Példák a különböző nevezőkkel rendelkező közönséges törtek osztására. Egyenletrendszer felállítása

) és nevezőnként nevezőt (a szorzat nevezőjét kapjuk).

A törtek szorzásának képlete:

Például:

Mielőtt elkezdené a számlálók és nevezők szorzását, ellenőriznie kell, hogy a tört csökkenthető-e. Ha csökkenteni tudja a törtet, akkor könnyebb lesz további számításokat végeznie.

Közönséges tört elosztása törttel.

Természetes számokat tartalmazó törtek osztása.

Nem olyan ijesztő, mint amilyennek látszik. Az összeadáshoz hasonlóan az egész számot olyan törtté alakítjuk, amelynek nevezője egy. Például:

Vegyes törtek szorzása.

A törtek szorzásának szabályai (vegyes):

• kevert frakciókat nem megfelelő frakciókká alakítani;
• a törtek számlálóinak és nevezőinek szorzása;
• csökkentse a frakciót;
• Ha nem megfelelő törtet kapunk, akkor a nem megfelelő törtet vegyes törtté alakítjuk.

Figyel! Egy vegyes tört egy másik vegyes törttel való szorzásához először át kell alakítani azokat nem megfelelő törtek formájába, majd meg kell szorozni a közönséges törtek szorzására vonatkozó szabály szerint.

A második módszer a tört természetes számmal való szorzására.

Kényelmesebb lehet a második módszert használni a közönséges tört számmal való szorzására.

Figyel! Egy tört természetes számmal való szorzásához el kell osztania a tört nevezőjét ezzel a számmal, és a számlálót változatlanul kell hagynia.

A fenti példából kitűnik, hogy ezt az opciót kényelmesebb használni, ha egy tört nevezőjét maradék nélkül osztjuk egy természetes számmal.

Többemeletes törtek.

A középiskolában gyakran találkoznak háromemeletes (vagy több) törtekkel. Példa:

Ahhoz, hogy egy ilyen tört a szokásos formájába kerüljön, használjon 2 pontra osztást:

Figyel! A törtek felosztásánál nagyon fontos az osztás sorrendje. Vigyázz, itt könnyen összezavarodhatsz.

Kérjük, vegye figyelembe Például:

Ha egyet tetszőleges törttel osztunk, az eredmény ugyanaz a tört lesz, csak megfordítva:

Gyakorlati tippek a törtek szorzásához és osztásához:

1. A törtkifejezésekkel való munka során a legfontosabb a pontosság és a figyelmesség. Minden számítást gondosan és pontosan, koncentráltan és világosan végezzen. Jobb, ha írsz néhány plusz sort a piszkozatodba, mint eltévedni a gondolati számításokban.

2. A különböző típusú törteket tartalmazó feladatoknál lépjen a közönséges törtek típusára.

3. Az összes törtet addig csökkentjük, amíg már nem lehet redukálni.

4. A többszintű törtkifejezéseket 2 ponton keresztüli osztás segítségével közönségessé alakítjuk.

5. Osszon el egy egységet egy törttel a fejében, egyszerűen fordítsa meg a törtet.

87. § Törtek összeadása.

A törtek összeadása sok hasonlóságot mutat az egész számok összeadásával. A törtek összeadása olyan művelet, amely abból áll, hogy több megadott számot (tagot) egy számmá (összeggé) vonunk össze, amely tartalmazza a kifejezések egységeinek összes egységét és törtrészét.

Három esetet vizsgálunk meg egymás után:

1. Hasonló nevezőt tartalmazó törtek összeadása.
2. Különböző nevezőjű törtek összeadása.
3. Vegyes számok összeadása.

1. Hasonló nevezőt tartalmazó törtek összeadása.

Vegyünk egy példát: 1/5 + 2/5.

Vegyük az AB szakaszt (17. ábra), vegyük egynek és osszuk 5 egyenlő részre, ekkor ennek a szakasznak az AC része egyenlő lesz az AB szegmens 1/5-ével, a CD szakasz egy része pedig 2/5 AB.

A rajzból jól látható, hogy ha vesszük az AD szakaszt, akkor az egyenlő lesz 3/5 AB-vel; de az AD szegmens pontosan az AC és CD szegmensek összege. Tehát írhatjuk:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Ezeket a tagokat és a kapott összeget figyelembe véve azt látjuk, hogy az összeg számlálóját a tagok számlálóinak összeadásával kaptuk meg, és a nevező változatlan maradt.

Ebből a következő szabályt kapjuk: Az azonos nevezőjű törtek hozzáadásához hozzá kell adni a számlálóikat, és meg kell hagyni ugyanazt a nevezőt.

Nézzünk egy példát:

2. Különböző nevezőjű törtek összeadása.

Adjuk össze a törteket: 3 / 4 + 3 / 8 Először le kell redukálni őket a legkisebb közös nevezőre:

A közbülső 6/8 + 3/8 link nem írható; az érthetőség kedvéért ide írtuk.

Így a különböző nevezőjű törtek összeadásához először a legkisebb közös nevezőre kell csökkenteni őket, hozzá kell adni a számlálóikat, és fel kell címkézni a közös nevezőt.

Tekintsünk egy példát (a megfelelő törtek fölé további tényezőket írunk):

3. Vegyes számok összeadása.

Adjuk össze a számokat: 2 3/8 + 3 5/6.

Először hozzuk közös nevezőre a számaink tört részeit, és írjuk át újra:

Most egymás után összeadjuk az egész és a tört részeket:

88. § Törtek kivonása.

A törtek kivonása ugyanúgy definiálható, mint az egész számok kivonása. Ez egy olyan művelet, amelynek segítségével két tag és az egyik tag összegéből egy másik tagot találunk. Nézzünk meg három esetet egymás után:

1. Hasonló nevezővel rendelkező törtek kivonása.
2. Különböző nevezőjű törtek kivonása.
3. Vegyes számok kivonása.

1. Hasonló nevezővel rendelkező törtek kivonása.

Nézzünk egy példát:

13 / 15 - 4 / 15

Vegyük az AB szakaszt (18. ábra), vegyük egységnek, és osszuk fel 15 egyenlő részre; akkor ennek a szegmensnek az AC része az AB 1/15-ét, és ugyanennek a szakasznak az AD része az AB 13/15-ének felel meg. Tegyünk félre egy másik ED szakaszt, amely egyenlő 4/15 AB-vel.

A 13/15-ből ki kell vonnunk a 4/15 törtet. A rajzon ez azt jelenti, hogy az ED szakaszt ki kell vonni az AD szegmensből. Ennek eredményeként az AE szegmens megmarad, ami az AB szegmens 9/15-e. Tehát írhatjuk:

Az általunk készített példa azt mutatja, hogy a különbség számlálóját a számlálók kivonásával kaptuk meg, de a nevező változatlan maradt.

Ezért a hasonló nevezőjű törtek kivonásához ki kell vonnia a részrész számlálóját a minuend számlálójából, és meg kell hagynia ugyanazt a nevezőt.

2. Különböző nevezőjű törtek kivonása.

Példa. 3/4 - 5/8

Először is csökkentsük ezeket a törteket a legkisebb közös nevezőre:

A közbülső link 6 / 8 - 5 / 8 az érthetőség kedvéért ide van írva, de mostantól átugorható.

Így ahhoz, hogy törtből törtet lehessen levonni, először le kell redukálni a legkisebb közös nevezőre, majd ki kell vonni a minuend számlálóját a tört számlálójából, és a közös nevezőt a különbségük alá kell írni.

Nézzünk egy példát:

3. Vegyes számok kivonása.

Példa. 10 3/4 - 7 2/3.

Csökkentsük a minuend és a részösszeg tört részeit a legkisebb közös nevezőre:

Az egészből kivontunk egy egészet, a töredékből pedig egy törtet. De vannak esetek, amikor a kivonandónak a töredéke nagyobb, mint a redukáltnak a töredéke. Ilyen esetekben ki kell venni egy egységet a minuend teljes részéből, fel kell osztani azokra a részekre, amelyekben a törtrész kifejeződik, és hozzá kell adni a minuend tört részéhez. Ezután a kivonás ugyanúgy történik, mint az előző példában:

89. § Törtek szorzása.

A tört szorzás tanulmányozásakor a következő kérdéseket vesszük figyelembe:

1. Tört szorzása egész számmal.
2. Adott szám törtrészének megkeresése.
3. Egész szám szorzása törttel.
4. Tört szorzása törttel.
5. Vegyes számok szorzása.
6. Az érdeklődés fogalma.
7. Adott szám százalékos arányának meghatározása. Tekintsük őket egymás után.

1. Tört szorzása egész számmal.

Egy tört egész számmal való szorzása ugyanazt jelenti, mint egy egész szám egész számmal való szorzása. Egy tört (szorzó) egész számmal (tényezővel) való szorzása azt jelenti, hogy azonos tagok összegét hozzuk létre, amelyben minden tag egyenlő a szorzóval, a tagok száma pedig a szorzóval.

Ez azt jelenti, hogy ha meg kell szoroznia 1/9-et 7-tel, akkor ezt a következőképpen teheti meg:

Könnyen megkaptuk az eredményt, mivel a műveletet az azonos nevezőjű törtek összeadására redukáltuk. Ezért,

Ennek a műveletnek a figyelembevétele azt mutatja, hogy egy tört egész számmal való megszorzása egyenértékű a tört annyiszoros növelésével, ahány egység van az egész számban. És mivel a tört növelése vagy a számlálójának növelésével érhető el

vagy nevezőjének csökkentésével , akkor vagy megszorozhatjuk a számlálót egy egész számmal, vagy oszthatjuk vele a nevezőt, ha ez lehetséges.

