Hatványfüggvény grafikonja tört racionális kitevővel. „A hatványfüggvény tulajdonságai” téma tanulmányozásának módszertana

A hatványfüggvényt az alak képlete adja meg.

Tekintsük a hatványfüggvény grafikonjainak alakját és a hatványfüggvény tulajdonságait a kitevő értékétől függően.

Kezdjük egy egész kitevővel rendelkező hatványfüggvénnyel a. Ebben az esetben a hatványfüggvények grafikonjainak megjelenése és a függvények tulajdonságai függenek a kitevő páratlanságától vagy páratlanságától, valamint az előjelétől. Ezért először a hatványfüggvényeket vesszük figyelembe a kitevő páratlan pozitív értékeire a, majd - páros pozitív kitevőkre, majd - páratlan negatív kitevőkre, végül páros negatív kitevőkre a.

A tört és irracionális kitevővel rendelkező hatványfüggvények tulajdonságai (valamint az ilyen hatványfüggvények grafikonjainak típusa) a kitevő értékétől függenek. a. Először is megvizsgáljuk, hogy mikor a nulláról egyre, másodszor, mikor a nagyobb egységekkel, harmadszor azzal a mínusz egyről nullára, negyedszer, azzal a kisebb mínusz egy.

A rész végén a teljesség kedvéért egy nulla kitevővel rendelkező hatványfüggvényt írunk le.

Hatványfüggvény páratlan pozitív kitevővel.

Tekintsünk egy hatványfüggvényt páratlan pozitív kitevővel, azaz -vel a=1,3,5,….

Az alábbi ábra a hatványfüggvények grafikonját mutatja – fekete vonal, – kék vonal, – piros vonal, – zöld vonal. Nál nél a=1 nekünk van lineáris függvény y=x.

Páratlan pozitív kitevővel rendelkező hatványfüggvény tulajdonságai.

Hatványfüggvény páros pozitív kitevővel.

Tekintsünk egy páros pozitív kitevővel rendelkező hatványfüggvényt, azaz for-t a=2,4,6,….

Példaként adjuk meg a hatványfüggvények grafikonjait – fekete vonal, – kék vonal, – piros vonal. Nál nél a=2 van egy másodfokú függvényünk, amelynek gráfja az másodfokú parabola.

Páros pozitív kitevővel rendelkező hatványfüggvény tulajdonságai.

Hatványfüggvény páratlan negatív kitevővel.

Nézze meg a hatványfüggvény grafikonjait a kitevő páratlan negatív értékeire, azaz a for-ra a=-1,-3,-5,….

Az y = x p hatványfüggvény definíciós tartományában a következő képletek érvényesek:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Hatványfüggvények tulajdonságai és grafikonjaik

Hatványfüggvény nullával egyenlő kitevővel, p = 0

Ha az y = x p hatványfüggvény kitevője nulla, p = 0, akkor a hatványfüggvény minden x ≠ 0 esetén definiálva van, és eggyel egyenlő állandó:
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0.

Hatványfüggvény természetes páratlan kitevővel, p = n = 1, 3, 5, ...

Tekintsünk egy y = x p = x n hatványfüggvényt, amelynek természetes páratlan kitevője n = 1, 3, 5, ... . Ez a mutató a következő formában is felírható: n = 2k + 1, ahol k = 0, 1, 2, 3, ... egy nem negatív egész szám. Az alábbiakban az ilyen függvények tulajdonságait és grafikonjait mutatjuk be.

Egy y = x n hatványfüggvény grafikonja természetes páratlan kitevővel az n = 1, 3, 5, ... kitevő különböző értékeire.

Tartomány: -∞ < x < ∞
Több jelentése: -∞ < y < ∞
Paritás: páratlan, y(-x) = - y(x)
Monoton: monoton növekszik
Extrémek: Nem
Konvex:
-∞-nél< x < 0 выпукла вверх
0-nál< x < ∞ выпукла вниз
Inflexiós pontok: x = 0, y = 0
x = 0, y = 0
Korlátok:
;
Privát értékek:
x = -1-nél,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
x = 0 esetén y(0) = 0 n = 0
ha x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fordított funkció:
n = 1 esetén a függvény az inverze: x = y
n ≠ 1 esetén az inverz függvény az n fok gyöke:

Hatványfüggvény természetes páros kitevővel, p = n = 2, 4, 6, ...

Tekintsünk egy y = x p = x n hatványfüggvényt, amelynek természetes páros kitevője n = 2, 4, 6, ... . Ez a mutató a következő formában is felírható: n = 2k, ahol k = 1, 2, 3, ... - természetes. Az alábbiakban az ilyen függvények tulajdonságait és grafikonjait mutatjuk be.

Egy y = x n hatványfüggvény grafikonja természetes páros kitevővel az n = 2, 4, 6, ... kitevő különböző értékeire.

Tartomány: -∞ < x < ∞
Több jelentése: 0 ≤ év< ∞
Paritás: páros, y(-x) = y(x)
Monoton:
x ≤ 0 esetén monoton csökken
x ≥ 0 esetén monoton növekszik
Extrémek: minimum, x = 0, y = 0
Konvex: lefelé domború
Inflexiós pontok: Nem
Metszéspontok koordinátatengelyekkel: x = 0, y = 0
Korlátok:
;
Privát értékek:
x = -1-nél, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
x = 0 esetén y(0) = 0 n = 0
ha x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fordított funkció:
n = 2 esetén négyzetgyök:
n ≠ 2 esetén az n fok gyöke:

Hatványfüggvény negatív egész kitevővel, p = n = -1, -2, -3, ...

Tekintsünk egy y = x p = x n hatványfüggvényt n = -1, -2, -3, ... egész szám negatív kitevőjével. Ha n = -k-t teszünk, ahol k = 1, 2, 3, ... egy természetes szám, akkor a következőképpen ábrázolható:

Egy y = x n hatványfüggvény grafikonja negatív egész kitevővel az n = -1, -2, -3, ... kitevő különböző értékeire.

Páratlan kitevő, n = -1, -3, -5, ...

Az alábbiakban az y = x n függvény tulajdonságait mutatjuk be páratlan negatív kitevővel, n = -1, -3, -5, ....

Tartomány: x ≠ 0
Több jelentése: y ≠ 0
Paritás: páratlan, y(-x) = - y(x)
Monoton: monoton csökken
Extrémek: Nem
Konvex:
x-nél< 0 : выпукла вверх
x > 0 esetén: konvex lefelé
Inflexiós pontok: Nem
Metszéspontok koordinátatengelyekkel: Nem
Jel:
x-nél< 0, y < 0
ha x > 0, y > 0
Korlátok:
; ; ;
Privát értékek:
ha x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fordított funkció:
ha n = -1,
a n< -2 ,

Páros kitevő, n = -2, -4, -6, ...

Alább láthatók az y = x n függvény tulajdonságai, páros negatív kitevőjű n = -2, -4, -6, ....

Tartomány: x ≠ 0
Több jelentése: y > 0
Paritás: páros, y(-x) = y(x)
Monoton:
x-nél< 0 : монотонно возрастает
x > 0 esetén: monoton csökken
Extrémek: Nem
Konvex: lefelé domború
Inflexiós pontok: Nem
Metszéspontok koordinátatengelyekkel: Nem
Jel: y > 0
Korlátok:
; ; ;
Privát értékek:
ha x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fordított funkció:
n = -2-nél,
a n< -2 ,

Hatványfüggvény racionális (tört) kitevővel

Tekintsünk egy racionális (tört) kitevővel rendelkező y = x p hatványfüggvényt, ahol n egész szám, m > 1 természetes szám. Ráadásul n-nek, m-nek nincs közös osztója.

A törtmutató nevezője páratlan

Legyen a törtkitevő nevezője páratlan: m = 3, 5, 7, ... . Ebben az esetben az x p hatványfüggvény az x argumentum pozitív és negatív értékeire egyaránt definiálva van. Tekintsük az ilyen hatványfüggvények tulajdonságait, ha a p kitevő bizonyos határokon belül van.

A p-érték negatív, p< 0

Legyen a racionális kitevő (m = 3, 5, 7, ... páratlan nevezővel) kisebb nullánál: .

Hatványfüggvények grafikonjai racionális negatív kitevővel a kitevő különböző értékeire, ahol m = 3, 5, 7, ... páratlan.

Páratlan számláló, n = -1, -3, -5, ...

Az y = x p hatványfüggvény tulajdonságait racionális negatív kitevővel mutatjuk be, ahol n = -1, -3, -5, ... páratlan negatív egész szám, m = 3, 5, 7 ... egy páratlan természetes egész szám.

Tartomány: x ≠ 0
Több jelentése: y ≠ 0
Paritás: páratlan, y(-x) = - y(x)
Monoton: monoton csökken
Extrémek: Nem
Konvex:
x-nél< 0 : выпукла вверх
x > 0 esetén: konvex lefelé
Inflexiós pontok: Nem
Metszéspontok koordinátatengelyekkel: Nem
Jel:
x-nél< 0, y < 0
ha x > 0, y > 0
Korlátok:
; ; ;
Privát értékek:
x = -1 esetén y(-1) = (-1) n = -1
ha x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fordított funkció:

Páros számláló, n = -2, -4, -6, ...

Az y = x p hatványfüggvény tulajdonságai racionális negatív kitevővel, ahol n = -2, -4, -6, ... páros negatív egész szám, m = 3, 5, 7 ... páratlan természetes egész szám .

Tartomány: x ≠ 0
Több jelentése: y > 0
Paritás: páros, y(-x) = y(x)
Monoton:
x-nél< 0 : монотонно возрастает
x > 0 esetén: monoton csökken
Extrémek: Nem
Konvex: lefelé domború
Inflexiós pontok: Nem
Metszéspontok koordinátatengelyekkel: Nem
Jel: y > 0
Korlátok:
; ; ;
Privát értékek:
x = -1 esetén y(-1) = (-1) n = 1
ha x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fordított funkció:

A p-érték pozitív, kisebb, mint egy, 0< p < 1

Hatványfüggvény grafikonja racionális kitevővel (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Páratlan számláló, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Tartomány: -∞ < x < +∞
Több jelentése: -∞ < y < +∞
Paritás: páratlan, y(-x) = - y(x)
Monoton: monoton növekszik
Extrémek: Nem
Konvex:
x-nél< 0 : выпукла вниз
x > 0 esetén: konvex felfelé
Inflexiós pontok: x = 0, y = 0
Metszéspontok koordinátatengelyekkel: x = 0, y = 0
Jel:
x-nél< 0, y < 0
ha x > 0, y > 0
Korlátok:
;
Privát értékek:
x = -1 esetén y(-1) = -1
x = 0 esetén y(0) = 0
x = 1 esetén y(1) = 1
Fordított funkció:

Páros számláló, n = 2, 4, 6, ...

Bemutatjuk az y = x p hatványfüggvény tulajdonságait 0-n belüli racionális kitevővel< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Tartomány: -∞ < x < +∞
Több jelentése: 0 ≤ év< +∞
Paritás: páros, y(-x) = y(x)
Monoton:
x-nél< 0 : монотонно убывает
x > 0 esetén: monoton növekszik
Extrémek: minimum x = 0, y = 0
Konvex: konvex felfelé x ≠ 0 esetén
Inflexiós pontok: Nem
Metszéspontok koordinátatengelyekkel: x = 0, y = 0
Jel: x ≠ 0 esetén y > 0
Korlátok:
;
Privát értékek:
x = -1 esetén y(-1) = 1
x = 0 esetén y(0) = 0
x = 1 esetén y(1) = 1
Fordított funkció:

A p index nagyobb egynél, p > 1

Egy hatványfüggvény grafikonja racionális kitevővel (p > 1) a kitevő különböző értékeire, ahol m = 3, 5, 7, ... - páratlan.

Páratlan számláló, n = 5, 7, 9, ...

Az y = x p hatványfüggvény tulajdonságai egynél nagyobb racionális kitevővel: . Ahol n = 5, 7, 9, ... - páratlan természetes, m = 3, 5, 7 ... - páratlan természetes.

Tartomány: -∞ < x < ∞
Több jelentése: -∞ < y < ∞
Paritás: páratlan, y(-x) = - y(x)
Monoton: monoton növekszik
Extrémek: Nem
Konvex:
-∞-nél< x < 0 выпукла вверх
0-nál< x < ∞ выпукла вниз
Inflexiós pontok: x = 0, y = 0
Metszéspontok koordinátatengelyekkel: x = 0, y = 0
Korlátok:
;
Privát értékek:
x = -1 esetén y(-1) = -1
x = 0 esetén y(0) = 0
x = 1 esetén y(1) = 1
Fordított funkció:

Páros számláló, n = 4, 6, 8, ...

Az y = x p hatványfüggvény tulajdonságai egynél nagyobb racionális kitevővel: . Ahol n = 4, 6, 8, ... - páros természetes, m = 3, 5, 7 ... - páratlan természetes.

Tartomány: -∞ < x < ∞
Több jelentése: 0 ≤ év< ∞
Paritás: páros, y(-x) = y(x)
Monoton:
x-nél< 0 монотонно убывает
x > 0 esetén monoton növekszik
Extrémek: minimum x = 0, y = 0
Konvex: lefelé domború
Inflexiós pontok: Nem
Metszéspontok koordinátatengelyekkel: x = 0, y = 0
Korlátok:
;
Privát értékek:
x = -1 esetén y(-1) = 1
x = 0 esetén y(0) = 0
x = 1 esetén y(1) = 1
Fordított funkció:

A törtmutató nevezője páros

Legyen a törtkitevő nevezője páros: m = 2, 4, 6, ... . Ebben az esetben az x p hatványfüggvény nincs megadva az argumentum negatív értékeihez. Tulajdonságai egybeesnek egy irracionális kitevővel rendelkező hatványfüggvény tulajdonságaival (lásd a következő részt).

Hatványfüggvény irracionális kitevővel

Tekintsünk egy y = x p hatványfüggvényt p irracionális kitevőjével. Az ilyen függvények tulajdonságai abban különböznek a fentebb tárgyaltaktól, hogy nincsenek meghatározva az x argumentum negatív értékeihez. Az argumentum pozitív értékei esetén a tulajdonságok csak a p kitevő értékétől függenek, és nem függenek attól, hogy p egész szám, racionális vagy irracionális.

y = x p a p kitevő különböző értékeihez.

Hatványfüggvény negatív kitevővel p< 0

Tartomány: x > 0
Több jelentése: y > 0
Monoton: monoton csökken
Konvex: lefelé domború
Inflexiós pontok: Nem
Metszéspontok koordinátatengelyekkel: Nem
Korlátok: ;
Privát jelentése: Ha x = 1, y(1) = 1 p = 1

Hatványfüggvény pozitív kitevővel p > 0

A mutató kevesebb, mint egy 0< p < 1

Tartomány: x ≥ 0
Több jelentése: y ≥ 0
Monoton: monoton növekszik
Konvex: felfelé domború
Inflexiós pontok: Nem
Metszéspontok koordinátatengelyekkel: x = 0, y = 0
Korlátok:
Privát értékek: Ha x = 0, y(0) = 0 p = 0.
Ha x = 1, y(1) = 1 p = 1

A mutató nagyobb, mint egy p > 1

Tartomány: x ≥ 0
Több jelentése: y ≥ 0
Monoton: monoton növekszik
Konvex: lefelé domború
Inflexiós pontok: Nem
Metszéspontok koordinátatengelyekkel: x = 0, y = 0
Korlátok:
Privát értékek: Ha x = 0, y(0) = 0 p = 0.
Ha x = 1, y(1) = 1 p = 1

Referenciák:
BAN BEN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematika kézikönyve mérnökök és főiskolai hallgatók számára, „Lan”, 2009.

Lásd még:

A hatványfüggvény figyelembe vételének megkönnyítése érdekében 4 különálló esetet veszünk figyelembe: egy természetes kitevővel, egy egész kitevővel, egy racionális kitevővel és egy irracionális kitevővel.

Hatványfüggvény természetes kitevővel

Először is mutassuk be a természetes kitevővel rendelkező fokozat fogalmát.

1. definíció

A $n$ természetes kitevővel rendelkező $a$ valós szám hatványa egy olyan szám, amely egyenlő az $n$ tényezők szorzatával, amelyek mindegyike megegyezik az $a$ számmal.

1. kép

$a$ a diploma alapja.

$n$ a kitevő.

Tekintsünk most egy természetes kitevővel rendelkező hatványfüggvényt, annak tulajdonságait és gráfját.

2. definíció

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in N)$ természetes kitevővel rendelkező hatványfüggvénynek nevezzük.

A további kényelem érdekében külön vizsgálunk egy hatványfüggvényt páros kitevővel $f\left(x\right)=x^(2n)$ és egy hatványfüggvényt páratlan kitevővel $f\left(x\right)=x^ (2n-1)$ ($n\in N)$.

Természetes páros kitevővel rendelkező hatványfüggvény tulajdonságai

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n)=x^(2n)=f(x)$ -- a függvény páros.

Értékterület -- $\

A függvény $x\in (-\infty ,0)$ értékkel csökken, és $x\in (0,+\infty)$ értékkel nő.

$f("")\left(x\right)=(\left(2n\cdot x^(2n-1)\right))"=2n(2n-1)\cdot x^(2(n-1) ))\ge 0$

A függvény konvex a teljes definíciós tartományban.

Viselkedés a tartomány végén:

\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^( 2n)\ )=+\infty \]

Grafikon (2. ábra).

2. ábra: $f\left(x\right)=x^(2n)$ függvény grafikonja

Természetes páratlan kitevővel rendelkező hatványfüggvény tulajdonságai

A definíció tartománya minden valós szám.

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ -- a függvény páratlan.

$f(x)$ folytonos a teljes definíciós tartományban.

A tartomány minden valós szám.

$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

A függvény a teljes definíciós tartományban növekszik.

$f\left(x\right)0$, $x\in (0,+\infty)$ esetén.

$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

A függvény konkáv $x\in (-\infty ,0)$ esetén, és konvex $x\in (0,+\infty)$ esetén.

Grafikon (3. ábra).

3. ábra: $f\left(x\right)=x^(2n-1)$ függvény grafikonja

Hatványfüggvény egész kitevővel

Először is mutassuk be az egész kitevővel rendelkező fok fogalmát.

3. definíció

A $n$ egész kitevővel rendelkező $a$ valós szám hatványát a következő képlet határozza meg:

4. ábra.

Tekintsünk most egy egész kitevővel rendelkező hatványfüggvényt, annak tulajdonságait és gráfját.

4. definíció

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ egész kitevőjű hatványfüggvénynek nevezzük.

Ha a fokszám nagyobb nullánál, akkor egy természetes kitevővel rendelkező hatványfüggvény esetéhez jutunk. Fentebb már tárgyaltuk. Amikor $n=0$ egy $y=1$ lineáris függvényt kapunk. Megfontolását az olvasóra bízzuk. Továbbra is figyelembe kell venni egy negatív egész kitevővel rendelkező hatványfüggvény tulajdonságait

Negatív egész kitevővel rendelkező hatványfüggvény tulajdonságai

A meghatározás tartománya: $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Ha a kitevő páros, akkor a függvény páros, ha páratlan, akkor a függvény páratlan.

$f(x)$ folytonos a teljes definíciós tartományban.

Hatály:

Ha a kitevő páros, akkor $(0,+\infty)$, ha páratlan, akkor $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Páratlan kitevő esetén a függvény a következőképpen csökken: $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. Ha a kitevő páros, a függvény $x\in (0,+\infty)$ értékkel csökken. és a következővel nő: $x\in \left(-\infty ,0\right)$.

$f(x)\ge 0$ a teljes definíciós tartományban

Előadás: Hatványfüggvény természetes kitevővel, grafikonja

Mindig olyan függvényekkel foglalkozunk, ahol az argumentumnak van valamilyen mértéke:
y = x 1, y = x 2, y = x 3, y = x -1 stb.

Hatványfüggvények grafikonjai

Tehát most megvizsgáljuk a hatványfüggvény több lehetséges esetét.

1) y = x 2 n .

Ez azt jelenti, hogy most olyan függvényeket fogunk figyelembe venni, amelyekben a kitevő páros szám.

Funkció jellemzői:

1. Értéktartományként minden valós számot elfogadunk.

2. A függvény minden pozitív értéket és a nulla számot képes elfogadni.

3. A függvény páros, mert nem az argumentum előjelétől, hanem csak a modulusától függ.

4. Pozitív argumentum esetén a függvény növekszik, negatív argumentum esetén pedig csökken.

Ezeknek a függvényeknek a grafikonjai egy parabolához hasonlítanak. Például lent látható az y = x 4 függvény grafikonja.

2) A függvénynek páratlan kitevője van: y = x 2 n +1.

1. Egy függvény tartománya a valós számok teljes halmaza.

2. Függvényérték terület - bármilyen valós szám alakját öltheti.

3. Ez a függvény furcsa.

4. Monoton növekszik a függvény teljes figyelembevételi intervallumában.

5. Az összes páratlan kitevővel rendelkező hatványfüggvény grafikonja megegyezik az y = x 3 függvénnyel.

3) A függvénynek páros negatív természetes kitevője van: y = x -2 n.

Mindannyian tudjuk, hogy a negatív kitevő lehetővé teszi, hogy kihagyjuk a fokozatot a nevezőből, és megváltoztatjuk a kitevő előjelét, vagyis az y = 1/x 2 n alakot kapjuk.

1. A függvény argumentuma nulla kivételével tetszőleges értéket vehet fel, mivel a változó a nevezőben van.

2. Mivel a kitevő páros szám, a függvény nem vehet fel negatív értékeket. És mivel az argumentum nem lehet egyenlő nullával, ezért a függvény nullával egyenlő értékét is ki kell zárni. Ez azt jelenti, hogy a függvény csak pozitív értékeket vehet fel.

3. Ez a funkció páros.

4. Negatív argumentum esetén a függvény monoton növekszik, pozitív argumentum esetén pedig csökken.

Az y = x -2 függvény grafikonjának típusa:

4) Függvény negatív páratlan kitevővel y = x -(2 n +1) .

1. Ez a függvény minden argumentumértékre létezik, kivéve a nullát.

2. A függvény a nulla kivételével minden valós értéket elfogad.

3. Ez a függvény furcsa.

4. Csökken a két vizsgált intervallum alatt.

Tekintsünk egy példát egy negatív páratlan kitevővel rendelkező függvény gráfjára az y = x -3 példával.

Óra és előadás a következő témában: "Hatványfüggvények. Negatív egész kitevő. Hatványfüggvény grafikonja"

Kiegészítő anyagok
Kedves felhasználók, ne felejtsék el megírni észrevételeiket, véleményeiket, kívánságaikat! Az összes anyagot egy vírusirtó program ellenőrizte.

Oktatási segédanyagok és szimulátorok az Integral webáruházban 9. osztályosoknak
Interaktív kézikönyv "Szabályok és gyakorlatok az algebrában" a 9. osztály számára
Multimédia tankönyv 9. évfolyamnak "Algebra 10 percben"

A hatványfüggvény típusa negatív kitevővel

Srácok, folytatjuk a numerikus függvények tanulmányozását. A mai óra témája is a hatványfüggvények lesz, de nem természetes kitevővel, hanem negatív egész számmal.
a következő formájú: $y=x^(-n)=\frac(1)(x^n)$.
Az egyik ilyen függvény, amit nagyon jól ismerünk, a hiperbola. Emlékszel a hiperbola grafikonra? Építsd meg magad.

Nézzük meg az egyik számunkra megfelelő függvényt, és definiáljunk hozzá tulajdonságokat. $y=x^(-2)=\frac(1)(x^2)$.
Kezdjük tanulmányunkat paritással. Érdemes megjegyezni, hogy a paritás tulajdonság nagyban leegyszerűsíti a függvénygráfok felépítését, mert ábrázolhatjuk a grafikon felét, majd egyszerűen tükrözhetjük azt.
Függvényünk definíciós tartománya a valós számok halmaza, kivéve a nullát, mindannyian jól tudjuk, hogy nem oszthatunk nullával. A definíciós tartomány egy szimmetrikus halmaz, a függvény értékét a negatív argumentumból számítjuk ki.
$f(-x)=\frac(1)((-x)^2)=\frac(1)(x^2)=f(x)$.
Funkciónk egyenletes. Ez azt jelenti, hogy létrehozhatunk egy gráfot $x≥0$-hoz, majd tükrözhetjük azt az y tengelyhez képest.
Srácok, ezúttal azt javaslom, hogy készítsünk együtt egy függvény grafikonját, ahogyan azt a „felnőtt” matematikában teszik. Először meghatározzuk a függvényünk tulajdonságait, majd ezek alapján készítünk egy gráfot. Figyelembe vesszük, hogy $x>0$.
1. D(y)=(0;+∞) definíciós tartomány.
2. A funkció csökken. Nézzük meg. Legyen $x1 \frac(1)(x_(2)^2)$. Mivel nagyobb számmal osztunk, kiderül, hogy maga a függvény nagyobb számban kisebb lesz, ami csökkenést jelent.
3. A funkció alulról korlátozott. Nyilvánvalóan $\frac(1)(x^2)>0$, ami azt jelenti, hogy alulról korlátos.
Nincs felső határ, hiszen ha az argumentum értékét nagyon kicsire, nullához közeli értékre vesszük, akkor a függvény értéke a végtelen pluszba fog emelkedni.
4. Nincs maximális vagy minimális érték. Nincs maximális érték, mivel a függvénynek nincs felső határa. Mi a teendő a legkisebb értékkel, mert a függvény alulról korlátos.

Mit jelent az, hogy egy függvénynek a legkisebb az értéke?

Van olyan x0 pont, hogy minden x-re a $f(x)≥f(x0)$ definíciós tartományból, de a függvényünk a teljes definíciós tartományban csökken, akkor van egy $x1>x0$ szám, de $f(x1)

Hatványfüggvények grafikonjai negatív kitevővel

Ábrázoljuk a függvényünket pontról pontra.




Függvényünk grafikonja nagyon hasonló a hiperbola grafikonjához.
Használjuk a paritás tulajdonságát, és jelenítsük meg a grafikont az ordináta tengelyéhez képest.

Írjuk fel a függvényünk tulajdonságait x összes értékére.
1) D(y)=(-∞;0)U(0;+∞).
2) Páros funkció.
3) Növekszik (-∞;0]-val, csökken -vel.
Megoldás. A függvény a teljes definíciós tartományban csökken, majd a szegmens végén éri el legnagyobb és legkisebb értékét. A legnagyobb érték a $f(1)=1$ szegmens bal végén, a legkisebb pedig a $f(3)=\frac(1)(27)$ jobb végén lesz.
Válasz: A legnagyobb érték 1, a legkisebb 1/27.

Példa. Készítse el a $y=(x+2)^(-4)+1$ függvény grafikonját.
Megoldás. Függvényünk grafikonját a $y=x^(-4)$ függvény grafikonjából kapjuk úgy, hogy két egységgel balra és egy egységgel feljebb mozgatjuk.
Készítsünk grafikont:

Önállóan megoldandó problémák

1. Keresse meg a $y=\frac(1)(x^4)$ függvény legkisebb és legnagyobb értékét a szakaszon!
2. Készítse el a $y=(x-3)^(-5)+2$ függvény gráfját.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete