Relatív gyakoriság. Relatív frekvenciastabilitás
Meghatározás. Beengedni n ismételt kísérletek (tesztek) valamilyen esemény A megérkezett n A egyszer.
Szám n A eseményfrekvenciának nevezzük A , és az arány
egy esemény relatív gyakoriságának (vagy gyakoriságának) nevezzük A a vizsgált tesztsorozatban.
A relatív gyakoriság tulajdonságai
Egy esemény relatív gyakorisága a következő tulajdonságokkal rendelkezik.
1. Bármely esemény gyakorisága a nullától egyig terjedő tartományba esik, azaz.
2. Egy lehetetlen esemény gyakorisága nulla, azaz.
3. A megbízható esemény gyakorisága 1, azaz.
4. Két összeférhetetlen esemény összegének gyakorisága egyenlő ezen események gyakoriságának (gyakoriságának) összegével, azaz. ha =Ø, akkor
Frekvencia van ingatlan , úgynevezett tulajdon statisztikai stabilitás : a kísérletek számának növekedésével (azaz növekedéssel n ) egy esemény gyakorisága az esemény valószínűségéhez közeli értékeket vesz fel R .
Meghatározás. Az A esemény statisztikai valószínűsége az a szám, amely körül egy esemény relatív gyakorisága ingadozik A kellően nagy számú teszttel (kísérletekkel) n .
Az esemény valószínűsége A szimbólum jelzi R (A ) vagy R (A ). A betű megjelenése a „valószínűség” fogalmának szimbólumaként R az első helyen való jelenléte határozza meg egy angol szóban valószínűség - valószínűség.
E meghatározás szerint
A statisztikai valószínűség tulajdonságai
1. Bármely esemény statisztikai valószínűsége A nulla és egy között van, azaz.
2. Egy lehetetlen esemény statisztikai valószínűsége ( A= Ø) egyenlő nullával, azaz.
3. Egy megbízható esemény statisztikai valószínűsége ( A= Ω) egyenlő az egységgel, azaz.
4. Az összeg statisztikai valószínűsége összeegyeztethetetlen események egyenlő ezen események valószínűségeinek összegével, azaz. Ha A·B= Ø, akkor
A valószínűség klasszikus meghatározása
Végezzük el a kísérletet n olyan kimeneteleket, amelyek inkompatibilis, egyformán lehetséges események csoportjaként ábrázolhatók. Az eseményt okozó esemény A , nevezzük kedvezőnek vagy kedvezőnek, azaz. esemény w eseményt von maga után A , w A .
Meghatározás. Az esemény valószínűsége A számaránynak nevezzük m az esemény szempontjából kedvező esetek teljes számához n esetek, azaz
A „klasszikus” valószínűség tulajdonságai
1. Alapigazság nem negativitás : bármely esemény valószínűsége A nem negatív, azaz.
R(A) ≥ 0.
2. Alapigazság normalizálás : egy bizonyos esemény valószínűsége ( A= Ω) egyenlő az egységgel:
3. Alapigazság additívitás : az összeg valószínűsége összeegyeztethetetlen események (vagy két összeférhetetlen esemény valamelyikének bekövetkezésének valószínűsége) egyenlő ezen események valószínűségeinek összegével, azaz. Ha A·B=Ø, akkor
Az esemény valószínűsége: R() = 1 – R(A).
Egy esemény valószínűségére az összeg Bármi két esemény AÉs BAN BEN, a képlet helyes:
Ha események AÉs BAN BEN egyidejű vizsgálat eredményeként nem fordulhat elő, i.e. más szóval, ha A·B- lehetetlen esemény, hívják őket összeegyeztethetetlen vagy összeegyeztethetetlen , és akkor R(A·B) = 0 és az események összegének valószínűségének képlete különösen egyszerű formát ölt:
Ha az események AÉs BAN BEN egy teszt eredményeként jelentkezhetnek, ezek az ún összeegyeztethető .
Hasznos algoritmus
Amikor a valószínűség klasszikus definíciójával keresünk valószínűségeket, a következő algoritmust kell követni.
