lehet töredékes vagy irracionális).

A kívánt alakzatot felül egy parabola, alul pedig egyenes vonal határolja.

A szegmensen , a megfelelő képlet szerint:

Válasz: S =4,5 négyzetméter

Ebből a cikkből megtudhatja, hogyan találhatja meg egy vonallal határolt ábra területét integrálszámítások segítségével. Ilyen probléma megfogalmazásával először középiskolában találkozunk, amikor éppen befejeztük a határozott integrálok tanulmányozását, és itt az ideje, hogy a gyakorlatban elkezdjük a megszerzett tudás geometriai értelmezését.

Tehát mi szükséges ahhoz, hogy sikeresen megoldjuk az ábra területének integrálok segítségével történő megtalálását:

Képes hozzáértő rajzok készítésére;
Határozott integrál megoldásának képessége a jól ismert Newton-Leibniz formula segítségével;
A jövedelmezőbb megoldási lehetőség „látásának” képessége - pl. megérti, hogy egyik vagy másik esetben hogyan lesz kényelmesebb az integráció végrehajtása? Az x tengely (OX) vagy az y tengely (OY) mentén?
Nos, hol lennénk helyes számítások nélkül?) Ez magában foglalja a más típusú integrálok megoldásának megértését és a helyes numerikus számításokat.

Algoritmus egy vonallal határolt ábra területének kiszámításának problémájának megoldására:

1. Rajzot építünk. Célszerű ezt kockás papírlapon, nagy méretben megtenni. Minden grafikon felett ceruzával írjuk alá ennek a függvénynek a nevét. A grafikonok aláírása kizárólag a további számítások kényelmét szolgálja. Miután megkaptuk a kívánt ábra grafikonját, a legtöbb esetben azonnal világossá válik, hogy az integráció mely korlátait fogják használni. Így a feladatot grafikusan oldjuk meg. Előfordul azonban, hogy a határértékek töredékesek vagy irracionálisak. Ezért további számításokat végezhet, folytassa a második lépéssel.

2. Ha az integráció határai nincsenek kifejezetten megadva, akkor megkeressük a gráfok metszéspontjait egymással, és megnézzük, hogy a grafikus megoldásunk egybeesik-e az analitikus megoldással.

3. Ezután elemeznie kell a rajzot. Attól függően, hogy a függvénygrafikonok hogyan vannak elrendezve, különböző megközelítések léteznek az ábra területének megkeresésére. Nézzünk meg különböző példákat egy figura területének megkeresésére integrálok segítségével.

3.1. A probléma legklasszikusabb és legegyszerűbb változata az, amikor meg kell találnia egy ívelt trapéz területét. Mi az ívelt trapéz? Ez egy lapos ábra, amelyet az x tengely határol (y = 0), egyenes x = a, x = bés tetszőleges görbe folytonos a tól intervallumon a előtt b. Ráadásul ez az ábra nem negatív, és nem az x tengely alatt található. Ebben az esetben a görbe vonalú trapéz területe számszerűen megegyezik egy bizonyos integrállal, amelyet a Newton-Leibniz képlet alapján számítanak ki:

1. példa y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Milyen vonalak határolják az ábrát? Van egy parabolánk y = x2 – 3x + 3, amely a tengely felett helyezkedik el Ó, ez nem negatív, mert ennek a parabolának minden pontja pozitív értékű. Következő, adott egyenes vonalak x = 1És x = 3, amelyek a tengellyel párhuzamosan futnak OU, az ábra bal és jobb oldali határvonalai. Jól y = 0, ez egyben az x tengely is, amely alulról határolja az ábrát. A kapott ábra árnyékolt, amint az a bal oldali ábrán látható. Ebben az esetben azonnal megkezdheti a probléma megoldását. Előttünk áll egy egyszerű példa egy görbe trapézre, amelyet aztán a Newton-Leibniz képlet segítségével oldunk meg.

3.2. Az előző 3.1. bekezdésben azt az esetet vizsgáltuk, amikor egy görbe trapéz helyezkedik el az x tengely felett. Tekintsük most azt az esetet, amikor a probléma feltételei ugyanazok, kivéve, hogy a függvény az x tengely alatt van. A standard Newton-Leibniz képlethez mínusz kerül. Az alábbiakban megvizsgáljuk, hogyan lehet megoldani egy ilyen problémát.

