Időpont: 2014.11.20

Mi az a származék?

Származékok táblázata.

A derivált a magasabb matematika egyik fő fogalma. Ebben a leckében bemutatjuk ezt a fogalmat. Ismerjük meg egymást, szigorú matematikai megfogalmazások és bizonyítások nélkül.

Ez az ismeretség lehetővé teszi, hogy:

Megérteni a származékos egyszerű feladatok lényegét;

Sikeresen oldja meg ezeket a legegyszerűbb feladatokat;

Készüljön fel a származékos ügyletekkel kapcsolatos komolyabb leckékre.

Először is egy kellemes meglepetés.)

A derivált szigorú meghatározása a határok elméletén alapul, és a dolog meglehetősen bonyolult. Ez felháborító. De a származékok gyakorlati alkalmazása általában nem igényel ilyen kiterjedt és mély ismereteket!

A legtöbb iskolai és egyetemi feladat sikeres elvégzéséhez elég tudni csak néhány kifejezést- a feladat megértéséhez, ill csak néhány szabály- megoldani. Ez minden. Ez boldoggá tesz.

Kezdjük az ismerkedést?)

Feltételek és megnevezések.

Az elemi matematikában sokféle matematikai művelet létezik. Összeadás, kivonás, szorzás, hatványozás, logaritmus stb. Ha hozzáadunk még egy műveletet ezekhez a műveletekhez, az elemi matematika magasabb lesz. Ezt az új műveletet ún különbségtétel. Ennek a műveletnek a meghatározását és jelentését külön leckékben tárgyaljuk.

Itt fontos megérteni, hogy a differenciálás egyszerűen egy függvény matematikai művelete. Felveszünk bármilyen függvényt, és bizonyos szabályok szerint átalakítjuk. Az eredmény egy új funkció lesz. Ennek az új függvénynek a neve: derivált.

Különbségtétel- művelet egy funkcióra.

Derivált- ennek az akciónak az eredménye.

Pont úgy, mint pl. összeg- az összeadás eredménye. Vagy magán- az osztás eredménye.

A kifejezések ismeretében legalább megértheti a feladatokat.) A megfogalmazások a következők: keresse meg egy függvény deriváltját; vegyük a származékot; megkülönböztetni a funkciót; derivált számítani stb. Ez mind azonos. Természetesen vannak bonyolultabb feladatok is, ahol a derivált megtalálása (differenciálás) csak az egyik lépés lesz a probléma megoldásában.

A deriváltot kötőjel jelzi a függvény jobb felső sarkában. Mint ez: y" vagy f"(x) vagy Utca) stb.

Olvasás igrek stroke, ef stroke x-ből, es stroke te-ből, hát megérted...)

A prím egy adott függvény deriváltját is jelezheti, például: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)" stb. A deriváltokat gyakran differenciálokkal jelölik, de ebben a leckében nem foglalkozunk ilyen jelölésekkel.

Tegyük fel, hogy megtanultuk megérteni a feladatokat. Nincs más hátra, mint megtanulni, hogyan kell megoldani őket.) Hadd emlékeztesselek még egyszer: a származék megtalálása az függvény transzformációja bizonyos szabályok szerint. Meglepő módon nagyon kevés ilyen szabály létezik.

Egy függvény deriváltjának megtalálásához mindössze három dolgot kell tudnod. Három pillér, amelyen minden megkülönböztetés áll. Ez a három pillér:

1. Származtatott táblázat (differenciálási képletek).

3. Komplex függvény deriváltja.

Kezdjük sorban. Ebben a leckében a származékok táblázatát nézzük meg.

Származékok táblázata.

A világon végtelen számú függvény létezik. Ebben a készletben vannak olyan funkciók, amelyek a legfontosabbak a gyakorlati használat szempontjából. Ezek a funkciók a természet minden törvényében megtalálhatók. Ezekből a függvényekből, mint a téglákból, megszerkesztheti az összes többit. Ezt a függvényosztályt ún elemi függvények. Ezeket a függvényeket tanulmányozzák az iskolában - lineáris, másodfokú, hiperbola stb.

A funkciók megkülönböztetése „a nulláról”, azaz. A derivált definíciója és a határok elmélete alapján ez meglehetősen munkaigényes dolog. És a matematikusok is emberek, igen, igen!) Szóval leegyszerűsítették az életüket (és minket is). Kiszámolták előttünk az elemi függvények deriváltjait. Az eredmény egy derivált táblázat, ahol minden készen áll.)

Íme, ez a lemez a legnépszerűbb funkciókhoz. A bal oldalon egy elemi függvény, a jobb oldalon a deriváltja.

	Funkció y	y függvény származéka y"
1	C (állandó érték)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n – tetszőleges szám)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	bűn x	(sin x)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctan x
	arcctg x
4	a x
	e x
5	log a x
	ln x ( a = e)

Javaslom, hogy ebben a derivált táblázatban a függvények harmadik csoportjára fordítsanak figyelmet. A hatványfüggvény deriváltja az egyik legelterjedtebb képlet, ha nem a leggyakoribb! Érted a tippet?) Igen, célszerű fejből ismerni a származékok táblázatát. Mellesleg ez nem olyan nehéz, mint amilyennek látszik. Próbáljon több példát megoldani, maga a táblázat emlékezni fog!)

A derivált táblázati értékének megtalálása, amint érti, nem a legnehezebb feladat. Ezért nagyon gyakran az ilyen feladatokban további chipek vannak. Vagy a feladat megfogalmazásában, vagy az eredeti függvényben, ami úgy tűnik, nem szerepel a táblázatban...

Nézzünk néhány példát:

1. Határozzuk meg az y = x függvény deriváltját! 3

A táblázatban nincs ilyen funkció. De van egy általános formában lévő hatványfüggvény származéka (harmadik csoport). Esetünkben n=3. Tehát n helyett hármat helyettesítünk, és gondosan felírjuk az eredményt:

(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

Ez az.

Válasz: y" = 3x 2

2. Keresse meg az y = sinx függvény deriváltjának értékét az x = 0 pontban!

Ez a feladat azt jelenti, hogy először meg kell találnia a szinusz deriváltját, majd be kell cserélnie az értéket x = 0 ugyanabba a származékba. Pontosan ebben a sorrendben! Ellenkező esetben előfordul, hogy azonnal behelyettesítenek nullát az eredeti függvénybe... Nem az eredeti függvény értékét kell keresni, hanem az értéket. származéka. A derivált, hadd emlékeztessem önöket, egy új függvény.

A tábla segítségével megtaláljuk a szinust és a megfelelő deriváltot:

y" = (sin x)" = cosx

Behelyettesítjük a nullát a deriváltba:

y"(0) = cos 0 = 1

Ez lesz a válasz.

3. Különböztesse meg a függvényt:

Mit, inspirál?) A származékok táblázatában nincs ilyen függvény.

Hadd emlékeztesselek arra, hogy egy függvény megkülönböztetése annyi, mint a függvény deriváltjának megtalálása. Ha elfelejtjük az elemi trigonometriát, akkor a függvényünk deriváltját meglehetősen nehézkes megkeresni. A táblázat nem segít...

De ha látjuk, hogy a funkciónk az kétszögű koszinusz, akkor azonnal minden jobb lesz!

Igen igen! Ne feledje, hogy átalakítja az eredeti függvényt a megkülönböztetés előtt egészen elfogadható! És előfordul, hogy ez nagyban megkönnyíti az életet. A kettős szögű koszinusz képlet segítségével:

Azok. trükkös funkciónk nem más, mint y = cosx. És ez egy táblázat függvény. Azonnal megkapjuk:

Válasz: y" = - sin x.

Példa haladóknak és hallgatóknak:

4. Keresse meg a függvény deriváltját:

A derivált táblázatban természetesen nincs ilyen függvény. De ha emlékszel az elemi matematikára, a hatványokkal végzett műveletekre... Akkor ezt a függvényt nagyon le lehet egyszerűsíteni. Mint ez:

És az x egy tized hatványára már táblázatos függvény! Harmadik csoport, n=1/10. Közvetlenül a képlet szerint írjuk:

Ez minden. Ez lesz a válasz.

Remélem, hogy minden világos a megkülönböztetés első pillérével - a származékok táblázatával. Marad a két megmaradt bálnával foglalkozni. A következő leckében megtanuljuk a megkülönböztetés szabályait.

Ha követi a definíciót, akkor egy függvény deriváltja egy pontban a Δ függvény növekményének a határa. y a Δ argumentumnövekményhez x:

Úgy tűnik, minden világos. De próbálja meg ezzel a képlettel kiszámítani, mondjuk, a függvény deriváltját f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x bűn x. Ha mindent definíció szerint csinálsz, akkor néhány oldalas számítás után egyszerűen elalszol. Ezért vannak egyszerűbb és hatékonyabb módszerek.

Először is megjegyezzük, hogy a függvények teljes választékából megkülönböztethetjük az úgynevezett elemi függvényeket. Viszonylag egyszerű kifejezésekről van szó, amelyek származékait régóta számítják és táblázatba foglalják. Az ilyen függvényeket nagyon könnyű megjegyezni – származékaikkal együtt.

Elemi függvények származékai

Az elemi függvények az alábbiakban felsoroltak. Ezeknek a függvényeknek a származékait fejből kell tudni. Ráadásul egyáltalán nem nehéz megjegyezni őket - ezért elemiek.

Tehát az elemi függvények származékai:

Név	Funkció	Derivált
Állandó	f(x) = C, C ∈ R	0 (igen, nulla!)
Hatvány racionális kitevővel	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	f(x) = bűn x	kötözősaláta x
Koszinusz	f(x) = cos x	−sin x(mínusz szinusz)
Tangens	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Kotangens	f(x) = ctg x	− 1/sin 2 x
Természetes logaritmus	f(x) = log x	1/x
Önkényes logaritmus	f(x) = log a x	1/(x ln a)
Exponenciális függvény	f(x) = e x	e x(nem változott semmi)

Ha egy elemi függvényt megszorozunk egy tetszőleges állandóval, akkor az új függvény deriváltja is könnyen kiszámítható:

(C · f)’ = C · f ’.

Általában a konstansok kivehetők a derivált előjeléből. Például:

(2x 3)' = 2 · ( x 3) = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Nyilvánvalóan az elemi függvények összeadhatók, szorozhatók, oszthatók – és még sok más. Így jelennek meg új, már nem különösebben elemi, hanem bizonyos szabályok szerint differenciált funkciók. Ezeket a szabályokat az alábbiakban tárgyaljuk.

Az összeg és a különbözet ​​származéka

Legyenek adottak a függvények f(x) És g(x), amelynek származékait ismerjük. Például vehetjük a fent tárgyalt elemi függvényeket. Ezután megtalálhatja ezen függvények összegének és különbségének deriváltját:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Tehát két függvény összegének (különbségének) deriváltja egyenlő a deriváltak összegével (különbségével). Több kifejezés is lehet. Például, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Szigorúan véve az algebrában nincs a „kivonás” fogalma. Létezik a „negatív elem” fogalma. Ezért a különbség f − gösszegként átírható f+ (-1) g, és akkor már csak egy képlet marad - az összeg deriváltja.

f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funkció f(x) két elemi függvény összege, ezért:

f ’(x) = (x 2 + bűn x)’ = (x 2)’ + (bűn x)’ = 2x+ cos x;

Hasonlóan indokoljuk a funkciót g(x). Csak már három tag van (az algebra szempontjából):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Válasz:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

A termék származéka

A matematika logikai tudomány, ezért sokan úgy gondolják, hogy ha egy összeg deriváltja egyenlő a deriváltok összegével, akkor a szorzat deriváltja sztrájk">egyenlő a származékok szorzatával. De bassza meg! Egy szorzat deriváltját egy teljesen más képlettel számítják ki.

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

A képlet egyszerű, de gyakran elfelejtik. És nem csak iskolások, hanem diákok is. Az eredmény helytelenül megoldott problémák.

Feladat. Keresse meg a függvények származékait: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Funkció f(x) két elemi függvény szorzata, tehát minden egyszerű:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)’ cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (-sin x) = x 2 (3 cos x − x bűn x)

Funkció g(x) az első szorzó egy kicsit bonyolultabb, de az általános séma nem változik. Nyilvánvalóan a függvény első tényezője g(x) egy polinom, deriváltja pedig az összeg deriváltja. Nekünk van:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)” · e x + (x 2 + 7x− 7) · ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Válasz:
f ’(x) = x 2 (3 cos x − x bűn x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Kérjük, vegye figyelembe, hogy az utolsó lépésben a derivált faktorizálásra kerül. Formálisan ezt nem kell megtenni, de a legtöbb derivált nem önmagában számít, hanem a függvény vizsgálatára. Ez azt jelenti, hogy a továbbiakban a derivált nullával lesz egyenlő, előjelei meghatározásra kerülnek, és így tovább. Ilyen esetben jobb, ha egy kifejezést faktorizált.

Ha két funkció van f(x) És g(x), és g(x) ≠ 0 azon a halmazon, amelyre kíváncsiak vagyunk, új függvényt definiálhatunk h(x) = f(x)/g(x). Egy ilyen függvényhez a derivált is megtalálható:

Nem gyenge, igaz? Honnan jött a mínusz? Miért g 2? És így! Ez az egyik legösszetettebb képlet – palack nélkül nem tudod kitalálni. Ezért jobb, ha konkrét példákkal tanulmányozzuk.

Feladat. Keresse meg a függvények származékait:

Minden tört számlálója és nevezője elemi függvényeket tartalmaz, így csak a hányados származékának képletére van szükségünk:

A hagyomány szerint tizedeljük a számlálót – ez nagyban leegyszerűsíti a választ:

Egy összetett függvény nem feltétlenül egy fél kilométer hosszú képlet. Például elég a függvényt venni f(x) = bűn xés cserélje ki a változót x, mondjuk, be x 2 + ln x. Majd sikerülni fog f(x) = bűn ( x 2 + ln x) - ez egy összetett függvény. Ennek is van származéka, de a fent tárgyalt szabályok alapján nem lehet megtalálni.

Mit kellene tennem? Ilyen esetekben egy összetett függvény deriváltjának változó és képlet lecserélése segít:

f ’(x) = f ’(t) · t', Ha x helyettesíti t(x).

A képlet megértésével általában még szomorúbb a helyzet, mint a hányados származékával. Ezért jobb, ha konkrét példákkal magyarázzuk el, az egyes lépések részletes leírásával.

Feladat. Keresse meg a függvények származékait: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = bűn ( x 2 + ln x)

Vegye figyelembe, hogy ha a függvényben f(x) a 2. kifejezés helyett x+3 könnyű lesz x, akkor kapunk egy elemi függvényt f(x) = e x. Ezért cserét végzünk: legyen 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Egy komplex függvény deriváltját a következő képlettel keressük:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

És most - figyelem! A fordított cserét végezzük: t = 2x+ 3. Kapjuk:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Most nézzük a függvényt g(x). Nyilván cserélni kell x 2 + ln x = t. Nekünk van:

g ’(x) = g ’(t) · t’ = (bűn t)’ · t' = cos t · t ’

Fordított csere: t = x 2 + ln x. Akkor:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)' = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

Ez minden! Amint az utolsó kifejezésből látható, az egész probléma a derivált összeg kiszámítására redukálódott.

Válasz:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2 + ln x).

Az órákon nagyon gyakran a „származék” kifejezés helyett a „prím” szót használom. Például az összeg ütése egyenlő a vonások összegével. Így világosabb? Hát az jó.

Így a derivált kiszámítása az ugyanazon ütésektől való megszabaduláshoz vezet a fent tárgyalt szabályok szerint. Utolsó példaként térjünk vissza a derivált hatványhoz racionális kitevővel:

(x n)’ = n · x n − 1

Ezt kevesen tudják a szerepben n lehet, hogy törtszám is. Például a gyökér az x 0.5. Mi van, ha valami díszes van a gyökér alatt? Az eredmény ismét egy összetett funkció lesz - szeretnek ilyen konstrukciókat adni teszteken és vizsgákon.

Feladat. Keresse meg a függvény deriváltját:

Először is írjuk át a gyököt hatványként racionális kitevővel:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Most csinálunk egy cserét: hagyjuk x 2 + 8x − 7 = t. A származékot a következő képlettel találjuk meg:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5) · t' = 0,5 · t–0,5 · t ’.

Végezzük el a fordított cserét: t = x 2 + 8x− 7. Van:

f ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x− 7) −0,5 · ( x 2 + 8x− 7)’ = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Végül vissza a gyökerekhez:

Derivált

Egy matematikai függvény deriváltjának (differenciálásnak) kiszámítása igen gyakori probléma a felsőbb matematika megoldása során. Az egyszerű (elemi) matematikai függvények esetében ez meglehetősen egyszerű dolog, mivel az elemi függvények származéktáblázatait régóta összeállították és könnyen hozzáférhetők. Egy összetett matematikai függvény deriváltjának megtalálása azonban nem triviális feladat, és gyakran jelentős erőfeszítést és időt igényel.

Keressen származékot az interneten

Online szolgáltatásunk lehetővé teszi, hogy megszabaduljon az értelmetlen hosszú számításoktól és származékos keresni az interneten egy pillanat alatt. Ráadásul a weboldalon található szolgáltatásunk igénybevételével www.site, ki tudod számolni online származék elemi függvénytől és egy nagyon összetetttől is, aminek nincs analitikus megoldása. Oldalunk fő előnyei a többihez képest: 1) nincsenek szigorú követelmények a matematikai függvény beviteli módjára a derivált kiszámításához (például a szinusz x függvény beírásakor sin x vagy sinként adhatja meg (x) vagy sin[x] stb. d.); 2) az online derivált számítás azonnal megtörténik a módban onlineés abszolút ingyen; 3) lehetővé tesszük egy függvény deriváltjának megtalálását bármilyen sorrendben, a derivált sorrendjének megváltoztatása nagyon egyszerű és érthető; 4) Lehetővé tesszük, hogy szinte minden matematikai függvény deriváltját megtalálja az interneten, még a nagyon bonyolultakat is, amelyeket más szolgáltatásokkal nem lehet megoldani. A megadott válasz mindig pontos, és nem tartalmazhat hibákat.

Szerverünk használata lehetővé teszi, hogy 1) online kiszámolja a származékot, kiküszöbölve az időigényes és fárasztó számításokat, amelyek során hibát vagy elírást véthet; 2) ha Ön saját maga számítja ki egy matematikai függvény deriváltját, akkor lehetőséget biztosítunk Önnek, hogy a kapott eredményt összehasonlítsa szolgáltatásunk számításaival, és megbizonyosodjon arról, hogy a megoldás helyes, vagy talál egy becsúszott hibát; 3) használja szolgáltatásunkat az egyszerű függvények származéktáblázatainak használata helyett, ahol gyakran időbe telik a kívánt függvény megtalálása.

Mindössze annyit kell tőled megkövetelni származékos keresni az interneten- a szolgáltatásunk igénybevétele

A derivált megtalálásának műveletét differenciálásnak nevezzük.

A legegyszerűbb (és nem túl egyszerű) függvények deriváltjainak megtalálásának problémáinak megoldása eredményeként a derivált az inkrementum és az argumentum növekmény arányának határaként definiálva, megjelent a derivált táblázat és a pontosan meghatározott differenciálási szabályok. . A származékok keresésének területén elsőként Isaac Newton (1643-1727) és Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) dolgozott.

Ezért napjainkban ahhoz, hogy bármely függvény deriváltját megtaláljuk, nem kell kiszámítani a függvény növekményének és az argumentum növekményének arányának fent említett határát, hanem csak a táblázatot kell használni. származékai és a differenciálás szabályai. A derivált megtalálására a következő algoritmus alkalmas.

A származék megtalálásához, szükséged van egy kifejezésre a prímjel alá egyszerű függvényeket komponensekre bontaniés meghatározza, hogy milyen lépéseket (termék, összeg, hányados) ezek a funkciók összefüggenek. Ezután az elemi függvények deriváltjait a derivált táblázatban, a szorzat, az összeg és a hányados származékainak képleteit pedig a differenciálás szabályaiban találjuk. A származéktáblázatot és a differenciálási szabályokat az első két példa után adjuk meg.

1. példa Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás. A differenciálás szabályaiból megtudjuk, hogy egy függvényösszeg deriváltja a függvények deriváltjainak összege, azaz.

A derivált táblázatból megtudjuk, hogy "x" deriváltja egyenlő eggyel, a szinusz deriváltja pedig koszinusszal. Ezeket az értékeket behelyettesítjük a deriváltak összegébe, és megkeressük a probléma feltételéhez szükséges deriváltot:

2. példa Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás. Egy olyan összeg származékaként differenciálunk, amelyben a második tag állandó tényezője kivehető a derivált előjeléből:

Ha továbbra is kérdések merülnek fel azzal kapcsolatban, hogy valami honnan származik, azokat rendszerint tisztázzuk, miután megismerkedtünk a származékok táblázatával és a differenciálás legegyszerűbb szabályaival. Jelenleg rájuk megyünk.

Egyszerű függvények deriváltjainak táblázata

1. Állandó (szám) származéka. Bármely szám (1, 2, 5, 200...), amely a függvénykifejezésben szerepel. Mindig egyenlő nullával. Ezt nagyon fontos megjegyezni, mivel nagyon gyakran van rá szükség
2. A független változó származéka. Leggyakrabban "X". Mindig egyenlő eggyel. Ezt is fontos sokáig emlékezni
3. Végzettség származéka. A feladatok megoldása során a nem négyzetgyököket hatványokká kell konvertálnia.
4. Változó deriváltja a -1 hatványra
5. A négyzetgyök származéka
6. A szinusz származéka
7. A koszinusz származéka
8. Az érintő származéka
9. A kotangens származéka
10. Az arcszinus származéka
11. Arccosine származéka
12. Arktangens származéka
13. Az ívkotangens származéka
14. A természetes logaritmus deriváltja
15. Logaritmikus függvény deriváltja
16. A kitevő származéka
17. Exponenciális függvény deriváltja

A megkülönböztetés szabályai

1. Összeg vagy különbözet ​​származéka
2. A termék származéka
2a. Egy kifejezés származéka szorozva egy állandó tényezővel
3. A hányados származéka
4. Komplex függvény deriváltja

1. szabályHa a funkciók

egy ponton differenciálhatók, akkor a függvények ugyanazon a ponton differenciálhatók

és

azok. függvények algebrai összegének deriváltja egyenlő e függvények deriváltjainak algebrai összegével.

Következmény. Ha két differenciálható függvény egy állandó taggal különbözik, akkor deriváltjaik egyenlőek, azaz

2. szabályHa a funkciók

egy ponton differenciálhatóak, akkor a termékük ugyanazon a ponton differenciálható

és

azok. Két függvény szorzatának deriváltja egyenlő ezen függvények szorzatának és a másik függvény szorzatának összegével.

Következmény 1. A konstans tényező kivehető a derivált előjeléből:

Következmény 2. Több differenciálható függvény szorzatának deriváltja egyenlő az egyes tényezők és az összes többi derivált szorzatának összegével.

Például három szorzóhoz:

3. szabály.Ha a funkciók

egy bizonyos ponton megkülönböztethető És , akkor ezen a ponton a hányadosuk is differenciálhatóu/v , és

azok. két függvény hányadosának deriváltja egyenlő egy törttel, amelynek számlálója a nevező és a számláló deriváltja, valamint a számláló és a nevező deriváltja szorzatának különbsége, a nevezője pedig a nevező négyzete. az egykori számláló.

Hol lehet keresni a dolgokat más oldalakon

Egy szorzat származékának és hányadosának valós problémákban való megtalálásakor mindig több differenciálási szabályt kell egyszerre alkalmazni, ezért a cikkben több példa is található ezekre a származékokra."A szorzat származéka és a függvények hányadosa".

Megjegyzés. Nem szabad összekeverni a konstanst (vagyis egy számot) összegben szereplő tagként és állandó tényezőként! Egy tag esetén a deriváltja egyenlő nullával, állandó tényező esetén pedig kikerül a származékok előjeléből. Ez egy tipikus hiba, amely a származékok tanulmányozásának kezdeti szakaszában fordul elő, de mivel az átlaghallgató több egy- és kétrészes példát old meg, ezt a hibát már nem követi el.

És ha egy termék vagy hányados megkülönböztetésekor van egy kifejezés u"v, amiben u- egy szám, például 2 vagy 5, azaz egy állandó, akkor ennek a számnak a deriváltja nulla lesz, és ezért a teljes tag nulla lesz (ezt az esetet a 10. példa tárgyalja).

Egy másik gyakori hiba, hogy egy összetett függvény deriváltját mechanikusan egy egyszerű függvény deriváltjaként oldják meg. Ezért komplex függvény deriváltja külön cikket szentelünk. De először megtanuljuk megtalálni az egyszerű függvények deriváltjait.

Útközben nem nélkülözheti a kifejezések átalakítását. Ehhez előfordulhat, hogy új ablakban kell megnyitnia a kézikönyvet. Erőkkel és gyökerekkel rendelkező cselekvésekÉs Műveletek törtekkel .

Ha megoldásokat keres a hatványokkal és gyökökkel rendelkező törtek származékaira, vagyis amikor a függvény így néz ki , majd kövesse a „Hatványokkal és gyökökkel rendelkező törtek összegeinek származéka” című leckét.

Ha olyan feladatod van, mint pl , akkor felveszi az „Egyszerű trigonometrikus függvények származékai” című leckét.

Példák lépésről lépésre - hogyan lehet megtalálni a származékot

3. példa Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás. Meghatározzuk a függvénykifejezés részeit: a teljes kifejezés egy szorzatot reprezentál, faktorai pedig összegek, amelyek közül a másodikban az egyik tag konstans tényezőt tartalmaz. Alkalmazzuk a szorzatdifferenciálási szabályt: két függvény szorzatának deriváltja egyenlő ezen függvények szorzatainak összegével a másik függvény deriváltjával:

Ezután alkalmazzuk az összeg differenciálásának szabályát: a függvények algebrai összegének deriváltja egyenlő ezen függvények deriváltjainak algebrai összegével. Esetünkben minden összegben a második tagnak mínusz előjele van. Minden összegben látunk egy független változót, amelynek deriváltja eggyel, és egy állandót (számot), amelynek deriváltja nulla. Tehát az „X” egy lesz, a mínusz 5 pedig nullává. A második kifejezésben az "x"-t megszorozzuk 2-vel, így kettőt megszorozunk ugyanazzal az egységgel, mint az "x" deriváltja. A következő derivált értékeket kapjuk:

A talált deriváltokat behelyettesítjük a szorzatok összegébe, és megkapjuk a probléma feltétele által megkívánt teljes függvény deriváltját:

És ellenőrizheti a derivált probléma megoldását.

4. példa Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás. Meg kell találnunk a hányados deriváltját. A hányados differenciálására a képletet alkalmazzuk: két függvény hányadosának deriváltja egyenlő egy törttel, amelynek számlálója a nevező és a számláló deriváltja és a számláló szorzata és a számláló származéka közötti különbség. nevező, a nevező pedig az előbbi számláló négyzete. Kapunk:

A 2. példában már megtaláltuk a számlálóban szereplő tényezők deriváltját. Ne felejtsük el azt sem, hogy a szorzatot, amely az aktuális példában a számláló második tényezője, mínuszjellel vesszük:

Ha olyan problémákra keres megoldást, amelyekben meg kell találnia egy függvény deriváltját, ahol a gyökök és hatványok folytonos halmaza van, mint pl. , akkor üdv az órán "Hatványokkal és gyökökkel rendelkező törtek összegeinek származéka" .

Ha többet szeretne megtudni a szinuszok, koszinuszok, érintők és más trigonometrikus függvények deriváltjairól, vagyis amikor a függvény így néz ki , akkor egy lecke neked "Egyszerű trigonometrikus függvények származékai" .

5. példa Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás. Ebben a függvényben egy szorzatot látunk, melynek egyik tényezője a független változó négyzetgyöke, amelynek deriváltját a derivált táblázatban ismerkedtünk meg. A szorzat megkülönböztetésének szabályát és a négyzetgyök deriváltjának táblázatos értékét felhasználva a következőket kapjuk:

A derivált probléma megoldását a címen ellenőrizheti online származékos kalkulátor .

6. példa. Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás. Ebben a függvényben egy olyan hányadost látunk, amelynek osztaléka a független változó négyzetgyöke. A 4. példában megismételt és alkalmazott hányadosok differenciálási szabályát, valamint a négyzetgyök deriváltjának táblázatos értékét felhasználva kapjuk:

A számlálóban lévő tört eltávolításához szorozza meg a számlálót és a nevezőt -vel.

Hogyan találjuk meg a származékot, hogyan vegyük a származékot? Ebben a leckében megtanuljuk, hogyan találjuk meg a függvények deriváltjait. De az oldal tanulmányozása előtt erősen ajánlom, hogy ismerkedjen meg a módszertani anyaggal Forró képletek iskolai matematika tanfolyamhoz. A referencia kézikönyv megnyitható vagy letölthető az oldalon Matematikai képletek és táblázatok. Innen is szükségünk lesz Származékos táblázat, jobb, ha kinyomtatja, gyakran hivatkoznia kell rá, nemcsak most, hanem offline is.

Eszik? Kezdjük el. Két hírem van számodra: jó és nagyon jó. A jó hír a következő: ahhoz, hogy megtanulja, hogyan kell származékokat találni, nem kell tudnia és megértenie, mi az a származék. Sőt, a függvény deriváltjának definícióját, a derivált matematikai, fizikai, geometriai jelentését célszerűbb később megemészteni, hiszen az elmélet színvonalas tanulmányozása véleményem szerint számos egyéb témák, valamint néhány gyakorlati tapasztalat.
És most az a feladatunk, hogy ezeket a származékokat technikailag elsajátítsuk. A nagyon jó hír az, hogy a származékok felvételének megtanulása nem olyan nehéz, hogy ennek a feladatnak a megoldására (és megmagyarázására) van egy elég világos algoritmus, például az integrálok vagy határok nehezebben elsajátíthatóak.

A téma tanulmányozásának a következő sorrendjét javaslom:: Először is ez a cikk. Ezután el kell olvasnia a legfontosabb leckét Komplex függvény származéka. Ez a két alaptanfolyam a semmiből fejleszti tudását. Ezután a cikkben bonyolultabb származékokkal ismerkedhet meg Komplex származékok. Logaritmikus derivált. Ha túl magas a léc, először olvassa el a dolgot A deriváltokkal kapcsolatos legegyszerűbb tipikus problémák. A lecke az új anyagon kívül más, egyszerűbb származéktípusokat is kitér, és remek lehetőség a differenciálási technika fejlesztésére. Ezenkívül a tesztanyagok szinte mindig tartalmaznak olyan feladatokat, amelyek az implicit vagy parametrikusan meghatározott függvények deriváltjainak keresésére vonatkoznak. Van egy ilyen lecke is: Implicit és parametrikusan meghatározott függvények származékai.

Hozzáférhető formában, lépésről lépésre megpróbálom megtanítani a függvények származékainak megtalálására. Minden információ részletesen, egyszerű szavakkal van bemutatva.

Valójában azonnal nézzünk egy példát:

1. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás:

Ez egy egyszerű példa, kérjük, találja meg az elemi függvények deriváltjainak táblázatában. Most nézzük a megoldást, és elemezzük, mi történt? És a következő történt: volt egy függvényünk, ami a megoldás eredményeként függvény lett.

Egészen leegyszerűsítve, egy függvény deriváltjának megtalálásához bizonyos szabályok szerint át kell alakítani egy másik függvényré. Nézd meg újra a derivált táblázatot – ott a függvények más függvényekké alakulnak. Az egyetlen kivétel az exponenciális függvény, amely önmagába fordul. A derivált megtalálásának műveletét ún különbségtétel .

Megnevezések: A származékot vagy jelöli.

FIGYELEM, FONTOS! Elfelejtett húzást tenni (ahol szükséges), vagy plusz körvonalat (ahol nem szükséges) - NAGY HIBA! Egy függvény és származéka két különböző függvény!

Térjünk vissza a derivált táblázatunkhoz. Ebből a táblázatból kívánatos memorizálni: néhány elemi függvény differenciálási szabályai és származékai, különösen:

az állandó deriváltja:
, ahol egy állandó szám;

egy hatványfüggvény deriváltja:
, különösen: , , .

Miért emlékszel? Ez a tudás alapvető tudás a származékokról. És ha nem tud válaszolni a tanár kérdésére: „Mi a szám származéka?”, akkor az egyetemi tanulmányai véget érhetnek (én személyesen két valós esetet ismerek). Ráadásul ezek a legelterjedtebb képletek, amiket szinte minden alkalommal használnunk kell, ha származékokkal találkozunk.

A valóságban ritkák az egyszerű táblázatos példák, amikor a deriváltokat találjuk, először a differenciálási szabályokat, majd az elemi függvények deriváltjainak táblázatát használjuk.

Ebben a tekintetben továbblépünk a mérlegelésre differenciálási szabályok:

1) A származékjelből egy állandó számot ki lehet (és ki kell venni).

Hol van egy állandó szám (konstans)

2. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Nézzük a származékok táblázatát. A koszinusz deriváltja ott van, de van .

Ideje használni a szabályt, a derivált előjeléből kivesszük a konstans tényezőt:

Most átváltjuk koszinuszunkat a táblázat szerint:

Nos, tanácsos egy kicsit „fésülni” az eredményt - helyezze a mínusz jelet az első helyre, ugyanakkor megszabaduljon a zárójelektől:

2) Az összeg deriváltja egyenlő a deriváltak összegével

3. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Döntsünk. Amint azt valószínűleg már észrevette, az első lépés, amelyet mindig végrehajtunk a derivált keresésekor, hogy a teljes kifejezést zárójelbe tesszük, és egy prímszámot teszünk a jobb felső sarokban:

Alkalmazzuk a második szabályt:

Kérjük, vegye figyelembe, hogy a differenciáláshoz az összes gyökeret és fokot ábrázolni kell az alakban, és ha a nevezőben vannak, akkor mozgassa felfelé. Ennek mikéntjét a tananyagaim tárgyalják.

Most emlékezzünk a differenciálás első szabályára - a konstans tényezőket (számokat) a derivált előjelén kívülre vesszük:

Általában a megoldás során ezt a két szabályt egyszerre alkalmazzuk (hogy ne írjunk újra egy hosszú kifejezést).

A körvonalak alatt található összes függvény elemi táblázatfüggvény a táblázat segítségével végrehajtjuk a transzformációt:

Hagyhat mindent úgy, ahogy van, mivel nincs több vonás, és a származékot megtaláltuk. Az ehhez hasonló kifejezések azonban általában leegyszerűsítik:

Célszerű a típus minden hatványát ismét gyök formájában ábrázolni, és a negatív kitevővel rendelkező hatványokat vissza kell állítani a nevezőre. Bár ezt nem kell megtennie, ez nem lesz hiba.

4. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Próbálja meg saját maga megoldani ezt a példát (válasz a lecke végén). Az érdeklődők is használhatják intenzív tanfolyam pdf formátumban, ami különösen fontos, ha nagyon kevés idő áll rendelkezésére.

3) A függvények szorzatának deriváltja

Úgy tűnik, hogy az analógia a képletet sugallja ...., de a meglepetés az, hogy:

Ez egy szokatlan szabály (mint valójában mások is)-ből következik származékos meghatározások. De egyelőre maradunk az elméletnél – most sokkal fontosabb, hogy megtanuljuk, hogyan kell megoldani:

5. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Itt van két függvény szorzata attól függően, hogy .
Először alkalmazzuk furcsa szabályunkat, majd transzformáljuk a függvényeket a derivált táblázat segítségével:

Nehéz? Egyáltalán nem, még teáskannának is elérhető.

6. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Ez a függvény két függvény – a másodfokú trinomiális és a logaritmus – összegét és szorzatát tartalmazza. Az iskolából emlékszünk arra, hogy a szorzás és az osztás elsőbbséget élvez az összeadásnál és kivonásnál.

Itt is ugyanaz. ELŐSZÖR a termékdifferenciálási szabályt használjuk:

Most a zárójelhez az első két szabályt használjuk:

A vonások alatti differenciálási szabályok alkalmazása következtében csak az elemi függvények maradnak a derivált táblázat segítségével, azokat más függvényekké alakítjuk:

Kész.

Némi tapasztalattal a származékok keresésében, úgy tűnik, hogy az egyszerű származékokat nem kell ilyen részletesen leírni. Általában szóban szoktak dönteni, és ezt azonnal le is írják .

7. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania (válasz a lecke végén)

4) Hányadosfüggvények deriváltja

A mennyezetben kinyílt egy nyílás, ne ijedjen meg, ez egy hiba.
De ez a rideg valóság:

8. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Ami itt hiányzik – összeg, különbség, szorzat, tört…. Mivel kezdjem?! Vannak kétségek, nincsenek kétségek, de AKÁRHOGYAN IS Először húzzon zárójeleket, és tegyen egy körvonalat a jobb felső sarokban:

Most nézzük a zárójelben lévő kifejezést, hogyan egyszerűsíthetjük le? Ilyenkor egy tényezőt veszünk észre, amit az első szabály szerint célszerű a származék előjelén kívülre helyezni.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete