Számítsa ki az egyenesek közötti szög érintőjét online. A legegyszerűbb feladatok egy síkban lévő egyenessel

Szög térbeli egyenesek között az adatokkal párhuzamos tetszőleges ponton áthúzott két egyenes által alkotott szomszédos szögek bármelyikét fogjuk nevezni.

Adjunk meg két sort a térben:

Nyilvánvaló, hogy az egyenesek közötti φ szög az irányvektoraik és az közötti szögnek tekinthető. Mivel , akkor a vektorok közötti szög koszinuszának képletével kapjuk

Két egyenes párhuzamosságának és merőlegességének feltételei ekvivalensek irányvektoraik párhuzamosságának és merőlegességének feltételeivel és:

Két egyenes párhuzamos akkor és csak akkor, ha a megfelelő együtthatók arányosak, azaz. l 1 párhuzamos l 2 akkor és csak akkor, ha párhuzamos .

Két egyenes függőleges akkor és csak akkor, ha a megfelelő együtthatók szorzatainak összege nulla: .

U cél vonal és sík között

Legyen egyenes d- nem merőleges a θ síkra;
d′− egy egyenes vetülete d a θ síkra;
Az egyenesek közötti legkisebb szög dÉs d– hívni fogjuk szög az egyenes és a sík között.
Jelöljük φ=( d,θ)
Ha d⊥θ, akkor ( d,θ)=π/2

Oi→j→k→− derékszögű koordinátarendszer.
Sík egyenlet:

θ: Fejsze+Által+Cz+D=0

Feltételezzük, hogy az egyenest egy pont és egy irányvektor határozza meg: d[M 0,p→]
Vektor n→(A,B,C)⊥θ
Ezután meg kell találni a vektorok közötti szöget n→ és p→, jelöljük γ=( n→,p→).

Ha a γ szög<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Ha a szög γ>π/2, akkor a kívánt szög φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

Majd, szög az egyenes és a sík között képlettel lehet kiszámítani:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+Bp 2+Cp 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√p 21+p 22+p 23

29. kérdés. A másodfokú forma fogalma. Másodfokú formák jelhatárossága.

Másodfokú j (x 1, x 2, …, x n) n valós változó x 1, x 2, …, x n a forma összegének nevezzük
, (1)

Ahol a ij – néhány együtthatónak nevezett szám. Az általánosság elvesztése nélkül azt feltételezhetjük a ij = a ji.

A másodfokú formát ún érvényes, Ha a ij Î GR. Másodfokú mátrix együtthatóiból álló mátrixnak nevezzük. A másodfokú (1) alak az egyetlen szimmetrikus mátrixnak felel meg
Azaz A T = A. Következésképpen az (1) másodfokú alak j mátrix alakban írható ( X) = x T Ah, Hol x T = (X 1 X 2 … x n). (2)

És fordítva, minden szimmetrikus mátrix (2) egy egyedi másodfokú alaknak felel meg a változók jelöléséig.

A másodfokú forma rangja mátrixa rangjának nevezzük. A másodfokú formát ún nem degenerált, ha a mátrixa nem szinguláris A. (emlékezzünk rá, hogy a mátrix A nem degeneráltnak nevezzük, ha a determinánsa nem egyenlő nullával). Ellenkező esetben a másodfokú forma degenerált.

pozitív határozott(vagy szigorúan pozitív), ha

j ( X) > 0 , bárkinek X = (X 1 , X 2 , …, x n), kivéve X = (0, 0, …, 0).

Mátrix A pozitív határozott másodfokú j ( X) pozitív határozottnak is nevezik. Ezért egy pozitív határozott másodfokú forma egy egyedi pozitív határozott mátrixnak felel meg, és fordítva.

Az (1) másodfokú alakot ún negatívan definiált(vagy szigorúan negatív), ha

j ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), kivéve X = (0, 0, …, 0).

A fentiekhez hasonlóan a negatív határozott másodfokú mátrixot negatív határozottnak is nevezik.

Következésképpen a pozitív (negatív) határozott másodfokú j ( X) eléri a minimális (maximális) j ( X*) = 0 at X* = (0, 0, …, 0).

Vegyük észre, hogy a legtöbb másodfokú forma nem előjel-határozott, vagyis nem pozitív vagy nem negatív. Az ilyen másodfokú formák nemcsak a koordináta-rendszer origójában, hanem más pontokban is 0-ra fordulnak.

Amikor n> 2, speciális kritériumok szükségesek a másodfokú alak előjelének ellenőrzéséhez. Nézzük meg őket.

Nagyobb kiskorúak a másodfokú formákat minoroknak nevezzük:

vagyis ezek 1, 2, ... nagyságrendű kiskorúak, n mátrixok A, amely a bal felső sarokban található, ezek közül az utolsó egybeesik a mátrix determinánsával A.

Pozitív határozottsági kritérium (Sylvester kritérium)

X) = x T Ah pozitív határozott volt, szükséges és elégséges, hogy a mátrix összes nagyobb minora A pozitívak voltak, vagyis: M 1 > 0, M 2 > 0, …, M n > 0. Negatív bizonyosság kritériuma Annak érdekében, hogy a j ( X) = x T Ah negatív határozott volt, szükséges és elegendő, hogy páros rendű fő minorjai pozitívak, páratlan sorrendűek pedig negatívak legyenek, azaz: M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n

Ó-ó-ó-ó-ó... hát ez kemény, mintha egy mondatot olvasna fel magának =) A lazítás azonban később segít, főleg, hogy ma megvettem a megfelelő kiegészítőket. Ezért folytassuk az első szakaszt, remélem, hogy a cikk végére megtartom a vidám hangulatot.

Két egyenes egymáshoz viszonyított helyzete

Ez az a helyzet, amikor a közönség kórusban énekel. Két egyenes lehet:

1) egyezés;

2) párhuzamos legyen: ;

3) vagy egyetlen pontban metszi egymást: .

Segítség a babáknak : Kérjük, emlékezzen a matematikai metszéspontra, nagyon gyakran fog megjelenni. A jelölés azt jelenti, hogy az egyenes a pontban metszi az egyenest.

Hogyan határozható meg két vonal egymáshoz viszonyított helyzete?

Kezdjük az első esettel:

Két egyenes akkor és csak akkor esik egybe, ha a hozzájuk tartozó együtthatók arányosak, vagyis van egy olyan „lambda” szám, amelyre az egyenlőségek teljesülnek

Tekintsük az egyeneseket, és készítsünk három egyenletet a megfelelő együtthatókból: . Minden egyenletből az következik, hogy tehát ezek az egyenesek egybeesnek.

Valóban, ha az egyenlet összes együtthatója szorozzuk meg –1-gyel (előjelek változása), és az egyenlet összes együtthatójával 2-vel vágva ugyanazt az egyenletet kapod: .

A második eset, amikor a vonalak párhuzamosak:

Két egyenes akkor és csak akkor párhuzamos, ha a változók együtthatói arányosak: , De.

Példaként vegyünk két egyenest. Ellenőrizzük a változók megfelelő együtthatóinak arányosságát:

Ez azonban teljesen nyilvánvaló.

És a harmadik eset, amikor a vonalak metszik egymást:

Két egyenes akkor és csak akkor metszi egymást, ha a változók együtthatói NEM arányosak, azaz NINCS olyan „lambda”-érték, hogy az egyenlőségek teljesüljenek

Tehát az egyenesekhez egy rendszert hozunk létre:

Az első egyenletből az következik, hogy , a második egyenletből pedig: , ami azt jelenti a rendszer inkonzisztens(nincs megoldás). Így a változók együtthatói nem arányosak.

Következtetés: a vonalak metszik egymást

Gyakorlati problémáknál használhatja az imént tárgyalt megoldási sémát. Egyébként nagyon emlékeztet a vektorok kollinearitás-ellenőrzésére szolgáló algoritmusra, amit az órán megnéztünk A vektorok lineáris (függetlenségének) fogalma. A vektorok alapja. De van egy civilizáltabb csomagolás is:

1. példa

Nézze meg a vonalak egymáshoz viszonyított helyzetét:

Megoldás egyenesek irányítóvektorainak tanulmányozása alapján:

a) Az egyenletekből megtaláljuk az egyenesek irányvektorait: .

, ami azt jelenti, hogy a vektorok nem kollineárisak, és az egyenesek metszik egymást.

Minden esetre kirakok egy követ táblákkal a kereszteződésbe:

A többiek átugranak a kövön, és követik tovább, egyenesen Kascsejhez, a Halhatatlanhoz =)

b) Keresse meg az egyenesek irányvektorait:

A vonalak irányvektora megegyezik, ami azt jelenti, hogy párhuzamosak vagy egybeesnek. Itt nem kell a meghatározót számolni.

Nyilvánvaló, hogy az ismeretlenek együtthatói arányosak, és .

Nézzük meg, hogy igaz-e az egyenlőség:

Így,

c) Keresse meg az egyenesek irányvektorait:

Számítsuk ki a determinánst, amely ezeknek a vektoroknak a koordinátáiból áll:
, ezért az irányvektorok kollineárisak. A vonalak párhuzamosak vagy egybeesnek.

A „lambda” arányossági együttható jól látható közvetlenül a kollineáris irányvektorok arányából. Ez azonban maguknak az egyenletek együtthatóinak segítségével is megtalálható: .

Most nézzük meg, hogy az egyenlőség igaz-e. Mindkét ingyenes feltétel nulla, tehát:

A kapott érték kielégíti ezt az egyenletet (általában bármely szám kielégíti).

Így a vonalak egybeesnek.

Válasz:

Hamarosan megtanulja (vagy már megtanulta), hogy a szóban megvitatott problémát szó szerint, pillanatok alatt megoldja. Ebben a tekintetben nem látom értelmét, hogy bármit is ajánljak egy független megoldásért, jobb, ha egy másik fontos téglát rakunk a geometriai alapba:

Hogyan készítsünk egy adott vonallal párhuzamos egyenest?

Ha nem ismeri ezt a legegyszerűbb feladatot, a Rabló Nightingale szigorúan megbünteti.

2. példa

Az egyenest az egyenlet adja meg. Írj egyenletet a ponton átmenő párhuzamos egyenesre!

Megoldás: Jelöljük az ismeretlen sort a betűvel. Mit mond róla az állapot? Az egyenes átmegy a ponton. Ha pedig az egyenesek párhuzamosak, akkor nyilvánvaló, hogy a „tse” egyenes irányvektora a „de” egyenes megszerkesztésére is alkalmas.

Kivesszük az irányvektort az egyenletből:

Válasz:

A példa geometriája egyszerűnek tűnik:

Az analitikai tesztelés a következő lépésekből áll:

1) Ellenőrizzük, hogy az egyenesek azonos irányvektorral rendelkeznek-e (ha az egyenes egyenlete nincs megfelelően egyszerűsítve, akkor a vektorok kollineárisak lesznek).

2) Ellenőrizze, hogy a pont kielégíti-e a kapott egyenletet.

A legtöbb esetben az analitikus tesztelés könnyen elvégezhető szóban. Nézze meg a két egyenletet, és sokan gyorsan meghatározzák az egyenesek párhuzamosságát minden rajz nélkül.

A független megoldások példái ma kreatívak lesznek. Mert akkor is versenyeznie kell Baba Yagával, és ő, tudod, mindenféle találós kérdés szerelmese.

3. példa

Írjon egyenletet az if egyenessel párhuzamos ponton átmenő egyenesre

Van racionális és nem is annyira racionális módja a megoldásnak. A legrövidebb út a lecke végén van.

Kicsit dolgoztunk párhuzamos vonalakkal, és később visszatérünk rájuk. Az egybeeső vonalak esete kevéssé érdekes, ezért vegyünk egy olyan problémát, amely nagyon ismerős az iskolai tantervből:

Hogyan találjuk meg két egyenes metszéspontját?

Ha egyenes pontban metszi egymást, akkor a koordinátái a megoldás lineáris egyenletrendszerek

Hogyan találjuk meg a vonalak metszéspontját? Oldja meg a rendszert.

Tessék két ismeretlennel rendelkező két lineáris egyenletrendszer geometriai jelentése- ez két metsző (leggyakrabban) egyenes egy síkon.

4. példa

Keresse meg az egyenesek metszéspontját

Megoldás: A megoldásnak két módja van - grafikus és analitikus.

A grafikus módszer az, hogy egyszerűen megrajzoljuk a megadott vonalakat, és közvetlenül a rajzból megtudjuk a metszéspontot:

Itt van a lényeg: . Az ellenőrzéshez be kell cserélni a koordinátáit a vonal minden egyenletébe, és ott és ott is illeszkedniük kell. Más szóval, egy pont koordinátái a rendszer megoldása. Lényegében egy grafikus megoldást néztünk meg lineáris egyenletrendszerek két egyenlettel, két ismeretlennel.

A grafikus módszer természetesen nem rossz, de vannak észrevehető hátrányai. Nem, nem az a lényeg, hogy a hetedikesek döntsenek így, hanem az, hogy időbe telik egy helyes és PONTOS rajz elkészítése. Ráadásul néhány egyenest nem olyan egyszerű megépíteni, és maga a metszéspont is valahol a harmincadik birodalomban található a notebook lapon kívül.

Ezért célszerűbb az analitikus módszerrel megkeresni a metszéspontot. Oldjuk meg a rendszert:

A rendszer megoldásához az egyenletek tagonkénti összeadásának módszerét alkalmaztuk. A releváns készségek fejlesztéséhez vegyen leckét Hogyan lehet egyenletrendszert megoldani?

Válasz:

Az ellenőrzés triviális – a metszéspont koordinátáinak ki kell elégíteniük a rendszer minden egyenletét.

5. példa

Keresse meg az egyenesek metszéspontját, ha metszik egymást.

Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. A feladatot kényelmes több szakaszra osztani. Az állapot elemzése azt sugallja, hogy szükséges:
1) Írja fel az egyenes egyenletét!
2) Hozzon létre egy egyenes egyenletet!
3) Állapítsa meg a vonalak egymáshoz viszonyított helyzetét!
4) Ha az egyenesek metszik egymást, akkor keressük meg a metszéspontot.

A cselekvési algoritmus kidolgozása számos geometriai feladatra jellemző, erre fogok ismételten összpontosítani.

Teljes megoldás és válasz a lecke végén:

Még egy pár cipő sem volt elkopva, mielőtt a lecke második részéhez értünk:

Merőleges vonalak. Távolság egy ponttól egy vonalig.
Az egyenesek közötti szög

Kezdjük egy tipikus és nagyon fontos feladattal. Az első részben megtanultuk, hogyan kell ezzel párhuzamos egyenest építeni, most pedig a csirkecombokon lévő kunyhó 90 fokkal elfordul:

Hogyan készítsünk egy adott vonalra merőleges egyenest?

6. példa

Az egyenest az egyenlet adja meg. Írjon fel egy egyenletet, amely merőleges a ponton átmenő egyenesre!

Megoldás: Feltétel alapján ismert, hogy . Jó lenne megtalálni a vonal irányító vektorát. Mivel a vonalak merőlegesek, a trükk egyszerű:

Az egyenletből „eltávolítjuk” a normálvektort: ​​, amely az egyenes irányítóvektora lesz.

Állítsuk össze az egyenes egyenletét egy pont és egy irányvektor segítségével:

Válasz:

Bővítsük ki a geometriai vázlatot:

Hmmm... Narancssárga ég, narancssárga tenger, narancssárga teve.

Az oldat analitikai ellenőrzése:

1) Az egyenletekből kivesszük az irányvektorokat és a segítségével vektorok skaláris szorzata arra a következtetésre jutunk, hogy az egyenesek valóban merőlegesek: .

Mellesleg használhat normál vektorokat, ez még egyszerűbb.

2) Ellenőrizze, hogy a pont kielégíti-e a kapott egyenletet .

A teszt ismét könnyen elvégezhető szóban.

7. példa

Ha ismert az egyenlet, keresse meg a merőleges egyenesek metszéspontját! és időszak.

Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. A feladatnak több cselekvése is van, így célszerű pontról pontra megfogalmazni a megoldást.

Izgalmas utunk folytatódik:

Távolság ponttól vonalig

Egyenes folyósáv van előttünk, és az a feladatunk, hogy a legrövidebb úton jussunk el hozzá. Nincsenek akadályok, és a legoptimálisabb útvonal a merőleges mozgás lesz. Vagyis a pont és az egyenes távolsága a merőleges szakasz hossza.

A geometriában a távolságot hagyományosan a görög „rho” betűvel jelölik, például: – az „em” pont és a „de” egyenes közötti távolság.

Távolság ponttól vonalig képlettel fejezzük ki

8. példa

Keresse meg egy pont és egy egyenes távolságát

Megoldás: mindössze annyit kell tennie, hogy gondosan behelyettesíti a számokat a képletbe, és elvégzi a számításokat:

Válasz:

Készítsük el a rajzot:

A pont és az egyenes közötti távolság pontosan megegyezik a piros szakasz hossza. Ha kockás papírra rajzot készít 1 egységnyi léptékben. = 1 cm (2 cella), akkor a távolság közönséges vonalzóval mérhető.

Vegyünk egy másik feladatot ugyanazon a rajzon:

A feladat egy olyan pont koordinátáinak megkeresése, amely szimmetrikus a pontra az egyeneshez képest . Javaslom, hogy a lépéseket saját maga hajtsa végre, de felvázolok egy megoldási algoritmust köztes eredményekkel:

1) Keress egy egyenest, amely merőleges az egyenesre!

2) Keresse meg az egyenesek metszéspontját: .

Ebben a leckében mindkét műveletet részletesen tárgyaljuk.

3) A pont a szakasz felezőpontja. Ismerjük a középső és az egyik vég koordinátáit. Által egy szakasz felezőpontjának koordinátáinak képletei találunk.

Érdemes lenne ellenőrizni, hogy a távolság is 2,2 egység legyen.

Számítási nehézségek adódhatnak itt, de a toronyban nagy segítség a mikrokalkulátor, amely lehetővé teszi a közönséges törtek kiszámítását. Sokszor tanácsoltam már, és újra fogom ajánlani.

Hogyan lehet megtalálni a távolságot két párhuzamos egyenes között?

9. példa

Keresse meg a távolságot két párhuzamos egyenes között

Ez egy újabb példa arra, hogy döntsön egyedül. Adok egy kis tippet: ennek végtelen sokféle megoldása van. A lecke végén tájékoztató, de jobb, ha megpróbálod magad kitalálni, úgy gondolom, hogy a találékonyságod jól fejlődött.

Szög két egyenes között

Minden sarok egy karám:


A geometriában két egyenes közötti szöget a KISEBB szögnek vesszük, amiből automatikusan következik, hogy nem lehet tompa. Az ábrán a piros ív által jelzett szög nem tekinthető a metsző vonalak közötti szögnek. És a „zöld” szomszédja ill ellentétes orientációjú"málna" sarok.

Ha az egyenesek merőlegesek, akkor a 4 szög bármelyike ​​tekinthető köztük lévő szögnek.

Hogyan különböznek a szögek? Tájolás. Először is alapvetően fontos a szög „görgetési” iránya. Másodszor, egy negatív orientációjú szöget mínuszjellel írunk, például ha .

Miért mondtam ezt neked? Úgy tűnik, a szokásos szögfogalommal boldogulunk. Az a helyzet, hogy azok a képletek, amelyekkel szögeket keresünk, könnyen negatív eredményt eredményezhetnek, és ez nem érheti meglepetésként. A mínuszjelű szög sem rosszabb, és nagyon sajátos geometriai jelentéssel bír. A rajzon negatív szög esetén feltétlenül jelölje a tájolását nyíllal (óramutató járásával megegyező irányba).

Hogyan lehet megtalálni a szöget két egyenes között? Két munkaképlet létezik:

10. példa

Keresse meg a vonalak közötti szöget

MegoldásÉs 1. módszer

Tekintsünk két, általános formában egyenletekkel meghatározott egyenest:

Ha egyenes nem merőleges, Azt orientált A köztük lévő szög a következő képlettel számítható ki:

Nagyon figyeljünk a nevezőre – pontosan ez pont termék egyenesek irányító vektorai:

Ha , akkor a képlet nevezője nulla lesz, és a vektorok merőlegesek, az egyenesek pedig merőlegesek lesznek. Éppen ezért fenntartással éltek az egyenesek nem merőlegességével kapcsolatban a megfogalmazásban.

A fentiek alapján célszerű a megoldást két lépésben formalizálni:

1) Számítsuk ki az egyenesek irányvektorainak skaláris szorzatát:
, ami azt jelenti, hogy a vonalak nem merőlegesek.

2) Keresse meg az egyenesek közötti szöget a képlet segítségével:

Az inverz függvény segítségével könnyen megtalálhatja magát a szöget. Ebben az esetben az arctangens páratlanságát használjuk (lásd. Elemi függvények grafikonjai és tulajdonságai):

Válasz:

A válaszban megadjuk a pontos értéket, valamint egy hozzávetőleges értéket (lehetőleg fokban és radiánban is), számológéppel kiszámítva.

Hát mínusz, mínusz, nem nagy ügy. Íme egy geometriai ábra:

Nem meglepő, hogy a szög negatív orientációjúnak bizonyult, mert a feladatfelvetésben az első szám egy egyenes, és a szög „lecsavarása” pontosan ezzel kezdődött.

Ha valóban pozitív szöget szeretne kapni, akkor fel kell cserélnie a vonalakat, vagyis ki kell vennie az együtthatókat a második egyenletből , és vegyük az együtthatókat az első egyenletből. Röviden, egy közvetlenvel kell kezdenie .

Utasítás

Kérjük, vegye figyelembe

A trigonometrikus érintőfüggvény periódusa 180 fokkal egyenlő, ami azt jelenti, hogy az egyenesek lejtőszögei abszolút értékben nem haladhatják meg ezt az értéket.

Hasznos tanácsok

Ha a szögegyütthatók egyenlőek egymással, akkor az ilyen egyenesek közötti szög 0, mivel az ilyen egyenesek vagy egybeesnek, vagy párhuzamosak.

A metsző egyenesek közötti szög értékének meghatározásához mindkét egyenest (vagy az egyiket) új pozícióba kell mozgatni párhuzamos fordítási módszerrel, amíg metszik egymást. Ezt követően meg kell találnia a kapott metszővonalak közötti szöget.

Szükséged lesz

• Vonalzó, derékszögű háromszög, ceruza, szögmérő.

Utasítás

Tehát legyen adott a V = (a, b, c) vektor és az A x + B y + C z = 0 sík, ahol A, B és C a normál N koordinátái. Ekkor a szög koszinusza α a V és N vektorok között egyenlő: cos α = (a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²)).

A szög fokban vagy radiánban való kiszámításához a kapott kifejezésből ki kell számítanunk a koszinuszra fordított függvényt, pl. arccosine:α = arscos ((a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²))).

Példa: talál sarok között vektor(5, -3, 8) és repülőgép, amelyet a 2 x – 5 y + 3 z = 0 általános egyenlet ad meg. Megoldás: írjuk fel az N = (2, -5, 3) sík normálvektorának koordinátáit. Helyettesítse be az összes ismert értéket a megadott képletbe: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Videó a témáról

Az az egyenes, amelynek egy közös pontja van a körrel, érinti a kört. Az érintő másik jellemzője, hogy mindig merőleges az érintkezési pontra húzott sugárra, vagyis az érintő és a sugár egy egyenest alkot sarok. Ha egy AB és AC kör két érintőjét egy A pontból húzzuk, akkor ezek mindig egyenlőek egymással. Az érintők közötti szög meghatározása ( sarok ABC) a Pitagorasz-tétel segítségével készült.

Utasítás

A szög meghatározásához ismerni kell az OB és OS kör sugarát, valamint az érintő kezdőpontjának távolságát a kör középpontjától - O. Tehát az ABO és ACO szögek egyenlőek, az OB sugár: például 10 cm, és az AO kör középpontjának távolsága 15 cm Határozza meg az érintő hosszát a Pitagorasz-tétel alapján: AB = AO2 – OB2 négyzetgyöke vagy 152 – 102 = 225 –. 100 = 125;

A. Legyen két egyenes. Ezek az egyenesek, amint azt az 1. fejezetben jeleztük, különböző pozitív és negatív szögeket alkotnak, amelyek lehetnek hegyesek vagy tompaszögek. Ha ismerjük az egyik szöget, könnyen találunk másikat.

Egyébként mindezen szögek esetében az érintő számértéke ugyanaz, a különbség csak az előjelben lehet

Vonalegyenletek. A számok az első és a második egyenes irányvektorának vetületei. A vektorok közötti szög egyenlő az egyenesek által alkotott szögek egyikével. Ezért a probléma a vektorok közötti szög meghatározásában merül fel

Az egyszerűség kedvéért egyetérthetünk abban, hogy két egyenes közötti szöget hegyes pozitív szögnek kell érteni (mint például az 53. ábrán).

Ekkor ennek a szögnek az érintője mindig pozitív lesz. Így, ha az (1) képlet jobb oldalán mínusz jel van, akkor azt el kell vetnünk, azaz csak az abszolút értéket kell mentenünk.

Példa. Határozza meg az egyenesek közötti szöget!

Az (1) képlet szerint megvan

Vel. Ha meg van jelölve, hogy a szög melyik oldala a kezdete és melyik a vége, akkor a szög irányát mindig az óramutató járásával ellentétes irányba számolva az (1) képletből még valamit kivonhatunk. Amint az az ábrából könnyen látható. Az 53. ábrán az (1) képlet jobb oldalán kapott előjel jelzi, hogy a második egyenes milyen szöget - hegyes vagy tompaszögű - alkot az elsővel.

(Valóban, az 53. ábrán azt látjuk, hogy az első és a második irányvektor közötti szög vagy egyenlő az egyenesek közötti kívánt szöggel, vagy ±180°-kal eltér attól.)

d. Ha az egyenesek párhuzamosak, akkor az irányvektoraik párhuzamosak Két vektor párhuzamosságának feltételét alkalmazva kapjuk!

Ez szükséges és elégséges feltétele két egyenes párhuzamosságának.

Példa. Közvetlen

párhuzamosak, mert

e. Ha az egyenesek merőlegesek, akkor az irányvektoraik is merőlegesek. Két vektor merőlegességi feltételét alkalmazva megkapjuk két egyenes merőlegességi feltételét, nevezetesen

Példa. Közvetlen

merőlegesek, mivel

A párhuzamosság és a merőlegesség feltételeivel kapcsolatban a következő két feladatot fogjuk megoldani.

f. Rajzolj egy egyenest az adott egyenessel párhuzamos ponton keresztül

A megoldást így hajtják végre. Mivel a kívánt egyenes párhuzamos ezzel, ezért irányvektorának ugyanazt vehetjük, mint az adott egyenesé, azaz egy A és B vetületű vektort. Ekkor a kívánt egyenes egyenlete be lesz írva a nyomtatvány (1. §)

Példa. Az egyenessel párhuzamos (1; 3) ponton átmenő egyenes egyenlete

lesz következő!

g. Rajzoljon egy egyenest egy ponton keresztül, amely merőleges az adott egyenesre

Itt már nem alkalmas az A és vetületű vektort vezető vektornak venni, hanem a rá merőleges vektort kell venni. Ennek a vektornak a vetületeit ezért mindkét vektor merőlegességének feltétele szerint kell kiválasztani, azaz a feltételnek megfelelően

Ez a feltétel számtalan módon teljesíthető, hiszen itt van egy egyenlet két ismeretlennel

Példa. A (-7; 2) ponton átmenő egyenes egyenlete egy merőleges egyenesben

a következő lesz (a második képlet szerint)!

h. Abban az esetben, ha az egyeneseket alakegyenletek adják meg

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete