Rendszer lineáris egyenletek megoldása Cramer módszerrel. Lineáris egyenletek

Ugyanannyi egyenlettel, mint az ismeretlenek száma a mátrix fődeterminánsával, amely nem egyenlő nullával, a rendszer együtthatóival (az ilyen egyenletekre van megoldás és csak egy).

Cramer tétele.

Ha egy négyzetrendszer mátrixának determinánsa nem nulla, az azt jelenti, hogy a rendszer konzisztens, és egy megoldása van, és ez a Cramer képletei:

ahol Δ - a rendszermátrix meghatározója,

Δ én a rendszermátrix meghatározója, amelyben ahelyett én A th oszlop a jobb oldalak oszlopát tartalmazza.

Ha egy rendszer determinánsa nulla, az azt jelenti, hogy a rendszer együttműködővé vagy inkompatibilissé válhat.

Ezt a módszert általában kis rendszereknél alkalmazzák kiterjedt számításokkal, és ha szükséges az egyik ismeretlen meghatározása. A módszer összetettsége, hogy sok meghatározó tényezőt kell kiszámítani.

A Cramer-módszer leírása.

Van egy egyenletrendszer:

Egy 3 egyenletrendszer megoldható a Cramer-módszerrel, amelyet fentebb 2 egyenletrendszernél tárgyaltunk.

Az ismeretlenek együtthatóiból egy determinánst állítunk össze:

Lesz rendszer meghatározó. Amikor D≠0, ami azt jelenti, hogy a rendszer konzisztens. Most hozzunk létre 3 további meghatározót:

,,

A rendszert úgy oldjuk meg Cramer képletei:

Példák egyenletrendszerek megoldására Cramer módszerével.

1. példa.

Adott rendszer:

Oldjuk meg Cramer módszerével.

Először ki kell számítania a rendszermátrix determinánsát:

Mert Δ≠0, ami azt jelenti, hogy a Cramer-tételből a rendszer konzisztens és egy megoldása van. További determinánsokat számolunk. A Δ 1 determinánst a Δ determinánsból kapjuk úgy, hogy az első oszlopát egy szabad együtthatók oszlopára cseréljük. Kapunk:

Ugyanígy megkapjuk a Δ 2 determinánsát a rendszermátrix determinánsából úgy, hogy a második oszlopot szabad együtthatók oszlopával helyettesítjük:

Mód KramerÉs Gauss- az egyik legnépszerűbb megoldási mód SLAU. Ezenkívül bizonyos esetekben célszerű speciális módszereket alkalmazni. A munkamenet lezárult, és itt az ideje, hogy megismételje vagy elsajátítsa őket a semmiből. Ma a megoldást Cramer módszerével nézzük meg. Hiszen egy lineáris egyenletrendszer Cramer-módszerrel történő megoldása nagyon hasznos készség.

Lineáris algebrai egyenletrendszerek

A lineáris algebrai egyenletrendszer a következő alakú egyenletrendszer:

Értékkészlet x , amelyben a rendszer egyenletei azonosságokká alakulnak, a rendszer megoldásának nevezzük, a És b valós együtthatók. Egy egyszerű rendszer, amely két egyenletből áll, két ismeretlennel, megoldható fejben vagy úgy, hogy az egyik változót a másikkal fejezzük ki. De egy SLAE-ben kettőnél több változó (x) is lehet, és itt az egyszerű iskolai manipulációk nem elegendőek. Mit kell tenni? Például oldja meg az SLAE-ket Cramer módszerével!

Tehát álljon a rendszer a következőkből n egyenleteket n ismeretlen.

Egy ilyen rendszer átírható mátrix formában

Itt A – a rendszer fő mátrixa, x És B , illetve ismeretlen változók oszlopmátrixai és szabad kifejezések.

SLAE megoldása Cramer módszerével

Ha a fő mátrix determinánsa nem egyenlő nullával (a mátrix nem szinguláris), a rendszer Cramer módszerével megoldható.

Cramer módszere szerint a megoldást a következő képletekkel találjuk meg:

Itt delta a fő mátrix meghatározója, és delta x n-edik – a főmátrix determinánsából nyert determináns, ha az n-edik oszlopot szabad tagokból álló oszlopra cseréljük.