2. példa . Számítsa ki egy vonallal határolt ábra területét! y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

Ebben a példában van egy parabola y = x2 + 6x + 2, amely a tengelyből ered Ó, egyenes x = -4, x = -1, y = 0. Itt y = 0 felülről korlátozza a kívánt alakot. Közvetlen x = -4És x = -1 ezek azok a határok, amelyeken belül a határozott integrál kiszámításra kerül. Az ábra területének megtalálásának elve szinte teljesen egybeesik az 1. számú példával. Az egyetlen különbség az, hogy az adott függvény nem pozitív, hanem folytonos az intervallumon [-4; -1] . Mit értesz azon, hogy nem pozitív? Amint az ábrán látható, az adott x-eken belüli alaknak kizárólag „negatív” koordinátái vannak, amit látnunk kell és emlékeznünk kell a feladat megoldása során. Az ábra területét a Newton-Leibniz képlet segítségével keressük, csak mínuszjellel az elején.

A cikk nincs befejezve.

Elkezdjük megvizsgálni a kettős integrál kiszámításának tényleges folyamatát, és megismerkedünk geometriai jelentésével.

A kettős integrál numerikusan egyenlő a sík alakzatának területével (az integrációs tartomány). Ez a kettős integrál legegyszerűbb formája, amikor két változó függvénye egyenlő eggyel: .

Először is nézzük meg a problémát általános formában. Most meg fog lepődni, hogy valójában minden milyen egyszerű! Számítsuk ki egy vonallal határolt lapos alak területét. A határozottság kedvéért feltételezzük, hogy a szegmensen. Ennek az ábrának a területe számszerűen egyenlő:

Ábrázoljuk a területet a rajzon:

Válasszuk ki a terület bejárásának első módját:

És így:

És rögtön egy fontos technikai technika: az iterált integrálok külön számíthatók. Először a belső integrál, majd a külső integrál. Nagyon ajánlom ezt a módszert a témában kezdőknek.

1) Számítsuk ki a belső integrált, és az integrációt az „y” változón hajtjuk végre:

A határozatlan integrál itt a legegyszerűbb, majd a banális Newton-Leibniz formulát használjuk, azzal a különbséggel, hogy az integráció határai nem számok, hanem függvények. Először a felső határt behelyettesítettük az „y”-be (antiderivatív függvény), majd az alsó határt

2) Az első bekezdésben kapott eredményt be kell cserélni a külső integrálba:

A teljes megoldás tömörebb ábrázolása így néz ki:

A kapott képlet pontosan a munkaképlet egy síkidom területének kiszámításához a „közönséges” határozott integrál segítségével! Nézze meg a leckét Terület számítása határozott integrál segítségével, ott van minden lépésnél!

vagyis a terület kiszámításának problémája kettős integrál használatával nem sokban különbözik a terület keresésének problémájából egy határozott integrál segítségével! Sőt, ez ugyanaz!

Ennek megfelelően semmiféle nehézség nem merülhet fel! Nem fogok nagyon sok példát nézni, mivel Ön valójában többször is találkozott ezzel a feladattal.

9. példa

Megoldás:Ábrázoljuk a területet a rajzon:

Válasszuk a terület bejárásának a következő sorrendjét:

Itt és a továbbiakban nem foglalkozom azzal, hogyan kell bejárni a területet, mivel az első bekezdésben nagyon részletes magyarázatok voltak.

És így:

Amint már megjegyeztem, a kezdőknek jobb, ha az iterált integrálokat külön számítják ki, és ragaszkodom ehhez a módszerhez:

1) Először a Newton-Leibniz képlet segítségével foglalkozunk a belső integrállal:

2) Az első lépésben kapott eredményt behelyettesítjük a külső integrálba:

A 2. pont valójában egy síkfigura területének meghatározása egy meghatározott integrál segítségével.

Válasz:

Ez olyan hülye és naiv feladat.

Érdekes példa egy független megoldásra:

10. példa

Kettős integrál segítségével számítsa ki egy síkidom területét, amelyet a vonalak határolnak, ,

Hozzávetőleges példa a végső megoldásra a lecke végén.

A 9-10. példákban sokkal kifizetődőbb a terület bejárásának első módszere, a kíváncsi olvasók egyébként megváltoztathatják a bejárás sorrendjét és a második módszerrel számíthatják ki a területeket. Ha nem hibázik, akkor természetesen ugyanazokat a területértékeket kapja.

De bizonyos esetekben a terület bejárásának második módja hatékonyabb, és a fiatal nerd tanfolyam végén nézzünk meg még néhány példát ebben a témában:

11. példa

Kettős integrál segítségével számítsuk ki egy vonallal határolt síkidom területét,

Megoldás: Két parabolát várunk, amelyek az oldalukon fekszenek. Nem kell mosolyogni, a hasonló dolgok gyakran előfordulnak több integrálban is.

Mi a legegyszerűbb módja a rajz készítésének?

Képzeljünk el egy parabolát két függvény formájában:
– a felső ágat és – az alsó ágat.

Hasonlóképpen képzeljünk el egy parabolát felső és alsó formájában ágak.

Ezután a grafikonok szabályainak pontonkénti ábrázolása, ami egy ilyen bizarr ábrát eredményez:

Az ábra területét a kettős integrál segítségével számítjuk ki a következő képlet szerint:

Mi történik, ha a terület bejárásának első módját választjuk? Először is ezt a területet két részre kell osztani. Másodszor pedig ezt a szomorú képet fogjuk megfigyelni: . Az integrálok persze nem túlbonyolított szintűek, de... van egy régi matematikai mondás: aki közel áll a gyökereihez, annak nem kell teszt.

Ezért a feltételben megadott félreértésből az inverz függvényeket fejezzük ki:

Az inverz függvények ebben a példában azzal az előnnyel rendelkeznek, hogy egyszerre adják meg a teljes parabolát levelek, makk, ágak és gyökerek nélkül.

A második módszer szerint a terület bejárása a következő lesz:

És így:

Ahogy mondják, érezd a különbséget.

1) A belső integrállal foglalkozunk:

Az eredményt behelyettesítjük a külső integrálba:

Az „y” változó feletti integráció nem lehet zavaró, ha lenne egy „zy” betű, akkor jó lenne, ha integrálnánk. Bár aki elolvasta a lecke második bekezdését Hogyan lehet kiszámítani a forgástest térfogatát, már a legkisebb esetlenséget sem tapasztalja az „Y” módszer szerinti integrációval kapcsolatban.

Figyeljünk az első lépésre is: az integrandus páros, az integrálási intervallum pedig nulla körül szimmetrikus. Ezért a szegmens felezhető, és az eredmény megduplázható. Ezt a technikát a leckében részletesen ismertetjük. Hatékony módszerek a határozott integrál kiszámítására.

Mit kell hozzá…. Minden!

Válasz:

Az integrációs technika teszteléséhez próbálkozzon a számítással . A válasznak pontosan ugyanannak kell lennie.

12. példa

Kettős integrál segítségével számítsa ki egy vonallal határolt síkidom területét

Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. Érdekesség, hogy ha a terület bejárásának első módszerével próbálkozunk, akkor már nem két, hanem három részre kell osztani a figurát! És ennek megfelelően három pár ismétlődő integrált kapunk. Néha megtörténik.

A mesterkurzus véget ért, és ideje továbblépni a nagymesteri szintre - Hogyan kell kiszámítani a dupla integrált? Példák megoldásokra. A második cikkben megpróbálok nem annyira mániákus lenni =)

Sok sikert!

Megoldások és válaszok:

2. példa:Megoldás: Ábrázoljuk a területet a rajzon:

Válasszuk a terület bejárásának a következő sorrendjét:

És így:
Térjünk át az inverz függvényekre:

És így:
Válasz:

4. példa:Megoldás: Térjünk át a közvetlen függvényekre:

Készítsük el a rajzot:

Változtassuk meg a terület bejárásának sorrendjét:

Válasz:

Valójában egy figura területének megtalálásához nincs szükség a határozatlan és határozott integrál ismeretére. A „terület kiszámítása határozott integrál segítségével” feladat mindig rajz készítését foglalja magában, így tudásod és rajzkészséged sokkal égetőbb kérdés lesz. Ebben a tekintetben hasznos frissíteni a memóriát az alapvető elemi függvények grafikonjairól, és legalább egy egyenest és egy hiperbolát készíteni.

Az ívelt trapéz egy sík alak, amelyet egy tengely, egyenesek és egy olyan szakaszon folytonos függvény grafikonja határol, amely nem változtat előjelet ezen az intervallumon. Helyezzük el ezt az ábrát nem kevesebb x-tengely:

Akkor egy görbe vonalú trapéz területe numerikusan egyenlő egy határozott integrállal. Minden határozott integrálnak (ami létezik) nagyon jó geometriai jelentése van.

Geometria szempontjából a határozott integrál a TERÜLET.

vagyis egy bizonyos integrál (ha létezik) geometriailag megfelel egy bizonyos ábra területének. Vegyük például a határozott integrált. Az integrandus egy görbét határoz meg a tengely felett elhelyezkedő síkon (aki szeretne rajzot készíteni), maga a határozott integrál pedig számszerűen egyenlő a megfelelő görbe vonalú trapéz területével.

1. példa

Ez egy tipikus hozzárendelési nyilatkozat. A döntés első és legfontosabb pontja a rajz felépítése. Ezenkívül a rajzot meg kell készíteni JOBB.

A rajz készítésekor a következő sorrendet javaslom: először jobb minden egyenest megszerkeszteni (ha van ilyen) és csak Akkor- parabolák, hiperbolák, egyéb függvények grafikonjai. Kifizetődőbb a függvénygrafikonok készítése pontról pontra.

Ebben a problémában a megoldás így nézhet ki.
Rajzoljuk meg a rajzot (megjegyezzük, hogy az egyenlet határozza meg a tengelyt):

A szegmensen a függvény grafikonja található tengelye felett, Ezért:

Válasz:

3. példa

Számítsa ki az ábra vonalakkal és koordinátatengelyekkel határolt területét!

Megoldás: Készítsünk rajzot:

Ha ívelt trapéz található a tengely alatt(vagy legalább nem magasabb adott tengely), akkor területe a következő képlettel kereshető:

Ebben az esetben:

Figyelem! A két típusú feladatot nem szabad összekeverni:

1) Ha egyszerűen egy határozott integrált kell megoldani, geometriai jelentés nélkül, akkor az negatív lehet.

2) Ha egy figura területét egy határozott integrál segítségével kérik meg, akkor a terület mindig pozitív! Ezért jelenik meg a mínusz az imént tárgyalt képletben.

A gyakorlatban az ábra leggyakrabban a felső és az alsó félsíkon is elhelyezkedik, ezért a legegyszerűbb iskolai feladatoktól áttérünk az értelmesebb példákra.

4. példa

Keresse meg egy sík alakzat területét, amelyet a vonalak határolnak.

Megoldás: Először be kell fejeznie a rajzot. Általánosságban elmondható, hogy területfeladatokban rajz készítésekor leginkább az egyenesek metszéspontjaira vagyunk kíváncsiak. Keressük meg a parabola és az egyenes metszéspontját. Ezt kétféleképpen lehet megtenni. Az első módszer analitikus. Megoldjuk az egyenletet:

Ez azt jelenti, hogy az integráció alsó határa , az integráció felső határa .

Ha lehetséges, jobb, ha nem használja ezt a módszert..

Sokkal kifizetődőbb és gyorsabb pontról pontra építeni a vonalakat, az integráció határai pedig „önmaguktól” válnak egyértelművé. Ennek ellenére a határértékek meghatározásának analitikus módszerét olykor még mindig alkalmazni kell, ha például elég nagy a gráf, vagy a részletes konstrukció nem tárta fel az integráció határait (lehet töredékes vagy irracionális). És egy ilyen példát is megvizsgálunk.

Térjünk vissza a feladatunkhoz: racionálisabb először egyenest konstruálni, és csak utána parabolát. Készítsük el a rajzot:

És most a munkaképlet: Ha van valamilyen folyamatos függvény a szegmensen nagyobb vagy egyenlő valamilyen folytonos függvényt, akkor az ábrának ezen függvények grafikonjai és a , egyenesek által határolt területe a következő képlettel kereshető:

Itt már nem kell azon gondolkodnia, hol található az ábra - a tengely felett vagy a tengely alatt, és durván szólva, számít, hogy melyik grafikon magasabb(egy másik grafikonhoz képest), és melyik van ALUL.

A vizsgált példában nyilvánvaló, hogy a szakaszon a parabola az egyenes felett helyezkedik el, ezért le kell vonni

A kész megoldás így nézhet ki:

A kívánt alakzatot felül egy parabola, alul pedig egyenes vonal határolja.
A szegmensen a megfelelő képlet szerint:

Válasz:

4. példa

Számítsa ki az ábra területét, amelyet a , , , vonalak határolnak.

Megoldás: Először is készítsünk egy rajzot:

Az a figura, amelynek területét meg kell találnunk, kék színű(figyelmesen nézze meg a feltételt – mennyire korlátozott a szám!). De a gyakorlatban a figyelmetlenség miatt gyakran előfordul olyan „hiba”, hogy meg kell találni egy figura zölddel árnyékolt területét!

Ez a példa abból a szempontból is hasznos, hogy egy ábra területét két határozott integrál segítségével számítja ki.

Igazán:

1) A tengely feletti szakaszon van egy egyenes grafikonja;

2) A tengely feletti szakaszon egy hiperbola grafikonja található.

Teljesen nyilvánvaló, hogy a területeket hozzá lehet (és kell) hozzáadni, ezért:

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete