Töltésváltozás egyenlete rezgőkörben. A Thomson-képlet levezetése

ELEKTROMÁGNESES OSZILLÁCIÓK.
SZABAD ÉS KÉSZÍTETT ELEKTROMOS REZGÉSEK.

Az elektromágneses rezgések elektromos és mágneses mezők egymással összefüggő rezgései.

Az elektromágneses rezgések különféle elektromos áramkörökben jelennek meg. Ebben az esetben a töltés mértéke, a feszültség, az áramerősség, az elektromos térerősség, a mágneses tér indukciója és egyéb elektrodinamikai mennyiségek ingadoznak.

Szabad elektromágneses rezgések keletkeznek egy elektromágneses rendszerben, miután az egyensúlyi állapotból kikerült, például egy kondenzátor töltése vagy az áramkör egy szakaszában az áram megváltoztatása révén.

Ezek csillapított oszcillációk, mivel a rendszerbe juttatott energiát fűtésre és egyéb folyamatokra fordítják.

A kényszerített elektromágneses oszcillációk olyan csillapítatlan rezgések az áramkörben, amelyeket egy külső, periodikusan változó szinuszos EMF okoz.

Az elektromágneses rezgéseket ugyanazok a törvények írják le, mint a mechanikaiakat, bár ezeknek a rezgéseknek a fizikai természete teljesen más.

Az elektromos rezgések az elektromágneses rezgések speciális esetei, amikor csak elektromos rezgéseket vesszük figyelembe. Ebben az esetben váltakozó áramról, feszültségről, teljesítményről stb.

OSCILLÁCIÓS KÖR

Az oszcillációs áramkör egy olyan elektromos áramkör, amely egy C kapacitású kondenzátorból, egy L induktivitású tekercsből és egy sorba kapcsolt R ellenállású ellenállásból áll.

Az oszcillációs áramkör stabil egyensúlyi állapotát az elektromos tér (a kondenzátor nincs feltöltve) és a mágneses tér (nincs áram a tekercsen keresztül) minimális energiája jellemzi.

Magának a rendszernek a tulajdonságait kifejező mennyiségek (rendszerparaméterek): L és m, 1/C és k

a rendszer állapotát jellemző mennyiségek:

a rendszer állapotának változási sebességét kifejező mennyiségek: u = x"(t)És i = q"(t).

AZ ELEKTROMÁGNESES REZGÉSEK JELLEMZŐI

Megmutatható, hogy a szabad rezgések egyenlete egy töltésre q = q(t) az áramkörben lévő kondenzátor alakja

Ahol q" a töltés második deriváltja az idő függvényében. Nagyságrend

a ciklikus frekvencia. Ugyanezek az egyenletek írják le az áram, a feszültség és más elektromos és mágneses mennyiségek ingadozásait.

Az (1) egyenlet egyik megoldása a harmonikus függvény

Az áramkörben az oszcilláció periódusát a következő képlet adja meg (Thomson):

A szinusz vagy koszinusz jel alatt álló φ = ώt + φ 0 mennyiség az oszcillációs fázis.

A fázis meghatározza az oszcilláló rendszer állapotát bármikor t.

Az áramkörben lévő áram egyenlő a töltés időbeli deriváltjával, kifejezhető

A fáziseltolódás egyértelműbb kifejezése érdekében lépjünk koszinuszból szinuszba

VÁLTÓ ELEKTROMOS ÁRAM

1. A harmonikus EMF például olyan keretben fordul elő, amely állandó szögsebességgel forog egyenletes mágneses térben B indukcióval. Mágneses fluxus F egy keret átszúrása egy területtel S,

ahol a keret normálja és a mágneses indukciós vektor közötti szög.

Faraday elektromágneses indukció törvénye szerint az indukált emf egyenlő

ahol a mágneses indukciós fluxus változási sebessége.

A harmonikusan változó mágneses fluxus szinuszos indukált emf-et okoz

ahol az indukált emf amplitúdó értéke.

2. Ha külső harmonikus EMF-forrás csatlakozik az áramkörhöz

akkor a forrás frekvenciájával egybeeső ώ ciklikus frekvenciával kényszerrezgések keletkeznek benne.

Ebben az esetben az erőltetett rezgések egy q töltést, a potenciálkülönbséget hajtják végre u, áramerősség énés egyéb fizikai mennyiségek. Ezek csillapítatlan oszcillációk, mivel a forrásból energiát táplálnak az áramkörbe, ami kompenzálja a veszteségeket. Az áramkörben harmonikusan változó áram-, feszültség- és egyéb mennyiségeket változóknak nevezzük. Nyilvánvalóan változik méretük és irányuk. A csak nagyságrendben változó áramokat és feszültségeket pulzálónak nevezzük.

Az oroszországi ipari váltakozó áramú áramkörökben az elfogadott frekvencia 50 Hz.

A váltóáram R aktív ellenállású vezetőn való áthaladásakor felszabaduló Q hőmennyiség kiszámításához a maximális teljesítményérték nem használható, mivel ez csak bizonyos időpontokban érhető el. Fel kell használni az időszak átlagos teljesítményét - az áramkörbe belépő teljes W energia és az időszak értékének arányát:

Ezért a T idő alatt felszabaduló hőmennyiség:

A váltakozó áram effektív értéke I egyenlő az olyan egyenáram erősségével, amely a T periódussal megegyező idő alatt ugyanannyi hőt bocsát ki, mint a váltóáram:

Innen ered az effektív áramérték

Hasonlóképpen az effektív feszültség értéke

TRANSZFORMÁTOR

Transzformátor- olyan eszköz, amely többszörösen növeli vagy csökkenti a feszültséget gyakorlatilag energiaveszteség nélkül.

A transzformátor külön lemezekből összeállított acélmagból áll, amelyre két tekercs huzaltekerccsel van rögzítve. A primer tekercs váltakozó feszültségforráshoz, a szekunder tekercshez pedig az elektromosságot fogyasztó készülékek csatlakoznak.

Méret

transzformációs aránynak nevezzük. Lecsökkentő transzformátorhoz K > 1, fokozó transzformátorhoz K< 1.

Példa. Az oszcillálóköri kondenzátor lapjain a töltés az egyenletnek megfelelően idővel változik. Határozza meg az áramkörben az oszcilláció periódusát és frekvenciáját, a ciklikus frekvenciát, a töltéslengés amplitúdóját és az áramingadozások amplitúdóját! Írja fel az i = i(t) egyenletet, amely kifejezi az áram időfüggőségét!

Az egyenletből az következik, hogy . A periódus meghatározása a ciklikus gyakorisági képlet segítségével történik

Oszcillációs frekvencia

Az áramerősség időtől való függése a következőképpen alakul:

Az áram amplitúdója.

Válasz: a töltés 0,02 s periódussal és 50 Hz frekvenciával rezeg, ami 100 rad/s ciklikus frekvenciának felel meg, az áramingadozások amplitúdója 510 3 A, az áramerősség a törvény szerint változik:

én=-5000 sin100t

Feladatok és tesztek a "10. témakör "Elektromágneses rezgések és hullámok" témakörben.

• Keresztirányú és hosszanti hullámok. Hullámhossz - Mechanikus rezgések és hullámok. Hang 9. osztály

A fő eszköz, amely meghatározza bármely váltakozó áramú generátor működési frekvenciáját, az oszcilláló áramkör. Az oszcillációs áramkör (1. ábra) egy induktorból áll L(gondoljuk az ideális esetet, amikor a tekercsnek nincs ohmos ellenállása) és egy kondenzátort Cés zártnak nevezik. A tekercs jellemzője az induktivitás, ezt jelöljük Lés Henry-ben (H) mérve a kondenzátort kapacitás jellemzi C, amelyet faradokban (F) mérünk.

Töltsük fel a kondenzátort a kezdeti pillanatban úgy (1. ábra), hogy az egyik lapján töltés legyen + K 0, másrészt - töltés - K 0 . Ebben az esetben a kondenzátor lemezei között energiát tartalmazó elektromos mező képződik

ahol az amplitúdó (maximális) feszültség vagy potenciálkülönbség a kondenzátorlapokon.

Az áramkör zárása után a kondenzátor kisülni kezd, és elektromos áram folyik át az áramkörön (2. ábra), melynek értéke nulláról a maximális értékre nő. Mivel az áramkörben változó nagyságú áram folyik, a tekercsben öninduktív emf indukálódik, ami megakadályozza a kondenzátor kisülését. Ezért a kondenzátor kisütésének folyamata nem azonnal, hanem fokozatosan történik. Minden pillanatban a potenciálkülönbség a kondenzátorlapokon

(ahol a kondenzátor töltése egy adott időpontban) egyenlő a tekercs potenciálkülönbségével, azaz. egyenlő az önindukciós emf

1. ábra	2. ábra

Amikor a kondenzátor teljesen lemerült és , a tekercsben lévő áram eléri a maximális értéket (3. ábra). A tekercs mágneses mezőjének indukciója ebben a pillanatban is maximális, és a mágneses tér energiája egyenlő lesz

Ezután az áram csökkenni kezd, és a töltés felhalmozódik a kondenzátorlapokon (4. ábra). Amikor az áramerősség nullára csökken, a kondenzátor töltése eléri a maximális értéket K 0, de a korábban pozitív töltésű lemez most negatív töltésű lesz (5. ábra). Ezután a kondenzátor újra kisülni kezd, és az áramkörben az áram az ellenkező irányba folyik.

Tehát a töltés folyamata, amely az egyik kondenzátorlapról a másikra áramlik az induktoron keresztül, újra és újra megismétlődik. Azt mondják, hogy az áramkörben vannak elektromágneses rezgések. Ez a folyamat nemcsak a kondenzátor töltésének és feszültségének ingadozásaihoz, a tekercsben lévő áramerősséghez kapcsolódik, hanem az elektromos mezőből a mágneses mezőbe történő energiaátvitelhez és fordítva is.

3. ábra	4. ábra

A kondenzátor újratöltése a maximális feszültségre csak akkor történik meg, ha az oszcilláló áramkörben nincs energiaveszteség. Az ilyen kontúrt ideálisnak nevezik.

Valós áramkörökben a következő energiaveszteségek fordulnak elő:

1) hőveszteség, mert R ¹ 0;

2) veszteségek a kondenzátor dielektrikumában;

3) hiszterézisveszteség a tekercsmagban;

4) sugárzási veszteségek stb. Ha ezeket az energiaveszteségeket figyelmen kívül hagyjuk, akkor azt írhatjuk, hogy pl.

Az ideális rezgőkörben fellépő rezgéseket, amelyekben ez a feltétel teljesül, nevezzük ingyenes, vagy saját, áramköri rezgések.

Ebben az esetben a feszültség U(és díjat K) a kondenzátoron a harmonikus törvény szerint változik:

ahol n az oszcillációs kör sajátfrekvenciája, w 0 = 2pn az oszcillációs kör természetes (kör)frekvenciája. Az elektromágneses rezgések frekvenciáját az áramkörben a következőképpen határozzuk meg

T időszak- meghatározzák azt az időt, amely alatt a kondenzátor feszültsége és az áramkörben egy teljes rezgés következik be Thomson képlete

Az áramkörben az áramerősség is a harmonikus törvénynek megfelelően változik, de fázisban a feszültségtől elmarad. Ezért az áramkörben lévő áramerősség időtől való függése a következő formában lesz

. (9)

A 6. ábra a feszültségváltozások grafikonjait mutatja U a kondenzátoron és az áramon én a tekercsben az ideális oszcilláló áramkör érdekében.

Valós áramkörben az energia minden rezgéssel csökken. A kondenzátor feszültségének amplitúdója és az áramkörben lévő áram csökkenni fog, az ilyen rezgéseket csillapítottnak nevezzük. Master oszcillátorokban nem használhatók, mert A készülék a legjobb esetben impulzus üzemmódban működik.

5. ábra	6. ábra

A csillapítatlan rezgések eléréséhez szükséges az energiaveszteségek kompenzálása az eszközök legkülönbözőbb működési frekvenciáján, beleértve az orvostudományban használtakat is.

Problémák léphetnek fel az elektromos áramkörökben, valamint a mechanikai rendszerekben, mint például a rugó vagy az inga terhelése. szabad rezgések.

Elektromágneses rezgésektöltés, áram és feszültség időszakos, egymással összefüggő változásainak nevezzük.

Ingyenesaz oszcillációk azok, amelyek a kezdetben felhalmozott energia miatt külső befolyás nélkül jelentkeznek.

Kényszerűoszcillációnak nevezzük az áramkörben külső periodikus elektromotoros erő hatására

Szabad elektromágneses rezgések – ezek az elektromágneses mennyiségek időszakosan ismétlődő változásai (q- elektromos töltés,én- áramerősség,U– potenciálkülönbség) külső forrásból származó energiafogyasztás nélkül fellépő.

A legegyszerűbb szabad rezgésre képes elektromos rendszer az soros RLC áramkör vagy oszcillációs áramkör.

Oszcillációs áramkör -sorba kapcsolt kondenzátorokból álló rendszerC, induktorokL és egy vezető ellenállássalR

Tekintsünk egy zárt oszcillációs áramkört, amely L induktivitásból áll és konténerek VAL VEL.

Az oszcilláció gerjesztéséhez ebben az áramkörben bizonyos töltést kell adni a kondenzátornak a forrásból ε . Amikor a kulcs K 1-es helyzetben van, a kondenzátor feszültségre van töltve. A kulcs 2-es helyzetbe állítása után megkezdődik a kondenzátor kisütésének folyamata az ellenálláson keresztül Rés induktor L. Bizonyos körülmények között ez a folyamat oszcilláló jellegű lehet.

Az oszcilloszkóp képernyőjén szabad elektromágneses rezgések figyelhetők meg.

Amint az oszcilloszkópon kapott oszcillációs grafikonból látható, a szabad elektromágneses rezgések elhalványul, azaz amplitúdójuk idővel csökken. Ez azért történik, mert az R aktív ellenálláson lévő elektromos energia egy része belső energiává alakul. vezető (a vezető felmelegszik, amikor elektromos áram halad át rajta).

Nézzük meg, hogyan történnek rezgések egy rezgőkörben, és milyen energiaváltozások következnek be. Tekintsük először azt az esetet, amikor az áramkörben nincs elektromágneses energia veszteség ( R = 0).

Ha a kondenzátort U 0 feszültségre tölti, akkor a kezdeti t 1 = 0 időpontban az U 0 feszültség és a töltés q 0 = CU 0 amplitúdóértékei a kondenzátor lemezein jönnek létre.

A rendszer teljes W energiája egyenlő a W el elektromos mező energiájával:

Ha az áramkör zárva van, az áram elkezd folyni. Egy emf jelenik meg az áramkörben. önindukció

A tekercsben történő önindukció miatt a kondenzátor nem azonnal, hanem fokozatosan kisül (hiszen Lenz szabálya szerint a keletkező indukált áram a mágneses mezőjével ellensúlyozza az azt okozó mágneses fluxus változását. Vagyis a mágneses Az indukált áram mezője nem teszi lehetővé az áram mágneses fluxusának azonnali növekedését az áramkörben). Ebben az esetben az áramerősség fokozatosan növekszik, és a t 2 = T/4 időpontban eléri I 0 maximális értékét, és a kondenzátor töltése nulla lesz.

A kondenzátor kisülésével az elektromos tér energiája csökken, ugyanakkor a mágneses tér energiája nő. Az áramkör teljes energiája a kondenzátor kisütése után megegyezik a W m mágneses mező energiájával:

A következő pillanatban az áram ugyanabba az irányba folyik, nullára csökken, ami a kondenzátor újratöltését okozza. Az áram nem áll le azonnal, miután a kondenzátor lemerül az önindukció miatt (most az indukciós áram mágneses tere megakadályozza, hogy az áramkörben az áram mágneses fluxusa azonnal csökkenjen). A t 3 =T/2 időpontban a kondenzátor töltése ismét maximális és egyenlő a kezdeti töltéssel q = q 0, a feszültség is egyenlő az eredeti U = U 0 értékkel, és az áramkörben lévő áram nulla I = 0.

Ezután a kondenzátor ismét kisül, az áram az induktivitáson át az ellenkező irányba folyik. Egy T idő elteltével a rendszer visszatér kiinduló állapotába. A teljes oszcilláció véget ér, és a folyamat megismétlődik.

Az áramkörben fellépő szabad elektromágneses rezgések során a töltés és az áramerősség változásainak grafikonja azt mutatja, hogy az áramerősség ingadozása π/2-vel elmarad a töltésingadozásoktól.

A teljes energia bármely pillanatban:

Szabad oszcilláció esetén az elektromos energia periodikus átalakulása következik be W e, kondenzátorban tárolva, mágneses energiává W m tekercsek és fordítva. Ha a rezgőkörben nincs energiaveszteség, akkor a rendszer teljes elektromágneses energiája állandó marad.

A szabad elektromos rezgések hasonlóak a mechanikai rezgésekhez. Az ábrán a töltésváltozások grafikonjai láthatók q(t) kondenzátor és előfeszítés x(t) terhelést az egyensúlyi helyzetből, valamint az aktuális grafikonokat én(t) és terhelési sebesség υ( t) egy rezgési periódusra.

Csillapítás hiányában az elektromos áramkörben szabad rezgések vannak harmonikus, vagyis a törvény szerint előfordulnak

q(t) = q 0 cos(ω t + φ 0)

Lehetőségek LÉs C az oszcillációs kört csak a szabad rezgések természetes frekvenciája és az oszcillációs periódus határozza meg - Thompson képlete

Amplitúdó q 0 és a φ 0 kezdeti fázis meghatározásra kerül kezdeti feltételek, vagyis az a mód, ahogyan a rendszert kihozták az egyensúlyból.

A töltés, a feszültség és az áram ingadozására a következő képleteket kapjuk:

Kondenzátorhoz:

q(t) = q 0 cosω 0 t

U(t) = U 0 cosω 0 t

Induktorhoz:

én(t) = én 0 cos(ω 0 t+ π/2)

U(t) = U 0 cos(ω 0 t + π)

Emlékezzünk Az oszcillációs mozgás fő jellemzői:

q 0, U 0 , én 0 - amplitúdó– az ingadozó mennyiség legnagyobb értékének modulusa

T - időszak– az a minimális időtartam, amely után a folyamat teljesen megismétlődik

ν - Frekvencia– oszcillációk száma egységnyi idő alatt

ω - Ciklikus frekvencia– oszcillációk száma 2n másodpercben

φ - oszcillációs fázis- a koszinusz (szinusz) jel alatti mennyiség, amely a rendszer mindenkori állapotát jellemzi.

Elektromágneses tér létezhet elektromos töltések vagy áramok hiányában: ezek az „önfenntartó” elektromos és mágneses terek elektromágneses hullámok, amelyek közé tartozik a látható fény, az infravörös, az ultraibolya és a röntgensugárzás, a rádióhullámok stb.

25. § Oszcillációs kör

A legegyszerűbb rendszer, amelyben természetes elektromágneses rezgések lehetségesek, az úgynevezett oszcillációs áramkör, amely egy kondenzátorból és egy egymással összekapcsolt induktorból áll (157. ábra). Mint egy mechanikus oszcillátor, például egy masszív test egy elasztikus rugón, az áramkörben a természetes rezgéseket energiaátalakulások kísérik.

Rizs. 157. Oszcillációs áramkör

A mechanikai és elektromágneses rezgések analógiája. Egy oszcillációs áramkör esetében a mechanikus oszcillátor potenciális energiájának analógja (például egy deformált rugó rugalmas energiája) a kondenzátorban lévő elektromos mező energiája. A mozgó test kinetikus energiájának analógja az induktorban lévő mágneses mező energiája. Valójában a rugó energiája arányos az egyensúlyi helyzetből való elmozdulás négyzetével, a kondenzátor energiája pedig a töltés négyzetével. Egy test mozgási energiája arányos a sebességének négyzetével és a tekercsben lévő mágneses tér energiája arányos az áram négyzetével.

Az E rugóoszcillátor teljes mechanikai energiája megegyezik a potenciális és a kinetikus energiák összegével:

A rezgések energiája. Hasonlóképpen, az oszcillációs áramkör teljes elektromágneses energiája megegyezik a kondenzátorban lévő elektromos mező és a tekercsben lévő mágneses mező energiáinak összegével:

Az (1) és (2) képlet összehasonlításából az következik, hogy egy lengőkörben lévő rugóoszcillátor k merevségének analógja a C kapacitás reciproka, a tömeg analógja pedig a tekercs induktivitása.

Emlékezzünk vissza, hogy egy mechanikai rendszerben, amelynek energiáját az (1) kifejezés adja meg, előfordulhatnak saját csillapítatlan harmonikus rezgései. Az ilyen rezgések frekvenciájának négyzete egyenlő az elmozdulás és a sebesség négyzetének együtthatóival az energia kifejezésében:

Természetes frekvencia. Egy oszcillációs áramkörben, amelynek elektromágneses energiáját a (2) kifejezés adja meg, előfordulhatnak saját csillapítatlan harmonikus rezgései, amelyek frekvenciájának négyzete is nyilvánvalóan megegyezik a megfelelő együtthatók arányával (azaz a a töltés és az áram négyzetének együtthatói):

A (4)-ből következik az oszcillációs periódus kifejezése, amelyet Thomson-képletnek neveznek:

Mechanikai rezgések során az x elmozdulás időtől való függését egy koszinuszfüggvény határozza meg, melynek argumentumát oszcillációs fázisnak nevezzük:

Amplitúdó és kezdeti fázis. Az A amplitúdót és az a kezdeti fázist a kezdeti feltételek határozzák meg, azaz az elmozdulás és a sebesség értékei

Hasonlóképpen, az áramkör elektromágneses természetes rezgéseinél a kondenzátor töltése a törvény szerint az időtől függ.

ahol a frekvenciát a (4) pontnak megfelelően csak magának az áramkörnek a tulajdonságai határozzák meg, és a töltésrezgések amplitúdója és az a kezdeti fázis, mint egy mechanikus oszcillátoré.

kezdeti feltételek, azaz a kondenzátor töltésének és az áramerősségnek az értékei, így a sajátfrekvencia nem függ a rezgések gerjesztésének módjától, míg az amplitúdót és a kezdeti fázist pontosan a gerjesztési feltételek határozzák meg.

Energia átalakulások. Tekintsük részletesebben a mechanikai és elektromágneses rezgések során bekövetkező energiaátalakításokat. ábrán. A 158 sematikusan ábrázolja a mechanikus és elektromágneses oszcillátorok állapotát negyed periódusonként

Rizs. 158. Energia átalakulások mechanikai és elektromágneses rezgések során

A rezgési periódus során kétszer alakul át az energia egyik típusból a másikba, majd vissza. Az oszcillációs kör teljes energiája, akárcsak a mechanikus oszcillátor összenergiája, disszipáció hiányában változatlan marad. Ennek ellenőrzéséhez be kell cserélnie a (6) kifejezést és az aktuális kifejezést a (2) képletbe.

A (4) képlet segítségével megkapjuk

Rizs. 159. A kondenzátor elektromos tere energiájának és a tekercsben lévő mágneses tér energiájának a kondenzátor töltési idejétől való függését ábrázoló grafikonok

Az állandó összenergia egybeesik a potenciális energiával azokban a pillanatokban, amikor a kondenzátor töltése maximális, és egybeesik a tekercs mágneses mezőjének energiájával - a "kinetikus" energiával - azokban a pillanatokban, amikor a kondenzátor töltése válik nulla és az áramerősség maximális. A kölcsönös átalakulások során kétféle energia azonos amplitúdójú, egymással fázison kívüli, átlagos értékükhöz képest frekvenciájú harmonikus rezgéseket hajt végre. Ez könnyen belátható az ábrából. 158, és egy fél argumentum trigonometrikus függvényeinek képleteit használva:

Az elektromos mező energiájának és a mágneses mező energiájának a kondenzátor töltési idejétől való függését ábrázoló grafikonokat az ábra mutatja. 159 a kezdeti szakaszban

A természetes elektromágneses rezgések mennyiségi törvényei közvetlenül megállapíthatók a kvázi-stacionárius áramok törvényei alapján, anélkül, hogy a mechanikai rezgésekkel való analógiához folyamodnánk.

Az áramkör rezgésének egyenlete. Tekintsük az ábrán látható legegyszerűbb oszcillációs áramkört. 157. Ha körbejárjuk az áramkört, például az óramutató járásával ellentétes irányba, az ilyen zárt soros áramkörben az induktor és a kondenzátor feszültségeinek összege nulla:

A kondenzátor feszültsége összefügg a lemez töltésével és a kapacitással Ezzel az összefüggéssel Az induktivitás feszültsége bármely pillanatban egyenlő nagyságú és ellentétes előjelű az öninduktív emf-vel, ezért a áramkör egyenlő a kondenzátor töltésének változási sebességével: Az induktor feszültségének kifejezésében az áramerősséget helyettesítjük, és a kondenzátor töltésének második deriváltját jelöljük az átfutási idő függvényében.

Megkapjuk a Most kifejezés (10) alakját

Írjuk át ezt az egyenletet másképp, definíció szerint bevezetve:

A (12) egyenlet egybeesik egy sajátfrekvenciájú mechanikus oszcillátor harmonikus rezgéseinek egyenletével. Az ilyen egyenlet megoldását egy harmonikus (szinuszos) időfüggvény (6) adja meg az amplitúdó és a kezdeti fázis tetszőleges értékeivel. a. Ez magában foglalja az összes fenti eredményt az áramkör elektromágneses oszcillációira vonatkozóan.

Az elektromágneses rezgések csillapítása. Eddig egy idealizált mechanikai rendszerben és egy idealizált LC áramkörben előforduló természetes rezgésekről volt szó. Az idealizálás abból állt, hogy figyelmen kívül hagyták a súrlódást az oszcillátorban és az elektromos ellenállást az áramkörben. Csak ebben az esetben lesz a rendszer konzervatív és a rezgési energia megmarad.

Rizs. 160. Rezgőkör ellenállással

Az áramkörben az oszcillációs energia disszipációja ugyanúgy figyelembe vehető, mint a súrlódó mechanikus oszcillátor esetében. A tekercs és a csatlakozó vezetékek elektromos ellenállásának jelenléte elkerülhetetlenül összefügg a Joule-hő felszabadulásával. A korábbiakhoz hasonlóan ez az ellenállás is független elemnek tekinthető az oszcillációs áramkör elektromos áramkörében, tekintve a tekercset és a vezetékeket ideálisnak (160. ábra). Ha egy ilyen áramkörben kvázi-stacionárius áramot veszünk figyelembe, akkor az ellenálláson lévő feszültséget hozzá kell adni a (10) egyenlethez.

Behelyettesítve kapunk

Megnevezések bemutatása

a (14) egyenletet átírjuk a formába

A (16) egyenlet pontosan ugyanolyan alakú, mint az az egyenlet, amikor egy mechanikus oszcillátor oszcillál

sebességgel arányos súrlódás (viszkózus súrlódás). Ezért az áramkörben elektromos ellenállás jelenlétében az elektromágneses rezgések ugyanazon törvény szerint lépnek fel, mint a viszkózus súrlódású oszcillátor mechanikai rezgései.

A rezgésenergia disszipációja. A mechanikai rezgésekhez hasonlóan a természetes rezgések energiájának időbeli csökkenésének törvénye is megállapítható a Joule-Lenz törvény alkalmazásával a felszabaduló hő kiszámításához:

Ennek eredményeként az oszcillációs periódusnál sokkal nagyobb időintervallumok kis csillapítása esetén a rezgési energia csökkenésének mértéke arányos magával az energiával:

A (18) egyenlet megoldásának alakja van

Az ellenállású áramkörben a természetes elektromágneses rezgések energiája exponenciális törvény szerint csökken.

A rezgések energiája arányos amplitúdójuk négyzetével. Az elektromágneses rezgések esetében ez következik például a (8) pontból. Ezért a csillapított rezgések amplitúdója a (19) szerint a törvénynek megfelelően csökken

Az oszcillációk élettartama. Amint az a (20)-ból látható, a rezgések amplitúdója az amplitúdó kezdeti értékétől függetlenül az idő tényezőjével csökken a (20)-tól kezdve az oszcillációk formálisan a végtelenségig folytatódnak. A valóságban persze csak addig van értelme oszcillációról beszélni, amíg azok amplitúdója meghaladja az adott áramkör termikus zajszintjének jellemző értékét. Ezért valójában az áramkörben az oszcillációk véges ideig „élnek”, ami azonban többszöröse is lehet a fent bemutatott x élettartamnak.

Gyakran fontos tudni, hogy nem magának az x rezgésnek az élettartamát, hanem a teljes rezgések számát, amelyek az áramkörben ezen x idő alatt fellépnek. Ezt a számot szorozva áramkör minőségi tényezőnek nevezzük.

Szigorúan véve a csillapított oszcillációk nem periodikusak. Alacsony csillapítás mellett feltételesen beszélhetünk periódusról, amely alatt a kettő közötti időintervallumot értjük

a kondenzátortöltés egymást követő maximális értékei (ugyanolyan polaritás), vagy maximális áramértékek (egy irányban).

Az oszcilláció csillapítása befolyásolja az időszakot, ami növeli az ideális esethez képest, ha nincs csillapítás. Alacsony csillapítás mellett az oszcillációs periódus növekedése nagyon kicsi. Erős csillapítás esetén azonban előfordulhat, hogy egyáltalán nincsenek rezgések: a feltöltött kondenzátor időszakosan kisül, azaz anélkül, hogy megváltoztatná az áram irányát az áramkörben. Ez akkor fog megtörténni, amikor, azaz mikor

Pontos megoldás. A csillapított rezgések fentebb megfogalmazott mintázatai a (16) differenciálegyenlet pontos megoldásából következnek. Közvetlen helyettesítéssel ellenőrizhetjük, hogy megvan-e a formája

ahol tetszőleges állandók vannak, amelyek értéke a kezdeti feltételekből van meghatározva. Alacsony csillapításnál a koszinuszszorzót a rezgések lassan változó amplitúdójának tekinthetjük.

Feladat

Kondenzátorok újratöltése induktoron keresztül. Az áramkörben, amelynek diagramja az ábrán látható. 161, a felső kondenzátor töltése egyenlő, az alsó kondenzátor nincs feltöltve. Ebben a pillanatban a kulcs zárva van. Határozza meg a felső kondenzátor töltési idejének és a tekercsben lévő áram függőségét!

Rizs. 161. Az idő kezdeti pillanatában csak egy kondenzátor van feltöltve

Rizs. 162. Kondenzátorok töltése és áram az áramkörben a kulcs zárása után

Rizs. 163. Az ábrán látható elektromos áramkör mechanikai analógiája. 162

Megoldás. A kulcs bezárása után az áramkörben rezgések lépnek fel: a felső kondenzátor a tekercsen keresztül kisütni kezd, miközben az alsót tölti; akkor minden az ellenkező irányba történik. Legyen például a kondenzátor felső lapja pozitív töltésű. Akkor

rövid idő elteltével a kondenzátorlemezek töltéseinek előjelei és az áram iránya az ábrán látható lesz. 162. Jelöljük a felső és alsó kondenzátorok azon lapjainak töltéseivel, amelyek egy tekercsen keresztül kapcsolódnak egymáshoz. Az elektromos töltés megmaradásának törvénye alapján

A zárt hurok összes elemén a feszültségek összege minden pillanatban nulla:

A kondenzátoron lévő feszültség előjele megfelel a 2. ábrán látható töltéseloszlásnak. 162. és az áram jelzett iránya. A tekercsen áthaladó áram kifejezése kétféleképpen írható fel:

A (22) és (24) összefüggések segítségével zárjuk ki az egyenletből:

Megnevezések bemutatása

Írjuk át (25) a következő alakba:

Ha a funkció bevitele helyett

és vegyük figyelembe, hogy akkor (27) felveszi a formát

Ez a csillapítatlan harmonikus rezgések szokásos egyenlete, aminek megvan a megoldása

ahol és tetszőleges állandók.

A függvényből visszatérve a következő kifejezést kapjuk a felső kondenzátor töltési idejének függésére:

Az állandók és az a meghatározásához figyelembe vesszük, hogy a kezdeti pillanatban a töltés és az áramerősségre (24) és (31) van

Mivel ebből következik, hogy Helyettesítve most be és figyelembe véve, hogy kapunk

Tehát a töltés és az áram kifejezéseinek van alakja

A töltés és az áramingadozás természete különösen jól látható, ha a kondenzátor kapacitása azonos. Ebben az esetben

A felső kondenzátor töltése az átlagos érték körüli amplitúdóval oszcillál. A rezgési periódus felénél a kezdeti maximum értékről nullára csökken, amikor a teljes töltés az alsó kondenzátoron van.

Az oszcillációs frekvenciára vonatkozó (26) kifejezést természetesen azonnal fel lehetne írni, mivel a vizsgált áramkörben a kondenzátorok sorba vannak kötve. A (34) kifejezéseket azonban nehéz közvetlenül írni, mivel ilyen kezdeti feltételek mellett lehetetlen az áramkörben lévő kondenzátorokat egy ekvivalensre cserélni.

Az itt végbemenő folyamatok vizuális ábrázolását ennek az elektromos áramkörnek a mechanikus analógja adja, amely az ábrán látható. 163. Azonos rugók megegyeznek az azonos kapacitású kondenzátorok esetével. A kezdeti pillanatban a bal oldali rugó összenyomódik, ami feltöltött kondenzátornak felel meg, a jobb oldali pedig deformálatlan állapotban van, mivel a kondenzátortöltés analógja itt a rugó deformációjának mértéke. A középső helyzeten áthaladva mindkét rugó részben összenyomódik, jobb szélső helyzetben pedig a bal rugó deformálatlan, a jobb pedig ugyanúgy összenyomódik, mint a kezdeti pillanatban a bal, ami a teljes áramlásnak felel meg. töltés az egyik kondenzátortól a másikig. Bár a golyó egyensúlyi helyzete körül normális harmonikus rezgéseket szenved, az egyes rugók deformációját egy függvény írja le, amelynek középértéke nem nulla.

Ellentétben az egy kondenzátoros oszcillációs áramkörrel, ahol a rezgések során ismételten újratöltik, a vizsgált rendszerben az eredetileg feltöltött kondenzátor nem töltődik fel teljesen. Például, amikor a töltését nullára csökkentik, majd ismét visszaállítják ugyanarra a polaritásra. Egyébként ezek a rezgések nem különböznek a hagyományos áramkör harmonikus rezgéseitől. Ezen rezgések energiája megmarad, ha természetesen a tekercs és a csatlakozó vezetékek ellenállása elhanyagolható.

Magyarázza meg, hogy a mechanikai és elektromágneses energiákra vonatkozó (1) és (2) képletek összehasonlításából miért jutott arra a következtetésre, hogy a k merevség analógja, a tömeg analógja pedig az induktivitás, és nem fordítva.

Indokolja meg az áramkör elektromágneses rezgésének természetes frekvenciájának (4) kifejezésének levezetését a mechanikus rugós oszcillátor analógiájával.

Az áramkör harmonikus rezgéseit az amplitúdó, a frekvencia, a periódus, a rezgési fázis és a kezdeti fázis jellemzi. Mely mennyiségek határozzák meg magának az oszcillációs áramkörnek a tulajdonságait, és melyek függenek a rezgések gerjesztésének módjától?

Bizonyítsuk be, hogy az elektromos és a mágneses energiák átlagos értékei az áramkörben a természetes rezgések során egyenlőek egymással, és a rezgések teljes elektromágneses energiájának felét teszik ki.

Hogyan alkalmazzuk a kvázi-stacionárius jelenségek törvényeit egy elektromos áramkörben az áramkör harmonikus rezgésének (12) differenciálegyenletének levezetésére?

Milyen differenciálegyenletet elégít ki az LC áramkör árama?

Vezess le egyenletet a rezgési energia csökkenésének sebességére alacsony csillapítás mellett, ugyanúgy, mint a fordulatszámmal arányos súrlódású mechanikus oszcillátornál, és mutasd meg, hogy az oszcilláció periódusát jelentősen meghaladó időintervallumok esetén ez a csökkenés egy exponenciális törvény. Mit jelent az itt használt „alacsony csillapítás” kifejezés?

Mutassuk meg, hogy a (21) képlettel megadott függvény kielégíti a (16) egyenletet a és a bármely értékére.

Tekintsük az ábrán látható mechanikai rendszert. 163, és keresse meg a függést a bal oldali rugó deformációs idejétől és a tömeges test sebességétől.

Ellenállás nélküli áramkör, elkerülhetetlen veszteséggel. A fent vizsgált problémában a kondenzátorok töltéseinek nem teljesen szokásos kezdeti feltételei ellenére lehetséges volt az elektromos áramkörökre szokásos egyenleteket alkalmazni, mivel ott teljesültek a kvázi-stacionárius folyamatok feltételei. De az áramkörben, amelynek diagramja az ábrán látható. 164. ábrán látható diagrammal formális külső hasonlósággal. A 162. ábra szerint a kvázi-stacionárius feltételek nem teljesülnek, ha a kezdeti pillanatban az egyik kondenzátor fel van töltve, a másik pedig nem.

Beszéljük meg részletesebben a kvázi-stacionaritás feltételeinek megsértésének okait. Közvetlenül zárás után

Rizs. 164. Elektromos áramkör, amelynél nem teljesülnek a kvázi-stacionárius feltételek

kulcs, minden folyamat csak az egymáshoz kapcsolt kondenzátorokban megy végbe, mivel az induktivitáson keresztüli áramnövekedés viszonylag lassan megy végbe és eleinte az áram tekercsbe ágazása elhanyagolható.

A kulcs zárásakor gyors csillapított rezgések lépnek fel a kondenzátorokból és az azokat összekötő vezetékekből álló áramkörben. Az ilyen ingadozások periódusa nagyon rövid, mivel a csatlakozó vezetékek induktivitása alacsony. Ezen rezgések hatására a kondenzátorlapokon a töltés újraeloszlik, ami után a két kondenzátor egynek tekinthető. De ezt az első pillanatban nem lehet megtenni, mert a töltések újraeloszlásával együtt energia-újraeloszlás is megtörténik, melynek egy része hővé alakul.

A gyors rezgések csillapítása után rezgések lépnek fel a rendszerben, mint egy kondenzátoros áramkörben, amelynek kezdeti töltése megegyezik a kondenzátor kezdeti töltésével A fenti érvelés érvényességének feltétele a kicsinyesség az összekötő vezetékek induktivitásának a tekercs induktivitásához képest.

A vizsgált problémához hasonlóan itt is hasznos mechanikai analógiát találni. Ha egy masszív test mindkét oldalán két-két kondenzátornak megfelelő rugó volt elhelyezve, akkor itt annak az egyik oldalán kell elhelyezkedni, hogy az egyik rezgései a test álló helyzetében a másikra átvitelre kerüljenek. Két rugó helyett vehet egyet, de csak a kezdeti pillanatban kell nem egyenletesen deformálódni.

Fogjuk meg a rugót a közepénél, és nyújtsuk meg a bal felét egy bizonyos távolságra. A rugó második fele deformálatlan állapotban marad, így a kezdeti pillanatban a terhelés az egyensúlyi helyzetből egy távolsággal jobbra tolódik el. nyugalomban van. Ezután engedje el a rugót. Milyen jellemzőket eredményez az a tény, hogy a rugó kezdeti pillanatában nem egyenletesen deformálódik? mert ahogy nem nehéz elképzelni, a rugó „fele” merevsége egyenlő Ha a rugó tömege kicsi a golyó tömegéhez képest, akkor a rugó, mint kiterjesztett rendszer természetes lengéseinek gyakorisága sokkal nagyobb, mint a rugón lévő golyó lengéseinek gyakorisága. Ezek a „gyors” rezgések elhalnak egy idő alatt, amely a labda rezgési periódusának egy kis töredéke. A gyors rezgések csillapítása után a rugó feszültsége újraeloszlik, és a terhelés elmozdulása gyakorlatilag egyenlő marad, mivel a terhelésnek nincs ideje észrevehetően elmozdulni ezalatt. A rugó deformációja egyenletessé válik, és a rendszer energiája egyenlő lesz

Így a rugó gyors oszcillációinak szerepe arra csökkent, hogy a rendszer energiatartaléka a rugó egyenletes kezdeti deformációjának megfelelő értékre csökkent. Nyilvánvaló, hogy a rendszer további folyamatai nem térnek el az egyenletes kezdeti deformáció esetétől. A terhelés elmozdulásának az időtől való függését ugyanez a (36) képlet fejezi ki.

A vizsgált példában a gyors rezgések hatására a kezdeti mechanikai energiaellátás fele belső energiává (hővé) alakult. Nyilvánvaló, hogy ha a rugónak nem a felét, hanem egy tetszőleges részét vetjük alá kezdeti deformációnak, a kezdeti mechanikai energiaellátás bármely töredéke belső energiává alakítható. De minden esetben a rugó terhelésének lengési energiája megfelel a rugó azonos egyenletes kezdeti deformációjához szükséges energiatartaléknak.

Egy elektromos áramkörben a csillapított gyors rezgések hatására a feltöltött kondenzátor energiája részben Joule hő formájában szabadul fel a csatlakozó vezetékekben. Egyenlő kapacitások mellett ez a kezdeti energiatartalék fele lesz. A második fele viszonylag lassú elektromágneses rezgések energiája formájában marad meg egy tekercsből és két párhuzamosan kapcsolt C kondenzátorból álló áramkörben, és

Ebben a rendszerben tehát alapvetően elfogadhatatlan az olyan idealizálás, amelyben az oszcillációs energia disszipációját elhanyagolják. Ennek az az oka, hogy egy hasonló mechanikai rendszerben gyors oszcillációk lehetségesek anélkül, hogy az induktort vagy a masszív testet érintenék.

Oszcillációs áramkör nemlineáris elemekkel. A mechanikai rezgések vizsgálatakor azt láttuk, hogy a rezgések nem mindig harmonikusak. A harmonikus rezgések olyan lineáris rendszerek jellemző tulajdonsága, amelyekben

a helyreállító erő arányos az egyensúlyi helyzettől való eltéréssel, a potenciális energia pedig az eltérés négyzetével. A valódi mechanikai rendszerek általában nem rendelkeznek ezekkel a tulajdonságokkal, és a bennük lévő rezgések csak az egyensúlyi helyzettől való kis eltérések esetén tekinthetők harmonikusnak.

Egy áramkör elektromágneses oszcillációinál az a benyomásunk támadhat, hogy ideális rendszerekkel van dolgunk, amelyekben a rezgések szigorúan harmonikusak. Ez azonban csak addig igaz, amíg a kondenzátor kapacitása és a tekercs induktivitása állandónak tekinthető, azaz független a töltéstől és az áramerősségtől. A dielektrikummal ellátott kondenzátor és a magos tekercs szigorúan véve nemlineáris elemek. Ha egy kondenzátort ferroelektromos anyaggal töltenek meg, azaz olyan anyaggal, amelynek dielektromos állandója erősen függ az alkalmazott elektromos tértől, a kondenzátor kapacitása már nem tekinthető állandónak. Hasonlóképpen, a ferromágneses maggal rendelkező tekercs induktivitása az áramerősségtől függ, mivel a ferromágnesnek van mágneses telítettsége.

Ha a mechanikus oszcillációs rendszerekben a tömeg általában állandónak tekinthető, és a nemlinearitás csak a ható erő nemlineáris jellege miatt következik be, akkor az elektromágneses rezgőkörben a nemlinearitás mindkettő kondenzátor miatt keletkezhet (rugalmas rugó analógja). ) és egy induktor miatt (tömeganalóg).

Miért nem alkalmazható az az idealizálás, amelyben a rendszert konzervatívnak tekintik két párhuzamos kondenzátorral rendelkező rezgőkörre (164. ábra)?

Miért vezetnek a gyors rezgések az oszcillációs energia disszipációjához az ábrán látható áramkörben? ábrán látható két soros kondenzátoros áramkörben nem fordult elő. 162?

Milyen okok vezethetnek az áramkörben nem szinuszos elektromágneses oszcillációhoz?

Szabad elektromágneses rezgések Ezek a kondenzátor töltésének, a tekercs áramának, valamint az oszcillációs áramkör elektromos és mágneses mezőinek időszakos változásai, amelyek belső erők hatására lépnek fel.

Folyamatos elektromágneses rezgések

Elektromágneses rezgések gerjesztésére használják oszcillációs áramkör , amely egy sorba kapcsolt L induktorból és egy C kapacitású kondenzátorból áll (17.1. ábra).

Tekintsünk egy ideális áramkört, azaz olyan áramkört, amelynek ohmos ellenállása nulla (R=0). Az oszcilláció gerjesztéséhez ebben az áramkörben vagy bizonyos töltést kell adni a kondenzátorlapoknak, vagy áramot kell gerjeszteni az induktorban. Legyen a kezdeti pillanatban a kondenzátor U potenciálkülönbségre feltöltve (17.2. ábra, a), ezért van potenciális energiája
.Ebben az időpillanatban az áramerősség a tekercsben I = 0 . Az oszcillációs áramkör ezen állapota hasonló a matematikai inga állapotához, α szöggel eltérítve (17.3. ábra, a). Ekkor a tekercsben lévő áram I=0. Miután egy töltött kondenzátort csatlakoztatott a tekercshez, a kondenzátor töltései által létrehozott elektromos mező hatására az áramkörben lévő szabad elektronok elkezdenek mozogni a kondenzátor negatív töltésű lemezéről a pozitív töltésűre. A kondenzátor kisülni kezd, és az áramkörben növekvő áram jelenik meg. Ennek az áramnak a váltakozó mágneses tere elektromos örvényt hoz létre. Ez az elektromos mező az árammal ellentétes irányú lesz, ezért nem teszi lehetővé, hogy azonnal elérje maximális értékét. Az áramerősség fokozatosan növekszik. Amikor az áramkörben az erő eléri a maximumot, a kondenzátor töltése és a lemezek közötti feszültség nulla. Ez a t = π/4 periódus negyede után következik be. Ugyanakkor az energia e elektromos tér átalakul mágneses térenergiáváW e =1/2C U 2 0. Ebben a pillanatban annyi elektron kerül át rá a kondenzátor pozitív töltésű lapján, hogy negatív töltésük teljesen semlegesíti az ott jelenlévő ionok pozitív töltését. Az áramkörben lévő áram csökkenni kezd, és az általa létrehozott mágneses mező indukciója csökkenni kezd. A változó mágneses tér ismét elektromos örvényt generál, amely ezúttal az árammal azonos irányba fog irányulni. A mező által támogatott áram ugyanabba az irányba fog folyni, és fokozatosan újratölti a kondenzátort. Azonban ahogy a kondenzátoron felgyülemlik a töltés, saját elektromos tere egyre inkább gátolja az elektronok mozgását, és az áramerősség az áramkörben egyre kisebb lesz. Amikor az áram nullára csökken, a kondenzátor teljesen túl van töltve.

ábrán látható rendszerállapotok. 17.2 és 17.3, egymást követő időpillanatoknak felelnek meg T = 0; ;;És T.

Az áramkörben keletkező öninduktív emf egyenlő a kondenzátorlapokon lévő feszültséggel: ε = U

És

hinni
, kapunk

(17.1)

A (17.1) képlet hasonló a harmonikus rezgés differenciálegyenletéhez a mechanikában; az ő döntése lesz

q = q max sin(ω 0 t+φ 0) (17,2)

ahol q max a legnagyobb (kezdeti) töltés a kondenzátorlapokon, ω 0 az áramkör természetes rezgésének körfrekvenciája, φ 0 a kezdeti fázis.

Az elfogadott jelölés szerint
ahol

(17.3)

A (17.3) kifejezést hívjuk Thomson képlete és azt mutatja, hogy ha R=0, akkor az áramkörben fellépő elektromágneses rezgések periódusát csak az L induktivitás és a C kapacitás értékei határozzák meg.

A harmonikus törvény szerint nemcsak a kondenzátorlapok töltése változik, hanem az áramkör feszültsége és árama is:

ahol U m és I m a feszültség és az áram amplitúdója.

A (17.2), (17.4), (17.5) kifejezésekből az következik, hogy az áramkörben a töltés (feszültség) és az áram oszcillációi π/2-vel fáziseltolódnak. Következésképpen az áram azokban az időpillanatokban éri el a maximális értékét, amikor a kondenzátorlapokon a töltés (feszültség) nulla, és fordítva.

Egy kondenzátor feltöltésekor a lemezei között elektromos tér jelenik meg, melynek energiája

vagy

Amikor egy kondenzátort kisütünk az induktorra, mágneses tér keletkezik benne, amelynek energiája

Egy ideális áramkörben az elektromos tér maximális energiája megegyezik a mágneses tér maximális energiájával:

A feltöltött kondenzátor energiája a törvény szerint periodikusan változik

vagy

Tekintve, hogy
, kapunk

A szolenoid mágneses terének energiája a törvény szerint idővel változik

(17.6)

Figyelembe véve, hogy I m =q m ω 0, megkapjuk

(17.7)

Az oszcillációs kör elektromágneses terének összenergiája egyenlő

W = W e + W m = (17,8)

Egy ideális áramkörben a teljes energia megmarad, és az elektromágneses rezgések csillapítatlanok.

Csillapított elektromágneses rezgések

Egy igazi oszcillációs áramkör ohmos ellenállású, ezért a benne lévő rezgések csillapításra kerülnek. Ezzel az áramkörrel kapcsolatban az Ohm-törvényt a teljes áramkörre az alakba írjuk

(17.9)

Ennek az egyenlőségnek az átalakítása:

és a csere elvégzése:

És
,ahol β-csillapítási együtthatót kapunk

(10.17) – ez van csillapított elektromágneses rezgések differenciálegyenlete .

Az ilyen áramkörben a szabad rezgések folyamata már nem engedelmeskedik a harmonikus törvénynek. Minden rezgési periódusban az áramkörben tárolt elektromágneses energia egy része Joule hővé alakul, és az oszcillációk elhalványul(17.5. ábra). Kis ω ≈ ω 0 csillapítások esetén a differenciálegyenlet megoldása a következő alakú egyenlet lesz

(17.11)

Az elektromos áramkörök csillapított oszcillációi hasonlóak a rugó terhelésének csillapított mechanikai rezgéseihez viszkózus súrlódás esetén.

A logaritmikus csillapítás csökkenése egyenlő

(17.12)

Időintervallum
amely során a rezgések amplitúdója e ≈ 2,7-szeresére csökken, az ún. bomlási idő .

Az oszcillációs rendszer Q minőségi tényezője képlet határozza meg:

(17.13)

Egy RLC áramkör esetében a Q minőségi tényezőt a képlet fejezi ki

(17.14)

A rádiótechnikában használt elektromos áramkörök minőségi tényezője általában több tízes vagy akár százas nagyságrendű.