Ez a Cramer-módszer lényege. A talált értékek behelyettesítése a fenti képletekkel x a kívánt rendszerbe, meggyõzõdünk megoldásunk helyességérõl (vagy fordítva). A lényeg gyors megértése érdekében az alábbiakban bemutatunk egy példát az SLAE részletes megoldására Cramer módszerével:

Még ha elsőre nem is sikerül, ne csüggedj! Egy kis gyakorlással elkezdi feltörni a SLAU-kat, mint a diót. Sőt, most már végképp nem szükséges egy notebook fölött pórul járni, nehézkes számításokat megoldani és a magot felírni. Könnyedén megoldhatja az SLAE-ket a Cramer módszerével online, csak az együtthatók behelyettesítésével a kész formába. Kipróbálhat egy online megoldáskalkulátort például a Cramer módszerével ezen a weboldalon.

És ha a rendszer makacsnak bizonyul, és nem adja fel, mindig fordulhat szerzőinkhez segítségért, például. Ha legalább 100 ismeretlen van a rendszerben, azt biztosan korrektül és időben megoldjuk!

Az első részben megnéztük néhány elméleti anyagot, a helyettesítési módszert, valamint a rendszeregyenletek tagonkénti összeadásának módszerét. Mindenkinek ajánlom, aki ezen az oldalon keresztül jutott el az oldalra, hogy olvassa el az első részt. Lehet, hogy egyes látogatók túl egyszerűnek találják az anyagot, de a lineáris egyenletrendszerek megoldása során számos nagyon fontos megjegyzést és következtetést tettem a matematikai problémák általános megoldására vonatkozóan.

Most elemezzük a Cramer-szabályt, valamint egy lineáris egyenletrendszer megoldását inverz mátrix segítségével (mátrix módszer). Az összes anyagot egyszerűen, részletesen és áttekinthetően mutatjuk be, szinte minden olvasó képes lesz megtanulni a rendszerek megoldását a fenti módszerekkel.

Először is közelebbről megvizsgáljuk a Cramer-szabályt két ismeretlenben lévő két lineáris egyenletrendszerre. Miért? – Hiszen az iskolamódszerrel, a tagozatos összeadás módszerével a legegyszerűbb rendszer is megoldható!

A helyzet az, hogy bár néha, de előfordul egy ilyen feladat - két ismeretlennel rendelkező lineáris egyenletrendszer megoldása Cramer képleteivel. Másodszor, egy egyszerűbb példa segít megérteni, hogyan kell használni a Cramer-szabályt egy bonyolultabb esetre – egy három egyenletrendszerre három ismeretlennel.

Ezen kívül vannak két változós lineáris egyenletrendszerek, amelyeket Cramer-szabály segítségével célszerű megoldani!

Tekintsük az egyenletrendszert

Első lépésben kiszámítjuk a determinánst, ezt ún a rendszer fő meghatározója.

Gauss módszer.

Ha , akkor a rendszernek egyedi megoldása van, és a gyökök megtalálásához további két determinánst kell kiszámítanunk:
És

A gyakorlatban a fenti minősítőket latin betűvel is jelölhetjük.

Az egyenlet gyökereit a következő képletekkel találjuk meg:
,

7. példa

Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert!

Megoldás: Látjuk, hogy az egyenlet együtthatói elég nagyok, a jobb oldalon vannak vesszővel ellátott tizedes törtek. A vessző meglehetősen ritka vendég a matematikai gyakorlati feladatokban. Ezt a rendszert egy ökonometriai feladatból vettem.

Hogyan lehet megoldani egy ilyen rendszert? Megpróbálhatja az egyik változót egy másikkal kifejezni, de ebben az esetben valószínűleg szörnyű díszes törteket kap, amelyekkel rendkívül kényelmetlen a munka, és a megoldás kialakítása egyszerűen borzasztóan fog kinézni. A második egyenletet megszorozhatja 6-tal, és tagonként kivonhatja, de itt is ugyanazok a törtek keletkeznek.

Mit kell tenni? Ilyen esetekben a Cramer-féle képletek segítenek.

;

;

Válasz: ,

Mindkét gyökérnek végtelen a vége, és megközelítőleg megtalálható, ami meglehetősen elfogadható (sőt közhely) ökonometriai problémák esetén.

Itt nincs szükség megjegyzésekre, mivel a feladatot kész képletekkel oldják meg, azonban van egy figyelmeztetés. Ennek a módszernek a használatakor kötelező A feladatterv egy töredéke a következő részlet: „Ez azt jelenti, hogy a rendszernek egyedi megoldása van”. Ellenkező esetben a bíráló megbüntetheti Önt Cramer tételének figyelmen kívül hagyása miatt.