Innen kapjuk a szabályt:

Egy tört egész számmal való szorzásához meg kell szorozni a számlálót az egész számmal, és a nevezőt meg kell hagyni, vagy ha lehetséges, el kell osztani a nevezőt ezzel a számmal, a számlálót változatlanul hagyva.

Szorzáskor rövidítések is lehetségesek, például:

2. Adott szám törtrészének megkeresése. Sok olyan probléma van, amelyben meg kell találni vagy ki kell számítani egy adott szám egy részét. A különbség ezek és a többi között az, hogy bizonyos objektumok vagy mértékegységek számát adják meg, és ennek a számnak egy részét meg kell találni, amit itt is egy bizonyos tört jelzi. A megértés megkönnyítése érdekében először példákat adunk az ilyen problémákra, majd bemutatunk egy módszert a megoldásukra.

1. feladat. 60 rubelem volt; Ennek a pénznek az 1/3-át könyvvásárlásra költöttem. Mennyibe kerültek a könyvek?

2. feladat. A vonatnak 300 km-t kell megtennie A és B városok között. Ennek a távnak a 2/3-át már megtette. Hány kilométer ez?

3. feladat. A faluban 400 ház található, 3/4-e tégla, a többi fa. Hány téglaház van összesen?

Ez néhány a sok probléma közül, amelyek egy adott szám egy részének megtalálásával kapcsolatosak, amelyekkel találkozunk. Ezeket általában feladatnak nevezik, hogy megtalálják egy adott szám törtrészét.

Az 1. probléma megoldása. 60 dörzsöléstől. 1/3-át költöttem könyvekre; Ez azt jelenti, hogy a könyvek árának meghatározásához el kell osztani a 60-as számot 3-mal:

2. feladat megoldása. A probléma lényege, hogy meg kell találni a 300 km 2/3-át. Először számoljuk ki 300 1/3-át; ezt úgy érjük el, hogy 300 km-t elosztunk 3-mal:

300: 3 = 100 (ez a 300 1/3-a).

A 300 kétharmadának meghatározásához meg kell dupláznia a kapott hányadost, azaz meg kell szoroznia 2-vel:

100 x 2 = 200 (ez a 300 2/3-a).

3. feladat megoldása. Itt meg kell határoznia azoknak a téglaházaknak a számát, amelyek a 400 3/4-ét teszik ki. Először keressük meg a 400 1/4-ét,

400: 4 = 100 (ez a 400 1/4-e).

A 400 háromnegyedének kiszámításához a kapott hányadost meg kell háromszorozni, azaz meg kell szorozni 3-mal:

100 x 3 = 300 (ez a 400 3/4-e).

A problémák megoldása alapján a következő szabályt vezethetjük le:

Ahhoz, hogy egy adott számból megtudja egy tört értékét, el kell osztania ezt a számot a tört nevezőjével, és meg kell szoroznia a kapott hányadost a számlálójával.

3. Egész szám szorzása törttel.

Korábban (26. §) megállapították, hogy az egész számok szorzása alatt azonos tagok összeadását kell érteni (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). Ebben a bekezdésben (1. pont) megállapították, hogy egy tört egész számmal való szorzata azt jelenti, hogy azonos tagok összegét találjuk meg ezzel a törttel.

A szorzás mindkét esetben az azonos tagok összegének megállapításából állt.

Most továbblépünk egy egész szám törttel való szorzására. Itt találkozunk például a szorzással: 9 2/3. Nyilvánvaló, hogy a szorzás előző definíciója erre az esetre nem vonatkozik. Ez nyilvánvaló abból a tényből, hogy az ilyen szorzást nem helyettesíthetjük egyenlő számok összeadásával.

Emiatt új definíciót kell adnunk a szorzásnak, vagyis meg kell válaszolnunk azt a kérdést, hogy mit kell érteni törttel való szorzás alatt, hogyan kell érteni ezt a cselekvést.

Az egész szám törttel való szorzásának jelentése világos a következő definícióból: egy egész szám (szorzó) szorzata törttel (multiplicand) azt jelenti, hogy megtaláljuk a szorzószámnak ezt a törtrészét.

Ugyanis a 9-et 2/3-mal megszorozni azt jelenti, hogy a kilenc egység 2/3-át megtaláljuk. Az előző bekezdésben az ilyen problémákat megoldottuk; így könnyű kitalálni, hogy végül 6 lesz.

De most felvetődik egy érdekes és fontos kérdés: miért nevezik az aritmetikában ugyanazt a „szorzás” szót az olyan látszólag különböző műveleteket, mint például az egyenlő számok összegének és egy szám törtrészének megállapítása?

Ez azért van így, mert az előző művelet (a szám többszöri megismétlése kifejezésekkel) és az új művelet (a szám törtrészének megtalálása) homogén kérdésekre ad választ. Ez azt jelenti, hogy itt abból a megfontolásból indulunk ki, hogy homogén kérdéseket vagy feladatokat ugyanaz a cselekvés old meg.

Ennek megértéséhez vegye figyelembe a következő problémát: „1 m ruha ára 50 rubel. Mennyibe kerül 4 m ilyen ruha?

Ezt a problémát úgy oldjuk meg, hogy a rubelek számát (50) megszorozzuk a méterek számával (4), azaz 50 x 4 = 200 (rubel).

Vegyük ugyanazt a problémát, de benne a ruha mennyisége törtrészben lesz kifejezve: „1 m ruha ára 50 rubel. Mennyibe kerül 3/4 m ilyen ruha?”

Ezt a problémát úgy is meg kell oldani, hogy a rubelek számát (50) megszorozzuk a méterek számával (3/4).

A benne lévő számokat még többször módosíthatja anélkül, hogy a feladat jelentését megváltoztatná, például vegyen 9/10 m-t vagy 2 3/10 m-t stb.

Mivel ezek a feladatok azonos tartalmúak és csak számokban térnek el egymástól, a megoldásukhoz használt cselekvéseket ugyanazzal a szóval - szorzásnak nevezzük.

Hogyan szorozunk meg egy egész számot törttel?

Vegyük az utolsó feladatban talált számokat:

A definíció szerint az 50-nek 3/4-ét kell megtalálnunk. Keressük először az 50-nek az 1/4-ét, majd a 3/4-ét.

50-ből 1/4 az 50/4;

Az 50-es szám 3/4-e .

Ezért.

Nézzünk egy másik példát: 12 5 / 8 =?

a 12-es szám 1/8-a 12/8,

A 12-es szám 5/8-a .

Ezért,

Innen kapjuk a szabályt:

Egy egész szám törttel való szorzásához meg kell szoroznia az egész számot a tört számlálójával, és ezt a szorzatot kell számlálóvá tennie, és ennek a törtnek a nevezőjét kell aláírnia nevezőként.

Írjuk fel ezt a szabályt betűkkel:

Ahhoz, hogy ez a szabály teljesen egyértelmű legyen, ne feledjük, hogy a tört hányadosnak tekinthető. Ezért célszerű a talált szabályt összehasonlítani a szám hányadossal való szorzásának szabályával, amelyet a 38. §-ban rögzítettek.

Fontos megjegyezni, hogy a szorzás végrehajtása előtt meg kell tennie (ha lehetséges) csökkentések, Például:

4. Tört szorzása törttel. A tört törttel való szorzása ugyanazt jelenti, mint az egész szám törttel való szorzása, azaz tört törttel való szorzásakor meg kell találni az első törtből származó faktor törtjét (a szorzót).

Ugyanis a 3/4-et 1/2-vel (fele) megszorozni azt jelenti, hogy megtaláljuk a 3/4 felét.

Hogyan szorozunk meg egy törtet törttel?

Vegyünk egy példát: 3/4 szorozva 5/7-tel. Ez azt jelenti, hogy meg kell találnia a 3/4 5/7-ét. Először keressük meg a 3/4 1/7-ét, majd az 5/7-et

A 3/4 szám 1/7-e a következőképpen lesz kifejezve:

Az 5/7 számok 3/4 a következőképpen lesz kifejezve:

Így,

Egy másik példa: 5/8 szorozva 4/9-cel.

5/8 1/9 része ,

Az 5/8-as szám 4/9-e .

Így,

Ezekből a példákból a következő szabály vezethető le:

A tört törttel való szorzásához meg kell szoroznia a számlálót a számlálóval, a nevezőt a nevezővel, és az első szorzatot kell számlálónak, a második szorzatot pedig a szorzat nevezőjévé tenni.

Ez a szabály általános formában a következőképpen írható fel:

A szorzásnál (ha lehetséges) csökkentéseket kell végezni. Nézzünk példákat:

5. Vegyes számok szorzása. Mivel a vegyes számok könnyen helyettesíthetők helytelen törtekkel, ezt a körülményt általában vegyes számok szorzásakor alkalmazzák. Ez azt jelenti, hogy azokban az esetekben, amikor a szorzót, vagy a szorzót, vagy mindkét tényezőt vegyes számként fejezzük ki, akkor helytelen törtekkel helyettesítjük őket. Szorozzuk meg például a vegyes számokat: 2 1/2 és 3 1/5. Fordítsuk mindegyiket nem megfelelő törtté, majd szorozzuk meg a kapott törteket a tört törttel való szorzásának szabálya szerint:

Szabály. A vegyes számok szorzásához először át kell alakítani azokat nem megfelelő törtekké, majd meg kell szorozni őket a törtek törtekkel való szorzására vonatkozó szabály szerint.

Jegyzet. Ha az egyik tényező egész szám, akkor a szorzás az eloszlási törvény alapján a következőképpen hajtható végre:

6. Az érdeklődés fogalma. Feladatok megoldásakor, különféle gyakorlati számítások végzésekor mindenféle törtet használunk. De szem előtt kell tartani, hogy sok mennyiség nem akármilyen, hanem természetes felosztást tesz lehetővé számukra. Például vehet egy rubel egy századrészét (1/100), ez egy kopeck lesz, két század 2 kopecka, három század 3 kopecka. Vehetsz 1/10 rubelt, ez lesz "10 kopejk, vagy egy tízkopejkás darab. Vehetsz negyed rubelt, azaz 25 kopecket, fél rubelt, azaz 50 kopeket (ötven kopecket). De gyakorlatilag nem veszik fel például a rubel 2/7-ét, mert a rubel nincs hetedrészekre osztva.

A súlyegység, azaz a kilogramm elsősorban tizedes osztást tesz lehetővé, például 1/10 kg vagy 100 g, és a kilogramm olyan töredékei, mint az 1/6, 1/11, 1/13, nem általánosak.

Általában a (metrikus) mérőszámaink decimálisak, és lehetővé teszik a tizedes osztást.

Meg kell azonban jegyezni, hogy rendkívül hasznos és kényelmes a legkülönbözőbb esetekben ugyanazt az (egységes) módszert alkalmazni a mennyiségek felosztására. Sok éves tapasztalat azt mutatja, hogy egy ilyen jól indokolt felosztás a „századik” felosztás. Lássunk néhány példát az emberi gyakorlat legkülönfélébb területeire vonatkozóan.

1. A könyvek ára a korábbi ár 12/100-ával csökkent.

Példa. A könyv korábbi ára 10 rubel volt. 1 rubellel csökkent. 20 kopejkát

2. A takarékpénztárak az év közben megtakarításra elhelyezett összeg 2/100-át fizetik ki a betéteseknek.

Példa. 500 rubelt helyeznek el a pénztárgépben, ebből az összegből az év bevétele 10 rubel.

3. Az egy iskolát végzettek száma az összes tanulólétszám 5/100-a volt.

PÉLDA Az iskolában mindössze 1200 diák tanult, ebből 60 végzett.

A szám századik részét százaléknak nevezzük.

A "százalék" szó a latinból származik, és a "cent" gyöke százat jelent. Az elöljárószóval (pro centum) együtt ez a szó azt jelenti, hogy „százért”. Ennek a kifejezésnek a jelentése abból a tényből következik, hogy eredetileg az ókori Rómában a kamatot nevezték el annak a pénznek, amelyet az adós „minden száz után” fizetett a hitelezőnek. A „cent” szót ilyen ismerős szavakkal hallják: centner (száz kilogramm), centiméter (mondjuk centiméter).

Például ahelyett, hogy azt mondanánk, hogy az elmúlt hónapban az üzem az általa gyártott összes termék 1/100-át hibás volt, inkább ezt mondjuk: az elmúlt hónapban az üzem a hibák egy százalékát produkálta. Ahelyett, hogy azt mondanánk: az üzem 4/100-zal több terméket állított elő, mint a megállapított terv, azt mondjuk: az üzem 4 százalékkal haladta meg a tervet.

A fenti példák különbözőképpen fejezhetők ki:

1. A könyvek ára a korábbi árhoz képest 12 százalékkal csökkent.

2. A takarékpénztárak a betéteseknek évente 2 százalékot fizetnek a megtakarításban elhelyezett összeg után.

3. Egy iskolát végzettek száma az összes iskolai tanuló 5 százaléka volt.

A betű rövidítéséhez a „százalék” szó helyett a % szimbólumot szokás írni.

Ne feledje azonban, hogy a számításoknál a % jel általában nem írható be a problémafelvetésbe és a végeredménybe. Számítások végzésekor ezzel a szimbólummal egész szám helyett 100-as nevezőjű törtet kell írni.

Le kell tudnia cserélni egy egész számot a jelzett ikonnal egy 100-as nevezőjű törtre:

Ezzel szemben meg kell szoknia, hogy a 100-as nevezőjű tört helyett egész számot írjon a jelzett szimbólummal:

7. Adott szám százalékos arányának meghatározása.

1. feladat. Az iskola 200 köbmétert kapott. m tűzifa, 30%-a nyírfa tűzifa. Mennyi nyír tűzifa volt?

Ennek a problémának az a jelentése, hogy a nyírfa tűzifa az iskolába szállított tűzifának csak egy részét tette ki, és ez a rész a 30/100 törtrészben van kifejezve. Ez azt jelenti, hogy feladatunk van megkeresni egy szám törtrészét. A megoldáshoz meg kell szoroznunk a 200-at 30/100-zal (a szám törtjének megtalálásának problémáit úgy oldjuk meg, hogy a számot megszorozzuk a törttel.).

Ez azt jelenti, hogy 200 30%-a 60-nak felel meg.

A 30/100-as töredék ebben a problémában 10-zel csökkenthető. Ezt a csökkentést már a kezdetektől meg lehetne tenni; a probléma megoldása nem változott volna.

2. feladat. A táborban 300 különböző korú gyerek vett részt. A 11 évesek 21%-ot, a 12 évesek 61%-ot, végül a 13 évesek 18%-ot tettek ki. Hány gyerek volt minden korosztályból a táborban?

Ebben a feladatban három számítást kell végrehajtania, azaz egymás után meg kell keresnie a 11 éves, majd a 12 éves és végül a 13 éves gyermekek számát.

Ez azt jelenti, hogy itt háromszor kell megtalálnia a szám törtrészét. Tegyük ezt:

1) Hány 11 éves gyerek volt?

2) Hány 12 éves gyerek volt?

3) Hány 13 éves gyerek volt?

A feladat megoldása után célszerű összeadni a talált számokat; az összegük 300 legyen:

63 + 183 + 54 = 300

Azt is meg kell jegyezni, hogy a problémafelvetésben megadott százalékok összege 100:

21% + 61% + 18% = 100%

Ez arra utal, hogy a táborban 100%-os gyereklétszámot vettek.

3 a d a h a 3. A munkás havi 1200 rubelt kapott. Ennek 65%-át élelmiszerre, 6%-át lakásra és fűtésre, 4%-át gázra, villanyra és rádióra, 10%-át kulturális szükségletekre, 15%-át megtakarításra fordította. Mennyi pénzt költöttek a problémában jelzett igényekre?

A probléma megoldásához meg kell találni az 1200-nak a töredékét 5-ször.

1) Mennyi pénzt költöttek élelmiszerre? A probléma azt mondja, hogy ez a kiadás a teljes kereset 65%-a, azaz az 1200-as szám 65/100-a.

2) Mennyi pénzt fizetett egy fűtéses lakásért? Az előzőhöz hasonlóan okoskodva a következő számításhoz jutunk:

3) Mennyi pénzt fizetett a gázért, villanyért és rádióért?

4) Mennyi pénzt költöttek kulturális szükségletekre?

5) Mennyi pénzt takarított meg a dolgozó?

Az ellenőrzéshez hasznos összeadni az ebben az 5 kérdésben található számokat. Az összegnek 1200 rubelnek kell lennie. Minden bevétel 100%-nak számít, ami könnyen ellenőrizhető a problémafelvetésben megadott százalékos számok összeadásával.

Három problémát oldottunk meg. Annak ellenére, hogy ezek a problémák különböző dolgokkal foglalkoztak (az iskolai tűzifa szállítása, a különböző korú gyerekek száma, a dolgozói kiadások), ugyanúgy megoldódtak. Ez azért történt, mert minden feladatban a megadott számok több százalékát kellett megtalálni.

90. § Törtosztás.

A törtek felosztásának tanulmányozása során a következő kérdéseket vizsgáljuk meg:

1. Egy egész számot ossz el egy egész számmal.
2. Tört elosztása egész számmal
3. Egész szám elosztása törttel.
4. Tört elosztása törttel.
5. Vegyes számok felosztása.
6. Szám keresése adott törtéből.
7. Szám keresése százalékos aránya alapján.

Tekintsük őket egymás után.

1. Oszd el egy egész számot egy egész számmal.

Ahogy az egész számokról szóló részben jeleztük, az osztás olyan művelet, amely abból áll, hogy két tényező (osztalék) és ezen tényezők egyikének (osztó) szorzata esetén egy másik tényezőt találunk.

Az egész számokról szóló részben megvizsgáltuk egy egész szám egész számmal való osztását. Az osztásnak két esetével találkoztunk ott: maradék nélkül, vagy „egészen” (150: 10 = 15), illetve maradékkal (100: 9 = 11 és 1 maradék). Azt mondhatjuk tehát, hogy az egész számok területén a pontos osztás nem mindig lehetséges, mivel az osztó nem mindig az osztó egész számmal való szorzata. A törttel való szorzás bevezetése után az egész számok osztásának bármely esetét lehetségesnek tekinthetjük (csak a nullával való osztás kizárt).

Például 7 elosztása 12-vel azt jelenti, hogy olyan számot találunk, amelynek 12-vel való szorzata 7 lenne. Ilyen szám a 7/12 tört, mert 7/12 12 = 7. Egy másik példa: 14: 25 = 14 / 25, mert 14 / 25 25 = 14.

Így egy egész szám egész számmal való osztásához létre kell hozni egy törtet, amelynek számlálója egyenlő az osztóval, a nevező pedig az osztóval.

2. Tört elosztása egész számmal.

A 6/7 törtet osszuk el 3-mal. Az osztás fenti definíciója szerint itt van a szorzat (6/7) és az egyik tényező (3); meg kell találni egy második tényezőt, amelyet 3-mal megszorozva az adott szorzat 6/7-et adna. Nyilvánvalóan háromszor kisebbnek kell lennie, mint ez a termék. Ez azt jelenti, hogy az előttünk álló feladat az volt, hogy a tört 6/7-ét 3-szorosára csökkentsük.

Azt már tudjuk, hogy a tört csökkentése történhet a számláló csökkentésével vagy a nevező növelésével. Ezért írhatod:

Ebben az esetben a 6 számláló osztható 3-mal, ezért a számlálót 3-szor kell csökkenteni.

Vegyünk egy másik példát: 5 / 8 osztva 2-vel. Itt az 5 számláló nem osztható 2-vel, ami azt jelenti, hogy a nevezőt meg kell szorozni ezzel a számmal:

Ez alapján egy szabályt lehet alkotni: Egy tört egész számmal való osztásához el kell osztani a tört számlálóját az egész számmal.(ha lehetséges), ugyanazt a nevezőt hagyja meg, vagy szorozza meg a tört nevezőjét ezzel a számmal, és hagyja meg ugyanazt a számlálót.

3. Egész szám elosztása törttel.

Legyen szükséges az 5-öt elosztani 1/2-vel, azaz találni egy olyan számot, amelyet 1/2-vel megszorozva 5-öt kapunk. Nyilván ennek a számnak nagyobbnak kell lennie 5-nél, mivel az 1/2 megfelelő tört , és egy szám szorzásakor a megfelelő tört szorzatának kisebbnek kell lennie a szorzandó szorzatnál. Hogy ez érthetőbb legyen, írjuk le cselekvéseinket a következőképpen: 5: 1 / 2 = X , ami azt jelenti, hogy x 1/2 = 5.

Meg kell találnunk egy ilyen számot X , amelyet 1/2-vel megszorozva 5-öt kapunk. Mivel egy bizonyos szám 1/2-vel való szorzása azt jelenti, hogy ennek a számnak az 1/2-ét találjuk meg, ezért az ismeretlen szám 1/2-ét X egyenlő 5-tel és az egész számmal X kétszer annyi, azaz 5 2 = 10.

Tehát 5: 1/2 = 5 2 = 10

Ellenőrizzük:

Nézzünk egy másik példát. Tegyük fel, hogy el akarja osztani a 6-ot 2/3-mal. Először próbáljuk meg megtalálni a kívánt eredményt a rajz segítségével (19. ábra).

19. ábra

Rajzoljunk egy 6 egységnek megfelelő AB szakaszt, és osszuk fel az egységeket 3 egyenlő részre. Mindegyik egységben a teljes AB szegmens háromharmada (3/3) hatszor nagyobb, azaz. e. 18/3. Kis zárójelek segítségével összekapcsoljuk a 2 kapott 18 szegmenst; Csak 9 szegmens lesz. Ez azt jelenti, hogy a 2/3-as tört 9-szer 6 egységben található, vagy más szóval a 2/3-os tört 9-szer kisebb, mint 6 egész egység. Ezért,

Hogyan lehet elérni ezt az eredményt rajz nélkül, pusztán számításokkal? Indokoljunk így: el kell osztanunk 6-ot 2/3-mal, azaz arra a kérdésre kell válaszolnunk, hogy a 6 hányszor tartalmazza a 2/3-ot. Először nézzük meg: hányszor van 6-ban 1/3? Egy egész egységben 3 harmada van, 6 egységben pedig 6-szor több, azaz 18 harmad; ennek a számnak a meghatározásához meg kell szorozni a 6-ot 3-mal. Ez azt jelenti, hogy az 1/3 b egységben 18-szor, a 2/3-ban pedig nem 18-szor, hanem feleannyiszor van benne, azaz 18: 2 = 9 Ezért a 6-ot 2/3-mal osztva a következőket tettük:

Innen kapjuk meg az egész szám törttel való osztásának szabályát. Egy egész szám törttel való osztásához ezt az egész számot meg kell szorozni az adott tört nevezőjével, és ezt a szorzatot számlálóvá téve elosztani az adott tört számlálójával.

Írjuk fel a szabályt betűkkel:

Ahhoz, hogy ez a szabály teljesen egyértelmű legyen, ne feledjük, hogy a tört hányadosnak tekinthető. Ezért célszerű a talált szabályt összehasonlítani a szám hányadossal való osztásának szabályával, amelyet a 38. §-ban rögzítettek. Kérjük, vegye figyelembe, hogy ott ugyanazt a képletet kapták.

Felosztáskor rövidítések is lehetségesek, például:

4. Tört elosztása törttel.

Tegyük fel, hogy el kell osztani a 3/4-et 3/8-cal. Mit jelent az osztásból származó szám? Megválaszolja a kérdést, hogy a 3/8-as tört hányszor szerepel a 3/4-ben. A probléma megértéséhez készítsünk rajzot (20. ábra).

Vegyünk egy AB szakaszt, vegyük egynek, osszuk 4 egyenlő részre, és jelöljünk be 3 ilyen részt. Az AC szegmens az AB szegmens 3/4-e lesz. Osszuk most fel mind a négy eredeti szakaszt, ekkor az AB szakaszt 8 egyenlő részre osztjuk, és mindegyik ilyen rész egyenlő lesz az AB szakasz 1/8-ával. Kössünk össze 3 ilyen szakaszt ívekkel, akkor az AD és a DC szegmensek mindegyike egyenlő lesz az AB szakasz 3/8-ával. A rajz azt mutatja, hogy egy 3/8-al egyenlő szegmens pontosan 2-szer szerepel egy 3/4-nek megfelelő szegmensben; Ez azt jelenti, hogy az osztás eredménye a következőképpen írható fel:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Nézzünk egy másik példát. Tegyük fel, hogy el kell osztanunk 15/16-ot 3/32-vel:

Így érvelhetünk: meg kell találnunk egy számot, amelyet 3/32-vel megszorozva 15/16 szorzatot kapunk. Írjuk fel a számításokat így:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 ismeretlen szám X a 15/16

1/32 egy ismeretlen szám X van,

32/32 számok X sminkelni .

Ezért,

Így egy tört törttel való osztásához meg kell szorozni az első tört számlálóját a második nevezőjével, és meg kell szorozni az első tört nevezőjét a második számlálójával, és az első szorzatot kell számlálóvá tenni, a második pedig a nevezőt.

Írjuk fel a szabályt betűkkel:

Felosztáskor rövidítések is lehetségesek, például:

5. Vegyes számok felosztása.

A vegyes számok osztásakor először hibás törtekké kell alakítani, majd a kapott törteket a törtosztás szabályai szerint fel kell osztani. Nézzünk egy példát:

Váltsuk át a vegyes számokat helytelen törtekké:

Most osszuk el:

Így a vegyes számok felosztásához hibás törtekké kell konvertálnia őket, majd osztani kell a törtosztás szabályával.

6. Szám keresése adott törtéből.

A különféle törtfeladatok között néha vannak olyanok, amelyekben egy ismeretlen szám törtrészének értéke van megadva, és ezt a számot kell megtalálni. Ez a fajta probléma az adott szám törtrészének megállapításának a fordítottja lesz; ott egy számot adtak, és meg kellett találni ennek a számnak egy töredékét, itt egy szám törtrészét és magát ezt a számot kellett megtalálni. Ez a gondolat még világosabbá válik, ha az ilyen típusú problémák megoldása felé fordulunk.

1. feladat. Az első napon 50 ablakot üvegeztek be az üvegezők, ami az épített ház összes ablakának 1/3-a. Hány ablak van a házban?

Megoldás. A probléma azt mondja, hogy 50 üvegezett ablak teszi ki a ház összes ablakának 1/3-át, ami azt jelenti, hogy összesen 3-szor több ablak van, pl.

A háznak 150 ablaka volt.

2. feladat. Az üzlet 1500 kg lisztet adott el, ami az üzlet teljes lisztkészletének 3/8-a. Mennyi volt a bolt kezdeti lisztkészlete?

Megoldás. A probléma körülményeiből kitűnik, hogy 1500 kg eladott liszt a teljes készlet 3/8-át teszi ki; ez azt jelenti, hogy ennek a tartaléknak az 1/8-a 3-szor kisebb lesz, azaz a kiszámításához 1500-at kell háromszorosára csökkenteni:

1500: 3 = 500 (ez a tartalék 1/8-a).

Nyilvánvalóan a teljes kínálat nyolcszor nagyobb lesz. Ezért,

500 8 = 4000 (kg).

A kezdeti lisztkészlet a boltban 4000 kg volt.

Ennek a problémának a figyelembevételéből a következő szabály vezethető le.

Ahhoz, hogy a tört adott értékéből számot találjunk, elegendő ezt az értéket elosztani a tört számlálójával, és az eredményt megszorozni a tört nevezőjével.

Két feladatot oldottunk meg a törtszám alapján. Az ilyen problémákat, amint az az utolsóból különösen világos, két művelettel oldják meg: osztással (amikor egy részt találunk) és szorzással (ha az egész számot megtaláljuk).

Miután azonban megtanultuk a törtek osztását, a fenti problémák egy művelettel megoldhatók, nevezetesen: törtosztással.

Például az utolsó feladat egy művelettel megoldható:

A jövőben egy művelettel - osztással - megoldjuk a szám törtéből való megtalálásának problémáit.

7. Szám keresése százalékos aránya alapján.

Ezekben a feladatokban meg kell találnia egy számot, amely ismeri ennek a számnak néhány százalékát.

1. feladat. Ez év elején 60 rubelt kaptam a takarékpénztártól. bevétel abból az összegből, amit egy éve megtakarításba tettem. Mennyi pénzt tettem a takarékpénztárba? (A pénztárak évi 2%-os hozamot adnak a betéteseknek.)

A probléma lényege az, hogy egy bizonyos összeget betettem egy takarékpénztárba, és ott maradtam egy évig. Egy év után 60 rubelt kaptam tőle. bevétel, ami az általam elhelyezett pénz 2/100-a. Mennyi pénzt tettem bele?

Következésképpen ennek a pénznek egy részét ismerve, kétféleképpen (rubelben és töredékben) kifejezve, meg kell találnunk a teljes, egyelőre ismeretlen összeget. Ez egy közönséges probléma egy szám megtalálásának törtrésze alapján. A következő problémákat osztással oldjuk meg:

Ez azt jelenti, hogy 3000 rubelt helyeztek el a takarékpénztárban.

2. feladat. A halászok két hét alatt 64%-kal teljesítették a havi tervet, 512 tonna halat zsákmányoltak ki. Mi volt a tervük?

A probléma körülményeiből ismert, hogy a halászok befejezték a terv egy részét. Ez a rész 512 tonnának felel meg, ami a terv 64%-a. Nem tudjuk, hány tonna halat kell elkészíteni a terv szerint. Ennek a számnak a megtalálása lesz a megoldás a problémára.

Az ilyen problémákat felosztással oldják meg:

Ez azt jelenti, hogy a terv szerint 800 tonna halat kell előkészíteni.

3. feladat. A vonat Rigából Moszkvába ment. Amikor áthaladt a 276. kilométeren, az egyik utas megkérdezte egy arra haladó kalauztól, hogy mennyit tettek meg már az útból. A karmester erre azt válaszolta: „A teljes út 30%-át már megtettük.” Mi a távolság Riga és Moszkva között?

A problémakörülményekből egyértelműen látszik, hogy a Riga és Moszkva közötti útvonal 30%-a 276 km. Meg kell találnunk a városok közötti teljes távolságot, azaz ehhez a részhez meg kell találnunk az egészet:

91. § Kölcsönös számok. Az osztás helyettesítése szorzással.

Vegyük a 2/3 törtet, és cseréljük ki a számlálót a nevező helyére, 3/2-t kapunk. Ennek a törtnek az inverzét kaptuk.

Annak érdekében, hogy egy adott tört inverzének megfelelő törtet kapjunk, a nevező helyére a számlálót, a számláló helyére pedig a nevezőt kell tenni. Ily módon bármely tört reciprokát megkaphatjuk. Például:

3/4, fordított 4/3; 5/6, fordított 6/5

Két olyan törtet nevezünk, amelyeknek az a tulajdonsága, hogy az első számlálója a második nevezője, az elsőé pedig a másodiké. kölcsönösen inverz.

Most gondoljuk át, hogy melyik tört lesz az 1/2 reciprokja. Nyilvánvalóan 2/1 lesz, vagy csak 2. Az adott inverz törtét keresve egész számot kaptunk. És ez az eset nem elszigetelt; ellenkezőleg, minden olyan tört esetében, amelynek számlálója 1 (egy), a reciprok egész számok lesznek, például:

1/3, fordított 3; 1/5, fordított 5

Mivel a reciprok törtek keresésekor egész számokkal is találkoztunk, a következőkben nem reciprok törtekről, hanem reciprok számokról lesz szó.

Találjuk ki, hogyan írjuk fel egy egész szám inverzét. A törtek esetében ez egyszerűen megoldható: a számláló helyére a nevezőt kell tenni. Ugyanígy megkaphatjuk egy egész szám inverzét is, mivel bármely egész szám nevezője lehet 1. Ez azt jelenti, hogy a 7 inverze 1/7 lesz, mert 7 = 7/1; a 10-es szám inverze 1/10 lesz, mivel 10 = 10/1

Ezt a gondolatot többféleképpen is megfogalmazhatjuk: adott szám reciprokát úgy kapjuk meg, hogy egyet elosztunk egy adott számmal. Ez az állítás nemcsak egész számokra igaz, hanem törtekre is. Valójában, ha az 5/9 tört inverzét kell felírnunk, akkor vehetünk 1-et és oszthatjuk 5/9-cel, azaz.

Most egy dolgot emeljünk ki ingatlan reciprok számok, amelyek hasznosak lesznek számunkra: a reciprok számok szorzata eggyel egyenlő. Valójában:

Ezt a tulajdonságot felhasználva a következő módon találhatunk reciprok számokat. Tegyük fel, hogy meg kell találnunk a 8 inverzét.

Jelöljük betűvel X , majd 8 X = 1, tehát X = 1/8. Keressünk egy másik számot, amely a 7/12 inverze, és jelöljük betűvel X , majd 7/12 X = 1, tehát X = 1:7/12 vagy X = 12 / 7 .

Itt vezettük be a reciprok számok fogalmát, hogy némileg kiegészítsük a törtosztással kapcsolatos információkat.

Ha a 6-ot elosztjuk 3/5-tel, a következőket tesszük:

Különös figyelmet fordítson a kifejezésre, és hasonlítsa össze az adott kifejezéssel: .

Ha a kifejezést külön vesszük, anélkül, hogy az előzőhöz kapcsolódnánk, akkor lehetetlen megoldani azt a kérdést, hogy honnan jött: a 6-ot 3/5-tel osztva, vagy a 6-ot 5/3-dal megszorozva. Mindkét esetben ugyanaz történik. Ezért mondhatjuk hogy az egyik szám elosztása a másikkal helyettesíthető az osztalék szorzásával az osztó inverzével.

Az alábbiakban bemutatott példák teljes mértékben megerősítik ezt a következtetést.

A közönséges törtszámok először az 5. osztályban találkoznak az iskolásokkal, és végigkísérik őket életükön keresztül, hiszen a mindennapi életben gyakran nem egészben, hanem külön-külön kell egy tárgyat figyelembe venni vagy használni. Kezdje el tanulmányozni ezt a témát - megosztások. A részvények egyenlő részek, amelybe ez vagy az a tárgy fel van osztva. Hiszen nem mindig lehet egy termék hosszát vagy árát egész számként kifejezni, figyelembe kell venni valamilyen mértéket. A „hasadás” - részekre osztás igéből alakult, és arab gyökerekkel rendelkezik, maga a „töredék” szó a 8. században jelent meg az orosz nyelvben.

A törtkifejezéseket régóta a matematika legnehezebb ágának tartják. A 17. században, amikor megjelentek az első matematikai tankönyvek, „tört számoknak” nevezték őket, amit nagyon nehéz volt megérteni az emberek számára.

Az egyszerű törtmaradványok modern formáját, amelyek részeit vízszintes vonal választja el, először Fibonacci – Pisa Leonardo hirdette. Művei 1202-re datálhatók. De ennek a cikknek az a célja, hogy egyszerűen és világosan elmagyarázza az olvasónak, hogyan szorozzák a különböző nevezőkkel rendelkező vegyes törteket.

Különböző nevezőkkel rendelkező törtek szorzása

Kezdetben érdemes meghatározni törtek fajtái:

• helyes;
• helytelen;
• vegyes.

Ezután emlékeznie kell arra, hogy az azonos nevezővel rendelkező törtszámok hogyan szorozódnak. Ennek a folyamatnak a szabályát nem nehéz önállóan megfogalmazni: az azonos nevezővel rendelkező egyszerű törtek szorzatának eredménye egy törtkifejezés, amelynek számlálója a számlálók szorzata, a nevező pedig e törtek nevezőinek szorzata. . Vagyis az új nevező az eredetileg meglévők valamelyikének négyzete.

A szorzáskor egyszerű törtek különböző nevezőkkel két vagy több tényező esetén a szabály nem változik:

a/b * c/d = a*c / b*d.

Az egyetlen különbség az, hogy a törtvonal alatt képzett szám különböző számok szorzata lesz, és természetesen nem nevezhető egyetlen numerikus kifejezés négyzetének.

Érdemes megfontolni a különböző nevezőjű törtek szorzását példák segítségével:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

A példák a törtkifejezések csökkentésére szolgáló módszereket alkalmaznak. Csak azokat a számlálószámokat csökkentheti, amelyeknél a szomszédos tényezők a törtvonal felett vagy alatt vannak, nem csökkenthetők.

Az egyszerű törtek mellett létezik a vegyes törtek fogalma is. A vegyes szám egy egész számból és egy tört részből áll, vagyis ezeknek a számoknak az összege:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Hogyan működik a szorzás?

Több példa is megfontolandó.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

A példa egy szám szorzását használja közönséges tört rész, ennek a műveletnek a szabálya a következőképpen írható fel:

a* b/c = a*b /c.

Valójában egy ilyen szorzat azonos tört maradékok összege, és a tagok száma ezt a természetes számot jelzi. Különleges eset:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Van egy másik megoldás is egy szám tört maradékkal való szorzására. Csak el kell osztania a nevezőt ezzel a számmal:

d* e/f = e/f: d.

Ez a technika akkor hasznos, ha a nevezőt elosztjuk egy maradék nélküli természetes számmal, vagy ahogy mondják, egész számmal.

Váltsa át a vegyes számokat helytelen törtekre, és kapja meg a szorzatot a korábban leírt módon:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Ez a példa egy vegyes tört helytelen törtként való ábrázolásának módját tartalmazza, és általános képletként is ábrázolható:

a bc = a*b+ c / c, ahol az új tört nevezőjét úgy alakítjuk ki, hogy az egész részt megszorozzuk a nevezővel, és összeadjuk az eredeti tört maradék számlálójával, és a nevező változatlan marad.

Ez a folyamat az ellenkező irányba is működik. A teljes rész és a tört maradék szétválasztásához el kell osztani a nem megfelelő tört számlálóját a nevezőjével egy „sarok” segítségével.

Nem megfelelő törtek szorzásaáltalánosan elfogadott módon állítják elő. Ha egyetlen törtsor alá ír, szükség szerint csökkentenie kell a törteket, hogy ezzel a módszerrel csökkentse a számokat, és megkönnyítse az eredmény kiszámítását.

Az interneten számos segítő található még bonyolult matematikai problémák megoldására is a programok különféle változataiban. Elegendő számú ilyen szolgáltatás nyújt segítséget a nevezőkben különböző számokkal rendelkező törtek szorzásának kiszámításához - az úgynevezett online számológépek a törtek kiszámításához. Képesek nemcsak szorozni, hanem minden más egyszerű aritmetikai műveletet is végrehajtani közönséges törtekkel és vegyes számokkal. Könnyű vele dolgozni, töltse ki a megfelelő mezőket a weboldalon, válassza ki a matematikai művelet jelét, és kattintson a „számítás” gombra. A program automatikusan számol.

A törtekkel végzett aritmetikai műveletek témája a közép- és középiskolások oktatásában végig releváns. Középiskolában már nem a legegyszerűbb fajt tartják, hanem egész számú tört kifejezések, de az átalakítási és számítási szabályok korábban szerzett ismereteit eredeti formájában alkalmazzuk. A jól elsajátított alapismeretek teljes önbizalmat adnak a legbonyolultabb problémák sikeres megoldásában.

Befejezésül érdemes idézni Lev Nyikolajevics Tolsztoj szavait, aki ezt írta: „Az ember egy töredék. Az embernek nincs hatalmában a számlálóját - érdemeit - növelni, de nevezőjét - önmagáról alkotott véleményét - bárki csökkentheti, és ezzel a csökkenéssel közelebb kerülhet tökéletességéhez.

Az óra tartalma

Hasonló nevezőt tartalmazó törtek hozzáadása

A törtek összeadásának két típusa van:

1. Hasonló nevezőt tartalmazó törtek hozzáadása
2. Különböző nevezőjű törtek összeadása

Először tanuljuk meg a hasonló nevezőkkel rendelkező törtek összeadását. Itt minden egyszerű. Az azonos nevezőjű törtek hozzáadásához hozzá kell adni a számlálóikat, és a nevezőt változatlanul kell hagyni. Például vegyük össze a törteket és a . Adja hozzá a számlálókat, és hagyja változatlanul a nevezőt:

Ez a példa könnyen érthető, ha a pizzára emlékezünk, amely négy részre oszlik. Ha pizzát adsz a pizzához, akkor pizzát kapsz:

2. példa Adjunk hozzá törteket és .

A válasz helytelen törtnek bizonyult. Amikor eljön a feladat vége, szokás megválni a helytelen törtektől. Ahhoz, hogy megszabaduljon egy nem megfelelő törttől, ki kell választania annak teljes részét. Esetünkben az egész rész könnyen elkülöníthető - kettő osztva kettővel egyenlő:

Ez a példa könnyen érthető, ha egy két részre osztott pizzára emlékezünk. Ha több pizzát adsz a pizzához, egy egész pizzát kapsz:

3. példa. Adjunk hozzá törteket és .

Ismét összeadjuk a számlálókat, és a nevezőt változatlanul hagyjuk:

Ez a példa könnyen érthető, ha a pizzára emlékezünk, amely három részre oszlik. Ha több pizzát adsz a pizzához, akkor pizzát kapsz:

4. példa Keresse meg egy kifejezés értékét

Ez a példa pontosan ugyanúgy van megoldva, mint az előzőek. A számlálókat hozzá kell adni, a nevezőt pedig változatlanul kell hagyni:

Próbáljuk meg rajz segítségével ábrázolni a megoldásunkat. Ha pizzát ad hozzá egy pizzához, és további pizzákat ad hozzá, 1 egész pizzát és még több pizzát kap.

Amint látja, nincs semmi bonyolult az azonos nevezőjű törtek összeadásában. Elég megérteni a következő szabályokat:

1. Az azonos nevezőjű törtek hozzáadásához hozzá kell adni a számlálóikat, és a nevezőt változatlanul kell hagyni;

Különböző nevezőjű törtek összeadása

Most pedig tanuljuk meg, hogyan adjunk hozzá különböző nevezőkkel rendelkező törteket. Törtek összeadásakor a törtek nevezőinek azonosaknak kell lenniük. De nem mindig egyformák.

Például törtek adhatók hozzá, mert ugyanazok a nevezők.

De a törteket nem lehet azonnal összeadni, mivel ezeknek a törteknek más a nevezője. Ilyen esetekben a törteket ugyanarra a (közös) nevezőre kell csökkenteni.

Többféle módon is csökkenthetjük a törteket ugyanarra a nevezőre. Ma csak az egyiket nézzük meg, mivel a többi módszer bonyolultnak tűnhet egy kezdő számára.

Ennek a módszernek az a lényege, hogy először mindkét tört nevezőjének LCM-jét keressük. Az LCM-et ezután elosztjuk az első tört nevezőjével, hogy megkapjuk az első további tényezőt. Ugyanezt teszik a második törttel is - az LCM-et elosztják a második tört nevezőjével, és egy második további tényezőt kapnak.

A törtek számlálóit és nevezőit ezután megszorozzuk a további tényezőkkel. Ezen műveletek eredményeként a különböző nevezővel rendelkező törtek azonos nevezővel rendelkező törtekké alakulnak. És már tudjuk, hogyan kell ilyen törteket összeadni.

1. példa. Adjuk össze a törteket és

Először is megtaláljuk mindkét tört nevezőjének legkisebb közös többszörösét. Az első tört nevezője a 3, a másodiké pedig a 2. Ezeknek a számoknak a legkisebb közös többszöröse a 6

LCM (2 és 3) = 6

Most térjünk vissza a törtekhez és . Először ossza el az LCM-et az első tört nevezőjével, és kapja meg az első további tényezőt. Az LCM a 6-os szám, az első tört nevezője pedig a 3. A 6-ot elosztjuk 3-mal, így 2-t kapunk.

A kapott 2-es szám az első további szorzó. Leírjuk az első törtre. Ehhez húzzon egy kis ferde vonalat a tört fölé, és írja fel a felette található további tényezőt:

Ugyanezt tesszük a második törttel is. Az LCM-et elosztjuk a második tört nevezőjével, és megkapjuk a második járulékos tényezőt. Az LCM a 6-os szám, a második tört nevezője pedig a 2. A 6-ot elosztjuk 2-vel, 3-at kapunk.

A kapott 3 a második további szorzó. Felírjuk a második törtre. Ismét készítünk egy kis ferde vonalat a második tört fölé, és felírjuk a felette talált további tényezőt:

Most már minden készen áll a kiegészítésre. Továbbra is meg kell szorozni a törtek számlálóit és nevezőit további tényezőkkel:

Nézd meg alaposan, mire jutottunk. Arra a következtetésre jutottunk, hogy a különböző nevezőjű törtek olyan törtekké alakultak, amelyeknek ugyanaz a nevezője. És már tudjuk, hogyan kell ilyen törteket összeadni. Vegyük ezt a példát a végére:

Ezzel teljes a példa. Kiderül hozzá .

Próbáljuk meg rajz segítségével ábrázolni a megoldásunkat. Ha pizzát adsz egy pizzához, akkor egy egész pizzát és egy pizza másik hatodát kapod:

A törtek ugyanarra a (közös) nevezőre való redukálása kép segítségével is ábrázolható. A törteket és a törteket közös nevezőre redukálva megkaptuk a és a törteket. Ezt a két frakciót ugyanazok a pizzadarabok képviselik. Az egyetlen különbség az lesz, hogy ezúttal egyenlő részekre osztják őket (azonos nevezőre csökkentve).

Az első rajz egy töredéket ábrázol (hatból négy darab), a második rajz pedig egy törtet (hatból három darab). Ezeket a darabokat összeadva (hatból hét darabot) kapunk. Ez a tört nem megfelelő, ezért a teljes részt kiemeltük. Ennek eredményeként kaptunk (egy egész pizza és egy másik hatodik pizza).

Kérjük, vegye figyelembe, hogy ezt a példát túl részletesen leírtuk. Az oktatási intézményekben nem szokás ilyen részletesen írni. Gyorsan meg kell találnia mindkét nevező és a hozzájuk tartozó további tényezők LCM-jét, valamint gyorsan meg kell szoroznia a talált további tényezőket a számlálóival és a nevezőivel. Ha iskolában lennénk, ezt a példát a következőképpen kellene leírnunk:

De van az éremnek egy másik oldala is. Ha a matematika tanulmányozásának első szakaszában nem készít részletes jegyzeteket, akkor ilyen jellegű kérdések kezdenek megjelenni. „Honnan jön ez a szám?”, „Miért válnak a törtek hirtelen teljesen más törtté? «.

A különböző nevezőkkel rendelkező törtek összeadásának megkönnyítése érdekében kövesse az alábbi lépésenkénti utasításokat:

1. Keresse meg a törtek nevezőinek LCM-jét;
2. Ossza el az LCM-et az egyes törtek nevezőjével, és kapjon további tényezőt minden törthez;
3. Szorozzuk meg a törtek számlálóit és nevezőit további tényezőikkel;
4. Adjon hozzá azonos nevezővel rendelkező törteket;
5. Ha a válasz helytelen törtnek bizonyul, válassza ki a teljes részét;

2. példa Keresse meg egy kifejezés értékét .

Használjuk a fenti utasításokat.

1. lépés. Keresse meg a törtek nevezőinek LCM-jét

Keresse meg mindkét tört nevezőinek LCM-jét! A törtek nevezői a 2, 3 és 4 számok

2. lépés: Ossza el az LCM-et az egyes törtek nevezőjével, és kapjon további tényezőt minden törthez

Ossza el az LCM-et az első tört nevezőjével. Az LCM a 12-es szám, az első tört nevezője pedig a 2. A 12-t elosztjuk 2-vel, így 6-ot kapunk. Az első további 6-os tényezőt kaptuk. Az első tört fölé írjuk:

Most elosztjuk az LCM-et a második tört nevezőjével. Az LCM a 12-es szám, a második tört nevezője pedig a 3. A 12-t elosztjuk 3-mal, így 4-et kapunk. A második további 4-es tényezőt kapjuk. A második tört fölé írjuk:

Most elosztjuk az LCM-et a harmadik tört nevezőjével. Az LCM a 12-es szám, a harmadik tört nevezője pedig a 4. A 12-t elosztjuk 4-gyel, így 3-at kapunk. A harmadik további tényezőt 3-at kapjuk. A harmadik tört fölé írjuk:

3. lépés. Szorozzuk meg a törtek számlálóit és nevezőit további tényezőikkel

A számlálókat és a nevezőket megszorozzuk további tényezőikkel:

4. lépés: Adjon hozzá azonos nevezővel rendelkező törteket

Arra a következtetésre jutottunk, hogy a különböző nevezőjű törtek olyan törtekké alakultak, amelyeknek azonos (közös) nevezője volt. Már csak ezeket a törteket kell összeadni. Add hozzá:

Az összeadás nem fért egy sorba, ezért a fennmaradó kifejezést áthelyeztük a következő sorba. Ez a matematikában megengedett. Ha egy kifejezés nem fér el egy sorba, akkor a következő sorba kerül, és egyenlőségjelet (=) kell tenni az első sor végére és az új sor elejére. A második sorban lévő egyenlőségjel azt jelzi, hogy ez az első sorban lévő kifejezés folytatása.

5. lépés: Ha a válasz helytelen törtnek bizonyul, jelölje ki annak teljes részét

A válaszunk helytelen törtnek bizonyult. Ennek egy egész részét ki kell emelnünk. Kiemeljük:

Választ kaptunk

Hasonló nevezővel rendelkező törtek kivonása

A törtek kivonásának két típusa van:

1. Hasonló nevezővel rendelkező törtek kivonása
2. Különböző nevezőjű törtek kivonása

Először is, tanuljuk meg, hogyan kell kivonni a törteket hasonló nevezőkkel. Itt minden egyszerű. Ha egy törtből egy másikat szeretne kivonni, ki kell vonnia a második tört számlálóját az első tört számlálójából, de a nevezőt változatlannak kell hagynia.

Például keressük meg a kifejezés értékét. A példa megoldásához ki kell vonni a második tört számlálóját az első tört számlálójából, és a nevezőt változatlanul kell hagyni. Tegyük ezt:

Ez a példa könnyen érthető, ha a pizzára emlékezünk, amely négy részre oszlik. Ha pizzát vágsz ki egy pizzából, akkor pizzát kapsz:

2. példa Keresse meg a kifejezés értékét.

Ismét az első tört számlálójából vonja ki a második tört számlálóját, és hagyja változatlanul a nevezőt:

Ez a példa könnyen érthető, ha a pizzára emlékezünk, amely három részre oszlik. Ha pizzát vágsz ki egy pizzából, akkor pizzát kapsz:

3. példa Keresse meg egy kifejezés értékét

Ez a példa pontosan ugyanúgy van megoldva, mint az előzőek. Az első tört számlálójából ki kell vonni a fennmaradó törtek számlálóit:

Amint látja, nincs semmi bonyolult az azonos nevezőjű törtek kivonásában. Elég megérteni a következő szabályokat:

1. Ha egy törtből egy másikat szeretne kivonni, ki kell vonnia a második tört számlálóját az első tört számlálójából, és a nevezőt változatlanul kell hagynia;
2. Ha a válasz helytelen törtnek bizonyul, akkor a teljes részt ki kell emelnie.

Különböző nevezőjű törtek kivonása

Például levonhat egy törtet a törtből, mert a törtek ugyanazokkal a nevezőkkel rendelkeznek. De nem lehet törtet kivonni a törtből, mivel ezeknek a törteknek más a nevezője. Ilyen esetekben a törteket ugyanarra a (közös) nevezőre kell csökkenteni.

A közös nevezőt ugyanazon az elv alapján találjuk meg, amelyet a különböző nevezőjű törtek összeadásakor használtunk. Először is keresse meg mindkét tört nevezőinek LCM-jét. Ezután az LCM-et elosztjuk az első tört nevezőjével, és megkapjuk az első további tényezőt, amelyet az első tört fölé írunk. Hasonlóképpen, az LCM-et elosztjuk a második tört nevezőjével, és egy második járulékos tényezőt kapunk, amelyet a második tört fölé írunk.

A törteket ezután megszorozzuk további tényezőikkel. E műveletek eredményeként a különböző nevezővel rendelkező törteket azonos nevezővel rendelkező törtekké alakítják át. És már tudjuk, hogyan kell kivonni az ilyen törteket.

1. példa Keresse meg a kifejezés jelentését:

Ezeknek a törteknek különböző nevezői vannak, ezért le kell redukálni őket ugyanarra a (közös) nevezőre.

Először is megtaláljuk mindkét tört nevezőjének LCM-jét. Az első tört nevezője a 3, a másodiké pedig a 4. Ezeknek a számoknak a legkisebb közös többszöröse a 12

LCM (3 és 4) = 12

Most térjünk vissza a törtekhez és

Keressünk egy további tényezőt az első törthez. Ehhez el kell osztani az LCM-et az első tört nevezőjével. Az LCM a 12-es szám, az első tört nevezője pedig a 3. Oszd el a 12-t 3-mal, így 4-et kapunk. Írj négyest az első tört fölé!

Ugyanezt tesszük a második törttel is. Ossza el az LCM-et a második tört nevezőjével. Az LCM a 12-es szám, a második tört nevezője pedig a 4. Oszd el a 12-t 4-gyel, 3-at kapunk. Írj hármast a második tört fölé:

Most készen állunk a kivonásra. Továbbra is meg kell szorozni a törteket további tényezőikkel:

Arra a következtetésre jutottunk, hogy a különböző nevezőjű törtek olyan törtekké alakultak, amelyeknek ugyanaz a nevezője. És már tudjuk, hogyan kell kivonni az ilyen törteket. Vegyük ezt a példát a végére:

Választ kaptunk

Próbáljuk meg rajz segítségével ábrázolni a megoldásunkat. Ha pizzát vágsz egy pizzából, akkor pizzát kapsz

Ez a megoldás részletes változata. Ha iskolában lennénk, ezt a példát rövidebben kellene megoldanunk. Egy ilyen megoldás így nézne ki:

A törtek közös nevezőre való redukálása kép segítségével is ábrázolható. Ezeket a törteket közös nevezőre redukálva megkaptuk a és a törteket. Ezeket a törtrészeket ugyanazok a pizzaszeletek képviselik, de ezúttal egyenlő részekre osztják őket (azonos nevezőre csökkentve):

Az első képen egy töredék látható (nyolc darab a tizenkettőből), a második képen pedig egy töredék (három darab a tizenkettőből). Nyolc darabból három darabot levágva a tizenkettőből öt darabot kapunk. A tört ezt az öt darabot írja le.

2. példa Keresse meg egy kifejezés értékét

Ezeknek a törteknek különböző nevezői vannak, ezért először le kell redukálni őket ugyanarra a (közös) nevezőre.

Keressük meg e törtek nevezőinek LCM-jét.

A törtek nevezői a 10, 3 és 5 számok. Ezeknek a számoknak a legkisebb közös többszöröse a 30

LCM(10;3;5) = 30

Most minden törthez további tényezőket találunk. Ehhez el kell osztani az LCM-et az egyes törtek nevezőjével.

Keressünk egy további tényezőt az első törthez. Az LCM a 30-as szám, az első tört nevezője pedig a 10. A 30-at elosztva 10-zel kapjuk az első további 3-as tényezőt. Az első tört fölé írjuk:

Most találunk egy további tényezőt a második törthez. Ossza el az LCM-et a második tört nevezőjével. Az LCM a 30-as szám, a második tört nevezője pedig a 3. A 30-at elosztva 3-mal kapjuk a második további 10-es tényezőt. A második tört fölé írjuk:

Most találunk egy további tényezőt a harmadik törthez. Ossza el az LCM-et a harmadik tört nevezőjével. Az LCM a 30-as szám, a harmadik tört nevezője pedig az 5-ös szám. A 30-at elosztva 5-tel kapjuk a harmadik további 6-os tényezőt. A harmadik tört fölé írjuk:

Most minden készen áll a kivonásra. Továbbra is meg kell szorozni a törteket további tényezőikkel:

Arra a következtetésre jutottunk, hogy a különböző nevezőjű törtek olyan törtekké alakultak, amelyeknek azonos (közös) nevezője volt. És már tudjuk, hogyan kell kivonni az ilyen törteket. Fejezzük be ezt a példát.

A példa folytatása nem fog elférni egy sorba, ezért a folytatást áthelyezzük a következő sorba. Ne feledkezzünk meg az egyenlőségjelről (=) az új sorban:

A válasz szabályos törtnek bizonyult, és úgy tűnik, minden megfelel nekünk, de túl nehézkes és csúnya. Egyszerűbbé kellene tennünk. Mit lehet tenni? Lerövidítheti ezt a törtet.

A tört csökkentéséhez el kell osztani a számlálót és a nevezőt (GCD) a 20 és 30 számokkal.

Tehát megtaláljuk a 20 és 30 számok gcd-jét:

Most visszatérünk a példánkhoz, és elosztjuk a tört számlálóját és nevezőjét a talált gcd-vel, azaz 10-zel

Választ kaptunk

Tört szorzása számmal

Egy tört számmal való szorzásához meg kell szoroznia a tört számlálóját ezzel a számmal, és a nevezőt változatlannak kell hagynia.

1. példa. Szorozza meg a törtet 1-gyel.

Szorozzuk meg a tört számlálóját 1-gyel

A felvétel fele 1 idő alatt érthető. Például, ha egyszer pizzát veszel, akkor pizzát kapsz

A szorzás törvényeiből tudjuk, hogy ha a szorzót és a tényezőt felcseréljük, a szorzat nem változik. Ha a kifejezést így írjuk, akkor a szorzat továbbra is egyenlő lesz. Ismét működik az egész szám és a tört szorzásának szabálya:

Ez a jelölés úgy értelmezhető, hogy az egy felét veszi. Például, ha van 1 egész pizza és a felét kivesszük, akkor pizzánk lesz:

2. példa. Keresse meg egy kifejezés értékét

Szorozzuk meg a tört számlálóját 4-gyel

A válasz egy helytelen tört volt. Kiemeljük a teljes részt:

A kifejezés úgy értelmezhető, hogy 4-szer kétnegyedet vesz. Például, ha veszel 4 pizzát, akkor két egész pizzát kapsz

És ha felcseréljük a szorzót és a szorzót, akkor a kifejezést kapjuk. Ez is egyenlő lesz 2-vel. Ez a kifejezés úgy értelmezhető, hogy négy egész pizzából két pizzát veszünk:

Törtek szorzása

A törtek szorzásához meg kell szorozni a számlálójukat és a nevezőiket. Ha a válasz helytelen törtnek bizonyul, ki kell emelnie a teljes részét.

1. példa Keresse meg a kifejezés értékét.

Választ kaptunk. Ezt a hányadot célszerű csökkenteni. A tört 2-vel csökkenthető. Ekkor a végső oldat a következő formát ölti:

A kifejezés úgy értelmezhető, hogy egy fél pizzából pizzát veszünk. Tegyük fel, hogy van egy fél pizza:

Hogyan lehet ebből a félből kétharmadot kivenni? Először ezt a felét három egyenlő részre kell osztania:

És ebből a három darabból vegyél kettőt:

Pizzát készítünk. Ne feledje, hogyan néz ki a pizza három részre osztva:

Ebből a pizzából egy darab és az általunk vett két darab azonos méretű lesz:

Vagyis azonos méretű pizzáról beszélünk. Ezért a kifejezés értéke

2. példa. Keresse meg egy kifejezés értékét

Szorozzuk meg az első tört számlálóját a második tört számlálójával, az első tört nevezőjét pedig a második tört nevezőjével:

A válasz egy helytelen tört volt. Kiemeljük a teljes részt:

3. példa Keresse meg egy kifejezés értékét

Szorozzuk meg az első tört számlálóját a második tört számlálójával, az első tört nevezőjét pedig a második tört nevezőjével:

A válasz szabályos törtnek bizonyult, de jó lenne, ha lerövidítenék. Ennek a törtnek a csökkentéséhez el kell osztania ennek a törtnek a számlálóját és nevezőjét a 105 és 450 számok legnagyobb közös osztójával (GCD).

Tehát keressük meg a 105 és 450 számok gcd-jét:

Most elosztjuk a válaszunk számlálóját és nevezőjét a most megtalált gcd-vel, azaz 15-tel

Egész szám törtként való ábrázolása

Bármely egész szám ábrázolható törtként. Például az 5-ös szám ábrázolható . Ez nem fogja megváltoztatni az öt jelentését, mivel a kifejezés azt jelenti, hogy „az ötös szám osztva eggyel”, és ez, mint tudjuk, egyenlő öttel:

Reciprok számok

Most egy nagyon érdekes témával fogunk megismerkedni a matematikában. Ezt "fordított számoknak" hívják.

Meghatározás. Fordítva a számhoza egy olyan szám, amelyet ha megszorozunka ad egyet.

Helyettesítsük be ezt a definíciót a változó helyett a az 5-ös számot, és próbálja meg elolvasni a definíciót:

Fordítva a számhoz 5 egy olyan szám, amelyet ha megszorozunk 5 ad egyet.

Lehet-e találni olyan számot, amelyet 5-tel megszorozva egyet adunk? Kiderül, hogy lehetséges. Képzeljük el az ötöt törtként:

Ezután szorozza meg ezt a törtet önmagával, csak cserélje fel a számlálót és a nevezőt. Más szóval, szorozzuk meg a törtet önmagával, csak fejjel lefelé:

Mi lesz ennek eredményeként? Ha folytatjuk a példa megoldását, egyet kapunk:

Ez azt jelenti, hogy az 5-ös szám inverze a szám, mivel ha 5-öt megszorozunk, akkor egyet kapunk.

Egy szám reciproka bármely más egész számra is megtalálható.

Bármely más tört reciprok számát is megtalálhatja. Ehhez csak fordítsa meg.

Tört elosztása számmal

Tegyük fel, hogy van egy fél pizza:

Osszuk el egyenlő arányban kettő között. Mennyi pizzát kap egy ember?

Látható, hogy a pizza fele felosztása után két egyenlő darabot kaptunk, amelyek mindegyike egy-egy pizzát alkot. Szóval mindenki kap egy pizzát.

A törtek felosztása reciprok segítségével történik. A reciprok számok lehetővé teszik, hogy az osztást szorzással helyettesítsük.

Egy tört számmal való osztásához meg kell szoroznia a törtet az osztó inverzével.

Ezt a szabályt alkalmazva felírjuk a pizzafelünk felosztását két részre.

Tehát el kell osztani a törtet 2-vel. Itt az osztalék a tört, az osztó pedig a 2.

Ha el szeretne osztani egy tört 2-vel, ezt a törtet meg kell szoroznia a 2 osztó reciprokával. A 2 osztó reciproka a tört. Tehát szorozni kell vele

Előbb vagy utóbb az iskolában minden gyerek elkezdi megtanulni a törteket: összeadásukat, osztásukat, szorzásukat és a törtekkel végrehajtható összes műveletet. Annak érdekében, hogy megfelelő segítséget nyújtsanak a gyermeknek, maguknak a szülőknek sem szabad elfelejteniük, hogyan kell az egész számokat törtekre osztani, különben semmilyen módon nem tud segíteni neki, hanem csak összezavarja. Ha emlékeznie kell erre a műveletre, de egyszerűen nem tudja egyetlen szabályba foglalni a fejében lévő összes információt, akkor ez a cikk segít: megtanulja, hogyan kell elosztani egy számot törttel, és világos példákat láthat.

Hogyan oszthatunk egy számot törtre

Írja le a példáját durva piszkozatként, hogy feljegyzéseket és törléseket készíthessen. Ne feledje, hogy az egész számot a cellák közé írjuk, közvetlenül a metszéspontjukba, a törtszámokat pedig mindegyik a saját cellájába.

• Ennél a módszernél a törtet fejjel lefelé kell fordítani, vagyis a nevezőt a számlálóba, a számlálót a nevezőbe kell írni.
• Az osztásjelet szorzásra kell módosítani.
• Most már csak a szorzást kell elvégezni a már megtanult szabályok szerint: a számlálót megszorozzuk egy egész számmal, de a nevezőhöz nem nyúlunk.

Természetesen ennek a műveletnek az eredményeként nagyon nagy számot fog kapni a számlálóban. Ebben az állapotban nem hagyhat egy töredéket – a tanár egyszerűen nem fogadja el ezt a választ. Csökkentse a törtet úgy, hogy a számlálót elosztja a nevezővel. Írja a kapott egész számot a cellák közepén lévő tört bal oldalára, és a maradék lesz az új számláló. A nevező változatlan marad.

Ez az algoritmus meglehetősen egyszerű, még egy gyermek számára is. Öt-hatszori elvégzése után a gyermek emlékezni fog az eljárásra, és bármilyen töredékre alkalmazni tudja.

Hogyan oszthatunk el egy számot tizedessel

Vannak más típusú törtek - tizedesjegyek. A rájuk való felosztás egészen más algoritmus szerint történik. Ha ilyen példával találkozik, kövesse az utasításokat:

• Először konvertálja mindkét számot tizedesjegyekké. Ez könnyen megtehető: az osztó már törtként van ábrázolva, és az osztandó természetes számot vesszővel választja el, így tizedes törtet kap. Azaz, ha az osztalék 5 volt, akkor az 5,0 törtet kapja. A számokat annyi számjeggyel kell elválasztani, amennyi a tizedesvessző és az osztó után van.
• Ezt követően mindkét tizedes törtet természetes számmá kell alakítani. Elsőre kissé zavarónak tűnhet, de ez a leggyorsabb módja a felosztásnak, és néhány edzés után másodpercekbe telik. Az 5.0 törtből 50, a 6.23-ból 623 lesz.
• Végezze el a felosztást. Ha a számok nagynak bizonyulnak, vagy az osztás maradékkal fog megtörténni, akkor oszlopban végezze el. Így tisztán láthatja a példa összes műveletét. Szándékosan nem kell vesszőt tenni, mert a hosszú osztási folyamat során magától megjelenik.

Ez a fajta osztás kezdetben túlságosan zavarónak tűnik, mivel az osztót és az osztót törtté, majd vissza természetes számokká kell alakítani. De egy rövid gyakorlat után azonnal látni fogja azokat a számokat, amelyeket egyszerűen el kell osztania egymással.

Ne feledje, hogy a törtek és az egész számok helyes osztásának képessége sokszor jól jöhet az életben, ezért a gyermeknek tökéletesen ismernie kell ezeket a szabályokat és az egyszerű alapelveket, hogy a magasabb évfolyamokon ne váljon buktatóvá, ami miatt a gyermek nem tud bonyolultabb feladatokat megoldani.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete