A Fehérorosz Köztársaság Oktatási Minisztériuma

Oktatási intézmény

„A Gomel Állami Egyetemről nevezték el. F. Skorina"

Matematikai Kar

MPM osztály

A kifejezések azonos átalakítása és a tanulók végrehajtásának tanítási módszerei

Végrehajtó:

Diák Starodubova A.Yu.

Tudományos témavezető:

Folypát. fizika és matematika Tudományok, egyetemi docens Lebedeva M.T.

Gomel 2007

Bevezetés

1 Az átalakulások főbb típusai és vizsgálatuk szakaszai. A transzformációk használatának elsajátításának szakaszai

Következtetés

Irodalom

Bevezetés

A kifejezések és képletek legegyszerűbb átalakításait az aritmetikai műveletek tulajdonságai alapján az általános iskolában, valamint az 5. és 6. osztályban végezzük. A transzformációk végrehajtásához szükséges készségek és képességek kialakítása algebra tanfolyamon történik. Ennek oka egyrészt az elvégzendő átalakítások számának és változatosságának meredek növekedése, másrészt az azokat igazoló, az alkalmazhatóság feltételeit tisztázó tevékenységek bonyolultsága, az identitás, az azonos átalakulás általánosított fogalmainak azonosítása és tanulmányozása, ekvivalens transzformáció.

1. Az átalakulások főbb típusai és vizsgálatuk szakaszai. A transzformációk használatának elsajátításának szakaszai

1. Az algebra kezdetei

A transzformációk osztatlan rendszerét használják, amelyet a képlet egyik vagy mindkét részén végrehajtandó műveletek szabályai képviselnek. A cél az egyszerű egyenletek megoldására, a függvényeket definiáló képletek egyszerűsítésére, valamint a cselekvések tulajdonságain alapuló számítások racionális végrehajtására vonatkozó gördülékeny megoldás elérése.

Tipikus példák:

Egyenletek megoldása:

A) ; b) ; V) .

Azonos transzformáció (a); egyenértékű és azonos (b).

2. Sajátos transzformációs típusok alkalmazásához szükséges készségek kialakítása

Következtetések: rövidített szorzóképletek; hatványozáshoz kapcsolódó transzformációk; az elemi függvények különféle osztályaihoz kapcsolódó transzformációk.

Transzformációk integrált rendszerének szervezése (szintézis)

A cél egy rugalmas és hatékony apparátus létrehozása, amely alkalmas különféle oktatási feladatok megoldására. Az ebbe a szakaszba való átmenet a kurzus utolsó megismétlése során történik a már ismert, részenként tanult anyag megértése során bizonyos típusú transzformációkhoz, a trigonometrikus kifejezések transzformációi hozzáadódnak a korábban vizsgált típusokhoz. Mindezeket a transzformációkat nevezhetjük „algebrai” transzformációknak, amelyek a korlátokat tartalmazó kifejezések differenciálási és integrálási szabályain alapulnak. E típus különbsége annak a halmaznak a természetében rejlik, amelyen az identitások (bizonyos függvényhalmazok) változói átfutnak.

A vizsgált identitások két csoportra oszthatók:

I – a rövidített szorzás kommutatív gyűrűben érvényes azonosságai és azonosságok

vásár a terepen.

II – az aritmetikai műveleteket és az alapvető elemi függvényeket összekötő azonosságok.

2 A feladatrendszer felépítésének sajátosságai az identitástranszformációk tanulmányozása során

A feladatrendszer szervezésének fő elve az egyszerűtől a bonyolultig történő bemutatás.

Gyakorlati ciklus– a tanulás több aspektusának és az anyag elrendezésének technikáinak gyakorlati sorozatba történő kombinálása. Az identitástranszformációk tanulmányozása során egy-egy identitás vizsgálatához gyakorlati ciklus társul, amely köré más, vele természetes kapcsolatban álló identitások csoportosulnak. A ciklus a vezetőivel együtt feladatokat, amely megköveteli a kérdéses identitás alkalmazhatóságának elismerését. A vizsgált identitás különféle numerikus tartományokra vonatkozó számítások elvégzésére szolgál. Az egyes ciklusok feladatai két csoportra oszlanak. TO első Ide tartoznak az identitás első megismerése során végzett feladatok. Oktatási anyagként szolgálnak több egymást követő órán, amelyeket egy téma köt össze.

Második csoport gyakorlatok összekapcsolják a vizsgált identitást különféle alkalmazásokkal. Ez a csoport nem alkot kompozíciós egységet - a gyakorlatok itt szétszórva vannak különböző témákban.

A leírt ciklusstruktúrák a konkrét transzformációk alkalmazásához szükséges készségek fejlesztésének szakaszára vonatkoznak.

A szintézis szakaszában a ciklusok változnak, a feladatcsoportok a különféle identitásokhoz kapcsolódó ciklusok bonyolítása, összevonása irányában kombinálódnak, ami segít megnövelni a cselekvések szerepét egy adott identitás alkalmazhatóságának felismerésében.

Példa.

Az identitás feladatköre:

I. feladatcsoport:

a) termék formájában van jelen:

b) Ellenőrizze az egyenlőséget:

c) Bontsa ki a zárójelet a kifejezésben:

.

d) Számítsa ki:

e) Tényező:

f) egyszerűsítse a kifejezést:

.

A hallgatók most ismerkedtek meg az identitás megfogalmazásával, identitás formájában való megírásával és bizonyításával.

Az a) feladat a vizsgált identitás szerkezetének rögzítésével, numerikus halmazokkal való kapcsolat kialakításával (az identitás és a transzformálandó kifejezés jelszerkezetének összehasonlítása; betű helyettesítése számmal az azonosságban) kapcsolódik. Az utolsó példában még le kell redukálnunk a vizsgált formára. A következő példákban (e és g) az identitás alkalmazott szerepe és a jelszerkezet bonyolultsága okozta bonyodalmat.

A b) típusú feladatok a helyettesítési képességek fejlesztését célozzák on . A c) feladat szerepe hasonló.

Példák a d) típusra, amelyben az átalakítás egyik irányát kell kiválasztani, teljessé teszik ennek az elképzelésnek a kidolgozását.

Az I. csoport feladatai az identitás szerkezetének elsajátítására, a helyettesítés működésére a legegyszerűbb, alapvetően legfontosabb esetekben, valamint az identitás által végrehajtott átalakulások visszafordíthatóságának gondolatára irányulnak. Nagyon fontos az identitás különböző aspektusait mutató nyelvi eszközök gazdagítása is. A feladatok szövegei ezekről a szempontokról adnak képet.

II feladatcsoport.

g) Az azonosságot használva faktorozza a polinomot.

h) Szüntesse meg az irracionalitást a tört nevezőjében.

i) Bizonyítsuk be, hogy ha páratlan szám, akkor osztható 4-gyel.

j) A függvényt egy analitikus kifejezés adja meg

.

Szabaduljon meg a modulusjeltől, ha két esetet vesz figyelembe: , .

k) Oldja meg az egyenletet! .

Ezek a feladatok ennek a sajátos identitásnak a sajátosságainak lehető legteljesebb kihasználását és figyelembevételét feltételezik a vizsgált identitás négyzetek különbségére való felhasználásában. A cél az identitás megértésének elmélyítése azáltal, hogy különféle helyzetekben különféle alkalmazásokat mérlegelünk, kombinálva a matematika tanfolyam egyéb témáihoz kapcsolódó anyagok felhasználásával.

vagy .

Az elemi függvények azonosságához kapcsolódó feladatciklusok jellemzői:

1) funkcionális anyag alapján tanulmányozzák őket;

2) az első csoport identitásai később jelennek meg, és a már kifejlesztett identitás-transzformációs készségekkel tanulmányozzák őket.

A ciklus első feladatcsoportjának tartalmaznia kell az új numerikus területek és a racionális számok eredeti területe közötti kapcsolatok létrehozására szolgáló feladatokat.

Példa.

Számítsa ki:

;

.

Az ilyen feladatok célja a rekordok jellemzőinek elsajátítása, beleértve az új műveletek és funkciók szimbólumait, valamint a matematikai beszédkészség fejlesztését.

Az elemi függvényekhez kapcsolódó identitástranszformációk használatának jelentős része irracionális és transzcendentális egyenletek megoldására esik. A lépések sorrendje:

a) keresse meg azt a φ függvényt, amelyre az adott f(x)=0 egyenlet így ábrázolható:

b) helyettesítsd be y=φ(x) és oldd meg az egyenletet

c) oldja meg a φ(x)=y k egyenleteket, ahol y k az F(y)=0 egyenlet gyökhalmaza.

A leírt módszer alkalmazásakor a b) lépést gyakran implicit módon hajtják végre, anélkül, hogy φ(x) jelölést vezetnénk be. Emellett a tanulók gyakran a válaszkereséshez vezető különféle utak közül azt választják, amelyik gyorsabban és könnyebben vezet az algebrai egyenlethez.

Példa. Oldja meg a 4 x -3*2=0 egyenletet!

2) (2 2) x -3*2 x =0 (a lépés)

(2 x) 2-3*2 x =0; 2 x (2 x -3) = 0; 2 x -3=0. (b lépés)

Példa. Oldja meg az egyenletet:

a) 2 2x -3*2 x +2=0;

b) 2 x -3*2 x -4=0;

c) 2 2x -3*2 x +1=0.

(Független megoldást javasol.)

Transzcendentális egyenletek megoldásához kapcsolódó feladatok ciklusokba sorolása, beleértve az exponenciális függvényt is:

1) olyan egyenletek, amelyek a x =y 0 alakú egyenletekre redukálódnak, és egyszerű, általános válaszuk van:

2) olyan egyenletek, amelyek a x = a k alakú egyenletekre redukálódnak, ahol k egész szám, vagy a x = b, ahol b≤0.

3) olyan egyenletek, amelyek a x =y 0 formájú egyenletekre redukálódnak, és explicit elemzést igényelnek arról, hogy milyen formában az y 0 szám kifejezetten fel van írva.

Azok a feladatok, amelyekben identitástranszformációkat használnak gráfok készítésére, miközben leegyszerűsítik a függvényeket meghatározó képleteket, nagy előnyökkel járnak.

a) Ábrázolja az y= függvényt;

b) Oldja meg az lgx+lg(x-3)=1 egyenletet!

c) melyik halmazon van a log(x-5)+ log(x+5)= log(x 2 -25) képlet azonosság?

Az identitástranszformációk használata a számításokban (Journal of Mathematics at School, 1983. 4. szám, 45. o.)

1. számú feladat. A függvényt az y=0,3x 2 +4,64x-6 képlet adja meg. Keresse meg a függvény értékeit x=1,2-nél

y(1,2)=0.3*1.2 2 +4.64*1.2-6=1.2(0.3*1.2+4.64)-6=1.2(0.36+4.64)-6=1.2*5-6=0.

2. feladat. Számítsd ki egy derékszögű háromszög egyik lábának hosszát, ha a befogója 3,6 cm, a másik pedig 2,16 cm!

3. feladat. Mekkora egy téglalap alakú telek területe, amelynek méretei a) 0,64 m és 6,25 m; b) 99,8 m és 2,6 m?

a)0,64*6,25=0,8 2 *2,5 2 =(0,8*2,5) 2;

b)99,8*2,6=(100-0,2)2,6=100*2,6-0,2*2,6=260-0,52.

Ezek a példák lehetővé teszik az identitástranszformációk gyakorlati alkalmazásának azonosítását. A hallgatónak meg kell ismerkednie az átalakítás megvalósíthatóságának feltételeivel (lásd az ábrákat).

-

polinom képe, ahol bármely polinom beleillik a kerek kontúrokba (1. diagram).

-

adott a feltétele annak, hogy egy monom szorzata és egy négyzetkülönbséggé alakítását lehetővé tevő kifejezés megvalósítható-e. (2. séma)

-

itt a sraffozás egyenlő monomokat jelent, és egy olyan kifejezést kapunk, amely négyzetek különbségévé konvertálható (3. séma).

-

egy közös tényezőt lehetővé tevő kifejezés.

A tanulók állapotfelismerési készségei a következő példák segítségével fejleszthetők:

Az alábbi kifejezések közül melyiket lehet átalakítani, ha a közös tényezőt zárójelekből kivesszük:

2)

3) 0,7a2 +0,2b2;

5) 6,3*0,4+3,4*6,3;

6) 2x2 +3x2 +5y 2;

7) 0,21+0,22+0,23.

A gyakorlatban végzett számítások többsége nem felel meg a kielégíthetőség feltételeinek, ezért a tanulóknak szükségük van arra, hogy azokat olyan formára redukálják, amely lehetővé teszi a transzformációk kiszámítását. Ebben az esetben a következő feladatok megfelelőek:

amikor a közös tényezőt zárójelből kivesszük:

konvertálja ezt a kifejezést, ha lehetséges, a 4. diagramon látható kifejezéssé:

4) 2a*a 2*a 2;

5) 2n 4 +3n 6 + n 9 ;

8) 15ab 2 +5a 2 b;

10) 12,4*-1,24*0,7;

11) 4,9*3,5+1,7*10,5;

12) 10,8 2 -108;

13)

14) 5*2 2 +7*2 3 -11*2 4 ;

15) 2*3 4 -3*2 4 +6;

18) 3,2/0,7-1,8*

Az „azonos transzformáció” fogalmának kialakításakor emlékezni kell arra, hogy ez nem csak azt jelenti, hogy az adott és az átalakítás eredményeként kapott kifejezés azonos értéket vesz fel a benne szereplő betűk bármely értékére, hanem azt is, hogy az azonos transzformáció során az egyik számítási módot meghatározó kifejezésről áttérünk az azonos érték számításának másik módját meghatározó kifejezésre.

Az 5. séma (egy monom és egy polinom szorzatának átalakításának szabálya) példákkal illusztrálható

0,5a(b+c) vagy 3,8(0,7+).

Gyakorlatok, amelyek megtanulják, hogyan lehet egy közös tényezőt kivenni a zárójelekből:

Számítsa ki a kifejezés értékét:

a) 4,59*0,25+1,27*0,25+2,3-0,25;

b) a+bc a=0,96-nál; b = 4,8; c=9,8.

c) a(a+c)-c(a+b), ahol a=1,4; b = 2,8; c=5,2.

Illusztráljuk példákkal a számítási és identitástranszformációs készségek kialakulását (Journal of Mathematics at School, 1984. 5. szám, 30. o.)

1) a készségek és képességek gyorsabban sajátíthatók el és hosszabb ideig megmaradnak, ha kialakulásuk tudatos alapon történik (a tudat didaktikai elve).

1) Megfogalmazhat egy szabályt a hasonló nevezőt tartalmazó törtek összeadására, vagy először konkrét példák segítségével gondolhatja át a hasonló részesedések hozzáadásának lényegét.

2) Amikor a közös tényezőt zárójelből vesszük figyelembe, fontos, hogy ezt a közös tényezőt lássuk, majd alkalmazzuk az elosztási törvényt. Az első gyakorlatok végrehajtásakor célszerű a polinom minden tagját szorzatként felírni, amelynek egyik tényezője minden tagban közös:

3a 3 -15a 2 b+5ab 2 = a3a 2 -a15ab+a5b 2 .

Ez különösen akkor hasznos, ha egy polinom egyik monomiját kivesszük a zárójelekből:

II. Első szakasz készségképzés – egy készség elsajátítása (a gyakorlatokat részletes magyarázattal és megjegyzésekkel végezzük)

(először a tábla kérdése megoldódik)

Második szakasz– a készség automatizálásának szakasza néhány köztes művelet kiiktatásával

III. A képességek erőssége tartalmilag és formailag is változatos példák megoldásával érhető el.

Téma: „A közös tényezőt zárójelbe tenni.”

1. Írja fel a hiányzó tényezőt a polinom helyett:

2. Tényezősítse úgy, hogy a zárójelek előtt egy negatív együtthatójú monom legyen:

3. Tényező úgy, hogy a zárójelben lévő polinomnak egész együtthatója legyen:

4. Oldja meg az egyenletet:

IV. A készségfejlesztés akkor a leghatékonyabb, ha néhány közbenső számítást vagy átalakítást szóban hajtanak végre.

(orálisan);

V. A fejlesztendő készségek, képességek a tanulók korábban kialakult tudás-, készség- és képességrendszerének részét kell, hogy képezzék.

Például, amikor a polinomok rövidített szorzási képletekkel való faktorálását tanítja, a következő gyakorlatokat ajánljuk fel:

Tényezőkre bont:

VI. A számítások és transzformációk racionális végrehajtásának szükségessége.

V) egyszerűsítsd a kifejezést:

A racionalitás a zárójelek kinyitásában rejlik, mert

VII. Kitevőket tartalmazó kifejezések konvertálása.

No. 1011 (Alg.9) Egyszerűsítse a kifejezést:

No. 1012 (Alg.9) Távolítsa el a szorzót a gyökérjel alól:

No. 1013 (Alg.9) Írjon be egy tényezőt a gyökérjel alá:

No. 1014 (Alg.9) Egyszerűsítse a kifejezést:

Minden példában először hajtsa végre a faktorizálást vagy a közös tényező kivonását, vagy „lásd” a megfelelő redukciós képletet.

No. 1015 (Alg.9) Csökkentse a törtet:

Sok diáknak nehézséget okoz a gyököket tartalmazó kifejezések átalakítása, különösen az egyenlőség tanulmányozása során:

Ezért vagy írja le részletesen az űrlap kifejezéseit, vagy vagy racionális kitevővel menjen fokra.

No. 1018 (Alg.9) Keresse meg a kifejezés értékét:

No. 1019 (Alg.9) Egyszerűsítse a kifejezést:

2.285 (Skanavi) A kifejezés egyszerűsítése

majd ábrázoljuk a függvényt y Mert

No. 2.299 (Skanavi) Ellenőrizze az egyenlőség érvényességét:

A fokozatot tartalmazó kifejezések transzformációja a polinomok azonos transzformációinak vizsgálata során megszerzett készségek és képességek általánosítása.

No. 2.320 (Skanavi) Egyszerűsítse a kifejezést:

Az Algebra 7 kurzus a következő meghatározásokat tartalmazza.

Def. Két olyan kifejezést, amelyeknek a megfelelő értéke megegyezik a változók értékével, azonosnak mondjuk.

Def. Az egyenlőség a nevezett változók bármely értékére igaz. identitás.

No. 94 (Alg.7) Az egyenlőség:

a)

c)

d)

Leírás definíció: Egy kifejezés lecserélését egy másik, azonos kifejezéssel azonos transzformációnak vagy egyszerűen egy kifejezés transzformációjának nevezzük. A változókkal rendelkező kifejezések azonos transzformációit a számokkal végzett műveletek tulajdonságai alapján hajtjuk végre.

sz. (Alg.7) A kifejezések között

megtalálni azokat, amelyek azonosak.

Téma: „Kifejezések azonos transzformációi” (kérdéstechnika)

Az „Algebra-7” első témája - „Kifejezések és transzformációik” segít az 5-6. osztályban megszerzett számítási készségek megszilárdításában, a kifejezések transzformációival és az egyenletek megoldásaival kapcsolatos információk rendszerezésében és általánosításában.

A numerikus és betűs kifejezések jelentésének megtalálása lehetővé teszi, hogy a tanulókkal megismételjék a racionális számokkal való működés szabályait. A racionális számokkal való aritmetikai műveletek elvégzésének képessége alapvető az egész algebrai kurzus számára.

A kifejezések átalakításánál a formális és a működési készségek ugyanazon a szinten maradnak, mint az 5-6.

Azonban itt a hallgatók új szintre emelkednek az elmélet elsajátításában. Bevezetésre kerülnek az „azonosan egyenlő kifejezések”, „identitás”, „kifejezések azonos transzformációi” fogalmak, amelyek tartalma folyamatosan feltárul és elmélyül a különböző algebrai kifejezések transzformációinak tanulmányozása során. Hangsúlyozzuk, hogy az azonosságtranszformációk alapja a számokkal végzett műveletek tulajdonságai.

A „Polinomok” témakör tanulmányozása során kialakulnak az algebrai kifejezések azonos transzformációinak formális műveleti készségei. A rövidített szorzási képletek hozzájárulnak az egész kifejezések azonos transzformációinak végrehajtásának további folyamatához, a polinomok rövidített szorzására és faktorizálására vonatkozó képletek alkalmazásának képességét nem csak az egész kifejezések transzformálásánál használják, hanem a törtekkel, gyökekkel végzett műveleteknél is; , racionális kitevővel rendelkező hatványok .

A 8. évfolyamon az identitástranszformáció elsajátított készségeit algebrai törtekkel, négyzetgyökökkel és egész kitevős hatványokat tartalmazó kifejezésekkel gyakorolják.

A jövőben az identitástranszformációk technikái tükröződnek a racionális kitevővel rendelkező fokot tartalmazó kifejezésekben.

Az azonos transzformációk egy speciális csoportját a trigonometrikus kifejezések és a logaritmikus kifejezések alkotják.

A 7-9. évfolyamon az algebra tanfolyam kötelező tanulási eredményei a következők:

1) egész kifejezések azonosságtranszformációi

a) nyitó és körülzáró konzolok;

b) hasonló tagok hozása;

c) polinomok összeadása, kivonása és szorzása;

d) polinomok faktorálása a közös tényező zárójelekből és rövidített szorzóképletekből való kitételével;

e) másodfokú trinom faktorizálása.

„Matematika az iskolában” (B.U.M.) 110. o

2) a racionális kifejezések azonos transzformációi: a törtek összeadása, kivonása, szorzása és osztása, valamint a felsorolt ​​készségek alkalmazása egyszerű kombinált transzformációk végrehajtása során [p. 111]

3) a tanulóknak képesnek kell lenniük fokozatokat és gyököket tartalmazó egyszerű kifejezések transzformációira. (111-112. o.)

Figyelembe vették a főbb problématípusokat, amelyek megoldási képessége lehetővé teszi, hogy a tanuló pozitív osztályzatot kapjon.

Az identitástranszformációk tanulmányozásának módszertanának egyik legfontosabb szempontja az, hogy a hallgató milyen célokat dolgozzon ki az identitástranszformációk végrehajtására.

1) - a kifejezés számértékének egyszerűsítése

2) az átalakítások közül melyiket kell végrehajtani: (1) vagy (2) Ezeknek a lehetőségeknek az elemzése motiváció (lehetőleg (1), mivel a (2) pontban a meghatározás köre leszűkült)

3) Oldja meg az egyenletet:

Faktorizálás egyenletek megoldásánál.

4) Számolja ki:

Alkalmazzuk a rövidített szorzási képletet:

(101-1) (101+1)=100102=102000

5) Keresse meg a kifejezés értékét:

Az érték meghatározásához minden törtet megszoroz a konjugátumával:

6) Ábrázolja a függvényt:

Válasszuk ki a teljes részt: .

Az identitástranszformációk végrehajtása során fellépő hibák megelőzése a megvalósításuk változatos példáival érhető el. Ilyenkor „kis” technikákat gyakorolnak, amelyek komponensként egy nagyobb átalakítási folyamatba kerülnek be.

Például:

Az egyenlet irányaitól függően több probléma is szóba jöhet: polinomok szorzása jobbról balra; balról jobbra - faktorizáció. A bal oldal a jobb oldali tényezők egyikének többszöröse stb.

A példák variálása mellett használhatja bocsánat az identitások és a számszerű egyenlőségek között.

A következő technika az identitások magyarázata.

A tanulók érdeklődésének fokozása magában foglalhatja a problémák megoldásának különböző módjait.

Az identitás-transzformációk tanulmányozásával kapcsolatos leckék érdekesebbek lesznek, ha ezeknek szenteled őket megoldást keres a problémára .

Például: 1) csökkentse a törtet:

3) bizonyítsd be a „komplex gyök” képletét

Fontolja meg:

Alakítsuk át az egyenlőség jobb oldalát:

-

konjugált kifejezések összege. Konjugátumukkal szorozhatók és oszthatók, de egy ilyen művelet olyan törthez vezetne, amelynek a nevezője a gyökök különbsége.

Vegye figyelembe, hogy az identitás első részének első tagja nagyobb szám, mint a második, így mindkét részt négyzetre vethetjük:

3. sz. gyakorlati óra.

Téma: Kifejezések azonos transzformációi (kérdéstechnika).

Irodalom: „Workshop on MPM”, 87-93.

A tanulók körében a számítások és identitástranszformációk magas kultúrájának jele a pontos és közelítő mennyiségekre vonatkozó műveletek tulajdonságainak, algoritmusainak alapos ismerete és ügyes alkalmazása; a számítások és átalakítások racionális módszerei és igazolása; a számítások és transzformációk módszereinek, szabályainak alkalmazásának indoklásának képessége, a számítási műveletek hibamentes végrehajtásának automatikus készsége.

Melyik évfolyamon kezdjék el a tanulók a felsorolt ​​készségek fejlesztését?

A kifejezések azonos transzformációinak sora a racionális számítási technikák alkalmazásával kezdődik. (5. osztály)

Ha ilyen témákat tanul egy iskolai matematika tanfolyamon, különös figyelmet kell fordítania rájuk!

A tanulók identitástranszformációinak tudatos megvalósítását elősegíti annak megértése, hogy az algebrai kifejezések nem önmagukban léteznek, hanem egy bizonyos numerikus halmazhoz elválaszthatatlan kapcsolatban állnak, numerikus kifejezések általánosított rekordjai. Az algebrai és a numerikus kifejezések (és azok transzformációi) közötti analógiák a tanításban való felhasználásuk segít megelőzni a tanulókat a hibákban.

Az azonos transzformációk nem külön téma az iskolai matematika tantárgyban, az egész algebra és a matematikai elemzés kezdetei során tanulmányozzák őket.

Az 1-5. osztályos matematika program propedeutikai anyag változós kifejezések azonos transzformációinak tanulmányozására.

A 7. osztályos algebra tanfolyamon. bevezetésre kerül az identitás és az identitástranszformációk meghatározása.

Def. Két olyan kifejezést hívunk meg, amelyek megfelelő értékei megegyeznek a változók bármely értékével. egyformán egyenlő.

ODA. Azt az egyenlőséget, amely a változók bármely értékére igaz, azonosságnak nevezzük.

Az identitás értéke abban rejlik, hogy lehetővé teszi egy adott kifejezés helyettesítését egy vele azonos kifejezéssel.

Def. Egy kifejezés helyettesítését egy másik azonos kifejezéssel nevezzük azonos átalakulás vagy éppen átalakítás kifejezéseket.

A változókkal rendelkező kifejezések azonos transzformációit a számokkal végzett műveletek tulajdonságai alapján hajtjuk végre.

Az identitástranszformációk alapját egyenértékű transzformációnak tekinthetjük.

ODA. Két mondatot nevezünk, amelyek mindegyike a másik logikai következménye. egyenértékű.

ODA. Az A változójú mondatot hívjuk. egy B változós mondat következménye, ha a B igazság tartománya az A igazság tartományának részhalmaza.

Az ekvivalens mondatok egy másik definíciója is megadható: két változós mondat ekvivalens, ha igazságtartományuk egybeesik.

a) B: x-1=0 R felett; A: (x-1) 2 R => A~B felett, mert az igazság (megoldás) területei egybeesnek (x=1)

b) A: x=2 R felett; B: x 2 =4 felett R => A igazság tartománya: x = 2; B igazságtartomány: x=-2, x=2; mert A igazság tartományát B tartalmazza, akkor: x 2 =4 az x = 2 állítás következménye.

Az identitástranszformációk alapja az a képesség, hogy ugyanazt a számot különböző formában ábrázoljuk. Például,

-

Ez az ábrázolás segít a „törtek alapvető tulajdonságai” téma tanulmányozásában.

Az identitástranszformációk végrehajtásának készségei az alábbihoz hasonló példák megoldása során kezdenek fejlődni: „Keresse meg a 2a 3 +3ab+b 2 kifejezés számértékét, ahol a = 0,5, b = 2/3”, amelyeket az évfolyamos tanulóknak ajánlunk. 5, és lehetővé teszik a propedeutikai funkciófogalmat.

A rövidített szorzási képletek tanulmányozásakor figyelni kell azok mély megértésére és erős asszimilációjára. Ehhez használhatja a következő grafikus illusztrációt:

(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 a 2 -b 2 =(a-b)(a+b)

Kérdés: Hogyan lehet e rajzok alapján elmagyarázni a tanulóknak az adott képletek lényegét?

Gyakori hiba, hogy összekeverik az „összeg négyzete” és a „négyzetösszeg” kifejezéseket. A tanár jelzése, hogy ezek a kifejezések a műveleti sorrendben különböznek, nem tűnik jelentősnek, mivel a tanulók úgy vélik, hogy ezeket a műveleteket ugyanazon számokon hajtják végre, így az eredmény nem változik a műveletek sorrendjének megváltoztatásával.

Feladat: Készítsen szóbeli gyakorlatokat a tanulók képességeinek fejlesztésére a fenti képletek hibamentes használatában. Hogyan magyarázhatjuk meg, hogy ez a két kifejezés miben hasonlít, és miben különböznek egymástól?

Az azonos átalakítások sokfélesége megnehezíti a tanulók számára, hogy eligazodjanak abban, hogy milyen célból végzik őket. Az átalakítások céljának homályos ismerete (minden konkrét esetben) negatívan hat a tudatosságukra, és hatalmas hibák forrásaként szolgál a tanulók körében. Ez azt sugallja, hogy a különböző azonos transzformációk végrehajtásának céljainak elmagyarázása a tanulóknak fontos része a tanulmányozási módszertannak.

Példák az identitásátalakítás motivációira:

1. egy kifejezés számértékének megtalálásának egyszerűsítése;

2. az egyenlet olyan transzformációjának kiválasztása, amely nem vezet a gyökér elvesztéséhez;

3. Transzformáció végrehajtásakor megjelölheti annak számítási területét;

4. transzformációk használata a számításokban, például 99 2 -1=(99-1)(99+1);

A döntési folyamat irányításához fontos, hogy a tanár képes legyen pontosan leírni a tanuló által elkövetett hiba lényegét. A hiba pontos jellemzése kulcsfontosságú a tanár által a későbbi lépések helyes megválasztásához.

Példák tanulói hibákra:

1. szorzás végrehajtása: a tanuló -54abx 6 (7 cellát) kapott;

2. Hatványra (3x 2) 3 emelve a tanuló 3x 6-ot (7 osztályzatot) kapott;

3. (m + n) 2-t polinommá alakítva a tanuló m 2 + n 2 -t kapott (7. osztály);

4. A tanuló által kapott töredék csökkentésével (8 osztályzat);

5. kivonás végrehajtása: , diák leírja (8. osztály)

6. A törtet tört formában ábrázolva a tanuló megkapta: (8 évfolyam);

7. A számtani gyök kinyerésével a tanuló x-1-et kapott (9. osztály);

8. az egyenlet megoldása (9. évfolyam);

9. a kifejezést átalakítva a tanuló megkapja: (9. osztály).

Következtetés

Az identitástranszformációk vizsgálata az adott osztályban vizsgált numerikus halmazokkal szoros összefüggésben történik.

Először meg kell kérni a tanulót, hogy magyarázza el az átalakítás minden lépését, fogalmazza meg az érvényes szabályokat, törvényeket.

Az algebrai kifejezések azonos transzformációinál két szabályt használnak: a helyettesítést és az egyenlőkkel való helyettesítést. Leggyakrabban a helyettesítést alkalmazzák, mert A képletekkel történő számítás alapja, azaz. keresse meg az a*b kifejezés értékét, ahol a=5 és b=-3. Nagyon gyakran a tanulók figyelmen kívül hagyják a zárójeleket a szorzási műveletek végrehajtása során, és azt hiszik, hogy a szorzás jele magában foglalja. Például a következő bejegyzés lehetséges: 5*-3.

Irodalom

1. A.I. Azarov, S.A. Barvenov „Funkcionális és grafikus módszerek a vizsgálati feladatok megoldására”, Mn..Aversev, 2004

2. O.N. Piryutko „Tipikus hibák a központosított tesztelésben”, Mn..Aversev, 2006

3. A.I. Azarov, S.A. Barvenov „Trap feladatok a központosított tesztelésben”, Mn..Aversev, 2006

4. A.I. Azarov, S.A. Barvenov „Módszerek trigonometrikus feladatok megoldására”, Mn..Aversev, 2005

Numerikus és algebrai kifejezések. Kifejezések konvertálása.

Mi a kifejezés a matematikában? Miért van szükségünk kifejezéskonverziókra?

A kérdés, ahogy mondani szokták, érdekes... Az tény, hogy ezek a fogalmak minden matematika alapját képezik. Minden matematika kifejezésekből és azok transzformációiból áll. Nem túl világos? Hadd magyarázzam el.

Tegyük fel, hogy van egy gonosz példa előtted. Nagyon nagy és nagyon összetett. Tegyük fel, hogy jó vagy matekból és nem félsz semmitől! Tudsz azonnal választ adni?

muszáj lesz dönt ezt a példát. Következetesen, lépésről lépésre ezt a példát egyszerűsíteni. Természetesen bizonyos szabályok szerint. Azok. csináld kifejezéskonverzió. Minél sikeresebben hajtja végre ezeket az átalakításokat, annál erősebb a matematika. Ha nem tudja, hogyan kell elvégezni a megfelelő átalakításokat, akkor matematikából nem fogja tudni elvégezni őket. Semmi...

Egy ilyen kellemetlen jövő (vagy jelen...) elkerülése érdekében nem árt megérteni ezt a témát.)

Először is, derítsük ki mi a kifejezés a matematikában. Mi történt numerikus kifejezésés mi van algebrai kifejezés.

Mi a kifejezés a matematikában?

Kifejezés a matematikában- ez egy nagyon tág fogalom. Szinte minden, amivel a matematikában foglalkozunk, matematikai kifejezések halmaza. Bármilyen példa, képlet, tört, egyenlet és így tovább – ezek mind a következőkből állnak matematikai kifejezések.

A 3+2 egy matematikai kifejezés. s 2 - d 2- ez is egy matematikai kifejezés. Mind az egészséges tört, mind az egy szám mind matematikai kifejezések. Például az egyenlet a következő:

5x + 2 = 12

két egyenlőségjellel összekapcsolt matematikai kifejezésből áll. Az egyik kifejezés a bal, a másik a jobb oldalon található.

Általában a " matematikai kifejezés"a leggyakrabban a mocogás elkerülésére használják. Meg fogják kérdezni, hogy mi az a közönséges tört például? És hogyan válaszoljak?!

Az első válasz: "Ez... mmmmmm... ilyen... amiben... Írhatok egy töredéket jobban? Melyiket akarod?"

A második válasz: „A közönséges tört (vidáman és vidáman!) matematikai kifejezés , amely egy számlálóból és egy nevezőből áll!"

A második lehetőség valamivel lenyűgözőbb lesz, igaz?)

Ez a célja a " kifejezésnek " matematikai kifejezés "nagyon jó. Korrekt és szilárd. De a gyakorlati használathoz jól kell értened meghatározott típusú kifejezések a matematikában .

A konkrét típus az más kérdés. Ez teljesen más kérdés! Minden típusú matematikai kifejezés rendelkezik enyém szabályok és technikák összessége, amelyeket a döntés meghozatalakor alkalmazni kell. A törtekkel való munkához - egy készlet. A trigonometrikus kifejezésekkel való munkához - a második. A logaritmusokkal való munkához - a harmadik. És így tovább. Valahol ezek a szabályok egybeesnek, valahol élesen különböznek egymástól. De ne félj ezektől az ijesztő szavaktól. A megfelelő részekben elsajátítjuk a logaritmusokat, trigonometriákat és egyéb rejtélyes dolgokat.

Itt elsajátítjuk (vagy - megismételjük, attól függően, hogy ki...) a matematikai kifejezések két fő típusát. Numerikus kifejezések és algebrai kifejezések.

Numerikus kifejezések.

Mi történt numerikus kifejezés? Ez egy nagyon egyszerű fogalom. Már maga a név is arra utal, hogy ez egy számokat tartalmazó kifejezés. Igen, ez így van. A számokból, zárójelekből és számtani szimbólumokból álló matematikai kifejezést numerikus kifejezésnek nevezzük.

A 7-3 egy numerikus kifejezés.

(8+3.2) Az 5.4 is numerikus kifejezés.

És ez a szörnyeteg:

numerikus kifejezés is, igen...

Közönséges szám, tört, bármilyen számítási példa X-ek és más betűk nélkül - ezek mind numerikus kifejezések.

Fő jel számszerű kifejezések – benne nincsenek betűk. Egyik sem. Csak számok és matematikai szimbólumok (ha szükséges). Egyszerű, igaz?

És mit lehet kezdeni a numerikus kifejezésekkel? A numerikus kifejezések általában megszámolhatók. Ehhez előfordul, hogy ki kell nyitni a zárójeleket, jeleket váltani, rövidíteni, kifejezéseket felcserélni - pl. csináld kifejezéskonverziók. De erről lentebb bővebben.

Itt egy ilyen vicces esettel foglalkozunk, amikor numerikus kifejezéssel nem kell semmit tenned. Hát, egyáltalán semmi! Ez a kellemes művelet - ne csinálj semmit)- akkor hajtódik végre, amikor a kifejezés nincs értelme.

Mikor nincs értelme egy numerikus kifejezésnek?

Egyértelmű, hogy ha valami abrakadabrát látunk magunk előtt, pl

akkor nem csinálunk semmit. Mert nem világos, hogy mit tegyünk ellene. Valami hülyeség. Esetleg számold meg a pluszok számát...

De vannak kívülről egészen tisztességes kifejezések. Például ezt:

(2+3) : (16-28)

Azonban ez a kifejezés is nincs értelme! Azon egyszerű oknál fogva, hogy a második zárójelben - ha számolsz - nullát kapsz. De nullával nem lehet osztani! Ez egy tiltott művelet a matematikában. Ezért ezzel a kifejezéssel sem kell semmit kezdeni. Minden ilyen kifejezéssel rendelkező feladatra a válasz mindig ugyanaz: – A kifejezésnek nincs értelme!

Ahhoz, hogy ilyen választ adjak, természetesen ki kellett számolnom, mi lesz a zárójelben. És néha sok minden van zárójelben... Nos, ez ellen nem tudsz mit tenni.

A matematikában nincs annyi tiltott művelet. Ebben a témában csak egy van. Osztás nullával. A gyökökben és logaritmusokban felmerülő további korlátozásokat a megfelelő témakörök tárgyalják.

Szóval egy ötlet, hogy mi az numerikus kifejezés- kapott. Koncepció a numerikus kifejezésnek nincs értelme- jött rá. Menjünk tovább.

Algebrai kifejezések.

Ha egy numerikus kifejezésben betűk jelennek meg, ez a kifejezés... A kifejezésből... Igen! Azzá válik algebrai kifejezés. Például:

5a 2; 3x-2y; 3(z-2); 3,4 m/n; x 2 +4x-4; (a+b) 2; ...

Az ilyen kifejezéseket is nevezik szó szerinti kifejezések. Vagy változókkal rendelkező kifejezések. Gyakorlatilag ugyanaz. Kifejezés 5a +c például - literális és algebrai, valamint változókat tartalmazó kifejezés.

Koncepció algebrai kifejezés - szélesebb, mint a numerikus. Azt tartalmazzaés minden numerikus kifejezés. Azok. a numerikus kifejezés is algebrai kifejezés, csak betűk nélkül. Minden hering hal, de nem minden hal hering...)

Miért ábécé- Világos. Nos, mivel vannak betűk... Kifejezés kifejezés változókkal Ez sem túl rejtélyes. Ha megérti, hogy a számok a betűk alatt vannak elrejtve. Mindenféle számokat el lehet rejteni a betűk alatt... És 5, meg -18, és amit akarsz. Vagyis egy levél lehet cserélje ki különböző számokhoz. Ezért hívják a betűket változók.

Kifejezésben y+5, Például at- változó érték. Vagy csak azt mondják: változó", a "nagyságrendű" szó nélkül. Ellentétben az öttel, ami állandó érték. Vagy egyszerűen... állandó.

Term algebrai kifejezés azt jelenti, hogy a kifejezés használatához törvényeket és szabályokat kell használnia algebra. Ha számtan akkor meghatározott számokkal működik algebra- az összes számmal egyszerre. Egy egyszerű példa a tisztázásra.

Az aritmetikában azt írhatjuk

De ha egy ilyen egyenlőséget algebrai kifejezésekkel írunk fel:

a + b = b + a

mindjárt döntünk Minden kérdéseket. Mert minden szám egy csapásra. Minden végtelenért. Mert a betűk alatt AÉs b hallgatólagos Minden számok. És nem csak a számok, hanem még más matematikai kifejezések is. Így működik az algebra.

Mikor nincs értelme egy algebrai kifejezésnek?

A numerikus kifejezéssel kapcsolatban minden világos. Ott nem lehet nullával osztani. És betűkkel ki lehet deríteni, hogy mi alapján osztunk?!

Vegyük például ezt a változókat tartalmazó kifejezést:

2: (A - 5)

Van értelme? Ki tudja? A- Bármilyen számot...

Bármelyik, bármilyen... De van egy jelentése A, amelyre ez a kifejezés pontosan nincs értelme! És mi ez a szám? Igen! Ez az 5! Ha a változó A cserélje ki (azt mondják, hogy „helyettesítő”) az 5-ös számmal, zárójelben nullát kap. Ami nem osztható. Tehát kiderül, hogy a kifejezésünk nincs értelme, Ha a = 5. De más értékekért A van értelme? Be tudtok cserélni más számokat?

Biztosan. Ilyen esetekben egyszerűen azt mondják, hogy a kifejezés

2: (A - 5)

értelme van bármilyen értéknek A, kivéve a = 5 .

Az egész számkészlet Tud adott kifejezésbe való behelyettesítést nevezzük elfogadható értékek tartománya ezt a kifejezést.

Amint látja, nincs semmi trükkös. Nézzük meg a változós kifejezést, és derítsük ki: a változó milyen értékénél kapjuk a tiltott műveletet (nullával osztás)?

És akkor mindenképpen nézd meg a feladat kérdését. Mit kérdeznek?

nincs értelme, tiltott jelentésünk lesz a válasz.

Ha azt kérdezed, hogy egy változó milyen értékénél a kifejezés van értelme(érezd a különbséget!), a válasz az lesz az összes többi szám kivéve ami tilos.

Miért van szükségünk a kifejezés jelentésére? Ott van, nincs... Mi a különbség?! A lényeg az, hogy ez a fogalom nagyon fontossá válik a középiskolában. Rendkívül fontos! Ez az alapja az olyan szilárd fogalmaknak, mint az elfogadható értékek tartománya vagy egy függvény tartománya. E nélkül egyáltalán nem lesz képes komoly egyenleteket vagy egyenlőtlenségeket megoldani. mint ez.

Kifejezések konvertálása. Identitás transzformációk.

Megismerkedtünk a numerikus és algebrai kifejezésekkel. Megértettük, mit jelent a „kifejezésnek nincs jelentése” kifejezés. Most ki kell derítenünk, hogy mi az kifejezés konvertálása. A válasz a szégyenig egyszerű.) Ez minden kifejezéssel rendelkező művelet. Ez minden. Ezeket az átalakításokat már első osztály óta csinálod.

Vegyük a 3+5 klassz numerikus kifejezést. Hogyan lehet átalakítani? Igen, nagyon egyszerű! Számítsa ki:

Ez a számítás a kifejezés transzformációja lesz. Ugyanazt a kifejezést másképp is írhatja:

Itt egyáltalán nem számoltunk semmit. Csak leírtam a kifejezést más formában. Ez is a kifejezés átalakítása lesz. Így írhatod:

És ez is egy kifejezés átalakulása. Annyi ilyen átalakítást végezhet, amennyit csak akar.

Bármilyen cselekvés a kifejezésre bármilyen más formában való írását a kifejezés transzformációjának nevezzük. És ez minden. Ez nagyon egyszerű. De van itt egy dolog nagyon fontos szabály. Annyira fontos, hogy nyugodtan hívható fő szabály minden matematika. Ennek a szabálynak a megszegése elkerülhetetlenül hibákhoz vezet. belevágunk?)

Tegyük fel, hogy véletlenül átalakítottuk a kifejezésünket, így:

Átalakítás? Biztosan. Más formában írtuk a kifejezést, mi a baj?

Nem úgy van.) A lényeg az, hogy az átalakulások "találomra" egyáltalán nem érdekli őket a matematika.) Minden matematika olyan transzformációkra épül, amelyekben a megjelenés megváltozik, de a kifejezés lényege nem változik. Három plusz öt bármilyen formában írható, de nyolcnak kell lennie.

Átváltozások, olyan kifejezések, amelyek nem változtatnak a lényegen hívják azonos.

Pontosan identitás-transzformációkés lépésről lépésre lehetővé teszi számunkra, hogy egy összetett példát egyszerű kifejezéssé alakítsunk, miközben fenntartjuk a példa lényege. Ha az átalakítások láncolatában hibát követünk el, NEM azonos transzformációt végzünk, akkor döntünk másik példa. Más válaszokkal, amelyek nem kapcsolódnak a helyes válaszokhoz.)

Bármilyen feladat megoldásánál ez a fő szabály: a transzformációk azonosságának megőrzése.

Adtam egy példát a 3+5 numerikus kifejezéssel az érthetőség kedvéért. Az algebrai kifejezésekben az azonosságtranszformációkat képletek és szabályok adják meg. Tegyük fel, hogy az algebrában van egy képlet:

a(b+c) = ab + ac

Ez azt jelenti, hogy bármely példában a kifejezés helyett tehetjük a(b+c)írj nyugodtan kifejezést ab + ac. És fordítva. Ez azonos átalakulás. A matematika választási lehetőséget ad e két kifejezés között. És hogy melyiket kell írni, az a konkrét példától függ.

Egy másik példa. Az egyik legfontosabb és legszükségesebb transzformáció a tört alaptulajdonsága. További részleteket a linken láthat, de itt csak a szabályra emlékeztetem: Ha egy tört számlálóját és nevezőjét megszorozzuk (osztjuk) ugyanazzal a számmal, vagy olyan kifejezéssel, amely nem egyenlő nullával, a tört nem változik.Íme egy példa a tulajdonságot használó identitásátalakításokra:

Ahogy valószínűleg sejtette, ez a lánc a végtelenségig folytatható...) Nagyon fontos tulajdonság. Ez az, ami lehetővé teszi, hogy mindenféle példaszörnyet fehérré és bolyhossá varázsoljon.)

Számos képlet definiálja az azonos transzformációkat. De a legfontosabbak meglehetősen ésszerű számok. Az egyik alapvető átalakítás a faktorizáció. Minden matematikában használatos – az elemitől a haladóig. Kezdjük vele. A következő leckében.)

Ha tetszik ez az oldal...

Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)

Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanuljunk – érdeklődéssel!)

Megismerkedhet a függvényekkel, deriváltokkal.

Az eredeti kifejezést alkotó számok és kifejezések helyettesíthetők azonos kifejezésekkel. Az eredeti kifejezés ilyen átalakítása egy vele azonos kifejezéshez vezet.

Például a 3+x kifejezésben a 3-as szám helyettesíthető az 1+2 összeggel, ami az (1+2)+x kifejezést eredményezi, amely megegyezik az eredeti kifejezéssel. Egy másik példa: az 1+a 5 kifejezésben az a 5 hatvány helyettesíthető egy azonos szorzattal, például a·a 4 alakú. Így az 1+a·a 4 kifejezést kapjuk.

Ez az átalakulás kétségtelenül mesterséges, és általában valamilyen további átalakulás előkészülete. Például a 4 x 3 +2 x 2 összegben a fokozat tulajdonságait figyelembe véve a 4 x 3 tag 2 x 2 2 x szorzatként ábrázolható. A transzformáció után az eredeti kifejezés 2 x 2 2 x+2 x 2 alakot vesz fel. Nyilvánvaló, hogy a kapott összegben szereplő tagok közös tényezője 2 x 2, így elvégezhetjük a következő transzformációt - zárójelezés. Utána a következő kifejezéshez jutunk: 2 x 2 (2 x+1) .

Ugyanazon szám összeadása és kivonása

Egy kifejezés másik mesterséges átalakítása ugyanazon szám vagy kifejezés összeadása és egyidejű kivonása. Ez a transzformáció azonos, mert lényegében megegyezik a nulla hozzáadásával, és a nulla hozzáadása nem változtatja meg az értéket.

Nézzünk egy példát. Vegyük az x 2 +2·x kifejezést. Ha hozzáad egyet és kivon egyet, ez lehetővé teszi, hogy a jövőben egy másik azonos transzformációt hajtson végre - négyzetes a binomiális: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1-1=(x+1) 2 -1.

Hivatkozások.

• Algebra: tankönyv 7. osztály számára általános műveltség intézmények / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; szerkesztette S. A. Teljakovszkij. - 17. kiadás - M.: Oktatás, 2008. - 240 p. : ill. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: tankönyv 8. osztály számára. általános műveltség intézmények / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; szerkesztette S. A. Teljakovszkij. - 16. kiadás - M.: Oktatás, 2008. - 271 p. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. 7. osztály. 2 órában 1. rész. Tankönyv általános oktatási intézmények tanulói számára / A. G. Mordkovich. - 17. kiadás, add. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 p.: ill. ISBN 978-5-346-02432-3.

Fontos megjegyzések!
1. Ha képletek helyett gobbledygook-ot lát, törölje a gyorsítótárat. Itt van leírva, hogyan kell ezt megtenni a böngészőben:
2. Mielőtt elkezdené olvasni a cikket, figyeljen a navigátorunkra, ahol megtalálja a leghasznosabb forrásokat

Gyakran halljuk ezt a kellemetlen mondatot: "egyszerűsítsd a kifejezést."Általában egy ilyen szörnyet látunk:

„Sokkal egyszerűbb” – mondjuk, de egy ilyen válasz általában nem működik.

Most megtanítalak arra, hogy ne félj semmiféle ilyen feladattól.

Sőt, a lecke végén te magad is leegyszerűsíted ezt a példát (csak!) egy közönséges számra (igen, a pokolba ezekkel a betűkkel).

De mielőtt elkezdené ezt a tevékenységet, képesnek kell lennie rá kezelni a törteketÉs faktorpolinomok.

Ezért, ha még nem tette meg ezt, feltétlenül sajátítsa el a „” és a „” témakört.

Olvastad? Ha igen, akkor most készen áll.

Gyerünk (gyerünk!)

Alapvető kifejezés-egyszerűsítési műveletek

Most nézzük meg a kifejezések egyszerűsítésére használt alapvető technikákat.

A legegyszerűbb az

1. Hasonló hozás

Mik a hasonlók? Ezt 7. osztályban vetted, amikor a számok helyett betűk jelentek meg először a matematikában.

Hasonló- ezek azonos betűrésszel rendelkező kifejezések (monomiálisok).

Például összegezve a hasonló kifejezések és.

Emlékszel?

Adj hasonlót- azt jelenti, hogy több hasonló kifejezést adunk egymáshoz, és kapunk egy kifejezést.

Hogyan rakjuk össze a betűket? - kérdezed.

Ezt nagyon könnyű megérteni, ha azt képzeli, hogy a betűk valamiféle tárgyak.

Például egy levél egy szék. Akkor mivel egyenlő a kifejezés?

Két szék plusz három szék, hány lesz? Így van, székek: .

Most próbálja ki ezt a kifejezést: .

A félreértések elkerülése érdekében a különböző betűk különböző objektumokat jelöljenek.

Például a - (szokás szerint) egy szék, és - egy asztal.

székek asztalok szék asztalok székek székek asztalok

Azokat a számokat, amelyekkel az ilyen kifejezésekben szereplő betűket megszorozzuk, hívjuk együtthatók.

Például egy monomban az együttható egyenlő. És benne egyenlő.

Tehát a hasonlók behozatalának szabálya a következő:

Példák:

Adj hasonlókat:

Válaszok:

2. (és hasonló, mivel ezért ezeknek a kifejezéseknek ugyanaz a betűrésze).

2. Faktorizáció

Ez általában a kifejezések egyszerűsítésének legfontosabb része.

Miután hasonlókat adott, leggyakrabban az eredményül kapott kifejezésre van szükség tényezőkre bont, azaz termék formájában bemutatva.

Főleg ezt fontos törtszámban: végül is a tört csökkentése érdekében A számlálót és a nevezőt szorzatként kell ábrázolni.

A kifejezések faktoring módszereit a „” témakörben részletesen végigjárta, tehát itt csak emlékeznie kell a tanultakra.

Ehhez oldjon meg több példát (tényezősre kell őket)

Példák:

Megoldások:

3. Töredék csökkentése.

Nos, mi lehet kellemesebb, mint a számláló és a nevező egy részét áthúzni, és kidobni az életedből?

Ez a leépítés szépsége.

Ez egyszerű:

Ha a számláló és a nevező ugyanazokat a tényezőket tartalmazza, akkor redukálható, azaz eltávolítható a törtből.

Ez a szabály a tört alapvető tulajdonságából következik:

Vagyis a redukciós művelet lényege az A tört számlálóját és nevezőjét elosztjuk ugyanazzal a számmal (vagy ugyanazzal a kifejezéssel).

A töredék csökkentéséhez a következőkre van szüksége:

1) számláló és nevező tényezőkre bont

2) ha a számláló és a nevező tartalmazza közös tényezők, áthúzhatók.

Példák:

Az elv, azt hiszem, egyértelmű?

Egy tipikus rövidítési hibára szeretném felhívni a figyelmet. Bár ez a téma egyszerű, sokan mindent rosszul csinálnak, ezt nem értik csökkenteni- ez azt jelenti oszt a számláló és a nevező ugyanaz a szám.

Nincsenek rövidítések, ha a számláló vagy a nevező összeg.

Például: egyszerűsítenünk kell.

Vannak, akik ezt teszik: ami teljesen helytelen.

Egy másik példa: csökkenteni.

A "legokosabb" ezt fogja tenni:

Mondd, mi a baj itt? Úgy tűnik: - ez egy szorzó, ami azt jelenti, hogy csökkenthető.

De nem: - ez csak egy tag tényezője a számlálóban, de maga a számláló egésze nincs faktorizálva.

Íme egy másik példa: .

Ez a kifejezés faktorizált, ami azt jelenti, hogy csökkentheti, azaz eloszthatja a számlálót és a nevezőt ezzel, majd a következővel:

Azonnal feloszthatja:

Az ilyen hibák elkerülése érdekében emlékezzen egy egyszerű módszerre annak meghatározására, hogy egy kifejezés faktorizált-e:

A kifejezés értékének kiszámításakor az utolsóként végrehajtott aritmetikai művelet a „fő” művelet.

Vagyis ha betűk helyett behelyettesítünk néhány (bármilyen) számot, és megpróbáljuk kiszámítani a kifejezés értékét, akkor ha az utolsó művelet a szorzás, akkor szorzatunk van (a kifejezés faktorizált).

Ha az utolsó művelet összeadás vagy kivonás, ez azt jelenti, hogy a kifejezés nincs faktorizálva (és ezért nem csökkenthető).

Ennek megerősítésére oldjon meg néhány példát saját maga:

Példák:

Megoldások:

4. Törtek összeadása és kivonása. Törtek redukálása közös nevezőre.

A közönséges törtek összeadása és kivonása ismert művelet: keresünk egy közös nevezőt, minden törtet megszorozunk a hiányzó tényezővel és összeadjuk/kivonjuk a számlálókat.

Emlékezzünk:

Válaszok:

1. A és nevezők viszonylag prímszámúak, vagyis nincs közös tényezőjük. Ezért ezeknek a számoknak az LCM-je megegyezik a szorzatukkal. Ez lesz a közös nevező:

2. Itt a közös nevező:

3. Itt először a kevert frakciókat alakítjuk át nem megfelelővé, majd a szokásos séma szerint:

Teljesen más a helyzet, ha a törtek betűket tartalmaznak, pl.

Kezdjük valami egyszerűvel:

a) A nevezők nem tartalmaznak betűket

Itt minden ugyanaz, mint a közönséges numerikus törteknél: megtaláljuk a közös nevezőt, minden törtet megszorozunk a hiányzó tényezővel, és összeadjuk/kivonjuk a számlálókat:

Most a számlálóban megadhat hasonlókat, ha vannak, és faktorálhatja őket:

Próbáld ki magad:

Válaszok:

b) A nevezők betűket tartalmaznak

Emlékezzünk a betűk nélküli közös nevező megtalálásának elvére:

· mindenekelőtt meghatározzuk a közös tényezőket;

· majd egyenként írjuk ki az összes gyakori tényezőt;

· és szorozza meg ezeket az összes többi nem gyakori tényezővel.

A nevezők közös tényezőinek meghatározásához először prímtényezőkbe soroljuk őket:

Hangsúlyozzuk a közös tényezőket:

Most egyenként írjuk ki a gyakori tényezőket, és adjuk hozzá az összes nem gyakori (nem aláhúzott) tényezőt:

Ez a közös nevező.

Térjünk vissza a levelekhez. A nevezők pontosan ugyanúgy vannak megadva:

· tényező a nevezők;

· közös (azonos) tényezők meghatározása;

· írja ki egyszer az összes gyakori tényezőt;

· szorozza meg ezeket az összes többi nem gyakori tényezővel.

Tehát sorrendben:

1) faktorozza a nevezőket:

2) határozza meg a közös (azonos) tényezőket:

3) írja ki egyszer az összes gyakori tényezőt, és szorozza meg az összes többi (nem hangsúlyos) tényezővel:

Tehát van itt egy közös nevező. Az első törtet meg kell szorozni a másodikkal:

Egyébként van egy trükk:

Például: .

Ugyanazokat a tényezőket látjuk a nevezőkben, csak mindegyik más mutatókkal. A közös nevező a következő lesz:

fokig

fokig

fokig

fokig.

Bonyolítsuk a feladatot:

Hogyan készítsünk törteket azonos nevezővel?

Emlékezzünk a tört alapvető tulajdonságára:

Sehol nem szerepel, hogy ugyanaz a szám kivonható (vagy összeadható) a tört számlálójából és nevezőjéből. Mert nem igaz!

Győződjön meg saját szemével: vegyen például bármilyen törtet, és adjon hozzá néhány számot a számlálóhoz és a nevezőhöz, például . mit tanultál?

Tehát még egy megingathatatlan szabály:

Ha törteket közös nevezőre redukál, csak a szorzási műveletet használja!

De mivel kell szorozni, hogy megkapjuk?

Tehát szorozd meg vele. És szorozzuk meg:

A nem faktorizálható kifejezéseket elemi tényezőknek nevezzük.

Például - ez egy elemi tényező. - Ugyanaz. De nem: faktorizálható.

Mi a helyzet a kifejezéssel? Ez elemi?

Nem, mert faktorizálható:

(A faktorizációról már olvasott a "" témában).

Tehát azok az elemi tényezők, amelyekre egy kifejezést betűkkel bont, analógjai azoknak az egyszerű tényezőknek, amelyekre a számokat bontja. És ugyanúgy fogunk bánni velük.

Látjuk, hogy mindkét nevezőnek van szorzója. A fokig a közös nevezőre fog menni (emlékszel, miért?).

A tényező elemi, és nincs közös tényezőjük, ami azt jelenti, hogy az első törtet egyszerűen meg kell szorozni vele:

Egy másik példa:

Megoldás:

Mielőtt pánikszerűen megszorozná ezeket a nevezőket, el kell gondolkodnia azon, hogyan számolja be őket? Mindketten képviselik:

Nagy! Majd:

Egy másik példa:

Megoldás:

Szokás szerint tizedeljük a nevezőket. Az első nevezőben egyszerűen zárójelbe tesszük; a másodikban - a négyzetek különbsége:

Úgy tűnik, hogy nincsenek közös tényezők. De ha jobban megnézed, hasonlóak... És ez igaz:

Tehát írjuk:

Vagyis így alakult: a zárójelben felcseréltük a kifejezéseket, és ezzel párhuzamosan a tört előtti jel az ellenkezőjére változott. Vegye figyelembe, hogy ezt gyakran meg kell tennie.

Most hozzuk egy közös nevezőre:

Megvan? Most nézzük meg.

Feladatok az önálló megoldáshoz:

Válaszok:

5. Törtek szorzása és osztása.

Nos, a legnehezebb része már elmúlt. És előttünk áll a legegyszerűbb, de ugyanakkor a legfontosabb:

Eljárás

Mi a numerikus kifejezés kiszámításának eljárása? Emlékezzen a kifejezés jelentésének kiszámításával:

számoltál?

Működnie kell.

Szóval hadd emlékeztesselek.

Az első lépés a fokozat kiszámítása.

A második a szorzás és az osztás. Ha egyszerre több szorzás és osztás van, akkor tetszőleges sorrendben elvégezhető.

Végül végezzük az összeadást és a kivonást. Még egyszer, bármilyen sorrendben.

De: a zárójelben lévő kifejezés soron kívül kiértékelésre kerül!

Ha több zárójelet szorozunk vagy osztunk egymással, akkor először mindegyik zárójelben kiszámítjuk a kifejezést, majd szorozzuk vagy osztjuk őket.

Mi van, ha több zárójel van a zárójelben? Nos, gondoljunk csak bele: a zárójelbe bele van írva valamilyen kifejezés. Egy kifejezés kiszámításakor mit kell tennie először? Így van, számold ki a zárójeleket. Nos, kitaláltuk: először a belső zárójeleket számoljuk ki, aztán minden mást.

Tehát a fenti kifejezés eljárása a következő (az aktuális művelet pirossal van kiemelve, vagyis az a művelet, amelyet éppen végrehajtok):

Oké, minden egyszerű.

De ez nem ugyanaz, mint a betűs kifejezés?

Nem, ez ugyanaz! Csak az aritmetikai műveletek helyett algebrai műveleteket kell végrehajtania, vagyis az előző részben leírt műveleteket: hasonlót hozva, frakciók hozzáadása, frakciók csökkentése stb. Az egyetlen különbség a polinomok faktorálása lesz (gyakran használjuk ezt, amikor törtekkel dolgozunk). A faktorizáláshoz leggyakrabban az I-t kell használnia, vagy egyszerűen csak zárójelbe kell tennie a közös tényezőt.

Általában az a célunk, hogy egy kifejezést szorzatként vagy hányadosként ábrázoljunk.

Például:

Egyszerűsítsük a kifejezést.

1) Először is egyszerűsítjük a zárójelben lévő kifejezést. Ott törtek különbség van, és az a célunk, hogy ezt szorzatként vagy hányadosként mutassuk be. Tehát a törteket közös nevezőre hozzuk, és hozzáadjuk:

Ezt a kifejezést nem lehet tovább leegyszerűsíteni, itt minden tényező elemi (emlékszel még, mit jelent ez?).

2) Ezt kapjuk:

Törtek szorzása: mi lehetne egyszerűbb.

3) Most lerövidítheti:

Nos, ez minden. Semmi bonyolult, igaz?

Egy másik példa:

Egyszerűsítse a kifejezést.

Először próbálja meg saját maga megoldani, és csak azután nézze meg a megoldást.

Megoldás:

Először is határozzuk meg a műveletek sorrendjét.

Először adjuk hozzá a zárójelben lévő törteket, így két tört helyett egyet kapunk.

Ezután törtosztást végzünk. Nos, adjuk hozzá az eredményt az utolsó törttel.

Sematikusan megszámozom a lépéseket:

Végül adok két hasznos tippet:

1. Ha vannak hasonlók, azonnal hozni kell. Bármikor is bukkannak fel hasonlók hazánkban, célszerű azonnal felhozni őket.

2. Ugyanez vonatkozik a frakciók redukálására is: amint megjelenik a redukció lehetősége, azt ki kell használni. Ez alól kivételt képeznek az összeadandó vagy kivont törtek: ha most ugyanazok a nevezők, akkor a csökkentést későbbre kell hagyni.

Íme néhány önálló megoldásra váró feladat:

És amit a legelején ígértek:

Válaszok:

Megoldások (röviden):

Ha legalább az első három példával megbirkózott, akkor gondolja úgy, hogy elsajátította a témát.

Most pedig a tanuláshoz!

KIFEJEZÉSEK KONVERTÁLÁSA. ÖSSZEFOGLALÓ ÉS ALAPKÉPLETEK

Alapvető egyszerűsítési műveletek:

• Hasonlót hozni: a hasonló kifejezések hozzáadásához (kicsinyítéséhez) hozzá kell adni az együtthatóikat és hozzá kell rendelni a betűrészt.
• Faktorizáció: a közös tényező zárójelből való kitétele, alkalmazása stb.
• Töredék csökkentése: A tört számlálója és nevezője szorozható vagy osztható ugyanazzal a nullától eltérő számmal, ami nem változtat a tört értékén.
  1) számláló és nevező tényezőkre bont
  2) ha a számlálónak és a nevezőnek közös tényezői vannak, akkor ezek áthúzhatók.

  FONTOS: csak a szorzók csökkenthetők!

• Törtek összeadása és kivonása:
  ;
• Törtek szorzása és osztása:
  ;

Nos, a téma véget ért. Ha ezeket a sorokat olvasod, az azt jelenti, hogy nagyon menő vagy.

Mert az embereknek mindössze 5%-a képes egyedül elsajátítani valamit. És ha a végéig elolvasod, akkor ebben az 5%-ban vagy!

Most a legfontosabb.

Megértetted az elméletet ebben a témában. És ismétlem, ez... ez egyszerűen szuper! Már így is jobb vagy, mint a társaid túlnyomó többsége.

Az a baj, hogy ez nem elég...

Minek?

Az egységes államvizsga sikeres letételéért, költségvetésből főiskolára való felvételért, és ami a LEGFONTOSABB, egy életre.

Nem foglak meggyőzni semmiről, csak egyet mondok...

Azok, akik jó oktatásban részesültek, sokkal többet keresnek, mint azok, akik nem kaptak. Ez statisztika.

De nem ez a fő.

A lényeg, hogy TÖBBEN BOLDOGAK legyenek (vannak ilyen tanulmányok). Talán azért, mert sokkal több lehetőség nyílik meg előttük, és az élet fényesebbé válik? nem tudom...

De gondold meg magad...

Mi kell ahhoz, hogy biztosan jobb legyen, mint mások az egységes államvizsgán, és végül... boldogabb legyen?

NYERJ MEG A KEZET AZ EBBEN A TÉMÁBAN VONATKOZÓ PROBLÉMÁK MEGOLDÁSÁVAL.

A vizsga során nem kérnek elméletet.

Szükséged lesz megoldani a problémákat az idővel.

És ha nem oldottad meg őket (SOKAT!), akkor valahol biztosan elkövetsz egy hülye hibát, vagy egyszerűen nem lesz időd.

Ez olyan, mint a sportban – sokszor meg kell ismételni a biztos győzelemhez.

Keresse a kollekciót, ahol csak akarja, szükségszerűen megoldásokkal, részletes elemzésselés dönts, dönts, dönts!

Feladatainkat (opcionális) használhatja, és természetesen ajánljuk.

Ahhoz, hogy jobban tudja használni feladatainkat, hozzá kell járulnia az éppen olvasott YouClever tankönyv élettartamának meghosszabbításához.

Hogyan? Két lehetőség van:

1. Oldja fel az összes rejtett feladatot ebben a cikkben -
2. Nyissa meg a hozzáférést az összes rejtett feladathoz a tankönyv mind a 99 cikkében - Vásároljon tankönyvet - 499 RUR

Igen, a tankönyvünkben 99 ilyen cikk található, és azonnal megnyitható az összes feladat és a benne lévő rejtett szöveg.

Az összes rejtett feladathoz hozzáférés biztosított a webhely TELJES élettartama alatt.

És befejezésül...

Ha nem tetszenek a feladataink, keress másokat. Csak ne állj meg az elméletnél.

Az „értettem” és a „meg tudom oldani” teljesen különböző képességek. Mindkettőre szüksége van.

Találd meg a problémákat és oldd meg őket!

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete