Az előző megbeszélésekben egyáltalán nem alkalmaztuk a differenciálszámítás technikai módszereit.

Nehéz nem elismerni, hogy elemi módszereink egyszerűbbek és közvetlenebbek, mint az elemzési módszerek. Általánosságban elmondható, hogy egy adott tudományos probléma kezelésekor jobb annak egyéni sajátosságaiból kiindulni, mint pusztán általános módszerekre hagyatkozni, bár másrészt természetesen az általános elv, amely tisztázza az alkalmazott speciális eljárások értelmét. , mindig irányító szerepet kell játszania. A differenciálszámítás módszereinek éppen ez a jelentősége az extrém problémák mérlegelésekor. A modern tudományban megfigyelhető általánosság iránti vágy a dolognak csak az egyik oldalát képviseli, hiszen ami igazán létfontosságú a matematikában, azt kétségtelenül a vizsgált problémák és az alkalmazott módszerek egyéni jellemzői határozzák meg.

Történelmi fejlődésében a differenciálszámítást igen jelentős mértékben befolyásolták a mennyiségek legnagyobb és legkisebb értékeinek megtalálásával kapcsolatos egyéni problémák. Az extrém problémák és a differenciálszámítás kapcsolata a következőképpen értelmezhető. A VIII. fejezetben részletesen megvizsgáljuk az f(x) függvény f"(x) deriváltját és annak geometriai jelentését. Ott látni fogjuk, hogy röviden szólva, az f"(x) derivált a függvény meredeksége. a görbe érintője y = f(x) az (x, y) pontban. Geometriailag nyilvánvaló, hogy egy sima görbe maximum- vagy minimumpontjain y = f(x) a görbe érintőjének mindenképpen vízszintesnek kell lennie, azaz a meredekségnek nullának kell lennie. Így megkapjuk a szélsőpontok feltételét f"(x) = 0.

Hogy világosan megértsük, mit jelent az f"(x) derivált eltűnése, tekintsük a 191. ábrán látható görbét. Itt öt olyan A, B, C, D, ? pontot látunk, amelyeknél a görbe érintője vízszintes. jelöljük ezekben a pontokban az f(x) megfelelő értékeit a, b, c, d, e. Az f(x) legnagyobb értékét (a rajzon látható területen belül) a D pontban érjük el, a legkisebbet az A pontban. B pontban van egy maximum - abban az értelemben, hogy minden pontban valami környék B pontban az f(x) értéke kisebb, mint b, bár a D-hez közeli pontokban az f(x) értéke még mindig nagyobb, mint b. Emiatt szokás azt mondani, hogy a B pontban van függvény relatív maximuma f(x), míg a D pontban - abszolút maximum. Ugyanígy a C pontban van relatív minimum,és az A pontban - abszolút minimum. Végül, ami az E pontot illeti, nincs benne se maximum, se minimum, bár az egyenlőség még így is megvalósul benne f"(x) = Q, Ebből következik, hogy az f"(x) derivált eltűnése az szükséges, de egyáltalán nem elegendő feltétele az f(x) sima függvény szélsőértékének megjelenésének; más szóval, minden olyan ponton, ahol van szélsőség (abszolút vagy relatív), az egyenlőség minden bizonnyal megtörténik f"(x) = 0, de nem minden ponton, ahol f"(x) = 0, szélsőségnek kell lennie. Azokat a pontokat, ahol az f"(x) derivált eltűnik, függetlenül attól, hogy van-e rajtuk szélsőség, az ún. helyhez kötött. A további analízis többé-kevésbé bonyolult feltételekhez vezet az f(x) függvény magasabb deriváltjaira és a maximumok, minimumok és egyéb stacionárius pontok teljes jellemzésére.

Egy függvény stacionárius pontjai.

Egy függvény lokális szélsőértékének szükséges feltétele

Az első elégséges feltétel a lokális szélsőséghez

Második és harmadik elégséges feltétel egy lokális szélsőséghez

Egy függvény legkisebb és legnagyobb értéke egy szegmensen

Konvex függvények és inflexiós pontok

1. A függvény stacionárius pontjai. Egy függvény lokális szélsőértékének szükséges feltétele 1. definíció
. Legyen a függvény definiálva
. Pont
a függvény stacionárius pontjának nevezzük , Ha
.

egy ponton differenciált És
1. tétel (szükséges feltétel egy függvény lokális szélsőértékéhez)
. Legyen a függvény
határozta meg

és a ponton van

helyi extrémum. Ekkor az egyik feltétel teljesül: Tehát ahhoz, hogy egy szélsőségre gyanús pontokat találjunk, meg kell találni a függvény stacionárius pontjait, illetve azokat a pontokat, amelyekben a függvény deriváltja nem létezik, de amelyek a függvény definíciós tartományába tartoznak.
Példa
. Hadd

. Keress rá olyan pontokat, amelyek extrémumra gyanúsak. A probléma megoldásához először is keressük meg a függvény definíciós tartományát:
. Most keressük meg a függvény deriváltját:

Pontok, ahol a derivált nem létezik:
. Helyhez kötött funkciópontok:
Mivel és

, És

a függvény definíciójának tartományába tartoznak, akkor mindkettő gyanús lesz egy szélsőségre nézve. De ahhoz, hogy megállapítsuk, valóban lesz-e ott extrémum, elegendő feltételt kell alkalmazni a szélsőséghez. És
1. tétel (szükséges feltétel egy függvény lokális szélsőértékéhez)
2. A lokális szélsőség első elégséges feltétele
, de ezen a ponton funkció
folyamatos. Ha vannak egy pontnak ilyen jobb és bal oldali félkörzetei , amelyek mindegyikében
akkor megtart egy bizonyos jelet

1) funkció
ponton van egy lokális szélsősége . Pont
különböző jelek értékeit veszi fel a megfelelő félkörzetekben;

2) funkció
nincs helyi szélsőpontja a ponton , ha a ponttól jobbra és balra
ugyanaz a jele.

Bizonyíték . 1) Tegyük fel, hogy egy félig szomszédságban
derivált
, és be

.

Tehát a ponton funkció
van egy lokális szélsősége, nevezetesen egy lokális maximuma, amit bizonyítani kellett.

2) Tegyük fel, hogy a ponttól balra és jobbra a származék megtartja előjelét, pl.
. Aztán tovább
, Ha
funkció
szigorúan monoton növekszik, azaz:

Így az extrémum a pontban funkció
nem rendelkezik, amit bizonyítani kellett.

1. megjegyzés . Ha a származék
amikor áthalad egy ponton megváltoztatja a jelet „+”-ról „-”-ra, majd a pontra funkció
van egy helyi maximuma, és ha az előjel „-”-ről „+”-ra változik, akkor van helyi minimuma.

Jegyzet 2 . Fontos feltétel a funkció folyamatossága
azon a ponton . Ha ez a feltétel nem teljesül, akkor előfordulhat, hogy az 1. Tétel nem teljesül.

helyi extrémum. Ekkor az egyik feltétel teljesül: . A függvényt figyelembe vesszük (1. ábra):

Ez a funkció definiálva van és egy pont kivételével mindenhol folyamatos
, ahol kivehető rés van rajta. Amikor áthalad egy ponton

„-”-ról „+”-ra változtatja az előjelet, de a függvénynek ezen a ponton nincs lokális minimuma, de értelemszerűen van lokális maximuma. Valóban, közel a lényeghez
fel lehet építeni egy szomszédságot úgy, hogy az ebből a szomszédságból származó összes argumentum esetén a függvényértékek kisebbek lesznek, mint az érték
. Az 1. tétel nem működött, mert azon a ponton
a függvénynek rés volt.

3. megjegyzés . A lokális szélsőség első elégséges feltétele nem használható, ha a függvény deriváltja
megváltoztatja előjelét egy pont minden bal és jobb oldali félkörzetében .

helyi extrémum. Ekkor az egyik feltétel teljesül: . A figyelembe vett függvény a következő:

Mert a
, Azt
, és ezért
, De
. És így:

,

azok. azon a ponton
funkció
definíció szerint van egy lokális minimuma. Nézzük meg, működik-e itt az első elégséges feltétel egy lokális szélsőséghez.

Mert
:

Az eredményül kapott képlet jobb oldalán lévő első taghoz a következőt kapjuk:

,

és ezért a pont egy kis szomszédságában
a származék előjelét a második tag előjele határozza meg, azaz:

,

ami azt jelenti, hogy a pont bármely szomszédságában

pozitív és negatív értékeket is felvesz. Valóban, vegyük figyelembe a pont tetszőleges környékét
:
. Amikor

,

Hogy

(2. ábra), és itt végtelenül sokszor változtatja a jelét. Így a helyi szélsőség első elégséges feltétele nem használható a megadott példában.

Egy függvény stacionárius pontok jelenlétének vizsgálata és azok megtalálása az egyik fontos elem a függvény grafikonjának megalkotásánál. Egy függvény stacionárius pontjait akkor találhatja meg, ha rendelkezik bizonyos matematikai ismeretekkel.

Szükséged lesz

• - a stacionárius pontok megléte szempontjából vizsgálandó funkció;
• - stacionárius pontok meghatározása: egy függvény stacionárius pontjai olyan pontok (argumentumértékek), amelyeknél az elsőrendű függvény deriváltja eltűnik.

Utasítás

• A derivált táblázat és a függvények differenciáló képlete segítségével meg kell találni a függvény deriváltját. Ez a lépés a legnehezebb és legfelelősebb a feladat során. Ha ebben a szakaszban hibát követ el, a további számításoknak nincs értelme.
• Ellenőrizze, hogy egy függvény deriváltja függ-e az argumentumától. Ha a talált derivált nem függ az argumentumtól, azaz szám (például f"(x) = 5), akkor ebben az esetben a függvénynek nincsenek stacionárius pontjai. Ilyen megoldás csak akkor lehetséges, ha a vizsgált függvény egy elsőrendű lineáris függvény (például f(x) = 5x+1-hez, ha a függvény deriváltja az argumentumtól függ, akkor folytassa az utolsó lépéssel.
• Állítsd össze az f"(x) = 0 egyenletet, és oldd meg. Lehet, hogy az egyenletnek nincsenek megoldásai – ebben az esetben a függvénynek nincsenek stacionárius pontjai. Ha az egyenletnek vannak megoldásai, akkor az argumentum ezen konkrét értékei a függvény stacionárius pontjai Ezen a ponton az egyenlet megoldását argumentumhelyettesítéssel kell ellenőrizni.

3. § STACIÓS PONTOK ÉS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS 369

jól látható, hogy általánosságban elmondható, hogy a családnak két köre van, amelyek érintik az l egyenest: ezek középpontjai a P Q szakasz ellentétes oldalán helyezkednek el. Az érintési pontok egyike adja meg az l egyenest j értéket, míg a másik csak „relatív” maximumot ad: ez azt jelenti, hogy j értékei ezen a ponton nagyobbak, mint a kérdéses pont valamely szomszédságában lévő értékek. A két maximum közül a nagyobbat - az abszolút maximumot - az érintési pont adja, amely az l egyenes és a P Q szakasz folytatása által alkotott hegyesszögben helyezkedik el, a kisebbet pedig az érintési pont, amely az ezen egyenesek által alkotott tompaszögben helyezkedik el. (Az l egyenes metszéspontja a P Q szakasz folytatásával adja meg a j szög minimális értékét, azaz j = 0.)

Rizs. 190. Melyik l pontból látható a legnagyobb szögben a P Q szakasz?

Általánosítva a vizsgált problémát, az l egyenest helyettesíthetjük valamilyen C görbével, és a C görbén olyan R pontokat kereshetünk, amelyekből egy adott, C-t nem metsző P Q szakasz a legnagyobb vagy legkisebb szögben látható. Ebben a feladatban az előzőhöz hasonlóan a P-n, Q-n és R-n áthaladó körnek érintenie kell a C görbét az R pontban.

§ 3. Stacionárius pontok és differenciálszámítás

1. Extrém és állópontok. Az előző megbeszélésekben egyáltalán nem alkalmaztuk a differenciálszámítás technikai módszereit.

Nehéz nem elismerni, hogy elemi módszereink egyszerűbbek és közvetlenebbek, mint az elemzési módszerek. Általában, amikor egy adott tudományos problémával foglalkozunk, jobb, ha az egyénből indulunk ki

jellemzői, mint pusztán általános módszerekre hagyatkozni, bár másrészt természetesen mindig irányadó szerepet kell játszania az általános elvnek, amely tisztázza az alkalmazott speciális eljárások értelmét. A differenciálszámítás módszereinek éppen ez a jelentősége az extrém problémák mérlegelésekor. A modern tudományban megfigyelhető általánosság iránti vágy a dolognak csak az egyik oldalát képviseli, hiszen ami igazán létfontosságú a matematikában, azt kétségtelenül a vizsgált problémák és az alkalmazott módszerek egyéni jellemzői határozzák meg.

Történelmi fejlődésében a differenciálszámítást igen jelentős mértékben befolyásolták a mennyiségek legnagyobb és legkisebb értékeinek megtalálásával kapcsolatos egyéni problémák. Az extrém problémák és a differenciálszámítás kapcsolata a következőképpen értelmezhető. A VIII. fejezetben az f(x) függvény f0 (x) deriváltjának és geometriai jelentésének részletes tanulmányozására vállalkozunk. Ott látni fogjuk, hogy röviden szólva az f0 (x) derivált az y = f(x) görbe érintőjének meredeksége az (x, y) pontban. Geometriailag nyilvánvaló, hogy az y = f(x) sima görbe maximum- vagy minimumpontjain a görbe érintőjének szükségszerűen vízszintesnek kell lennie, azaz a meredekségnek nullának kell lennie. Így a szélsőpontokra az f0 (x) = 0 feltételt kapjuk.

Ahhoz, hogy világosan megértsük, mit jelent az f0 (x) derivált eltűnése, tekintsük a 191. ábrán látható görbét. Itt öt A, B, C, D, E pontot látunk, amelyekben a görbe érintője vízszintes; Jelöljük ezekben a pontokban f(x) megfelelő értékeit a, b, c, d, e-vel. Az f(x) legnagyobb értékét (a rajzon látható területen belül) a D pontban érjük el, a legkisebbet - az A pontban. A B pontban van egy maximum - abban az értelemben, hogy egy adott szomszédságában minden ponton B pontban f(x) értéke kisebb, mint b, bár a D-hez közeli pontokban f(x) értéke még mindig nagyobb, mint b. Emiatt szokás azt mondani, hogy B pontban van az f(x) függvény relatív maximuma, míg D pontban abszolút maximuma. Hasonlóképpen a C pontban van egy relatív minimum, az A pontban pedig egy abszolút minimum. Végül pedig az E pontnál nincs se maximum, se minimum, bár az f0 (x) = 0 egyenlőség ott is igaz. Ebből következik, hogy az f0 (x) derivált eltüntetése szükséges, de nem elegendő feltétele az f(x) sima függvény szélsőértékének megjelenésének; más szóval, minden pontban, ahol van szélsőség (abszolút vagy relatív), az f0 (x) = 0 egyenlőség biztosan fennáll, de nem minden pontban, ahol f0 (x) = 0, szélsőségnek kell lennie. Stacionáriusnak nevezzük azokat a pontokat, ahol az f0 (x) derivált eltűnik, függetlenül attól, hogy van-e szélsőség. A további elemzés többé-kevésbé vezet

3. § STACIÓS PONTOK ÉS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS 371

összetett feltételek az f(x) függvény magasabb deriváltjaira, valamint teljesen jellemzõ maximumokra, minimumokra és egyéb stacionárius pontokra.

Rizs. 191. Függvény stacionárius pontjai

2. Több változó függvényeinek maximuma és minimuma. Nyeregpontok. Vannak szélsőséges problémák, amelyeket nem lehet kifejezni egy változó f(x) függvényének fogalmával. A legegyszerűbb itt releváns példa két független változó z = f(x, y) függvényének szélsőértékének megtalálása.

Az f(x, y) függvényt mindig úgy is felfoghatjuk, mint a felszín x, y sík feletti z magasságát, és ezt a képet mondjuk hegyi tájként fogjuk értelmezni. Az f(x, y) függvény maximuma egy hegycsúcsnak, minimuma egy lyuk vagy tó aljának felel meg. Mindkét esetben, hacsak a felület nem sima, a felület érintősíkja szükségszerűen vízszintes. De a hegyek csúcsain és a gödrök legalsó pontjain kívül lehetnek más pontok is, ahol az érintősík vízszintes: ezek a hegyhágóknak megfelelő „nyereg” pontok. Vizsgáljuk meg őket alaposabban. Tegyük fel (192. ábra), hogy egy hegységben két A és B csúcs, a gerinc különböző lejtőin pedig két C és D pont található; Tegyük fel, hogy C-ből D-be kell mennünk. Tekintsük először azokat a C-ből D-be vezető utakat, amelyeket úgy kapunk, hogy a felületet metszük a C-n és D-n átmenő síkokkal. Minden ilyen útnak van egy legmagasabb pontja. Amikor a vágási sík helyzete megváltozik, az út is megváltozik, és lehet találni egy olyan utat, amelynek legmagasabb pontja a

lehető legalacsonyabb pozícióban. Ezen az útvonalon a legmagasabb E pont egy hegyszoros pontja tájunkon; nyeregpontnak is nevezhetjük. Nyilvánvaló, hogy az E pontban nincs sem maximum, sem minimum, hiszen akármilyen közel is vannak E-hez a felületen olyan pontok, amelyek E felett, illetve E alatt vannak. Az előző okfejtésben nem korlátozhattuk magunkat. hogy csak azokat az utakat vegyük figyelembe, amelyek akkor keletkeznek, amikor síkok metszenek egy felületet, és vegyük figyelembe a C-t és D-t összekötő bármely pályát. Az E pontnak adott karakterisztikája ettől nem változna.

Ugyanígy, ha az A csúcstól a B csúcsig akarnánk eljutni, akkor minden választható útnak van egy legalacsonyabb pontja; ha csak síkmetszeteket vesszük figyelembe, akkor találnánk egy AB utat, amelyen a legkisebb pont lenne a legmagasabban, és ismét ugyanazt az E pontot kapnánk. Így ennek az E nyeregpontnak az a tulajdonsága, hogy a legmagasabb minimumot vagy a legalacsonyabb maximumot adja. : itt van egy „maximum” vagy „minimaximum” – röviden minimax. Az E pont érintősíkja vízszintes; valóban, mivel E az AB út legalacsonyabb pontja, akkor az AB érintője E-ben vízszintes, és hasonlóan, mivel E a CD út legmagasabb pontja, akkor az E-ben lévő CD érintője vízszintes. Ezért az ezen a két érintővonalon áthaladó érintősík vízszintes. Tehát három különböző típusú pontot találunk vízszintes érintősíkkal: maximum pontok, minimumpontok és végül nyeregpontok; Ennek megfelelően három különböző típusú stacionárius funkcióérték létezik.

Az f(x, y) függvény geometriai ábrázolásának másik módja a szintvonalak rajzolása – ugyanazok, amelyeket a térképészetben a talaj magasságának jelzésére használnak (lásd 308. oldal). A szintvonal egy görbe az x, y síkban, amely mentén az f(x, y) függvény értéke azonos; más szóval a szintvonalak megegyeznek az f(x, y) = c család görbéivel. A közönségesen keresztül

Rizs. 194. Staci unáris pontok egy kétszeresen összefüggő régióban

3. § STACIÓS PONTOK ÉS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS 373

pontosan egy szintvonal halad át egy ponton a síkon; a maximum és minimum pontokat zárt szintvonalak veszik körül, két (vagy több) szintvonal metszi egymást a nyeregpontokban. ábrán. ábrán látható tájnak megfelelően 193 szintvonalat húzunk. 192.

Ebben az esetben különösen egyértelművé válik az E nyeregpont figyelemre méltó tulajdonsága: minden A-t és B-t összekötő és E-n át nem haladó út részben abban a tartományban van, ahol f(x, y)< f(E), тогда как путь AEB на рис. 192 имеет минимум как раз в точке E. Таким же образом мы убеждаемся, что значение f(x, y) в точке E представляет собой наименьший максимум на путях, связывающих C и D.

3. Minimax pontok és topológia. Mély kapcsolat van a stacionárius pontok általános elmélete és a topológiai elképzelések között. Ezzel kapcsolatban itt csak egy rövid jelzést adhatunk, és egy példára szorítkozhatunk.

Tekintsünk egy hegyvidéki tájat egy gyűrű alakú B szigeten, két part menti körvonallal C és C0; ha a tengerszint feletti magasságot a korábbiakhoz hasonlóan u = f(x, y)-vel jelöljük, és tegyük fel, hogy f(x, y) = 0 a C és C0 kontúrokon és f(x, y) > 0

belül, akkor legalább egy hegyszorosnak kell lennie a szigeten: az ábrán. 194 egy ilyen hágó azon a ponton található, ahol két szintvonal metszi egymást. A kimondott állítás érvényessége akkor válik világossá, amikor

Tűzzük-e ki magunknak azt a feladatot, hogy megtaláljunk egy ilyen utat, kapcsolódjunk

közös C és C0, ami nem emelkedne nagyobb magasságba mint az elkerülhetetlen. Minden a C-ből C0-ba vezető út a legmagasabb

legmagasabb pontja, és ha olyan utat választunk, amelynek legmagasabb pontja a legalacsonyabb, akkor az így kapott legmagasabb pont az u = f(x, y) függvény nyeregpontja lesz. (Kivételt kell képezni azt a triviális esetet, amikor egy bizonyos vízszintes sík zárt görbe mentén érint egy gyűrű alakú hegyláncot.) P zárt görbék által határolt régió esetén általában léteznie kell legalább p − 1 minimummax pont. Hasonló kapcsolatok, amint azt Marston Morse megállapította, a többdimenziós régiók esetében is fennáll,

de a topológiai lehetőségek és a stacionárius ponttípusok változatossága ebben az esetben sokkal nagyobb. Ezek az összefüggések képezik a stacionárius pontok modern elméletének alapját.

4. Egy pont távolsága a felülettől. P pont távolságokhoz

Egy zárt görbe különböző pontjaiból (legalább) két stacionárius érték van: minimum és maximum. A három dimenzióra való áttéréskor nem fedezünk fel új tényeket, ha egy olyan C felületre szorítkozunk, amely topológiailag egy gömbnek felel meg (például egy ellipszoid). De ha a felület 1-es vagy magasabb nemzetséghez tartozik, akkor a helyzet más. Tekintsük a C tórusz felületét. Bármi is legyen a P pont, természetesen mindig vannak a C tóruszban olyan pontok, amelyek a legnagyobb és legkisebb távolságot adják meg P-től, és a megfelelő szakaszok merőlegesek magára a felületre. De most megállapítjuk, hogy ebben az esetben is vannak minimax pontok. Képzeljük el az egyik L „meridián” kört a tóruszon (195. ábra), és ezen az L körön találjuk meg a P-hez legközelebb eső Q pontot. Ezután az L kört a tórusz mentén mozgatva megtaláljuk a helyzetét úgy, hogy a P Q távolság: a) minimális lesz - ekkor kapunk egy C-n egy P-hez legközelebbi pontot; b) maximum - akkor stacionárius minimax pontot kap. Ugyanígy megkereshetjük L-en azt a pontot, amelyik a legtávolabb van P-től, majd megkereshetjük L azon pozícióját, ahol a legnagyobb távolság: c) maximum (a P-től legtávolabbi C-pontot kapjuk) , d) minimum. Így négy különböző stacionárius értéket kapunk a tórusz C pontjának a P ponttól való távolságára.

Rizs. 195–196. Távolság a ponttól a felületig

Gyakorlat. Ismételje meg ugyanezt az érvelést egy másik L0 típusú zárt görbére C-n, amely szintén nem húzható össze egy ponttal (196. ábra).

Kritikus pontok– ezek azok a pontok, ahol egy függvény deriváltja egyenlő nullával, vagy nem létezik. Ha a derivált egyenlő 0-val, akkor a függvény ezen a ponton vesz részt helyi minimum vagy maximum. A grafikonon az ilyen pontokon a függvénynek vízszintes aszimptotája van, vagyis az érintő párhuzamos az Ox tengellyel.

Az ilyen pontokat ún helyhez kötött. Ha „púpot” vagy „lyukat” lát egy folytonos függvény grafikonján, ne feledje, hogy a maximumot vagy a minimumot egy kritikus ponton érte el. Vegyük példaként a következő feladatot.

1. példa Keresse meg az y=2x^3-3x^2+5 függvény kritikus pontjait!
Megoldás. A kritikus pontok megtalálásának algoritmusa a következő:

Tehát a függvénynek két kritikus pontja van.

Ezután, ha egy függvényt kell tanulmányoznia, akkor meghatározzuk a derivált előjelét a kritikus ponttól balra és jobbra. Ha a derivált a kritikus ponton való áthaladáskor „-”-ról „+”-ra változtatja az előjelet, akkor a függvény veszi helyi minimum. Ha „+”-tól „-”-ig kell helyi maximum.

A kritikus pontok második típusa ezek a tört- és irracionális függvények nevezőjének nullai

Logaritmikus és trigonometrikus függvények, amelyek ezeken a pontokon nincsenek definiálva


A kritikus pontok harmadik típusa darabonként folytonos függvényekkel és modulokkal rendelkeznek.
Például bármely modulfüggvénynek van minimuma vagy maximuma a törésponton.

Például y modul = | x -5 |
x = 5 pontban van minimuma (kritikus pont).

A derivált nem létezik benne, de jobb és bal oldalon 1, illetve -1 értéket vesz fel.

1)
2)
3)
4)
5)

Próbálja meg meghatározni a függvények kritikus pontjait
Ha a válasz y, megkapja az értéket
1) x=4;
2) x=-1;x=1;
3) x=9;
4) x=Pi*k;
5) x=1. akkor már tudod hogyan lehet megtalálni a kritikus pontokat