Nem lenne felesleges ellenőrizni, ami kényelmesen elvégezhető egy számológépen: a közelítő értékeket behelyettesítjük a rendszer minden egyenlete bal oldalába. Ennek eredményeként egy kis hibával olyan számokat kell kapnia, amelyek a jobb oldalon vannak.

8. példa

Adja meg a választ közönséges helytelen törtekkel! Csinálj egy ellenőrzést.

Ez egy példa, amelyet önállóan kell megoldania (példa a végső tervre és a válaszra a lecke végén).

Térjünk át a Cramer-szabályra egy három egyenletrendszerre, három ismeretlennel:

Megtaláljuk a rendszer fő meghatározóját:

Ha , akkor a rendszernek végtelen sok megoldása van, vagy inkonzisztens (nincs megoldása). Ebben az esetben a Cramer-szabály nem segít, a Gauss-módszert kell használni.

Ha , akkor a rendszernek egyedi megoldása van, és a gyökök megtalálásához további három determinánst kell kiszámítanunk:
, ,

És végül a választ a következő képletekkel számítjuk ki:

Amint láthatja, a „háromszor három” eset alapvetően nem különbözik a „kettő-kettő” esettől, a szabad kifejezések oszlopa egymás után balról jobbra „sétál” a fődetermináns oszlopai mentén.

9. példa

Oldja meg a rendszert Cramer-képletekkel!

Megoldás: Oldjuk meg a rendszert Cramer képleteivel.

, ami azt jelenti, hogy a rendszer egyedi megoldással rendelkezik.

Válasz: .

Igazából itt sincs semmi különösebb kommentár, ami abból adódik, hogy a megoldás kész képleteket követ. De van egy-két megjegyzés.

Előfordul, hogy a számítások eredményeként „rossz” irreducibilis törteket kapunk, például: .
A következő „kezelési” algoritmust ajánlom. Ha nincs kéznél számítógép, tegye a következőket:

1) Hiba lehet a számításokban. Amint „rossz” törttel találkozik, azonnal ellenőriznie kell Helyesen van átírva a feltétel?. Ha a feltételt hibák nélkül írják át, akkor a determinánsokat újra kell számolni egy másik sor (oszlop) bővítésével.

2) Ha az ellenőrzés eredményeként nem találunk hibát, akkor valószínűleg elírás történt a feladat feltételeiben. Ilyenkor nyugodtan és ÓVATOSAN dolgozd végig a feladatot a végéig, majd feltétlenül ellenőrizzeés a döntés után tiszta lapra felvonjuk. A töredékes válasz ellenőrzése persze kellemetlen feladat, de lefegyverző érv lesz a tanár számára, aki nagyon szeret mínuszt adni minden olyan marhaságért, mint a . A törtek kezelésének módját a 8. példa válasza írja le részletesen.

Ha van kéznél számítógép, akkor az ellenőrzéshez használjon egy automata programot, amely a lecke elején ingyenesen letölthető. Egyébként a legjövedelmezőbb a program azonnali használata (még a megoldás elindítása előtt azonnal megjelenik a közbenső lépés, ahol hibázott); Ugyanez a számológép mátrix módszerrel automatikusan kiszámítja a rendszer megoldását.

Második megjegyzés. Időről időre vannak olyan rendszerek, amelyek egyenletéből hiányzik néhány változó, például:

Itt az első egyenletben nincs változó, a másodikban nincs változó. Ilyen esetekben nagyon fontos, hogy helyesen és Óvatosan írjuk le a fő meghatározót:
– a hiányzó változók helyére nullák kerülnek.
Egyébként ésszerű a determinánsokat nullákkal nyitni aszerint, hogy melyik sorban (oszlopban) van a nulla, mivel észrevehetően kevesebb a számítás.

10. példa

Oldja meg a rendszert Cramer-képletekkel!

Ez egy példa egy független megoldásra (minta a végső tervből és a válasz a lecke végén).

Egy 4 egyenletből és 4 ismeretlennel rendelkező rendszer esetében a Cramer-képleteket hasonló elvek szerint írják fel. Élő példát láthat a Determinánsok tulajdonságai című leckében. A determináns sorrendjének csökkentése - öt 4. rendű determináns eléggé megoldható. Bár a feladat már nagyon emlékeztet egy professzor cipőjére egy szerencsés diák mellkasán.

A rendszer megoldása inverz mátrix segítségével

Az inverz mátrix módszer lényegében egy speciális eset mátrix egyenlet(Lásd a megadott lecke 3. példáját).

A szakasz tanulmányozásához képesnek kell lennie a determinánsok kiterjesztésére, a mátrix inverzének megkeresésére és a mátrixszorzás végrehajtására. A magyarázatok előrehaladtával a releváns linkeket megadjuk.

11. példa

Oldja meg a rendszert mátrix módszerrel!

Megoldás: Írjuk fel a rendszert mátrix formában:
, Ahol

Kérjük, nézze meg az egyenlet- és mátrixrendszert. Szerintem mindenki érti azt az elvet, amivel elemeket írunk mátrixokba. Az egyetlen megjegyzés: ha néhány változó hiányzik az egyenletekből, akkor a mátrix megfelelő helyeire nullákat kell tenni.

Az inverz mátrixot a következő képlettel találjuk meg:
, ahol a mátrix megfelelő elemeinek algebrai komplementereinek transzponált mátrixa.

Először nézzük a meghatározót:

Itt a determináns az első sorban bővül.

Figyelem! Ha , akkor az inverz mátrix nem létezik, és lehetetlen a rendszert mátrix módszerrel megoldani. Ebben az esetben a rendszert az ismeretlenek kiküszöbölésének módszerével (Gauss-módszer) oldjuk meg.

Most ki kell számítanunk 9 kiskorút, és be kell írni őket a minors mátrixba

Referencia: Hasznos tudni a kettős alsó indexek jelentését a lineáris algebrában. Az első számjegy annak a sornak a száma, amelyben az elem található. A második számjegy annak az oszlopnak a száma, amelyben az elem található:

Azaz a dupla alsó index azt jelzi, hogy az elem az első sorban, a harmadik oszlopban van, és például az elem a 3 sorban, 2 oszlopban van.

Hagyja a rendszert lineáris egyenletek annyi egyenletet tartalmaz, ahány független változó, azaz. úgy néz ki, mint a

Az ilyen lineáris egyenletrendszereket másodfokúnak nevezzük. A determinánst, amely a rendszer független változóinak együtthatóiból áll (1.5), a rendszer fő determinánsának nevezzük. A görög D betűvel fogjuk jelölni.

. (1.6)

Ha a fődetermináns egy tetszőleges ( j th) oszlopot, cserélje ki a rendszer szabad feltételeinek oszlopára (1.5), akkor megkaphatja n kiegészítő minősítők:

(j = 1, 2, …, n). (1.7)

Cramer szabálya másodfokú lineáris egyenletrendszerek megoldása a következő. Ha az (1.5) rendszer D fődeterminánsa eltér nullától, akkor a rendszernek van egy egyedi megoldása, amely a következő képletekkel kereshető:

(1.8)

1.5. példa. Oldja meg az egyenletrendszert a Cramer módszerrel!

.

Számítsuk ki a rendszer fő meghatározóját:

D¹0 óta a rendszernek van egy egyedi megoldása, amelyet az (1.8) képletekkel találhatunk meg:

És így,

Műveletek mátrixokon

1. Egy mátrix szorzása egy számmal. A mátrix számmal való szorzásának műveletét a következőképpen definiáljuk.

2. Ahhoz, hogy egy mátrixot megszorozzon egy számmal, minden elemét meg kell szorozni ezzel a számmal. Azaz

. (1.9)

Példa 1.6. .

Mátrix összeadás.

Ezt a műveletet csak azonos sorrendű mátrixoknál vezetjük be.

Két mátrix hozzáadásához hozzá kell adni egy másik mátrix megfelelő elemeit egy mátrix elemeihez:

(1.10)
A mátrixösszeadás művelete az asszociativitás és a kommutativitás tulajdonságaival rendelkezik.

Példa 1.7. .

Mátrixszorzás.

Ha a mátrixoszlopok száma A egybeesik a mátrix sorok számával BAN BEN, akkor az ilyen mátrixokhoz bevezetjük a szorzási műveletet:

2

Így egy mátrix szorzásakor A méretek m´ n a mátrixhoz BAN BEN méretek n´ k mátrixot kapunk VAL VEL méretek m´ k. Ebben az esetben a mátrixelemek VAL VEL a következő képletekkel számítják ki:

Probléma 1.8. Ha lehetséges, keresse meg a mátrixok szorzatát ABÉs B.A.:

Megoldás. 1) Azért, hogy munkát találjak AB, mátrixsorokra van szükség A szorozzuk meg mátrixoszlopokkal B:

2) Munka B.A. nem létezik, mert a mátrixoszlopok száma B nem egyezik a mátrix sorok számával A.

Inverz mátrix. Lineáris egyenletrendszerek megoldása mátrix módszerrel

Mátrix A- 1-et négyzetmátrix inverzének nevezzük A, ha az egyenlőség teljesül:

hol keresztül én a mátrixszal azonos sorrendű identitásmátrixot jelöli A:

.

Ahhoz, hogy egy négyzetmátrixnak legyen inverze, szükséges és elégséges, hogy a determinánsa nullától eltérő legyen. Az inverz mátrixot a következő képlet segítségével találjuk meg:

, (1.13)

Ahol A ij- algebrai kiegészítések elemekhez a ij mátrixok A(Megjegyzendő, hogy algebrai összeadások mátrixsorokhoz A az inverz mátrixban találhatók megfelelő oszlopok formájában).

Példa 1.9. Keresse meg az inverz mátrixot A- 1 a mátrixhoz

.

Az inverz mátrixot az (1.13) képlet segítségével találjuk meg, amely az esetre n= 3 alakja:

.

Keressünk det A = | A| = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 - 3 × 3 × 3 - 1 × 5 × 4 - 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Mivel az eredeti mátrix determinánsa nem nulla, létezik az inverz mátrix.

1) Keress algebrai komplementereket! A ij:

Az inverz mátrix megtalálásának kényelme érdekében az eredeti mátrix soraihoz az algebrai összeadásokat a megfelelő oszlopokba helyeztük.

A kapott algebrai összeadásokból új mátrixot állítunk össze, és elosztjuk a det determinánssal A. Így kapjuk az inverz mátrixot:

A nem nulla fődeterminánsú lineáris egyenletrendszerek másodfokú egyenletrendszerei megoldhatók az inverz mátrix segítségével. Ehhez az (1.5) rendszert mátrix formában írjuk fel:

Ahol

A bal oldali egyenlőség mindkét oldalát (1,14) megszorozva ezzel A- 1, megkapjuk a rendszer megoldását:

, ahol

Így egy négyzetes rendszer megoldásához meg kell találni a rendszer főmátrixának inverz mátrixát, és meg kell szorozni a jobb oldalon a szabad tagok oszlopmátrixával.

1.10. probléma. Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert!

az inverz mátrix segítségével.

Megoldás.Írjuk fel a rendszert mátrix formában: ,

Ahol - a rendszer főmátrixa, - az ismeretlenek oszlopa és - a szabad kifejezések oszlopa. Mivel a rendszer fő meghatározója , akkor a rendszer fő mátrixa A inverz mátrixa van A-1. Megtalálni az inverz mátrixot A-1 , kiszámítjuk a mátrix összes elemére az algebrai komplementereket A:

A kapott számokból mátrixot állítunk össze (és a mátrix soraihoz algebrai összeadásokat Aírja be a megfelelő oszlopokba), és ossza el a D determinánssal. Így megkaptuk az inverz mátrixot:

A rendszer megoldását az (1.15) képlet segítségével találjuk meg:

És így,

Lineáris egyenletrendszerek megoldása a szokásos Jordan eliminációs módszerrel

Legyen egy tetszőleges (nem feltétlenül másodfokú) lineáris egyenletrendszer:

(1.16)

Megoldást kell találni a rendszerre, pl. olyan változóhalmaz, amely kielégíti az (1.16) rendszer összes egyenlőségét. Általános esetben az (1.16) rendszernek nem csak egy megoldása lehet, hanem számtalan megoldása is lehet. Az is előfordulhat, hogy egyáltalán nincsenek megoldásai.

Az ilyen problémák megoldása során a jól ismert iskolai tanfolyami módszert alkalmazzák az ismeretlenek kiküszöbölésére, amelyet a szokásos Jordan eliminációs módszernek is neveznek. Ennek a módszernek az a lényege, hogy az (1.16) rendszer egyik egyenletében az egyik változót más változókkal fejezzük ki. Ezt a változót ezután a rendszer más egyenleteibe helyettesítik. Az eredmény egy olyan rendszer, amely egy egyenlettel és egy változóval kevesebb, mint az eredeti rendszer. Emlékszik az egyenletre, amelyből a változót kifejezték.

Ezt a folyamatot addig ismételjük, amíg egy utolsó egyenlet nem marad a rendszerben. Az ismeretlenek kiküszöbölésének folyamata révén egyes egyenletek valódi azonossággá válhatnak, pl. Az ilyen egyenletek ki vannak zárva a rendszerből, mivel a változók bármely értékére teljesülnek, és ezért nem befolyásolják a rendszer megoldását. Ha az ismeretlenek kiküszöbölése során legalább egy egyenlet olyan egyenlőséggé válik, amely nem teljesülhet a változók egyetlen értékére sem (például), akkor arra a következtetésre jutunk, hogy a rendszernek nincs megoldása.

Ha a megoldás során nem merülnek fel ellentmondó egyenletek, akkor a benne maradt változók egyikét az utolsó egyenletből találjuk meg. Ha csak egy változó maradt az utolsó egyenletben, akkor azt számként fejezzük ki. Ha más változók az utolsó egyenletben maradnak, akkor azokat paramétereknek tekintjük, és a rajtuk keresztül kifejezett változó ezeknek a paramétereknek a függvénye lesz. Ezután megtörténik az úgynevezett „fordított mozgás”. A talált változót behelyettesíti az utoljára emlékezett egyenletbe, és megtalálja a második változót. Ezután a két talált változót behelyettesítjük az utolsó előtti memorizált egyenletbe, és megtaláljuk a harmadik változót, és így tovább, egészen az első memorizált egyenletig.

Ennek eredményeként megoldást kapunk a rendszerre. Ez a megoldás akkor lesz egyedi, ha a talált változók számok. Ha az első talált változó, majd az összes többi a paraméterektől függ, akkor a rendszernek végtelen számú megoldása lesz (minden paraméterkészlet egy új megoldásnak felel meg). Azokat a képleteket, amelyek lehetővé teszik, hogy egy adott paraméterkészlettől függően megoldást találjon egy rendszerre, a rendszer általános megoldásának nevezzük.

Példa 1.11.

x

Az első egyenlet memorizálása után és hasonló kifejezéseket hozva a második és harmadik egyenletbe, a rendszerhez jutunk:

Kifejezzük y a második egyenletből, és cserélje be az első egyenletbe:

Emlékezzünk a második egyenletre, és az elsőből megtaláljuk z:

Visszafelé dolgozva következetesen azt találjuk yÉs z. Ehhez először behelyettesítjük az utoljára emlékezett egyenletbe, ahonnan megtaláljuk y:

.

Ezután behelyettesítjük az első memorizált egyenletbe hol találhatjuk meg x:

1.12. probléma. Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert az ismeretlenek kiiktatásával:

. (1.17)

Megoldás. Fejezzük ki az első egyenletből származó változót xés cseréld be a második és harmadik egyenletbe:

.

Emlékezzünk az első egyenletre

Ebben a rendszerben az első és a második egyenlet ellentmond egymásnak. Valóban, kifejezve y , azt kapjuk, hogy 14 = 17. Ez az egyenlőség nem áll fenn a változók egyik értékére sem x, y, És z. Ebből következően az (1.17) rendszer inkonzisztens, i.e. nincs megoldása.

Arra kérjük az olvasókat, hogy saját maguk ellenőrizzék, hogy az eredeti rendszer fő meghatározója (1.17) egyenlő-e nullával.

Tekintsünk egy olyan rendszert, amely csak egy szabad taggal különbözik az (1.17) rendszertől.

1.13. probléma. Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert az ismeretlenek kiiktatásával:

. (1.18)

Megoldás. Mint korábban, az első egyenletből származó változót fejezzük ki xés cseréld be a második és harmadik egyenletbe:

.

Emlékezzünk az első egyenletre és mutasson be hasonló kifejezéseket a második és harmadik egyenletben. Megérkezünk a rendszerhez:

Kifejezése y az első egyenletből és behelyettesítjük a második egyenletbe , a 14 = 14 azonosságot kapjuk, ami nem befolyásolja a rendszer megoldását, ezért kizárható a rendszerből.

Az utolsó emlékezett egyenlőségben a változó z paraméternek fogjuk tekinteni. Hisszük. Akkor

Cseréljük yÉs z az első emlékezett egyenlőségbe és megtalálni x:

.

Így az (1.18) rendszernek végtelen számú megoldása van, és bármilyen megoldás megtalálható az (1.19) képletekkel, a paraméter tetszőleges értékével t:

(1.19)
Tehát a rendszer megoldásai például a következő változóhalmazok (1; 2; 0), (2; 26; 14) stb. Az (1.19) képletek az (1.18) rendszer általános (bármely) megoldását fejezik ki ).

Abban az esetben, ha az eredeti rendszer (1.16) kellően sok egyenletet és ismeretlent tartalmaz, a szokásos Jordan elimináció jelzett módszere nehézkesnek tűnik. Azonban nem. Elég, ha általános formában levezetjük a rendszeregyütthatók egy lépésben történő újraszámítására szolgáló algoritmust, és formalizáljuk a probléma megoldását speciális Jordan-táblázatok formájában.

Legyen adott egy lineáris alakzat (egyenlet) rendszer:

, (1.20)
Ahol x j- független (keresett) változók, a ij- állandó együtthatók
(i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n). A rendszer jobb részei y i (i = 1, 2,…, m) lehetnek változók (függők) vagy állandók. Erre a rendszerre megoldást kell találni az ismeretlenek kiiktatásával.

Tekintsük a következő műveletet, amelyet ezentúl „a szokásos Jordan-kiesések egy lépésének” neveznek. tetszőleges ( r th) egyenlőség tetszőleges változót fejezünk ki ( xs) és helyettesíti az összes többi egyenlőséggel. Ez persze csak akkor lehetséges, ha egy rs¹ 0. Együttható egy rs feloldó (néha irányító vagy fő) elemnek nevezzük.

A következő rendszert kapjuk:

. (1.21)

Tól től s- rendszeregyenlőség (1.21), ezt követően megtaláljuk a változót xs(miután a többi változót megtaláltuk). S A -edik sort megjegyzi, és ezt követően kizárja a rendszerből. A fennmaradó rendszer egy egyenletet és egy kevésbé független változót fog tartalmazni, mint az eredeti rendszer.

Számítsuk ki a kapott rendszer (1.21) együtthatóit az eredeti rendszer (1.20) együtthatóin keresztül. Kezdjük azzal r egyenlet, amely a változó kifejezése után xs a többi változón keresztül így fog kinézni:

Így az új együtthatók r az egyenleteket a következő képletekkel számítjuk ki:

(1.23)
Most számoljuk ki az új együtthatókat b ij(én¹ r) egy tetszőleges egyenlet. Ehhez helyettesítsük be az (1.22)-ben kifejezett változót. xs V én az (1.20) rendszer egyenlete:

Hasonló kifejezések megadása után a következőket kapjuk:

(1.24)
Az (1.24) egyenlőségből olyan képleteket kapunk, amelyekkel kiszámítjuk az (1.21) rendszer fennmaradó együtthatóit (kivéve r egyenlet):

(1.25)
A lineáris egyenletrendszerek transzformációját a szokásos Jordan elimináció módszerével táblázatok (mátrixok) formájában mutatjuk be. Ezeket a táblázatokat „jordániai tábláknak” nevezik.

Így az (1.20) probléma a következő Jordan-táblázathoz kapcsolódik:

1.1. táblázat

	x 1	x 2	…	x j	…	xs	…	x n
y 1 =	a 11	a 12		a 1j		a 1s		a 1n
…………………………………………………………………..
y i=	a i 1	a i 2		a ij		a is		a be
…………………………………………………………………..
y r=	a r 1	a r 2		egy rj		egy rs		arn
………………………………………………………………….
y n=	a m 1	a m 2		egy mj		a ms		a mn

A Jordan 1.1-es tábla egy bal oldali fejlécoszlopot tartalmaz, amelybe a rendszer jobb oldali részei (1.20) íródnak, és egy felső fejlécsor, amelybe független változók vannak írva.

A táblázat többi eleme alkotja az (1.20) rendszer együtthatóinak fő mátrixát. Ha megszorzod a mátrixot A a felső címsor elemeiből álló mátrixhoz kapunk egy mátrixot, amely a bal oldali címoszlop elemeiből áll. Azaz lényegében a Jordan-tábla egy lineáris egyenletrendszer felírásának mátrixa: . Az (1.21) rendszer a következő Jordan-táblázatnak felel meg:

1.2. táblázat

	x 1	x 2	…	x j	…	y r	…	x n
y 1 =	b 11	b 12		b 1 j		b 1 s		b 1 n
…………………………………………………………………..
y i =	b i 1	b i 2		b ij		b az		kuka
…………………………………………………………………..
x s =	b r 1	b r 2		b rj		b rs		brn
………………………………………………………………….
y n =	b m 1	b m 2		b mj		bms		b mn

Megengedő elem egy rs Ezeket félkövérrel emeljük ki. Emlékezzünk vissza, hogy a Jordan elimináció egy lépésének végrehajtásához a feloldó elemnek nullától eltérőnek kell lennie. Az engedélyező elemet tartalmazó táblázatsort engedélyező sornak nevezzük. Az engedélyezési elemet tartalmazó oszlopot engedélyezés oszlopnak nevezzük. Amikor egy adott tábláról a következő táblára lépünk, egy változó ( xs) a táblázat felső fejlécsorából a bal oldali fejlécoszlopba kerül, és fordítva, a rendszer egyik szabad tagja ( y r) a táblázat bal oldali fejoszlopából a felső fejsorba lép.

Ismertesse az együtthatók újraszámításának algoritmusát, amikor az (1.1) Jordan táblából az (1.2) táblába lépünk, ami az (1.23) és (1.25) képletekből következik.

1. A feloldó elemet az inverz szám helyettesíti:

2. A feloldó karakterlánc többi elemét felosztjuk a feloldó elemre, és az előjelet az ellenkezőjére változtatjuk:

3. A felbontás oszlop többi elemét a felbontási elemre osztjuk:

4. Az engedélyező sorban és oszlopban nem szereplő elemek újraszámítása a következő képletekkel történik:

Az utolsó képlet könnyen megjegyezhető, ha észreveszi, hogy az elemek, amelyek a tört , a kereszteződésben vannak én-ja és r sorok és jés s oszlopok (feloldó sor, feloldó oszlop, valamint az a sor és oszlop, amelynek metszéspontjában az újraszámított elem található). Pontosabban a képlet memorizálásánál a következő diagramot használhatja:

-21 -26 -13 -37

A Jordan kivételek első lépésének végrehajtásakor az 1.3. táblázat oszlopaiban található bármely elemét kiválaszthatja feloldó elemként x 1 ,…, x 5 (az összes megadott elem nem nulla). Csak ne az utolsó oszlopban jelölje ki az engedélyező elemet, mert független változókat kell találnia x 1 ,…, x 5. Például kiválasztjuk az együtthatót 1 változóval x 3 az 1.3. táblázat harmadik sorában (az engedélyező elem félkövéren van szedve). Az 1.4 táblára lépve a változó x A felső fejlécsor 3-a felcserélődik a bal oldali fejlécoszlop (harmadik sor) konstans 0-jával. Ebben az esetben a változó x 3 a fennmaradó változókon keresztül fejeződik ki.

Húr x 3 (1.4. táblázat) előzetes emlékezés után kizárható az 1.4. táblázatból. Az 1.4. táblázatból kimarad a harmadik oszlop, ahol a felső címsor nulla található. A lényeg az, hogy egy adott oszlop együtthatóitól függetlenül b i 3 minden egyenletnek megfelelő tagja 0 b i 3 rendszer nulla lesz. Ezért ezeket az együtthatókat nem kell kiszámítani. Egy változó kiküszöbölése x 3 és az egyik egyenletre emlékezve az 1.4 táblázatnak megfelelő rendszerhez jutunk (a vonal áthúzva x 3). Az 1.4 táblázatban feloldó elemként kijelölés b 14 = -5, ugorjon az 1.5 táblázathoz. Az 1.5. táblázatban emlékezzen az első sorra, és zárja ki a táblázatból a negyedik oszloppal együtt (nulla a tetején).

1.5. táblázat 1.6

Az utolsó 1.7 táblázatból a következőket találjuk: x 1 = - 3 + 2x 5 .

A már megtalált változókat következetesen behelyettesítve a megjegyzett sorokba, megtaláljuk a fennmaradó változókat:

Így a rendszernek végtelen sok megoldása van. Változó x 5, tetszőleges értékek rendelhetők hozzá. Ez a változó paraméterként működik x 5 = t. Bebizonyítottuk a rendszer kompatibilitását és megtaláltuk az általános megoldást:

x 1 = - 3 + 2t

x 2 = - 1 - 3t

x 3 = - 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t

x 5 = t

Paraméter megadása t különböző értékeket kapunk, végtelen számú megoldást kapunk az eredeti rendszerre. Így például a rendszer megoldása a következő változóhalmaz (- 3; - 1; - 2; 4; 0).

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete