Másodfokú egyenletrendszer megoldása helyettesítési módszerrel! Videóóra „Egyenletrendszerek megoldása helyettesítési módszerrel

lecke a témában: "A behelyettesítési módszer lineáris egyenletrendszerek megoldására"

Kiegészítő anyagok
Kedves felhasználók, ne felejtsék el megírni észrevételeiket, véleményeiket, kívánságaikat. Minden anyagot vírusirtó programmal ellenőriztek.

Oktatási segédanyagok és szimulátorok az Integral webáruházban 7. osztályosoknak
Elektronikus kézikönyv "A egy évben. Geometria expressztanfolyam. 7-9. osztály"
1C: "Interaktív építési feladatok 7-10. évfolyamnak"

Mi az egyenletrendszer?

Egyenletrendszer két lineáris egyenlet, amelyekre létezik egy számpár, amely mindkét egyenletet kielégíti. Az egyenletrendszert a következőképpen írjuk fel:
$\begin(esetek)a_1x + b_1y +c = 0\\a_2x +b_2y +c = 0\end(esetek)$

Egyenletrendszert megoldani azt jelenti, hogy olyan x és y számokat találunk, amelyeknél mindkét egyenlet valódi egyenlőséggé alakul, vagy annak megállapítását, hogy egy adott egyenletrendszerre nincs megoldás.

Ezt a számpárt grafikusan is létrehozhatja, ha a rendszer minden egyenletéhez grafikont készít. A rendszer megoldása ezeknek a grafikonoknak a metszéspontja lesz.

Ez a módszer nem túl kényelmes, mert... rajzolást igényel.

Helyettesítő módszer

A lineáris egyenletrendszer megoldásának másik módja a helyettesítési módszer.

Példa.
Keress két olyan számot, amelyek különbsége 12, összege pedig 36.

Megoldás.
Jelöljük x-szel és y-vel a keresendő számokat, és alkossunk lineáris egyenletrendszert.
$\begin(esetek)x - y = 12\\x + y = 36\end(esetek)$

Képzeljük el az első egyenletet y = x - 12, a második egyenletet pedig y = 36 - x alakban.

Ekkor az egyenletrendszer a következőképpen írható fel: $\begin(esetek)y = x - 12\\y = 36 - x\end(esetek)$
Összevonjuk a két egyenletet.
x - 12 = 36 - x
2x = 48
x = 24
Ekkor y = 12.

Válasz: x = 24, y = 12.

Grafikon ábrázolása nélkül kaptunk egy számpárt, ami az egyenletrendszer megoldása.

Írjuk fel algoritmus egy kétváltozós egyenletrendszer helyettesítési módszerrel történő megoldására:
1. A rendszer első egyenletében y-t x-ig fejezzük ki.
2. A második egyenletben y helyett az első lépésben kapott kifejezést helyettesítjük.
3. Oldja meg a második egyenletet, és keresse meg x-et.
4. Az x talált értékét behelyettesítjük a rendszer első egyenletébe.
5. Írja le a választ számpárként (x, y).

A két ismeretlent tartalmazó lineáris egyenletrendszer két vagy több lineáris egyenlet, amelyekre meg kell találni az összes közös megoldásukat. Két ismeretlenben két lineáris egyenletből álló rendszereket fogunk figyelembe venni. A két ismeretlennel rendelkező két lineáris egyenletrendszer általános nézetét az alábbi ábra mutatja be:

( a1*x + b1*y = c1,
( a2*x + b2*y = c2

Itt x és y ismeretlen változók, a1, a2, b1, b2, c1, c2 néhány valós szám. Két ismeretlenben két lineáris egyenletből álló rendszer megoldása egy számpár (x,y) úgy, hogy ha ezeket a számokat behelyettesítjük a rendszer egyenleteibe, akkor a rendszer minden egyenlete valódi egyenlőséggé alakul. Tekintsük a lineáris egyenletrendszer megoldásának egyik módját, nevezetesen a helyettesítési módszert.

Megoldási algoritmus helyettesítési módszerrel

Algoritmus egy lineáris egyenletrendszer helyettesítési módszerrel történő megoldására:

1. Válasszunk ki egy egyenletet (jobb, ha azt választjuk, ahol a számok kisebbek), és fejezzünk ki belőle egy változót egy másikkal, például x-et y-val. (Használhatja az y-t és az x-et is).

2. Helyettesítse be a kapott kifejezést a megfelelő változó helyett egy másik egyenletbe. Így egy ismeretlennel rendelkező lineáris egyenletet kapunk.

3. Oldja meg a kapott lineáris egyenletet, és kapjon megoldást!

4. A kapott megoldást behelyettesítjük az első bekezdésben kapott kifejezésbe, és a megoldásból megkapjuk a második ismeretlent.

5. Ellenőrizze a kapott oldatot.

Példa

Hogy érthetőbb legyen, oldjunk meg egy kis példát.

1. példa Oldja meg az egyenletrendszert:

(x+2*y =12
(2*x-3*y=-18

Megoldás:

1. Ennek a rendszernek az első egyenletéből fejezzük ki az x változót. Van x= (12 -2*y);

2. Helyettesítsük be ezt a kifejezést a második egyenletbe, így 2*x-3*y=-18; 2*(12-2*y)-3*y = -18; 24-4y-3*y = -18;

3. Oldja meg a kapott lineáris egyenletet: 24 - 4y - 3*y = -18; 24-7*y =-18; -7*y = -42; y=6;

4. Helyettesítse a kapott eredményt az első bekezdésben kapott kifejezésbe! x= (12-2*y); x=12-2*6=0; x=0;

5. Ellenőrizzük a kapott megoldást, ehhez behelyettesítjük a talált számokat az eredeti rendszerbe.

(x+2*y=12;
(2*x-3*y=-18;

{0+2*6 =12;
{2*0-3*6=-18;

{12 =12;
{-18=-18;

Megfelelő egyenlőségeket kaptunk, így helyesen találtuk meg a megoldást.

Elemezzünk kétféle megoldást az egyenletrendszerekre:

1. A rendszer megoldása helyettesítési módszerrel.
2. A rendszer megoldása a rendszeregyenletek tagonkénti összeadásával (kivonásával).

Az egyenletrendszer megoldása érdekében helyettesítési módszerrel egy egyszerű algoritmust kell követnie:
1. Expressz. Bármely egyenletből egy változót fejezünk ki.
2. Helyettesítő. A kapott értéket behelyettesítjük egy másik egyenletbe a kifejezett változó helyett.
3. Oldja meg a kapott egyenletet egy változóval! Megoldást találunk a rendszerre.

Megoldani rendszer tagonkénti összeadás (kivonás) módszerrel kell:
1. Válasszunk ki egy változót, amelyre azonos együtthatókat készítünk.
2. Összeadunk vagy kivonunk egyenleteket, így egy változós egyenletet kapunk.
3. Oldja meg a kapott lineáris egyenletet! Megoldást találunk a rendszerre.

A rendszer megoldását a függvénygráfok metszéspontjai jelentik.

Tekintsük részletesen a rendszerek megoldását példákon keresztül.

1. példa:

Oldjuk meg helyettesítési módszerrel

Egyenletrendszer megoldása helyettesítési módszerrel

2x+5y=1 (1 egyenlet)
x-10y=3 (2. egyenlet)

1. Expressz
Látható, hogy a második egyenletben van egy x változó, melynek együtthatója 1, ami azt jelenti, hogy a második egyenletből a legkönnyebb az x változót kifejezni.
x=3+10y

2. Miután kifejeztük, az első egyenletbe behelyettesítjük a 3+10y-t az x változó helyett.
2(3+10y)+5y=1

3. Oldja meg a kapott egyenletet egy változóval!
2(3+10y)+5y=1 (nyissa ki a zárójeleket)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25 év = -5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Az egyenletrendszer megoldása a grafikonok metszéspontjai, ezért meg kell keresnünk x-et és y-t, mert a metszéspont x-ből és y-ből áll. Keressük meg x-et, az első pontban, ahol kifejeztük, helyettesítjük y-t.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Szokásos pontokat írni először az x, a második helyre az y változót.
Válasz: (1; -0,2)

2. példa:

Oldjuk meg a tagonkénti összeadás (kivonás) módszerrel.

Egyenletrendszer megoldása összeadásos módszerrel

3x-2y=1 (1 egyenlet)
2x-3y=-10 (2. egyenlet)

1. Válasszunk egy változót, tegyük fel, hogy x-et választunk. Az első egyenletben az x változó együtthatója 3, a másodikban - 2. Az együtthatókat azonosnak kell tennünk, ehhez jogunk van az egyenleteket szorozni vagy elosztani tetszőleges számmal. Az első egyenletet megszorozzuk 2-vel, a másodikat 3-mal, és a teljes együtthatót 6-ra kapjuk.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Vonja ki a másodikat az első egyenletből, hogy megszabaduljon az x változótól. Oldja meg a lineáris egyenletet.
__6x-4y=2

5 év = 32 | :5
y=6,4

3. Keresse meg x-et. A talált y-t behelyettesítjük bármelyik egyenletbe, mondjuk az első egyenletbe.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

A metszéspont x=4,6 lesz; y=6,4
Válasz: (4,6; 6,4)

Szeretnél ingyenesen felkészülni a vizsgákra? Oktató online ingyen. Nem viccelek.

Az egyenletrendszereket széles körben használják a gazdasági szektorban különféle folyamatok matematikai modellezésére. Például a termelésirányítás és -tervezés, a logisztikai útvonalak (szállítási probléma) vagy a berendezések elhelyezésének problémáinak megoldásakor.

Az egyenletrendszereket nemcsak a matematikában, hanem a fizikában, a kémiában és a biológiában is alkalmazzák a populációméret meghatározásával kapcsolatos problémák megoldása során.

A lineáris egyenletrendszer két vagy több többváltozós egyenlet, amelyekre közös megoldást kell találni. Olyan számsorozat, amelyre minden egyenlet valódi egyenlőséggé válik, vagy azt bizonyítja, hogy a sorozat nem létezik.

Lineáris egyenlet

Az ax+by=c alakú egyenleteket lineárisnak nevezzük. Az x, y jelölések azok az ismeretlenek, amelyek értékét meg kell találni, b, a a változók együtthatói, c az egyenlet szabad tagja.
Ha egy egyenletet ábrázolással oldunk meg, az úgy fog kinézni, mint egy egyenes, amelynek minden pontja a polinom megoldása.

Lineáris egyenletrendszerek típusai

A legegyszerűbb példáknak két X és Y változós lineáris egyenletrendszerek tekinthetők.

F1(x, y) = 0 és F2(x, y) = 0, ahol F1,2 függvények és (x, y) függvényváltozók.

Egyenletrendszer megoldása - ez azt jelenti, hogy meg kell találni azokat az értékeket (x, y), amelyeknél a rendszer valódi egyenlőséggé alakul, vagy annak megállapítását, hogy x és y megfelelő értékei nem léteznek.

Egy pont koordinátáiként felírt értékpárt (x, y) egy lineáris egyenletrendszer megoldásának nevezzük.

Ha a rendszereknek egy közös megoldása van, vagy nincs megoldás, akkor ekvivalensnek nevezzük őket.

A homogén lineáris egyenletrendszerek olyan rendszerek, amelyek jobb oldala nullával egyenlő. Ha az egyenlőségjel utáni jobb oldali résznek van értéke, vagy függvény fejezi ki, akkor egy ilyen rendszer heterogén.

A változók száma jóval több lehet kettőnél, akkor egy három vagy több változós lineáris egyenletrendszer példájáról kell beszélnünk.

Amikor rendszerekkel szembesülnek, az iskolások azt feltételezik, hogy az egyenletek számának szükségszerűen egybe kell esnie az ismeretlenek számával, de ez nem így van. A rendszerben lévő egyenletek száma nem függ a változóktól, tetszőleges számú lehet belőlük.

Egyszerű és összetett módszerek egyenletrendszerek megoldására

Az ilyen rendszerek megoldására nincs általános analitikai módszer, minden módszer numerikus megoldásokon alapul. Az iskolai matematika kurzus részletesen ismerteti az olyan módszereket, mint a permutáció, algebrai összeadás, helyettesítés, valamint grafikus és mátrix módszerek, megoldások Gauss-módszerrel.

A megoldási módszerek tanítása során a fő feladat a rendszer helyes elemzésének megtanítása és az optimális megoldási algoritmus megtalálása minden egyes példához. A lényeg nem az, hogy megjegyezzük az egyes módszerek szabályrendszerét és műveleteit, hanem megértsük egy adott módszer használatának alapelveit.

A lineáris egyenletrendszerekre vonatkozó példák megoldása a 7. osztályos általános oktatási tananyagban meglehetősen egyszerű és nagyon részletesen kifejthető. Bármely matematika tankönyvben kellő figyelmet fordítanak erre a részre. A lineáris egyenletrendszerekre vonatkozó példák Gauss és Cramer módszerrel történő megoldását a felsőoktatás első éveiben részletesebben tanulmányozzuk.

Rendszerek megoldása helyettesítési módszerrel

A helyettesítési módszer műveletei arra irányulnak, hogy az egyik változó értékét a másodikban fejezzük ki. A kifejezést behelyettesítjük a fennmaradó egyenletbe, majd egy változós alakra redukáljuk. A művelet megismétlődik a rendszerben lévő ismeretlenek számától függően

Adjunk megoldást egy 7. osztályú lineáris egyenletrendszerre a helyettesítési módszerrel:

Amint a példából látható, az x változót az F(X) = 7 + Y függvényen keresztül fejeztük ki. Az eredményül kapott kifejezés, amelyet a rendszer 2. egyenletébe X helyett behelyettesítettünk, segített egy Y változót kapni a 2. egyenletben. . Ennek a példának a megoldása egyszerű, és lehetővé teszi az Y érték meghatározását. Az utolsó lépés a kapott értékek ellenőrzése.

Egy lineáris egyenletrendszer példáját nem mindig lehet helyettesítéssel megoldani. Az egyenletek bonyolultak lehetnek, és a változó kifejezése a második ismeretlennel túl nehézkes a további számításokhoz. Ha több mint 3 ismeretlen van a rendszerben, akkor a helyettesítéssel történő megoldás sem megfelelő.

Lineáris inhomogén egyenletrendszer példájának megoldása:

Megoldás algebrai összeadással

Amikor az összeadás módszerével megoldásokat keresünk a rendszerekre, az egyenleteket szóról szóra összeadjuk, és különböző számokkal megszorozzuk. A matematikai műveletek végső célja az egyenlet egy változóban.

A módszer alkalmazása gyakorlatot és megfigyelést igényel. Egy lineáris egyenletrendszer megoldása az összeadás módszerével, ha 3 vagy több változó van, nem könnyű. Az algebrai összeadás kényelmesen használható, ha az egyenletek törteket és tizedesjegyeket tartalmaznak.

Megoldási algoritmus:

1. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát egy bizonyos számmal. Az aritmetikai művelet eredményeként a változó egyik együtthatója egyenlő legyen 1-gyel.
2. Adja hozzá a kapott kifejezést kifejezésenként, és keresse meg az egyik ismeretlent.
3. Helyettesítse be a kapott értéket a rendszer 2. egyenletébe, és keresse meg a fennmaradó változót.

Megoldás módszere új változó bevezetésével

Új változót akkor lehet bevezetni, ha a rendszer legfeljebb két egyenletre kíván megoldást találni, az ismeretlenek száma szintén nem lehet több, mint kettő.

A módszer az egyik egyenlet egyszerűsítésére szolgál egy új változó bevezetésével. Az új egyenletet a bevezetett ismeretlenre oldjuk meg, és a kapott értékkel határozzuk meg az eredeti változót.

A példa azt mutatja, hogy egy új t változó bevezetésével lehetséges volt a rendszer 1. egyenlete szabványos másodfokú trinomikusra redukálni. Egy polinomot a diszkrimináns megtalálásával oldhat meg.

Meg kell találni a diszkrimináns értékét a jól ismert képlet segítségével: D = b2 - 4*a*c, ahol D a kívánt diszkrimináns, b, a, c a polinom tényezői. Az adott példában a=1, b=16, c=39, tehát D=100. Ha a diszkrimináns nagyobb, mint nulla, akkor két megoldás létezik: t = -b±√D / 2*a, ha a diszkrimináns kisebb, mint nulla, akkor egy megoldás van: x = -b / 2*a.

A kapott rendszerekre a megoldást az összeadás módszerével találjuk meg.

Vizuális módszer rendszerek megoldására

Alkalmas 3 egyenletrendszerhez. A módszer abból áll, hogy a rendszerben szereplő minden egyenletről grafikont készítünk a koordinátatengelyen. A görbék metszéspontjainak koordinátái a rendszer általános megoldása lesz.

A grafikus módszernek számos árnyalata van. Nézzünk meg néhány példát lineáris egyenletrendszerek vizuális megoldására.

Amint a példából látható, minden vonalhoz két pontot állítottunk össze, az x változó értékeit tetszőlegesen választottuk ki: 0 és 3. Az x értékei alapján y értéket találtunk: 3 és 0. A (0, 3) és (3, 0) koordinátájú pontokat a grafikonon jelöltük és egy vonallal kötöttük össze.

A lépéseket meg kell ismételni a második egyenletnél. Az egyenesek metszéspontja a rendszer megoldása.

A következő példa egy lineáris egyenletrendszer grafikus megoldását igényli: 0,5x-y+2=0 és 0,5x-y-1=0.

Ahogy a példából is látszik, a rendszernek nincs megoldása, mert a gráfok párhuzamosak és nem metszik egymást teljes hosszukban.

A 2. és 3. példában szereplő rendszerek hasonlóak, de megalkotásukkor nyilvánvalóvá válik, hogy megoldásaik eltérőek. Emlékeztetni kell arra, hogy nem mindig lehet megmondani, hogy egy rendszernek van-e megoldása vagy sem, mindig szükséges gráfot készíteni.

A mátrix és fajtái

A mátrixokat lineáris egyenletrendszerek tömör felírásához használjuk. A mátrix egy speciális típusú táblázat, amely számokkal van kitöltve. Az n*m-nek n - sora és m - oszlopa van.

A mátrix négyzet alakú, ha az oszlopok és a sorok száma egyenlő. A mátrixvektor egy oszlopból álló mátrix végtelen számú sorral. Azt a mátrixot, amelynek az egyik átlója mentén egyesek és más nullaelemek vannak, azonosságnak nevezzük.

Az inverz mátrix olyan mátrix, amellyel az eredeti egységmátrixmá alakul, csak az eredeti négyzetes mátrix esetében létezik.

Egyenletrendszer mátrixmá alakításának szabályai

Az egyenletrendszerek kapcsán az egyenletek együtthatóit és szabad tagjait mátrixszámként írjuk fel, egy egyenlet a mátrix egy sora.

Egy mátrixsort nem nullának nevezünk, ha a sor legalább egy eleme nem nulla. Ezért, ha bármelyik egyenletben a változók száma eltér, akkor a hiányzó ismeretlen helyére nullát kell beírni.

A mátrix oszlopainak szigorúan meg kell felelniük a változóknak. Ez azt jelenti, hogy az x változó együtthatói csak egy oszlopba írhatók, például az első, az ismeretlen y együtthatója - csak a másodikba.

Egy mátrix szorzásakor a mátrix minden elemét szekvenciálisan megszorozzuk egy számmal.

Az inverz mátrix megtalálásának lehetőségei

Az inverz mátrix megtalálásának képlete meglehetősen egyszerű: K -1 = 1 / |K|, ahol K -1 az inverz mátrix, és |K| a mátrix meghatározója. |K| nem lehet egyenlő nullával, akkor a rendszernek van megoldása.

A determináns könnyen kiszámítható egy két-két mátrixhoz, csak meg kell szorozni az átlós elemeket egymással. A „háromszor három” opcióhoz létezik egy képlet |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Használhatja a képletet, vagy emlékezhet arra, hogy minden sorból és minden oszlopból egy elemet kell vennie, hogy az oszlopok és elemsorok száma ne ismétlődjön meg a munkában.

Példák megoldása lineáris egyenletrendszerekre mátrix módszerrel

A megoldáskeresés mátrixos módszere lehetővé teszi a nehézkes bejegyzések csökkentését nagyszámú változót és egyenletet tartalmazó rendszerek megoldása során.

A példában a nm az egyenletek együtthatói, a mátrix egy vektor, x n változó, b n pedig szabad tag.

Rendszerek megoldása Gauss-módszerrel

A felsőbb matematikában a Gauss-módszert a Cramer-módszerrel együtt tanulmányozzák, a rendszerek megoldásának folyamatát pedig Gauss-Cramer megoldási módszernek nevezik. Ezeket a módszereket nagyszámú lineáris egyenletű rendszerek változóinak megtalálására használják.

A Gauss-módszer nagyon hasonlít a szubsztitúciós és algebrai összeadásos megoldásokhoz, de szisztematikusabb. Az iskolai kurzusban a Gauss-módszerrel történő megoldást használják 3 és 4 egyenletrendszerekre. A módszer célja, hogy a rendszert fordított trapéz formájúvá redukáljuk. Algebrai transzformációk és helyettesítések segítségével egy változó értékét megtaláljuk a rendszer egyik egyenletében. A második egyenlet 2 ismeretlent tartalmazó kifejezés, míg a 3 és 4 3 és 4 változós.

Miután a rendszert a leírt formába hozzuk, a további megoldás az ismert változók szekvenciális behelyettesítésére redukálódik a rendszer egyenleteiben.

A 7. évfolyam iskolai tankönyveiben a Gauss-módszerrel történő megoldás példája a következő:

Amint a példából látható, a (3) lépésben két egyenletet kaptunk: 3x 3 -2x 4 =11 és 3x 3 +2x 4 =7. Bármelyik egyenlet megoldása lehetővé teszi az x n változók egyikének kiderítését.

A szövegben említett 5. tétel kimondja, hogy ha a rendszer egyik egyenletét egy ekvivalensre cseréljük, akkor a kapott rendszer is ekvivalens lesz az eredetivel.

A Gauss-módszer nehezen érthető a középiskolások számára, de ez az egyik legérdekesebb módja a matematika és fizika órákon a haladó szintű tanulási programokba beiratkozott gyerekek találékonyságának fejlesztésének.

A rögzítés megkönnyítése érdekében a számításokat általában a következőképpen végezzük:

Az egyenletek és a szabad tagok együtthatói mátrix formájában vannak felírva, ahol a mátrix minden sora megfelel a rendszer valamelyik egyenletének. elválasztja az egyenlet bal oldalát a jobbtól. A római számok a rendszerben található egyenletek számát jelölik.

Először írja le a mátrixot, amellyel dolgozni szeretne, majd az egyik sorral végrehajtott összes műveletet. A kapott mátrixot a „nyíl” jel után írjuk, és a szükséges algebrai műveleteket addig folytatjuk, amíg az eredményt el nem érjük.

Az eredmény egy olyan mátrix, amelyben az egyik átló egyenlő 1-gyel, és az összes többi együttható nulla, vagyis a mátrix egységformára redukálódik. Nem szabad elfelejtenünk, hogy az egyenlet mindkét oldalán számokkal számoljunk.

Ez a rögzítési módszer kevésbé körülményes, és lehetővé teszi, hogy ne terelje el a figyelmét számos ismeretlen felsorolása.

Bármilyen megoldási mód ingyenes használata körültekintést és némi tapasztalatot igényel. Nem minden módszer alkalmazott jellegű. A megoldások megtalálásának egyes módszerei előnyösebbek az emberi tevékenység egy adott területén, míg mások oktatási célokra léteznek.

Fontos számunkra az Ön személyes adatainak védelme. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, tekintse át adatvédelmi gyakorlatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.

Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek felhasználhatók egy adott személy azonosítására vagy kapcsolatfelvételre.

Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.

Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.

Milyen személyes adatokat gyűjtünk:

• Amikor jelentkezést nyújt be az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, e-mail címét stb.

Hogyan használjuk fel személyes adatait:

• Az általunk gyűjtött személyes adatok lehetővé teszik számunkra, hogy egyedi ajánlatokkal, promóciókkal és egyéb eseményekkel és közelgő eseményekkel kapcsolatba léphessünk Önnel.
• Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és közlemények küldésére.
• A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
• Ha nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló promócióban vesz részt, az Ön által megadott információkat felhasználhatjuk az ilyen programok lebonyolítására.

Információk közlése harmadik fél számára

Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.

Kivételek:

• Szükség esetén - a törvénynek, a bírósági eljárásnak, a bírósági eljárásoknak megfelelően és/vagy az Orosz Föderáció területén található állami kérelmek vagy kormányzati hatóságok kérelmei alapján - az Ön személyes adatainak nyilvánosságra hozatala. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen nyilvánosságra hozatal biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű célból szükséges vagy megfelelő.
• Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk a megfelelő jogutód harmadik félnek.

Személyes adatok védelme

Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, lopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.

A magánélet tiszteletben tartása vállalati szinten

Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági előírásokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete