Alkalmazás

A származék megoldása az oldalon a diákok és iskolások által lefedett anyag konszolidálására. Egy függvény deriváltjának néhány másodperc alatti kiszámítása nem tűnik nehéznek, ha online problémamegoldó szolgáltatásunkat használja. Minden harmadik tanuló képes lesz részletes elemzést adni egy alapos tanulmányozáshoz a gyakorlati órán. Az ország oktatási intézményeiben a matematika népszerűsítésével kapcsolatban gyakran keresnek meg minket az illetékes osztály osztálya. Ebben az esetben hogyan nem említhetjük meg a derivált online megoldását egy zárt számsorozatra? Sok gazdag egyén kifejezheti zavarodottságát. De eközben a matematikusok nem ülnek egy helyben, és nem dolgoznak sokat. A derivált számológép a bemeneti paraméterek változásait lineáris karakterisztikák alapján fogadja el, elsősorban a kockák csökkenő pozícióinak felsőbbsége miatt. Az eredmény olyan elkerülhetetlen, mint a felszín. Kiindulási adatként az online származékos ügylet kiküszöböli a szükségtelen lépések megtételét. Kivéve a kitalált házimunkát. Amellett, hogy a származékok online megoldása szükséges és fontos szempont a matematika tanulásában, a diákok gyakran nem emlékeznek a múltbeli problémákra. A tanuló lusta teremtmény lévén ezt megérti. De a diákok vicces emberek! Vagy a szabályok szerint tegyük, vagy egy függvény ferde síkban való deriváltja adhat gyorsulást egy anyagi pontnak. Irányítsuk valahova a lefelé irányuló térbeli sugár vektorát. A szükséges válaszban a derivált megtalálása a matematikai rendszer instabilitása miatt elvont elméleti iránynak tűnik. Tekintsünk egy számrelációt nem használt opciók sorozatának. A kommunikációs csatorna a kocka zárt bifurkációjának pontjától csökkenő vektor mentén egy ötödik vonallal bővült. A görbült terek síkján a derivált online megoldása arra a következtetésre vezet, amely a bolygó legnagyobb elméit is elgondolkodtatta a múlt században. A matematika területén zajló események során öt alapvetően fontos tényező került a nyilvánosság elé, amelyek hozzájárulnak a változókiválasztás helyzetének javításához. Tehát a ponttörvény kimondja, hogy az online származékot nem minden esetben számítják ki részletesen, az egyetlen kivétel a lojálisan progresszív pillanat. Az előrejelzés a fejlődés új szakaszához vezetett. Eredményekre van szükségünk. A felület alatt áthaladó matematikai lejtő vonalában a módus-derivatív kalkulátor a hajlítókészleten lévő termékek metszéspontjában található. Továbbra is elemezni kell a függvény differenciálódását az epszilon szomszédságához közeli független pontjában. Ezt a gyakorlatban mindenki ellenőrizheti. Ennek eredményeként a programozás következő szakaszában lesz mit eldönteni. A hallgatónak, mint mindig, szüksége van az online származékra, függetlenül attól, hogy milyen képzeletbeli kutatást végez. Kiderül, hogy a derivált online konstanssal szorozva megoldása nem az anyagi pont általános mozgási irányát változtatja meg, hanem egy egyenes mentén a sebességnövekedést jellemzi. Ebben az értelemben hasznos lesz a derivált számológépünk használata, és a függvény összes értékének kiszámítása a definíció teljes halmazán. Nincs szükség a gravitációs tér erőhullámainak tanulmányozására. A származékok online megoldása semmi esetre sem mutatja meg a kimenő sugár hajlamát, de csak ritka esetekben, amikor erre valóban szükség van, az egyetemisták el tudják képzelni. Vizsgáljuk meg az igazgatót. A legkisebb rotor értéke megjósolható. Alkalmazza a jobbra néző vonalak eredményét, amelyek mentén a golyót leírják, de az online derivált számológép a speciális erősségű és nemlineáris függő figurák alapja. Elkészült a matematikai projekt beszámolója. Személyi jellemzők: a legkisebb számok és a függvény ordináta tengely menti deriváltja közötti különbség ugyanazon függvény homorúságát a magasságba hozza. Van irány - van következtetés. Könnyebb átültetni a gyakorlatba az elméletet. A hallgatóknak javaslatuk van a tanulmányok megkezdésének időpontjára vonatkozóan. Tanári válasz kell. Ugyanúgy, mint az előző álláspontnál, a matematikai rendszert nem olyan művelet alapján szabályozzák, amely segít megtalálni a deriváltot Az alsó féllineáris változathoz hasonlóan az online derivált is részletesen jelzi a megoldás azonosítását degenerált feltételes törvény. A képletek kiszámításának ötlete most vetődött fel. Egy függvény lineáris differenciálása a megoldás igazságát az irreleváns pozitív variációk egyszerű lefektetésére tereli. Az összehasonlító jelek fontosságát a funkció folyamatos megszakításának tekintjük a tengely mentén. Ez a hallgató szerint a legtudatosabb következtetés fontossága, amelyben az online derivált más, mint a matematikai elemzés hű példája. A görbe kör sugara az euklideszi térben éppen ellenkezőleg, a deriváltkalkulátor természetes ábrázolását adta a döntő problémák stabilitásra való cseréjének. Megtalálták a legjobb módszert. Könnyebb volt egy szinttel feljebb léptetni a feladatot. Vezessen a független különbségarány alkalmazhatósága a deriváltak online megoldásához. A megoldás az abszcissza tengelye körül forog, leírva a kör alakját. Van kiút, és az egyetemisták elméletileg alátámasztott kutatásain alapszik, amelyekből mindenki tanul, és az adott időpillanatban is van a függvény származéka. Megtaláltuk az előrelépés módját, és ezt a diákok megerősítették. Megengedhetjük magunknak, hogy megtaláljuk a deriváltot anélkül, hogy túllépnénk a matematikai rendszer átalakításának természetellenes megközelítésén. A bal oldali arányossági jel geometriai sorozattal növekszik, mint egy online derivált számológép matematikai ábrázolása a végtelen y tengelyen lévő lineáris tényezők ismeretlen körülményei miatt. A matematikusok világszerte bebizonyították a gyártási folyamat kivételes természetét. A körön belül van egy legkisebb négyzet az elmélet leírása szerint. Az online származék ismét részletesen kifejezi azt a feltételezésünket, hogy mi befolyásolhatja az elméletileg kifinomult véleményt. Az általunk közölt elemzett jelentéstől eltérő jellegű vélemények születtek. Különös figyelem nem fordulhat elő karaink hallgatóira, de nem okos és technológiailag fejlett matematikusokra, akiknek a függvények megkülönböztetése csak ürügy. A származék mechanikai jelentése nagyon egyszerű. Az emelőerőt az időben felfelé csökkenő állandó terek online deriváltjaként számítjuk ki. A nyilvánvalóan derivált számológép egy szigorú folyamat a mesterséges átalakulás amorf testként való elfajulásának problémájának leírására. Az első derivált egy anyagi pont mozgásának változását jelzi. A háromdimenziós teret nyilvánvalóan a származékok online megoldására kiképzett technológiák kontextusában figyelik meg, sőt, ez minden kollokviumban egy matematikai tudományágról szól. A második derivált egy anyagi pont sebességének változását jellemzi, és meghatározza a gyorsulást. Az affin transzformáción alapuló meridián megközelítés egy függvény deriváltját egy ponton a függvény definíciós tartományából egy új szintre emeli. Egy online származékos számológép nem létezhet számok és bizonyos esetekben szimbolikus jelölések nélkül a megfelelő végrehajtási pillanatnak megfelelően, a dolgok átalakítható elrendezése mellett a feladatban. Meglepő módon az anyagi pont második gyorsulása jellemzi a gyorsulás változását. Rövid időn belül elkezdjük a származékos megoldás online tanulmányozását, de amint elérünk egy bizonyos mérföldkövet a tudásban, hallgatónk leállítja ezt a folyamatot. A kapcsolatteremtés legjobb módja, ha élőben kommunikálunk egy matematikai témában. Vannak alapelvek, amelyeket semmilyen körülmények között nem lehet megsérteni, bármilyen nehéz is a feladat. Hasznos időben és hibamentesen megtalálni a származékot az interneten. Ez a matematikai kifejezés új helyzetéhez vezet. A rendszer stabil. A származék fizikai jelentése nem olyan népszerű, mint a mechanikusé. Nem valószínű, hogy valaki emlékszik arra, hogy az online derivált hogyan jelenítette meg részletesen a síkon a függvény vonalainak körvonalát a normálban az abszcissza tengelyével szomszédos háromszögből. Az ember komoly szerepet érdemel a múlt század kutatásában. Különböztessük meg a függvényt a definíciós tartomány pontjaiban és a végtelenben három elemi szakaszban. Írásos formában csak a kutatás területén lesz, de a matematikában és a számelméletben átveheti a fővektor helyét, amint a történések összekapcsolják az online derivált számológépet a problémával. Ha volt oka, akkor lenne oka egyenlet létrehozására. Nagyon fontos minden bemeneti paramétert szem előtt tartani. A legjobbat nem mindig fogadják el egyenesen, e mögött a legjobban dolgozó elmék kolosszális száma áll, akik tudták, hogyan számítják ki az online származékot a térben. Azóta a konvexitást a folytonos függvény tulajdonságának tekintik. Mégis jobb, ha először azt a feladatot tűzi ki, hogy a derivatívákat a lehető legrövidebb időn belül online oldja meg. Így a megoldás teljes lesz. A teljesítetlen normáktól eltekintve ez nem tekinthető elegendőnek. Kezdetben szinte minden diák javasol egy egyszerű módszert arra vonatkozóan, hogy egy függvény deriváltja hogyan idéz elő ellentmondásos kiterjesztési algoritmust. A felszálló sugár irányába. Ennek általános javaslatként van értelme. Korábban egy konkrét matematikai művelet befejezésének kezdetét jelöltük, ma viszont ez fordítva lesz. Talán a derivált online megoldása újra felvetheti a kérdést, és ennek megőrzésére közös véleményt fogadunk el a tanári értekezleten zajló vita során. A találkozó résztvevőinek megértését reméljük. A logikai értelme a derivált számológép leírásában rejlik a számok rezonanciájában a probléma gondolatának bemutatási sorrendjéről, amelyre a múlt században a világ nagy tudósai válaszoltak. Segít egy összetett változó kinyerésében a transzformált kifejezésből, és online megtalálhatja a származékot egy ugyanolyan típusú hatalmas művelet végrehajtásához. Az igazság sokszor jobb, mint a találgatás. A trend legalacsonyabb értéke. Az eredmény nem fog sokáig várni, ha egy egyedi szolgáltatást használunk a precíz meghatározáshoz, amelyhez részletesen a származékos online lényege van. Közvetve, de lényegre törően, amint azt egy bölcs ember mondta, az unió különböző városaiból sok diák kérésére hoztak létre egy online származékkalkulátort. Ha van különbség, akkor minek dönteni kétszer. Az adott vektor ugyanazon az oldalon van, mint a normál. A múlt század közepén a funkciódifferenciálódást egyáltalán nem úgy érzékelték, mint manapság. A folyamatban lévő fejlesztéseknek köszönhetően megjelent az online matematika. Az idő múlásával a diákok elfelejtik a matematika tantárgyakat kellően elismerni. A derivált online megoldása a gyakorlati ismeretekkel alátámasztott elméleti alkalmazáson alapuló tézisünket joggal támadja meg. Ez túlmegy a megjelenítési tényező meglévő értékén, és a képletet explicit formában írjuk a függvényhez. Előfordul, hogy azonnal meg kell találnia egy származékot az interneten anélkül, hogy bármilyen számológépet használna, azonban bármikor igénybe veheti egy diák trükkjét, és továbbra is használhat egy szolgáltatást, például egy webhelyet. Így a tanuló sok időt takarít meg a példák másolásával a durva jegyzetfüzetből a végső formába. Ha nincs ellentmondás, akkor az ilyen összetett példák megoldásához használja a lépésről lépésre szolgáltatást.

Ha követi a definíciót, akkor egy függvény deriváltja egy pontban a Δ függvény növekményének a határa. y a Δ argumentumnövekményhez x:

Úgy tűnik, minden világos. De próbálja meg ezzel a képlettel kiszámítani, mondjuk, a függvény deriváltját f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x bűn x. Ha mindent definíció szerint csinálsz, akkor néhány oldalas számítás után egyszerűen elalszol. Ezért vannak egyszerűbb és hatékonyabb módszerek.

Először is megjegyezzük, hogy a függvények teljes választékából megkülönböztethetjük az úgynevezett elemi függvényeket. Viszonylag egyszerű kifejezésekről van szó, amelyek származékait régóta számítják és táblázatba foglalják. Az ilyen függvényeket nagyon könnyű megjegyezni – származékaikkal együtt.

Elemi függvények származékai

Az elemi függvények az alábbiakban felsoroltak. Ezeknek a függvényeknek a származékait fejből kell tudni. Sőt, egyáltalán nem nehéz megjegyezni őket - ezért elemiek.

Tehát az elemi függvények származékai:

Név	Funkció	Derivált
Állandó	f(x) = C, C ∈ R	0 (igen, nulla!)
Hatvány racionális kitevővel	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	f(x) = bűn x	kötözősaláta x
Koszinusz	f(x) = cos x	−sin x(mínusz szinusz)
Tangens	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Kotangens	f(x) = ctg x	− 1/sin 2 x
Természetes logaritmus	f(x) = log x	1/x
Önkényes logaritmus	f(x) = log a x	1/(x ln a)
Exponenciális függvény	f(x) = e x	e x(nem változott semmi)

Ha egy elemi függvényt megszorozunk egy tetszőleges állandóval, akkor az új függvény deriváltja is könnyen kiszámítható:

(C · f)’ = C · f ’.

Általában a konstansok kivehetők a derivált előjeléből. Például:

(2x 3)' = 2 · ( x 3) = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Nyilvánvaló, hogy az elemi függvények összeadhatók, szorozhatók, oszthatók - és még sok más. Így jelennek meg új, már nem különösebben elemi, hanem bizonyos szabályok szerint differenciált funkciók. Ezeket a szabályokat az alábbiakban tárgyaljuk.

Az összeg és a különbözet ​​származéka

Legyenek adottak a függvények f(x) És g(x), amelynek származékait ismerjük. Például vehetjük a fentebb tárgyalt elemi függvényeket. Ezután megtalálhatja ezen függvények összegének és különbségének deriváltját:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Tehát két függvény összegének (különbségének) deriváltja egyenlő a deriváltak összegével (különbségével). Több kifejezés is lehet. Például, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Szigorúan véve az algebrában nincs a „kivonás” fogalma. Létezik a „negatív elem” fogalma. Ezért a különbség f − gösszegként átírható f+ (-1) g, és akkor már csak egy képlet marad - az összeg deriváltja.

f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funkció f(x) két elemi függvény összege, ezért:

f ’(x) = (x 2 + bűn x)’ = (x 2)’ + (bűn x)’ = 2x+ cos x;

Hasonlóan indokoljuk a funkciót g(x). Csak már három tag van (az algebra szempontjából):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Válasz:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

A termék származéka

A matematika logikai tudomány, ezért sokan úgy gondolják, hogy ha egy összeg deriváltja egyenlő a deriváltok összegével, akkor a szorzat deriváltja sztrájk">egyenlő a származékok szorzatával. De bassza meg! Egy szorzat deriváltját egy teljesen más képlettel számítják ki. Nevezetesen:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

A képlet egyszerű, de gyakran elfelejtik. És nem csak iskolások, hanem diákok is. Az eredmény helytelenül megoldott problémák.

Feladat. Keresse meg a függvények deriváltjait: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Funkció f(x) két elemi függvény szorzata, tehát minden egyszerű:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)’ cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (- sin x) = x 2 (3 cos x − x bűn x)

Funkció g(x) az első szorzó egy kicsit bonyolultabb, de az általános séma nem változik. Nyilvánvalóan a függvény első tényezője g(x) egy polinom, deriváltja pedig az összeg deriváltja. Nekünk van:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)” · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Válasz:
f ’(x) = x 2 (3 cos x − x bűn x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Kérjük, vegye figyelembe, hogy az utolsó lépésben a derivált faktorizálásra kerül. Formálisan ezt nem kell megtenni, de a legtöbb derivált nem önmagában számít, hanem a függvény vizsgálatára. Ez azt jelenti, hogy a továbbiakban a derivált nullával lesz egyenlő, előjelei meghatározásra kerülnek, és így tovább. Ilyen esetben jobb, ha egy kifejezést faktorizált.

Ha két funkció van f(x) És g(x), és g(x) ≠ 0 azon a halmazon, amelyre kíváncsiak vagyunk, új függvényt definiálhatunk h(x) = f(x)/g(x). Egy ilyen függvényhez a derivált is megtalálható:

Nem gyenge, mi? Honnan jött a mínusz? Miért g 2? És így! Ez az egyik legösszetettebb képlet – palack nélkül nem tudod kitalálni. Ezért jobb, ha konkrét példákkal tanulmányozzuk.

Feladat. Keresse meg a függvények származékait:

Minden tört számlálója és nevezője elemi függvényeket tartalmaz, így csak a hányados származékának képletére van szükségünk:

A hagyomány szerint tizedeljük a számlálót – ez nagyban leegyszerűsíti a választ:

Egy összetett függvény nem feltétlenül egy fél kilométer hosszú képlet. Például elég a függvényt venni f(x) = bűn xés cserélje ki a változót x, mondjuk, be x 2 + ln x. Majd sikerülni fog f(x) = bűn ( x 2 + ln x) - ez egy összetett függvény. Ennek is van származéka, de a fent tárgyalt szabályok alapján nem lehet megtalálni.

Mit kellene tennem? Ilyen esetekben egy összetett függvény deriváltjának változó és képlet lecserélése segít:

f ’(x) = f ’(t) · t', Ha x helyettesíti t(x).

A képlet megértésével általában még szomorúbb a helyzet, mint a hányados származékával. Ezért jobb, ha konkrét példákkal magyarázzuk el, az egyes lépések részletes leírásával.

Feladat. Keresse meg a függvények deriváltjait: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = bűn ( x 2 + ln x)

Vegye figyelembe, hogy ha a függvényben f(x) a 2. kifejezés helyett x+3 könnyű lesz x, akkor kapunk egy elemi függvényt f(x) = e x. Ezért cserét végzünk: legyen 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Egy komplex függvény deriváltját a következő képlettel keressük:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

És most - figyelem! Fordított cserét végzünk: t = 2x+ 3. Kapjuk:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Most nézzük a függvényt g(x). Nyilván cserélni kell x 2 + ln x = t. Nekünk van:

g ’(x) = g ’(t) · t’ = (bűn t)’ · t' = cos t · t ’

Fordított csere: t = x 2 + ln x. Akkor:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)' = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

Ez minden! Amint az az utolsó kifejezésből látható, az egész probléma a derivált összeg kiszámítására redukálódott.

Válasz:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2 + ln x).

Az órákon nagyon gyakran a „származék” kifejezés helyett a „prím” szót használom. Például az összeg ütése egyenlő a vonások összegével. Így világosabb? Hát az jó.

Így a derivált kiszámítása az ugyanazon ütésektől való megszabaduláshoz vezet a fent tárgyalt szabályok szerint. Utolsó példaként térjünk vissza a derivált hatványhoz racionális kitevővel:

(x n)’ = n · x n − 1

Ezt kevesen tudják a szerepben n lehet, hogy törtszám is. Például a gyökér az x 0.5. Mi van, ha valami díszes van a gyökér alatt? Az eredmény ismét egy összetett funkció lesz - szeretnek ilyen konstrukciókat adni teszteken és vizsgákon.

Feladat. Keresse meg a függvény deriváltját:

Először is írjuk át a gyököt hatványként racionális kitevővel:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Most csinálunk egy cserét: hagyjuk x 2 + 8x − 7 = t. A származékot a következő képlettel találjuk meg:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)” · t' = 0,5 · t–0,5 · t ’.

Végezzük el a fordított cserét: t = x 2 + 8x− 7. Van:

f ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x− 7) −0,5 · ( x 2 + 8x− 7)’ = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Végül vissza a gyökerekhez:

A matematikai fizikai feladatok vagy példák megoldása teljesen lehetetlen a derivált és a számítási módszerek ismerete nélkül. A derivált a matematikai elemzés egyik legfontosabb fogalma. Úgy döntöttünk, hogy a mai cikket ennek az alapvető témának szenteljük. Mi a derivált, mi a fizikai és geometriai jelentése, hogyan kell kiszámítani egy függvény deriváltját? Mindezek a kérdések egybe foglalhatók: hogyan lehet megérteni a származékot?

A származék geometriai és fizikai jelentése

Legyen függvény f(x) , meghatározott intervallumban (a, b) . Az x és x0 pont ehhez az intervallumhoz tartozik. Ha x változik, maga a függvény is megváltozik. Az érv megváltoztatása - az értékek különbsége x-x0 . Ez a különbség így van írva delta x és argumentumnövekménynek nevezzük. Egy függvény változása vagy növekménye a függvény értékeinek különbsége két ponton. A származék definíciója:

Egy függvény deriváltja egy pontban a függvény adott pontban való növekménye és az argumentum növekménye arányának határa, amikor az utóbbi nullára hajlik.

Egyébként így írható:

Mi értelme ilyen határt találni? És íme, mi ez:

egy függvény deriváltja egy pontban egyenlő az OX tengely és a függvény grafikonjának érintője közötti szög érintőjével egy adott pontban.

A származék fizikai jelentése: az út időbeli deriváltja egyenlő az egyenes vonalú mozgás sebességével.

Valójában az iskolai idők óta mindenki tudja, hogy a sebesség egy adott út x=f(t) és az idő t . Átlagsebesség egy bizonyos időszak alatt:

Megtudni a mozgás sebességét egy adott pillanatban t0 ki kell számolni a határértéket:

Első szabály: állítson be egy állandót

A konstans kivehető a derivált előjelből. Ráadásul ezt meg is kell tenni. A matematikai példák megoldása során vegye ezt szabálynak - Ha le tud egyszerűsíteni egy kifejezést, mindenképpen egyszerűsítse .

Példa. Számítsuk ki a deriváltot:

Második szabály: a függvények összegének deriváltja

Két függvény összegének deriváltja egyenlő ezen függvények deriváltjainak összegével. Ugyanez igaz a függvények különbségének deriváltjára is.

Nem bizonyítjuk ezt a tételt, inkább egy gyakorlati példát veszünk figyelembe.

Keresse meg a függvény deriváltját:

Harmadik szabály: a függvények szorzatának deriváltja

Két differenciálható függvény szorzatának deriváltja a következő képlettel számítható ki:

Példa: keresse meg egy függvény deriváltját:

Megoldás:

Itt fontos szót ejteni az összetett függvények deriváltjainak kiszámításáról. Egy komplex függvény deriváltja egyenlő ennek a függvénynek a deriváltjának a szorzatával a köztes argumentumhoz és a köztes argumentum deriváltjának a független változóhoz képest.

A fenti példában a következő kifejezéssel találkozunk:

Ebben az esetben a köztes argumentum az ötödik hatvány nyolcszorosa. Egy ilyen kifejezés deriváltjának kiszámításához először kiszámítjuk a külső függvény deriváltját a köztes argumentumhoz képest, majd megszorozzuk magának a köztes argumentumnak a független változóhoz viszonyított deriváltjával.

Negyedik szabály: két függvény hányadosának deriváltja

Két függvény hányadosának deriváltjának meghatározására szolgáló képlet:

Megpróbáltunk a nulláról beszélni a próbababák származékairól. Ez a téma nem olyan egyszerű, mint amilyennek látszik, ezért figyelem: a példákban gyakran vannak buktatók, ezért legyen óvatos a származékok kiszámításakor.

Ezzel és más témával kapcsolatos kérdéseivel fordulhat a diákszolgálathoz. Rövid időn belül segítünk megoldani a legnehezebb tesztet és megérteni a feladatokat, még akkor is, ha még soha nem végzett derivált számításokat.

A derivált megtalálásának műveletét differenciálásnak nevezzük.

A legegyszerűbb (és nem túl egyszerű) függvények deriváltjainak megtalálásának problémáinak megoldása eredményeként a derivált az inkrementum és az argumentum növekmény arányának határaként definiálva, megjelent a derivált táblázat és a pontosan meghatározott differenciálási szabályok. . A származékok keresésének területén elsőként Isaac Newton (1643-1727) és Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) dolgozott.

Ezért napjainkban ahhoz, hogy bármely függvény deriváltját megtaláljuk, nem kell kiszámítani a függvény növekményének és az argumentum növekményének arányának fent említett határát, hanem csak a táblázatot kell használni. származékai és a differenciálás szabályai. A derivált megtalálására a következő algoritmus alkalmas.

A származék megtalálásához, szükséged van egy kifejezésre a prímjel alá egyszerű függvényeket komponensekre bontaniés meghatározza, hogy milyen lépéseket (termék, összeg, hányados) ezek a funkciók összefüggenek. Ezután az elemi függvények deriváltjait a derivált táblázatban, a szorzat, az összeg és a hányados származékainak képleteit pedig a differenciálás szabályaiban találjuk. A derivált táblázatot és a differenciálási szabályokat az első két példa után adjuk meg.

1. példa Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás. A differenciálás szabályaiból megtudjuk, hogy egy függvényösszeg deriváltja a függvények deriváltjainak összege, azaz.

A derivált táblázatból megtudjuk, hogy "x" deriváltja egyenlő eggyel, a szinusz deriváltja pedig koszinusszal. Ezeket az értékeket behelyettesítjük a deriváltak összegébe, és megkeressük a probléma feltételéhez szükséges deriváltot:

2. példa Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás. Egy olyan összeg származékaként differenciálunk, amelyben a második tag állandó tényezője kivehető a derivált előjeléből:

Ha továbbra is kérdések merülnek fel azzal kapcsolatban, hogy valami honnan származik, azokat rendszerint tisztázzuk, miután megismerkedtünk a származékok táblázatával és a differenciálás legegyszerűbb szabályaival. Jelenleg rájuk megyünk.

Egyszerű függvények deriváltjainak táblázata

1. Állandó (szám) származéka. Bármely szám (1, 2, 5, 200...), amely a függvénykifejezésben szerepel. Mindig egyenlő nullával. Ezt nagyon fontos megjegyezni, mivel nagyon gyakran van rá szükség
2. A független változó származéka. Leggyakrabban "X". Mindig egyenlő eggyel. Ezt is fontos sokáig emlékezni
3. Végzettség származéka. A feladatok megoldása során a nem négyzetgyököket hatványokká kell konvertálnia.
4. Változó deriváltja a -1 hatványra
5. A négyzetgyök származéka
6. A szinusz származéka
7. A koszinusz származéka
8. Az érintő származéka
9. A kotangens származéka
10. Az arcszinus származéka
11. Az ív koszinusz származéka
12. Arktangens származéka
13. Az ívkotangens származéka
14. A természetes logaritmus deriváltja
15. Logaritmikus függvény deriváltja
16. A kitevő származéka
17. Exponenciális függvény deriváltja

A megkülönböztetés szabályai

1. Összeg vagy különbözet ​​származéka
2. A termék származéka
2a. Egy kifejezés származéka szorozva egy állandó tényezővel
3. A hányados származéka
4. Komplex függvény deriváltja

1. szabályHa a funkciók

egy ponton differenciálhatók, akkor a függvények ugyanazon a ponton differenciálhatók

és

azok. függvények algebrai összegének deriváltja egyenlő e függvények deriváltjainak algebrai összegével.

Következmény. Ha két differenciálható függvény konstans taggal különbözik, akkor deriváltjaik egyenlőek, azaz

2. szabályHa a funkciók

egy ponton differenciálhatóak, akkor a termékük ugyanazon a ponton differenciálható

és

azok. Két függvény szorzatának deriváltja egyenlő ezen függvények szorzatának és a másik függvény szorzatának összegével.

Következmény 1. A konstans tényező kivehető a derivált előjeléből:

Következmény 2. Több differenciálható függvény szorzatának deriváltja egyenlő az egyes tényezők és az összes többi derivált szorzatának összegével.

Például három szorzóhoz:

3. szabály.Ha a funkciók

egy bizonyos ponton megkülönböztethető És , akkor ezen a ponton a hányadosuk is differenciálhatóu/v , és

azok. két függvény hányadosának deriváltja egyenlő egy törttel, amelynek számlálója a nevező és a számláló deriváltja, valamint a számláló és a nevező deriváltja szorzatának különbsége, a nevezője pedig a nevező négyzete. az egykori számláló.

Hol lehet keresni a dolgokat más oldalakon

Egy szorzat származékának és hányadosának valós problémákban való megtalálásakor mindig több differenciálási szabályt kell egyszerre alkalmazni, ezért a cikkben több példa is található ezekre a származékokra."A szorzat származéka és a függvények hányadosa".

Megjegyzés. Nem szabad összekeverni a konstanst (vagyis egy számot) összegben szereplő tagként és állandó tényezőként! Egy tag esetén a deriváltja egyenlő nullával, állandó tényező esetén pedig kikerül a származékok előjeléből. Ez egy tipikus hiba, amely a származékok tanulmányozásának kezdeti szakaszában fordul elő, de mivel az átlaghallgató több egy- és kétrészes példát old meg, ezt a hibát már nem követi el.

És ha egy termék vagy hányados megkülönböztetésekor van egy kifejezés u"v, amiben u- egy szám, például 2 vagy 5, azaz egy állandó, akkor ennek a számnak a deriváltja nulla lesz, és ezért a teljes tag nulla lesz (ezt az esetet a 10. példa tárgyalja).

Egy másik gyakori hiba, hogy egy összetett függvény deriváltját mechanikusan egy egyszerű függvény deriváltjaként oldják meg. Ezért komplex függvény deriváltja külön cikket szentelünk. De először megtanuljuk megtalálni az egyszerű függvények deriváltjait.

Útközben nem nélkülözheti a kifejezések átalakítását. Ehhez előfordulhat, hogy új ablakban kell megnyitnia a kézikönyvet. Erőkkel és gyökerekkel rendelkező cselekvésekÉs Műveletek törtekkel .

Ha megoldásokat keres a hatványokkal és gyökökkel rendelkező törtek származékaira, vagyis amikor a függvény így néz ki , majd kövesse a „Hatványokkal és gyökökkel rendelkező törtek összegeinek származéka” című leckét.

Ha olyan feladatod van, mint pl , akkor felveszi az „Egyszerű trigonometrikus függvények származékai” leckét.

Példák lépésről lépésre - hogyan lehet megtalálni a származékot

3. példa Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás. Meghatározzuk a függvénykifejezés részeit: a teljes kifejezés egy szorzatot reprezentál, faktorai pedig összegek, amelyek közül a másodikban az egyik tag konstans tényezőt tartalmaz. Alkalmazzuk a szorzatdifferenciálási szabályt: két függvény szorzatának deriváltja egyenlő ezen függvények szorzatainak összegével a másik függvény deriváltjával:

Ezután alkalmazzuk az összeg differenciálásának szabályát: a függvények algebrai összegének deriváltja egyenlő ezen függvények deriváltjainak algebrai összegével. Esetünkben minden összegben a második tagnak mínusz előjele van. Minden összegben látunk egy független változót, amelynek deriváltja eggyel, és egy állandót (számot), amelynek deriváltja nulla. Tehát az „X” egy lesz, a mínusz 5 pedig nullává. A második kifejezésben az "x"-t megszorozzuk 2-vel, így kettőt megszorozunk ugyanazzal az egységgel, mint az "x" deriváltja. A következő derivált értékeket kapjuk:

A talált deriváltokat behelyettesítjük a szorzatok összegébe, és megkapjuk a probléma feltétele által megkövetelt teljes függvény deriváltját:

4. példa Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás. Meg kell találnunk a hányados deriváltját. A hányados differenciálására a képletet alkalmazzuk: két függvény hányadosának deriváltja egyenlő egy törttel, amelynek számlálója a nevező és a számláló deriváltja és a számláló szorzata és a számláló származéka közötti különbség. nevező, a nevező pedig az előbbi számláló négyzete. Kapunk:

A 2. példában már megtaláltuk a számlálóban szereplő tényezők deriváltját. Ne felejtsük el azt sem, hogy a szorzatot, amely az aktuális példában a számláló második tényezője, mínuszjellel vesszük:

Ha olyan problémákra keres megoldást, amelyekben meg kell találnia egy függvény deriváltját, ahol a gyökök és hatványok folytonos halmaza van, mint pl. , akkor üdv az órán "Hatványokkal és gyökökkel rendelkező törtek összegeinek származéka" .

Ha többet szeretne megtudni a szinuszok, koszinuszok, érintők és más trigonometrikus függvények deriváltjairól, vagyis amikor a függvény így néz ki , akkor egy lecke neked "Egyszerű trigonometrikus függvények származékai" .

5. példa Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás. Ebben a függvényben egy szorzatot látunk, melynek egyik tényezője a független változó négyzetgyöke, amelynek deriváltját a derivált táblázatban ismerkedtünk meg. A szorzat megkülönböztetésének szabályát és a négyzetgyök deriváltjának táblázatos értékét alkalmazva kapjuk:

6. példa. Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás. Ebben a függvényben egy olyan hányadost látunk, amelynek osztaléka a független változó négyzetgyöke. A 4. példában megismételt és alkalmazott hányadosok differenciálási szabályát, valamint a négyzetgyök deriváltjának táblázatos értékét felhasználva kapjuk:

A számlálóban lévő tört eltávolításához szorozza meg a számlálót és a nevezőt -val.

Első szint

Függvény származéka. The Ultimate Guide (2019)

Képzeljünk el egy dombos területen áthaladó egyenes utat. Vagyis fel-le jár, de nem fordul jobbra vagy balra. Ha a tengely vízszintesen az út mentén és függőlegesen van irányítva, akkor az útvonal nagyon hasonló lesz valamilyen folytonos függvény grafikonjához:

A tengely egy bizonyos nulla magassági szint az életben a tengerszintet használjuk.

Amint egy ilyen úton haladunk előre, felfelé vagy lefelé is haladunk. Azt is mondhatjuk: ha az argumentum megváltozik (mozgás az abszcissza tengely mentén), akkor a függvény értéke megváltozik (mozgás az ordináta tengelye mentén). Most pedig gondoljuk át, hogyan határozzuk meg utunk „meredekségét”? Milyen érték lehet ez? Nagyon egyszerű: mennyit fog változni a magasság, ha előre halad egy bizonyos távolságot. Valóban, az út különböző szakaszain egy kilométert előre haladva (az x tengely mentén) a tengerszinthez képest (az y tengely mentén) eltérő számú métert emelkedünk vagy süllyedünk.

Jelöljük az előrehaladást (értsd: „delta x”).

A görög betűt (delta) általában a matematikában használják "változást" jelentő előtagként. Vagyis - ez mennyiségi változás, - változás; akkor mi az? Így van, nagyságrendi változás.

Fontos: egy kifejezés egyetlen egész, egyetlen változó. Soha ne válassza el a „deltát” az „x”-től vagy bármely más betűtől! Azaz például .

Tehát előre, vízszintesen haladtunk előre. Ha összehasonlítjuk az út vonalát a függvény grafikonjával, akkor hogyan jelöljük az emelkedést? Természetesen,. Vagyis ahogy haladunk előre, úgy emelkedünk feljebb.

Az érték könnyen kiszámítható: ha az elején egy magasságban voltunk, majd mozgás után egy magasságban találtuk magunkat, akkor. Ha a végpont alacsonyabb, mint a kezdőpont, akkor negatív lesz - ez azt jelenti, hogy nem emelkedünk, hanem csökkenünk.

Térjünk vissza a "meredekséghez": ez egy olyan érték, amely megmutatja, hogy egy egységnyi távolsággal előre haladva mennyivel (meredeken) nő a magasság:

Tételezzük fel, hogy az út egyes szakaszán egy kilométerrel előrehaladva az út egy kilométert emelkedik. Ekkor a lejtés ezen a helyen egyenlő. És ha az út m-rel előrehaladva km-rel csökken? Ekkor a lejtés egyenlő.

Most nézzük meg egy domb tetejét. Ha fél kilométerrel a csúcs előtt veszed a szakasz elejét, és fél kilométerrel utána a végét, akkor láthatod, hogy a magasság szinte megegyezik.

Vagyis a mi logikánk szerint kiderül, hogy itt a meredekség majdnem egyenlő a nullával, ami nyilvánvalóan nem igaz. Egy kilométeren túl sok minden változhat. A meredekség megfelelőbb és pontosabb értékeléséhez kisebb területeket is figyelembe kell venni. Például, ha megméri a magasságváltozást, amikor egy métert mozog, az eredmény sokkal pontosabb lesz. De lehet, hogy még ez a pontosság sem lesz elég nekünk – elvégre ha van egy oszlop az út közepén, akkor egyszerűen elhaladhatunk mellette. Milyen távolságot válasszunk akkor? Centiméter? Milliméter? A kevesebb jobb!

A való életben a távolságok milliméteres pontossággal történő mérése több mint elég. De a matematikusok mindig a tökéletességre törekednek. Ezért találták ki a koncepciót elenyésző, azaz az abszolút érték kisebb, mint bármely szám, amelyet meg tudunk nevezni. Például azt mondod: egy trilliod! Mennyivel kevesebb? És ezt a számot elosztod - és még kevesebb lesz. Stb. Ha azt akarjuk írni, hogy egy mennyiség végtelenül kicsi, akkor a következőképpen írjuk: (azt olvassuk, hogy „x nullára hajlamos”). Nagyon fontos megérteni hogy ez a szám nem nulla! De nagyon közel hozzá. Ez azt jelenti, hogy osztani lehet vele.

A végtelenül kicsivel ellentétes fogalom végtelenül nagy (). Valószínűleg már találkozott vele, amikor az egyenlőtlenségeken dolgozott: ez a szám modulo nagyobb, mint bármely szám, amit csak gondolhat. Ha a lehető legnagyobb számot találja ki, csak szorozza meg kettővel, és még nagyobb számot kap. És a végtelen még annál is nagyobb, mint ami történik. Valójában a végtelenül nagy és a végtelenül kicsi egymás fordítottja, vagyis at, és fordítva: at.

Most pedig térjünk vissza az utunkra. Az ideálisan számított meredekség az út végtelen kis szegmensére számított meredekség, azaz:

Megjegyzem, hogy végtelenül kicsi elmozdulás esetén a magasságváltozás is végtelenül kicsi lesz. De hadd emlékeztesselek arra, hogy a végtelenül kicsi nem azt jelenti, hogy egyenlő a nullával. Ha végtelenül kicsi számokat osztunk el egymással, akkor egy teljesen közönséges számot kaphatunk, például . Vagyis egy kis érték pontosan többszöröse lehet egy másiknak.

Minek ez az egész? Az út, a meredekség... Nem autóversenyre megyünk, hanem matematikát tanítunk. A matematikában pedig minden pontosan ugyanaz, csak másként hívják.

A származék fogalma

A függvény deriváltja a függvény növekményének és az argumentum növekményének aránya az argumentum végtelen kicsiny növekedéséhez.

Fokozatosan a matematikában változásnak nevezik. Meghívjuk, hogy az argumentum () mennyiben változik a tengely mentén mozogva argumentumnövekményés azt jelöljük, hogy a függvény (magasság) mennyit változott a tengely mentén egy távolsággal előre haladva funkciónövekményés ki van jelölve.

Tehát egy függvény deriváltja a mikorhoz viszonyított arány. A deriváltot ugyanazzal a betűvel jelöljük, mint a függvényt, csak a jobb felső sarokban lévő prímszámmal: vagy egyszerűen. Tehát írjuk fel a derivált képletet a következő jelölésekkel:

Az út analógiájához hasonlóan itt is, amikor a függvény növekszik, a derivált pozitív, ha csökken, akkor negatív.

Egyenlő lehet-e a derivált nullával? Biztosan. Például, ha sík vízszintes úton haladunk, a meredekség nulla. És igaz, a magasság egyáltalán nem változik. Így van ez a deriválttal is: egy konstans függvény deriváltja (konstans) egyenlő nullával:

mivel egy ilyen függvény növekménye nullával egyenlő bármely.

Emlékezzünk a dombtető példájára. Kiderült, hogy a szegmens végeit a csúcs ellentétes oldalain lehet elhelyezni oly módon, hogy a végek magassága azonos legyen, vagyis a szegmens párhuzamos a tengellyel:

A nagy szegmensek azonban a pontatlan mérés jelei. A szakaszunkat önmagával párhuzamosan emeljük fel, majd a hossza csökken.

Végül, amikor végtelenül közel vagyunk a csúcshoz, a szakasz hossza végtelenül kicsi lesz. De ugyanakkor párhuzamos maradt a tengellyel, vagyis a magasságkülönbség a végén egyenlő nullával (nem hajlamos, de egyenlő). Tehát a származék

Ez így is felfogható: amikor a legtetején állunk, egy kis balra vagy jobbra eltolódás elhanyagolhatóan megváltoztatja a magasságunkat.

Van egy tisztán algebrai magyarázat is: a csúcstól balra nő a függvény, jobbra pedig csökken. Ahogy korábban megtudtuk, ha egy függvény növekszik, a derivált pozitív, ha csökken, akkor negatív. De simán, ugrások nélkül változik (mivel az út sehol sem változtat élesen a lejtését). Ezért a negatív és a pozitív értékek között kell lennie. Ott lesz, ahol a függvény nem növekszik és nem is csökken - a csúcspontban.

Ugyanez igaz a vályúra (az a terület, ahol a bal oldali funkció csökken, a jobb oldalon pedig nő):

Egy kicsit bővebben az emelésekről.

Tehát az argumentumot nagyságrendre változtatjuk. Milyen értékről változunk? Mi lett ebből (az érvelésből)? Bármely pontot választhatunk, és most ebből fogunk táncolni.

Tekintsünk egy pontot koordinátával. A benne lévő függvény értéke egyenlő. Ezután ugyanazt a lépést hajtjuk végre: növeljük a koordinátát. Most mi az érv? Nagyon könnyű: . Mi most a függvény értéke? Ahová az argumentum megy, ott a függvény is: . Mi a helyzet a függvény növekményével? Semmi új: még mindig ennyivel változott a függvény:

Gyakorold a lépések keresését:

1. Keresse meg a függvény növekményét abban a pontban, amikor az argumentum növekménye egyenlő.
2. Ugyanez vonatkozik a függvényre egy ponton.

Megoldások:

Különböző pontokon ugyanazon argumentumnövekmény mellett a függvény növekménye eltérő lesz. Ez azt jelenti, hogy minden pontban más a derivált (ezt már a legelején megbeszéltük - az út meredeksége különböző pontokon). Ezért, amikor deriváltot írunk, meg kell jelölnünk, hogy melyik ponton:

Teljesítmény funkció.

A hatványfüggvény egy olyan függvény, ahol az argumentum bizonyos fokig (logikai, igaz?).

Sőt – bármilyen mértékben: .

A legegyszerűbb eset, ha a kitevő:

Keressük a származékát egy pontban. Emlékezzünk vissza a származékos definícióra:

Tehát az érv ról -ra változik. Mennyi a függvény növekménye?

A növekedés ez. De egy függvény bármely ponton egyenlő az argumentumával. Ezért:

A derivált egyenlő:

A származéka egyenlő:

b) Tekintsük most a másodfokú függvényt (): .

Most emlékezzünk erre. Ez azt jelenti, hogy a növekmény értéke elhanyagolható, mivel végtelenül kicsi, ezért a másik taghoz képest jelentéktelen:

Tehát kitaláltunk egy másik szabályt:

c) Folytatjuk a logikai sorozatot: .

Ez a kifejezés többféleképpen egyszerűsíthető: nyissa meg az első zárójelet az összeg kockájának rövidített szorzatának képletével, vagy faktorizálja a teljes kifejezést a kockák különbségi képletével. Próbálja meg saját kezűleg megtenni a javasolt módszerek bármelyikével.

Szóval a következőket kaptam:

És még egyszer emlékezzünk erre. Ez azt jelenti, hogy figyelmen kívül hagyhatunk minden olyan kifejezést, amely tartalmazza:

Kapunk: .

d) Hasonló szabályok érhetők el nagy teljesítményekre:

e) Kiderül, hogy ez a szabály általánosítható egy tetszőleges kitevővel, még csak nem is egész számmal:

(2)

A szabály a következő szavakkal fogalmazható meg: „a fokozatot együtthatóként előrehozzuk, majd csökkentjük .

Ezt a szabályt később (majdnem a legvégén) be fogjuk bizonyítani. Most nézzünk néhány példát. Keresse meg a függvények deriváltját:

1. (két módon: képlettel és a derivált definíciójával - a függvény növekményének kiszámításával);

1. . Akár hiszi, akár nem, ez egy erőfüggvény. Ha olyan kérdései vannak, mint „Hogy van ez? Hol a diploma?”, ne feledje a „” témát!
   Igen, igen, a gyök is fok, csak töredéke: .
   Ez azt jelenti, hogy a négyzetgyökünk csak egy hatvány kitevővel:
   .
   A származékot a nemrég tanult képlettel keressük:

   Ha ezen a ponton ismét homályossá válik, ismételje meg a „” témát!!! (körülbelül egy fok negatív kitevővel)

2. . Most a kitevő:

   És most a definíción keresztül (elfelejtetted már?):
   ;
   .
   Most, mint általában, figyelmen kívül hagyjuk a következő kifejezést:
   .

3. . Korábbi esetek kombinációja: .

Trigonometrikus függvények.

Itt egy tényt fogunk használni a magasabb matematikából:

Kifejezéssel.

A bizonyítást az intézet első évében tanulja meg (és ahhoz, hogy odáig eljusson, jól le kell tennie az egységes államvizsgát). Most csak grafikusan mutatom be:

Látjuk, hogy amikor a függvény nem létezik, a grafikonon a pont ki van vágva. De minél közelebb van az értékhez, annál közelebb van a funkció ehhez a „célhoz”.

Ezenkívül ezt a szabályt egy számológép segítségével is ellenőrizheti. Igen, igen, ne szégyellje magát, vegyen egy számológépet, még nem tartunk az egységes államvizsgán.

Szóval, próbáljuk meg: ;

Ne felejtse el a számológépet radián módba kapcsolni!

stb. Látjuk, hogy minél kisebb, annál közelebb áll az arány értéke.

a) Tekintsük a függvényt. Szokás szerint keressük meg a növekményét:

A szinuszok különbségét alakítsuk szorzattá. Ehhez a következő képletet használjuk (emlékezzünk a „” témára): .

Most a származék:

Cseréljük ki: . Ekkor infinitezimálisra ez is végtelenül kicsi: . A kifejezés a következő formában jelenik meg:

És most emlékezünk erre a kifejezéssel. És azt is, mi van akkor, ha egy végtelenül kicsi mennyiség elhanyagolható az összegben (azaz at).

Tehát a következő szabályt kapjuk: a szinusz deriváltja egyenlő a koszinusszal:

Ezek alapvető („táblázatos”) származékok. Itt vannak egy listában:

Később még néhányat hozzáadunk hozzájuk, de ezek a legfontosabbak, mivel ezeket használják a leggyakrabban.

Gyakorlat:

1. Keresse meg a függvény deriváltját egy pontban;
2. Keresse meg a függvény deriváltját!

Megoldások:

1. Először keressük meg a származékot általános formában, majd cseréljük be az értékét:
   ;
   .
2. Itt van valami hasonló a hatványfüggvényhez. Próbáljuk meg elhozni őt
   normál nézet:
   .
   Remek, most már használhatja a képletet:
   .
   .
3. . Eeeeeee... Mi ez????

Oké, igazad van, még nem tudjuk, hogyan találjunk ilyen származékokat. Itt többféle funkció kombinációját láthatjuk. A velük való együttműködéshez meg kell tanulnia néhány további szabályt:

Kitevő és természetes logaritmus.

A matematikában van egy függvény, amelynek bármely érték deriváltja egyidejűleg megegyezik magának a függvénynek az értékével. Kitevőnek hívják, és egy exponenciális függvény

Ennek a függvénynek az alapja - egy konstans - egy végtelen tizedes tört, vagyis egy irracionális szám (pl. „Euler-számnak” hívják, ezért betűvel jelölik.

Tehát a szabály:

Nagyon könnyű megjegyezni.

Nos, ne menjünk messzire, azonnal vegyük figyelembe az inverz függvényt. Melyik függvény az exponenciális függvény inverze? Logaritmus:

Esetünkben az alap a szám:

Az ilyen logaritmust (vagyis egy bázissal rendelkező logaritmust) „természetesnek” nevezünk, és erre speciális jelölést használunk: írunk helyette.

Mivel egyenlő? Természetesen, .

A természetes logaritmus deriváltja is nagyon egyszerű:

Példák:

1. Keresse meg a függvény deriváltját!
2. Mi a függvény deriváltja?

Válaszok: Az exponenciális és a naturális logaritmus derivált szempontból egyedülállóan egyszerű függvények. Az exponenciális és logaritmikus függvények bármely más bázissal eltérő deriválttal rendelkeznek, amit később, a differenciálás szabályainak áttekintése után elemezünk.

A megkülönböztetés szabályai

Mi szabályai? Megint egy új kifejezés, megint?!...

Különbségtétel a származék megtalálásának folyamata.

Ez minden. Mi másnak nevezhetjük ezt a folyamatot egy szóval? Nem derivált... A matematikusok a differenciált a függvény azonos növekményének nevezik. Ez a kifejezés a latin differentia - differencia szóból származik. Itt.

Mindezen szabályok származtatása során két függvényt fogunk használni, például, és. Szükségünk lesz képletekre is a növekedésükhöz:

Összesen 5 szabály van.

Az állandót kivesszük a derivált előjelből.

Ha - valamilyen állandó szám (konstans), akkor.

Nyilvánvalóan a különbségre is érvényes ez a szabály: .

Bizonyítsuk be. Legyen, vagy egyszerűbben.

Példák.

Keresse meg a függvények származékait:

1. egy ponton;
2. egy ponton;
3. egy ponton;
4. azon a ponton.

Megoldások:

1. (a derivált minden pontban ugyanaz, mivel lineáris függvény, emlékszel?);

A termék származéka

Itt minden hasonló: vezessünk be egy új függvényt, és keressük meg a növekményét:

Derivált:

Példák:

1. Keresse meg az és függvények deriváltjait;
2. Keresse meg a függvény deriváltját egy pontban.

Megoldások:

Exponenciális függvény deriváltja

Most már elegendő tudása ahhoz, hogy megtanulja, hogyan kell megtalálni bármely exponenciális függvény deriváltját, és nem csak a kitevőket (elfelejtette már, mi az?).

Szóval, hol van néhány szám.

A függvény deriváltját már ismerjük, ezért próbáljuk meg a függvényünket egy új bázisra redukálni:

Ehhez egy egyszerű szabályt fogunk használni: . Akkor:

Nos, sikerült. Most próbálja meg megtalálni a származékot, és ne felejtse el, hogy ez a függvény összetett.

Megtörtént?

Itt ellenőrizd magad:

A képlet nagyon hasonlított egy kitevő deriváltjához: úgy ahogy volt, ugyanaz marad, csak egy tényező jelent meg, ami csak egy szám, de nem változó.

Példák:
Keresse meg a függvények származékait:

Válaszok:

Ez csak egy szám, amit számológép nélkül nem lehet kiszámolni, vagyis nem lehet egyszerűbb formában leírni. Ezért a válaszban ebben a formában hagyjuk.

Logaritmikus függvény deriváltja

Itt is hasonló a helyzet: már ismeri a természetes logaritmus deriváltját:

Ezért egy tetszőleges logaritmus más bázisú kereséséhez, például:

Ezt a logaritmust az alapra kell redukálnunk. Hogyan lehet megváltoztatni a logaritmus alapját? Remélem emlékszel erre a képletre:

Csak most írjuk helyette:

A nevező egyszerűen egy állandó (állandó szám, változó nélkül). A származékot nagyon egyszerűen kapjuk meg:

Az exponenciális és logaritmikus függvények származékai szinte soha nem találhatók meg az Egységes Államvizsgában, de ezek ismerete nem lesz felesleges.

Komplex függvény származéka.

Mi az a "komplex függvény"? Nem, ez nem logaritmus és nem arctangens. Ezeket a függvényeket nehéz lehet megérteni (bár ha nehéznek találja a logaritmust, olvassa el a „Logaritmusok” témakört, és minden rendben lesz), de matematikai szempontból a „komplex” szó nem azt jelenti, hogy „nehéz”.

Képzeljen el egy kis futószalagot: két ember ül, és valamilyen tárggyal valamilyen műveletet végez. Például az első egy csokoládét csomagol egy csomagolóanyagba, a második pedig egy szalaggal köti össze. Az eredmény egy összetett tárgy: egy szalaggal becsomagolt és átkötött csokoládé. Egy tábla csokoládé elfogyasztásához fordított sorrendben kell végrehajtania a fordított lépéseket.

Készítsünk egy hasonló matematikai csővezetéket: először megkeressük egy szám koszinuszát, majd négyzetre emeljük a kapott számot. Tehát kapunk egy számot (csokoládé), megkeresem a koszinuszát (csomagolóanyag), majd négyzetre teszed, amit kaptam (szalaggal megkötöd). Mi történt? Funkció. Ez egy példa egy összetett függvényre: amikor az érték meghatározásához az első műveletet közvetlenül a változóval hajtjuk végre, majd egy második műveletet az elsőből eredővel.

Könnyen megtehetjük ugyanezeket a lépéseket fordított sorrendben: először négyzetre tesszük, majd megkeresem a kapott szám koszinuszát: . Könnyű kitalálni, hogy az eredmény szinte mindig más lesz. Az összetett függvények fontos jellemzője: ha megváltozik a műveletek sorrendje, akkor a funkció megváltozik.

Más szavakkal, a komplex függvény olyan függvény, amelynek argumentuma egy másik függvény: .

Az első példában .

Második példa: (ugyanaz). .

A művelet, amit utoljára hajtunk végre, elnevezésre kerül "külső" funkció, és az elsőként végrehajtott művelet - ennek megfelelően "belső" funkció(ezek informális elnevezések, csak az anyag egyszerű nyelvezetű magyarázatára használom).

Próbáld meg eldönteni, hogy melyik funkció külső és melyik belső:

Válaszok: A belső és külső függvények szétválasztása nagyon hasonló a változók megváltoztatásához: például egy függvényben

1. Milyen műveletet hajtunk végre először? Először számoljuk ki a szinust, és csak azután kockázzuk fel. Ez azt jelenti, hogy ez egy belső funkció, de külső.
   Az eredeti funkció pedig az összetételük: .
2. Belső: ; külső: .
   Vizsga: .
3. Belső: ; külső: .
   Vizsga: .
4. Belső: ; külső: .
   Vizsga: .
5. Belső: ; külső: .
   Vizsga: .

Változókat változtatunk, és kapunk egy függvényt.

Nos, most kibontjuk a csokoládét, és megkeressük a származékát. Az eljárás mindig fordított: először megkeressük a külső függvény deriváltját, majd az eredményt megszorozzuk a belső függvény deriváltjával. Az eredeti példához képest így néz ki:

Egy másik példa:

Tehát végül fogalmazzuk meg a hivatalos szabályt:

Algoritmus egy komplex függvény deriváltjának megtalálására:

Egyszerűnek tűnik, igaz?

Nézzük példákkal:

Megoldások:

1) Belső: ;

Külső: ;

2) Belső: ;

(Csak most ne próbáld megvágni! Semmi sem jön ki a koszinusz alól, emlékszel?)

3) Belső: ;

Külső: ;

Azonnal világos, hogy ez egy háromszintű komplex függvény: elvégre ez már önmagában is egy komplex függvény, és kivonjuk belőle a gyökeret is, vagyis végrehajtjuk a harmadik műveletet (egybe rakjuk a csokoládét). csomagolóanyaggal és szalaggal az aktatáskában). De nincs okunk félni: ezt a funkciót továbbra is a megszokott sorrendben „pakoljuk ki”: a végétől.

Vagyis először megkülönböztetjük a gyökér, majd a koszinusz, és csak azután a zárójelben lévő kifejezést. És akkor az egészet megszorozzuk.

Ilyen esetekben célszerű a műveleteket számozni. Vagyis képzeljük el, mit tudunk. Milyen sorrendben hajtjuk végre a műveleteket a kifejezés értékének kiszámításához? Nézzünk egy példát:

Minél később hajtják végre a műveletet, annál „külsőbb” lesz a megfelelő funkció. A műveletek sorrendje ugyanaz, mint korábban:

Itt a fészekrakás általában 4 szintű. Határozzuk meg a cselekvés sorrendjét.

1. Radikális kifejezés. .

2. Gyökér. .

3. Szinusz. .

4. Négyzet. .

5. Az egészet összerakva:

DERIVÁLT. RÖVIDEN A FŐ DOLOGOKRÓL

Függvény származéka- a függvény növekményének és az argumentum növekményének aránya az argumentum végtelenül kicsiny növekedéséhez:

Alapvető származékok:

A megkülönböztetés szabályai:

Az állandót kivesszük a derivált előjelből:

Az összeg származéka:

A termék származéka:

A hányados származéka:

Egy összetett függvény származéka:

Algoritmus egy komplex függvény deriváltjának megtalálására:

1. Meghatározzuk a „belső” függvényt, és megkeressük a származékát.
2. Meghatározzuk a „külső” függvényt, és megkeressük a származékát.
3. Az első és a második pont eredményét megszorozzuk.

Nos, a téma véget ért. Ha ezeket a sorokat olvasod, az azt jelenti, hogy nagyon menő vagy.

Mert az embereknek mindössze 5%-a képes egyedül elsajátítani valamit. És ha a végéig elolvasod, akkor ebben az 5%-ban benne vagy!

Most a legfontosabb.

Megértetted az elméletet ebben a témában. És ismétlem, ez... ez egyszerűen szuper! Már így is jobb vagy, mint a társaid túlnyomó többsége.

Az a baj, hogy ez nem elég...

Miért?

Az egységes államvizsga sikeres letételéért, költségvetésből főiskolára való felvételért, és ami a LEGFONTOSABB, egy életre.

Nem foglak meggyőzni semmiről, csak egyet mondok...

Azok, akik jó oktatásban részesültek, sokkal többet keresnek, mint azok, akik nem kaptak. Ez statisztika.

De nem ez a fő.

A lényeg, hogy TÖBBEN BOLDOGOK (vannak ilyen tanulmányok). Talán azért, mert sokkal több lehetőség nyílik meg előttük, és az élet fényesebbé válik? nem tudom...

De gondold meg magad...

Mi kell ahhoz, hogy biztosan jobb legyen, mint mások az egységes államvizsgán, és végül... boldogabb legyen?

NYERJ MEG A KEZET A TÉMÁBAN A PROBLÉMÁK MEGOLDÁSÁVAL.

A vizsga során nem kérnek elméletet.

Szükséged lesz megoldani a problémákat az idővel.

És ha nem oldotta meg őket (SOKAT!), akkor valahol biztosan elkövet egy hülye hibát, vagy egyszerűen nem lesz ideje.

Ez olyan, mint a sportban – sokszor meg kell ismételni a biztos győzelemhez.

Keresse a kollekciót, ahol csak akarja, szükségszerűen megoldásokkal, részletes elemzésselés dönts, dönts, dönts!

Feladatainkat (opcionális) használhatja, és természetesen ajánljuk.

Ahhoz, hogy jobban tudja használni feladatainkat, hozzá kell járulnia az éppen olvasott YouClever tankönyv élettartamának meghosszabbításához.

Hogyan? Két lehetőség van:

1. Oldja fel az összes rejtett feladatot ebben a cikkben - 299 dörzsölje.
2. Nyissa meg a hozzáférést az összes rejtett feladathoz a tankönyv mind a 99 cikkében - 999 dörzsölje.

Igen, a tankönyvünkben 99 ilyen cikk található, és azonnal megnyitható az összes feladat és a benne lévő rejtett szöveg.

A második esetben adunk neked szimulátor "6000 probléma megoldásokkal és válaszokkal, minden témához, minden bonyolultsági szinten." Ez minden bizonnyal elég lesz bármilyen témában a problémák megoldására.

Valójában ez sokkal több, mint egy szimulátor – egy egész képzési program. Szükség esetén INGYENESEN is használhatod.

Az oldal fennállásának TELJES időszakára minden szöveghez és programhoz hozzáférés biztosított.

Következtetésképpen...

Ha nem tetszenek a feladataink, keress másokat. Csak ne állj meg az elméletnél.

Az „értettem” és a „meg tudom oldani” teljesen különböző képességek. Mindkettőre szüksége van.

Találd meg a problémákat és oldd meg őket!

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete