A közvetlen Fourier transzformáció képlete. A Fourier-transzformációk tulajdonságai

Úgy gondolom, hogy általában mindenki tisztában van egy olyan csodálatos matematikai eszköz létezésével, mint a Fourier-transzformáció. Valamiért azonban olyan rosszul tanítják az egyetemeken, hogy viszonylag kevesen értik, hogyan működik ez az átalakítás, és hogyan kell helyesen használni. Eközben ennek az átalakulásnak a matematikája meglepően szép, egyszerű és elegáns. Meghívok mindenkit, hogy tanuljon egy kicsit többet a Fourier-transzformációról és a kapcsolódó témáról, hogy hogyan lehet az analóg jeleket hatékonyan átalakítani digitális jelekké a számítási feldolgozáshoz.

Bonyolult képletek és Matlab használata nélkül megpróbálok válaszolni a következő kérdésekre:

FT, DTF, DTFT – mi a különbség, és hogyan adnak a látszólag teljesen eltérő képletek ilyen fogalmilag hasonló eredményeket?
A gyors Fourier-transzformáció (FFT) eredményeinek helyes értelmezése
Mi a teendő, ha 179 mintából álló jelet kap, és az FFT-nek két hatványnyi hosszúságú bemeneti sorozatra van szüksége?
Egy szinusz spektrumának Fourier segítségével történő megszerzésekor a várt egyetlen „pálcika” helyett miért jelenik meg furcsa kancsalság a grafikonon, és mit lehet tenni ellene
Miért helyezik az analóg szűrőket az ADC elé és a DAC után?
Lehetséges-e a mintavételi frekvencia felénél nagyobb frekvenciájú ADC jelet digitalizálni (az iskolai válasz hibás, a helyes válasz lehetséges)
Hogyan állítsuk vissza az eredeti jelet digitális sorozat segítségével

Abból a feltételezésből indulok ki, hogy az olvasó megérti, mi az integrál, egy komplex szám (valamint annak modulusa és argumentuma), a függvények konvolúciója, valamint legalább egy „gyakorlati” elképzelése arról, hogy mi a Dirac-delta függvény. van. Ha nem tudja, semmi gond, olvassa el a fenti linkeket. Ebben a szövegben a „függvények szorzata” alatt a „pontos szorzást” fogom érteni.

Valószínűleg azzal kellene kezdenünk, hogy a szokásos Fourier-transzformáció valami olyasmi, ami a névből sejthető, hogy az egyik függvényt a másikká alakítja át, vagyis egy x(t) valós változó minden függvényét társítja a függvényéhez. spektrum vagy Fourier-kép y (w):

Ha analógiákat adunk, akkor a jelentésben hasonló transzformációra példa lehet például a differenciálás, egy függvény származékává alakítása. Vagyis a Fourier-transzformáció lényegében ugyanaz a művelet, mint a derivált felvétele, és gyakran hasonló módon jelölik, háromszög alakú „sapkát” húzva a függvényre. Csak ellentétben a valós számokra is definiálható differenciálással, a Fourier-transzformáció mindig „működik” általánosabb komplex számokkal. Emiatt folyamatosan problémák merülnek fel a transzformáció eredményeinek megjelenítésével, mivel a komplex számokat nem egy, hanem két koordináta határozza meg egy valós számokkal operáló gráfon. A legkényelmesebb módszer általában az, ha a komplex számokat modulus és argumentum formájában ábrázoljuk, és külön-külön két külön grafikonként rajzoljuk meg:

A komplex érték argumentumának grafikonját ebben az esetben gyakran „fázisspektrumnak”, a modulus grafikonját pedig „amplitúdóspektrumnak” nevezik. Az amplitúdóspektrum általában sokkal nagyobb érdeklődésre tart számot, ezért a spektrum „fázis” részét gyakran kihagyják. Ebben a cikkben az „amplitúdós” dolgokra is fókuszálunk, de nem szabad megfeledkezni a grafikon hiányzó fázisrészének létezéséről sem. Ezenkívül a szokásos komplex érték modulusa helyett gyakran a decimális logaritmusát 10-zel szorozzák. Az eredmény egy logaritmikus grafikon, amelynek értékei decibelben (dB) vannak kiírva.

Kérjük, vegye figyelembe, hogy a logaritmikus grafikonon lévő nem túl negatív számok (-20 dB vagy kevesebb) a „normál” grafikonon csaknem nulla számoknak felelnek meg. Ezért az ilyen grafikonokon a különböző spektrumok hosszú és széles „farka”, ha „közönséges” koordinátákban jelennek meg, általában gyakorlatilag eltűnnek. Az ilyen első pillantásra furcsa ábrázolás kényelme abból adódik, hogy a különféle funkciók Fourier-képeit gyakran meg kell sokszorosítani egymás között. A komplex értékű Fourier-képek ilyen pontszerű szorzásával fázisspektrumaik összeadódnak, amplitúdóspektrumaik pedig megszorozódnak. Az elsőt könnyű elkészíteni, míg a másodikat viszonylag nehéz. Az amplitúdó logaritmusai azonban összeadódnak az amplitúdók szorzásakor, így a logaritmikus amplitúdógráfok a fázisgráfokhoz hasonlóan egyszerűen pontonként összeadhatók. Ezenkívül a gyakorlati problémákban gyakran kényelmesebb nem a jel „amplitúdójával”, hanem a „teljesítményével” (az amplitúdó négyzetével) működni. A logaritmikus skálán mindkét grafikon (amplitúdó és teljesítmény) azonosnak tűnik, és csak az együtthatóban különbözik - a teljesítménygrafikonon szereplő összes érték pontosan kétszer akkora, mint az amplitúdóskálán. Ennek megfelelően a teljesítményeloszlás frekvencia szerinti ábrázolásához (decibelben) nem lehet semmit négyzetre emelni, hanem kiszámítja a decimális logaritmust, és megszorozza 20-zal.

Unatkozol? Várj még egy kicsit, hamarosan elkészülünk a cikk unalmas, a grafikonok értelmezését ismertető részével :). De előtte van egy rendkívül fontos dolog, amit meg kell érteni: bár a fenti spektrumgrafikonok mindegyike bizonyos korlátozott értéktartományokra (különösen pozitív számokra) készült, ezek a grafikonok valójában továbbra is plusz és mínusz végtelen. A grafikonok egyszerűen a grafikon néhány „legjelentősebb” részét ábrázolják, amely általában a paraméter negatív értékeinél tükröződik, és gyakran ismétlődik egy bizonyos lépéssel, ha nagyobb léptékben nézzük.

Miután eldöntöttük, mit rajzolunk a gráfokra, térjünk vissza magához a Fourier-transzformációhoz és annak tulajdonságaihoz. Ennek a transzformációnak a meghatározásának számos különböző módja van, amelyek apró részletekben (különböző normalizálások) különböznek egymástól. Például egyetemeinken valamiért gyakran alkalmazzák a Fourier-transzformáció normalizálását, amely a spektrumot szögfrekvenciával (radián per másodperc) határozza meg. Egy kényelmesebb nyugati megfogalmazást fogok használni, amely a spektrumot a közönséges frekvenciával (hertz) határozza meg. A direkt és inverz Fourier-transzformációt ebben az esetben a bal oldali képletek határozzák meg, és ennek a transzformációnak néhány tulajdonságát, amelyekre szükségünk lesz, a jobb oldali hét pontból álló lista határozza meg:

Ezen tulajdonságok közül az első a linearitás. Ha a függvények valamilyen lineáris kombinációját vesszük, akkor ennek a kombinációnak a Fourier-transzformációja megegyezik a függvények Fourier-képeinek lineáris kombinációjával. Ez a tulajdonság lehetővé teszi az összetett függvények és a hozzájuk tartozó Fourier-képek egyszerűbbre való redukálását. Például egy f frekvenciájú és a amplitúdójú szinuszos függvény Fourier-transzformációja két, az f és -f pontban elhelyezkedő deltafüggvény kombinációja a/2 együtthatóval:

Ha veszünk egy függvényt, amely különböző frekvenciájú szinuszhalmazok összegéből áll, akkor a linearitás tulajdonsága szerint ennek a függvénynek a Fourier-transzformációja egy megfelelő delta-függvényhalmazból fog állni. Ez lehetővé teszi a spektrum naiv, de vizuális értelmezését a „ha egy függvény spektrumában az f frekvencia az a amplitúdónak felel meg, akkor az eredeti függvény szinuszok összegeként ábrázolható, amelyek közül az egyik f frekvenciájú és 2a amplitúdójú szinuszos. Szigorúan véve ez az értelmezés hibás, hiszen a delta függvény és a pont a gráfon teljesen más dolog, de mint később látni fogjuk, a diszkrét Fourier-transzformációknál ez nem lesz olyan messze az igazságtól.

A Fourier-transzformáció második tulajdonsága az amplitúdóspektrum függetlensége a jel időeltolódásától. Ha egy függvényt az x tengely mentén balra vagy jobbra mozgatunk, akkor csak a fázisspektruma fog megváltozni.

A harmadik tulajdonság az, hogy az eredeti függvény időtengely (x) mentén történő nyújtása (tömörítése) arányosan tömöríti (nyújtja) a Fourier-képét a frekvenciaskálán (w). Konkrétan egy véges időtartamú jel spektruma mindig végtelenül széles, és fordítva, a véges szélességű spektrum mindig egy korlátlan időtartamú jelnek felel meg.

A negyedik és ötödik tulajdonság talán a leghasznosabb az összes közül. Lehetővé teszik a függvények konvolúcióját a Fourier-képeik pontszerű szorzására, és fordítva - a függvények pontszerű szorzását Fourier-képeik konvolúciójára. Kicsit tovább mutatom, milyen kényelmes ez.

A hatodik tulajdonság a Fourier-képek szimmetriájáról beszél. Ebből a tulajdonságból különösen az következik, hogy egy valós értékű függvény Fourier-transzformációjában (azaz bármely „valós” jelnél) az amplitúdóspektrum mindig páros függvény, a fázisspektrum pedig (ha a -pi tartományba kerül). ...pi) egy furcsa . Ez az oka annak, hogy a spektrum negatív része szinte soha nem rajzolódik meg spektrumgrafikonon - valós értékű jeleknél nem ad új információt (de ismétlem, nem is nulla).

Végül az utolsó, hetedik tulajdonság azt mondja, hogy a Fourier-transzformáció megőrzi a jel „energiáját”. Csak véges időtartamú jelek esetén van értelme, amelyek energiája véges, és arra utal, hogy az ilyen jelek spektruma a végtelenben gyorsan megközelíti a nullát. Éppen e tulajdonság miatt a spektrumgrafikonok általában csak a jel „fő” részét ábrázolják, amely az energia oroszlánrészét hordozza - a grafikon többi része egyszerűen nullára hajlik (de ismét nem nulla).

Ezzel a 7 tulajdonsággal felvértezve nézzük meg a jel „digitalizálásának” matematikáját, amely lehetővé teszi a folyamatos jel számsorozattá alakítását. Ehhez a „Dirac fésű” néven ismert függvényt kell vennünk:

A Dirac-fésű egyszerűen delta függvények periodikus sorozata egységegyütthatóval, nullától kezdve és a T lépéssel haladva. A jelek digitalizálásához a T a lehető legkisebb számot választja, T.<<1. Фурье-образ этой функции - тоже гребенка Дирака, только с гораздо большим шагом 1/T и несколько меньшим коэффициентом (1/T). С математической точки зрения, дискретизация сигнала по времени - это просто поточечное умножение исходного сигнала на гребенку Дирака. Значение 1/T при этом называют частотой дискретизации:

Folyamatos függvény helyett ilyen szorzás után egy bizonyos magasságú delta-impulzussorozatot kapunk. Ezenkívül a Fourier-transzformáció 5. tulajdonsága szerint a kapott diszkrét jel spektruma az eredeti spektrum konvolúciója a megfelelő Dirac-fésűvel. Könnyen érthető, hogy a konvolúció tulajdonságai alapján az eredeti jel spektrumát a frekvenciatengely mentén 1/T lépéssel végtelen számú alkalommal „lemásolják”, majd összegzik.

Megjegyzendő, hogy ha az eredeti spektrum véges szélességű és kellően magas mintavételi frekvenciát használtunk, akkor az eredeti spektrum másolatai nem fedik át egymást, így nem is összegeznek egymással. Könnyű megérteni, hogy egy ilyen „összeomlott” spektrumból könnyű lesz visszaállítani az eredetit - elég lesz egyszerűen a spektrumkomponenst a nulla tartományba venni, „levágva” a végtelenbe tartó extra másolatokat. Ennek legegyszerűbb módja, ha a spektrumot megszorozzuk egy téglalapfüggvénnyel, amely egyenlő T-vel a -1/2T...1/2T tartományban és nullával ezen a tartományon kívül. Egy ilyen Fourier-transzformáció megfelel a sinc(Tx) függvénynek, és a 4. tulajdonság szerint egy ilyen szorzás egyenértékű a delta függvények eredeti sorozatának a sinc(Tx) függvényével.

Vagyis a Fourier-transzformáció segítségével lehetőségünk nyílik az eredeti jel egyszerű rekonstrukciójára egy időmintavételezettből, feltéve, hogy legalább kétszeres mintavételezési frekvenciát használunk (a spektrum negatív frekvenciáinak jelenléte miatt) magasabb, mint az eredeti jelben jelenlévő maximális frekvencia. Ez az eredmény széles körben ismert, és „Kotelnikov/Shannon-Nyquist tételnek” nevezik. Ez az eredmény azonban, amint azt ma már könnyű észrevenni (a bizonyítást értve), a széles körben elterjedt tévhittel ellentétben meghatározza elegendő, de nem szükséges az eredeti jel visszaállításának feltétele. Csak arra van szükségünk, hogy a jel mintavételezése után minket érdeklő spektrumrész ne fedje át egymást, és ha a jel kellően keskeny sávú (a spektrum nullától eltérő részének kis „szélessége” van), akkor ez az eredmény gyakran a jel maximális frekvenciájának kétszeresénél jóval alacsonyabb mintavételezési frekvencián érhető el. Ezt a technikát „alulmintavételezésnek” (subsampling, bandpass mintavételezés) nevezik, és meglehetősen széles körben alkalmazzák mindenféle rádiójel feldolgozására. Például, ha egy 88-108 MHz-es frekvenciasávban működő FM-rádiót veszünk, akkor annak digitalizálásához a Kotelnyikov-tételben feltételezett 216 MHz-es helyett csak 43,5 MHz-es ADC-t használhatunk. Ebben az esetben azonban szüksége lesz egy jó minőségű ADC-re és egy jó szűrőre.

Hadd jegyezzem meg, hogy a magas frekvenciák „megkettőzése” alacsonyabb rendű frekvenciákkal (aliasing) a jelmintavétel azonnali tulajdonsága, amely visszafordíthatatlanul „elrontja” az eredményt. Ezért, ha a jel elvileg tartalmazhat magasrendű frekvenciákat (vagyis szinte mindig), akkor az ADC elé egy analóg szűrőt helyeznek el, amely közvetlenül az eredeti jelben „levág” mindent, ami felesleges (hiszen a mintavételezés után). túl késő lesz ehhez). Ezeknek a szűrőknek, mint analóg eszközöknek a jellemzői nem ideálisak, így a jelben némi „sérülés” továbbra is előfordul, és a gyakorlatban ebből az következik, hogy a spektrum legmagasabb frekvenciái rendszerint megbízhatatlanok. A probléma csökkentése érdekében a jelet gyakran túlmintavételezik, a bemeneti analóg szűrőt alacsonyabb sávszélességre állítva, és az ADC elméletileg elérhető frekvenciatartományának csak az alsó részét használják.

Egy másik gyakori tévhit egyébként az, amikor a jelet a DAC kimenetén „lépésenként” húzzák. A „lépések” egy mintavételezett jelsorozat konvolúcióját jelentik T szélesség és 1 magasságú négyszögfüggvénnyel:

A jelspektrumot ezzel a transzformációval megszorozzuk ennek a téglalapfüggvénynek a Fourier-transzformációjával, és hasonló téglalapfüggvénynél ismét sinc(w), minél jobban „nyújtjuk”, minél kisebb a megfelelő téglalap szélessége. A mintavételezett jel ilyen „DAC” spektrumát pontról pontra megszorozzuk ezzel a spektrummal. Ebben az esetben a szükségtelenül magas frekvenciákat a spektrum „extra másolataival” nem vágják le teljesen, hanem éppen ellenkezőleg, a spektrum „hasznos” részének felső része csillapodik.

A gyakorlatban ezt persze senki nem csinálja. Sokféle megközelítés létezik a DAC felépítésére, de még a súlyozási típusú DAC-hoz a legközelebbi értelemben is a DAC négyszögletes impulzusait a lehető legrövidebbre választják (közelítve a delta valós sorozatát). funkciókat), hogy elkerüljük a spektrum hasznos részének túlzott elnyomását. Az így létrejövő szélessávú jel „extra” frekvenciáit szinte mindig kiiktatjuk, ha a jelet analóg aluláteresztő szűrőn vezetjük át, így nincs „digitális lépés” sem az átalakítón „belül”, sem különösen a kimenetén.

De térjünk vissza a Fourier-transzformációhoz. A fent leírt Fourier-transzformációt, amelyet egy előre mintavételezett jelsorozatra alkalmaznak, diszkrét idejű Fourier-transzformációnak (DTFT) nevezik. Az ilyen transzformációval kapott spektrum mindig 1/T-periodikus, ezért a DTFT spektrumát teljesen meghatározzák annak értékei azon az intervallumon, amely kielégíti a Fourier-sorba való kiterjesztés feltételeit, ezen az intervallumon trigonometrikusan ábrázolható. sorozat Az (1) sorozat a* és 6" együtthatóit az Euler-képletek határozzák meg -Fourier: FOURIER-TRANSZFORMÁCIÓ Fourier-integrál Az integrál Fourier-transzformáció összetett formája Koszinusz- és szinusztranszformáció Amplitúdó- és fázisspektrumok Tulajdonságok Alkalmazások A sorozat az egyenlőség jobb oldalán (1) eltérő formában is felírható. Ebből a célból a (2) képletekből beírjuk az a" és az op együtthatók értékeit, az integrálok előjelei alá tesszük a cos ^ x és sin x (ami lehetséges, mivel az integrációs változó m) O) és használja a különbség koszinuszának képletét. Ha az /(x) függvényt eredetileg a numerikus tengelynek a [-1,1] szakasznál nagyobb intervallumán határoztuk meg (például a teljes tengelyen), akkor a (3) kiterjesztés reprodukálja az értékeket ennek a függvénynek csak a [-1, 1] szakaszán, és a teljes numerikus tengelyre folytatódik, mint periodikus függvény 21-es periódussal (1. ábra). Ezért, ha az f(x) (általában nem periodikus) függvény a teljes számegyenesen definiálva van, a (3) képletben megpróbálhatunk az I +oo-nál lévő határértékre menni. Ebben az esetben természetes, hogy megköveteljük, hogy a következő feltételek teljesüljenek: 1. f(x) az Ox tengely bármely véges szakaszán teljesíti a Fourier-sorozattá való bővítés feltételeit\ 2. az f(x) függvény abszolút integrálható a teljes valós számegyenesen Ha a 2. feltétel teljesül, akkor a (3) egyenlőség jobb oldalán lévő első tag, mint I -* +oo, nullára hajlik. Valójában próbáljuk meg megállapítani, hogy a (3) jobb oldalán lévő összeg mennyivé válik az I +oo határértékben. Tegyük fel, hogy ekkor a (3) jobb oldalán lévő összeg a következőt ölti: Az integrál abszolút konvergenciája miatt ez az összeg nagy I-re alig különbözik attól a kifejezéstől, amely hasonlít az összeállított £ változó függvényének integrálösszegére. a változás (0, +oo) intervallumára tehát természetes, hogy az (5) összegre az integrálba kerül, viszont a (3) képletből az következik az egyenlőséget a (7) képlet érvényességének elégséges feltétele a következő tétellel fejeződik ki. 1. Tétel. Ha az f(x) függvény abszolút integrálható a teljes valós számegyenesen, és deriváltjával együtt véges számú első típusú szakadási pontja van bármely [a, 6] intervallumon, akkor az egyenlőség teljesül. : Ezen túlmenően, bármely xq pontban, amely az 1-edik típusú f(x) szakadási pont függvénye, a (7) jobb oldalán lévő integrál értéke egyenlő a (7) képlettel, ezt Fourier-integrál képletnek nevezzük, a jobb oldalán lévő integrált pedig Fourier-integrálnak nevezzük. Ha a különbség koszinuszának képletét használjuk, akkor a (7) képletet felírhatjuk az alábbi formában. Az a(ξ), b(ζ) függvények egy 2m-es periódusos függvény megfelelő an és bn Fourier-együtthatóinak analógjai. , de ez utóbbiak n diszkrét értékeire, míg a(0> HO £ G folytonos értékeire vannak definiálva (-oo, +oo). A Fourier-integrál összetett alakja /(x) feltételezve abszolút integrálható a teljes Ox tengelyen, tekintsük az integrált Ez az integrál egyenletesen konvergál, mivel, és ezért egy folytonos és nyilvánvalóan páratlan függvényét reprezentálja De akkor viszont az integrál a változó páros függvénye, így Ezért a Fourier-integrál képlet a következőképpen írható fel: Szorozzuk meg az egyenlőséget az i képzeletbeli egységgel, és adjuk hozzá a (10) egyenlőséghez. Azt kapjuk, hogy az Euler-képlet alapján ez lesz a Fourier-féle összetett alakja Integrál Itt a £-on keresztüli külső integrációt a Cauchy-főérték értelmében értjük: §2 Fourier transzformáció Koszinusz- és szinusztranszformáció Legyen az f(x) függvény az Ox tengely bármely véges szakaszán az egész tengelyt. Meghatározás. Azt a függvényt, amelyből az Euler-képlet alapján megkapjuk, az /(r) függvény Fourier-transzformációjának (spektrális függvény) nevezzük. Ez az f(r) függvény integráltranszformációja a (-oo,+oo) intervallumon a kernellel. A Fourier-integrál képlet segítségével megkapjuk. Ez az úgynevezett inverz Fourier-transzformáció, amely az F-ből való átmenetet adja. (t) - f(x). Néha a direkt Fourier-transzformációt a következőképpen definiáljuk: Ekkor az inverz Fourier-transzformációt a következő képlettel definiáljuk. Az /(x) függvény Fourier-transzformációját szintén a következőképpen definiáljuk: FOURIER-TRANSZFORMÁCIÓ Fourier-integrál Az integrál Fourier-transzformáció összetett alakja Koszinusz és szinusz átalakítja Amplitúdó és fázis spektrumot Tulajdonságok Alkalmazások Ekkor viszont, Ebben az esetben a ^ tényező helyzete meglehetősen tetszőleges: szerepelhet akár az (1"), akár a (2") képletben. Példa 1. Keresse meg a -4 függvény Fourier-transzformációját Megvan Ez az egyenlőség lehetővé teszi a differenciálást £-hoz képest az integrál előjele alatt (a differenciálás után kapott integrál egyenletesen konvergál, ha ( bármely véges szegmenshez tartozik): Részekkel integrálva kapunk Az integrálon kívüli tag eltűnik, és azt kapjuk, hogy ahol (C az integráció állandója) a (4)-ben C = F(0) van Ismeretes, hogy különösen a) kapjuk meg a 2. példát (a kódkészlet kiürítése a kopropilénen keresztül). Tekintsük a 4 függvényt. Az F(ξ) függvény spektrumaihoz így kapjuk (ábra). 2). Az f(x) függvény teljes számegyenesen való abszolút integrálhatóságának feltétele nagyon szigorú. Kizárja például az olyan elemi függvényeket, mint a) = cos x, f(x) = e1, amelyekre a Fourier-transzformáció (az itt tárgyalt klasszikus formában) nem létezik. Csak azok a függvények, amelyek gyorsan nulláznak, mint |x|, rendelkeznek Fourier-transzformációval. -+ +oo (mint az 1. és 2. példában). 2.1. Koszinusz és szinusz Fourier transzformációk A koszinusz és differencia képlet segítségével átírjuk a Fourier-integrál formulát a következő alakra: Legyen f(x) páros függvény. Ekkor van (5) egyenlőségünk. Páratlan f(x) esetén hasonlóképpen megkapjuk, ha f(x) csak (0, -foo) van megadva, akkor a (6) képlet kiterjeszti az f(x)-et az egészre. Az ökör tengelye páros, a (7) képlet pedig páratlan. (7) Meghatározás. A függvényt f(x) Fourier-koszinusz transzformációjának nevezzük. A (6)-ból az következik, hogy egy páros f(x) függvényre Ez azt jelenti, hogy f(x) viszont koszinusz transzformáció Fc(£) függvényre. Más szóval, a / és az Fc függvény kölcsönös koszinusz transzformáció. Meghatározás. A függvényt f(x) Fourier-szinusz transzformációjának nevezzük. A (7)-ből azt kapjuk, hogy páratlan f(x) függvényre, azaz. f és Fs kölcsönös szinusztranszformációk. 3. példa (téglalap alakú impulzus). Legyen f(t) a következőképpen definiált páros függvény: (3. ábra). §3. A Fourier-transzformáció tulajdonságai 1. Linearitás. Ha és G(0 az f(x) és d(x) függvény Fourier transzformációja, akkor bármely a és p állandó esetén az a f(x) + p d(x) függvény Fourier transzformációja lesz a függvény. a Az integrál linearitási tulajdonságát felhasználva, így a Fourier-transzformáció egy lineáris operátor a teljes numerikus tengelyre, akkor az f(x) függvény abszolút integrálható a teljes tengelyen - az f(x) függvény Fourier transzformációja A Fourier-transzformáció definíciója, mutassuk meg, hogy az f(z) függvénynek legyen az F(0>h) Fourier-transzformációja – egy valós szám. Mutassuk meg, hogy 3. Fourier transzformáció és differenciációs egyenletek. Legyen f egy abszolút integrálható függvény. x)-nek van egy f"(x) deriváltja, amely szintén abszolút integrálható a teljes Ox tengelyen, így f(x) nullára hajlik, mint |x| -" +oo. Ha f"(x) sima függvénynek tekintjük, részenkénti integrálást írunk, akkor az out-integral tag eltűnik (mivel, és azt kapjuk Így az /(x) függvény differenciálása megfelel a függvény szorzatának. Fourier-kép ^Π/] tényezővel Ha az f (x) függvénynek m-es nagyságrendig sima, abszolút meghatározható deriváltjai vannak, és ezek mindegyike, akárcsak maga az f(x) függvény, nullára hajlamos részenkénti integrálás közben A Fourier-transzformáció éppen azért nagyon hasznos, mert a differenciálás műveletét a mennyiséggel való szorzás műveletével helyettesíti, és ezzel leegyszerűsíti bizonyos típusú differenciálegyenletek integrálását, mivel az abszolút Fourier-transzformációt integrálható függvény f^k\x) a (2. tulajdonság) korlátos függvénye, akkor a (2) relációból a következő becslést kapjuk: FOURIER-TRANSZFORMÁCIÓ Fourier-integrál Az integrál Fourier-transzformáció komplex formája Koszinusz- és szinusztranszformáció Amplitúdó- és fázisspektrum. Tulajdonságok Alkalmazások Ebből a becslésből az következik: minél több az f(x) függvénynek abszolút integrálható deriváltja, annál gyorsabban nullázódik a Fourier-transzformációja. Megjegyzés. A feltétel teljesen természetes, hiszen a Fourier-integrálok szokásos elmélete olyan folyamatokkal foglalkozik, amelyeknek ilyen vagy olyan értelemben van kezdete és vége, de nem folytatódnak a végtelenségig megközelítőleg azonos intenzitással. 4. Összefüggés az f(x) függvény csökkenési sebessége között, mint |z| -» -f oo és négyes átalakulásának simasága. Tegyük fel, hogy nemcsak f(x), hanem xf(x) szorzata is abszolút integrálható függvény a teljes Ox tengelyen. Ekkor a Fourier-transzformáció) differenciálható függvény lesz. Valójában az integrandus £ paraméterére vonatkozó formális differenciálás olyan integrálhoz vezet, amely abszolút és egyenletesen konvergens a paraméterhez képest, ezért lehetséges a differenciálás, vagyis az f(x) szorzata a paraméterrel. Az x argumentum a Fourier-transzformáció után megy át a t műveletbe. Ha az f(x) függvénnyel együtt a függvények abszolút integrálhatók a teljes Ox tengelyen, akkor a differenciálási folyamat folytatható. Azt kapjuk, hogy a függvénynek m-ig terjedő deriváltjai vannak, és így minél gyorsabban csökken az f(x) függvény, annál simábbá válik a 2. Tétel (a fúrásról). Legyen az f,(x) és f2(x) függvény Fourier transzformációja. Aztán ahol a jobb oldali kettős integrál abszolút konvergál. Tegyük fel - x. Ekkor lesz, vagy az integráció sorrendjét megváltoztatva, A függvényt függvények konvolúciójának nevezzük, és szimbólummal jelöljük. Az (1) képlet most a következőképpen írható fel: Ez azt mutatja, hogy az f függvények konvolúciójának Fourier-transzformációja \(x) és f2(x) egyenlő y/2x szorzattal a konvolválható függvények Fourier transzformációival. Nem nehéz megállapítani a konvolúció következő tulajdonságait: 1) linearitás: 2) kommutativitás: §4. A Fourier-transzformáció alkalmazásai 1. Legyen P(^) egy m rendű lineáris differenciáloperátor, állandó együtthatókkal Az y(x) függvény deriváltjainak Fourier-transzformációjának képletével azt kapjuk, hogy " Tekintsük a differenciálegyenletet, ahol. P a fent bemutatott differenciáloperátor Tegyük fel, hogy a kívánt y(x) megoldásnak van y Fourier-transzformációja (O. és f(x)-nek a transzformációja /(£) Ha a Fourier-transzformációt alkalmazzuk az (1) egyenletre. a hova viszonyított tengelyén differenciálalgebrai egyenlet helyett kapjunk úgy, hogy formálisan ahol a szimbólum az inverz Fourier-transzformációt jelöli A módszer alkalmazhatóságának fő korlátja a következő tényből adódik: egy közönséges differenciálegyenlet megoldása állandó együtthatókkal eL*, eaz cos fix, eax sin рх alakú függvényeket tartalmaz. Ezek nem teljesen integrálhatók az -oo tengelyen.< х < 4-оо, и преобразование Фурье для них не определено, так что, строго говоря, применятьданный метод нельзя. Это ограничение можно обойти, если ввести в рассмотрение так называемые обобщенные функции. Однако в ряде случаев преобразование Фурье все же применимо в своей классической форме. Пример. Найти решение а = а(х, t) уравнения (а = const), при начальных условиях Это - задача о свободных колебаниях бесконечной однородной струны, когда задано начальное отклонение <р(х) точек сгруны, а начальные скорости отсутствуют. 4 Поскольку пространственная переменная х изменяется в пределах от -оо до +оо, подвергнем уравнение и начальные условия преобразованию Фурье по переменной х. Будем предполагать, что 1) функции и(х, t) и

Bonyolult képletek és Matlab használata nélkül megpróbálok válaszolni a következő kérdésekre:

FT, DTF, DTFT – mi a különbség, és hogyan adnak a látszólag teljesen eltérő képletek ilyen fogalmilag hasonló eredményeket?
A gyors Fourier-transzformáció (FFT) eredményeinek helyes értelmezése
Mi a teendő, ha 179 mintából álló jelet kap, és az FFT-nek két hatványnyi hosszúságú bemeneti sorozatra van szüksége?
Egy szinusz spektrumának Fourier segítségével történő megszerzésekor a várt egyetlen „pálcika” helyett miért jelenik meg furcsa kancsalság a grafikonon, és mit lehet tenni ellene
Miért helyezik az analóg szűrőket az ADC elé és a DAC után?
Lehetséges-e a mintavételi frekvencia felénél nagyobb frekvenciájú ADC jelet digitalizálni (az iskolai válasz hibás, a helyes válasz lehetséges)
Hogyan állítsuk vissza az eredeti jelet digitális sorozat segítségével