Példák három szám legkisebb közös többszörösére. Least Common Multiple (LCM) – Definíció, példák és tulajdonságok

A legnagyobb közös osztó

2. definíció

Ha egy a természetes szám osztható egy $b$ természetes számmal, akkor a $b$-t $a$ osztójának, az $a$-t pedig a $b$ többszörösének nevezzük.

Legyenek $a$ és $b$ természetes számok. A $c$ számot mind az $a$, mind a $b$ közös osztójának nevezzük.

Az $a$ és $b$ számok közös osztóinak halmaza véges, mivel ezen osztók egyike sem lehet nagyobb $a$-nál. Ez azt jelenti, hogy ezen osztók között van egy legnagyobb, amelyet az $a$ és $b$ számok legnagyobb közös osztójának neveznek, és a következő jelöléssel jelöljük:

$GCD\(a;b)\ vagy \D\(a;b)$

Két szám legnagyobb közös osztójának megtalálásához a következőkre lesz szüksége:

1. Keresse meg a 2. lépésben talált számok szorzatát. Az eredményül kapott szám lesz a kívánt legnagyobb közös osztó.

1. példa

Keresse meg a $121$ és a $132.$ számok gcd-jét

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Válassza ki azokat a számokat, amelyek ezeknek a számoknak a kibontásában szerepelnek

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Keresse meg a 2. lépésben talált számok szorzatát. Az eredményül kapott szám lesz a kívánt legnagyobb közös osztó.

$GCD=2\cdot 11=22$

2. példa

Keresse meg a $63$ és $81$ monomok gcd-jét.

A bemutatott algoritmus szerint megtaláljuk. Ehhez tegye a következőket:

Tekintsük a számokat prímtényezőkbe

$63=3\cdot 3\cdot 7$

81 $=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Kiválasztjuk azokat a számokat, amelyek ezeknek a számoknak a bővítésében szerepelnek

$63=3\cdot 3\cdot 7$

81 $=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Keressük meg a 2. lépésben talált számok szorzatát. Az eredményül kapott szám lesz a kívánt legnagyobb közös osztó.

$GCD=3\cdot 3=9$

Két szám gcd-jét más módon is megtalálhatja, a számok osztókészletével.

3. példa

Keresse meg a $48$ és $60$ számok gcd-jét.

Megoldás:

Keressük meg a $48$ szám osztókészletét: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

Most keressük meg a $60$ szám osztókészletét:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\) $

Keressük meg ezeknek a halmazoknak a metszéspontját: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - ez a halmaz határozza meg a $48$ és $60 számok közös osztóinak halmazát $. A készlet legnagyobb eleme a $12$ szám lesz. Ez azt jelenti, hogy a $48$ és a 60$ számok legnagyobb közös osztója 12$.

Az NPL meghatározása

3. definíció

Természetes számok közös többszörösei Az $a$ és a $b$ egy természetes szám, amely mind az $a$, mind a $b$ többszöröse.

A számok közös többszörösei olyan számok, amelyek maradék nélkül oszthatók az eredeti számokkal. Például a $25$ és a $50$ számok közös többszörösei a $50,100,150,200$ stb.

A legkisebb közös többszöröst a legkisebb közös többszörösnek nevezzük, és LCM$(a;b)$ vagy K$(a;b).$

Két szám LCM-jének megkereséséhez a következőket kell tennie:

1. A faktorszámok prímtényezőkké
2. Írd le azokat a tényezőket, amelyek az első szám részét képezik, és add hozzá azokat a tényezőket, amelyek a második részei, és nem az elsőben

4. példa

Keresse meg a $99$ és a $77$ számok LCM-jét.

A bemutatott algoritmus szerint megtaláljuk. Erre

A faktorszámok prímtényezőkké

99 USD=3\cdot 3\cdot 11 USD

Írja le az elsőben szereplő tényezőket!

adjunk hozzájuk olyan szorzószámokat, amelyek a második részét képezik, és nem az elsőnek

Keresse meg a 2. lépésben talált számok szorzatát. Az eredményül kapott szám a kívánt legkisebb közös többszörös lesz

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

A számok osztóinak listáinak összeállítása gyakran igen munkaigényes feladat. Van egy módszer a GCD megtalálására, az úgynevezett euklideszi algoritmus.

Állítások, amelyeken az euklideszi algoritmus alapul:

Ha $a$ és $b$ természetes számok, és $a\vdots b$, akkor $D(a;b)=b$

Ha $a$ és $b$ természetes számok, így $b

A $D(a;b)= D(a-b;b)$ használatával egymás után csökkenthetjük a vizsgált számokat, amíg el nem érünk egy olyan számpárt, amelyik osztható a másikkal. Ekkor ezek közül a számok közül a kisebb lesz az $a$ és $b$ számok kívánt legnagyobb közös osztója.

A GCD és az LCM tulajdonságai

1. $a$ és $b$ bármely közös többszöröse osztható K$(a;b)$-tal
2. Ha $a\vdots b$ , akkor К$(a;b)=a$

Ha K$(a;b)=k$ és $m$ természetes szám, akkor K$(am;bm)=km$

Ha $d$ az $a$ és a $b$ közös osztója, akkor K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

Ha $a\vdots c$ és $b\vdots c$ , akkor a $\frac(ab)(c)$ $a$ és $b$ közös többszöröse

Minden $a$ és $b$ természetes számra érvényes az egyenlőség

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

Az $a$ és $b$ számok bármely közös osztója a $D(a;b)$ szám osztója

Az LCM kiszámításának megértéséhez először meg kell határoznia a „többszörös” kifejezés jelentését.

A többszöröse olyan természetes szám, amely maradék nélkül osztható A-val. Így azok a számok, amelyek 5 többszörösei, 15-nek, 20-nak, 25-nek stb.

Egy adott számnak korlátozott számú osztója lehet, de végtelen számú többszöröse van.

A természetes számok közös többszöröse olyan szám, amely osztható velük anélkül, hogy maradékot hagyna.

Hogyan találjuk meg a számok legkisebb közös többszörösét

A számok legkisebb közös többszöröse (LCM) (kettő, három vagy több) a legkisebb természetes szám, amely osztható ezekkel a számokkal.

A LOC megtalálásához többféle módszert is használhat.

Kis számok esetén célszerű ezeknek a számoknak az összes többszörösét felírni egy sorba, amíg nem talál valami közöset közöttük. A többszöröseket nagy K betűvel jelöljük.

Például a 4 többszörösei így írhatók:

K (4) = (8, 12, 16, 20, 24, ...)

K (6) = (12, 18, 24, ...)

Így látható, hogy a 4 és 6 számok legkisebb közös többszöröse a 24. Ez a jelölés a következőképpen történik:

LCM(4; 6) = 24

Ha a számok nagyok, keresse meg három vagy több szám közös többszörösét, akkor jobb, ha más módszert használ az LCM kiszámítására.

A feladat elvégzéséhez a megadott számokat prímtényezőkbe kell számolni.

Először le kell írnia egy sor legnagyobb számának felbomlását, és alatta - a többit.

Az egyes számok dekompozíciója különböző számú tényezőt tartalmazhat.

Például vegyük az 50-es és 20-as számokat prímtényezőkbe.

A kisebb szám bővítésében érdemes kiemelni azokat a tényezőket, amelyek az első legnagyobb szám bővítésében hiányoznak, majd hozzá kell adni azokat. A bemutatott példában hiányzik a kettő.

Most kiszámolhatja a 20 és 50 legkisebb közös többszörösét.

LCM(20; 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Így a nagyobb szám prímtényezőinek és a második szám azon tényezőinek szorzata, amelyek nem szerepeltek a nagyobb szám bővítésében, lesz a legkisebb közös többszörös.

Három vagy több szám LCM-jének meghatározásához az előző esethez hasonlóan mindegyiket prímtényezőkbe kell számolnia.

Példaként megtalálhatja a 16, 24, 36 számok legkisebb közös többszörösét.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Így a tizenhat bővítéséből csak két kettes nem került be nagyobb szám faktorizálásába (az egyik a huszonnégy bővítésébe).

Így nagyobb szám bővítéséhez hozzá kell adni őket.

LCM(12; 16; 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

A legkisebb közös többszörös meghatározásának vannak speciális esetei. Tehát, ha az egyik szám maradék nélkül osztható egy másikkal, akkor ezek közül a számok közül a nagyobb lesz a legkisebb közös többszörös.

Például a tizenkettő és a huszonnégy LCM értéke huszonnégy.

Ha meg kell találni azoknak a koprímszámoknak a legkisebb közös többszörösét, amelyek nem rendelkeznek azonos osztókkal, akkor az LCM-jük egyenlő lesz a szorzatukkal.

Például LCM (10, 11) = 110.

60=2*2*3*5
75=3*5*5
2) Írjuk fel az első számok bővítésében szereplő tényezőket, és adjuk hozzá a második szám bővítéséből hiányzó 5-ös tényezőt. A következőt kapjuk: 2*2*3*5*5=300. Megtaláltuk a NOC-ot, i.e. ez az összeg = 300. Ne felejtse el a méretet, és írja be a választ:
Válasz: Anya 300 rubelt ad.

GCD definíció: Legnagyobb közös osztó (GCD) természetes számok AÉs V hívjuk a legnagyobb természetes számot c, amelyhez a, És b maradék nélkül felosztva. Azok. c a legkisebb természetes szám, amelyre és AÉs b többszörösei.

Feljegyzés: Kétféle megközelítés létezik a természetes számok meghatározására

• a használt számok: objektumok felsorolása (számozása) (első, második, harmadik, ...); - az iskolákban ez általában így van.
• az elemek számának megjelölése (nincs Pokemon - nulla, egy Pokemon, két Pokemon, ...).

A negatív és nem egész (racionális, valós, ...) számok nem természetes számok. Egyes szerzők nullát tartalmaznak a természetes számok halmazában, mások nem. Az összes természetes szám halmazát általában a szimbólum jelöli N

Feljegyzés: Természetes szám osztója a nevezd meg a számot b, amelyhez a maradék nélkül felosztva. Természetes szám többszörösei b hívjon egy természetes számot a, ami osztható vele b nyom nélkül. Ha a szám b- számosztó a, Azt a a szám többszöröse b. Példa: 2 osztója 4-nek, 4 pedig kettő többszöröse. A 3 a 12 osztója, a 12 pedig a 3 többszöröse.
Feljegyzés: A természetes számokat prímnek nevezzük, ha maradék nélkül csak önmagukkal és 1-gyel oszthatók. Társprímszámok azok, amelyeknek csak egy közös osztója van 1-gyel.

A GCD megtalálásának meghatározása általános esetben: A GCD (legnagyobb közös osztó) megtalálása több természetes számra van szükség:
1) Oszd fel őket prímtényezőkre. (A prímszámok táblázata nagyon hasznos lehet ehhez.)
2) Írja le az egyik kibontásában szereplő tényezőket!
3) Húzd át azokat, amelyek nem szerepelnek a fennmaradó számok bővítésében!
4) Szorozzuk meg a 3. lépésben kapott tényezőket.

2. probléma (NOK): Kolja Puzatov újévre 48 hörcsögöt és 36 kávéskannát vásárolt a városban. Fekla Dormidontova, mint az osztály legbecsületesebb lánya azt a feladatot kapta, hogy ezt az ingatlant minél több tanári ajándékcsomagra osszák fel. Hány szettet kaptál? Mi a készletek tartalma?

2.1. példa. a GCD megtalálásának problémájának megoldása. GCD keresése kiválasztással.
Megoldás: A 48-as és a 36-os számok mindegyikének oszthatónak kell lennie az ajándékok számával.
1) Írja fel a 48: 48, 24, 16 osztókat, 12 , 8, 6, 3, 2, 1
2) Írja fel a 36: 36, 18 osztóit, 12 , 9, 6, 3, 2, 1 Válassza ki a legnagyobb közös osztót. Hú-la-lá! Megállapítottuk, hogy a készletek száma 12 darab.
3) Ossza el 48-at 12-vel, hogy 4-et kapjon, 36-ot 12-vel, hogy 3-at kapjon. Ne felejtse el a dimenziót, és írja le a választ:
Válasz: 12 darab 4 hörcsögöt és 3 kávéskannát kapsz mindegyik készletben.

Kezdjük el tanulmányozni két vagy több szám legkisebb közös többszörösét. Ebben a részben megadjuk a fogalom definícióját, megvizsgáljuk a legkisebb közös többszörös és a legnagyobb közös osztó közötti kapcsolatot megállapító tételt, és példákat adunk a problémák megoldására.

Közös többszörösek – definíció, példák

Ebben a témában csak a nullától eltérő egész számok közös többszöröseire leszünk kíváncsiak.

1. definíció

Egész számok közös többszöröse egy egész szám, amely az összes megadott szám többszöröse. Valójában bármely egész szám, amely osztható bármelyik megadott számmal.

A közös többszörösek meghatározása két, három vagy több egész számra vonatkozik.

1. példa

A fent megadott definíció szerint a 12 szám közös többszörösei 3 és 2. Ezenkívül a 12 szám a 2, 3 és 4 közös többszöröse lesz. A 12 és -12 számok a ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 számok közös többszörösei.

Ugyanakkor a 2 és 3 számok közös többszöröse a 12, 6, − 24, 72, 468, − 100 010 004 számok és egy sor további szám lesz.

Ha olyan számokat veszünk, amelyek oszthatók egy pár első számával, és nem oszthatók a másodikkal, akkor az ilyen számok nem lesznek közös többszörösek. Tehát a 2 és 3 számok esetében a 16, − 27, 5009, 27001 számok nem lesznek közös többszörösek.

A 0 a nullától eltérő egész számok bármely halmazának közös többszöröse.

Ha felidézzük az oszthatóság tulajdonságát ellentétes számokra vonatkozóan, akkor kiderül, hogy valamilyen k egész szám ezeknek a számoknak a közös többszöröse lesz, akárcsak a - k szám. Ez azt jelenti, hogy a közös osztók lehetnek pozitívak vagy negatívak.

Megtalálható az LCM minden számhoz?

A közös többszörös bármely egész számra megtalálható.

2. példa

Tegyük fel, hogy megadatott nekünk k egész számok a 1 , a 2 , … , a k. A számok szorzásakor kapott szám a 1 · a 2 · … · a k az oszthatóság tulajdonsága szerint az eredeti szorzatban szereplő tényezők mindegyikére fel lesz osztva. Ez azt jelenti, hogy a számok szorzata a 1 , a 2 , … , a k ezeknek a számoknak a legkisebb közös többszöröse.

Hány közös többszöröse lehet ezeknek az egész számoknak?

Az egész számok csoportjának sok közös többszöröse lehet. Valójában számuk végtelen.

3. példa

Tegyük fel, hogy van valamilyen k számunk. Ekkor a k · z számok szorzata, ahol z egész szám, a k és z számok közös többszöröse lesz. Tekintettel arra, hogy a számok száma végtelen, a közös többszörösek száma végtelen.

Least Common Multiple (LCM) – Definíció, jelölés és példák

Emlékezzünk vissza egy adott számkészletből a legkisebb szám fogalmára, amelyet az „Egész számok összehasonlítása” részben tárgyaltunk. Ezt a fogalmat figyelembe véve fogalmazzuk meg a legkisebb közös többszörös definícióját, amely az összes közös többszörös közül a legnagyobb gyakorlati jelentőséggel bír.

2. definíció

Adott egész számok legkisebb közös többszöröse ezeknek a számoknak a legkisebb pozitív közös többszöröse.

Tetszőleges számú megadott számhoz létezik egy legkisebb közös többszörös. A szakirodalomban a fogalom leggyakrabban használt rövidítése a NOC. A számok legkisebb közös többszörösének rövid jelölése a 1 , a 2 , … , a k LOC formátumú lesz (a 1 , a 2 , … , a k).

4. példa

6 és 7 legkisebb közös többszöröse 42. Azok. LCM(6; 7) = 42. A 2, 12, 15 és 3 négy szám legkisebb közös többszöröse 60. Egy rövid jelölés így néz ki: LCM (- 2, 12, 15, 3) = 60.

A legkisebb közös többszörös nem nyilvánvaló minden adott számcsoportra. Gyakran számolni kell.

A NOC és a GCD kapcsolata

A legkisebb közös többszörös és a legnagyobb közös osztó összefügg. A fogalmak közötti kapcsolatot a tétel állapítja meg.

1. tétel

Két pozitív egész a és b legkisebb közös többszöröse egyenlő a és b szorzatával osztva a és b legnagyobb közös osztójával, azaz LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) ).

Bizonyíték 1

Tegyük fel, hogy van valamilyen M számunk, amely az a és b szám többszöröse. Ha az M szám osztható a-val, akkor van néhány z egész szám is , amely alatt az egyenlőség igaz M = a k. Az oszthatóság definíciója szerint, ha M osztható vele b, akkor a · k osztva b.

Ha bevezetünk egy új jelölést a gcd (a, b) as d, akkor használhatjuk az egyenlőségeket a = a 1 dés b = b 1 · d. Ebben az esetben mindkét egyenlőség viszonylag prímszám lesz.

Fentebb már megállapítottuk a · k osztva b. Most ez a feltétel a következőképpen írható fel:
a 1 d k osztva b 1 d, ami egyenértékű a feltétellel a 1 k osztva b 1 az oszthatóság tulajdonságai szerint.

A koprímszámok tulajdonsága szerint, ha egy 1És b 1- koprímszámok, egy 1 nem osztható vele b 1 annak ellenére, hogy a 1 k osztva b 1, Azt b 1 meg kell osztani k.

Ebben az esetben helyénvaló azt feltételezni, hogy létezik egy szám t, amihez k = b 1 t, és azóta b 1 = b: d, Azt k = b: d t.

Most ahelyett k cseréljük be az egyenlőségbe M = a k a forma kifejezése b: d t. Ez lehetővé teszi számunkra az egyenlőség elérését M = a b: d t. at t = 1 megkaphatjuk a és b legkisebb pozitív közös többszörösét , egyenlő a b: d, feltéve, hogy a és b számok pozitív.

Tehát bebizonyítottuk, hogy LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).

Az LCM és a GCD közötti kapcsolat létrehozása lehetővé teszi a legkisebb közös többszörös megtalálását két vagy több megadott szám legnagyobb közös osztóján keresztül.

3. definíció

A tételnek két fontos következménye van:

• két szám legkisebb közös többszörösének többszörösei megegyeznek e két szám közös többszörösével;
• az a és b kölcsönösen pozitív prímszámok legkisebb közös többszöröse egyenlő a szorzatukkal.

Ezt a két tényt nem nehéz alátámasztani. Az a és b számok M bármely közös többszörösét az M = LCM (a, b) · t egyenlőség határozza meg valamilyen t egész értékre. Mivel a és b viszonylag prím, akkor gcd (a, b) = 1, ezért gcd (a, b) = a · b: gcd (a, b) = a · b: 1 = a · b.

Három vagy több szám legkisebb közös többszöröse

Több szám legkisebb közös többszörösének megtalálásához egymás után meg kell találnia két szám LCM-jét.

2. tétel

Tegyük fel, hogy a 1 , a 2 , … , a k néhány pozitív egész szám. Az LCM kiszámításához m k ezeket a számokat szekvenciálisan kell kiszámítanunk m 2 = LCM(a 1, a 2) , m 3 = NOC(m 2 , a 3) , … , m k = NOC(m k - 1 , a k) .

Bizonyíték 2

A témában tárgyalt első tétel első következménye segíteni fog a második tétel érvényességének bizonyításában. Az érvelés a következő algoritmuson alapul:

• számok közös többszörösei egy 1És a 2 egybeesnek LCM-jük többszörösével, valójában egybeesnek a szám többszörösével m 2;
• számok közös többszörösei egy 1, a 2És a 3 m 2És a 3 m 3;
• számok közös többszörösei a 1 , a 2 , … , a k egybeesnek a számok közös többszöröseivel m k - 1És a k, ezért egybeesnek a szám többszörösével m k;
• amiatt, hogy a szám legkisebb pozitív többszöröse m k maga a szám m k, akkor a számok legkisebb közös többszöröse a 1 , a 2 , … , a k van m k.

Így igazoltuk a tételt.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Folytassuk a beszélgetést a legkisebb közös többszörösről, amelyet az „LCM – legkisebb közös többszörös, definíció, példák” részben kezdtünk. Ebben a témakörben megvizsgáljuk, hogyan lehet megtalálni az LCM-et három vagy több számra, és megvizsgáljuk azt a kérdést, hogyan lehet megtalálni egy negatív szám LCM-jét.

Yandex.RTB R-A-339285-1

A legkisebb közös többszörös (LCM) kiszámítása GCD-n keresztül

Már megállapítottuk a kapcsolatot a legkisebb közös többszörös és a legnagyobb közös osztó között. Most pedig tanuljuk meg, hogyan határozzuk meg az LCM-et GCD-n keresztül. Először is nézzük meg, hogyan kell ezt megtenni pozitív számok esetén.

1. definíció

A legkisebb közös többszöröst a legnagyobb közös osztón keresztül találhatja meg az LCM (a, b) = a · b képlettel: GCD (a, b).

1. példa

Meg kell találnia a 126 és 70 számok LCM-jét.

Megoldás

Vegyük a = 126, b = 70. Helyettesítsük be az értékeket a legkisebb közös többszörös kiszámítására szolgáló képletbe a legnagyobb közös osztóval LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Megkeresi a 70 és 126 számok gcd-jét. Ehhez szükségünk van az euklideszi algoritmusra: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, ezért GCD (126 , 70) = 14 .

Számítsuk ki az LCM-et: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Válasz: LCM(126; 70) = 630.

2. példa

Keresse meg a 68-as és 34-es számot.

Megoldás

A GCD-t ebben az esetben nem nehéz megtalálni, mivel a 68 osztható 34-gyel. Számítsuk ki a legkisebb közös többszöröst a következő képlettel: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Válasz: LCM(68; 34) = 68.

Ebben a példában a szabályt használtuk az a és b pozitív egész számok legkisebb közös többszörösének megtalálására: ha az első szám osztható a másodikkal, akkor ezeknek a számoknak az LCM-je egyenlő lesz az első számmal.

Az LCM megtalálása a számok prímtényezőkbe való faktorálásával

Most nézzünk meg egy módszert az LCM megtalálására, amely a számok prímtényezőkbe való faktorálásán alapul.

2. definíció

A legkisebb közös többszörös megtalálásához néhány egyszerű lépést kell végrehajtanunk:

• összeállítjuk azon számok összes prímtényezőjének szorzatát, amelyekhez meg kell találnunk az LCM-et;
• kizárunk minden elsődleges tényezőt a kapott termékekből;
• a közös prímtényezők kiszűrése után kapott szorzat egyenlő lesz az adott számok LCM-jével.

A legkisebb közös többszörös megtalálásának ez a módszere az LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) egyenlőségén alapul. Ha megnézzük a képletet, világossá válik: az a és b számok szorzata egyenlő mindazon tényezők szorzatával, amelyek részt vesznek e két szám felbontásában. Ebben az esetben két szám gcd-je megegyezik az adott két szám faktorizálásában egyidejűleg jelen lévő összes prímtényező szorzatával.

3. példa

Két számunk van: 75 és 210. A következőképpen számolhatjuk őket: 75 = 3 5 5És 210 = 2 3 5 7. Ha összeállítja a két eredeti szám összes tényezőjének szorzatát, akkor a következőt kapja: 2 3 3 5 5 5 7.

Ha kizárjuk a 3-as és az 5-ös szám közös faktorait, akkor a következő alakú szorzatot kapjuk: 2 3 5 5 7 = 1050. Ez a termék lesz a mi LCM-ünk a 75-ös és 210-es számokhoz.

4. példa

Keresse meg a számok LCM-jét 441 És 700 , mindkét számot prímtényezőkké alakítva.

Megoldás

Keressük meg a feltételben megadott számok összes prímtényezőjét:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Két számláncot kapunk: 441 = 3 3 7 7 és 700 = 2 2 5 5 7.

Az összes olyan tényező szorzata, amely részt vett ezeknek a számoknak a felosztásában, a következő formában lesz: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Keressük a közös tényezőket. Ez a 7-es szám. Zárjuk ki a teljes termékből: 2 2 3 3 5 5 7 7. Kiderült, hogy a NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Válasz: LOC(441; 700) = 44 100.

Adjunk egy másik megfogalmazást az LCM meghatározására a számok prímtényezőkre történő felosztásával.

3. definíció

Korábban mindkét számra közös faktorszámból kizártuk. Most másképp csináljuk:

• Tekintsük mindkét számot prímtényezőkké:
• az első szám prímtényezőinek szorzatához adjuk hozzá a második szám hiányzó tényezőit;
• megkapjuk a szorzatot, amely a két szám kívánt LCM-je lesz.

5. példa

Térjünk vissza a 75-ös és 210-es számokhoz, amelyekhez már az előző példák egyikében kerestük az LCM-et. Bontsuk őket egyszerű tényezőkre: 75 = 3 5 5És 210 = 2 3 5 7. A 3., 5. és faktorok szorzatához 5 a 75-ös számok hozzáadják a hiányzó tényezőket 2 És 7 számok 210. Kapunk: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . Ez a 75 és 210 számok LCM-je.

6. példa

Ki kell számítani a 84 és 648 számok LCM-jét.

Megoldás

Tekintsük a feltételből származó számokat egyszerű tényezőkké: 84 = 2 2 3 7És 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Adjuk hozzá a szorzathoz a 2, 2, 3 és faktorokat 7 számok 84 hiányzó tényezők 2, 3, 3 és
3 648-as számok. Megkapjuk a terméket 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Ez a 84 és 648 legkisebb közös többszöröse.

Válasz: LCM(84,648) = 4536.

Három vagy több szám LCM-jének megkeresése

Függetlenül attól, hogy hány számmal van dolgunk, a cselekvéseink algoritmusa mindig ugyanaz lesz: szekvenciálisan megkeressük két szám LCM-jét. Erre az esetre van egy tétel.

1. tétel

Tegyük fel, hogy vannak egész számaink a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k ezeket a számokat az m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k) szekvenciális kiszámításával kapjuk meg.

Most nézzük meg, hogyan alkalmazható a tétel konkrét problémák megoldására.

7. példa

Ki kell számítania négy szám legkisebb közös többszörösét: 140, 9, 54 és 250 .

Megoldás

Vezessük be a jelölést: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Kezdjük azzal, hogy kiszámoljuk m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9). Alkalmazzuk az euklideszi algoritmust a 140 és 9 számok GCD-jének kiszámításához: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. A következőt kapjuk: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Ezért m 2 = 1,260.

Most számoljunk ugyanazzal az algoritmussal: m 3 = LCM (m 2, a 3) = LCM (1 260, 54). A számítások során m 3 = 3 780-at kapunk.

Csak annyit kell tennünk, hogy kiszámoljuk m 4 = LCM (m 3, a 4) = LCM (3 780, 250). Ugyanazt az algoritmust követjük. Azt kapjuk, hogy m 4 = 94 500.

A példafeltételből származó négy szám LCM-je 94500.

Válasz: NOC (140, 9, 54, 250) = 94 500.

Mint látható, a számítások egyszerűek, de meglehetősen munkaigényesek. Időt takaríthat meg, választhat más utat is.

4. definíció

A következő műveleti algoritmust kínáljuk Önnek:

• minden számot prímtényezőkre bontunk;
• az első szám tényezőinek szorzatához hozzáadjuk a hiányzó tényezőket a második szám szorzatából;
• az előző lépésben kapott szorzathoz hozzáadjuk a harmadik szám hiányzó tényezőit stb.;
• a kapott szorzat a feltétel összes számának legkisebb közös többszöröse lesz.

8. példa

Meg kell találnia az öt szám LCM-jét: 84, 6, 48, 7, 143.

Megoldás

Tekintsük mind az öt számot prímtényezőkbe: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. A prímszámokat, ami a 7-es szám, nem lehet prímtényezőkbe beszámítani. Az ilyen számok egybeesnek a prímtényezőkre való felosztásukkal.

Most vegyük a 84-es szám 2-es, 2-es, 3-as és 7-es prímtényezőinek szorzatát, és adjuk hozzá a második szám hiányzó tényezőit. A 6-os számot 2-re és 3-ra bontottuk. Ezek a tényezők már benne vannak az első szám szorzatában. Ezért ezeket mellőzzük.

Folytatjuk a hiányzó szorzók összeadását. Térjünk át a 48-as számra, amelynek prímtényezőinek szorzatából 2-t és 2-t veszünk. Ezután a negyedik számból összeadjuk a 7-es prímtényezőt és az ötödik szám 11-es és 13-as tényezőit. A következőt kapjuk: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48 048. Ez az eredeti öt szám legkisebb közös többszöröse.

Válasz: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48 048.

Negatív számok legkisebb közös többszörösének megtalálása

A negatív számok legkisebb közös többszörösének megtalálásához ezeket a számokat először ellentétes előjelű számokra kell cserélni, majd a számításokat a fenti algoritmusok segítségével kell elvégezni.

9. példa

LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) és LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).

Az ilyen cselekvések megengedhetők, mivel ha ezt elfogadjuk aÉs − a- ellentétes számok,
akkor egy szám többszöröseinek halmaza a megegyezik egy szám többszöröseinek halmazával − a.

10. példa

Ki kell számítani a negatív számok LCM-jét − 145 És − 45 .

Megoldás

Cseréljük ki a számokat − 145 És − 45 ellentétes számukra 145 És 45 . Most az algoritmus segítségével kiszámítjuk az LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1,305 értéket, miután előzőleg meghatároztuk a GCD-t az euklideszi algoritmus segítségével.

Azt kapjuk, hogy a számok LCM-je − 145 és − 45 egyenlő 1 305 .

Válasz: LCM (− 145, − 45) = 1,305.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt