Valós számok, kép a számtengelyen. Valós számok, kép a számegyenesen Mutasd a számegyenesen 3.5

2 AZ ELSŐ FOK EGYENLETEI ÉS EGYENLŐTLENSÉGEI
Kezdje el a téma tanulmányozását az 1. fejezetből származó ismétlési feladatok megoldásával

4. § EGYENLŐTLENSÉGEK

Numerikus egyenlőtlenségek és tulajdonságaik

175. Tegyél egyenlőtlenségjelet a számok közé AÉs b, ha ismert, hogy:
1) (a - b) - pozitív szám;
2) (a - b) - negatív szám;
3) (a - b) egy nem negatív szám.

176. x, Ha:
1) x> 0; 2) x < 0; 3) 1 < x; 4) x > -3,2?

177. Írja fel egyenlőtlenségjelekkel, hogy:
1) x- pozitív szám;
2) nál nél-egy negatív szám;
3) | A| - a szám nem negatív;
4) két pozitív szám számtani középértéke AÉs b nem kisebb, mint a geometriai átlaguk;
5) két racionális szám összegének abszolút értéke AÉs b nem több, mint a kifejezések abszolút értékeinek összege.

178. Mit tud mondani a számjegyekről? AÉs b, Ha:

1) a b> 0; 2) a / b > 0; 3) a b< 0; 4) a / b < 0?

179. 1) Rendezd növekvő sorrendbe a következő számokat egyenlőtlenségi előjellel összekötve: 0; -5; 2. Hogyan kell olvasni ezt a bejegyzést?

2) Rendezd csökkenő sorrendbe a következő számokat egyenlőtlenségjellel összekötve: -10; 0,1;- 2/3. Hogyan kell elolvasni ezt a bejegyzést?

180. Írja fel növekvő sorrendben az összes háromjegyű számot, amelyek mindegyike tartalmazza a 2-es számjegyeket; 0; 5, és kösd össze őket egy egyenlőtlenségjellel.

181. 1) Egy bizonyos hosszúságú méréshez l megállapította, hogy több, mint 217 cm, de kevesebb, mint 218 cm. Írja le a mérési eredményt, és vegye figyelembe a hosszérték határát l.

2) Egy tárgy lemérésekor kiderült, hogy 19,5 G-nál nehezebb, de 20,0 G-nál könnyebb. Írja le a mérési eredményt a határértékek megjelölésével!

182. Amikor egy bizonyos tárgyat 0,05 kg-os pontossággal lemérünk, megkaptuk a súlyt
P ≈ 26,4 kg. Adja meg ennek a tételnek a súlyhatárait.

183. Ahol a számtengelyen található a számot reprezentáló pont x, Ha:
1) 3 < x < 10; 2) - 2 < x < 7; 3) - 1 > x > - 6?

184. Keresse meg és jelezze az egész értékeket a számtengelyen x, kielégítve az egyenlőtlenségeket.

1) 0,2 < x <4;
2)-3 < x <2;
3) 1 / 2 < x< 5;
4) -1< x<;3.

185. A 9 hányszorosa van 141 és 152 között? Adjon illusztrációt egy számegyenesről!

186. Határozza meg, hogy a két szám közül melyik a nagyobb, ha ismert, hogy mindegyik nagyobb 103-nál és kisebb, mint 115, és az első szám 13, a második pedig 3 többszöröse. Adjon geometriai illusztrációt!

187. Melyek a legközelebbi egész számok, amelyek megfelelő törteket tartalmaznak? Megadható-e két egész szám a közöttük lévő helytelen törtekkel?

188. 6 könyvet vásárolt matematikából, fizikából és történelemből. Hány könyvet vásároltak minden tantárgyból, ha matematikából több könyvet vásároltak, mint történelemből, és kevesebbet fizikából, mint történelemből?

189. Egy algebra órán három tanuló tudását mérték fel. Milyen osztályzatot kapott minden tanuló, ha ismert, hogy az első a másodiknál, a második pedig a harmadiknál ​​magasabb pontszámot kapott, és az egyes tanulók által kapott pontok száma kettőnél több?

190. Egy sakkversenyen az A, B, C és D sakkozók értek el a legjobb eredményeket. Megtudható-e, hogy az egyes verseny résztvevői milyen helyezést értek el, ha tudjuk, hogy A több pontot szerzett, mint D, B pedig kevesebb mint C?

191. Adott egyenlőtlenség a > b. Vajon mindig a c > b c? Adj rá példákat.

192. Adott egyenlőtlenség A< b. Igaz az egyenlőtlenség? A > - b?

193. Lehetséges-e az egyenlőtlenség jelének megváltoztatása nélkül mindkét oldalt megszorozni a kifejezéssel? x 2 + 1, ahol x- valami racionális szám?

194. Szorozzuk meg az egyenlőtlenség mindkét oldalát a zárójelben megadott tényezővel.

1)-3 < 1 (5); 2) 2 < 5 (-1); 3) x > 2 (x);
4) A < - 1 (A); 5) b < - 3 (-b); 6)x -2 > 1 (x).

195. Vezessen egy egész típusú egyenlőtlenséghez:

196. Adott egy függvény y = kx, Ahol k nál nél növekvő érvekkel x, ha: 1) k> 0; 2) k < 0? Обосновать ответы.

197. Adott egy függvény y = kx + b, Ahol k =/= 0, b=/= 0. Hogyan változnak a függvényértékek nál nél csökkenő argumentumértékekkel x, ha: 1) k > 0; 2) k < 0? Обосновать ответы.

198. Bizonyítsd be, hogy ha a > bÉs Val vel> 0, akkor a / c > b / c; Ha a > bÉs Val vel< 0, то a / c < b / c .

199. Osszuk el az egyenlőtlenség mindkét oldalát a zárójelben szereplő számokkal:

1) - 6 < 3 (1 / 3); 2) 4 > -1,5 (-1); 3) A < - 2A 2 (A);
4) A > A 2 (A); 5) A 3 > A 2 (-A).

200. Adja hozzá az egyenlőtlenségeket tagonként:

1) 12 > 11 és 1 > -3;
2) -5 < 2 и 4 < 8,2;
3) A - 2 < 8 + bés 5-2 A < 2 - b;
4) x 2 + 1 > 2xÉs x - 3 < 9 - x 2 .

201. Bizonyítsuk be, hogy egy konvex négyszög minden átlója kisebb, mint a kerülete.

202. Bizonyítsuk be, hogy egy konvex négyszög két szemközti oldalának összege kisebb, mint az átlóinak összege.

203. Vonjuk ki az elsőből a második egyenlőtlenségi tagot tagonként:

1)5 > 2; -3 < 1;
2) 0,2 < 3; 0,3 > -2;
3) 7 < 11; -4 < -3;
4) 2A- 1 > 3b; 2b > 3.

204. Bizonyítsd be, hogy ha | x |< а , Az - A< х < а .

205. Írja fel kettős egyenlőtlenségnek a következő egyenlőtlenségeket:
1) | T |< 1; 2) | x - 2 | < 2.

206. Számtengelyen jelölje meg az összes érték halmazát x, kielégítve az egyenlőtlenségeket: 1) | x |< 2; 2) | x | < 1; 3) | x | > 3; 4) | x - 1 | < 1.

207. Bizonyítsd be, hogy ha - A< х < а , majd | x |< A.

208. Cserélje le a kettős egyenlőtlenségeket gyorsírással:
1) -2 < A < 2; 2) -1 < 2P < 1; 3) 1 < x < 3.

209. Hozzávetőleges hossz l= 24,08 (±0,01) mm. Állítsa be a hosszkorlátokat l.

210. Ugyanazon távolság ötszöri mérése méteres vonalzóval a következő eredményeket adta: 21,56; 21,60; 21,59; 21,55; 21,61 (m). Határozza meg az abszolút és relatív hibák határait jelző mérési eredmények számtani átlagát!

211. A terhelés mérlegelésekor P = 16,7 (±0,4%) kg-ot kaptunk. Keresse meg az R súly határait.

212. A≈ 16,4, relatív hiba ε = 0,5%. Keresse meg az abszolút hibát
Δ aés meghatározza azokat a határokat, amelyek között a hozzávetőleges szám található.

213. Határozza meg az alábbi számok mindegyikének közelítő értékének relatív hibájának határát, ha a közelítő értéket a megadott számú helyes számjeggyel vesszük: 1) 11/6 három helyes számjeggyel; 2) √5 négy helyes számjeggyel.

214. Két város távolságának térképes mérése során azt találták, hogy az nagyobb, mint 24,4 cm, de kevesebb, mint 24,8 cm. Ha a térkép léptéke 1: 2 500 000, akkor találja meg a városok közötti tényleges távolságot és az abszolút számítási hibát.

215. Végezzen számításokat, és határozza meg az eredmény abszolút és relatív hibáit: x = a + b - c, Ha A= 7,22 (±0,01); 3.14< b < 3,17; Val vel= 5,4 (±0,05).

216. Szorozzuk meg az egyenlőtlenségeket tagonként:

1) 7 > 5 és 3 > 2; 2) 3< 5 и 2 / 3 <2;

3) - 6 < - 2 и - 3 < - 1; 4)A> 2 és b < -2.

217. Adott egyenlőtlenség A > b. Vajon mindig A 2 > b 2? Adj rá példákat.

218. Ha a > b > 0 és P akkor természetes szám fel > b. Bizonyít.

219. Melyik a nagyobb: (0,3) 20 vagy (0,1) 10?

220. Ha a > b > 0 vagy b< а < 0, majd 1 / a < 1 / b. Bizonyít.

221. Számítsa ki egy 437 m hosszú és 162 m széles téglalap alakú telek területét, ha a telek hosszának mérésekor ±2 m hiba, a szélesség mérésénél pedig hiba lehetséges. ±1 méteres távolság is lehetséges.

A tengely egy olyan egyenes, amelyen a két lehetséges irány egyike pozitívnak van kiválasztva (az ellenkező irányt negatívnak tekintjük). A pozitív irányt általában nyíl jelzi. A numerikus (vagy koordináta) tengely az a tengely, amelyen a kezdőpont (vagy origó) O és a skálaegység vagy skálaszegmens OE ki van választva (1. ábra).

Így a számtengelyt az irány, az origó és a lépték vonalon történő feltüntetésével határozzuk meg.

A valós számokat a számtengelyen lévő pontok segítségével ábrázoljuk. Az egész számokat pontokkal ábrázoljuk, amelyeket úgy kapunk, hogy a skálaszakaszt az O elejétől a szükséges számú alkalommal jobbra helyezzük pozitív egész esetén, és balra, ha negatív. A nullát az O kezdőpont jelöli (az O betű maga a nullára emlékeztet; ez az origo szó első betűje, ami „kezdetet” jelent). A tört (racionális) számokat is egyszerűen tengelypontokkal ábrázoljuk; például a számnak megfelelő pont megalkotásához három skálaszegmenst és a skálaszegmens másik harmadik részét félre kell tenni az O-tól balra (1. ábra A pont). ábra A pontja mellett. Az 1. ábra a B, C, D pontokat is mutatja, amelyek a -2 számokat jelentik; 3/2; 4.

Végtelen számú egész szám van, de a számtengelyen az egész számokat „ritkán” elhelyezkedő pontok ábrázolják a szomszédoktól egy léptékegységnyi távolságra. A racionális pontok nagyon „sűrűn” helyezkednek el a tengelyen – nem nehéz kimutatni, hogy a tengely bármely kis szakaszán végtelenül sok racionális számokat reprezentáló pont található. Vannak azonban olyan pontok a számegyenesen, amelyek nem racionális számok képei. Tehát, ha a számtengelyen az OEC derékszögű háromszög OS hipotenuszával egyenlő OA szakaszt szerkesztünk lábakkal, akkor ennek a szakasznak a hossza (a Pitagorasz-tétel 216. bekezdése szerint) egyenlő lesz, és az A pont nem lesz racionális szám képe.

Történelmileg a számokkal (racionális számokkal!) nem kifejezhető szakaszok létezésének ténye vezetett az irracionális számok bevezetéséhez.

Az irracionális számok bevezetése, amelyek a racionális számokkal együtt alkotják az összes valós szám halmazát, oda vezet, hogy a számtengely minden pontja egyetlen valós számnak felel meg, amelynek képét szolgálja. Éppen ellenkezőleg, minden valós számot egy nagyon meghatározott pont képvisel a számtengelyen. Egy az egyhez megfeleltetés jön létre a valós számok és a számtengely pontjai között.

Mivel a számtengelyt folytonos egyenesnek tekintjük, és pontjai egy az egyben megfelelnek a valós számoknak, ezért a valós számok halmazának folytonossági tulajdonságáról beszélünk (6. tétel).

Vegyük észre azt is, hogy bizonyos értelemben (nem adjuk meg) összehasonlíthatatlanul több irracionális szám van, mint racionális.

Azt a számot, amelynek képe a numerikus tengely A pontja, e pont koordinátájának nevezzük; azt a tényt, hogy a az A pont koordinátája, a következőképpen írjuk fel: A (a). Bármely A pont koordinátája az OA szakasz OA/OE és az OE skálaszakasz OA/OE arányaként van kifejezve, amelyhez mínusz jelet rendelünk az O kezdőponttól negatív irányban fekvő pontokhoz.

Vezessünk be a síkon derékszögű derékszögű koordinátákat. Vegyünk két egymásra merőleges Ox és Oy numerikus tengelyt, amelyeknek közös O origója és egyenlő skálaszegmensei vannak (a gyakorlatban gyakran használnak eltérő léptékű koordinátatengelyeket). Tegyük fel, hogy ezek a tengelyek (3. ábra) egy derékszögű derékszögű koordinátarendszert alkotnak a síkon. Az O pontot a koordináták origójának, az Ox és Oy tengelyeket koordinátatengelyeknek (az Ox tengelyt abszcissza tengelynek, az Oy tengelyt ordináta tengelynek nevezzük). ábrán. 3, mint általában, az abszcissza tengely vízszintes, az ordináta tengely függőleges. Azt a síkot, amelyen a koordináta-rendszer meg van adva, koordinátasíknak nevezzük.

A sík minden pontjához hozzá van rendelve egy számpár – ennek a pontnak az adott koordinátarendszerhez viszonyított koordinátái. Vegyük ugyanis az M pont téglalap alakú vetületeit az Ox és Oy tengelyeken, a megfelelő pontokat az Ox és Oy tengelyeken az ábra mutatja. 3 keresztül

Egy pontnak a numerikus tengelyen van egy x koordinátája (abszcissza), és egy pontnak, mint a numerikus tengely pontjának, van egy y koordinátája (ordinátája). Ezt a két y számot (a jelzett sorrendben írva) az M pont koordinátáinak nevezzük.

Egyúttal ezt írják: (x, y).

Tehát a sík minden pontja egy rendezett valós számpárral (x, y) van társítva - ennek a pontnak a derékszögű derékszögű koordinátái. A „rendezett pár” kifejezés azt jelzi, hogy különbséget kell tenni a pár első száma, az abszcissza és a második, az ordináta között. Ellenkezőleg, minden számpár (x, y) egyetlen M pontot határoz meg, amelynek x abszcisszaként, y pedig ordinátájaként szolgál. Ha egy síkban definiálunk egy derékszögű derékszögű koordinátarendszert, akkor a sík pontjai és a valós számok rendezett párjai között egy-egy megfeleltetés jön létre.

A koordinátatengelyek a koordinátasíkot négy részre, négy kvadránsra osztják. A kvadránsokat az ábra szerint számozzuk. 3, római számokkal.

Egy pont koordinátáinak előjelei attól függnek, hogy melyik negyedben található, amint azt a következő táblázat mutatja:

A tengelyen fekvő pontok y ordinátája nulla, az Oy tengelyen lévő pontok abszcissza nullával egyenlő. Az O origó mindkét koordinátája nulla: .

Példa 1. Szerkesszünk pontokat egy síkon

A megoldást az ábra mutatja. 4.

Ha egy adott pont koordinátái ismertek, akkor könnyen meg lehet adni a vele szimmetrikus pontok koordinátáit az Ox, Oy tengelyekhez és a koordináták origójához: az Ox tengelyhez képest M-vel szimmetrikus pontban lesznek a koordináták. egy pontban, amely szimmetrikus M-el a koordinátához képest, és végül egy olyan pontban, amely szimmetrikus M-el az origóhoz képest, a koordináták (-x, -y) lesznek.

A koordinátaszögek felezőjére szimmetrikus pontpárok koordinátái közötti kapcsolatot is jelezheti (5. ábra); ha ezen M pontok egyikének x és y koordinátája van, akkor a második pont abszcisszája egyenlő az első pont ordinátájával, az ordináta pedig az első pont abszcisszájával.

Más szavakkal, egy N pont koordinátái, amelyek szimmetrikusak a koordinátaszögek felezőszögéhez képest, a következők lesznek. A koordinátaszög felezőszögéhez képest szimmetrikusan helyezkednek el, ezért egyenlőek. Összehasonlítva a megfelelő lábakat, meg fogunk győződni állításunk helyességéről.

A derékszögű derékszögű koordinátarendszer úgy alakítható át, hogy az O kezdőpontját egy új O pontba mozgatjuk anélkül, hogy a tengelyek irányát és a skálaszegmens méretét megváltoztatnánk. ábrán. A 6. ábrán két koordinátarendszer látható egyszerre: a „régi” O origóval és az „új” O origóval. Egy tetszőleges M pontnak most két koordinátapárja van, az egyik a régi koordinátarendszerhez, a másik relatív. az újhoz. Ha a régi rendszerben az új origó koordinátáit -vel jelöljük, akkor az M pont régi koordinátái és új koordinátái (x, y) közötti kapcsolatot a képletekkel fejezzük ki.

Ezeket a képleteket koordinátarendszer-átviteli képleteknek nevezzük; ábra szerinti megrajzolásakor. A 6. ábrán az M pont legkényelmesebb helyzetét választottuk ki, amely mind a régi, mind az új rendszer első kvadránsában található.

Győződjön meg arról, hogy a (8.1) képletek igazak maradnak az M pont bármely helyére.

Az M pont helyzete a síkon nemcsak a derékszögű y derékszögű koordinátáival, hanem más módon is megadható. Kössük össze például az M pontot az O kezdetével (7. ábra), és vegyük figyelembe a következő két számot: a szakasz hossza és dőlésszöge a tengely pozitív irányához képest Ez az a szög, amellyel a tengelyt el kell forgatni, mielőtt az OM-hez igazodik, és pozitívnak tekinthető, ha az elforgatás az óramutató járásával ellentétes irányban történik, egyébként negatívnak, ahogy az a trigonometriában megszokott. A szakaszt az M pont poláris sugarának nevezzük , a szög a polárszög, a számpár az M pont polárkoordinátái. Mint látható, egy pont polárkoordinátáinak meghatározásához csak egy Ox koordinátatengelyt kell megadni (ezt az esetben nevezzük poláris tengely). Kényelmes azonban mind a poláris, mind a derékszögű derékszögű koordinátákat egyidejűleg figyelembe venni, amint az az 1. ábrán látható. 7.

Egy pont poláris szögét a pont kétértelmű megadásával határozzuk meg: ha a pont egyik poláris szöge, akkor minden szög

polárszöge lesz. A poláris sugár és szög megadása egyedi módon határozza meg a pont helyzetét. Az O origó (ezt a polárkoordináta-rendszer pólusának nevezzük) sugara nullával egyenlő, az O ponthoz nincs specifikus polárszög.

Egy pont derékszögű és poláris koordinátái között a következő összefüggések vannak:

közvetlenül a trigonometrikus függvények meghatározásából következik (97. szakasz). Ezek az összefüggések lehetővé teszik, hogy megtalálja a megadott poláris koordináták derékszögű koordinátáit. A következő képletek:

lehetővé teszi az inverz probléma megoldását: egy pont megadott derékszögű koordinátái segítségével keresse meg a poláris koordinátáit.

Ebben az esetben az érték (vagy) alapján az első körön belüli szög két lehetséges értéke található; az egyiket a soef jel választja ki. A szöget az érintőjével is meghatározhatjuk: , de ebben az esetben azt a negyedet, amelyben fekszik, a soef or jel adja meg.

A polárkoordinátákkal meghatározott pontot a poláris szöge és sugara alapján szerkesztjük meg (a derékszögű koordináták kiszámítása nélkül).

2. példa Keresse meg a pontok derékszögű koordinátáit.

Definíció 1. Számtengely egyenesnek nevezzük, amelyen az origó, a lépték és az irány van kiválasztva.

1. tétel. A számegyenes pontjai és a valós számok között egy az egyhez megfelelés (bijekció) van.

Szükségesség. Mutassuk meg, hogy a számegyenesen minden pont egy valós számnak felel meg. Ehhez tegyünk félre egy egységnyi hosszúságú skálaszegmenst

ha igen, akkor ez a lényeg a pont bal oldalán fog feküdni , és pont
már inkább jobbra. Következő szegmens
Oszd el
részeket és félretesszük a szegmenst és ha igen, akkor ez a lényeg a pont bal oldalán fog feküdni , és pont
már inkább jobbra. Így minden szakaszban a szám
,
... Ha ez az eljárás valamikor véget ér, megkapjuk a számot
(pont koordináta a számtengelyen). Ha nem, akkor nevezzük bármely intervallum bal határát „számnak” hátránnyal”, a jobb pedig – „számmal felesleggel", vagy "a szám közelítése hiány vagy többlet” és maga a szám végtelen nem periodikus (miért?) tizedes tört lesz. Kimutatható, hogy minden művelet egy irracionális szám racionális közelítésével egyértelműen meghatározzák.

Megfelelőség. Mutassuk meg, hogy bármely valós szám a számtengely egyetlen pontjának felel meg. 

2. definíció. Ha
, majd a numerikus intervallum
hívottszegmens , Ha
, majd a numerikus intervallum hívottintervallum , Ha
, majd a numerikus intervallum
hívottfél intervallum .

RÓL RŐL
definíció 3. Ha egy szegmensben
szegmensek egymásba vannak ágyazva úgy, hogy
, A
, akkor egy ilyen rendszert SHS-nek (beágyazott szegmensek rendszere ).

4. definíció. Azt mondják

(szegmens hossza
nullára hajlik , feltéve, hogy
), Ha.

5. definíció. SBC, amely rendelkezik
CSS-nek (contracting segment system) nevezik.

Cantor-Dedekind axióma: Bármely SHS-ben van legalább egy pont, amely egyszerre mindegyikhez tartozik.

Mivel a szám racionális közelítései összehúzódó szegmensek rendszerével ábrázolható, akkor a racionális szám a numerikus tengely egyetlen pontjának fog megfelelni, ha a szegmensek összehúzó rendszerében van egyetlen pont, amely egyszerre mindegyikhez tartozik ( Kántor-tétel). Mutassuk meg ezt ellentmondással.

. Hadd És két ilyen pont, és
,
. T
hogyan, hogyan,
, Azt
. De más módon,
, és azok. valamilyen számból kiindulva
,
kisebb lesz bármely állandónál. Ez az ellentmondás bizonyítja, amit kell. ■

Így megmutattuk, hogy a számtengely folytonos (nincs benne „lyuk”), és több szám nem helyezhető rá. Mindazonáltal még mindig nem tudjuk, hogyan lehet gyökereket kinyerni bármely valós számból (különösen negatívból), és nem tudjuk, hogyan oldjunk meg olyan egyenleteket, mint pl.
. Az 5. bekezdésben ezt a problémát fogjuk megoldani.

3. 4. Élek elmélete

1. definíció. Egy csomó
felülről korlátozva (alulról ), ha van szám , oly módon, hogy
. Szám hívotttetejére (alsó ) él .

2. definíció. Egy csomókorlátozott , ha felül és alul is korlátos.

3. definíció. Pontos felső él valós számok halmaza felett van határolva
hívott :

(azok. – az egyik felső felület);

(azok. – nem mozgatható).

Megjegyzés. Egy számhalmaz pontos felső határa (SUB).
által jelölve
(a lat. supremum- a legkisebb a nagyok közül).

Megjegyzés. A megfelelő definíció a TNG-re ( pontos alsó széle) Adj magadnak. TNG szám beállítva
által jelölve
(a lat. infinum- a legkisebbek közül a legnagyobb).

Megjegyzés. tartozhat
, Vagy talán nem. Szám a negatív valós számok halmazának TVG-je és a pozitív valós számok halmazának TVG-je, de nem tartozik sem az egyikhez, sem a másikhoz. Szám a természetes számok halmazának TNG-je, és azokra hivatkozik.

Felmerül a kérdés: van-e bármely korlátos halmaznak pontos határa, és hány van?

1. tétel. A valós számok nem üres halmaza, amely fent határolódik, egyedi TVG-vel rendelkezik. (hasonlóan fogalmazza meg és bizonyítja be a TNG-re vonatkozó tételt saját maga).

Tervezés. Egy csomó
fent korlátos valós számok nem üres halmaza. Akkor
És
. Ossza fel a szegmenst

P
felére, és nevezzük szegmensnek
amely a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

vonalszakasz
legalább egy pontot tartalmaz
. (például pont );

az egész sokaság
a ponttól balra fekszik , azaz
.

Ezt az eljárást folytatva SSS-t kapunk
. Így Cantor tétele szerint van egy egyedi pont , amely egyszerre minden szegmenshez tartozik. Mutassuk meg
.

Mutassuk meg
(azok. - az egyik arc). Tegyük fel az ellenkezőjét, azt
. Mert
, Azt
amint
,
, azaz
, azaz
. A pontkiválasztási szabály szerint
, pont mindig balra , azaz
, ezért és
. De úgy van megválasztva, hogy minden
, A
, azaz És
. Ez az ellentmondás bizonyítja a tétel ezen részét.

Mutassuk meg a változhatatlanságot , azaz
. Javítsuk ki
és keresse meg a számot. Szerint
1. szabállyal a szegmensek kiválasztásához. Ezt most mutattuk meg
, azaz
, vagy
. És így
, vagy
. ■