1. Világosan meg kell érteni, miből áll a kísérlet.
2. Világosan fogalmazza meg, miről szól az esemény. A, aminek a valószínűségét meg kell találni.
3. Világosan fogalmazza meg, mi számít elemi eseménynek a vizsgált problémában. Egy elemi esemény megfogalmazása és meghatározása után három olyan feltételt kell ellenőrizni, amelyeknek az eredményhalmaznak teljesülnie kell, pl. Ω.
6. A valószínűség klasszikus definícióját követve határozza meg!
A problémák megoldása során a leggyakoribb hiba az elemi eseménynek tekintett események homályos megértése w , és ettől függ a halmaz felépítésének helyessége és az esemény valószínűségének kiszámításának helyessége. Általában a gyakorlatban a legegyszerűbb eredményt elemi eseménynek tekintik, amelyet nem lehet egyszerűbbekre „bontani”.
Ismeretes, hogy egy teszt miatt véletlenszerű esemény előfordulhat, de előfordulhat, hogy nem. Ugyanakkor ugyanabban a perben különböző eseményekre különböző lehetőségek vannak. Nézzünk egy példát. Ha egy urnában száz gondosan összekevert egyforma golyó van, és közülük csak tíz fekete, a többi pedig fehér, akkor ha véletlenszerűen húzunk egy golyót, nagyobb az esélye, hogy fehér golyó kerül elő. Egy adott tesztben egy vagy másik esemény bekövetkezésének lehetőségének van egy numerikus mértéke, amit ennek az eseménynek a valószínűségének nevezünk, és a valószínűségelmélet szerint kiszámítható, hogy mekkora az esélye annak, hogy fekete vagy fehér golyót látunk. .
A valószínűség klasszikus meghatározása
Tegyük fel, hogy egy bizonyos teszt során $n$ egyformán lehetséges elemi események előfordulása lehetséges. Ebből a mennyiségből a $m$ azoknak az elemi eseményeknek a száma, amelyek kedveznek egy bizonyos $A$ esemény bekövetkezésének. Ekkor a $A$ esemény valószínűsége a $P\left(A\right)=\frac(m)(n) $ reláció.
1. számú példa.
Az urnában 3 fehér és 5 fekete golyó található, amelyek csak színben különböznek egymástól. A teszt abból áll, hogy véletlenszerűen húzunk egy golyót egy urnából. A $A$ eseményt „egy fehér labda megjelenésének” tekintjük. Számítsa ki a $A$ esemény valószínűségét.
A teszt során a nyolc golyó bármelyike eltávolítható. Mindezek az események elemiek, mert összeférhetetlenek és egy teljes csoportot alkotnak. Az is világos, hogy mindezek az események egyformán lehetségesek. Tehát a $P\left(A\right)$ valószínűség kiszámításához használhatja a klasszikus definícióját. Megoldásként a következőt kapjuk: $n=8$, $m=3$, és annak a valószínűsége, hogy a fehéret kinyerjük a golyókból, egyenlő lesz: $P\left(A\right)=\frac(3)(8 ) $.
A valószínűség klasszikus definíciójából a következő tulajdonságok következnek:
- a $V$ megbízható esemény valószínűsége mindig egyenlő eggyel, azaz $P\left(V\right)=1$; ez azzal magyarázható, hogy a megbízható eseménynek minden elemi esemény kedvez, azaz $m=n$;
- a $H$ lehetetlen esemény valószínűsége mindig nulla, azaz $P\left(H\right)=0$; ez azzal magyarázható, hogy a lehetetlen eseménynek egyik elemi sem kedvez, vagyis $m=0$;
- bármely véletlenszerű esemény valószínűsége $A$ mindig teljesíti a $0 feltételt
Így általános esetben bármely esemény valószínűsége kielégíti a $0\le P\left(A\right)\le 1$ egyenlőtlenséget.
Relatív frekvencia és stabilitása
1. definíció
Tegyük fel, hogy meglehetősen nagy számú kísérletet hajtanak végre, amelyek mindegyikében előfordulhat egy bizonyos $A$ esemény, de előfordulhat, hogy nem. Az ilyen teszteket tesztsorozatoknak nevezzük.
Tegyük fel, hogy egy $n$ próbasorozatot hajtanak végre, amelyben $A$ esemény $m$-szor fordul elő. Itt a $m$ számot a $A$ esemény abszolút gyakoriságának, a $\frac(m)(n) $ arányt pedig a $A$ esemény relatív gyakoriságának nevezzük. Például a tűz során használt $n=20$ tűzoltó készülékből $m=3$ tűzoltó készülék nem működött ($A$ esemény). Itt $m=3$ a $A$ esemény abszolút gyakorisága, és $\frac(m)(n) =\frac(3)(20) $ a relatív gyakorisága.
A gyakorlati tapasztalat és a józan ész azt sugallja, hogy kis $n$ esetén a relatív gyakorisági értékek nem lehetnek stabilak, de ha a tesztek számát növeljük, akkor a relatív gyakorisági értékeknek stabilizálódniuk kell.
2. példa.
Az edző tízből öt fiút választ ki a csapatba. Hányféleképpen tud csapatot alkotni, ha két olyan fiú lesz a csapatban, akik a csapat magját alkotják?
A feladat feltételeinek megfelelően két fiú azonnal csatlakozik a csapathoz. Ezért marad a nyolc fiú közül három fiú kiválasztása. Ebben az esetben csak az összetétel a fontos, így nem különbözik az összes csapattag szerepe. Ez azt jelenti, hogy kombinációkkal van dolgunk.
A $n$ elemek $m$ szerinti kombinációi olyan kombinációk, amelyek $m$ elemekből állnak, és legalább egy elemben különböznek egymástól, de nem az elemek sorrendjében.
A kombinációk számát a következő képlet alapján számítjuk ki: $C_(n)^(m) =\frac(n{m!\cdot \left(n-m\right)!} $.!}
Így a három fiúból álló csapat kialakításának különböző módjainak száma, nyolc fiú közül választva, a 3-as 8 elem kombinációinak száma:
$C_(8)^(3) =\frac(8{3!\cdot \left(8-3\right)!} =\frac{8!}{3!\cdot 5!} =\frac{6\cdot 7\cdot 8}{1\cdot 2\cdot 3} =56$!}
3. példa.
Az iroda egyik polcán 15 könyv található véletlenszerű sorrendben, ebből 5 algebra. A tanár véletlenszerűen három könyvet vesz elő. Határozza meg annak valószínűségét, hogy legalább egy könyv az algebráról szól.
A $A$ (a három könyv közül legalább egy algebrakönyv) és a $\bar(A)$ (a három könyv közül egyik sem algebrakönyv) események ellentétesek, ezért P(A) + P( $ \bar(A)$) = 1. Ezért P(A) = 1-P($\bar(A)$). Így a kívánt valószínűség P(A) = 1 - $C_(10)^(3)\, /C_(15)^(3)\, $= 1 - 24/91 = 67/91.
4. számú példa.
A húsz részvénytársaságból négy külföldi. A polgár hat részvénytársaság egy-egy részvényét vásárolta meg. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a megvásárolt részvények közül kettő külföldi részvénytársaság részvénye lesz?
A részvénytársaságok kiválasztásához szükséges kombinációk teljes száma megegyezik a 20 x 6 kombinációk számával, azaz $(\rm C)_((\rm 20))^((\rm 6)) $. A kedvező eredmények számát a következő szorzat határozza meg: $(\rm C)_((\rm 4))^((\rm 2)) \cdot (\rm C)_((\rm 16))^(( \rm 4) ) $, ahol az első tényező a külföldi részvénytársaságok választásának kombinációinak számát jelöli a négy közül. De minden ilyen kombinációval találkozhatnak olyan részvénytársaságok, amelyek nem külföldiek. Az ilyen részvénytársaságok kombinációinak száma $(\rm C)_((\rm 16))^((\rm 4)) $ lesz. Ezért a kívánt valószínűséget a következő formában kell felírni: $(\rm P)=\frac((\rm C)_((\rm 4))^((\rm 2)) \cdot (\rm C)_ ((\rm 16 ))^((\rm 4)) )((\rm C)_((\rm 20))^((\rm 6)) ) =0,28 $.
5. számú példa.
Egy 18 részből álló tételben 4 nem szabványos darab található. 5 rész véletlenszerűen kerül kiválasztásra. Határozza meg annak valószínűségét, hogy ebből az 5 részből kettő nem szabványos lesz.
Az egyformán lehetséges inkompatibilis kimenetek $n$ száma megegyezik a 18 x 5 kombinációk számával, azaz. $n=C_(18)^(5) =8568$.
Számoljuk meg az A eseményre kedvező kimenetelek számát $m$. A véletlenszerűen kiválasztott 5 részlet között legyen 3 normál és 2 nem szabványos. A 4 rendelkezésre álló nem szabványos alkatrész közül a két nem szabványos alkatrész kiválasztásának módjai megegyeznek a 4 x 2 kombinációk számával: $C_(4)^(2) =6$.
A három szabványos alkatrész kiválasztásának módjai a 14 rendelkezésre álló standard alkatrész közül $C_(14)^(3) =364 $.
A szabványos alkatrészek bármely csoportja kombinálható a nem szabványos alkatrészek bármely csoportjával, így a kombinációk teljes száma $m$ $m=C_(4)^(2) \cdot C_(14)^(3) =6 \cdot 364=2184$.
Az A esemény megkövetelt valószínűsége megegyezik az esemény szempontjából kedvező $m$ kimenetelek számának és az összes egyformán lehetséges és összeférhetetlen esemény $n$ számának $P(A)=\frac(2184)(8568) arányával. =0.255.$
6. számú példa.
Egy urnában 5 fekete és 6 fehér golyó található. 4 golyó véletlenszerűen kerül kihúzásra. Határozza meg annak valószínűségét, hogy van köztük legalább egy fehér golyó.
Legyen az $$ esemény, hogy a kihúzott golyók közül legalább egy fehér.
Tekintsük az ellenkező eseményt $\bar()$ - a kihúzott golyók között nincs egyetlen fehér sem. Ez azt jelenti, hogy mind a 4 kihúzott golyó fekete.
Kombinatorikai képleteket használunk.
A tizenegyből négy golyó kihúzásának módjai:
$n=!_(11)^(4) =\frac(11{4!\cdot (11-4)!} =330$!}
A tizenegyből négy fekete golyó eltávolításának módjai:
$m=!_(5)^(4) =\frac(5{4!\cdot (5-4)!} =5$!}
A következőt kapjuk: $\; (\bar())=\frac(m)(n) =\frac(5)(330) =\frac(1)(66) $; $P(A)=1-\; (\bar(A))=1-\frac(1)(66) =\frac(65)(66) $.
Válasz: $\frac(65)(66) $ annak a valószínűsége, hogy a négy kihúzott golyó között egyetlen fehér golyó sincs.
A valószínűség fogalmának több meghatározása is létezik. Adjuk meg a klasszikus definíciót. A kedvező eredmény fogalmához kapcsolódik. Azok az elemi eredmények (e.i.), a kat. megtörténik az általunk érdekelt esemény, ezt kedvezőnek nevezzük erre az eseményre. Def.: Azt hiszem, az A eseményt hívják. az ehhez az eseményhez kedvező kimenetelek számának aránya az összes egyformán lehetséges összeférhetetlen e. i., teljes csoportot alkotva. P(A) = m/n, ahol m az e száma. i., kedvező az A eseménynek; n – az összes lehetséges e száma. És. tesztek. A valószínűség definíciójából a tulajdonságai következnek:1) ver.(c) egy megbízható esemény mindig egyenlő 1-gyel. Mert. a rendezvény megbízható, akkor minden pl. És. a próbák ennek az eseménynek kedveznek, i.e. m=n. P(A)=n/n=1; 2) V. lehetetlen személyes. egyenlő 0-val. Mert esemény lehetetlen, akkor nincs e. Ennek az eseménynek kedvező i. jelentése m=0. P(A)=0/n=0; 3) Egy véletlen esemény értéke egy nem negatív érték, amely 0 és 1 között van, azaz. Az esemény relatív gyakorisága (RF) azon kísérletek számának aránya, amelyekben az esemény bekövetkezett, és a ténylegesen végrehajtott kísérletek számának aránya. (NEM omega!!!). W(A) = m/n, ahol m az A esemény előfordulásának száma, n a kísérletek teljes száma. A valószínűség meghatározása nem igényli a tesztek tényleges elvégzését. Az OC meghatározása feltételezi, hogy a teszteket valóban elvégezték, azaz. ver. a kísérlet előtt számítva, és az OC a kísérlet után. Ha a kísérleteket azonos körülmények között végezzük, mindegyik macskában. a tesztek száma elég nagy, akkor az OC stabilitást mutat. Ez a tulajdonság abban rejlik, hogy a különböző kísérletekben az OC keveset változik, minél kevesebbet, annál több tesztet végeznek, egy bizonyos állandó szám körül ingadozva. Ez a szám ver. az esemény bekövetkezése. Hogy. Kísérletileg megállapították, hogy a VAGY közelítő valószínűségi értéknek tekinthető. A valószínűség klasszikus definíciója azt feltételezi, hogy egy próba elemi kimeneteleinek száma véges. A gyakorlatban gyakran vannak tesztek, a lehetséges kimenetelek száma kat. végtelenül. Ilyen esetekben a klasszikus definíció nem alkalmazható. A klasszikussal együtt def. statisztikákat használni. Alapértelmezett: statisztika. ver. (r.v.) események - relatív gyakoriság (RF) vagy egy ahhoz közeli szám. A klasszikusból eredő szent valószínűségek. a definíciókat a statisztikai esetekben is megőrzik. Ha az esemény megbízható, akkor PR = 1, azaz. st.v. szintén =1. Ha az esemény lehetetlen, akkor OCH = 0, azaz. st.v. is = 0. Bármely eseményre 0W(A) 1, következő. st.v. 0 és 1 között van. A st.v. szükséges: 1) a végrehajtási képesség, legalábbis elvben, korlátlan. a vizsgálatok száma minden macskában. az esemény bekövetkezik vagy nem következik be; 2) egy esemény előfordulási gyakoriságának stabilitása kellően nagy számú teszt különböző sorozataiban. A statisztika hátránya definíciója az Art. kétértelműsége. Például, ha kellően nagy számú teszt eredményeként kiderül, hogy az OC nagyon közel van 0,6-hoz, akkor ez a szám st.v. De egy esemény valószínűségeként nem csak 0,6, hanem 0,59 és 0,61 is lehet. Valószínűségelmélet tárgya. Próba. Az események osztályozása. A valószínűségszámítás a matematikának egy olyan ága, amely a tömegesen homogén tesztekben (MOT) előforduló mintázatokat vizsgálja. A teszt feltételek és tevékenységek összessége. Az MY olyan tesztek, amelyek elméletileg a végtelenségig folytathatók (tanulmányok, társadalmi felmérések, érmefeldobás). A teszt eredménye a teszt lehetséges eredménye. Az esemény egy teszt eredményének absztrakciója (függetlenül attól, hogy egy jelenség előfordult-e a MY-ben vagy sem). Például az érme feldobása próbatétel, a „fejek” megjelenése pedig esemény. Az eseményt általában nagy lattal jelölik. A, B, C betűk. RENDEZVÉNYTÍPUSOK: 1. A teszt bármely eredménye mellett bekövetkező eseményt megbízhatónak nevezzük. 2. Lehetetlen – nem fog megtörténni a teszt egyetlen eredménye esetén sem. 3. Véletlenszerű - előfordulhat, de előfordulhat, hogy nem a teszt eredményeként. Pl. egy kocka feldobva. A esemény – a pontok száma nem > 6: megbízható. B esemény – pontok száma > 6: lehetetlen. C esemény – 1-től 6-ig: véletlenszerű. VÉLETLENSZERŰ ESEMÉNYEK 1. Ugyanúgy lehetséges - azok, amelyeknél az egyéni teszteredmények egyenlőek. Pl. király, ász, dáma, bubi húzása a kártyapakliból. 2. Egyedülállóan lehetséges – ilyen, ha legalább az egyik biztosan előfordul a tesztben. PÉLDA 2 gyerek van egy családban: A – 2 fiú, B – 2 lány, C – 1 m és 1 d. Kombinatorika. A kombinatorika alapképletei. A kombinatorika az összefüggések tudománya. Kapcsolat alatt egy bizonyos halmaz elemeinek bármely gyűjteményét értjük. Például sok diák ül egy osztályteremben. Minden csatlakozás 3 csoportra van osztva: 1) Elhelyezések. N elem R-mi-ét m () -vel olyan kapcsolatoknak nevezzük, amelyek vagy az elemek összetételében, vagy az elemek kapcsolódási sorrendjében, vagy mindkettőben különböznek egymástól. Anm = n!/(n-m)! Feladat. Hány különböző kétjegyű szám készíthető egy számjegykészletből (1;2;3;4), és úgy, hogy a szám számjegyei különbözőek legyenek. És 4-ről 2-re = 4!/(4-2)! = 24/2=12 2) Kombinációk. n elem kombinációi m felett azok a vegyületek, amelyek csak az elemek összetételében különböznek egymástól (a sorrend nem fontos) n-től m-ig = n!/m!*(n-m)! Feladat. Egy 30 fős csoport hányféleképpen oszthat ki utalványokat az Ussuri szanatóriumba? C 30-ról 3-ra = 30!/3!*(30-3)! = 28*29*30/1*2*3 = 4060. 3) Permutációk (Pn). Az n elemű permutációk azok a kapcsolatok, amelyek mind az n elemet tartalmazzák, és csak kapcsolódásuk sorrendjében térnek el egymástól. Feladat. Hányféleképpen lehet 6 kadétot egy sorba rendezni a felvonulási téren? ÖSSZEGZÉSI SZABÁLY - ha az a objektum különböző s módon választható ki egy halmazból, és a b objektum - különböző r módon, akkor az a elem vagy a sáv valamelyikének kiválasztása különböző r + s módokon hajtható végre. TERMÉKSZABÁLY - ha az a objektumot különböző módon lehet kiválasztani, és minden ilyen választás után a b objektumot különböző r módon lehet kiválasztani, akkor egy elempár kiválasztása különböző r * s módon történhet (a és b = r * s). A valószínűség klasszikus meghatározása. A valószínűség tulajdonságai. Az A esemény valószínűsége az ehhez az eseményhez kedvező kimenetelek számának a teljes csoportot alkotó, egyformán lehetséges inkompatibilis elemi kimenetelek számához viszonyított aránya (P(A) = m/n). V-TI TULAJDONSÁGAI: 1) Megbízható események száma = 1. Mert D megbízható esemény, akkor a teszt minden lehetséges eredménye az eseménynek kedvez, pl. m=n. P(D) = m/n = n/n = 1/ 2) A lehetetlen események száma nulla. Mert N esemény lehetetlen, akkor egyik elemi kimenet sem kedvez az eseménynek, azaz. m=0. P(D) = m/n = 0/n = 0/ 3) Egy véletlen esemény értéke egy 0 és 1 közötti pozitív szám. Az S véletlen eseménynek csak egy eleme kedvez a teljes számból. teszteredmények, pl. 0 0 Így bármely esemény értéke kielégíti a kettős egyenlőtlenséget: 0<=P(A)<=1. Relatív gyakoriság. A relatív frekvenciák stabilitása. A valószínűség statisztikai meghatározása. Egy esemény relatív gyakorisága azon kísérletek számának aránya, amelyekben az esemény bekövetkezett, és a ténylegesen elvégzett kísérletek számának aránya. W(A)=m/n, ahol m az esemény előfordulásának száma, n a kísérletek teljes száma. Az érték sugallja, de a relatív gyakoriság rögzít. V nem igényli, hogy az események megtörténjenek, de a relatív gyakoriság igen. Más szóval, bizonyos eseményeket a kísérletek előtt kiszámítanak, és rel. gyakoriság - után. Relatív frekvencia STABILITÁS. A hosszú távú megfigyelések azt mutatták, hogy ha a kísérleteket azonos körülmények között végezzük, amelyek mindegyikében kellően nagy a vizsgálatok száma, akkor a relatív gyakoriság a stabilitás tulajdonságát mutatja. Ez a tulajdonság abban áll, hogy a különböző kísérletekben a relatív frekvencia keveset változik, egy bizonyos állandó szám körül ingadozik. Kiderült, hogy ez az állandó szám a W(A) = P(A) esemény előfordulása. Egy esemény STATISZTIKAI értéke az a szám, amely köré ennek az eseménynek a relatív gyakorisága csoportosul, és állandó feltételek mellett és a tesztek számának korlátlan növekedése mellett a relatív gyakoriság kissé eltér ettől a számtól. hívott relatív gyakoriság ( vagy frekvencia) eseményeket A a vizsgált kísérletsorozatban. Az esemény relatív gyakorisága a következő tulajdonságait: 1. Bármely esemény gyakorisága nulla és egy között van, azaz. 2. Egy lehetetlen esemény gyakorisága nulla, azaz. 3. Egy megbízható esemény gyakorisága 1, azaz. 4. Két inkompatibilis esemény összegének gyakorisága megegyezik a gyakoriság összegével A frekvenciának van egy másik alapvető tulajdonsága is a statisztikai stabilitás tulajdonsága: növekvő számú kísérlettel (pl. n) valamilyen állandó számhoz közeli értékeket vesz fel (azt mondják: a frekvencia stabilizálódik, közelít egy bizonyos számhoz, a frekvencia egy bizonyos szám körül ingadozik, vagy értékei egy bizonyos szám köré csoportosulnak). Így például a kísérletben (K. Pearson) egy érmefeldobásnál - a címer megjelenésének relatív gyakorisága 12 000 és 24 000 feldobással 0,5015 és 0,5005 értéknek bizonyult, azaz. a frekvencia megközelíti a számot. A fiúgyermek születésének gyakorisága a megfigyelések szerint 0,515 körül ingadozik. Megjegyzendő, hogy a valószínűségelmélet csak azokat a bizonytalan kimenetelű véletlenszerű tömegjelenségeket vizsgálja, amelyeknél a relatív gyakoriság stabilitását feltételezzük. A valószínűség statisztikai meghatározása Egy véletlenszerű esemény matematikai tanulmányozásához szükség van az esemény kvantitatív értékelésére. Nyilvánvaló, hogy egyes események nagyobb valószínűséggel („valószínűbb”) bekövetkeznek, mint mások. Ez az értékelés az egy esemény valószínűsége,
azok. szám, amely a vizsgált élményben való előfordulásának mértékét fejezi ki. A valószínűségnek számos matematikai meghatározása létezik, ezek mind kiegészítik és általánosítják egymást. Tekintsünk egy kísérletet, amely tetszőleges számú alkalommal megismételhető (azt mondják: „ismételt teszteket végeznek”), amelyben valamilyen eseményt figyelnek meg A. Statisztikai valószínűség eseményeket A az a szám, amely körül az A esemény relatív gyakorisága kellően nagy számú kísérlethez (kísérlethez) ingadozik. Az esemény valószínűsége A szimbólum jelzi R(A). E meghatározás szerint: A relatív gyakoriság és valószínűség közelségének matematikai indoklása R(A) valamilyen eseményről A J. Bernoulli tételeként szolgál. Valószínűségek R(A) 1-4 relatív gyakoriságú tulajdonságok vannak hozzárendelve: 1. Bármely esemény statisztikai valószínűsége nulla és egy között van, azaz. 2. Egy lehetetlen esemény statisztikai valószínűsége nulla, azaz. 3. Egy megbízható esemény statisztikai valószínűsége 1, azaz. 4. Két inkompatibilis esemény összegének statisztikai valószínűsége egyenlő ezen események gyakoriságának összegével, azaz. ha akkor A valószínűség meghatározásának valós tapasztalatokon alapuló statisztikai módszere teljesen feltárja ennek a fogalomnak a tartalmát. A statisztikai definíció hátránya a statisztikai valószínűség kétértelműsége; Tehát az érmefeldobás példájában nem csak a 0,5-ös számot veheti valószínűségnek, hanem a 0,49-et vagy 0,51-et stb. A valószínűség megbízható meghatározásához nagyszámú tesztet kell elvégeznie, ami nem mindig könnyű vagy olcsó. A valószínűség klasszikus meghatározása Van egy egyszerű módszer egy esemény valószínűségének meghatározására, a kísérlet véges számú kimenetelének egyenlősége alapján. Végezzük el a kísérletet n ként ábrázolható eredmények kompatibilisek teljes csoportja egyaránt lehetséges eseményeket. Az ilyen eredményeket ún véletlen, véletlen, elemi események, tapasztalat - klasszikus. Azt mondják egy ilyen élményről, hogy az kimerül esetséma vagy urna séma(mivel egy ilyen kísérlet valószínűségi problémája helyettesíthető a különböző színű golyókat tartalmazó urnák egyenértékű problémájával). w eset, amely az esemény bekövetkezéséhez vezet A, hívott kedvező(vagy kedvező) számára, i.e. a w eset magában foglalja az eseményt A: . Az esemény valószínűsége A számaránynak nevezzük m az esemény szempontjából kedvező esetek teljes számához n esetek, azaz A kijelöléssel együtt R(A) egy esemény valószínűségére A a használt jelölés az R, azaz p=P(A). A valószínűség klasszikus definíciójából a következő következik: tulajdonságait: 1. Bármely esemény valószínűsége nulla és egy között van, azaz. 2. Egy lehetetlen esemény valószínűsége nulla, azaz. 3. A megbízható esemény valószínűsége 1, azaz. 4. Az összeférhetetlen események összegének valószínűsége egyenlő ezen események gyakoriságának összegével, azaz. ha akkor 1.3. példa. Egy urnában 12 fehér és 8 fekete golyó található. Mennyi a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kihúzott labda fehér lesz? Megoldás: Hadd A– olyan esemény, amely abból áll, hogy fehér golyót húznak. Nyilvánvaló, hogy ez az egyformán lehetséges esetek száma. Az eseménynek kedvezõ esetek száma A, egyenlő 12-vel, azaz. . Következésképpen az (1.3) képlet szerint van: , azaz. . A valószínűségek geometriai meghatározása A valószínűség geometriai definícióját abban az esetben használjuk, ha a kísérlet kimenetele egyformán lehetséges, és a PES egy végtelen megszámlálhatatlan halmaz. Tekintsünk a síkon egy Ω területű tartományt, amelyen belül pedig Ω ,
vidék D területtel SD(lásd a 6. ábrát). Az Ω tartományban véletlenszerűen kiválasztunk egy pontot x. Ez a választás úgy értelmezhető pontot dobva x a régióbaΩ. Ebben az esetben egy pont belépése az Ω tartományba megbízható esemény, in D- véletlenszerű. Feltételezzük, hogy az Ω tartomány minden pontja egyenlő (minden elemi esemény egyformán lehetséges), azaz. hogy egy dobott pont az Ω tartomány bármely pontját eltalálhatja és a tartományba való bejutás valószínűsége D arányos ennek a területnek a területével, és nem függ a helyétől és alakjától. Legyen az esemény, i.e. a dobott pont a területre esik D. Rizs. 6 Geometriai valószínűség eseményeket A egy régió területi arányának nevezzük D az Ω tartomány területére, azaz a másodikban: hol keresztül mes a mérték (S, l,V) területek. A geometriai valószínűség mindent tartalmaz tulajdonságait a klasszikus meghatározás velejárója: 1. Bármely esemény geometriai valószínűsége nulla és egy között van, azaz. 2. Egy lehetetlen esemény geometriai valószínűsége nulla, azaz. 3. Egy megbízható esemény geometriai valószínűsége 1, azaz. 4. Az összeférhetetlen események összegének geometriai valószínűsége egyenlő ezen események gyakoriságának összegével, azaz. ha akkor4. Relatív gyakoriság. Relatív frekvenciastabilitás.
5. Statisztikai valószínűség.
ezek az események, i.e. ha akkor 
.
(1.2)
.
(1.3)
Előző cikk: Mekkora a fénysebesség
Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete