Hogyan szorozzuk meg a számokat különböző nevezőkkel. Hasonló nevezőt tartalmazó törtek hozzáadása
87. § Törtek összeadása.
A törtek összeadása sok hasonlóságot mutat az egész számok összeadásával. A törtek összeadása olyan művelet, amely abból áll, hogy több megadott számot (tagot) egy számmá (összeggé) vonunk össze, amely tartalmazza a kifejezések egységeinek összes egységét és törtrészét.
Három esetet vizsgálunk meg egymás után:
1. Hasonló nevezőt tartalmazó törtek összeadása.
2. Különböző nevezőjű törtek összeadása.
3. Vegyes számok összeadása.
1. Hasonló nevezőt tartalmazó törtek összeadása.
Vegyünk egy példát: 1/5 + 2/5.
Vegyük az AB szakaszt (17. ábra), vegyük egynek és osszuk 5 egyenlő részre, ekkor ennek a szakasznak az AC része egyenlő lesz az AB szegmens 1/5-ével, a CD szakasz egy része pedig 2/5 AB.
A rajzból jól látható, hogy ha vesszük az AD szakaszt, akkor az egyenlő lesz 3/5 AB-vel; de az AD szegmens pontosan az AC és CD szegmensek összege. Tehát írhatjuk:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Ezeket a tagokat és a kapott összeget figyelembe véve azt látjuk, hogy az összeg számlálóját a tagok számlálóinak összeadásával kaptuk meg, és a nevező változatlan maradt.
Ebből a következő szabályt kapjuk: Az azonos nevezőjű törtek hozzáadásához hozzá kell adni a számlálóikat, és meg kell hagyni ugyanazt a nevezőt.
Nézzünk egy példát:
2. Különböző nevezőjű törtek összeadása.
Adjuk össze a törteket: 3 / 4 + 3 / 8 Először le kell redukálni őket a legkisebb közös nevezőre:
A köztes linket 6/8 + 3/8 nem lehetett írni; az érthetőség kedvéért ide írtuk.
Így a különböző nevezőjű törtek összeadásához először le kell redukálni őket a legkisebb közös nevezőre, hozzá kell adni a számlálóikat, és fel kell címkézni a közös nevezőt.
Nézzünk egy példát (a megfelelő törtek fölé további tényezőket írunk):
3. Vegyes számok összeadása.
Adjuk össze a számokat: 2 3/8 + 3 5/6.
Először hozzuk közös nevezőre a számaink tört részeit, és írjuk át újra:
Most egymás után összeadjuk az egész és a tört részeket:
88. § Törtek kivonása.
A törtek kivonása ugyanúgy definiálható, mint az egész számok kivonása. Ez egy olyan művelet, amelynek segítségével két tag és az egyik tag összegéből egy másik tagot találunk. Nézzünk meg három esetet egymás után:
1. Hasonló nevezővel rendelkező törtek kivonása.
2. Különböző nevezőjű törtek kivonása.
3. Vegyes számok kivonása.
1. Hasonló nevezővel rendelkező törtek kivonása.
Nézzünk egy példát:
13 / 15 - 4 / 15
Vegyük az AB szakaszt (18. ábra), vegyük egységnek, és osszuk fel 15 egyenlő részre; akkor ennek a szegmensnek az AC része az AB 1/15-ét, és ugyanennek a szakasznak az AD része az AB 13/15-ének felel meg. Tegyünk félre egy másik ED szakaszt, amely egyenlő 4/15 AB-vel.
A 13/15-ből ki kell vonnunk a 4/15 törtet. A rajzon ez azt jelenti, hogy az ED szakaszt ki kell vonni az AD szegmensből. Ennek eredményeként az AE szegmens megmarad, ami az AB szegmens 9/15-e. Tehát írhatjuk:
Az általunk készített példa azt mutatja, hogy a különbség számlálóját a számlálók kivonásával kaptuk meg, de a nevező változatlan maradt.
Ezért a hasonló nevezőjű törtek kivonásához ki kell vonnia a részrész számlálóját a minuend számlálójából, és meg kell hagynia ugyanazt a nevezőt.
2. Különböző nevezőjű törtek kivonása.
Példa. 3/4 - 5/8
Először is csökkentsük ezeket a törteket a legkisebb közös nevezőre:
A köztes 6 / 8 - 5 / 8 ide van írva az érthetőség kedvéért, de később átugorható.
Így ahhoz, hogy törtből törtet lehessen levonni, először le kell redukálni a legkisebb közös nevezőre, majd ki kell vonni a minuend számlálóját a tört számlálójából, és a közös nevezőt a különbségük alá kell írni.
Nézzünk egy példát:
3. Vegyes számok kivonása.
Példa. 10 3/4 - 7 2/3.
Csökkentsük a minuend és a részfej tört részeit a legkisebb közös nevezőre:
Az egészből kivontunk egy egészet, a töredékből pedig egy törtet. De vannak esetek, amikor a kivonandónak a töredéke nagyobb, mint a redukáltnak a töredéke. Ilyen esetekben ki kell venni egy egységet a minuend teljes részéből, fel kell osztani azokra a részekre, amelyekben a törtrész kifejeződik, és hozzá kell adni a minuend tört részéhez. Ezután a kivonás ugyanúgy történik, mint az előző példában:
89. § Törtek szorzása.
A tört szorzás tanulmányozásakor a következő kérdéseket vesszük figyelembe:
1. Tört szorzása egész számmal.
2. Adott szám törtrészének megkeresése.
3. Egész szám szorzása törttel.
4. Tört szorzása törttel.
5. Vegyes számok szorzása.
6. Az érdeklődés fogalma.
7. Adott szám százalékos arányának meghatározása. Tekintsük őket egymás után.
1. Tört szorzása egész számmal.
Egy tört egész számmal való szorzása ugyanazt jelenti, mint egy egész szám egész számmal való szorzata. Egy tört (szorzó) egész számmal (tényezővel) való szorzása azt jelenti, hogy azonos tagok összegét hozzuk létre, amelyben minden tag egyenlő a szorzóval, a tagok száma pedig a szorzóval.
Ez azt jelenti, hogy ha meg kell szoroznia 1/9-et 7-tel, akkor ezt a következőképpen teheti meg:
Könnyen megkaptuk az eredményt, mivel a műveletet az azonos nevezőjű törtek összeadására redukáltuk. Ennélfogva,
Ennek a műveletnek a figyelembevétele azt mutatja, hogy egy tört egész számmal való szorzata megegyezik a tört annyiszoros növelésével, ahány egység van az egész számban. És mivel a tört növelése vagy a számlálójának növelésével érhető el
vagy nevezőjének csökkentésével 
, akkor vagy megszorozhatjuk a számlálót egy egész számmal, vagy eloszthatjuk vele a nevezőt, ha ez lehetséges.
Innen kapjuk a szabályt:
Egy tört egész számmal való szorzásához meg kell szorozni a számlálót az egész számmal, és a nevezőt meg kell hagyni, vagy ha lehetséges, el kell osztani a nevezőt ezzel a számmal, a számlálót változatlanul hagyva.
Szorzáskor rövidítések is lehetségesek, például:
2. Adott szám törtrészének megkeresése. Sok olyan probléma van, amelyben meg kell találni vagy ki kell számítani egy adott szám egy részét. A különbség ezek és a többi között az, hogy bizonyos objektumok vagy mértékegységek számát adják meg, és ennek a számnak egy részét meg kell találni, amit itt is egy bizonyos tört jelzi. A megértés megkönnyítése érdekében először példákat adunk az ilyen problémákra, majd bemutatunk egy módszert a megoldásukra.
1. feladat. 60 rubelem volt; Ennek a pénznek az 1/3-át könyvvásárlásra költöttem. Mennyibe kerültek a könyvek?
2. feladat. A vonatnak 300 km-es távolságot kell megtennie A és B városok között. Ennek a távnak a 2/3-át már megtette. Hány kilométer ez?
3. feladat. A faluban 400 ház található, 3/4-e tégla, a többi fa. Hány téglaház van összesen?
Ez néhány a sok probléma közül, amelyekkel egy adott szám egy részének megtalálása során találkozunk. Ezeket általában feladatnak nevezik, hogy megtalálják egy adott szám törtrészét.
Az 1. probléma megoldása. 60 dörzsöléstől. 1/3-át költöttem könyvekre; Ez azt jelenti, hogy a könyvek árának meghatározásához el kell osztani a 60-as számot 3-mal:
2. feladat megoldása. A probléma lényege, hogy meg kell találni a 300 km 2/3-át. Először számoljuk ki a 300 1/3-át; ezt úgy érjük el, hogy 300 km-t elosztunk 3-mal:
300: 3 = 100 (ez a 300 1/3-a).
A 300 kétharmadának meghatározásához meg kell dupláznia a kapott hányadost, azaz meg kell szoroznia 2-vel:
100 x 2 = 200 (ez a 300 2/3-a).
3. feladat megoldása. Itt meg kell határoznia azoknak a téglaházaknak a számát, amelyek a 400 3/4-ét teszik ki. Először keressük meg a 400 1/4-ét,
400: 4 = 100 (ez a 400 1/4-e).
A 400 háromnegyedének kiszámításához a kapott hányadost meg kell háromszorozni, azaz meg kell szorozni 3-mal:
100 x 3 = 300 (ez a 400 3/4-e).
A problémák megoldása alapján a következő szabályt vezethetjük le:
Ahhoz, hogy egy adott számból megtudja egy tört értékét, el kell osztania ezt a számot a tört nevezőjével, és meg kell szoroznia a kapott hányadost a számlálójával.
3. Egész szám szorzása törttel.
Korábban (26. §) megállapították, hogy az egész számok szorzása alatt azonos tagok összeadását kell érteni (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). Ebben a bekezdésben (1. pont) megállapították, hogy egy tört egész számmal való szorzata azt jelenti, hogy azonos tagok összegét találjuk meg ezzel a törttel.
A szorzás mindkét esetben az azonos tagok összegének megállapításából állt.
Most továbblépünk egy egész szám törttel való szorzására. Itt találkozunk például a szorzással: 9 2/3. Nyilvánvaló, hogy a szorzás előző definíciója erre az esetre nem vonatkozik. Ez nyilvánvaló abból a tényből, hogy az ilyen szorzást nem helyettesíthetjük egyenlő számok összeadásával.
Emiatt új definíciót kell adnunk a szorzásnak, vagyis meg kell válaszolnunk azt a kérdést, hogy mit kell érteni törttel való szorzás alatt, hogyan kell érteni ezt a cselekvést.
Az egész szám törttel való szorzásának jelentése világos a következő definícióból: egy egész szám (szorzó) szorzata törttel (multiplicand) azt jelenti, hogy megtaláljuk a szorzószámnak ezt a törtrészét.
Ugyanis a 9-et 2/3-mal megszorozni azt jelenti, hogy a kilenc egység 2/3-át megtaláljuk. Az előző bekezdésben az ilyen problémákat megoldottuk; így könnyű kitalálni, hogy végül 6 lesz.
De most felvetődik egy érdekes és fontos kérdés: miért nevezik az aritmetikában ugyanazt a „szorzás” szót az olyan látszólag különböző műveleteket, mint például az egyenlő számok összegének és egy szám törtrészének megállapítása?
Ez azért van így, mert az előző művelet (egy szám többszöri megismétlése kifejezésekkel) és az új művelet (a szám törtrészének megtalálása) homogén kérdésekre ad választ. Ez azt jelenti, hogy itt abból a megfontolásból indulunk ki, hogy homogén kérdéseket vagy feladatokat ugyanaz a cselekvés old meg.
Ennek megértéséhez vegye figyelembe a következő problémát: „1 m ruha ára 50 rubel. Mennyibe kerül 4 m ilyen ruha?
Ezt a problémát úgy oldjuk meg, hogy a rubelek számát (50) megszorozzuk a méterek számával (4), azaz 50 x 4 = 200 (rubel).
Vegyük ugyanazt a problémát, de benne a ruha mennyisége törtrészben lesz kifejezve: „1 m ruha ára 50 rubel. Mennyibe kerül 3/4 m ilyen ruha?”
Ezt a problémát úgy is meg kell oldani, hogy a rubelek számát (50) megszorozzuk a méterek számával (3/4).
A benne lévő számokat még többször módosíthatja anélkül, hogy a feladat jelentését megváltoztatná, például vegyen 9/10 m-t vagy 2 3/10 m-t stb.
Mivel ezek a feladatok azonos tartalmúak és csak számokban térnek el egymástól, a megoldásukhoz használt cselekvéseket ugyanazzal a szóval - szorzásnak nevezzük.
Hogyan szorozunk meg egy egész számot törttel?
Vegyük az utolsó feladatban talált számokat:
A definíció szerint az 50-nek 3/4-ét kell megtalálnunk. Keressük először az 50-nek az 1/4-ét, majd a 3/4-ét.
50-ből 1/4 az 50/4;
Az 50-es szám 3/4-e .
Ennélfogva.
Nézzünk egy másik példát: 12 5 / 8 =?
a 12-es szám 1/8-a 12/8,
A 12-es szám 5/8-a .
Ennélfogva,
Innen kapjuk a szabályt:
Egy egész szám törttel való szorzásához meg kell szoroznia az egész számot a tört számlálójával, és ezt a szorzatot kell számlálóvá tennie, és ennek a törtnek a nevezőjét kell aláírnia nevezőként.
Írjuk fel ezt a szabályt betűkkel:
Ahhoz, hogy ez a szabály teljesen egyértelmű legyen, ne feledjük, hogy a tört hányadosnak tekinthető. Ezért célszerű a talált szabályt összehasonlítani a szám hányadossal való szorzásának szabályával, amelyet a 38. §-ban rögzítettek.
Fontos megjegyezni, hogy a szorzás végrehajtása előtt meg kell tennie (ha lehetséges) csökkentések, Például:
4. Tört szorzása törttel. A tört törttel való szorzása ugyanazt jelenti, mint az egész szám törttel való szorzása, vagyis ha tört törttel szorozunk, meg kell találni azt a törtet, amely az első tört faktorában van (a szorzót).
Ugyanis a 3/4-et 1/2-vel (fele) megszorozni azt jelenti, hogy megtaláljuk a 3/4 felét.
Hogyan szorozunk meg egy törtet törttel?
Vegyünk egy példát: 3/4 szorozva 5/7-tel. Ez azt jelenti, hogy meg kell találnia a 3/4 5/7-ét. Először keressük meg a 3/4 1/7-ét, majd az 5/7-ét
A 3/4 szám 1/7-e a következőképpen lesz kifejezve:
5/7 számok 3/4 a következőképpen lesz kifejezve:
És így,
Egy másik példa: 5/8 szorozva 4/9-cel.
5/8 1/9 része ,
Az 5/8-as szám 4/9-e .
És így, 
Ezekből a példákból a következő szabály vezethető le:
A tört törttel való szorzásához meg kell szoroznia a számlálót a számlálóval, a nevezőt a nevezővel, és az első szorzatot kell számlálónak, a második szorzatot pedig a szorzat nevezőjévé tenni.
Ez a szabály általános formában a következőképpen írható fel:
A szorzásnál (ha lehetséges) csökkentéseket kell végezni. Nézzünk példákat:
5. Vegyes számok szorzása. Mivel a vegyes számok könnyen helyettesíthetők helytelen törtekkel, ezt a körülményt általában vegyes számok szorzásakor alkalmazzák. Ez azt jelenti, hogy azokban az esetekben, amikor a szorzót, vagy a szorzót, vagy mindkét tényezőt vegyes számként fejezzük ki, akkor helytelen törtekkel helyettesítjük őket. Szorozzuk meg például a vegyes számokat: 2 1/2 és 3 1/5. Fordítsuk mindegyiket nem megfelelő törtté, majd szorozzuk meg a kapott törteket a tört törttel való szorzásának szabálya szerint:
Szabály. A vegyes számok szorzásához először át kell alakítani azokat nem megfelelő törtekké, majd meg kell szorozni őket a törtek törtekkel való szorzására vonatkozó szabály szerint.
Jegyzet. Ha az egyik tényező egész szám, akkor a szorzás az eloszlási törvény alapján a következőképpen hajtható végre:
6. Az érdeklődés fogalma. Feladatok megoldásakor, különféle gyakorlati számítások végzésekor mindenféle törtet használunk. De szem előtt kell tartani, hogy sok mennyiség nem akármilyen, hanem természetes felosztást tesz lehetővé számukra. Például vehet egy rubel egy századrészét (1/100), ez egy kopeck lesz, két század 2 kopecka, három század 3 kopecka. Vehetsz 1/10 rubelt, ez lesz "10 kopejk, vagy egy tízkopejkás darab. Vehetsz negyed rubelt, azaz 25 kopecket, fél rubelt, azaz 50 kopeket (ötven kopecket). De gyakorlatilag nem veszik fel például a rubel 2/7-ét, mert a rubel nincs hetedrészekre osztva.
A súlyegység, azaz a kilogramm elsősorban tizedes osztást tesz lehetővé, például 1/10 kg vagy 100 g, és a kilogramm olyan töredékei, mint az 1/6, 1/11, 1/13, nem általánosak.
Általánosságban elmondható, hogy (metrikus) mértékegységeink decimálisak, és lehetővé teszik a decimális osztást.
Meg kell azonban jegyezni, hogy rendkívül hasznos és kényelmes a legkülönbözőbb esetekben ugyanazt az (egységes) módszert alkalmazni a mennyiségek felosztására. Sok éves tapasztalat azt mutatja, hogy egy ilyen jól indokolt felosztás a „századik” felosztás. Lássunk néhány példát az emberi gyakorlat legkülönfélébb területeire vonatkozóan.
1. A könyvek ára a korábbi ár 12/100-ával csökkent.
Példa. A könyv korábbi ára 10 rubel volt. 1 rubellel csökkent. 20 kopejkát
2. A takarékpénztárak az év közben megtakarításra elhelyezett összeg 2/100-át fizetik ki a betéteseknek.
Példa. 500 rubelt helyeznek el a pénztárgépben, ebből az összegből az év bevétele 10 rubel.
3. Az egy iskolát végzettek száma az összes tanulólétszám 5/100-a volt.
PÉLDA Az iskolában mindössze 1200 diák tanult, ebből 60 végzett.
A szám századik részét százaléknak nevezzük.
A "százalék" szó a latinból származik, és a "cent" gyöke százat jelent. Az elöljárószóval (pro centum) együtt ez a szó azt jelenti, hogy „százért”. Ennek a kifejezésnek a jelentése abból a tényből következik, hogy eredetileg az ókori Rómában a kamatot nevezték el annak a pénznek, amelyet az adós „minden száz után” fizetett a hitelezőnek. A „cent” szót ilyen ismerős szavakkal hallják: centner (száz kilogramm), centiméter (mondjuk centiméter).
Például ahelyett, hogy azt mondanánk, hogy az elmúlt hónapban az üzem az általa gyártott összes termék 1/100-át hibás volt, inkább ezt mondjuk: az elmúlt hónapban az üzem a hibák egy százalékát produkálta. Ahelyett, hogy azt mondanánk: az üzem 4/100-zal több terméket állított elő, mint a megállapított terv, azt mondjuk: az üzem 4 százalékkal haladta meg a tervet.
A fenti példák különbözőképpen fejezhetők ki:
1. A könyvek ára a korábbi árhoz képest 12 százalékkal csökkent.
2. A takarékpénztárak a betéteseknek évente 2 százalékot fizetnek a megtakarításban elhelyezett összeg után.
3. Az egy iskolát végzettek száma az összes iskolai tanuló 5 százaléka volt.
A betű rövidítéséhez a „százalék” szó helyett a % szimbólumot szokás írni.
Ne feledje azonban, hogy a számításoknál a % jel általában nem írható be a problémafelvetésbe és a végeredménybe. Számítások végzésekor ezzel a szimbólummal egész szám helyett 100-as nevezőjű törtet kell írni.
Le kell tudnia cserélni egy egész számot a jelzett ikonnal egy 100-as nevezőjű törtre:
Ezzel szemben meg kell szoknia, hogy a 100-as nevezőjű tört helyett egész számot írjon a jelzett szimbólummal:
7. Adott szám százalékos arányának meghatározása.
1. feladat. Az iskola 200 köbmétert kapott. m tűzifa, 30%-a nyírfa tűzifa. Mennyi nyír tűzifa volt?
Ennek a problémának az a jelentése, hogy a nyírfa tűzifa az iskolába szállított tűzifának csak egy részét tette ki, és ez a rész a 30/100 törtrészben van kifejezve. Ez azt jelenti, hogy feladatunk van megkeresni egy szám törtrészét. A megoldáshoz meg kell szoroznunk a 200-at 30/100-zal (a szám törtjének megtalálásának problémáit úgy oldjuk meg, hogy a számot megszorozzuk a törttel.).
Ez azt jelenti, hogy 200 30%-a 60-nak felel meg.
A 30/100-as töredék ebben a problémában 10-zel csökkenthető. Ezt a csökkentést már a kezdetektől meg lehetne tenni; a probléma megoldása nem változott volna.
2. feladat. A táborban 300 különböző korú gyerek vett részt. A 11 évesek 21%-ot, a 12 évesek 61%-ot, végül a 13 évesek 18%-ot tettek ki. Hány gyerek volt minden korosztályból a táborban?
Ebben a feladatban három számítást kell végrehajtania, azaz egymás után meg kell keresnie a 11 éves, majd a 12 éves és végül a 13 éves gyermekek számát.
Ez azt jelenti, hogy itt háromszor kell megtalálnia a szám törtrészét. Csináljuk:
1) Hány 11 éves gyerek volt?
2) Hány 12 éves gyerek volt?
3) Hány 13 éves gyerek volt?
A feladat megoldása után célszerű összeadni a talált számokat; az összegük 300 legyen:
63 + 183 + 54 = 300
Azt is meg kell jegyezni, hogy a problémafelvetésben megadott százalékok összege 100:
21% + 61% + 18% = 100%
Ez arra utal, hogy a táborban 100%-os gyereklétszámot vettek.
3 a d a h a 3. A munkás havi 1200 rubelt kapott. Ennek 65%-át élelmiszerre, 6%-át lakásra és fűtésre, 4%-át gázra, villanyra és rádióra, 10%-át kulturális szükségletekre, 15%-át megtakarításra fordította. Mennyi pénzt költöttek a problémában jelzett igényekre?
A probléma megoldásához meg kell találni az 1200-nak a töredékét 5-ször.
1) Mennyi pénzt költöttek élelmiszerre? A probléma azt mondja, hogy ez a kiadás a teljes kereset 65%-a, azaz az 1200-as szám 65/100-a.
2) Mennyi pénzt fizetett egy fűtéses lakásért? Az előzőhöz hasonlóan okoskodva a következő számításhoz jutunk:
3) Mennyi pénzt fizetett a gázért, villanyért és rádióért?
4) Mennyi pénzt költöttek kulturális szükségletekre?
5) Mennyi pénzt takarított meg a dolgozó?
Az ellenőrzéshez hasznos összeadni az ebben az 5 kérdésben található számokat. Az összegnek 1200 rubelnek kell lennie. Minden bevétel 100%-nak számít, ami könnyen ellenőrizhető a problémafelvetésben megadott százalékos számok összeadásával.
Három problémát oldottunk meg. Annak ellenére, hogy ezek a problémák különböző dolgokkal foglalkoztak (az iskolai tűzifa szállítása, a különböző korú gyerekek száma, a dolgozói kiadások), ugyanúgy megoldódtak. Ez azért történt, mert minden feladatban a megadott számok több százalékát kellett megtalálni.
90. § Törtosztás.
A törtek felosztásának tanulmányozása során a következő kérdéseket vizsgáljuk meg:
1. Oszd el egy egész számot egy egész számmal.
2. Tört elosztása egész számmal
3. Egész szám elosztása törttel.
4. Tört elosztása törttel.
5. Vegyes számok felosztása.
6. Szám keresése adott törtéből.
7. Szám keresése százalékos aránya alapján.
Tekintsük őket egymás után.
1. Oszd el egy egész számot egy egész számmal.
Ahogy az egész számok osztályában jeleztük, az osztás az a művelet, amely abból áll, hogy két tényező (osztalék) és ezen tényezők egyikének (osztó) szorzata esetén egy másik tényezőt találunk.
Az egész számokról szóló részben megvizsgáltuk egy egész szám egész számmal való osztását. Az osztásnak két esetével találkoztunk ott: maradék nélkül, vagy „egészen” (150: 10 = 15), illetve maradékkal (100: 9 = 11 és 1 maradék). Azt mondhatjuk tehát, hogy az egész számok területén a pontos osztás nem mindig lehetséges, mivel az osztó nem mindig az osztó egész számmal való szorzata. A törttel való szorzás bevezetése után az egész számok osztásának bármely esetét lehetségesnek tekinthetjük (csak a nullával való osztás kizárt).
Például 7 elosztása 12-vel azt jelenti, hogy olyan számot találunk, amelynek 12-vel való szorzata 7 lenne. Ilyen szám a 7/12 tört, mert 7/12 12 = 7. Egy másik példa: 14: 25 = 14 / 25, mert 14 / 25 25 = 14.
Így egy egész szám egész számmal való osztásához létre kell hozni egy törtet, amelynek számlálója egyenlő az osztóval, a nevező pedig az osztóval.
2. Tört elosztása egész számmal.
A 6/7 törtet osszuk el 3-mal. Az osztás fenti definíciója szerint itt van a szorzat (6/7) és az egyik tényező (3); meg kell találni egy második tényezőt, amelyet 3-mal megszorozva az adott szorzat 6/7-et adna. Nyilvánvalóan háromszor kisebbnek kell lennie, mint ez a termék. Ez azt jelenti, hogy az előttünk álló feladat az volt, hogy a tört 6/7-ét 3-szorosára csökkentsük.
Azt már tudjuk, hogy egy tört csökkentése történhet a számláló csökkentésével vagy a nevező növelésével. Ezért írhatod:
Ebben az esetben a 6 számláló osztható 3-mal, ezért a számlálót 3-szor kell csökkenteni.
Vegyünk egy másik példát: 5 / 8 osztva 2-vel. Itt az 5 számláló nem osztható 2-vel, ami azt jelenti, hogy a nevezőt meg kell szorozni ezzel a számmal:
Ez alapján egy szabályt lehet alkotni: Egy tört egész számmal való osztásához el kell osztani a tört számlálóját az egész számmal.(ha lehetséges), ugyanazt a nevezőt hagyja meg, vagy szorozza meg a tört nevezőjét ezzel a számmal, és hagyja meg ugyanazt a számlálót.
3. Egész szám elosztása törttel.
Legyen szükséges az 5-öt elosztani 1/2-vel, azaz találni egy olyan számot, amelyet 1/2-vel megszorozva 5-öt kapunk. Nyilván ennek a számnak nagyobbnak kell lennie 5-nél, mivel az 1/2 megfelelő tört , és egy szám szorzásakor a megfelelő tört szorzatának kisebbnek kell lennie a szorzandó szorzatnál. Hogy ez érthetőbb legyen, írjuk le cselekvéseinket a következőképpen: 5: 1 / 2 = x , ami azt jelenti, hogy x 1/2 = 5.
Meg kell találnunk egy ilyen számot x , amelyet 1/2-vel megszorozva 5-öt kapunk. Mivel egy bizonyos szám 1/2-vel való szorzása azt jelenti, hogy ennek a számnak az 1/2-ét találjuk meg, ezért az ismeretlen szám 1/2-ét x egyenlő 5-tel és az egész számmal x kétszer annyi, azaz 5 2 = 10.
Tehát 5: 1/2 = 5 2 = 10
Ellenőrizzük: 
Nézzünk egy másik példát. Tegyük fel, hogy el akarja osztani a 6-ot 2/3-mal. Először próbáljuk meg megtalálni a kívánt eredményt a rajz segítségével (19. ábra).
19. ábra
Rajzoljunk egy 6 egységnek megfelelő AB szakaszt, és osszuk fel az egységeket 3 egyenlő részre. Mindegyik egységben a teljes AB szegmens háromharmada (3/3) hatszor nagyobb, azaz. e. 18/3. Kis zárójelek segítségével összekapcsoljuk a 2 kapott 18 szegmenst; Csak 9 szegmens lesz. Ez azt jelenti, hogy a 2/3-as tört 9-szer 6 egységben található, vagy más szóval a 2/3-os tört 9-szer kisebb, mint 6 egész egység. Ennélfogva,
Hogyan lehet elérni ezt az eredményt rajz nélkül, pusztán számításokkal? Indokoljunk így: el kell osztanunk 6-ot 2/3-mal, azaz arra a kérdésre kell válaszolnunk, hogy a 6 hányszor tartalmazza a 2/3-ot. Először nézzük meg: hányszor van 6-ban 1/3? Egy egész egységben 3 harmada van, 6 egységben pedig 6-szor több, azaz 18 harmad; ennek a számnak a meghatározásához meg kell szorozni a 6-ot 3-mal. Ez azt jelenti, hogy az 1/3 b egységben 18-szor, a 2/3-ban pedig nem 18-szor, hanem feleannyiszor van benne, azaz 18: 2 = 9 Ezért a 6-ot 2/3-mal osztva a következőket tettük:
Innen kapjuk meg az egész szám törttel való osztásának szabályát. Egy egész szám törttel való osztásához ezt az egész számot meg kell szorozni az adott tört nevezőjével, és ezt a szorzatot számlálóvá téve elosztani az adott tört számlálójával.
Írjuk fel a szabályt betűkkel:
Ahhoz, hogy ez a szabály teljesen egyértelmű legyen, ne feledjük, hogy a tört hányadosnak tekinthető. Ezért célszerű összehasonlítani a talált szabályt a szám hányadossal való osztásának szabályával, amelyet a 38. §-ban rögzítettek. Kérjük, vegye figyelembe, hogy ott ugyanazt a képletet kapták.
Felosztáskor rövidítések is lehetségesek, például:
4. Tört elosztása törttel.
Tegyük fel, hogy el kell osztani a 3/4-et 3/8-cal. Mit jelent az osztásból származó szám? Megválaszolja a kérdést, hogy a 3/8-as tört hányszor szerepel a 3/4-ben. A probléma megértéséhez készítsünk rajzot (20. ábra).
Vegyünk egy AB szakaszt, vegyük egynek, osszuk 4 egyenlő részre, és jelöljünk be 3 ilyen részt. Az AC szegmens az AB szegmens 3/4-e lesz. Osszuk most fel mind a négy eredeti szakaszt, ekkor az AB szakaszt 8 egyenlő részre osztjuk, és mindegyik ilyen rész egyenlő lesz az AB szakasz 1/8-ával. Kössünk össze 3 ilyen szakaszt ívekkel, akkor az AD és a DC szegmensek mindegyike egyenlő lesz az AB szakasz 3/8-ával. A rajz azt mutatja, hogy egy 3/8-al egyenlő szegmens pontosan 2-szer szerepel egy 3/4-nek megfelelő szegmensben; Ez azt jelenti, hogy az osztás eredménye a következőképpen írható fel:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Nézzünk egy másik példát. Tegyük fel, hogy el kell osztanunk 15/16-ot 3/32-vel:
Így érvelhetünk: meg kell találnunk egy számot, amelyet 3/32-vel megszorozva 15/16 szorzatot kapunk. Írjuk fel a számításokat így:
15 / 16: 3 / 32 = x
3 / 32 x = 15 / 16
3/32 ismeretlen szám x a 15/16
1/32 egy ismeretlen szám x van,
32/32 számok x smink .
Ennélfogva,
Így egy tört törttel való osztásához meg kell szorozni az első tört számlálóját a második nevezőjével, és meg kell szorozni az első tört nevezőjét a második számlálójával, és az első szorzatot kell számlálóvá tenni, a második pedig a nevezőt.
Írjuk fel a szabályt betűkkel:
Felosztáskor rövidítések is lehetségesek, például:
5. Vegyes számok felosztása.
A vegyes számok osztásakor először hibás törtekké kell alakítani, majd a kapott törteket a törtosztás szabályai szerint fel kell osztani. Nézzünk egy példát:
Váltsuk át a vegyes számokat helytelen törtekké:
Most osszuk el:
Így a vegyes számok felosztásához hibás törtekké kell konvertálnia őket, majd osztani kell a törtosztás szabályával.
6. Szám keresése adott törtéből.
A különféle törtfeladatok között néha vannak olyanok, amelyekben egy ismeretlen szám törtrészének értéke van megadva, és ezt a számot kell megtalálni. Ez a fajta probléma az adott szám törtrészének meghatározására vonatkozó probléma fordítottja lesz; ott egy számot adtak, és meg kellett találni ennek a számnak egy töredékét, itt egy szám törtrészét és magát ezt a számot kellett megtalálni. Ez a gondolat még világosabbá válik, ha az ilyen típusú problémák megoldása felé fordulunk.
1. feladat. Az első napon 50 ablakot üvegeztek be az üvegezők, ami az épített ház összes ablakának 1/3-a. Hány ablak van a házban?
Megoldás. A probléma azt mondja, hogy 50 üvegezett ablak teszi ki a ház összes ablakának 1/3-át, ami azt jelenti, hogy összesen 3-szor több ablak van, pl.
A háznak 150 ablaka volt.
2. feladat. Az üzlet 1500 kg lisztet adott el, ami az üzlet teljes lisztkészletének 3/8-a. Mennyi volt a bolt kezdeti lisztkészlete?
Megoldás. A probléma körülményeiből kitűnik, hogy 1500 kg eladott liszt a teljes készlet 3/8-át teszi ki; Ez azt jelenti, hogy ennek a tartaléknak az 1/8-a 3-szor kevesebb lesz, azaz kiszámításához 1500-at kell háromszorosára csökkenteni:
1500: 3 = 500 (ez a tartalék 1/8-a).
Nyilvánvalóan a teljes kínálat nyolcszor nagyobb lesz. Ennélfogva,
500 8 = 4000 (kg).
A kezdeti lisztkészlet a boltban 4000 kg volt.
Ennek a problémának a figyelembevételéből a következő szabály vezethető le.
Ahhoz, hogy a tört adott értékéből számot találjunk, elegendő ezt az értéket elosztani a tört számlálójával, és az eredményt megszorozni a tört nevezőjével.
Két feladatot oldottunk meg a törtszám alapján. Az ilyen problémákat, amint az az utolsóból különösen jól látható, két művelettel oldják meg: osztással (amikor egy részt találunk) és szorzással (ha az egész számot megtaláljuk).
Miután azonban megtanultuk a törtek osztását, a fenti problémák egy művelettel megoldhatók, nevezetesen: törtosztással.
Például az utolsó feladat egy művelettel megoldható:
A jövőben egy művelettel - osztással - megoldjuk a szám törtéből való megtalálásának problémáit.
7. Szám keresése százalékos aránya alapján.
Ezekben a feladatokban meg kell találnia egy számot, amely ismeri ennek a számnak néhány százalékát.
1. feladat. Ez év elején 60 rubelt kaptam a takarékpénztártól. bevétel abból az összegből, amit egy éve megtakarításba tettem. Mennyi pénzt tettem a takarékpénztárba? (A pénztárak évi 2%-os hozamot adnak a betéteseknek.)
A probléma lényege, hogy betettem egy bizonyos összeget egy takarékpénztárba, és ott maradtam egy évig. Egy év után 60 rubelt kaptam tőle. bevétel, ami az általam elhelyezett pénz 2/100-a. Mennyi pénzt tettem bele?
Következésképpen ennek a pénznek egy részét ismerve, kétféleképpen (rubelben és töredékben) kifejezve, meg kell találnunk a teljes, egyelőre ismeretlen összeget. Ez egy közönséges probléma egy szám megtalálásának törtrésze alapján. A következő problémákat osztással oldjuk meg:
Ez azt jelenti, hogy 3000 rubelt helyeztek el a takarékpénztárban.
2. feladat. A halászok két hét alatt 64%-kal teljesítették a havi tervet, 512 tonna halat zsákmányoltak ki. Mi volt a tervük?
A probléma körülményeiből ismert, hogy a halászok befejezték a terv egy részét. Ez a rész 512 tonnának felel meg, ami a terv 64%-a. Nem tudjuk, hány tonna halat kell elkészíteni a terv szerint. Ennek a számnak a megtalálása lesz a megoldás a problémára.
Az ilyen problémákat felosztással oldják meg:
Ez azt jelenti, hogy a terv szerint 800 tonna halat kell előkészíteni.
3. feladat. A vonat Rigából Moszkvába ment. Amikor áthaladt a 276. kilométeren, az egyik utas megkérdezte egy arra haladó kalauztól, hogy mennyit tettek meg már az útból. A karmester erre azt válaszolta: „A teljes út 30%-át már megtettük.” Mi a távolság Riga és Moszkva között?
A problémakörülményekből egyértelműen látszik, hogy a Riga és Moszkva közötti útvonal 30%-a 276 km. Meg kell találnunk a városok közötti teljes távolságot, azaz ehhez a részhez meg kell találnunk az egészet:
91. § Kölcsönös számok. Az osztás helyettesítése szorzással.
Vegyük a 2/3 törtet, és cseréljük ki a számlálót a nevező helyére, 3/2-t kapunk. Ennek a törtnek az inverzét kaptuk.
Egy adott tört inverzének kiszámításához a nevező helyére a számlálót, a számláló helyére pedig a nevezőt kell tenni. Ily módon bármely tört reciprokát megkaphatjuk. Például:
3/4, fordított 4/3; 5/6, fordított 6/5
Két olyan törtet nevezünk, amelyeknek az a tulajdonsága, hogy az első számlálója a második nevezője, az elsőé pedig a másodiké. kölcsönösen inverz.
Most gondoljuk át, hogy melyik tört lesz az 1/2 reciprokja. Nyilvánvalóan 2/1 lesz, vagy csak 2. Az adott inverz törtét keresve egész számot kaptunk. És ez az eset nem elszigetelt; ellenkezőleg, minden 1 (egy) számlálóval rendelkező tört esetén a reciprok egész számok lesznek, például:
1/3, fordított 3; 1/5, fordított 5
Mivel a reciprok törtek keresésekor egész számokkal is találkoztunk, a következőkben nem reciprok törtekről, hanem reciprok számokról lesz szó.
Találjuk ki, hogyan írjuk fel egy egész szám inverzét. A törtek esetében ez egyszerűen megoldható: a számláló helyére a nevezőt kell tenni. Ugyanígy megkaphatjuk egy egész szám inverzét is, mivel bármely egész szám nevezője lehet 1. Ez azt jelenti, hogy a 7 inverze 1/7 lesz, mert 7 = 7/1; a 10-es szám inverze 1/10 lesz, mivel 10 = 10/1
Ezt a gondolatot többféleképpen is megfogalmazhatjuk: adott szám reciprokát úgy kapjuk meg, hogy egyet elosztunk egy adott számmal. Ez az állítás nemcsak egész számokra igaz, hanem törtekre is. Valójában, ha az 5/9 tört inverzét kell felírnunk, akkor vehetünk 1-et és oszthatjuk 5/9-cel, azaz.
Most egy dolgot emeljünk ki ingatlan reciprok számok, amelyek hasznosak lesznek számunkra: a reciprok számok szorzata eggyel egyenlő. Valóban:
Ezt a tulajdonságot felhasználva a következő módon találhatunk reciprok számokat. Tegyük fel, hogy meg kell találnunk a 8 inverzét.
Jelöljük betűvel x , majd 8 x = 1, tehát x = 1/8. Keressünk egy másik számot, amely a 7/12 inverze, és jelöljük betűvel x , majd 7/12 x = 1, tehát x = 1:7/12 vagy x = 12 / 7 .
Itt vezettük be a reciprok számok fogalmát, hogy némileg kiegészítsük a törtosztással kapcsolatos információkat.
Ha a 6-ot elosztjuk 3/5-tel, a következőket tesszük:
Különös figyelmet fordítson a kifejezésre, és hasonlítsa össze az adott kifejezéssel: .
Ha a kifejezést külön vesszük, anélkül, hogy az előzőhöz kapcsolódnánk, akkor lehetetlen megoldani azt a kérdést, hogy honnan jött: a 6-ot 3/5-tel osztva, vagy a 6-ot 5/3-dal megszorozva. Mindkét esetben ugyanaz történik. Ezért mondhatjuk hogy az egyik szám elosztása a másikkal helyettesíthető az osztalék szorzásával az osztó inverzével.
Az alábbiakban bemutatott példák teljes mértékben megerősítik ezt a következtetést.
A közép- és középiskolai kurzusokon a tanulók a „törtek” témát járták körbe. Ez a fogalom azonban sokkal tágabb, mint amit a tanulási folyamatban megadnak. Manapság a tört fogalmával gyakran találkozunk, és nem mindenki tud bármilyen kifejezést kiszámítani, például a törtek szorzását.
Mi az a tört?
Történetileg a törtszámok a mérés szükségessége miatt alakultak ki. Amint azt a gyakorlat mutatja, gyakran vannak példák egy szegmens hosszának és egy téglalap alakú téglalap térfogatának meghatározására.
Kezdetben a hallgatók megismerkednek a részvény fogalmával. Például, ha egy görögdinnyét 8 részre osztunk, akkor mindenki megkapja a görögdinnye egynyolcadát. Ezt a nyolc egy részét részvénynek nevezzük.
Bármely érték ½ felével egyenlő részesedést felének nevezzük; ⅓ - harmadik; ¼ - negyed. Az 5/8, 4/5, 2/4 formájú rekordokat közönséges törteknek nevezzük. A közönséges tört számlálóra és nevezőre oszlik. Közöttük van a törtsáv vagy törtsáv. A törtvonal vízszintes vagy ferde vonalként húzható. Ebben az esetben az osztásjelet jelöli.
A nevező azt jelenti, hogy a mennyiség vagy tárgy hány egyenlő részre van felosztva; a számláló pedig az, hogy hány azonos részvényt vesznek fel. A törtsor fölé a számlálót, alatta a nevezőt írjuk.
A legkényelmesebb a közönséges törteket koordinátasugáron megjeleníteni. Ha egyetlen szegmenst 4 egyenlő részre osztunk, mindegyik részt latin betűvel jelölünk, akkor az eredmény kiváló vizuális segédeszköz lehet. Tehát az A pont a teljes egységszegmens 1/4-ét mutatja, a B pont pedig egy adott szakasz 2/8-át.
A törtek fajtái
A törtek lehetnek közönséges, tizedes és vegyes számok. Ezen túlmenően, a törteket fel lehet osztani megfelelő és nem megfelelő. Ez a besorolás jobban megfelel a közönséges frakcióknak.
A megfelelő tört olyan szám, amelynek a számlálója kisebb, mint a nevezője. Ennek megfelelően a helytelen tört olyan szám, amelynek a számlálója nagyobb, mint a nevezője. A második típust általában vegyes számként írják fel. Ez a kifejezés egy egész számból és egy tört részből áll. Például 1½. 1 egész szám, ½ tört rész. Ha azonban néhány manipulációt kell végrehajtania a kifejezéssel (törtek osztása vagy szorzása, csökkentése vagy konvertálása), akkor a kevert szám nem megfelelő törtté alakul.
A helyes törtkifejezés mindig kisebb egynél, a helytelen pedig mindig nagyobb vagy egyenlő 1-nél.
Ami ezt a kifejezést illeti, olyan rekordot értünk, amelyben tetszőleges szám van ábrázolva, amelynek törtkifejezésének nevezője egyben kifejezhető több nullával. Ha a tört helyes, akkor a decimális jelölésben szereplő egész rész nullával lesz egyenlő.
Tizedes tört írásához először meg kell írni a teljes részt, vesszővel el kell választani a törttől, majd meg kell írni a tört kifejezést. Emlékeztetni kell arra, hogy a tizedesvessző után a számlálónak ugyanannyi digitális karaktert kell tartalmaznia, mint ahány nulla van a nevezőben.
Példa. Fejezd ki a 7 21 / 1000 törtet tizedes jelöléssel.
Algoritmus egy nem megfelelő tört vegyes számmá konvertálására és fordítva
Helytelen egy feladat válaszába hibás törtet írni, ezért vegyes számmá kell konvertálni:
- ossza el a számlálót a meglévő nevezővel;
- egy konkrét példában a hiányos hányados egy egész;
- a maradék pedig a törtrész számlálója, a nevező változatlan marad.
Példa. Helytelen tört átalakítása vegyes számmá: 47/5.
Megoldás. 47: 5. A parciális hányados 9, a maradék = 2. Tehát 47 / 5 = 9 2 / 5.
Néha vegyes számot kell helytelen törtként ábrázolnia. Ezután a következő algoritmust kell használnia:
- az egész részt megszorozzuk a törtkifejezés nevezőjével;
- a kapott szorzat hozzáadódik a számlálóhoz;
- az eredményt a számlálóba írjuk, a nevező változatlan marad.
Példa. Adja meg a számot vegyes formában helytelen törtként: 9 8 / 10.
Megoldás. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 a számláló.
Válasz: 98 / 10.
Törtek szorzása
A közönséges törtekkel különféle algebrai műveletek hajthatók végre. Két szám szorzásához meg kell szoroznia a számlálót a számlálóval, a nevezőt pedig a nevezővel. Sőt, a különböző nevezőjű törtek szorzása nem különbözik az azonos nevezőjű törtek szorzásától.
Előfordul, hogy az eredmény megtalálása után csökkentenie kell a frakciót. Feltétlenül egyszerűsíteni kell a kapott kifejezést, amennyire csak lehetséges. Természetesen nem lehet azt mondani, hogy egy válaszban a helytelen tört hiba, de nehéz is helyes válasznak nevezni.
Példa. Határozzuk meg két közönséges tört szorzatát: ½ és 20/18.
Amint a példából látható, a szorzat megtalálása után redukálható tört jelölést kapunk. Ebben az esetben a számlálót és a nevezőt is elosztjuk 4-gyel, és az eredmény 5 / 9.
Tizedes törtek szorzása
A tizedes törtek szorzata elvileg teljesen különbözik a közönséges törtek szorzatától. Tehát a törtek szorzása a következő:
- két tizedes törtet kell egymás alá írni úgy, hogy a jobb szélső számjegyek egymás alá kerüljenek;
- meg kell szoroznia a felírt számokat a vessző ellenére, azaz természetes számként;
- számolja meg az egyes számokban a tizedesvessző utáni számjegyek számát;
- a szorzás után kapott eredményben jobbról meg kell számolni annyi digitális szimbólumot, amennyi a tizedesvessző után mindkét tényezőben szerepel, és elválasztó jelet kell tenni;
- ha kevesebb szám van a szorzatban, akkor annyi nullát kell eléjük írni, hogy lefedje ezt a számot, tegyen vesszőt, és adja hozzá a nullával egyenlő részt.
Példa. Számítsd ki két tizedes tört szorzatát: 2,25 és 3,6!
Megoldás.
Vegyes törtek szorzása
Két vegyes tört szorzatának kiszámításához a törtek szorzására vonatkozó szabályt kell használni:
- vegyes számokat nem megfelelő törtekké alakítani;
- keresse meg a számlálók szorzatát;
- keresse meg a nevezők szorzatát;
- írja le az eredményt;
- lehetőleg egyszerűsítse a kifejezést.
Példa. Keresse meg a 4½ és a 6 2/5 szorzatát.
Egy szám szorzása törttel (törtek egy számmal)
A két tört és vegyes számok szorzatának megtalálása mellett vannak olyan feladatok, ahol törttel kell szorozni.
Tehát egy tizedes tört és egy természetes szám szorzatának megtalálásához a következőkre van szüksége:
- írja be a számot a tört alá úgy, hogy a jobb szélső számjegyek egymás fölé kerüljenek;
- keresse meg a terméket a vessző ellenére;
- a kapott eredményben vesszővel válassza el az egész részt a tört résztől, jobbról számolva a törtben a tizedesvessző utáni számjegyek számát.
Egy közönséges tört számmal való szorzásához meg kell találnia a számláló és a természetes tényező szorzatát. Ha a válasz olyan törtet ad, amely csökkenthető, akkor azt át kell alakítani.
Példa. Számítsd ki 5/8 és 12 szorzatát!
Megoldás. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.
Válasz: 7 1 / 2.
Amint az előző példából látható, csökkenteni kellett a kapott eredményt, és a hibás törtkifejezést vegyes számmá kellett konvertálni.
A törtek szorzása egy vegyes formában lévő szám és egy természetes tényező szorzatának megtalálását is jelenti. Ennek a két számnak a szorzásához a vegyes tényező teljes részét meg kell szorozni a számmal, a számlálót meg kell szorozni ugyanazzal az értékkel, és a nevezőt változatlanul kell hagyni. Ha szükséges, a lehető legnagyobb mértékben le kell egyszerűsítenie a kapott eredményt.
Példa. Keresse meg a 9 5/6 és 9 szorzatát.
Megoldás. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.
Válasz: 88 1 / 2.
10-es, 100-as, 1000-es vagy 0,1-es szorzás; 0,01; 0,001
A következő szabály az előző bekezdésből következik. Egy tizedes tört 10, 100, 1000, 10 000 stb. számmal való szorzásához a tizedesvesszőt annyi számjeggyel jobbra kell mozgatni, ahány nulla van az egy utáni tényezőben.
1. példa. Keresse meg 0,065 és 1000 szorzatát.
Megoldás. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.
Válasz: 65.
2. példa. Keresse meg 3,9 és 1000 szorzatát.
Megoldás. 3,9 × 1000 = 3,900 × 1000 = 3900.
Válasz: 3900.
Ha meg kell szoroznia egy természetes számot 0,1-gyel; 0,01; 0,001; 0,0001 stb., akkor a kapott szorzatban a vesszőt balra kell mozgatni annyi karakterrel, ahány nulla van egy előtt. Szükség esetén elegendő számú nullát írunk a természetes szám elé.
1. példa. Keresse meg 56 és 0,01 szorzatát.
Megoldás. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.
Válasz: 0,56.
2. példa. Keresse meg 4 és 0,001 szorzatát.
Megoldás. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.
Válasz: 0,004.
Tehát a különböző törtek szorzatának megtalálása nem okozhat nehézséget, kivéve talán az eredmény kiszámítását; ebben az esetben egyszerűen nem nélkülözheti a számológépet.
Nem szabad sietni a közös nevező |vizek egy sorba írásával; A tanulók gyakran nem veszik észre, hogy ezek a törtek egyenlő törtté alakulnak, közös nevezővel.
Tört szorzata egész számmal
A következő lépés az, hogy megtanuljuk, hogyan kell egy tört egész számmal szorozni. A tört egész számmal való szorzását ugyanúgy definiáljuk, mint az egész számok szorzását.
Egy tört egész számmal való szorzásának tanulmányozásakor meg kell határozni a tanulókkal a tört egész számmal való szorzásának műveletét egyenlő tagok összeadásával, amelyek mindegyike egyenlő a szorzóval; mutassa meg a tört egész számmal való szorzásának és a tört többszöri növelésének azonosságát, adja meg a tört 1-gyel való szorzásának definícióját; mutasson be egy racionális technikát egy tört csökkentésére, amelynek számlálója azt a szorzatot jelöli, amellyel a tanulók először találkoznak egy tört egésszel való szorzásakor; megtanítani ennek a műveletnek a feladatokra való alkalmazását; vegyük figyelembe a szorzás speciális eseteit, például egy tört szorzatát a nevezővel egyenlő számmal; vegyes számot megszorozunk egy egész számmal. A tört egész számmal való szorzásának tanulmányozása során felmerülő problémák felsorolása azt mutatja, hogy minden egyszerűnek tűnő kérdés alapos tanulmányozást igényel, és mennyi további probléma merül fel ezzel a kérdéssel kapcsolatban.
Íme egy példa egy óratervre ebben a témában:
1) Házi feladat ellenőrzése.
2) Szóbeli gyakorlatok a törtek összeadásáról és kivonásáról.
3) Szóbeli példák egy termék számmal való elosztására:
4) Redukáló frakciók:
5) Az egész számmal való szorzás definíciójának megismétlése:
6) A tört egész számmal való szorzásának definíciója:
7) Feladatok megoldása egy műveletben tört egész számmal való szorzásakor »»
szám. Például: 1 m3 fenyő tűzifa súlya t. Keresse meg ennek 2 m3 tömegét
tűzifa (tonna), 7 m3.
8) Fogalmazzuk meg a tört egész számmal való szorzásának szabályát:
Egy tört egész számmal való megszorzásához elegendő a tört számlálóját megszorozni ezzel a számmal, így ugyanaz a nevező marad.
9) Példák megoldása tört egész számmal való szorzására:
10) Hozzon létre olyan feladatokat, amelyek megoldásához szorzás szükséges.
11) Házi feladat.
A szorzat számmal való elosztására és a törtek csökkentésére vonatkozó, ebben a tervben szereplő szóbeli gyakorlatok célja, hogy felkészítsék a tanulókat arra, hogy indokolják azoknak a törtszámoknak a csökkentését, amelyekben a szorzat szerepel a számlálóban. A tanulók emlékeznek arra, hogyan kell elosztani egy szorzatot számmal, és a törtek csökkentésekor a következő érvelést használják: tört csökkentéséhez el kell osztania a számlálót és a nevezőt ugyanazzal a számmal; a számláló a szorzatot tartalmazza; Egy szorzat számmal való osztásához elegendő az egyik tényezőt ezzel a számmal elosztani. Ezért tört redukálásakor a 10-et és a 25-öt elosztjuk 5-tel.
A következő leckében meg kell kérni a tanulókat, hogy használjanak több példát egy tört egész számmal való szorzására, hogy összehasonlítsák a szorzót és a szorzatot nagyságrendben. Határozzuk meg, hogy a törteknél, akárcsak az egész számoknál, a tört többszörös növelése azt jelenti, hogy megszorozzuk egy egész számmal. Az űrlap példáinak mérlegelése alapján
következtetést vonunk le egy tört értékének változásáról a számláló növekedésével vagy a nevező adott számúszoros csökkenésével, és egy adott technikát adunk meg egy tört egész számmal való szorzására, az esetre megfelelő ha a tört nevezőjét elosztjuk egy adott egész számmal:
Amikor megtanulunk egy vegyes számot egész számmal szorozni, először két módszert veszünk figyelembe. Például:
Az utolsó okfejtés a szorzás eloszlási törvényének érvényességét mutatja az összeg tekintetében, ha az egyik tag tört. Egy példa az űrlapra
és arra a következtetésre jutottak, hogy ha egy vegyes számot szorozunk egész számmal, a legtöbb esetben könnyebb az egész számot és a törtet külön megszorozni egész számmal.
Tört elosztása egész számmal
A tört egész számmal való szorzata után tovább kell lépnie az egész szám és a tört egész számmal való osztására, mivel a szám törtrészének megtalálásához a törttel való szorzás előtt el kell osztani a nevezővel. Ezt jelzi a legtöbb módszertani irodalom. Az osztás definícióját a szorzás fordított műveleteként adjuk meg.
Nézzünk egy példát: 4:5.
Először az érvelést hajtjuk végre: a 4-öt osztva képzeljük el, hogy minden egység öt egyenlő részre van osztva, majd 4 egységben 20 ötöd lesz, 20 ötödet elosztva 5-tel, megkapjuk, amit ellenőriztünk:
Találtunk egy törtet, amelyet 5-tel megszorozva 4-et kapunk. Ezért az osztás helyes. Írjuk fel:
Következtetés. Ha egy egész számot elosztunk egy egész számmal, akkor olyan törtet kapunk, amelynek számlálója egyenlő az osztóval, nevezője pedig az osztóval. Megfordítva: bármely tört hányadosnak tekinthető, ha a számlálóját elosztjuk a nevezőjével.
Például egyenlő 3 hányadosával osztva 7-tel, mivel ·7=3.
A tört egész számmal való osztásának tanulmányozása azzal kezdődik, hogy megvizsgálunk egy példát egy tört egész számmal való szorzására, amelyre egy inverz probléma jön létre. Például:
inverz probléma:
meg kell találni egy törtet, amelyet 4-gyel megszorozva a szorzatot kapjuk. Ez a tört lesz, írjuk:
Számos hasonló példa mérlegelése eredményeként a tanulók arra a következtetésre jutnak, hogy egy tört egész számmal való osztásakor elegendő a számlálót elosztani az egész számmal, így ugyanaz a nevező marad. Ezek után felteszik a kérdést, hogy mit kell tenni abban az esetben, ha egy adott tört számlálója nem osztható egész számmal. A második szorzási módszert tekintjük: , innen .
Egy egész számot törttel szorozni nem nehéz feladat. De vannak olyan finomságok, amelyeket valószínűleg megértett az iskolában, de azóta elfelejtette.
Hogyan szorozhatunk meg egy egész számot törttel - néhány kifejezés
Ha emlékszik arra, hogy mi a számláló és a nevező, és miben különbözik a megfelelő tört a helytelen törttől, hagyja ki ezt a bekezdést. Azoknak szól, akik teljesen elfelejtették az elméletet.
A számláló a tört felső része – amit osztunk. A nevező kisebb. Ez az, amivel osztunk.
Helyes tört az, amelynek a számlálója kisebb, mint a nevezője. Nem megfelelő tört az, amelynek a számlálója nagyobb vagy egyenlő a nevezőjével.
Hogyan szorozzuk meg az egész számot törttel
Az egész szám törttel való szorzásának szabálya nagyon egyszerű - a számlálót megszorozzuk az egész számmal, de nem érintjük meg a nevezőt. Például: kettő szorozva egy ötöddel - két ötödöt kapunk. Négy szorozva három tizenhatoddal egyenlő tizenkét tizenhatoddal.
Csökkentés
A második példában a kapott frakció csökkenthető.
Mit jelent? Kérjük, vegye figyelembe, hogy ennek a törtnek a számlálója és nevezője is osztható néggyel. Mindkét szám közös osztóval való osztását a tört csökkentésének nevezzük. Háromnegyedet kapunk.
Nem megfelelő törtek
De tegyük fel, hogy megszorozzuk a négyet kétötöddel. Nyolcötödnek bizonyult. Ez egy helytelen tört.
Mindenképpen a megfelelő formába kell hozni. Ehhez ki kell választani belőle egy egész részt.
Itt a maradékkal való osztást kell használni. Egyet és hármat kapunk maradékként.
Egy egész és három ötöd a megfelelő törtünk.
A harmincöt nyolcad helyes formába hozása egy kicsit nehezebb. A harminchéthez legközelebbi szám, amely osztható nyolccal, a harminckettő. Ha elosztjuk, négyet kapunk. Harmincötből kivonjuk a harminckettőt, és hármat kapunk. Eredmény: négy egész és három nyolcad.
A számláló és a nevező egyenlősége. És itt minden nagyon egyszerű és gyönyörű. Ha a számláló és a nevező egyenlő, az eredmény egyszerűen egy.
Egy másik, közönséges törtekkel végrehajtható művelet a szorzás. Megpróbáljuk elmagyarázni annak alapvető szabályait a problémák megoldása során, megmutatjuk, hogyan szorozzuk meg a közönséges tört természetes számmal, és hogyan kell helyesen szorozni három vagy több közönséges törtet.
Először írjuk le az alapszabályt:
1. definíció
Ha egy közönséges törtet megszorozunk, akkor a kapott tört számlálója egyenlő lesz az eredeti törtek számlálóinak szorzatával, a nevező pedig a nevezőik szorzatával. Szó szerinti formában két a / b és c / d tört esetén ez a b · c d = a · c b · d formában fejezhető ki.
Nézzünk egy példát a szabály helyes alkalmazására. Tegyük fel, hogy van egy négyzet, amelynek oldala egy számegységgel egyenlő. Ekkor az ábra területe 1 négyzet lesz. Mértékegység. Ha a négyzetet egyenlő téglalapokra osztjuk, amelyek oldalai egyenlők 1 4 és 1 8 numerikus egységekkel, akkor azt kapjuk, hogy most 32 téglalapból áll (mert 8 4 = 32). Ennek megfelelően mindegyik területe egyenlő lesz a teljes ábra területének 1 32-ével, azaz. 132 nm. egységek.
Van egy árnyékolt töredékünk, amelynek oldalai 5 8 numerikus egységgel és 3 4 numerikus egységekkel egyenlők. Ennek megfelelően a terület kiszámításához meg kell szorozni az első törtet a másodikkal. 5 8 · 3 4 négyzetméter lesz. egységek. De egyszerűen megszámolhatjuk, hogy hány téglalap van a töredékben: 15 db van, ami azt jelenti, hogy a teljes terület 15 32 négyzetegység.
Mivel 5 3 = 15 és 8 4 = 32, a következő egyenlőséget írhatjuk fel:
5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32
Megerősíti a közönséges törtek szorzására általunk megfogalmazott szabályt, amely a b · c d = a · c b · d formában van kifejezve. Ugyanúgy működik mind a megfelelő, mind a nem megfelelő törteknél; Használható különböző és azonos nevezővel rendelkező törtek szorzására is.
Nézzünk megoldást több, a közönséges törtek szorzásával kapcsolatos probléma megoldására.
1. példa
Szorozzuk meg a 7 11-et 9 8-cal.
Megoldás
Először is számítsuk ki a jelzett törtek számlálóinak szorzatát úgy, hogy 7-et megszorozunk 9-cel. 63-at kaptunk. Ezután kiszámítjuk a nevezők szorzatát, és megkapjuk: 11 · 8 = 88. Állítsunk össze két számot, és a válasz: 63 88.
A teljes megoldás így írható:
7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88
Válasz: 7 11 · 9 8 = 63 88.
Ha válaszunkban redukálható törtet kapunk, akkor be kell fejeznünk a számítást és el kell végeznünk a redukcióját. Ha nem megfelelő törtet kapunk, akkor az egész részt le kell választani belőle.
2. példa
Számítsa ki a törtek szorzatát! 4 15 és 55 6 .
Megoldás
A fent vizsgált szabály szerint a számlálót meg kell szoroznunk a számlálóval, a nevezőt pedig a nevezővel. A megoldási rekord így fog kinézni:
4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90
Csökkenthető törtet kaptunk, i.e. amely osztható 10-zel.
Csökkentsük a törtet: 220 90 gcd (220, 90) = 10, 220 90 = 220: 10 90: 10 = 22 9. Ennek eredményeként egy nem megfelelő törtet kapunk, amelyből kiválasztjuk a teljes részt, és vegyes számot kapunk: 22 9 = 2 4 9.
Válasz: 4 15 55 6 = 2 4 9.
A számítás megkönnyítése érdekében a szorzási művelet végrehajtása előtt csökkenthetjük az eredeti törteket is, amihez a törtet a · c b · d formájúra kell redukálnunk. Bontsuk fel a változók értékeit egyszerű tényezőkre, és csökkentsük ugyanazokat.
Nézzük meg, hogyan néz ki ez egy adott feladatból származó adatok felhasználásával.
3. példa
Számítsa ki a szorzatot 4 15 55 6.
Megoldás
Írjuk fel a szorzási szabály alapján végzett számításokat. Kapunk:
4 15 55 6 = 4 55 15 6
Mivel 4 = 2 2, 55 = 5 11, 15 = 3 5 és 6 = 2 3, akkor 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3.
2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9
Válasz: 4 15 · 55 6 = 2 4 9 .
Az a numerikus kifejezés, amelyben a közönséges törteket szorozzuk, kommutatív tulajdonsággal rendelkezik, vagyis ha szükséges, megváltoztathatjuk a tényezők sorrendjét:
a b · c d = c d · a b = a · c b · d
Hogyan szorozzuk meg a tört természetes számmal
Rögtön írjuk le az alapszabályt, majd próbáljuk meg elmagyarázni a gyakorlatban.
2. definíció
Egy közönséges tört természetes számmal való szorzásához meg kell szorozni a tört számlálóját ezzel a számmal. Ebben az esetben a végső tört nevezője egyenlő lesz az eredeti közönséges tört nevezőjével. Egy bizonyos a b tört n természetes számmal való szorzata az a b · n = a · n b képlettel írható fel.
Könnyű megérteni ezt a képletet, ha emlékszel arra, hogy bármely természetes szám ábrázolható közönséges törtként, amelynek nevezője eggyel egyenlő, azaz:
a b · n = a b · n 1 = a · n b · 1 = a · n b
Magyarázzuk meg elképzelésünket konkrét példákkal.
4. példa
Számítsa ki a szorzatot 2 27-szer 5.
Megoldás
Ha az eredeti tört számlálóját megszorozzuk a második tényezővel, 10-et kapunk. A fenti szabály értelmében 10 27-et kapunk. A teljes megoldás ebben a bejegyzésben található:
2 27 5 = 2 5 27 = 10 27
Válasz: 2 27 5 = 10 27
Amikor egy természetes számot megszorozunk törttel, gyakran le kell rövidíteni az eredményt, vagy vegyes számként kell ábrázolnunk.
5. példa
Feltétel: számítsa ki a szorzatot 8x5 12-vel.
Megoldás
A fenti szabály szerint a természetes számot megszorozzuk a számlálóval. Ennek eredményeként azt kapjuk, hogy 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12. A végső törtnek 2-vel osztható jelei vannak, ezért csökkentenünk kell:
LCM (40, 12) = 4, tehát 40 12 = 40:4 12:4 = 103
Most már nincs más dolgunk, mint kijelölni a teljes részt, és felírni a kész választ: 10 3 = 3 1 3.
Ebben a bejegyzésben a teljes megoldás látható: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3.
Csökkenthetjük a törtet úgy is, hogy a számlálót és a nevezőt prímtényezőkké alakítjuk, és az eredmény pontosan ugyanaz lenne.
Válasz: 5 12 8 = 3 1 3.
Az a numerikus kifejezés, amelyben egy természetes számot megszorozunk törttel, szintén eltolás tulajdonsággal rendelkezik, vagyis a tényezők sorrendje nem befolyásolja az eredményt:
a b · n = n · a b = a · n b
Három vagy több gyakori tört szorzása
A közönséges törtek szorzásának műveletére kiterjeszthetjük ugyanazokat a tulajdonságokat, amelyek a természetes számok szorzására jellemzőek. Ez e fogalmak meghatározásából következik.
A kombináló és kommutatív tulajdonságok ismeretének köszönhetően három vagy több közönséges tört szorozható. Elfogadható a tényezők átrendezése a nagyobb kényelem érdekében, vagy a zárójelek olyan elrendezése, amely megkönnyíti a számolást.
Mutassuk meg egy példán, hogyan történik ez.
6. példa
Szorozzuk meg a négy közönséges törtet 1 20, 12 5, 3 7 és 5 8.
Megoldás: Először rögzítsük a munkát. 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8-at kapunk. Az összes számlálót és nevezőt össze kell szoroznunk: 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 = 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 .
Mielőtt elkezdenénk a szorzást, egy kicsit megkönnyíthetjük magunknak a dolgunkat, és néhány számot beszámíthatunk prímtényezőkbe a további csökkentés érdekében. Ez könnyebb lesz, mint csökkenteni a már kész frakciót.
1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9 280
Válasz: 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 9280.
7. példa
Szorozz meg 5 számot 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 .
Megoldás
A kényelem kedvéért a 7 8-as törtet a 8-as számmal, a 12-es számot pedig az 5-36-tal csoportosíthatjuk, mivel a jövőbeni rövidítések nyilvánvalóak lesznek számunkra. Ennek eredményeként a következőket kapjuk:
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = 7 5 3 10 = 7 = 5 31 6 3 2 3
Válasz: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3.
Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt
Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete